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 ESCUELA  SUPERIOR  POLITÉCNICA  DEL  LITORAL  

FACULTAD  DE  CIENCIAS  NATURALES  Y  MATEMÁTICAS  DEPARTAMENTO  DE  MATEMÁTICAS  CURSO  DE  NIVELACIÓN  2014  (1S)  

LECCIÓN  6  –  FRANJA  1  GUAYAQUIL,  JULIO  21  DE  2014  

 

 S      O      L      U      C      I      Ó      N                    y                  R      Ú      B      R      I      C      A  

 TEMA   1   (30   puntos)   Determine   el   valor   de   verdad   de   cada   proposición.   Justifique   formalmente   su  respuesta.      a) Si  𝑨  es  IDEMPOTENTE,  entonces  𝐝𝐞𝐭  (𝑨) = 𝟎    o  𝐝𝐞𝐭 𝑨 = 𝟏.  

 b) Si  𝑨  es  una  matriz  ESCALAR  REGULAR  de  orden  3x3  tal  que  𝐝𝐞𝐭  (𝑨) = 𝒙𝟑,  entonces  se  cumple  que    

𝐝𝐞𝐭   𝑨𝒕 − 𝑨!𝟏𝑨 = 𝒙 + 𝟏 𝟑.    

c) Si  𝑿𝟏  y  𝟐𝑿𝟏  son  soluciones  del  sistema  de  ecuaciones  lineales  𝑨𝑿 = 𝑩,  entonces  el  sistema  𝑨𝑿 = 𝑩  es  homogéneo.      

Solución:    

a) Si  𝐴  es  idempotente,  entonces    𝐴! = 𝐴    

                                                             →    det  (𝐴!) = det 𝐴                                                                →    det  (𝐴 ∙ 𝐴) = det 𝐴                                                                    →    det 𝐴 det  (𝐴) = det 𝐴                                                                  →    det 𝐴 det 𝐴 − 1 = 0                                                                →    det 𝐴 = 0   ∨  det 𝐴 = 1        

 ∴    La  proposición  es  VERDADERA.    

b) Si  𝐴  es  escalar  y  det  (𝐴) = 𝑥!  ,  entonces  𝐴 =𝑥 0 00 𝑥 00 0 𝑥

     

                       det   𝐴! − 𝐴!!𝐴 = det   𝐴 − 𝐼  

                                                                                                                                                                                                                             = det  𝑥 − 1 0 00 𝑥 − 1 00 0 𝑥 − 1

 

                                                                                                                                                             det   𝐴! − 𝐴!!𝐴 = 𝑥 − 1 !    ∴    La  proposición  es  FALSA.    

c)   Si  𝑋!  y  2𝑋!  son  soluciones  del  S.E.L        →    𝐴𝑋! = 𝐵    ∧    𝐴(2𝑋!) = 𝐵          

                   →    𝐴𝑋! = 𝐵    ∧  𝐴𝑋! =!!𝐵        

                   →    𝐴𝑋! − 𝐴𝑋! = 𝐵 − !!𝐵                    

                   →      𝐵 − !!𝐵   = 𝟎,  𝟎  es  la  matriz  nula              

                   →      !!𝐵 = 𝟎  

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                   →      𝐵 = 2 ∙ 𝟎                      →      𝐵 = 𝟎                      →      𝐴𝑋 = 𝐵  es  equivalente  al  sistema  𝐴𝑋 = 𝟎  

 ∴    La  proposición  es  VERDADERA.    

Rúbrica:    

a) Desarrolla  un  procedimiento  adecuado  para  efectuar  la  demostración.  Califica  como  verdadera  la  proposición.  

8  puntos  2  puntos  

b) Desarrolla  un  procedimiento  adecuado  para  efectuar  la  demostración.  Califica  como  falsa  la  proposición.  

8  puntos  2  puntos  

c) Desarrolla  un  procedimiento  adecuado  para  efectuar  la  demostración.  Califica  como  verdadera  la  proposición.  

