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Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Introduccion al Calculo
Los numeros reales, axiomas de campo y orden, desigualdades
CNM-107
Departamento de MatematicasFacultad de Ciencias Exactas y Naturales
Universidad de Antioquia
Copyleft c© 2008. Reproduccion permitida bajo los
terminos de la licencia de documentacion libre GNU.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los numeros naturales
Los numeros naturales: Historicamente surgen ante la necesidad decontar o enumerar en las diversas civilizaciones. Informalmentehablando los numeros naturaless son aquellos que sirven para designarel numero de elementos de um conjunto finito.
N = {0, 1, 2, 3, . . .}
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los numeros naturales
Los numeros naturales: Historicamente surgen ante la necesidad decontar o enumerar en las diversas civilizaciones. Informalmentehablando los numeros naturaless son aquellos que sirven para designarel numero de elementos de um conjunto finito.
N = {0, 1, 2, 3, . . .}
En N se definen las operaciones de adicion (+) y multiplicacion (·),
estas operaciones poseen las siguientes propiedades:
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los numeros naturales
Los numeros naturales: Historicamente surgen ante la necesidad decontar o enumerar en las diversas civilizaciones. Informalmentehablando los numeros naturaless son aquellos que sirven para designarel numero de elementos de um conjunto finito.
N = {0, 1, 2, 3, . . .}
En N se definen las operaciones de adicion (+) y multiplicacion (·),
estas operaciones poseen las siguientes propiedades:
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N vale
x = yw = z
o
=⇒ x + w = y + zx · w = y · z
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N vale
x = yw = z
o
=⇒ x + w = y + zx · w = y · z
2 Asosiatividad: Para cada x, y, z ∈ N vale
(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x · (y · z).
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N vale
x = yw = z
o
=⇒ x + w = y + zx · w = y · z
2 Asosiatividad: Para cada x, y, z ∈ N vale
(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x · (y · z).
3 Conmutatividad: Para cada x, y ∈ N vale
x + y = y + x;
x · y = y · x.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N vale
x = yw = z
o
=⇒ x + w = y + zx · w = y · z
2 Asosiatividad: Para cada x, y, z ∈ N vale
(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x · (y · z).
3 Conmutatividad: Para cada x, y ∈ N vale
x + y = y + x;
x · y = y · x.
4 Modulativa: Existen elementos neutros, zero (0) y uno (1) tales quepara cada x ∈ N vale
x + 0 = x = 0 + x;
x · 1 = x = 1 · x.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N vale
x = yw = z
o
=⇒ x + w = y + zx · w = y · z
2 Asosiatividad: Para cada x, y, z ∈ N vale
(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x · (y · z).
3 Conmutatividad: Para cada x, y ∈ N vale
x + y = y + x;
x · y = y · x.
4 Modulativa: Existen elementos neutros, zero (0) y uno (1) tales quepara cada x ∈ N vale
x + 0 = x = 0 + x;
x · 1 = x = 1 · x.
5 Distributiva: Para cada x, y, z ∈ N vale
x · (y + z) = x · y + x · z.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N vale
x = yw = z
o
=⇒ x + w = y + zx · w = y · z
2 Asosiatividad: Para cada x, y, z ∈ N vale
(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x · (y · z).
3 Conmutatividad: Para cada x, y ∈ N vale
x + y = y + x;
x · y = y · x.
4 Modulativa: Existen elementos neutros, zero (0) y uno (1) tales quepara cada x ∈ N vale
x + 0 = x = 0 + x;
x · 1 = x = 1 · x.
5 Distributiva: Para cada x, y, z ∈ N vale
x · (y + z) = x · y + x · z.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los numeros enteros
Los numeros enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matematicas solo con los numeros naturales.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los numeros enteros
Los numeros enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matematicas solo con los numeros naturales.
Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los numeros enteros
Los numeros enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matematicas solo con los numeros naturales.
Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}
N ⊂ Z
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los numeros enteros
Los numeros enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matematicas solo con los numeros naturales.
Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}
N ⊂ Z
En Z estan definidas la adicion + y la multiplicacion ·
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los numeros enteros
Los numeros enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matematicas solo con los numeros naturales.
Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}
N ⊂ Z
En Z estan definidas la adicion + y la multiplicacion ·
La adicion en Z cumple una nueva propiedad (no valida en N)
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Los numeros enteros
Los numeros enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matematicas solo con los numeros naturales.
Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}
N ⊂ Z
En Z estan definidas la adicion + y la multiplicacion ·
La adicion en Z cumple una nueva propiedad (no valida en N)
1 Inverso aditivo: Para cada x ∈ Z, existe un y ∈ Z tal que
x + y = y + x = 0.
El elemento y para el cual x + y = 0 se llama inverso aditivo de x.
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Los numeros enteros
Los numeros enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matematicas solo con los numeros naturales.
Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}
N ⊂ Z
En Z estan definidas la adicion + y la multiplicacion ·
La adicion en Z cumple una nueva propiedad (no valida en N)
1 Inverso aditivo: Para cada x ∈ Z, existe un y ∈ Z tal que
x + y = y + x = 0.
El elemento y para el cual x + y = 0 se llama inverso aditivo de x.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los numeros racionales
Los numeros racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matematicas solo con los numeros enteros.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los numeros racionales
Los numeros racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matematicas solo con los numeros enteros.
Q =nm
n: m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0
o
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los numeros racionales
Los numeros racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matematicas solo con los numeros enteros.
Q =nm
n: m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0
o
Z ⊂ Q
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los numeros racionales
Los numeros racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matematicas solo con los numeros enteros.
Q =nm
n: m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0
o
Z ⊂ Q
En Q estan definidas +, · y cumplen una nueva propiedad
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los numeros racionales
Los numeros racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matematicas solo con los numeros enteros.
Q =nm
n: m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0
o
Z ⊂ Q
En Q estan definidas +, · y cumplen una nueva propiedad
1 Invertividad: Para cada x ∈ Q, existe un unico y ∈ Q tal que
x + y = y + x = 0.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los numeros racionales
Los numeros racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matematicas solo con los numeros enteros.
Q =nm
n: m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0
o
Z ⊂ Q
En Q estan definidas +, · y cumplen una nueva propiedad
1 Invertividad: Para cada x ∈ Q, existe un unico y ∈ Q tal que
x + y = y + x = 0.
Si x 6= 0, existe un unico y ∈ Q tal que
x · y = y · x = 1.
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Los numeros racionales
Los numeros racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matematicas solo con los numeros enteros.
Q =nm
n: m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0
o
Z ⊂ Q
En Q estan definidas +, · y cumplen una nueva propiedad
1 Invertividad: Para cada x ∈ Q, existe un unico y ∈ Q tal que
x + y = y + x = 0.
Si x 6= 0, existe un unico y ∈ Q tal que
x · y = y · x = 1.
Cuando x 6= 0, el numero racional y para el cual x · y = 1, se llama elinverso mutiplicativo de x y se denota por x
−1 o por 1x.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los numeros racionales
Los numeros racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matematicas solo con los numeros enteros.
Q =nm
n: m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0
o
Z ⊂ Q
En Q estan definidas +, · y cumplen una nueva propiedad
1 Invertividad: Para cada x ∈ Q, existe un unico y ∈ Q tal que
x + y = y + x = 0.
Si x 6= 0, existe un unico y ∈ Q tal que
x · y = y · x = 1.
Cuando x 6= 0, el numero racional y para el cual x · y = 1, se llama elinverso mutiplicativo de x y se denota por x
−1 o por 1x.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los numeros irracionales
Los numeros irracionales: Diversos problemas relacionados congeometrıa dieron surgimiento a nuevos numeros cuyas magnitudes soninconmensurables, i.e., no admiten representacion racional. Se denotanpor
Q∗
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los numeros irracionales
Los numeros irracionales: Diversos problemas relacionados congeometrıa dieron surgimiento a nuevos numeros cuyas magnitudes soninconmensurables, i.e., no admiten representacion racional. Se denotanpor
Q∗
Ejemplos de numeros irracionales son
−√
2,√
2,−√
3,√
3,−π, π
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los numeros irracionales
Los numeros irracionales: Diversos problemas relacionados congeometrıa dieron surgimiento a nuevos numeros cuyas magnitudes soninconmensurables, i.e., no admiten representacion racional. Se denotanpor
Q∗
Ejemplos de numeros irracionales son
−√
2,√
2,−√
3,√
3,−π, π
+, · no son operaciones en Q∗
No necesariamente la suma o la multiplicacion de dos numeros irracionaleses de nuevo un numero irracional, por ejemplo
−√
2 +√
2 = 0,√
2 ·√
2 = 2.
