Objetivos de la lección• Definir y dar ejemplos de conceptos
fundamentales relacionados con conjuntos– Conjunto
– Elementos
– Simbolismo para definir conjuntos y elementos
– Conjuntos finitos e infinitos
– Cardinalidad de un conjunto
– Conjunto Nulo
– Conjuntos iguales
– Conjuntos equivalentes
Objetivos de la lección• Comprender, identificar y aplicar los
conceptos fundamentales relacionados con las operaciones con conjuntos– Subconjunto
– Subconjuntos propios e impropios
– Conjunto universo
– Unión e intersección
– Disyunción
– Complemento
– Diferencia
– Producto cartesiano o producto cruz
Introducción
• La teoría de conjuntos que
conocemos hoy día la debemos
principalmente al matemático
alemán Georg Cantor (1845-1918).
• Algunas de las cosas que él
demostró se contrapuso a la teoría
aceptada en su época.
• Tuvo un largo debate sobre el
concepto del infinito y trabajó el
concepto de cadinalidad de un
conjunto.
Introducción• Los conjuntos se aplican en
muchas áreas de la vida diaria ya
que la mayor parte de lo que
observamos a nuestro alrededor
se compone de elementos de un
conjunto.
• Hay conjuntos que son
subconjunto de otros, hay
conjuntos que son finitos y otros
que son infinitos.
Introducción• Necesitamos entender bien
los conceptos de conjuntos
para poder entender mejor el
mundo que nos rodea y
entender mejor otros
conceptos matemáticos que
se fundamentan en el
conocimiento de los
conjuntos.
Definiciones1. Conjunto- Colección o grupo
de objetos que está bien definido
2. Bien definido- Se puede
determinar si un elemento pertenece o
no pertenece al conjunto
3. Símbolo para representar un
conjunto- { }
4. Elemento- Objeto que pertenece
a un conjunto
5. Símbolo para representar un elemento- є
Definiciones
6. Conjunto finito- Tiene un númerolimitado de elementos por lo queel proceso de contar suselementos tiene fin.
7. Conjunto infinito- Cuando el procesode contar los elementos nuncatermina, no tiene fin. Tiene un número ilimitado de elementos.
Definiciones
8. Cardinalidad de un conjunto-Número de elementos de un conjunto.
9. Conjunto Nulo- Conjunto que no tiene elementos.
10. Símbolos de conjunto nulo- { } ,
Definiciones
11. Conjuntos iguales- Tienen
exactamente los mismos
elementos.
12. Conjuntos equivalentes- Tienen la
misma cardinalidad.
Subconjunto
• Un conjunto A es subconjunto de
B si cada elemento de A está
también en B.
• Para denotar que A es subconjunto
de B se usa el siguiente
simbolismo: A B
Ejemplos
• Si A = {a, b, c} y B = {a, b, c, d}
entonces
• ¿Será ?
• Si C = { a, b, c, x}, ¿será ?
• Si D = {a, b, c, d}, ¿será ?
A B
B A
C B
D B
Subconjunto propio
• Si A es subconjunto de B y B tiene
por lo menos un elemento que no
está en A, entonces decimos que A
es subconjunto propio de B.
• En este caso, se usa el siguiente
simbolismo:
A B
Subconjunto impropio
• A es un subconjunto impropio de B si
A = B.
• No hay un símbolo especial para
subconjunto impropio.
• Cuando se sabe que A es subconjunto
de B, pero no se desea clasificar en
propio o impropio, se utiliza el
símbolo de subconjunto: A B
Ejercicio • Haz una lista de todos los posibles
subconjuntos de cada conjunto
• A = {a, b, c}
• B = {a, b, c, d}
• C = { 1, 2 }
• D = { 5 }
• E = { }
• Observa que hay un patrón que relaciona el
número de elementos en un conjunto con los
posibles subconjuntos. ¿Cuál es el patrón?
Conjunto Universo• El conjunto Universo de ciertos
conjunto dados, es el conjunto que
contiene todos los posibles
subconjuntos de los conjuntos en
cuestión.
