-
8/3/2019 Cambio tecnolgico modelos con una variedad ampliada de productos
1/28
Pgin
a1
Curso de Macroeconoma IIProblems set No. 2
Cambio tecnolgico: modelos con una variedad ampliada de
productos
Jorge Salgado.
Ejercicio 1: Considera el modelo de expansin en la variedad de productosexplicado en clase e introduce las siguientes polticas:
a) un subsidio a la I+D financiado por lump-sum taxes,b) un subsidio a la compra de inputs financiado por lump-sum taxes,c) un subsidio a la produccin financiado por lump-sum taxes,Plantea el problema de las empresas productoras de producto final, el
problema de los inventores y productores de inputs, el problema del consumidor y
encuentra el equilibrio de mercado en los tres casos. Cul/es de las medidas
hacen que el mercado sea eficiente? Indica el valor que debe tomar el subsidio para
llegar a una solucin eficiente en cada caso.
Solucin:
Se parte por plantear al modelo original de variedades de productos y por
encontrar el equilibrio descentralizado caracterizado por ser un sub-ptimo de
Pareto, en contrastacin con los resultados del problema del planificador, que
muestran mayores tasas de crecimiento del producto, el consumo y de los insumos.
Posteriormente se analiza las implicaciones de poltica por la introduccin de
subsidios en el problema original y cmo ests pueden ser soluciones para
conseguir un equilibrio eficiente en el sentido de Pareto.
Por una parte el sector de productores de bienes finales est caracterizado
por la funcin de produccin:
-
8/3/2019 Cambio tecnolgico modelos con una variedad ampliada de productos
2/28
Pgin
a2
() (1)
En donde
es el producto final de la
empresa,
representa una
medida de la productividad, al factor trabajo, la cantidad de variedades deinsumos no duraderos () .La expresin anterior separable acumulativa de los bienes
intermedios, implica que los nuevos productos no provocan la obsolescencia de
los anteriores diseos, es decir los insumos tienen productos marginales
independientes (caso opuesto al modelo de calidades de productos).
Se asume que el progreso tecnolgico representa incrementos de , que encada periodo las firmas los consumirn en su totalidad y en las mismas cantidades:
(2)Los productos de todas las firmas son idnticos, y su agregacin
es utilizada para el consumo, la produccin de bienes intermedios y para
incrementar (crear nuevos diseos de bienes ya existentes). Como el sector deproductos finales es competitivo es el salario que recibe y es el precio delos insumos. El beneficio de los productores finales se representa por:
Con la ecuacin (1) se obtiene el producto marginal de que en
competencia perfecta se iguala con .
(3)
Podemos encontrar la elasticidad precio de la demanda con (3):
-
8/3/2019 Cambio tecnolgico modelos con una variedad ampliada de productos
3/28
Pgin
a3
Del producto marginal del trabajo de la ecuacin (1) se tiene al salario real.
()
(4)Los precios de equilibrio del mercado de bienes finales caracterizan a un
mercado de competencia perfecta con beneficios iguales a cero.
Ahora las empresas de investigacin encargadas de innovar con nuevos
diseos (que suponen un aumento de ) se enfrentan a un proceso en dos etapaspara decidir si venden sus diseos: i) en la primera las empresas resuelven si
destinaran recursos a la invencin, las firmas lo hacen si el valor actual neto de los
beneficios esperados en el futuro es al menos igual a los gasto de investigacin que
se pagan anticipadamente; ii) en la segunda etapa los inventores eligen el precioptimo que determinar el beneficio en cada periodo.
El problema se resuelve por induccin hacia atrs en la etapa dos cuando el
nuevo producto intermedio ya est inventado, este es no rival entre los
productores de bienes finales. Los diseadores mantendrn un monopolio del
diseo por siempre, como un incentivo a este sector.
