cambio tecnológico modelos con una variedad ampliada de productos

8/3/2019 Cambio tecnolgico modelos con una variedad ampliada de productos

1/28

Pgin

a1

Curso de Macroeconoma IIProblems set No. 2

Cambio tecnolgico: modelos con una variedad ampliada de

productos

Jorge Salgado.

Ejercicio 1: Considera el modelo de expansin en la variedad de productosexplicado en clase e introduce las siguientes polticas:

a) un subsidio a la I+D financiado por lump-sum taxes,b) un subsidio a la compra de inputs financiado por lump-sum taxes,c) un subsidio a la produccin financiado por lump-sum taxes,Plantea el problema de las empresas productoras de producto final, el

problema de los inventores y productores de inputs, el problema del consumidor y

encuentra el equilibrio de mercado en los tres casos. Cul/es de las medidas

hacen que el mercado sea eficiente? Indica el valor que debe tomar el subsidio para

llegar a una solucin eficiente en cada caso.

Solucin:

Se parte por plantear al modelo original de variedades de productos y por

encontrar el equilibrio descentralizado caracterizado por ser un sub-ptimo de

Pareto, en contrastacin con los resultados del problema del planificador, que

muestran mayores tasas de crecimiento del producto, el consumo y de los insumos.

Posteriormente se analiza las implicaciones de poltica por la introduccin de

subsidios en el problema original y cmo ests pueden ser soluciones para

conseguir un equilibrio eficiente en el sentido de Pareto.

Por una parte el sector de productores de bienes finales est caracterizado

por la funcin de produccin:


2/28

Pgin

a2

() (1)

En donde

es el producto final de la

empresa,

representa una

medida de la productividad, al factor trabajo, la cantidad de variedades deinsumos no duraderos () .La expresin anterior separable acumulativa de los bienes

intermedios, implica que los nuevos productos no provocan la obsolescencia de

los anteriores diseos, es decir los insumos tienen productos marginales

independientes (caso opuesto al modelo de calidades de productos).

Se asume que el progreso tecnolgico representa incrementos de , que encada periodo las firmas los consumirn en su totalidad y en las mismas cantidades:

(2)Los productos de todas las firmas son idnticos, y su agregacin

es utilizada para el consumo, la produccin de bienes intermedios y para

incrementar (crear nuevos diseos de bienes ya existentes). Como el sector deproductos finales es competitivo es el salario que recibe y es el precio delos insumos. El beneficio de los productores finales se representa por:

Con la ecuacin (1) se obtiene el producto marginal de que en

competencia perfecta se iguala con .

(3)

Podemos encontrar la elasticidad precio de la demanda con (3):


3/28

Pgin

a3

Del producto marginal del trabajo de la ecuacin (1) se tiene al salario real.

()

(4)Los precios de equilibrio del mercado de bienes finales caracterizan a un

mercado de competencia perfecta con beneficios iguales a cero.

Ahora las empresas de investigacin encargadas de innovar con nuevos

diseos (que suponen un aumento de ) se enfrentan a un proceso en dos etapaspara decidir si venden sus diseos: i) en la primera las empresas resuelven si

destinaran recursos a la invencin, las firmas lo hacen si el valor actual neto de los

beneficios esperados en el futuro es al menos igual a los gasto de investigacin que

se pagan anticipadamente; ii) en la segunda etapa los inventores eligen el precioptimo que determinar el beneficio en cada periodo.

El problema se resuelve por induccin hacia atrs en la etapa dos cuando el

nuevo producto intermedio ya est inventado, este es no rival entre los

productores de bienes finales. Los diseadores mantendrn un monopolio del

diseo por siempre, como un incentivo a este sector.

