“CÁLCULO INTEGRAL”

PROFESOR: JIMÉNEZ ESTÉVEZ OSCAR

UNIDAD 3

PROPIEDADES Y TEOREMAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA

ALUMNO: NÚMERO DE CONTROL:

JUAN GARCÍA PEDRO OCTAVIO 10680250

G2 08:00-9:00 am

SEGUNDO SEMESTRE

INGENIERÍA EN MECATRÓNICA

H.H. Cuautla Mor. 30 de Marzo del 2011

Cálculo integral Propiedades y teoremas de la integral definida

PROPIEDADES Y TEOREMAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA.

Propiedades de la integral definida.

Se enuncian algunas propiedades y teoremas básicos de las integrales definidas que ayudaran a evaluarlas con más facilidad.

1. ∫a

b

cdx=c (b−a ) donde c es una constante.

2. Si f y g son integrables en [a ,b ] y c es una constante, entonces las siguientes propiedades son verdaderas:

∫a

b

c f ( x ) dx=c∫a

b

f ( x ) dx

∫a

b

[ f ( x )+g ( x ) ] dx=∫a

b

f ( x ) dx+∫a

b

g (x ) dx

(Se puede generalizar para más de dos funciones).

3. Si x está definida para x=a entonces ∫a

a

f ( x )dx=0

4. Si f es integrable en [a ,b ] entonces ∫a

b

f ( x )dx=−∫a

b

f ( x ) dx

5. Propiedad de Aditividad del intervalo:

Si f es integrable en los dos intervalos cerrados definidos por a ,b y c entonces

Cálculo integral Propiedades y teoremas de la integral definida

∫a

c

f ( x )dx=∫a

b

f ( x )dx+∫b

c

f (x ) dx

Demostración de las propiedades enunciadas.

Conservación de desigualdades.

Si f es integrable y no negativa en el intervalo cerrado [a ,b ] entonces

0≤∫a

b

f ( x ) dx

Demostración: Si f ( x ) ≥0 entonces ∫a

b

f ( x )dx representa el área bajo la curva de

f de modo que la interpretación geométrica de esta propiedad es sencillamente el área. (También se deduce directamente de la definición porque todas las cantidades son positivas).

Si f y g son integrables en el intervalo cerrado [a ,b ] con ff ( x ) ≥ g ( x ) para

todo x en [a ,b ] entonces ∫a

b

f ( x )dx ≥∫a

b

g ( x ) dx

Demostración: Si f ( x ) ≥ g ( x ) podemos asegurar que f ( x )−g ( x ) ≥0 y le podemos

aplicar la propiedad anterior y por lo tanto ∫a

b

[ f ( x )−g (x ) ]dx ≥0. De aquí

∫a

b

f ( x )dx−∫a

b

g ( x ) dx≥0 y de esta manera ∫a

b

f ( x )d x≥∫a

b

g ( x ) dx.

Supongamos que m y M son constantes tales que m ≤ f (x ) ≤ M para a≤ x≤ b. Se dice que f está acotada arriba por M y acotada abajo por m, la gráfica que entre la recta y=m y la recta y=M . Podemos enunciar el siguiente teorema:

Si f es integrable y m ≤ f (x ) ≤ M para a≤ x≤ b entonces:

Cálculo integral Propiedades y teoremas de la integral definida

m (b−a ) ≤∫a

b

f (x ) dx ≤ M (b−a ).

(La gráfica ilustra la propiedad cuando f ( x ) ≥0)

Si y=f ( x ) es continua y m y M son los valores mínimos y máximos de la

misma en el intervalo [a ,b ] gráficamente esta propiedad indica que el área debajo de la gráfica de f es mayor que el área del rectángulo con altura m y menor que la del rectángulo con altura M .

En general dado que m ≤ f (x ) ≤ M podemos asegurar, por la propiedad anterior que:

∫a

b

mdx ≤∫a

b

f (x ) dx ≤∫a

b

M dx

Si se evalúan las integrales de los extremos de la desigualdad resulta

m (b−a ) ≤∫a

b

f (x ) dx ≤ M (b−a ).

Simetría.

El siguiente teorema permite simplificar el cálculo de las integrales de funciones que poseen propiedades de simetría.

Sea f una función continua sobre el intervalo [ – a ,a ]

Cálculo integral Propiedades y teoremas de la integral definida

a) Si f es par ∫−a

a

f (x ) dx=2∫0

2

f ( x ) dx

b) Si f es impar ∫−a

a

f (x ) dx=0

Demostración: tenemos en cuenta que a ∫−a

a

f (x ) dx la podemos descomponer de

dos nuevas integrales

∫−a

a

f (x ) dx=∫−a

0

f ( x ) dx+∫0

a

f ( x ) dx

∫−a

a

f (x ) dx=−∫0

−a

f ( x ) dx+∫0

a

f ( x ) dx

En la primera integral sustituimos u=−x⇒ du=−dx, además si

x=−a⇒ u=a.