Pero 0, 2 no son numeros irracionales.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los numeros irracionales
Los numeros irracionales: Diversos problemas relacionados congeometrıa dieron surgimiento a nuevos numeros cuyas magnitudes soninconmensurables, i.e., no admiten representacion racional. Se denotanpor
Q∗
Ejemplos de numeros irracionales son
−√
2,√
2,−√
3,√
3,−π, π
+, · no son operaciones en Q∗
No necesariamente la suma o la multiplicacion de dos numeros irracionaleses de nuevo un numero irracional, por ejemplo
−√
2 +√
2 = 0,√
2 ·√
2 = 2.
Pero 0, 2 no son numeros irracionales.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los numeros reales
Los de numeros reales: La union del conjunto de los numerosracionales y el conjunto de los numeros irracionales forma el conjuntode los numeros reales, que se denota por R, o sea
R = Q ∪ Q∗.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los numeros reales
Los de numeros reales: La union del conjunto de los numerosracionales y el conjunto de los numeros irracionales forma el conjuntode los numeros reales, que se denota por R, o sea
R = Q ∪ Q∗.
Una representacion geometrica de R es la recta real
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los numeros reales
Los de numeros reales: La union del conjunto de los numerosracionales y el conjunto de los numeros irracionales forma el conjuntode los numeros reales, que se denota por R, o sea
R = Q ∪ Q∗.
Una representacion geometrica de R es la recta real
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los numeros reales
Los de numeros reales: La union del conjunto de los numerosracionales y el conjunto de los numeros irracionales forma el conjuntode los numeros reales, que se denota por R, o sea
R = Q ∪ Q∗.
Una representacion geometrica de R es la recta real
R0 1−1√
2 72
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los numeros reales
Los de numeros reales: La union del conjunto de los numerosracionales y el conjunto de los numeros irracionales forma el conjuntode los numeros reales, que se denota por R, o sea
R = Q ∪ Q∗.
Una representacion geometrica de R es la recta real
R0 1−1√
2 72
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Axiomas de campo
AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ R,
x = yw = z
o
=⇒ x + w = y + zx · w = y · z.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Axiomas de campo
AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ R,
x = yw = z
o
=⇒ x + w = y + zx · w = y · z.
AC2 Asociatividad: Para cada x, y, z ∈ R,
(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x · (y · z).
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Axiomas de campo
AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ R,
x = yw = z
o
=⇒ x + w = y + zx · w = y · z.
AC2 Asociatividad: Para cada x, y, z ∈ R,
(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x · (y · z).
AC3 Conmutatividad: Para cada x, y ∈ R,
x + y = y + x;
x · y = y · x.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Axiomas de campo
AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ R,
x = yw = z
o
=⇒ x + w = y + zx · w = y · z.
AC2 Asociatividad: Para cada x, y, z ∈ R,
(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x · (y · z).
AC3 Conmutatividad: Para cada x, y ∈ R,
x + y = y + x;
x · y = y · x.
AC4 Modulativa: Existen reales cero (0), uno (1) tales que para x ∈ R,
x + 0 = x = 0 + x;
x · 1 = x = 1 · x.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Axiomas de campo
AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ R,
x = yw = z
o
=⇒ x + w = y + zx · w = y · z.
AC2 Asociatividad: Para cada x, y, z ∈ R,
(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x · (y · z).
AC3 Conmutatividad: Para cada x, y ∈ R,
x + y = y + x;
x · y = y · x.
AC4 Modulativa: Existen reales cero (0), uno (1) tales que para x ∈ R,
x + 0 = x = 0 + x;
x · 1 = x = 1 · x.
El real 0 es llamado modulo o elemento neutro para la adicion. Elreal 1 es llamado modulo o elemento neutro para la multiplicacion.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Axiomas de campo
AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ R,
x = yw = z
o
=⇒ x + w = y + zx · w = y · z.
