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7/17/2019 8-Divisibilidad en Z 2012 Primera Parte

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DIVISIBILIDAD EN ( , , , )ℤ + ⋅ ≤ Fundamentos de la Matemática − 2012

Prof. Gustavo Franco - Prof. Daniel Siberio

INTRODUCCIÓN

Pretendemos en esta sección extender a la estructura de los nmeros enteros

varios de los conce!tos vistos ba"o este mismo t#tulo en la estructura de los

naturales$ as# como tambi%n introducir otros conce!tos nuevos. &omen'aremos

!or definir múltiplo ( divisor )

Definición

Dados dos nmeros enteros a ( b$ diremos *ue a es múltiplo de b$ (

notaremos =i

a b si$ ( solo si$ existe un nmero entero q tal *ue = . .a b q

Dados dos nmeros enteros a ( b$ diremos *ue b es divisor de a o *ue b

divide a a $ ( notaremos b a si$ ( solo si$ a es mlti!lo de b.

(1) Prueba *ue si α β α β ∧ ⇒ + ∀ ∈ ℤ$ $ .x a x b x a b

(2) (i) +as relaciones ,es mlti!lo de ( ,divide a definidas en ℤ$ son

relaciones de orden am!lio/

(ii) n + ≤ℕ $ $$ 3 vimos *ue) ∧ ⇔ = .a b b a a b n + ≤ℤ $ $$ 3$ se cum!le

esta !ro!iedad/

(iii) &om!leta !ara *ue la si4uiente sea una !ro!osición verdadera (

demu%strala)

∈

∧ ⇔

ℤ$

...................

a b

a b b a

Definición

&onsideremos ∈ ℤ$ .a b Diremos *ue a ( b son asociados ⇔ ∧ .a b b a

(3) &uáles son los enteros asociados a un nmero entero a /



Divisibilidad en + ⋅ ≤ $ $ $ 3ℤ

Prof. Gustavo Franco - Prof. Daniel Siberio2

Definición

&onsideremos a ∈ ℤ dividendo3 ( b ∈ ℤ divisor3$ tales *ue b ≠ 0 ( =

i

.a b

+lamaremos cociente de la división exacta de a entre b$ al nmero entero q *ue

verifica *ue) = . $a b q ( notaremos) = =) o .a

q a b q b

Parece ra'onable continuar !or definir división entera entre nmeros enteros.

5na !osibilidad !uede ser tomar textualmente la definición vista !ara los

naturales. s decir) = +

⇔ <

a b a bq r

r br q

(4) Si consideráramos la !ro!osición anterior como la definición de

división entera en ℤ$ cuál ser#a el cociente ( el resto de la división entera

de 16 entre 7/ &om!ara tu res!uesta con la de tus com!a8eros$ *u%

!uedes observar/

Teore!

∈

>

ℤ$93

0

a b

b

∃ ∈ = + ∧ ≤ <

ℤ13 $ : 0;3

23 ( son nicos

q r a bq r r b

q r

(") &om!leta la si4uiente demostración)

13 De

&onsideremos el con"unto { }= ∈ = − ∈ℕ ℤ: $ conM m m a bx x . <ntentaremos

!robar *ue M tiene m#nimo ( *ue dic=o m#nimo es r . &omo M es un con"unto

de naturales$ !ara demostrar *ue tiene m#nimo utili'aremos el Princi!io de

>uena ?rdenación)





i3 ⊆ ℕM !or @@@@@.

ii3 Para demostrar *ue ≠ ∅$M distin4uiremos dos casos ≥ ∨ <0 0.a a

Si ≥ 0$a !odemos ase4urar *ue @...∈ $M (a *ue @@@@@@@@@..

Si < 0a ⇒ − ......0.a &omo > 0$b a!licando el teorema de Ar*u#medes1

tenemos *ue) ∃ ∈ − ⇒ −ℕ : ..... ..... .n nb a nb a

scribiendo0

$x n = − tenemos *ue)0

..... ..... ............ .x b a a M ⇒ − ∈ ⇒ ∈ℕ

⇒ ∃ P.>.?.

