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UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA

FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

“APUNTES DE CÁLCULO I”

CARLOS ESCOBAR FLORES FERNANDO ZAMORANO GONZALEZ

2ª Edición.

2

Orden en R.

El punto de partida de estos apuntes no debieran ser exactamente los

AXIOMAS DE ORDEN, sino que debiéramos remontarnos más atrás y pensar en el

conjunto de los números reales; a lo mejor sería importante construirlos; pero esto

contribuye muy poco a los objetivos de este curso.

Consideramos por lo tanto los números Reales como “objetos” no definidos

que cumplen ciertos “AXIOMAS”, denotaremos de aquí en adelante por R al conjunto de

los números reales. R está dotado de una estructura Algebraica que incluyen dos

operaciones: adición “”+” y multiplicación “.”. Un primer conjunto de axiomas describe el

comportamiento de estas operaciones:

A. 1 : R es CERRADO bajo Adición.

A. 2 : La Adición en R es ASOCIATIVA.

A. 3 : R posee ELEMENTO NEUTRO ADITIVO.

A. 4 : R posee ELEMENTO INVERSO ADITIVO.

A. 5 : La Adición en R es CONMUTATIVA.

M. 1 : R es CERRADO bajo Multiplicación.

M. 2 : La multiplicación en R es ASOCIATIVA.

M. 3 : R posee ELEMENTO NEUTRO MULTIPLICATIVO.

M. 4 : R posee ELEMENTO INVERSO MULTIPLICATIVO.

M. 5 : La multiplicación en R es CONMUTATIVA.

A. M : En R se cumple la Ley DISTRIBUTIVA.

Luego R ; con “+” y “.” y los once axiomas enunciados anteriormente

forman una estructura de CUERPO.

Con los AXIOMAS DE ORDEN que estudiaremos, en detallo, a

continuación hacen de R un CUERPO ORDENADO.

1.1. Axiomas de Orden.

Existe un subconjunto de R denotado por R

para el cual se cumplen los

siguientes axiomas:

Axioma 1 : (Ley de Tricotomía)

Para todo x R se cumple una y sólo una de las siguientes proposiciones:

a) x R

b) (-x) R

c) x = 0

Axioma 2:

Para todo x, y R se cumple que (x + y) R

es decir R

es cerrado

bajo adición.

Axioma 3:

Para todo x, y R

se cumple que xy R

, es decir R

es cerrado bajo

multiplicación.

3

En lo que sigue llamaremos a R el conjunto de números reales positivos.

A continuación definiremos una relación de Orden en R en término de R .

Def. 1.1.1.: Si a, b R, entonces a > b significa que (a – b) R y diremos

que “a es mayor que b”.

Puede darse una definición similar para “a < b” (léase; “a menor que b” o “b mayor que

a”).

Nota 1.1.1.

x > 0 si y sólo si (x – 0) = x R lo cual significa que R está

formado por los números reales que son mayores que cero, es decir R

= { x R / x > 0}.

Se define R al conjunto R = {x R / x < 0 }.

Así : R = R U R U { 0 }

Def. 1.1.2. Si a, b R, entonces:

i) a b ( a b v a = b )

Def. 1.1.3. Una desigualdad es un par de expresiones relacionadas por cualquiera de los

símbolos: <; ; > ; .

Presentaremos a continuación algunas propiedades básicas en las desigualdades.

P - 1. Si a, b R entonces se cumple una y sólo una de las siguientes

proposiciones:

i) a b

iii) a = b

Demostración:

Sea x = (b - a), es claro que x R

Como x R, por axioma 1, se cumple una y sólo una de las siguientes proposiciones:

1) x R

2) -x R

3) x = 0

Si x R (b - a) R

a b

Si x 0 b - a = 0 a = b

P - 2. ( Transitividad )

Sean a, b, c R

Si ( a < b b < c ) a < c

4

Demostración.

a < b ( b – a ) R

b < c ( c – b ) R

Como ( b - a ) ( c – b ) R , entonces por axioma 2

( b - a ) + ( c – b ) R , es decir ( c – a ) R , lo que significa, por

definición, que a < c

P - 3.