AC2 Asociatividad: Para cada x, y, z ∈ R,
(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x · (y · z).
AC3 Conmutatividad: Para cada x, y ∈ R,
x + y = y + x;
x · y = y · x.
AC4 Modulativa: Existen reales cero (0), uno (1) tales que para x ∈ R,
x + 0 = x = 0 + x;
x · 1 = x = 1 · x.
El real 0 es llamado modulo o elemento neutro para la adicion. Elreal 1 es llamado modulo o elemento neutro para la multiplicacion.
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Axiomas de campo
AC5 Invertividad: Para cada x ∈ R, existe un unico numero real llamadoel inverso aditivo u opuesto de x y denotado por −x, tal que
x + (−x) = 0.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Axiomas de campo
AC5 Invertividad: Para cada x ∈ R, existe un unico numero real llamadoel inverso aditivo u opuesto de x y denotado por −x, tal que
x + (−x) = 0.
Para cada numero real x 6= 0, existe un unico numero real llamado elinverso multiplicativo de x y denotado por x1 o 1
x, tal que
x · x−1 = x · 1
x= 1.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Axiomas de campo
AC5 Invertividad: Para cada x ∈ R, existe un unico numero real llamadoel inverso aditivo u opuesto de x y denotado por −x, tal que
x + (−x) = 0.
Para cada numero real x 6= 0, existe un unico numero real llamado elinverso multiplicativo de x y denotado por x1 o 1
x, tal que
x · x−1 = x · 1
x= 1.
AC6 Distributiva: Para cada x, y, z ∈ R,
x · (y + z) = x · y + x · z.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Axiomas de campo
AC5 Invertividad: Para cada x ∈ R, existe un unico numero real llamadoel inverso aditivo u opuesto de x y denotado por −x, tal que
x + (−x) = 0.
Para cada numero real x 6= 0, existe un unico numero real llamado elinverso multiplicativo de x y denotado por x1 o 1
x, tal que
x · x−1 = x · 1
x= 1.
AC6 Distributiva: Para cada x, y, z ∈ R,
x · (y + z) = x · y + x · z.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Diferencia y Division
Empleando la propiedad de invertividad PC5, se definen las operaciones deresta y division de numeros reales, en efecto para cada x, y ∈ R,
x − y = x + (−y);
Si y 6= 0,x
y= x · 1
y= x · y−1.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Diferencia y Division
Empleando la propiedad de invertividad PC5, se definen las operaciones deresta y division de numeros reales, en efecto para cada x, y ∈ R,
x − y = x + (−y);
Si y 6= 0,x
y= x · 1
y= x · y−1.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la adicion:
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la adicion:
Para cada x, y, z ∈ R,
x + y = x + z =⇒ y = z.
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Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la adicion:
Para cada x, y, z ∈ R,
x + y = x + z =⇒ y = z.
Demostracion:
x + y = x + z Hipotesis
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la adicion:
Para cada x, y, z ∈ R,
x + y = x + z =⇒ y = z.
Demostracion:
x + y = x + z Hipotesis(−x) + x + y = (−x) + x + z (AC1)
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la adicion:
Para cada x, y, z ∈ R,
x + y = x + z =⇒ y = z.
Demostracion:
x + y = x + z Hipotesis(−x) + x + y = (−x) + x + z (AC1)(−x + x) + y = (−x + x) + z (AC2)
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la adicion:
Para cada x, y, z ∈ R,
x + y = x + z =⇒ y = z.
Demostracion:
x + y = x + z Hipotesis(−x) + x + y = (−x) + x + z (AC1)(−x + x) + y = (−x + x) + z (AC2)
0 + y = 0 + z (AC5)
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la adicion:
Para cada x, y, z ∈ R,
x + y = x + z =⇒ y = z.
Demostracion:
x + y = x + z Hipotesis(−x) + x + y = (−x) + x + z (AC1)(−x + x) + y = (−x + x) + z (AC2)
0 + y = 0 + z (AC5)y = z (AC4)
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la adicion:
Para cada x, y, z ∈ R,
x + y = x + z =⇒ y = z.