−∫0

−a

f ( x ) dx=−∫0

u

f (−u ) [−du ]=∫0

u

f (−u ) du

Con esto la ecuación original resulta:

∫−a

a

f (x ) dx=∫0

a

f (−u ) du+∫0

a

f ( x ) dx

En el caso a) si la función es par f (−u )=f (u ) entonces

∫−a

a

f (x ) dx=∫0

a

f (u ) du+∫0

a

f ( x ) dx=2∫0

a

f ( x ) dx

Mientras que en el caso b) si la función es impar f (−u )=−f (u )

Cálculo integral Propiedades y teoremas de la integral definida

∫−a

a

f (x ) dx=−∫0

a

f (u ) du+∫0

a

f ( x ) dx=0

Ejemplo:

Sabiendo que ∫0

2

x2dx=83

, calcule las siguientes integrales.

a) ∫−2

0

x2dx

b) ∫−2

2

x2dx

c) ∫0

2

3 x2dx

d) ∫0

2

−x2dx

Utilizando propiedades de las integrales resulta:

a) Como x2 es una función par:

∫−2

0

x2dx=∫0

2

x2dx=83

b) Como x2 es una función par:

Cálculo integral Propiedades y teoremas de la integral definida

∫−2

2

x2dx=∫−2

0

x2dx+∫0

2

x2dx=2∫0

2

x2dx=163

c) ∫0

2

3 x2dx=3∫0

2

x2dx=8

d) ∫0

2

−x2dx=−∫0

2

x2dx=−83

Teorema del valor medio para integrales.

Si f es una función continua en el intervalo [a ,b ], entonces existe en éste un punto α tal que se verifique la siguiente igualdad:

∫a

b

f ( x )dx= (b−a ) f (α )

Podemos dar una interpretación geométrica como sigue: consideremos una f tal que f ( x ) ≤0, para todos los valores de x en el intervalo[a ,b ].

Entonces ∫a

b

f ( x )dx es el área de la región limitada por la curva con ecuación

y=f ( x ), el eje X y las rectas con ecuación x=a , x=b.

Cálculo integral Propiedades y teoremas de la integral definida

Esté teorema establece que existe un numero α en [a ,b ] tal que el área del

rectángulo aQ S b , cuya altura es f ( α ) y que tiene ancho de (b−a ) unidades, es igual al área de la región área de la región a P R b.

El valor de α no es necesariamente único.

Aunque el teorema no establece un método para determinar α , sí garantiza que existe un valor de α , lo cual se utiliza para demostrar otros teoremas.

Ejemplos:

Determinar, en cada caso, el valor α tal que:

Cálculo integral Propiedades y teoremas de la integral definida

I. ∫1

2

x3dx=f (α ) (2−1 )

II. ∫1

4

( x2+4 x+5 ) dx=f ( α ) (4−1 )

Solución:

I. Calculamos primero ∫1

2

x2dx

Como D x( x4

4 )=x3 entonces∫1

2

x3dx= x4

4 |=164 −14=154

Luego: ∫1

2

x3dx=154

=f (α ) (2−1 ) de donde:

f ( α )=154

(eneste caso f ( x )=x3 )

α 3=154

y por últimoα=3√ 154 ≈1.55

Gráficamente se tiene:

Cálculo integral Propiedades y teoremas de la integral definida

II. Calculamos ∫1

4

( x2+4 x+5 ) dx

Como D x( x3

3+2x2+5x )=x2+4 x+5 entonces:

∫1

4

x2+4 x+5=( x3

3+2 x2+5 x )|41=433 +2 (4 )2+5∙4−( 13+2+5)

¿66

Luego: ∫1

4

( x2+4 x+5 ) dx=66=f (α ) (4−1 )

De donde f ( α )=22, como f ( x )=x2+4 x+5entonces:

α 2+4 α+5=22 y los valores de α que satisfacen la ecuación son

α 1=−2+√21 , α2=−2−√21; este último valor se descarta pues no pertenece al

intervalo [1,4 ]

Luego el valor de α que satisface el teorema del valor medio para integrales es α=√21−2.

Gráficamente se tiene:

Cálculo integral Propiedades y teoremas de la integral definida

6. Si f es una función integrable en los intervalos cerrados [a ,b ] , [a , c ] y [c ,b ] con α <c<b entonces:

∫a

b

f ( x )dx=∫a

c

f ( x )dx+∫c

b

f (x ) dx

Ejemplo:

Sea [a ,b ]= [0,3 ] y c=2

∫0

3

x2dx= x3

3 |30=9

Ahora: ∫0

2

x2dx+∫2

3

x2dx= x3

3 |20+ x3

3 |32=83 +9−83=9

Luego: ∫0

3

x2dx=∫0

2

x2dx+∫0

3

x2dx

Geométricamente podemos interpretar esta propiedad como sigue:

Cálculo integral Propiedades y teoremas de la integral definida

Si f ( x ) ≥0 para x∈ [a ,b ] entonces la propiedad anterior establece que, el

área de la región limitada por la curva con ecuación y=f ( x ) , el eje X y las rectas con ecuaciones y las rectas con ecuación x=a , x=b , es igual a la suma de las áreas de las regiones desde a hasta c y desde c hastab.

El resultado anterior es válido para cualquier orden de a ,b y c .

Referencias bibliográficas:

La integral definida.[en linea ]. http://licgraciela08.files.wordpress.com. Disponible en: http://licgraciela08.files.wordpress.com/2008/08/la-integral-definida.pdf.[2011 ,15demayo ].

Lieda Elsie Hernández Saborío. Capitulo 6, Integral definida.[en linea ]. Costa Rica: Instituto Tecnológico de Costa Rica. Disponible en: http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/integracion-definida/html/integracion.pdf. [2011 ,15demayo ].

Cálculo integral Propiedades y teoremas de la integral definida