8  puntos  2  puntos  

 

TEMA   2   (20   puntos)   Sean   𝑨   y  𝑩   matrices   regulares   tales   que  𝑨 =𝟐 𝟏 −𝟐𝟑 𝟐 𝟐−𝟏 𝟐 𝟑

    y     𝟐𝑨!𝟏 = 𝟑𝑩.  

Determine,  de  ser  posible,    𝑩!𝟏.      

Solución:    Si  2𝐴!! = 3𝐵       →          2𝐴!!𝐴 = 3𝐵𝐴  

                                                         →          2𝐼 = 3𝐵𝐴  

                                                         →        𝐵 !!𝐴 = 𝐼  

                                                         →        𝐵!! = !!𝐴  

                                                         →        𝐵!! =

3 !!

−3!!

3 3

− !!

3 !!

 

 Rúbrica:    

Utiliza  propiedades  de  las  operaciones  matriciales.  Determina  correctamente  los  elementos  de  la  matriz  solicitada.  

11  puntos  9  puntos  

   

TEMA  3   (30  puntos)  Determine,  de  ser  posible,   los  valores  de  𝒂   y  𝒃  para  que  el   siguiente  sistema  de  ecuaciones  lineales:  

 

𝟐𝒙𝟏 − 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 = 𝟏𝟑𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 = −𝟏𝟑𝒙𝟏 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟑 = 𝟒−𝒙𝟏 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝒂𝒙𝟑 = 𝟐𝒃

 

a) Sea  inconsistente.  b) Tenga  solución  única.  c) Tenga  infinitas  soluciones.  

 

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 Solución:  

   

2𝑥! − 𝑥! + 𝑥! = 13𝑥! + 2𝑥! − 𝑥! = −13𝑥! − 5𝑥! + 4𝑥! = 4−𝑥! − 3𝑥! + 𝑎𝑥! = 2𝑏

 

 2 −1 13 2 −13 −5 4−1 −3 𝑎

1−142𝑏

   

2 −1    10 7        −5        0 7 −50 −7 2𝑎 + 1

1−5−5

4𝑏 + 1

   

2 −1    10 7    −5    0 0 2𝑎 − 40 0 0

1−5

4𝑏 − 40

 

   

a) Para  que  el  sistema  sea  inconsistente:  𝑎 = 2  ∧  𝑏 ≠ 1    b) Para  que  tenga  solución  única:  𝑎 ≠ 2  ∧  𝑏 ∈ ℝ    c) Para  que  tenga  infinitas  soluciones:  𝑎 = 2  ∧  𝑏 = 1    

 Rúbrica:    

Aplica  correctamente  el  método  de  Gauss.   15  puntos  a) Realiza  el  análisis  y  especifica  cuando  el  sistema  es  inconsistente.   5  puntos  b) Realiza  el  análisis  y  especifica  cuando  el  sistema  es  consistente  con  solución  única.   5  puntos  c) Realiza  el  análisis  y  especifica  cuando  el  sistema  es  consistente  con  infinitas  soluciones.   5  puntos  

 TEMA  4  (20  puntos)  Determine,  de  ser  posible,  los  valores  de  𝒂  y  𝒃  para  que  𝟓!𝟏𝟎𝒊

𝒂!𝒃𝒊= 𝟒 + 𝟑𝒊      

 Solución:  

             5 + 10𝑖 = 4 + 3𝑖 𝑎 − 𝑏𝑖  →  5 + 10𝑖 = 4𝑎 − 4𝑏𝑖 + 3𝑎𝑖 + 3𝑏  →   4𝑎 + 3𝑏 = 5

3𝑎 − 4𝑏 = 10                    →  𝑎 = 2    y    𝑏 = −1    

Rúbrica:    

Plantea  las  ecuaciones  para  determinar  los  valores  de  a  y  b.  Resuelve  correctamente  las  ecuaciones.  

16  puntos  4  puntos