Demostracion:
x + y = x + z Hipotesis(−x) + x + y = (−x) + x + z (AC1)(−x + x) + y = (−x + x) + z (AC2)
0 + y = 0 + z (AC5)y = z (AC4)
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la multiplicacion:
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la multiplicacion:
Para cada x, y, z ∈ R,
(x 6= 0 ∧ x · y = x · z) =⇒ y = z.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la multiplicacion:
Para cada x, y, z ∈ R,
(x 6= 0 ∧ x · y = x · z) =⇒ y = z.
Demostracion:
x 6= 0 ∧ x · y = x · z Hipotesis
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la multiplicacion:
Para cada x, y, z ∈ R,
(x 6= 0 ∧ x · y = x · z) =⇒ y = z.
Demostracion:
x 6= 0 ∧ x · y = x · z Hipotesis(x−1) · (x · y) = (x−1) · (x · z) (AC1)
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la multiplicacion:
Para cada x, y, z ∈ R,
(x 6= 0 ∧ x · y = x · z) =⇒ y = z.
Demostracion:
x 6= 0 ∧ x · y = x · z Hipotesis(x−1) · (x · y) = (x−1) · (x · z) (AC1)
(x−1 · x) · y = (x−1 · x) · z (AC2)
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la multiplicacion:
Para cada x, y, z ∈ R,
(x 6= 0 ∧ x · y = x · z) =⇒ y = z.
Demostracion:
x 6= 0 ∧ x · y = x · z Hipotesis(x−1) · (x · y) = (x−1) · (x · z) (AC1)
(x−1 · x) · y = (x−1 · x) · z (AC2)1 · y = 1 · z (AC5)
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la multiplicacion:
Para cada x, y, z ∈ R,
(x 6= 0 ∧ x · y = x · z) =⇒ y = z.
Demostracion:
x 6= 0 ∧ x · y = x · z Hipotesis(x−1) · (x · y) = (x−1) · (x · z) (AC1)
(x−1 · x) · y = (x−1 · x) · z (AC2)1 · y = 1 · z (AC5)
y = z (AC4)
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la multiplicacion:
Para cada x, y, z ∈ R,
(x 6= 0 ∧ x · y = x · z) =⇒ y = z.
Demostracion:
x 6= 0 ∧ x · y = x · z Hipotesis(x−1) · (x · y) = (x−1) · (x · z) (AC1)
(x−1 · x) · y = (x−1 · x) · z (AC2)1 · y = 1 · z (AC5)
y = z (AC4)
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Mas consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y ∈ R
x · 0 = 0.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Mas consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y ∈ R
x · 0 = 0.
1 6= 0.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Mas consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y ∈ R
x · 0 = 0.
1 6= 0.
x · y = 0 =⇒ x = 0 ∨ y = 0.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Mas consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y ∈ R
x · 0 = 0.
1 6= 0.
x · y = 0 =⇒ x = 0 ∨ y = 0.
x 6= 0 =⇒ x−1 6= 0.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Mas consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y ∈ R
x · 0 = 0.
1 6= 0.
x · y = 0 =⇒ x = 0 ∨ y = 0.
x 6= 0 =⇒ x−1 6= 0.
−(−x) = x.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Mas consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y ∈ R
x · 0 = 0.
1 6= 0.
x · y = 0 =⇒ x = 0 ∨ y = 0.
x 6= 0 =⇒ x−1 6= 0.
−(−x) = x.
x 6= 0 =⇒ (x−1)−1 = x.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Mas consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y ∈ R
x · 0 = 0.
1 6= 0.
x · y = 0 =⇒ x = 0 ∨ y = 0.
x 6= 0 =⇒ x−1 6= 0.
−(−x) = x.
x 6= 0 =⇒ (x−1)−1 = x.
−(x + y) = (−x) + (−y).
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Mas consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y ∈ R
x · 0 = 0.
1 6= 0.
x · y = 0 =⇒ x = 0 ∨ y = 0.
x 6= 0 =⇒ x−1 6= 0.
−(−x) = x.
x 6= 0 =⇒ (x−1)−1 = x.
