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5. Producto interno5.1 DEFINICIN DE PRODUCTO INTERNO
El producto interno, en un e.v. V, es una funcin que se le asigna a cada par
ordenado de vectores
elementos de V, un nmero real:
, que
satisface las siguientes propiedades:
y y y y OBSERVACIONES:
El producto interno puede ser real o complejo, pero siemprenos va a dar un nmero real.
5.2 PRODUCTOS INTERNOS COMUNES O USUALES1. En el
Ejemplo 1:
Encontrar todos los productos internos posibles de los dos vectores dados u,v que
pertenecen a
:
2. En el
Ejemplo 1:
Encontrar todos los productos internos posibles de los dos vectores dados u,v que
pertenecen a :
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3. En el
4. En el
5. En el
Ejemplo 1:
Encontrar , de los dos vectores dados u,v quepertenecen a :
1 0
-2 1
-2 3 -8 3
1 -1 -1 -1
-2 1
3 -1
1 -2 -8 3
0 1 3 -1
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-2 1
3 -1
-2 3 13
1 -1 2
1 0
-2 1
1 -2 5
0 1 1
En general:
5.3 VECTORES ORTOGONALES
Sea (V, k, +,*) en e.v. sobre el cual se ha definido el producto interno
( / ).1. Sean son ortogonales ssi: .2. Si , entonces S se dice ortogonal si todo par de elementos distintos de
S son ortogonales
OBSERVACIONES
y El Ov es ortogonal a cualquier vector pues .y S debe tener por lo menos dos vectores para verificar si es un conjunto
ortogonal
y Al comprobar si todos los productos internos son cero entre losvectores de S, para tener un S conjunto de vectores ortogonales
y Si un conjunto es ortogonal entonces es LIy Si es ortogonal, si a cada vector le
multiplicamos por cualquier escalar, siempre en nuevo conjunto va a ser
ortogonal.
y
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Ejemplo 1:
Dados los vectores que son ortogonales obtener untercer vector w ortogonal a u y v.
Hacemos el producto cruz para encontrar el tercer vector
Ejemplo 2:
Dados los vectores que son ortogonales obtener untercer vector w ortogonal a u y v.
Hacemos el producto cruz para encontrar el tercer vector
5.4 NORMA DE UN VECTORLa longitud, norma o modulo de un vector es igual a la raz cuadrada del
producto interno del mism vector.
Es decir:
Observaciones:
Sea (V, k, +,*) en e.v. sobre el cual se ha definido el producto interno
( / ).
y y
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y llamamos desigualdad triangularEjemplo 1:
Calcular la norma de los siguientes vectores:
a)
b)
c)
5.5 Base ortogonal
Sea (V, k, +,*) en e.v. sobre el cual se ha definido el producto interno
( / ) y S un sub espacio vectorial de V.Es una base ortogonal si:
y Sea S base de Vy Sean los productos internos de dos a dos ortogonales, es decir todos
sus vectores ortogonales entre si.
y Sea LI5.6 Base ortonormal
Sea (V, k, +,*) en e.v. sobre el cual se ha definido el producto interno( / ).
Es una base otonomal si:
y Si en el conjunto ortogonal se llega a comprobar que la norma de cadauno de los vectores es igual a cero
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5.7 PROCESO DE GRAM-SCHMIDPara todo espacio vectorial (V) con producto interno se puede obtener una base que
sea ORTOGONAL y una base , que sea ORTONORMAL. Utilizando el proceso de
Gram-Schmidt.
CLCULO DE , BASE ORTOGONAL
Para calcular una base base que sea ORTOGONAL, es necesario partir de una base B
en un e.v. o un s.e.v.
S, es una base de un e.v V, se puede calcular una baseortogonal, de la siguiente manera:
Sea, la base Ortogonal buscada, entonces procedemos as :
De esta manera se contina hasta completar la base Ortogonal.
CLCULO DE , BASE ORTONORMAL
Para calcular la base Ortonormal, partimos de la base Ortogonal
Sea, la base Ortonormal buscada, entonces procedemos as:
Ejemplo 1:
Encontrar una base B1 ortogonal del sub espacio vectorial W.
Primero encontramos una base de W
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y
y
Ejemplo 3:
A partir de la base B obtener una base ortogonal
Cambiamos el orden de los vectores de la base original
Hacemos el proceso de Gram- Schmid para encontrar una base
y
y
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y
Propiedades:
y y
Tenemos:
5.8 PRODUCTO INTERNO INUSUAL
El producto interno inusual est dado por la siguiente expresin:
Ejemplo
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