El valor actual de los rendimientos de la inversin del bien intermedio j-

simo desde la fecha es: (5)

Con una tasa de inters promedio: * + El ingreso de las empresas de I+D est dado por:

(6)


4/28

Pgin

a4

,donde . La ecuacin (6) suponeque el coste marginal y el coste medio son constantes y normalizados a uno. El

costo de produccin de representa una unidad de .El problema de maximizacin de la etapa dos consiste en la determinacin

del precio de monopolio, que ser superior al costo marginal igual a uno:

(7)

, con (8)Utilizando a la ecuacin (3) y (8) obtenemos la cantidad agregada producida

de cada uno de los bienes intermedios que es inferior a la que se producira si el

costo marginal igualase al precio marginal:

(9)Como se mantiene constante en todo momento (tasa de crecimiento igual

a cero) y la cantidad de es idntica para todos los bienes, la cantidad agregadade insumos y de produccin (utilizando a la ecuacin (2) son):

(10)


5/28

Pgin

a5

(11)

Si se reemplaza la ecuacin (8) en las ecuaciones (7) y en la (5) se tiene al

flujo de beneficios en el periodo y el valor actual neto del beneficio del inventoren el momento .

()

(12)

(13)Una vez el innovador determina los precios y las cantidades , considerar

invertir en un nuevo diseo si el valor actual neto de los beneficios esperados es al

menos igual al coste que incurre en su invencin , que ser constante en todos losperiodos y estar en funcin de los diseos anteriores , cuyos efectos puedenfacilitar o agotar las posibilidades de inventos futuros, no obstante, se supone que

los efectos positivos y negativos se anulan.

Adems, se supone que todas las empresas pueden pagar el coste porlo que existen tres posibilidades: i) si , se dedicaran infinitos recursosa la investigacin y desarrollo de nuevos diseos por lo que no se alcanzar un

equilibrio; ii) si no existen incentivos y N se mantiene constante,finalmente si , hay un crecimiento constante del nmero de diseos,escenario que corresponde al equilibrio.

Derivando a la ecuacin (5) con respecto al tiempo y con la condicin de

libre entrada, se obtiene la tasa de rendimiento de los activos:

Con se aplica la Regla de Leibniz1: * +

1


6/28

Pgin

a6

* +

Como en el equilibrio

cuando ,

(14)

De acuerdo a la ecuacin (14), la tecnologa y la composicin del mercado

fijan . Como el valor actual de los beneficios es , en el equilibrio es tambin elvalor de mercado de las empresas de investigacin y desarrollo, con un valor de

mercado agregado de este sector de . Es una situacin semejante al modelo conbienes intermedios duraderos (modelo).

Por ltimo los hogares resuelven su problema de maximizacin de utilidadcon una funcin de utilidad de horizonte infinito2:

(15),sujeto a:

2

La restriccin presupuestaria agregada es:


7/28

Pgin

a7

Con la condicin de transversalidad:

, - El problema del consumidor se resuelve con el siguiente Hamiltoniano:

(16),o alternativamente, podemos plantear al hamiltoniano de valor presente:

con

Resolvemos las condiciones del ejercicio:

(17)

(18),y con la condicin de transversalidad:

(19)Si se deriva a la ecuacin (17) con respecto del tiempo y se reemplaza con la (18) y con se obtiene la ecuacin de Euler, que junto a la condicin de

transversalidad nos conduje al equilibrio de estado estacionario:


8/28

Pgin

a8

Como n es cero L es constante en cada periodo de tiempo, si se resuelve el

problema con variables agregadas se llega:

(20)Con el comportamiento de los tres sectores, se caracteriza al equilibrio en

una economa cerrada, es decir en donde los activos de los consumidores tienenque igualar al valor de mercado agregado de las empresas: , con unatasa de variacin (responde as a la no presencia de bienesintermedios duraderos como el capital).

Se desarrolla nuevamente a la tasa de rendimiento de la ecuacin (14)

reemplazando con la ecuacin (11):

,con

,se tiene:

(21)Como se expres en el problema de los productores de bienes finales el

salario de los hogares es: , con esta expresin y la ecuacin (21) larenta agregada puede expresarse como:


9/28

Pgin

a9

= * + (22)

Y la restriccin presupuestaria de los hogares se trasforma:

(23)Como se encontr anteriormente:

(24)Con la ecuacin de Euler y la tasa de rendimiento de equilibrio de la

ecuacin (14) se tiene a la tasa de crecimiento del consumo, del producto y del

nmero de variedades como en el modelo.