De i3

m#n . ii3 M Al m#nimo de M lo denominaremos r ( !robaremos *ue

verifica las condiciones ex!uestas en la tesis.

= ⇒ ∈ ⇒ ∈ ∧ ∃ ∈ = ⇒ =ℕ ℤm# n ....... : ............... ................r M r r q r a

Falta an demostrar *ue ≤ <0 .r b

≥ 0$r (a *ue@@@@@ Por lo tanto solo *ueda !robar *ue < $r b lo cual

=aremos !or reducción al absurdo.

Su!on4amos *ue ≥ .r b

≥ ⇒ − ≥ ⇒ ≥ = ⇒ − ∈ ⇒ = − + ∈ℕ..... ............ ...........3 ......... 13 ......r b a bq a b a k a q b

(#) &uál es la contradicción a la *ue se arriba/

($) Demuestra la unicidad de q ( r .

Definición

Sean ∈ ∧ >ℤ$ 0.a b b Beali'ar la división entera de a entre b es encontrar

∈ ℤ$q r tales *ue) = + ∧ ≤ < 0 .a bq r r b

1 Teore! (%e Ar&'e%e)) +

∀ ∈ ∃ ∈ ⋅ >ℝ ℕ$ $ $a b n n a b





No*!

Puede definirse la división entera !ara cual*uier entero b no nulo no solamente

!ara los !ositivos3 sustitu(endo la se4unda condición !or) ≤ <0 .r b

+-I+O CO+.N DIVISOR / +0NI+O CO+.N +.LTILO

Antes de comen'ar con el tratamiento de los temas de esta sección necesitamos

ver$ !or ra'ones t%cnicas$ al4unos conce!tos de estructuras al4ebraicas referidos

a los anillos.

Definición

&onsideremos + $ $3A un anillo conmutativo ( con elemento unidad$ e I un

con"unto no vac#o incluido en A.

Diremos *ue I es un ideal en + ∈ ∀ ∈

+ ⇔ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈

1 2 1 213 $ $

$ $323 . $ $

x x I x x I A

a x I x I a A

() (i) l con"unto de los enteros !ares$ es un ideal en ( )$ $. /+ℤ C el

con"unto de los im!ares/

(ii) >rinda e"em!los de ideales en ( )$ $. .+ℤ

() Prueba *ue si + $ $3A es un anillo conmutativo ( con unidad$ e I un

ideal cual*uiera en + $ $3$A se cum!le *ue)

(i) { }0 ( A son ideales en + $ $3$A cual*uiera *ue sea el anillo de

referencia. Por este motivo se los denominan ideales triviales en A.

(ii) Si ∈ ⇒ − ∈ .x I x I

(iii) 0 ∈ I .

(i) Si ∈ ⇒ =1 .I I A





() { j I es una familia de ideales en $ $3A + ⇒ ∩ j

I es un ideal en $ $3.A +

(i) &onsideremos { }=

1 2$ $...$ pS a a a

un subcon"unto finito deA

( el

con"unto α α =

= ∈ = ∈

∑

1

3 $ $ conp

i i i i

I S x A x a A

ntonces 3I S es un ideal en $ $3$A + al *ue llamaremos ideal

generado !or S .

Definición

Diremos *ue un ideal es principal si está 4enerado !or un con"unto unitario.

As# !or e"em!lo el ideal de los !ares es !rinci!al !ues está 4enerado !or { }2 . Si

un ideal está 4enerado !or { }a anotaremos I a 3 en lu4ar de { }( )I a con el fin de

sim!lificar la notación.

(15) +os e"em!los de ideales en ( )$ $.+ℤ *ue diste en la actividad E3 ii3$

son !rinci!ales/

Teore!

n + ≤ℤ $ $$ 3 todo ideal es !rinci!al.

(11) &om!leta la si4uiente demostración)

De

&onsideremos un ideal I en ( )$ $. .+ℤ Debemos !robar *ue I es !rinci!al.