El valor actual de los rendimientos de la inversin del bien intermedio j-
simo desde la fecha es: (5)
Con una tasa de inters promedio: * + El ingreso de las empresas de I+D est dado por:
(6)
-
8/3/2019 Cambio tecnolgico modelos con una variedad ampliada de productos
4/28
Pgin
a4
,donde . La ecuacin (6) suponeque el coste marginal y el coste medio son constantes y normalizados a uno. El
costo de produccin de representa una unidad de .El problema de maximizacin de la etapa dos consiste en la determinacin
del precio de monopolio, que ser superior al costo marginal igual a uno:
(7)
, con (8)Utilizando a la ecuacin (3) y (8) obtenemos la cantidad agregada producida
de cada uno de los bienes intermedios que es inferior a la que se producira si el
costo marginal igualase al precio marginal:
(9)Como se mantiene constante en todo momento (tasa de crecimiento igual
a cero) y la cantidad de es idntica para todos los bienes, la cantidad agregadade insumos y de produccin (utilizando a la ecuacin (2) son):
(10)
-
8/3/2019 Cambio tecnolgico modelos con una variedad ampliada de productos
5/28
Pgin
a5
(11)
Si se reemplaza la ecuacin (8) en las ecuaciones (7) y en la (5) se tiene al
flujo de beneficios en el periodo y el valor actual neto del beneficio del inventoren el momento .
()
(12)
(13)Una vez el innovador determina los precios y las cantidades , considerar
invertir en un nuevo diseo si el valor actual neto de los beneficios esperados es al
menos igual al coste que incurre en su invencin , que ser constante en todos losperiodos y estar en funcin de los diseos anteriores , cuyos efectos puedenfacilitar o agotar las posibilidades de inventos futuros, no obstante, se supone que
los efectos positivos y negativos se anulan.
Adems, se supone que todas las empresas pueden pagar el coste porlo que existen tres posibilidades: i) si , se dedicaran infinitos recursosa la investigacin y desarrollo de nuevos diseos por lo que no se alcanzar un
equilibrio; ii) si no existen incentivos y N se mantiene constante,finalmente si , hay un crecimiento constante del nmero de diseos,escenario que corresponde al equilibrio.
Derivando a la ecuacin (5) con respecto al tiempo y con la condicin de
libre entrada, se obtiene la tasa de rendimiento de los activos:
Con se aplica la Regla de Leibniz1: * +
1
-
8/3/2019 Cambio tecnolgico modelos con una variedad ampliada de productos
6/28
Pgin
a6
* +
Como en el equilibrio
cuando ,
(14)
De acuerdo a la ecuacin (14), la tecnologa y la composicin del mercado
fijan . Como el valor actual de los beneficios es , en el equilibrio es tambin elvalor de mercado de las empresas de investigacin y desarrollo, con un valor de
mercado agregado de este sector de . Es una situacin semejante al modelo conbienes intermedios duraderos (modelo).
Por ltimo los hogares resuelven su problema de maximizacin de utilidadcon una funcin de utilidad de horizonte infinito2:
(15),sujeto a:
2
La restriccin presupuestaria agregada es:
-
8/3/2019 Cambio tecnolgico modelos con una variedad ampliada de productos
7/28
Pgin
a7
Con la condicin de transversalidad:
, - El problema del consumidor se resuelve con el siguiente Hamiltoniano:
(16),o alternativamente, podemos plantear al hamiltoniano de valor presente:
con
Resolvemos las condiciones del ejercicio:
(17)
(18),y con la condicin de transversalidad:
(19)Si se deriva a la ecuacin (17) con respecto del tiempo y se reemplaza con la (18) y con se obtiene la ecuacin de Euler, que junto a la condicin de
transversalidad nos conduje al equilibrio de estado estacionario:
-
8/3/2019 Cambio tecnolgico modelos con una variedad ampliada de productos
8/28
Pgin
a8
Como n es cero L es constante en cada periodo de tiempo, si se resuelve el
problema con variables agregadas se llega:
(20)Con el comportamiento de los tres sectores, se caracteriza al equilibrio en
una economa cerrada, es decir en donde los activos de los consumidores tienenque igualar al valor de mercado agregado de las empresas: , con unatasa de variacin (responde as a la no presencia de bienesintermedios duraderos como el capital).
Se desarrolla nuevamente a la tasa de rendimiento de la ecuacin (14)
reemplazando con la ecuacin (11):
,con
,se tiene:
(21)Como se expres en el problema de los productores de bienes finales el
salario de los hogares es: , con esta expresin y la ecuacin (21) larenta agregada puede expresarse como:
-
8/3/2019 Cambio tecnolgico modelos con una variedad ampliada de productos
9/28
Pgin
a9
= * + (22)
Y la restriccin presupuestaria de los hogares se trasforma:
(23)Como se encontr anteriormente:
(24)Con la ecuacin de Euler y la tasa de rendimiento de equilibrio de la
ecuacin (14) se tiene a la tasa de crecimiento del consumo, del producto y del
nmero de variedades como en el modelo.