(25)

Finalmente como el consumo cumple con

{

}(26)


10/28

Pgin

a10

Ahora, los resultados anteriores deben ser contrastados con el problema del

planificador social, de tal forma que se puede concluir si el equilibrio

descentralizado es eficiente en el sentido de Pareto.

El planificador social desea maximizar la utilidad del hogar representativo,

sujeto a la restriccin presupuestaria de la economa:

Que corresponde a la misma funcin de produccin que en el problema de

equilibrio competitivo, pero se ha incorporado la condicin de que la cantidad de

bienes intermedios sea la misma para todas las empresas de bienes finales y todos

los productores de insumos.

Se caracterizacin entonces al problema del planificador como:

(

)

La diferencia con respecto al problema de una economa descentralizada

afecta a la determinacin de, la cantidad de bienes intermedios y a 3.

Por una parte existe un diferencial en el producto que da lugar a una

situacin de ineficiencia esttica generada por los precios monoplicos. Por otra3

El problema se resuelve Mathematica, su resolucin se encuentra en el Anexo.


11/28

Pgin

a11

parte tiene lugar un efecto de ineficiencia dinmica ya que existe una mayor tasa

de crecimiento en la economa planificada por que existe un dficit en la tasa de

rendimiento utilizada en la economa descentralizada, que tambin es causado por

la distorsin en precios.

Ahora se evalan las posibilidades de polticas para que el precio alcance alcosto marginal sin eliminar los incentivos para el sector de investigacin y

desarrollo en un contexto descentralizado.

Se procede caracterizando a los tres tipos de subsidios , , y en elmodelo descentralizado que corresponden a contribuciones en el sector de I+D, a

la compra de inputs y a la produccin final .

Inicialmente se plantea al modelo con la presencia de estos tres subsidios,

luego se analiza sus casos particulares en presencia de lump-sum taxes.

Replantemos el problema para los productores de bienes finales con la

incorporacin de :

De la ecuacin () que incorpora subsidios a losbienes finales se obtiene el producto marginal de que en competencia perfectase iguala con

.

Del producto marginal del trabajo se tiene al salario

()

Ahora las empresas de investigacin encargadas de innovar con nuevos

diseos en sus dos fases, se incorpora al subsidio

.


12/28

Pgin

a12

El valor actual de los rendimientos de la inversin del bien intermedio j-

simo desde la fecha es:

Con una tasa de inters promedio: * + El ingreso de las empresas de I+D est dado por que incluye al subsidio :

* +

,donde . La ecuacin delbeneficio que supone al coste marginal y al coste medio constantes y normalizados

a uno. El costo de produccin de representa una unidad de .El problema de maximizacin de la etapa dos consiste en la determinacin

del precio que en el problema sin subsidios era de 1/:

()

, con


13/28

Pgin

a13

El precio que asumen los productores de bienes finales es una funcin

decreciente del subsidio . Reemplazado en la demanda la ecuacin del precio setiene tambin a .

() ()La cantidad producida es una funcin creciente de . Como se

mantiene constante en todo momento (tasa de crecimiento igual a cero) y la

cantidad de es idntica para todos los bienes, la cantidad agregada de insumos yde produccin:

()

()Si se reemplaza en la ecuacin se tiene al flujo de

beneficios en el periodo y el valor actual neto del beneficio del inventor en elmomento

.

