Download - des y Teoremas de La Integral Definida
“CÁLCULO INTEGRAL”
PROFESOR: JIMÉNEZ ESTÉVEZ OSCAR
UNIDAD 3
PROPIEDADES Y TEOREMAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA
ALUMNO: NÚMERO DE CONTROL:
JUAN GARCÍA PEDRO OCTAVIO 10680250
G2 08:00-9:00 am
SEGUNDO SEMESTRE
INGENIERÍA EN MECATRÓNICA
H.H. Cuautla Mor. 30 de Marzo del 2011
Cálculo integral Propiedades y teoremas de la integral definida
PROPIEDADES Y TEOREMAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA.
Propiedades de la integral definida.
Se enuncian algunas propiedades y teoremas básicos de las integrales definidas que ayudaran a evaluarlas con más facilidad.
1. ∫a
b
cdx=c (b−a ) donde c es una constante.
2. Si f y g son integrables en [a ,b ] y c es una constante, entonces las siguientes propiedades son verdaderas:
∫a
b
c f ( x ) dx=c∫a
b
f ( x ) dx
∫a
b
[ f ( x )+g ( x ) ] dx=∫a
b
f ( x ) dx+∫a
b
g (x ) dx
(Se puede generalizar para más de dos funciones).
3. Si x está definida para x=a entonces ∫a
a
f ( x )dx=0
4. Si f es integrable en [a ,b ] entonces ∫a
b
f ( x )dx=−∫a
b
f ( x ) dx
5. Propiedad de Aditividad del intervalo:
Si f es integrable en los dos intervalos cerrados definidos por a ,b y c entonces
Cálculo integral Propiedades y teoremas de la integral definida
∫a
c
f ( x )dx=∫a
b
f ( x )dx+∫b
c
f (x ) dx
Demostración de las propiedades enunciadas.
Conservación de desigualdades.
Si f es integrable y no negativa en el intervalo cerrado [a ,b ] entonces
0≤∫a
b
f ( x ) dx
Demostración: Si f ( x ) ≥0 entonces ∫a
b
f ( x )dx representa el área bajo la curva de
f de modo que la interpretación geométrica de esta propiedad es sencillamente el área. (También se deduce directamente de la definición porque todas las cantidades son positivas).
Si f y g son integrables en el intervalo cerrado [a ,b ] con ff ( x ) ≥ g ( x ) para
todo x en [a ,b ] entonces ∫a
b
f ( x )dx ≥∫a
b
g ( x ) dx
Demostración: Si f ( x ) ≥ g ( x ) podemos asegurar que f ( x )−g ( x ) ≥0 y le podemos
aplicar la propiedad anterior y por lo tanto ∫a
b
[ f ( x )−g (x ) ]dx ≥0. De aquí
∫a
b
f ( x )dx−∫a
b
g ( x ) dx≥0 y de esta manera ∫a
b
f ( x )d x≥∫a
b
g ( x ) dx.
Supongamos que m y M son constantes tales que m ≤ f (x ) ≤ M para a≤ x≤ b. Se dice que f está acotada arriba por M y acotada abajo por m, la gráfica que entre la recta y=m y la recta y=M . Podemos enunciar el siguiente teorema:
Si f es integrable y m ≤ f (x ) ≤ M para a≤ x≤ b entonces:
Cálculo integral Propiedades y teoremas de la integral definida
m (b−a ) ≤∫a
b
f (x ) dx ≤ M (b−a ).
(La gráfica ilustra la propiedad cuando f ( x ) ≥0)
Si y=f ( x ) es continua y m y M son los valores mínimos y máximos de la
misma en el intervalo [a ,b ] gráficamente esta propiedad indica que el área debajo de la gráfica de f es mayor que el área del rectángulo con altura m y menor que la del rectángulo con altura M .
En general dado que m ≤ f (x ) ≤ M podemos asegurar, por la propiedad anterior que:
∫a
b
mdx ≤∫a
b
f (x ) dx ≤∫a
b
M dx
Si se evalúan las integrales de los extremos de la desigualdad resulta
m (b−a ) ≤∫a
b
f (x ) dx ≤ M (b−a ).
Simetría.
El siguiente teorema permite simplificar el cálculo de las integrales de funciones que poseen propiedades de simetría.
Sea f una función continua sobre el intervalo [ – a ,a ]
Cálculo integral Propiedades y teoremas de la integral definida
a) Si f es par ∫−a
a
f (x ) dx=2∫0
2
f ( x ) dx
b) Si f es impar ∫−a
a
f (x ) dx=0
Demostración: tenemos en cuenta que a ∫−a
a
f (x ) dx la podemos descomponer de
dos nuevas integrales
∫−a
a
f (x ) dx=∫−a
0
f ( x ) dx+∫0
a
f ( x ) dx
∫−a
a
f (x ) dx=−∫0
−a
f ( x ) dx+∫0
a
f ( x ) dx
En la primera integral sustituimos u=−x⇒ du=−dx, además si
x=−a⇒ u=a.
