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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CURSO DE NIVELACIÓN 2014 (1S)
LECCIÓN 6 – FRANJA 1 GUAYAQUIL, JULIO 21 DE 2014
S O L U C I Ó N y R Ú B R I C A
TEMA 1 (30 puntos) Determine el valor de verdad de cada proposición. Justifique formalmente su respuesta. a) Si 𝑨 es IDEMPOTENTE, entonces 𝐝𝐞𝐭 (𝑨) = 𝟎 o 𝐝𝐞𝐭 𝑨 = 𝟏.
b) Si 𝑨 es una matriz ESCALAR REGULAR de orden 3x3 tal que 𝐝𝐞𝐭 (𝑨) = 𝒙𝟑, entonces se cumple que
𝐝𝐞𝐭 𝑨𝒕 − 𝑨!𝟏𝑨 = 𝒙 + 𝟏 𝟑.
c) Si 𝑿𝟏 y 𝟐𝑿𝟏 son soluciones del sistema de ecuaciones lineales 𝑨𝑿 = 𝑩, entonces el sistema 𝑨𝑿 = 𝑩 es homogéneo.
Solución:
a) Si 𝐴 es idempotente, entonces 𝐴! = 𝐴
→ det (𝐴!) = det 𝐴 → det (𝐴 ∙ 𝐴) = det 𝐴 → det 𝐴 det (𝐴) = det 𝐴 → det 𝐴 det 𝐴 − 1 = 0 → det 𝐴 = 0 ∨ det 𝐴 = 1
∴ La proposición es VERDADERA.
b) Si 𝐴 es escalar y det (𝐴) = 𝑥! , entonces 𝐴 =𝑥 0 00 𝑥 00 0 𝑥
det 𝐴! − 𝐴!!𝐴 = det 𝐴 − 𝐼
= det 𝑥 − 1 0 00 𝑥 − 1 00 0 𝑥 − 1
det 𝐴! − 𝐴!!𝐴 = 𝑥 − 1 ! ∴ La proposición es FALSA.
c) Si 𝑋! y 2𝑋! son soluciones del S.E.L → 𝐴𝑋! = 𝐵 ∧ 𝐴(2𝑋!) = 𝐵
→ 𝐴𝑋! = 𝐵 ∧ 𝐴𝑋! =!!𝐵
→ 𝐴𝑋! − 𝐴𝑋! = 𝐵 − !!𝐵
→ 𝐵 − !!𝐵 = 𝟎, 𝟎 es la matriz nula
→ !!𝐵 = 𝟎
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→ 𝐵 = 2 ∙ 𝟎 → 𝐵 = 𝟎 → 𝐴𝑋 = 𝐵 es equivalente al sistema 𝐴𝑋 = 𝟎
∴ La proposición es VERDADERA.
Rúbrica:
a) Desarrolla un procedimiento adecuado para efectuar la demostración. Califica como verdadera la proposición.
8 puntos 2 puntos
b) Desarrolla un procedimiento adecuado para efectuar la demostración. Califica como falsa la proposición.
8 puntos 2 puntos
c) Desarrolla un procedimiento adecuado para efectuar la demostración. Califica como verdadera la proposición.
8 puntos 2 puntos
TEMA 2 (20 puntos) Sean 𝑨 y 𝑩 matrices regulares tales que 𝑨 =𝟐 𝟏 −𝟐𝟑 𝟐 𝟐−𝟏 𝟐 𝟑
y 𝟐𝑨!𝟏 = 𝟑𝑩.
Determine, de ser posible, 𝑩!𝟏.
Solución: Si 2𝐴!! = 3𝐵 → 2𝐴!!𝐴 = 3𝐵𝐴
→ 2𝐼 = 3𝐵𝐴
→ 𝐵 !!𝐴 = 𝐼
→ 𝐵!! = !!𝐴
→ 𝐵!! =
3 !!
−3!!
3 3
− !!
3 !!
Rúbrica:
Utiliza propiedades de las operaciones matriciales. Determina correctamente los elementos de la matriz solicitada.
11 puntos 9 puntos
TEMA 3 (30 puntos) Determine, de ser posible, los valores de 𝒂 y 𝒃 para que el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
𝟐𝒙𝟏 − 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 = 𝟏𝟑𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 = −𝟏𝟑𝒙𝟏 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟑 = 𝟒−𝒙𝟏 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝒂𝒙𝟑 = 𝟐𝒃
a) Sea inconsistente. b) Tenga solución única. c) Tenga infinitas soluciones.
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Solución:
2𝑥! − 𝑥! + 𝑥! = 13𝑥! + 2𝑥! − 𝑥! = −13𝑥! − 5𝑥! + 4𝑥! = 4−𝑥! − 3𝑥! + 𝑎𝑥! = 2𝑏
2 −1 13 2 −13 −5 4−1 −3 𝑎
1−142𝑏
2 −1 10 7 −5 0 7 −50 −7 2𝑎 + 1
1−5−5
4𝑏 + 1
2 −1 10 7 −5 0 0 2𝑎 − 40 0 0
1−5
4𝑏 − 40
a) Para que el sistema sea inconsistente: 𝑎 = 2 ∧ 𝑏 ≠ 1 b) Para que tenga solución única: 𝑎 ≠ 2 ∧ 𝑏 ∈ ℝ c) Para que tenga infinitas soluciones: 𝑎 = 2 ∧ 𝑏 = 1
Rúbrica:
Aplica correctamente el método de Gauss. 15 puntos a) Realiza el análisis y especifica cuando el sistema es inconsistente. 5 puntos b) Realiza el análisis y especifica cuando el sistema es consistente con solución única. 5 puntos c) Realiza el análisis y especifica cuando el sistema es consistente con infinitas soluciones. 5 puntos
TEMA 4 (20 puntos) Determine, de ser posible, los valores de 𝒂 y 𝒃 para que 𝟓!𝟏𝟎𝒊
𝒂!𝒃𝒊= 𝟒 + 𝟑𝒊
Solución:
5 + 10𝑖 = 4 + 3𝑖 𝑎 − 𝑏𝑖 → 5 + 10𝑖 = 4𝑎 − 4𝑏𝑖 + 3𝑎𝑖 + 3𝑏 → 4𝑎 + 3𝑏 = 5
3𝑎 − 4𝑏 = 10 → 𝑎 = 2 y 𝑏 = −1
Rúbrica:
Plantea las ecuaciones para determinar los valores de a y b. Resuelve correctamente las ecuaciones.
16 puntos 4 puntos