() ()

Una vez el innovador determina el precio del diseo, considerar invertir si

el valor actual neto de los beneficios esperados es al menos igual al coste que

incurre en su invencin

. Con la condicin de libre entrada

(crecimiento constante del nmero de diseos, escenario que corresponde alequilibrio). Se obtiene la tasa de rendimiento de los activos y se incluye al

subsidio a la investigacin y desarrollo .Con se aplica la Regla de Leibniz:

* +

* +


14/28

Pgin

a14

Como en el equilibrio cuando ,

()

Por ltimo los hogares resuelven su problema de maximizacin de utilidad

con una funcin de utilidad de horizonte infinito:

El problema del consumidor ahora incorpora a una tasa , que es la fuentede financiamiento de los subsidio, el problema se resuelve con de forma anlogo al

anterior mediante un hamiltoniano. Se advierte que el impuesto no tiene ningn

efecto y se llegar a la ecuacin de Euler previamente obtenida.

,o alternativamente, podemos plantear al hamiltoniano de valor presente:

con

Resolvemos las condiciones del ejercicio:


15/28

Pgin

a15

(17)

,y con la condicin de transversalidad:

Si se deriva a la ecuacin (17) con respecto del tiempo y se reemplaza

con la (18) y con se obtiene la ecuacin de Euler, que junto a la condicin detransversalidad nos conduje al equilibrio de estado estacionario:

Como n es cero L es constante en cada periodo de tiempo, si se resuelve el

problema con variables agregadas se llega:

Con el comportamiento de los tres sectores, se caracteriza al equilibrio enuna economa cerrada, es decir en donde los activos de los consumidores tienen

que igualar al valor de mercado agregado de las empresas: , con unatasa de variacin

(responde as a la no presencia de bienesintermedios duraderos como el capital).

Con la ecuacin de Euler y la tasa de rendimiento de equilibrio se tiene a la

tasa de crecimiento del consumo, del producto y del nmero de variedades.


16/28

Pgin

a16

Una vez planteado el modelo general con subsidios, analizamos el escenario

en donde solo existe . Para conocer su cuanta, igualamos los niveles deproductos intermedios de la economa descentralizada con el subsidio y la delplanificador central.

()

() ()

El aumento de la cantidad de bienes intermedios X provoca una ganancia

esttica y dinmica de eficiencia. En un contexto esttico, con N fijo, el precio de

monopolio implica que el producto marginal de X es superior a su coste de

produccin 1, y por lo tanto la economa no logra maximizar los bienes que pone a

disposicin del consumo. Si se dedicara una mayor produccin a X, el aumento ms

que proporcional de Y significa que el consumo puede aumentar. El aumento del

subsidio implica para la compra de X, permite que la economa se asegure una

ganancia esttica.

El mayor nivel de X tambin permite ganancias dinmicas. El aumento de

las cantidades de bienes intermedios hace aumentar el flujo de beneficios del

monopolio, este aumenta la tasa de rendimiento privado y coincide con la del

planificador central, por lo que tambin se tiene una mayor tasa de crecimiento.

El escenario en donde se implementan subsidios a la produccin de bienes

()

(

) ()


17/28

Pgin

a17

El gobierno debera subsidiar a los productores de bienes en una cuanta de

-1 por unidades vendidas. En ese caso se producirn las mismas cantidades queen el modelo del planificador central. El enunciado adems supone que el subsidioes financiado con lump-sum taxes en los consumidores.

Finalmente para el escenario de subsidios en el sector de I+D, es claro con

las ecuaciones de produccin, que no se tienen efectos. La razn es que cualquier

subsidio ser completamente absorbido por este sector ya que el investigador

reduce su costo neto,. , que crecer en su tamao. La produccin no sale de su

condicin de sub ptimo, no obstante la tasa de crecimiento de la economa puede

crecer al igual que la tasa de rendimiento reducindose la brecha con losresultados del planificador central.

()

Ejercicio 2: Considera el modelo de cambio estructural basado en la ley deEngel4 que vimos en clase y contesta a las siguientes preguntas:

a) Por qu en equilibrio el capital fsico por unidad eficiente de trabajo

(kt=Kt/(XtLt)) es igual en todos los sectores? Escribe las ecuaciones que creas

convenientes y utiliza tus conocimientos de microeconoma para explicar laintuicin utilizando un grfico de las isocuantas.