(25)
Finalmente como el consumo cumple con
{
}(26)
-
8/3/2019 Cambio tecnolgico modelos con una variedad ampliada de productos
10/28
Pgin
a10
Ahora, los resultados anteriores deben ser contrastados con el problema del
planificador social, de tal forma que se puede concluir si el equilibrio
descentralizado es eficiente en el sentido de Pareto.
El planificador social desea maximizar la utilidad del hogar representativo,
sujeto a la restriccin presupuestaria de la economa:
Que corresponde a la misma funcin de produccin que en el problema de
equilibrio competitivo, pero se ha incorporado la condicin de que la cantidad de
bienes intermedios sea la misma para todas las empresas de bienes finales y todos
los productores de insumos.
Se caracterizacin entonces al problema del planificador como:
(
)
La diferencia con respecto al problema de una economa descentralizada
afecta a la determinacin de, la cantidad de bienes intermedios y a 3.
Por una parte existe un diferencial en el producto que da lugar a una
situacin de ineficiencia esttica generada por los precios monoplicos. Por otra3
El problema se resuelve Mathematica, su resolucin se encuentra en el Anexo.
-
8/3/2019 Cambio tecnolgico modelos con una variedad ampliada de productos
11/28
Pgin
a11
parte tiene lugar un efecto de ineficiencia dinmica ya que existe una mayor tasa
de crecimiento en la economa planificada por que existe un dficit en la tasa de
rendimiento utilizada en la economa descentralizada, que tambin es causado por
la distorsin en precios.
Ahora se evalan las posibilidades de polticas para que el precio alcance alcosto marginal sin eliminar los incentivos para el sector de investigacin y
desarrollo en un contexto descentralizado.
Se procede caracterizando a los tres tipos de subsidios , , y en elmodelo descentralizado que corresponden a contribuciones en el sector de I+D, a
la compra de inputs y a la produccin final .
Inicialmente se plantea al modelo con la presencia de estos tres subsidios,
luego se analiza sus casos particulares en presencia de lump-sum taxes.
Replantemos el problema para los productores de bienes finales con la
incorporacin de :
De la ecuacin () que incorpora subsidios a losbienes finales se obtiene el producto marginal de que en competencia perfectase iguala con
.
Del producto marginal del trabajo se tiene al salario
()
Ahora las empresas de investigacin encargadas de innovar con nuevos
diseos en sus dos fases, se incorpora al subsidio
.
-
8/3/2019 Cambio tecnolgico modelos con una variedad ampliada de productos
12/28
Pgin
a12
El valor actual de los rendimientos de la inversin del bien intermedio j-
simo desde la fecha es:
Con una tasa de inters promedio: * + El ingreso de las empresas de I+D est dado por que incluye al subsidio :
* +
,donde . La ecuacin delbeneficio que supone al coste marginal y al coste medio constantes y normalizados
a uno. El costo de produccin de representa una unidad de .El problema de maximizacin de la etapa dos consiste en la determinacin
del precio que en el problema sin subsidios era de 1/:
()
, con
-
8/3/2019 Cambio tecnolgico modelos con una variedad ampliada de productos
13/28
Pgin
a13
El precio que asumen los productores de bienes finales es una funcin
decreciente del subsidio . Reemplazado en la demanda la ecuacin del precio setiene tambin a .
() ()La cantidad producida es una funcin creciente de . Como se
mantiene constante en todo momento (tasa de crecimiento igual a cero) y la
cantidad de es idntica para todos los bienes, la cantidad agregada de insumos yde produccin:
()
()Si se reemplaza en la ecuacin se tiene al flujo de
beneficios en el periodo y el valor actual neto del beneficio del inventor en elmomento
.