−∫0
−a
f ( x ) dx=−∫0
u
f (−u ) [−du ]=∫0
u
f (−u ) du
Con esto la ecuación original resulta:
∫−a
a
f (x ) dx=∫0
a
f (−u ) du+∫0
a
f ( x ) dx
En el caso a) si la función es par f (−u )=f (u ) entonces
∫−a
a
f (x ) dx=∫0
a
f (u ) du+∫0
a
f ( x ) dx=2∫0
a
f ( x ) dx
Mientras que en el caso b) si la función es impar f (−u )=−f (u )
Cálculo integral Propiedades y teoremas de la integral definida
∫−a
a
f (x ) dx=−∫0
a
f (u ) du+∫0
a
f ( x ) dx=0
Ejemplo:
Sabiendo que ∫0
2
x2dx=83
, calcule las siguientes integrales.
a) ∫−2
0
x2dx
b) ∫−2
2
x2dx
c) ∫0
2
3 x2dx
d) ∫0
2
−x2dx
Utilizando propiedades de las integrales resulta:
a) Como x2 es una función par:
∫−2
0
x2dx=∫0
2
x2dx=83
b) Como x2 es una función par:
Cálculo integral Propiedades y teoremas de la integral definida
∫−2
2
x2dx=∫−2
0
x2dx+∫0
2
x2dx=2∫0
2
x2dx=163
c) ∫0
2
3 x2dx=3∫0
2
x2dx=8
d) ∫0
2
−x2dx=−∫0
2
x2dx=−83
Teorema del valor medio para integrales.
Si f es una función continua en el intervalo [a ,b ], entonces existe en éste un punto α tal que se verifique la siguiente igualdad:
∫a
b
f ( x )dx= (b−a ) f (α )
Podemos dar una interpretación geométrica como sigue: consideremos una f tal que f ( x ) ≤0, para todos los valores de x en el intervalo[a ,b ].
Entonces ∫a
b
f ( x )dx es el área de la región limitada por la curva con ecuación
y=f ( x ), el eje X y las rectas con ecuación x=a , x=b.
Cálculo integral Propiedades y teoremas de la integral definida
Esté teorema establece que existe un numero α en [a ,b ] tal que el área del
rectángulo aQ S b , cuya altura es f ( α ) y que tiene ancho de (b−a ) unidades, es igual al área de la región área de la región a P R b.
El valor de α no es necesariamente único.
Aunque el teorema no establece un método para determinar α , sí garantiza que existe un valor de α , lo cual se utiliza para demostrar otros teoremas.
Ejemplos:
Determinar, en cada caso, el valor α tal que:
Cálculo integral Propiedades y teoremas de la integral definida
I. ∫1
2
x3dx=f (α ) (2−1 )
II. ∫1
4
( x2+4 x+5 ) dx=f ( α ) (4−1 )
Solución:
I. Calculamos primero ∫1
2
x2dx
Como D x( x4
4 )=x3 entonces∫1
2
x3dx= x4
4 |=164 −14=154
Luego: ∫1
2
x3dx=154
=f (α ) (2−1 ) de donde:
f ( α )=154
(eneste caso f ( x )=x3 )
α 3=154
y por últimoα=3√ 154 ≈1.55
Gráficamente se tiene:
Cálculo integral Propiedades y teoremas de la integral definida
II. Calculamos ∫1
4
( x2+4 x+5 ) dx
Como D x( x3
3+2x2+5x )=x2+4 x+5 entonces:
∫1
4
x2+4 x+5=( x3
3+2 x2+5 x )|41=433 +2 (4 )2+5∙4−( 13+2+5)
¿66
Luego: ∫1
4
( x2+4 x+5 ) dx=66=f (α ) (4−1 )
De donde f ( α )=22, como f ( x )=x2+4 x+5entonces:
α 2+4 α+5=22 y los valores de α que satisfacen la ecuación son
α 1=−2+√21 , α2=−2−√21; este último valor se descarta pues no pertenece al
intervalo [1,4 ]
Luego el valor de α que satisface el teorema del valor medio para integrales es α=√21−2.
Gráficamente se tiene:
Cálculo integral Propiedades y teoremas de la integral definida
6. Si f es una función integrable en los intervalos cerrados [a ,b ] , [a , c ] y [c ,b ] con α <c<b entonces:
∫a
b
f ( x )dx=∫a
c
f ( x )dx+∫c
b
f (x ) dx
Ejemplo:
Sea [a ,b ]= [0,3 ] y c=2
∫0
3
x2dx= x3
3 |30=9
Ahora: ∫0
2
x2dx+∫2
3
x2dx= x3
3 |20+ x3
3 |32=83 +9−83=9
Luego: ∫0
3
x2dx=∫0
2
x2dx+∫0
3
x2dx
Geométricamente podemos interpretar esta propiedad como sigue:
Cálculo integral Propiedades y teoremas de la integral definida
Si f ( x ) ≥0 para x∈ [a ,b ] entonces la propiedad anterior establece que, el
área de la región limitada por la curva con ecuación y=f ( x ) , el eje X y las rectas con ecuaciones y las rectas con ecuación x=a , x=b , es igual a la suma de las áreas de las regiones desde a hasta c y desde c hastab.
El resultado anterior es válido para cualquier orden de a ,b y c .
Referencias bibliográficas:
La integral definida.[en linea ]. http://licgraciela08.files.wordpress.com. Disponible en: http://licgraciela08.files.wordpress.com/2008/08/la-integral-definida.pdf.[2011 ,15demayo ].
Lieda Elsie Hernández Saborío. Capitulo 6, Integral definida.[en linea ]. Costa Rica: Instituto Tecnológico de Costa Rica. Disponible en: http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/integracion-definida/html/integracion.pdf. [2011 ,15demayo ].
Cálculo integral Propiedades y teoremas de la integral definida