Distin4uiremos dos casos) { } { }= ∨ ≠0 0 .I I

Si { }= 0 $I entonces @@@@@@@.

{ }≠ 0 $I !robaremos *ue = 3$I I c siendo += ∩ ℤm# n .c I

&omencemos !or !robar *ue existe el m#nimo de +∩ ℤ $I !ara lo cual

utili'aremos el Princi!io de >uena ?rdenación.





13 +∩ ⊆ℤ ℕ$I !ues@@@@@@@@@@@@

23 Probemos a=ora *ue +∩ ≠ ∅ℤ .I

&omo {≠ ⇒ ∃ ∈ ≠0 $ 0.I a I a

Además$ como I es un ideal$ entonces tambi%n − ∈ .a I Por otra !arte$ como

≠ 0$a a o a es !ositivo. n consecuencia@@@@@@... !ertenece a +∩ ℤ .I

Por 13$ 23 ( !or el P.>.?.$ !odemos afirmar *ue +∃ ∩ ℤm# n $I al *ue

denominamos c .

A continuación !robaremos *ue 3 $I c I = !ara lo cual demostraremos la doble

inclusión)

∀ ∈ ⇒ ∈

∀ ∈ ⇒ ∈

i3 3

ii3 3

x I c x I

x I x I c

i3+

∀ ∈ ⇒ = ⋅ ∈ ⇒ ∈ ∀ ∈ ⇒

= ∩ ⇒ ∈

ℤℤ

ℤ es ideal de

3 ....$ con.......$ ..............

&omo m # n I

x I c x a a ac a

c I c I ℤ

ii3 A=ora debemos !robar *ue ∀ ∈ $x I entonces ∈ 3Hx I c o lo *ue es lo mismo

*ue•

= .x c Para ello reali'aremos la división entera de x entre c (

demostraremos *ue el resto es cero.

= +⇒

≤ <

0

x c x cq r

r c r q

A continuación reali'aremos un ra'onamiento !or reducción al absurdo !ara

!robar *ue r = 0. Su!on4amos *ue ≠ 0.r

( )0Si 0 ........ Ir r r ≥≠ ⇒ ∈

( ) ( )....... como

&omo m # n

es un ideal en $ $. ...... ...... ......

......

x I

r x c

c I c I

I cq cq x cq

q

x cq

ℤ

ℤ

+

∈

= −

= ∩ ⇒ ∈

+ ⇒ ∈ ⇒− ∈ ⇒ + − ∈ ⇒∈

⇒ − ∈ ⇒

ℤ

............ ...... ...... .

q I ℤ

+∈ ⇒ ∈ ∩

(12) &uál es la contradicción a la *ue se arriba/

Por lo tanto) 0 3.x cq r

r x cq x I c = +

= ⇒ = ⇒ ∈ JD




Prof. Gustavo Franco - Prof. Daniel SiberioK

No*!

n + ≤ℕ $ $$ 3 definimos) ( )M&D $ 3 má x 3 3 $a b d a d b= ∩ ( lue4o demostramos

*uei3

M&D $ 3ii3 $

D a D ba b D

x x a x b x D

∧= ⇔

∀ ∈ ∧ ⇒ ℕ

n $ $$ 3+ ≤ℤ nos es !osible considerar cual*uiera de las dos !ro!osiciones

anteriores como !osibles definiciones de máximo comn divisor. ?!taremos !or

la se4unda !ara allanar el camino !ara cuando el tema sea tratado en

!olinomiosH (a *ue en esa estructura no se dis!one de una relación de orden ,≤

*ue nos !ermita definir el máximo comn divisor en forma análo4a a como lo

=icimos en + ≤ℕ $ $$ 3.

Por lo tanto veamos el si4uiente)

Teore!

2 2i3

Dados $ $ 0 tal *ue

ii3 $

D a D ba b a b D

x x a x b x D

∧∈ + ≠ ⇒ ∃ ∈

∀ ∈ ∧ ⇒

ℤ ℤℤ

(13) &om!leta la si4uiente demostración.