() ()
Una vez el innovador determina el precio del diseo, considerar invertir si
el valor actual neto de los beneficios esperados es al menos igual al coste que
incurre en su invencin
. Con la condicin de libre entrada
(crecimiento constante del nmero de diseos, escenario que corresponde alequilibrio). Se obtiene la tasa de rendimiento de los activos y se incluye al
subsidio a la investigacin y desarrollo .Con se aplica la Regla de Leibniz:
* +
* +
-
8/3/2019 Cambio tecnolgico modelos con una variedad ampliada de productos
14/28
Pgin
a14
Como en el equilibrio cuando ,
()
Por ltimo los hogares resuelven su problema de maximizacin de utilidad
con una funcin de utilidad de horizonte infinito:
El problema del consumidor ahora incorpora a una tasa , que es la fuentede financiamiento de los subsidio, el problema se resuelve con de forma anlogo al
anterior mediante un hamiltoniano. Se advierte que el impuesto no tiene ningn
efecto y se llegar a la ecuacin de Euler previamente obtenida.
,o alternativamente, podemos plantear al hamiltoniano de valor presente:
con
Resolvemos las condiciones del ejercicio:
-
8/3/2019 Cambio tecnolgico modelos con una variedad ampliada de productos
15/28
Pgin
a15
(17)
,y con la condicin de transversalidad:
Si se deriva a la ecuacin (17) con respecto del tiempo y se reemplaza
con la (18) y con se obtiene la ecuacin de Euler, que junto a la condicin detransversalidad nos conduje al equilibrio de estado estacionario:
Como n es cero L es constante en cada periodo de tiempo, si se resuelve el
problema con variables agregadas se llega:
Con el comportamiento de los tres sectores, se caracteriza al equilibrio enuna economa cerrada, es decir en donde los activos de los consumidores tienen
que igualar al valor de mercado agregado de las empresas: , con unatasa de variacin
(responde as a la no presencia de bienesintermedios duraderos como el capital).
Con la ecuacin de Euler y la tasa de rendimiento de equilibrio se tiene a la
tasa de crecimiento del consumo, del producto y del nmero de variedades.
-
8/3/2019 Cambio tecnolgico modelos con una variedad ampliada de productos
16/28
Pgin
a16
Una vez planteado el modelo general con subsidios, analizamos el escenario
en donde solo existe . Para conocer su cuanta, igualamos los niveles deproductos intermedios de la economa descentralizada con el subsidio y la delplanificador central.
()
() ()
El aumento de la cantidad de bienes intermedios X provoca una ganancia
esttica y dinmica de eficiencia. En un contexto esttico, con N fijo, el precio de
monopolio implica que el producto marginal de X es superior a su coste de
produccin 1, y por lo tanto la economa no logra maximizar los bienes que pone a
disposicin del consumo. Si se dedicara una mayor produccin a X, el aumento ms
que proporcional de Y significa que el consumo puede aumentar. El aumento del
subsidio implica para la compra de X, permite que la economa se asegure una
ganancia esttica.
El mayor nivel de X tambin permite ganancias dinmicas. El aumento de
las cantidades de bienes intermedios hace aumentar el flujo de beneficios del
monopolio, este aumenta la tasa de rendimiento privado y coincide con la del
planificador central, por lo que tambin se tiene una mayor tasa de crecimiento.
El escenario en donde se implementan subsidios a la produccin de bienes
()
(
) ()
-
8/3/2019 Cambio tecnolgico modelos con una variedad ampliada de productos
17/28
Pgin
a17
El gobierno debera subsidiar a los productores de bienes en una cuanta de
-1 por unidades vendidas. En ese caso se producirn las mismas cantidades queen el modelo del planificador central. El enunciado adems supone que el subsidioes financiado con lump-sum taxes en los consumidores.
Finalmente para el escenario de subsidios en el sector de I+D, es claro con
las ecuaciones de produccin, que no se tienen efectos. La razn es que cualquier
subsidio ser completamente absorbido por este sector ya que el investigador
reduce su costo neto,. , que crecer en su tamao. La produccin no sale de su
condicin de sub ptimo, no obstante la tasa de crecimiento de la economa puede
crecer al igual que la tasa de rendimiento reducindose la brecha con losresultados del planificador central.
()
Ejercicio 2: Considera el modelo de cambio estructural basado en la ley deEngel4 que vimos en clase y contesta a las siguientes preguntas:
a) Por qu en equilibrio el capital fsico por unidad eficiente de trabajo
(kt=Kt/(XtLt)) es igual en todos los sectores? Escribe las ecuaciones que creas
convenientes y utiliza tus conocimientos de microeconoma para explicar laintuicin utilizando un grfico de las isocuantas.