−(x + y) = (−x) + (−y).
x 6= 0 ∧ y 6= 0 =⇒ (x · y)−1 = x−1 · y−1.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Mas consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y ∈ R
x · 0 = 0.
1 6= 0.
x · y = 0 =⇒ x = 0 ∨ y = 0.
x 6= 0 =⇒ x−1 6= 0.
−(−x) = x.
x 6= 0 =⇒ (x−1)−1 = x.
−(x + y) = (−x) + (−y).
x 6= 0 ∧ y 6= 0 =⇒ (x · y)−1 = x−1 · y−1.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Mas consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y, z, w ∈ R, y 6= 0, w 6= 0
x
y+
z
w=
x · w + y · zy · w
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Mas consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y, z, w ∈ R, y 6= 0, w 6= 0
x
y+
z
w=
x · w + y · zy · w
x
y· z
w=
x · zy · w
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Mas consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y, z, w ∈ R, y 6= 0, w 6= 0
x
y+
z
w=
x · w + y · zy · w
x
y· z
w=
x · zy · w
−x = (−1) · x
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Mas consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y, z, w ∈ R, y 6= 0, w 6= 0
x
y+
z
w=
x · w + y · zy · w
x
y· z
w=
x · zy · w
−x = (−1) · x
(−x) · (−y) = x · y
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Mas consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y, z, w ∈ R, y 6= 0, w 6= 0
x
y+
z
w=
x · w + y · zy · w
x
y· z
w=
x · zy · w
−x = (−1) · x
(−x) · (−y) = x · y
−(x · y) = (−x) · y = x · (−y)
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Mas consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y, z, w ∈ R, y 6= 0, w 6= 0
x
y+
z
w=
x · w + y · zy · w
x
y· z
w=
x · zy · w
−x = (−1) · x
(−x) · (−y) = x · y
−(x · y) = (−x) · y = x · (−y)
−x
y=
−x
y=
x
−y
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Mas consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y, z, w ∈ R, y 6= 0, w 6= 0
x
y+
z
w=
x · w + y · zy · w
x
y· z
w=
x · zy · w
−x = (−1) · x
(−x) · (−y) = x · y
−(x · y) = (−x) · y = x · (−y)
−x
y=
−x
y=
x
−y
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Reales positivos
Axioma (PO1)
Existe un subconjunto R+ de R tal que
1 Para cada x, y ∈ R+, se tiene que
x + y ∈ R+; x · y ∈ R
+.
2 Para cada x ∈ R, se cumple una y solamente una de las siguientes
proposiciones
x ∈ R+; x = 0; −x ∈ R
+.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Reales positivos
Axioma (PO1)
Existe un subconjunto R+ de R tal que
1 Para cada x, y ∈ R+, se tiene que
x + y ∈ R+; x · y ∈ R
+.
2 Para cada x ∈ R, se cumple una y solamente una de las siguientes
proposiciones
x ∈ R+; x = 0; −x ∈ R
+.
Los elementos del conjunto R+ se llaman reales positivos. Los numerosreales diferentes del cero que no son numeros reales positivos, son llamadosreales negativos, y se denotan por R−.
R = R− ∪ R
+ ∪ {0}.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Reales positivos
Axioma (PO1)
Existe un subconjunto R+ de R tal que
1 Para cada x, y ∈ R+, se tiene que
x + y ∈ R+; x · y ∈ R
+.
2 Para cada x ∈ R, se cumple una y solamente una de las siguientes
proposiciones
x ∈ R+; x = 0; −x ∈ R
+.
Los elementos del conjunto R+ se llaman reales positivos. Los numerosreales diferentes del cero que no son numeros reales positivos, son llamadosreales negativos, y se denotan por R−.
R = R− ∪ R
+ ∪ {0}.
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Reales positivos
Axioma (PO1)
Existe un subconjunto R+ de R tal que
1 Para cada x, y ∈ R+, se tiene que
x + y ∈ R+; x · y ∈ R
+.
2 Para cada x ∈ R, se cumple una y solamente una de las siguientes
proposiciones
x ∈ R+; x = 0; −x ∈ R
+.
Los elementos del conjunto R+ se llaman reales positivos. Los numerosreales diferentes del cero que no son numeros reales positivos, son llamadosreales negativos, y se denotan por R−.
