Universidad Autónoma de Yucatán

Facultad de Ingeniería Química

Ecuaciones diferenciales

Introducción a series de Fourier

Paulino Narváez, Nidia Pacheco, Thomas Ramos

ResumenEn el siguiente trabajo se enlistan procedimientos para calcular coeficientes para cada una de las series siguientes:

f 1 ( x )={2+x , −2<x<02 , 0≤ x<2 } f 2 ( x )={0 −1<x<0

x 0≤x<1 } f 3 ( x )=|x|,−π<x<π

f 4 ( x )={x+1, −1<x<0x−1 , 0≤ x<1 } f 5 ( x )={ 0 0<x<π

x−π π ≤ x<2π }Y de igual manera sus respectivas formulas en su caso. También las gráficas para cada de estos como, también la convergencia y el error de aproximación numérica que puede presentar. En este caso se realizó solamente la f3.

1. Introducción

Para la realización de este trabajo fue necesario conocer técnicas de integración así como software para obtener las gráficas como Octave, Wolphram Alpha, así como nociones básicas de programación para la compilación de algunos programas que facilitaron la realización del mismo.

f(x)=|x|, -π<x<π

Esta función tiene como gráfica:

Fig.1. Grafica de la función f3(x)

2. Análisis de la función

Al ver la gráfica podemos notar que la función es periódica de periodo 2, de igual manera se puede observar que es par.

Al observar que es par y periódica, consideramos la serie de cosenos, donde sabemos que para

f ( x )=a02

+∑n=1

∞

an cos (nπx) (1)

Y para los coeficientes an y bn sabemos que,

a0=2p∫0

p

f (x)cos (πxn¿¿ p)(2) para bn=0¿ (3) y an=2p∫0

p

f ( x ) cos nπxpdx (4 )

3. Expansiones en series de Fourier

Como se puede observar la función es par, por lo que con ayuda de la formular (2), continuamos a expresar los coeficientes, sabiendo que bn=0 , para a0 tenemos la formula (4) y obtenemos lo siguiente:

a0=2p∫0

p

f (X )dx=2π∫0

π

¿ X∨dx=π

an=2p∫0

p

f ( x ) cos nπxpdx= 2

π∫0

π

|X|cos nxdx= 2π n2

¿

an=2

π n2¿

Cuando n es impar an=−4π n2

y an=0 cuando n es igual a par

Para cuando n=1, la serie de Fourier en el intervalo de (-π , π) para la función f3(x) es

f ( x )= π2+∑n=1

∞2π n2

(πnsin (nx )−cos (nx )−1)

4. Simulaciones Numéricas

Para esta sección se presentara lo siguiente:

a. Los primeros 15 coeficientes de la serie usando la fórmula para los coeficientesb. Las expresiones de las sumas parciales S3, S5 y S7

c. La grafica de las sumas parciales S5, S10, S15, S20, S25 y S30

d. La convergencia en cada punto del intervalo

a) Para el caso de la función f3(x) a continuación se enlistan los coeficientes para n = 1 hasta el 15

n bn n bn1 −4

π8 0

2 0 9 −481π

3 −49 π

10 0

4 0 11 −4121π

5 −425π

12 0

6 0 13 −4169π

7 −449 π

14 0

15 −4225π

b) Las expresiones de las sumatorias parciales

sm=π2

+∑n=1

∞ 2

π n2¿

¿¿

s3=π2+−4πcos ( x )+0+−4

9 πcos (3 x)

s5=π2+−4πcos ( x )+0+−4

9 πcos (3 x )+0+ −4

25πcos (5 x)

s7=π2+−4πcos ( x )+0+−4

9 πcos (3 x )+0+ −4

25πcos (5 x )+0+ −4

49 π

c) A continuación las gráficas para las sumas parciales S5, S10, S15, S20, S25 y S30

Fig 2. Grafica de la suma parcial de S5

Fig 3. Grafica de la suma parcial de S10

Fig. 4 Grafica de la suma parcial de S15

Fig. 5 Grafica de la suma parcial de S20

Fig. 6 Grafica de la suma parcial de S25

Fig. 7 Grafica de la suma parcial de S30

d) Convergencia de la serie

Fig. 8 Graficas de f(x) de S5 hasta S30

Error en la aproximación y convergencia

Una función f es continua a trozos en un intervalo a < x < b si el intervalo puede ser particionado por un numero finito de puntos a = X0 < X1 < … < Xn < Xb tal que

Por lo tanto como f3(x) es par y la función es una serie continua, la convergencia se da en la f(x) según lo observado en clases.

De igual graficar la función error, que incluye desde f5(x) hasta la f30(x) para cada una de sus respectivas sumas parciales, recordando que la función error está definido como Em(x) = f(x) – Sm(x)

Por lo que para establecer la convergencia y los errores se presenta a continuación la fig.9

Fig. 9 Convergencia y errores de los puntos f5(x) hasta la f30(x)

Agradecimientos

Por las facilidades y el tiempo invertido en las clases y para la resolución y aclaración de dudas, Noe Chan Chí, profesor de la asignatura de E.D, de igual manera a Nidia Pacheco, que tiene una manera de ver las ecuaciones y explicar el desarrollo.

BibliografíaHerraiz, I. (18 de Enero de 2013). Universidad de La Laguna. Recuperado el 11 de

Noviembre de 2013, de OSL: http://osl.ull.es/content/octaveupm-octave-con-gui