• Para denotar el conjunto Universo se
utiliza la letra U mayúscula.
• Todo conjunto es subconjunto de sí
mismo y el conjunto nulo es
subconjunto de todo conjunto.
Ejemplos• A = {maestros de matemáticas en
escuela X}
B = {maestros de inglés en escuela X}
¿Cuál es el conjunto Universo?
• U = {maestros de la escuela X}
• A = {números enteros positivos},
B = {números enteros negativos},
C = {0}, ¿cuál es el Universo?
• U = {números enteros}
Unión de Conjuntos
• La unión del conjunto A con el
conjunto B, denotado A U B, es el
conjunto de todos los elementos que
están en A ó en B , ó en ambos.
Ejemplos
• A = {a, b, c} B = {1, 2, 4, 6, a, b}
A U B =
• C = {1, 3, 5} D = {2, 4}
C U D =
{1, 2, 4, 6, a, b, c}
{1, 2, 3, 4, 5}
Intersección
• La intersección de A y B,
denotado es el
conjunto de todos los elementos
de A que también están en B.
• O sea, los elementos que tienen
A y B en común.
A B
Conjuntos disyuntos
• Dos conjuntos A y B son disyuntos si
no tienen ningún elemento en común
entre sí.
• Esto es: A B
Ejemplos
• A = {a, b, c} B = {1, 2, 4, 6, a, b}
A y B no son disyuntos.
• C = {1, 3, 5} D = {2, 4}
C y D son disyuntos.
Complemento de un
Conjunto
• El complemento de un conjunto A,
denotado A´, es el conjunto de todos
los elementos del conjunto Universo
que no están en el conjunto A.
EjemplosU = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 4, 6, 8, 9}
A´=
U = {hombres} A = {hombres que
tienen pelo}
A´=
U = {personas} A = {varones}
A´=
{2, 3, 5, 7, 10}
{hombres calvos}
{hembras}
Ejemplos
• U = {vocales} A = { a, e, i, o, u}
• Halla A´
• U = {vocales} A = { }
• Halla A´
= { }
= {vocales}
Diferencia
• La diferencia entre el conjunto A y
el conjunto B, denotado A – B, es
el conjunto de todos los
elementos de A que no están en
B.
Ejemplos
A = {a, b, c} B = {1, 2, 4, 6, a, b}
A – B =
B – A =
C = {1, 3, 5} D = {2, 4}
C – D =
D – C =
C = {1, 3, 5} E = {1, 3, 5}
C – E =
{c}
{1, 2, 4, 6}
CD
Par ordenado
• Un par ordenado es cuando se
escriben dos elementos en un orden
específico usando la siguiente
notación:
(primer elemento, segundo elemento)
Producto Cartesiano
• El producto cartesiano de dos
conjuntos A y B , denotado A x B,
es el conjunto de todos los pares
ordenados que se pueden formar
tomando el primer elemento del
primer conjunto A y el segundo
elemento del segundo conjunto B.
Ejemplos
• C = {6, 8, 9} D = {x, y, z}
• Halla C x D
• Halla D x C
• C = {6, 8, 9} F = {w, x, y, z}
• Halla C x F
• E = {∆, O}
• Halla E x E
Diagramas de Venn
• Desarrollados por John Venn (1834-
1923)
• Se utilizan para ilustrar conjuntos y
resolver problemas de lógica.
• Se representa el Universo con un
rectángulo y los conjuntos con
regiones circulares.
• Se sombrea el área que se desea
ilustrar.
Ejercicio• Ilustrar en diagrama de Venn
– Un conjunto
– Complemento de un conjunto
– Dos conjuntos donde uno es
subconjunto del otro (propio e
impropio)
– Unión de dos conjuntos
– Intersección de dos conjuntos
– Diferencia de dos conjuntos
Ejercicio
• Ilustrar en diagrama de Venn
– Unión de tres conjuntos
– Intersección de tres conjuntos
– Complemento de la unión
– Complemento de la intersección
– Diferencia de conjuntos