De

&onsideremos el ideal 4enerado !or { }$a b al *ue notaremos) $ 3.I a b

{ }= ∈ = + ∈ℤ ℤ $ 3 $ $ con $I a b x x pa sb p s

&omo en ℤ todo ideal es !rinci!al$ !odemos afirmar *ue = $ 3 3$I a b I d con

= m# n.....................d Demostraremos *ue ,d es el ,D de la tesisH !ara lo

cual debemos !robar)

i3 ∧ .d a d b

ii3 ∀ ∈ ∧ ⇒ℤ$ .x x a x b x d




Prof. Gustavo Franco - Prof. Daniel SiberioE

i3 ∈ = $ 3 3$a I a b I d (a *ue@@@@@@@@@@@@@@@..

Por lo tanto$ como

•

∈ = ⇒ = ⇒ $ 3 3 ...... ...... .

a I a b I d a a

Análo4amente se demuestra *ue .d b

ii3 ∈ = ⇒ ∃ ∈ =ℤ0 0

3 $ 3 $ tal *ue ....................d I d I a b p s d

Por otra !arte$ ∀ ∈ ∧ ⇒ ⇒ℤ$ ................... .x x a x b x x d

JD

Definición&onsideremos 2 2$ $ 0.a b a b∈ + ≠ℤ Diremos *ue D es máximo común divisor

M&D3 entre a ( b si$ ( solo si) ∧

∀ ∈ ∧ ⇒ ℤ

i3

ii3 $

D a D b

x x a x b x D

(14) ;eniendo en cuenta la demostración del teorema anterior$ !rueba

*ue si D ∈ ℤ

+

es M&D entre dos enteros a ( b no nulos

simultáneamente3$ entonces D se !uede escribir como combinación lineal

de a ( b. s decir) consideremos 2 2$ $ 0.a b a b∈ + ≠ℤ

+∈ ⇒ ∃ ∈ = +ℤes M&D entre ( $ $ .D a b p s D pa sbℤ

l teorema inmediato anterior nos ase4ura la existencia de un máximo comn

divisor entre dos enteros no simultáneamente nulos$ !ero nada nos dice acerca

de su unicidad.

(1") (i) 9alla el máximo comn divisor entre 1 ( 26.

(ii) &om!ara tu res!uesta con la de tus com!a8eros. Ju% observas/




Prof. Gustavo Franco - Prof. Daniel SiberioL

Teore!

&onsideremos 2 2$ $ 0.a b a b∈ + ≠ℤ Si D ( D son M&D entre a ( b$ entonces D (

D son asociados.

De

D es M&D entre a ( b ∧

⇒ ∀ ∈ ∧ ⇒

ℤ

13

$ 23

D a D b

x x a x b x D

D es M&D entre a ( b ∧

⇒ ∀ ∈ ∧ ⇒ ℤN N 73

$ N 63

D a D b

x x a x b x D

(1#) A !artir de las !ro!osiciones 13 a 63$ demuestra *ue ∧N ND D D D

(1$) Prueba *ue)

⇒

es M&D entre (

N es M&D entre (N asociado a

D a b

D a bD D

(1) A !artir del teorema anterior ( de la !ro!osición de la actividad

1K3$ *u% !uedes afirmar en relación a los M&D entre dos enteros a ( b

no nulos simultáneamente3/ Oustifica.

(1) n la actividad 163 !robaste *ue si D ∈ ℤ+

es M&D entre dos

enteros a ( b no nulos simultáneamente3$ entonces D se !uede escribir

como combinación lineal de a ( b$ sucede lo mismo si D ∈ ℤ/

As# como dimos una definición de M&D inde!endiente de la relación ,≤

=aremos lo mismo con la definición de m#nimo comn mlti!lo.





Teore!