Se inicia por plantear una aproximacin al modelo de Konsamut, Rebelo y

Xie(2001) sobre cambio estructural. Se considera una economa de horizonte

temporal infinito, con una poblacin que crece exgenamente a la tasa , apartir de un nmero 4

La ley de Engel seala que dadas unas preferencias, si se incrementan los ingresos de un consumidor,

la proporcin del ingreso gastado en alimentos disminuye, incluso si los gastos reales en alimentacinaumentan. En otras palabras, la elasticidad ingreso de la demanda de alimentos es menor que 1.

A esta ley se di el nombre del estadstico Ernst Engel (1821-1896).


18/28

Pgin

a18

(1)El hogar representativo ofrece inelsticamente trabajo y tiene las siguientes

preferencias:

(2)Con , y denota al consumo agregado de productos de tres

diferentes sectores; agrcola, manufacturero y servicios (preferencias tipo Stone-

Geary), como se tiene en la siguiente expresin:

, (3)

, ,

El consumo de bienes agrcolas exige un mnimo de subsistencia , antesde iniciar el consumo de bienes industriales. La presencia de implica que loshogares consumen servicios solo despus de alcanzar un mnimo de consumo de

bienes agrcolas y manufacturas, Se puede tener la intuicin de que representauna dotacin bsica de servicios.

En una economa cerrada, la produccin domstica de cada uno de los

sectores sigue las siguientes funciones de produccin:

( ), (4) ( ), (5) ( ), (6)

, donde , denota el producto en cada uno de los sectores,

, y

son los niveles de trabajo y capital para

.

es el parmetro de productividad neutral a la Hicks. es el aumentador de laproductividad del trabajo. La funcin satisface los supuestos de una funcin de


19/28

Pgin

a19

produccin neoclsica, igual en los tres sectores. Asimismo, el parmetro estpresente en las tres funciones y crece a la tasa

.Las condiciones de vaciado del capital, el trabajo y los bienes

manufacturados satisfacen: , (7) , (8)

, (9)La ltima ecuacin supone que el producto del sector de manufacturas se

destina a la inversin en ese sector y al consumo domstico de productos

industrializados.

El vaciado de mercados en el sector de la agricultura y en el de servicios

toma a la forma estndar:

(10)y

(11)

Los mercados en esta economa son competitivos, y se selecciona al precio

de los bienes manufacturados como numerario, que deja al ejercicio con los

siguientes precios a determinar y El consumo agregado implica que los precios de la agricultura y los servicios

satisfacen (recordando que el numerario en el precio de las manufacturas):

() (12)


20/28

Pgin

a20

() (13)

La caracterizacin de un mercado competitivo de factores tambin implicaque en el equilibrio el salario y la tasa de inters, se igualan con las tasas

marginales del trabajo y del capital respectivamente, que en este caso adems se

cumple para los tres sectores caracterizados por funciones idnticas:

( )

( ) ( )

(14)

Ahora, la determinacin de las tasas de inters:

( )

( )


21/28

Pgin

a21

( )

(15)Ahora se define a un equilibrio competitivo como un proceso de las

demandas de los factores de tres los sectores, ,que maximizan los beneficios dados losprocesos del total de oferta de capital y trabajo, , ,y el proceso deprecios,

,, que satisfacen las condiciones anteriores de

un equilibrio competitivo dados ; y elproceso del consumo y del capital , que maximizan alas funciones de produccin sujetas a las ecuaciones de vaciado de mercado; y a losprocesos de oferta de trabajo, .

Adicionalmente, se supone que en el inicio existe suficiente capital y

tecnologa para producir ms que el mnimo necesario para el consumo agrcola de

subsistencia:

( ) (16)Ahora en cualquier equilibrio, se satisface para todo t que el ratio de capital

trabajo efectivo o capital por unidad eficiente de trabajo:

(17)Para comprobar lo anterior podemos hacer uso de los criterios de la teora

de la firma, en particular de las curvas isocuantas y de sus implicaciones.