R = R− ∪ R
+ ∪ {0}.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Observacion
Como consecuencia de la notacion y del axioma (PO1) se tiene
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Observacion
Como consecuencia de la notacion y del axioma (PO1) se tiene
0 /∈ R+ ∧ 0 /∈ R
− x ∈ R− ⇐⇒ −x ∈ R
+ (1)
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Observacion
Como consecuencia de la notacion y del axioma (PO1) se tiene
0 /∈ R+ ∧ 0 /∈ R
− x ∈ R− ⇐⇒ −x ∈ R
+ (1)
Reescribiendo PO1
a) La suma y producto de reales positivos es de nuevo un real positivo,
b) Todo numero real es positivo, es el cero o es negativo.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Observacion
Como consecuencia de la notacion y del axioma (PO1) se tiene
0 /∈ R+ ∧ 0 /∈ R
− x ∈ R− ⇐⇒ −x ∈ R
+ (1)
Reescribiendo PO1
a) La suma y producto de reales positivos es de nuevo un real positivo,
b) Todo numero real es positivo, es el cero o es negativo.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Desigualdades
Definicion (Desigualdad)
Si x, y son numeros reales. x < y se lee x es menor que y, se define como
x < y ⇐⇒ y − x ∈ R+. (2)
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Desigualdades
Definicion (Desigualdad)
Si x, y son numeros reales. x < y se lee x es menor que y, se define como
x < y ⇐⇒ y − x ∈ R+. (2)
Observacion
Si en (2) x = 0, se tiene
0 < y ⇐⇒ y − 0 = y ∈ R+.
Luego
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Desigualdades
Definicion (Desigualdad)
Si x, y son numeros reales. x < y se lee x es menor que y, se define como
x < y ⇐⇒ y − x ∈ R+. (2)
Observacion
Si en (2) x = 0, se tiene
0 < y ⇐⇒ y − 0 = y ∈ R+.
LuegoR
+ = {x ∈ R : x > 0}.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Desigualdades
Definicion (Desigualdad)
Si x, y son numeros reales. x < y se lee x es menor que y, se define como
x < y ⇐⇒ y − x ∈ R+. (2)
Observacion
Si en (2) x = 0, se tiene
0 < y ⇐⇒ y − 0 = y ∈ R+.
LuegoR
+ = {x ∈ R : x > 0}.Analogamente si en (2) y = 0 usando (1) se tiene
R− = {x ∈ R : x < 0}.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Desigualdades
Definicion (Desigualdad)
Si x, y son numeros reales. x < y se lee x es menor que y, se define como
x < y ⇐⇒ y − x ∈ R+. (2)
Observacion
Si en (2) x = 0, se tiene
0 < y ⇐⇒ y − 0 = y ∈ R+.
LuegoR
+ = {x ∈ R : x > 0}.Analogamente si en (2) y = 0 usando (1) se tiene
R− = {x ∈ R : x < 0}.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Mas desigualdades
x > y se lee como x es mayor que y
x > y ⇔ x − y ∈ R+
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Mas desigualdades
x > y se lee como x es mayor que y
x > y ⇔ x − y ∈ R+
x ≤ y se lee como x es menor o igual que y
x ≤ y ⇔ y − x ∈ R+ ∨ x = y
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Mas desigualdades
x > y se lee como x es mayor que y
x > y ⇔ x − y ∈ R+
x ≤ y se lee como x es menor o igual que y
x ≤ y ⇔ y − x ∈ R+ ∨ x = y
x ≥ y se lee como x es mayor o igual que y
x ≥ y ⇔ x − y ∈ R+ ∨ x = y
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Mas desigualdades
x > y se lee como x es mayor que y
x > y ⇔ x − y ∈ R+
x ≤ y se lee como x es menor o igual que y
x ≤ y ⇔ y − x ∈ R+ ∨ x = y
x ≥ y se lee como x es mayor o igual que y
x ≥ y ⇔ x − y ∈ R+ ∨ x = y
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de orden
Teorema (Ley de tricotomıa)
Si x, y ∈ R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientes
afirmaciones
x < y; x = y; x > y.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de orden
Teorema (Ley de tricotomıa)
Si x, y ∈ R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientes
afirmaciones
x < y; x = y; x > y.