93 I$a b ∈ ℤ ;3

• •

• • •

= ∧ =

∃ ∈ ∀ ∈ = ∧ = ⇒ =

ℤℤ

i3tal *ue)

ii3 H

m a m bm

x x a x b x m

De

&onsideremos• •

= ∈ = ∧ =

ℤ$ .H x x a x b

(25) (i) erifica *ue H es un ideal en ( )$ $. .+ℤ

(ii) Si H es un ideal en ( )$ $. $+ℤ *u% !uedes afirmar sobre H /

Por lo tanto) ( )$ 3$ con m#n .m H I m m H +∃ ∈ = = ∩ℤ ℤ

(21) Prueba a continuación *ue se cum!len las !ro!osiciones i3 ( ii3 de la

tesis.

DefiniciónSean a ( b dos enteros no nulos. Diremos *ue m ∈ ℤ 3m es mínimo común

múltiplo mcm3 entre a ( b si$ ( solo si)

• •

• • •

= ∧ =

∀ ∈ = ∧ = ⇒ =

ℤ

i3

ii3 $

m a m b

x x a x b x m

Dados dos enteros a ( b no nulos$ el teorema inmediato anterior nos ase4ura la

existencia de un m#nimo comn mlti!loH nada nos dice acerca de su unicidad.

(22) (i) 9alla el mcm entre 12 ( -1. &om!ara tu res!uesta con la de tus

com!a8eros. Ju% observas/

(ii) Ju% !uedes con"eturar con res!ecto a la cantidad de mcm entre dos

enteros a ( b no nulos/ &ómo son entre s# estos mcm/

(iii) Prueba tu con"etura.





Definición

&onsideremos ∈ ℤ$ .a b Diremos *ue a ( b son primos entre sí si$ ( solo si$ 1

es M&D entre a ( b.

&onsideremos $ 0 1 1.p p p p∈ ≠ ∧ ≠ ∧ ≠ −ℤ Diremos *ue p es primo si$ (

solo si$ { }= − − 3 1$ 1$ $ .d p p p

Teore! %e E'c6i%e

⇒

.( !rimos entre s#

c ab c ba c

De

&omo a ( c son !rimos entre s#$ 1 es M&D entre a ( c . ntonces existen

∈ = +ℤ$ $ 1 .p s pa sc Multi!licando ambos miembros !or b tenemos *ue)

= + .b pba sbc

(23) ;ermina la demostración anterior.

Coro6!rio

∈ ⇒ ∨

$ !rimop pp a p b

p ab

ℤ

(24) Demuestra el corolario anterior.

+7 !c*ii%!%e

( ) Demuestra la si4uiente !ro!osición ) ( !rimos entre s# .

a ba b c

a c b c

1 ⇒

∧





(2) Demuestra)

⇒

es M&D entre ( .

es M&D entre (

a b

D b r r q

D a b

(3) Prueba *ue el al4oritmo de uclides !ara =allar el máximo comn divisor

entre dos naturales$ tambi%n es válido !ara =allar un máximo comn divisor

entre dos enteros.

(4) (i) Anali'a el valor de verdad de la si4uiente !ro!osición)

= ∩ ⇔má x 3 3 es M&D entre ( .

D d a d b D a b

(ii) Si el directo o el rec#!roco es verdadero$ !ru%balo.

(iii) ?curre al4o similar con el mcm/

(") Demuestra *ue si D es M&D entre a ( b$ entonces Dx es M&D entre ax ( bx

( )∈ ℤIcon .x

(#) &om!leta ( demuestra)

⇒

es M&D entre (es M&D entre .....................

D a b D x a

x x b

($) Demuestra *ue si D es M&D entre a ( b

=

⇒ =

N

N

N ( N !rimos entre s#

a Da

b Db

a b

() Prueba *ue si D es M&D entre a ( b −

⇒

− −

es M&D entre (

es M&D entre (

D a b

D a b

() Prueba *ue si m es mcm entre a ( b −

⇒ − −

es mcm entre (

es mcm entre (

m a b

m a b

(15) Demuestra *ue si D es M&D entre a ( b$ ( m es mcm entre a b$

entonces =. . .m D a b

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