Recordando que una curva isocuanta nos indica todas las combinaciones de los

factores de produccin que producen la misma cantidad de output (son

equivalentes a las curvas de indiferencia) y la Relacin Tcnica de Sustitucin

(equivalente a la relacin marginal de sustitucin) que es la pendiente de la

isocuanta a un nivel de produccin dado, esta es el resultado del ratio de las

productividades marginales de cada input:


22/28

Pgin

a22

Grficamente:

Fuente: Andreu Mas-Colell, Michael Dennis Whinston, Jerry R. Green, Microeconomic theory, Oxford University Press, 1995,

pp.140.

Como es fcil de visualizar el proceso de maximizacin implica que la

seleccin de inputs son minimizadoras de costos para cada nivel de output y la

pendiente de la isocuanta es igual al ratio de los precios de los inputs multiplicada

por menos uno.

Con las definiciones anteriores se pueden calcular las relaciones tcnicas de

sustitucin en los tres sectores del problema:

tn tn tn


23/28

Pgin

a23

Con las definiciones del equilibrio competitivo del apartado anterior y lossupuestos de partida todas las RTS son iguales, incluso si tienen diferentes niveles

de produccin en cada uno de los sectores, se debe adems tener en cuenta que la

funcin Cobb Douglass es homognea, y en este caso cumple con rendimientos

constantes a escala.

El modelo tiene as dos intuiciones, la primera implica que las relaciones

capital trabajo sern idnticas por que las funciones de produccin son idnticas.La segunda dado el equilibrio de la ecuacin (17) las relaciones de los precios de

equilibrio responden al hecho que los productos marginales del capital y el trabajo

tienen que ser iguales en los tres sectores.

(18)

(19)

b) Plantea el problema del consumidor y desarrllalo hasta encontrar la ecuacin

de Euler del modelo (crecimiento del consumo en manufacturas).

Se sigue con el desarrollo anterior, a partir de las ecuaciones (12), (13),(18)

y (19), para obtener nuevas relaciones entre el consumo de los sectores agrcolas y

de servicios con respecto al de las manufacturas:

El ratio del capital fsico por unidad de

trabajo efectivo se mantiene constante

sin importar las diferencias en el nivel deproduccin, las relaciones tcnicas de

sustitucin son iguales, manteniendo su

proporcin en cada nivel .


24/28

Pgin

a24

( )

,y

( )

Con la ecuacin de agregacin de consumo, de la ecuacin (3):

() Sustituyendo al lado de la ecuacin que es constante y con .

Ahora con el supuesto de un consumo agrcola de subsistencia de la

ecuacin(16) se cumple:

.Se puede tener ahora al consumo agrcola y de servicios solamente en

funcin del consumo de manufacturas con (20) y (3):


25/28

Pgin

a25

Antes de plantear al problema del consumidor se trabaja con la restriccinpresupuestaria:

Primero se divide para

Ahora se desarrolla :


26/28

Pgin

a26

Finalmente se obtiene:

* + Con los resultados anteriores (22) y (25) se puede obtener la ecuacin de

Euler para el sector manufacturero planteando al problema del consumidor como:

Ahora resolvemos planteando al hamiltoniano:

* * + +,o alternativamente, podemos plantear al hamiltoniano de valor presente:

con y


27/28

Pgin

a27

(26) con (27)

Aplicando logaritmos y derivando (27) y dividiendo (26) para se tiene:

Finalmente la ecuacin de Euler es:

Bibliografa:

- Andreu Mas-Colell, Michael Dennis Whinston, Jerry R. Green, Microeconomic theory, OxfordUniversity Press, 1995,

- Robert J. Barro, Xavier Sala-i-Martin, (2004), Economic growth, McGraw-Hill Advanced Series inEconomics, MIT Press.

-

Daron Acemoglu, Introduction to modern economic growth, Princeton University Press, 2009.


28/28

Pgin

a28

ANEXO

cambio tecnológico modelos con una variedad ampliada de productos

Documents