Se inicia por plantear una aproximacin al modelo de Konsamut, Rebelo y
Xie(2001) sobre cambio estructural. Se considera una economa de horizonte
temporal infinito, con una poblacin que crece exgenamente a la tasa , apartir de un nmero 4
La ley de Engel seala que dadas unas preferencias, si se incrementan los ingresos de un consumidor,
la proporcin del ingreso gastado en alimentos disminuye, incluso si los gastos reales en alimentacinaumentan. En otras palabras, la elasticidad ingreso de la demanda de alimentos es menor que 1.
A esta ley se di el nombre del estadstico Ernst Engel (1821-1896).
-
8/3/2019 Cambio tecnolgico modelos con una variedad ampliada de productos
18/28
Pgin
a18
(1)El hogar representativo ofrece inelsticamente trabajo y tiene las siguientes
preferencias:
(2)Con , y denota al consumo agregado de productos de tres
diferentes sectores; agrcola, manufacturero y servicios (preferencias tipo Stone-
Geary), como se tiene en la siguiente expresin:
, (3)
, ,
El consumo de bienes agrcolas exige un mnimo de subsistencia , antesde iniciar el consumo de bienes industriales. La presencia de implica que loshogares consumen servicios solo despus de alcanzar un mnimo de consumo de
bienes agrcolas y manufacturas, Se puede tener la intuicin de que representauna dotacin bsica de servicios.
En una economa cerrada, la produccin domstica de cada uno de los
sectores sigue las siguientes funciones de produccin:
( ), (4) ( ), (5) ( ), (6)
, donde , denota el producto en cada uno de los sectores,
, y
son los niveles de trabajo y capital para
.
es el parmetro de productividad neutral a la Hicks. es el aumentador de laproductividad del trabajo. La funcin satisface los supuestos de una funcin de
-
8/3/2019 Cambio tecnolgico modelos con una variedad ampliada de productos
19/28
Pgin
a19
produccin neoclsica, igual en los tres sectores. Asimismo, el parmetro estpresente en las tres funciones y crece a la tasa
.Las condiciones de vaciado del capital, el trabajo y los bienes
manufacturados satisfacen: , (7) , (8)
, (9)La ltima ecuacin supone que el producto del sector de manufacturas se
destina a la inversin en ese sector y al consumo domstico de productos
industrializados.
El vaciado de mercados en el sector de la agricultura y en el de servicios
toma a la forma estndar:
(10)y
(11)
Los mercados en esta economa son competitivos, y se selecciona al precio
de los bienes manufacturados como numerario, que deja al ejercicio con los
siguientes precios a determinar y El consumo agregado implica que los precios de la agricultura y los servicios
satisfacen (recordando que el numerario en el precio de las manufacturas):
() (12)
-
8/3/2019 Cambio tecnolgico modelos con una variedad ampliada de productos
20/28
Pgin
a20
() (13)
La caracterizacin de un mercado competitivo de factores tambin implicaque en el equilibrio el salario y la tasa de inters, se igualan con las tasas
marginales del trabajo y del capital respectivamente, que en este caso adems se
cumple para los tres sectores caracterizados por funciones idnticas:
( )
( ) ( )
(14)
Ahora, la determinacin de las tasas de inters:
( )
( )
-
8/3/2019 Cambio tecnolgico modelos con una variedad ampliada de productos
21/28
Pgin
a21
( )
(15)Ahora se define a un equilibrio competitivo como un proceso de las
demandas de los factores de tres los sectores, ,que maximizan los beneficios dados losprocesos del total de oferta de capital y trabajo, , ,y el proceso deprecios,
,, que satisfacen las condiciones anteriores de
un equilibrio competitivo dados ; y elproceso del consumo y del capital , que maximizan alas funciones de produccin sujetas a las ecuaciones de vaciado de mercado; y a losprocesos de oferta de trabajo, .
Adicionalmente, se supone que en el inicio existe suficiente capital y
tecnologa para producir ms que el mnimo necesario para el consumo agrcola de
subsistencia:
( ) (16)Ahora en cualquier equilibrio, se satisface para todo t que el ratio de capital
trabajo efectivo o capital por unidad eficiente de trabajo:
(17)Para comprobar lo anterior podemos hacer uso de los criterios de la teora
de la firma, en particular de las curvas isocuantas y de sus implicaciones.