Demostracion: Como consecuencia del Axioma (PO1) para el numerox − y, se tiene una de las siguientes afirmaciones
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de orden
Teorema (Ley de tricotomıa)
Si x, y ∈ R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientes
afirmaciones
x < y; x = y; x > y.
Demostracion: Como consecuencia del Axioma (PO1) para el numerox − y, se tiene una de las siguientes afirmaciones
x − y ∈ R+; x − y = 0; x − y ∈ R
−;
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de orden
Teorema (Ley de tricotomıa)
Si x, y ∈ R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientes
afirmaciones
x < y; x = y; x > y.
Demostracion: Como consecuencia del Axioma (PO1) para el numerox − y, se tiene una de las siguientes afirmaciones
x − y ∈ R+; x − y = 0; x − y ∈ R
−;
o de forma equivalente,
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de orden
Teorema (Ley de tricotomıa)
Si x, y ∈ R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientes
afirmaciones
x < y; x = y; x > y.
Demostracion: Como consecuencia del Axioma (PO1) para el numerox − y, se tiene una de las siguientes afirmaciones
x − y ∈ R+; x − y = 0; x − y ∈ R
−;
o de forma equivalente,
x < y; x = y; x > y.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de orden
Teorema (Ley de tricotomıa)
Si x, y ∈ R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientes
afirmaciones
x < y; x = y; x > y.
Demostracion: Como consecuencia del Axioma (PO1) para el numerox − y, se tiene una de las siguientes afirmaciones
x − y ∈ R+; x − y = 0; x − y ∈ R
−;
o de forma equivalente,
x < y; x = y; x > y.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de orden
Teorema (Propiedades adicionales)
Transitividad: Para cada x, y, z ∈ R.
(x < y ∧ y < z) =⇒ x < z.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de orden
Teorema (Propiedades adicionales)
Transitividad: Para cada x, y, z ∈ R.
(x < y ∧ y < z) =⇒ x < z.
Monotonıa de la suma: Para cada x, y, z ∈ R.
x < y ⇐⇒ x + z < y + z.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de orden
Teorema (Propiedades adicionales)
Transitividad: Para cada x, y, z ∈ R.
(x < y ∧ y < z) =⇒ x < z.
Monotonıa de la suma: Para cada x, y, z ∈ R.
x < y ⇐⇒ x + z < y + z.
Monotonıa de la multiplicacion: Para cada x, y, z ∈ R.
z > 0 ∧ x < y ⇐⇒ x · z < y · z.
z < 0 ∧ x < y ⇐⇒ x · z > y · z.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de orden
Teorema (Propiedades adicionales)
Transitividad: Para cada x, y, z ∈ R.
(x < y ∧ y < z) =⇒ x < z.
Monotonıa de la suma: Para cada x, y, z ∈ R.
x < y ⇐⇒ x + z < y + z.
Monotonıa de la multiplicacion: Para cada x, y, z ∈ R.
z > 0 ∧ x < y ⇐⇒ x · z < y · z.
z < 0 ∧ x < y ⇐⇒ x · z > y · z.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Propiedades adicionales
Ley de los signos
Para x, y ∈ R.x < 0 ∧ y < 0 =⇒ x · y > 0.
x > 0 ∧ y < 0 =⇒ x · y < 0.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Propiedades adicionales
Ley de los signos
Para x, y ∈ R.x < 0 ∧ y < 0 =⇒ x · y > 0.
x > 0 ∧ y < 0 =⇒ x · y < 0.
Leyes de cuadrados
Para cada x ∈ R, si se escribe x · x = x2, entonces x2 ≥ 0.
Para cada x, y ∈ R+,x < y ⇐⇒ x2 < y2.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Propiedades adicionales
Ley de los signos
Para x, y ∈ R.x < 0 ∧ y < 0 =⇒ x · y > 0.
x > 0 ∧ y < 0 =⇒ x · y < 0.
Leyes de cuadrados
Para cada x ∈ R, si se escribe x · x = x2, entonces x2 ≥ 0.
Para cada x, y ∈ R+,x < y ⇐⇒ x2 < y2.