5.1 producto interno

8/6/2019 5.1 PRODUCTO INTERNO

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5. Producto interno5.1 DEFINICIN DE PRODUCTO INTERNO

El producto interno, en un e.v. V, es una funcin que se le asigna a cada par

ordenado de vectores

elementos de V, un nmero real:

, que

satisface las siguientes propiedades:

y y y y OBSERVACIONES:

El producto interno puede ser real o complejo, pero siemprenos va a dar un nmero real.

5.2 PRODUCTOS INTERNOS COMUNES O USUALES1. En el

Ejemplo 1:

Encontrar todos los productos internos posibles de los dos vectores dados u,v que

pertenecen a

:

2. En el

Ejemplo 1:

Encontrar todos los productos internos posibles de los dos vectores dados u,v que

pertenecen a :


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3. En el

4. En el

5. En el

Ejemplo 1:

Encontrar , de los dos vectores dados u,v quepertenecen a :

1 0

-2 1

-2 3 -8 3

1 -1 -1 -1

-2 1

3 -1

1 -2 -8 3

0 1 3 -1


3/10

-2 1

3 -1

-2 3 13

1 -1 2

1 0

-2 1

1 -2 5

0 1 1

En general:

5.3 VECTORES ORTOGONALES

Sea (V, k, +,*) en e.v. sobre el cual se ha definido el producto interno

( / ).1. Sean son ortogonales ssi: .2. Si , entonces S se dice ortogonal si todo par de elementos distintos de

S son ortogonales

OBSERVACIONES

y El Ov es ortogonal a cualquier vector pues .y S debe tener por lo menos dos vectores para verificar si es un conjunto

ortogonal

y Al comprobar si todos los productos internos son cero entre losvectores de S, para tener un S conjunto de vectores ortogonales

y Si un conjunto es ortogonal entonces es LIy Si es ortogonal, si a cada vector le

multiplicamos por cualquier escalar, siempre en nuevo conjunto va a ser

ortogonal.

y


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Ejemplo 1:

Dados los vectores que son ortogonales obtener untercer vector w ortogonal a u y v.

Hacemos el producto cruz para encontrar el tercer vector

Ejemplo 2:

Dados los vectores que son ortogonales obtener untercer vector w ortogonal a u y v.

Hacemos el producto cruz para encontrar el tercer vector

5.4 NORMA DE UN VECTORLa longitud, norma o modulo de un vector es igual a la raz cuadrada del

producto interno del mism vector.

Es decir:

Observaciones:


( / ).

y y


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y llamamos desigualdad triangularEjemplo 1:

Calcular la norma de los siguientes vectores:

a)

b)

c)

5.5 Base ortogonal


( / ) y S un sub espacio vectorial de V.Es una base ortogonal si:

y Sea S base de Vy Sean los productos internos de dos a dos ortogonales, es decir todos

sus vectores ortogonales entre si.

y Sea LI5.6 Base ortonormal

Sea (V, k, +,*) en e.v. sobre el cual se ha definido el producto interno( / ).

Es una base otonomal si:

y Si en el conjunto ortogonal se llega a comprobar que la norma de cadauno de los vectores es igual a cero


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5.7 PROCESO DE GRAM-SCHMIDPara todo espacio vectorial (V) con producto interno se puede obtener una base que

sea ORTOGONAL y una base , que sea ORTONORMAL. Utilizando el proceso de

Gram-Schmidt.

CLCULO DE , BASE ORTOGONAL

Para calcular una base base que sea ORTOGONAL, es necesario partir de una base B

en un e.v. o un s.e.v.

S, es una base de un e.v V, se puede calcular una baseortogonal, de la siguiente manera:

Sea, la base Ortogonal buscada, entonces procedemos as :

De esta manera se contina hasta completar la base Ortogonal.

CLCULO DE , BASE ORTONORMAL

Para calcular la base Ortonormal, partimos de la base Ortogonal

Sea, la base Ortonormal buscada, entonces procedemos as:

Ejemplo 1:

Encontrar una base B1 ortogonal del sub espacio vectorial W.

Primero encontramos una base de W


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8/10

y

y

Ejemplo 3:

A partir de la base B obtener una base ortogonal

Cambiamos el orden de los vectores de la base original

Hacemos el proceso de Gram- Schmid para encontrar una base

y

y


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y

Propiedades:

y y

Tenemos:

5.8 PRODUCTO INTERNO INUSUAL

El producto interno inusual est dado por la siguiente expresin:

Ejemplo


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5.1 producto interno

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