Recordando que una curva isocuanta nos indica todas las combinaciones de los
factores de produccin que producen la misma cantidad de output (son
equivalentes a las curvas de indiferencia) y la Relacin Tcnica de Sustitucin
(equivalente a la relacin marginal de sustitucin) que es la pendiente de la
isocuanta a un nivel de produccin dado, esta es el resultado del ratio de las
productividades marginales de cada input:
-
8/3/2019 Cambio tecnolgico modelos con una variedad ampliada de productos
22/28
Pgin
a22
Grficamente:
Fuente: Andreu Mas-Colell, Michael Dennis Whinston, Jerry R. Green, Microeconomic theory, Oxford University Press, 1995,
pp.140.
Como es fcil de visualizar el proceso de maximizacin implica que la
seleccin de inputs son minimizadoras de costos para cada nivel de output y la
pendiente de la isocuanta es igual al ratio de los precios de los inputs multiplicada
por menos uno.
Con las definiciones anteriores se pueden calcular las relaciones tcnicas de
sustitucin en los tres sectores del problema:
tn tn tn
-
8/3/2019 Cambio tecnolgico modelos con una variedad ampliada de productos
23/28
Pgin
a23
Con las definiciones del equilibrio competitivo del apartado anterior y lossupuestos de partida todas las RTS son iguales, incluso si tienen diferentes niveles
de produccin en cada uno de los sectores, se debe adems tener en cuenta que la
funcin Cobb Douglass es homognea, y en este caso cumple con rendimientos
constantes a escala.
El modelo tiene as dos intuiciones, la primera implica que las relaciones
capital trabajo sern idnticas por que las funciones de produccin son idnticas.La segunda dado el equilibrio de la ecuacin (17) las relaciones de los precios de
equilibrio responden al hecho que los productos marginales del capital y el trabajo
tienen que ser iguales en los tres sectores.
(18)
(19)
b) Plantea el problema del consumidor y desarrllalo hasta encontrar la ecuacin
de Euler del modelo (crecimiento del consumo en manufacturas).
Se sigue con el desarrollo anterior, a partir de las ecuaciones (12), (13),(18)
y (19), para obtener nuevas relaciones entre el consumo de los sectores agrcolas y
de servicios con respecto al de las manufacturas:
El ratio del capital fsico por unidad de
trabajo efectivo se mantiene constante
sin importar las diferencias en el nivel deproduccin, las relaciones tcnicas de
sustitucin son iguales, manteniendo su
proporcin en cada nivel .
-
8/3/2019 Cambio tecnolgico modelos con una variedad ampliada de productos
24/28
Pgin
a24
( )
,y
( )
Con la ecuacin de agregacin de consumo, de la ecuacin (3):
() Sustituyendo al lado de la ecuacin que es constante y con .
Ahora con el supuesto de un consumo agrcola de subsistencia de la
ecuacin(16) se cumple:
.Se puede tener ahora al consumo agrcola y de servicios solamente en
funcin del consumo de manufacturas con (20) y (3):
-
8/3/2019 Cambio tecnolgico modelos con una variedad ampliada de productos
25/28
Pgin
a25
Antes de plantear al problema del consumidor se trabaja con la restriccinpresupuestaria:
Primero se divide para
Ahora se desarrolla :
-
8/3/2019 Cambio tecnolgico modelos con una variedad ampliada de productos
26/28
Pgin
a26
Finalmente se obtiene:
* + Con los resultados anteriores (22) y (25) se puede obtener la ecuacin de
Euler para el sector manufacturero planteando al problema del consumidor como:
Ahora resolvemos planteando al hamiltoniano:
* * + +,o alternativamente, podemos plantear al hamiltoniano de valor presente:
con y
-
8/3/2019 Cambio tecnolgico modelos con una variedad ampliada de productos
27/28
Pgin
a27
(26) con (27)
Aplicando logaritmos y derivando (27) y dividiendo (26) para se tiene:
Finalmente la ecuacin de Euler es:
Bibliografa:
- Andreu Mas-Colell, Michael Dennis Whinston, Jerry R. Green, Microeconomic theory, OxfordUniversity Press, 1995,
- Robert J. Barro, Xavier Sala-i-Martin, (2004), Economic growth, McGraw-Hill Advanced Series inEconomics, MIT Press.
-
Daron Acemoglu, Introduction to modern economic growth, Princeton University Press, 2009.
-
8/3/2019 Cambio tecnolgico modelos con una variedad ampliada de productos
28/28
Pgin
a28
ANEXO