Sean a, b, c R

Si a < b ( a + c ) < ( b + c )

Demostración: De la hipótesis tenemos:

( b – a ) R

( b – a + 0) R

( b – a ) + ( c – c ) R

( b + c ) - ( a + c ) R

lo que significa, por definición, que

( a + c ) < ( b + c )

En esta demostración se utilizaron algunos axiomas de cuerpo de los números

Reales.

P - 4.

Sean a, b, c, d R

Si ( a < b y c < d ) ( a + c ) < ( b + d )

Demostración:

De la hipótesis tenemos:

i) ( b – a ) R

ii) ( d – c ) R

Por axioma 2 se tiene que :

( b - a ) + ( d - c ) R

es decir

( b - a + d - c ) R

o

( b + d ) - ( a + c ) R

lo que significa, por definición, que

( a + c ) < ( b + d )

P - 5.

Sean a, b, c R

Si a 0 ac < bc

Demostración:

De la hipótesis tenemos que :

i) c R

ii) ( b - a ) R

5

Por axioma 3 ( b – a ) c R , es decir,( bc - ac ) R lo que significa,

por definición, que ac < bc

P - 6.

Sean a, b, c R

Si a > b y c < o ac < bc

Demostración: (Propuesta como ejercicio ).

Las propiedades 5 y 6 nos dicen respectivamente que:

“Si se multiplica una desigualdad por un número positivo, el sentido de la desigualdad se

mantiene”, “Si se multiplica una desigualdad por un número negativo, el sentido de la

desigualdad cambia”.

P - 7.

Sean a, b, c, d R

Si ( o < a o, entonces por propiedad 5

ac < bc (1)

Análogamente de la hipótesis c < d y b > c, entonces por propiedad 5

bc < cd (2)

De (1) y (2) y por propiedad 2 (propiedad transitiva) se concluye que ac < cd.

P - 8.

Si a R a2

o

Demostración:

a R, entonces por axioma 1, se cumple una y sólo una de las siguientes

proposiciones:

i) a > o

ii) -a > o

iii) a = o

Si a > o por axioma 3, a . a > o, es decir, a2

> o

Si -a > o por axioma 3, (-a) (-a) > o, es decir, a2

> o

Si a = o , entonces a2

= o

En cualquiera de los tres casos a2 o

Como consecuencia de la propiedad anterior se deduce que 1 > o, en efecto,

1 = 12 > 0

6

P - 9.

Sea a R.

Si a > o a

1 > o

Demostración:

Supongamos que a

1 no es positivo, como

a

1 no puede ser cero, se debe cumplir

que a

1 < o.

(a

1 < o y a > o ) a .

a

1 < o ( propied. 5 ), es decir, 1 < o.

Se ha llegado a una contradicción (con el hecho demostrado que 1 > o ) al suponer que

a

1 no es positivo, por lo tanto

a

1 > o.

P - 10.

Sean a, b R.

Si o < a 

b

1

Demostración:

a > o a

1 > o propiedad 9 (1)

b > o b

1 > o propiedad 9 (2)

De (1) y (2) y axioma 3 , ab

1 > o.

(a o ) a .

ab

1 b > o an

> bn

> o

En la demostración de esta propiedad se utiliza Inducción Matemática y la

propiedad 7

Se deja al alumno la demostración.

En los siguientes ejemplos ilustraremos como estas propiedades básicas pueden ser

aplicadas.

Ejemplo 1.1.1.

Si x, y R

7

Demostrar que x

y

3 1 -

y

x

4

3

Al intentar resolver ejercicios como éstos se recomienda buscar un “punto de

partida” que sirva como orientación para realizar la demostración formal. La búsqueda del

“punto de partida” consiste en partir de la tesis para llegar, a través de aplicaciones

adecuadas de las propiedades básicas, a una expresión claramente verdadera.

“Buscando el punto de partida”:

x

y

3 1 -

y

x

4

3 /. 12xy > 0

multiplicando la desigualdad por 12 xy, teniendo en cuenta que el sentido de la desigualdad

no se altera puesto que 12 xy > 0 (propiedad 5 ) se tiene:

4 y 2 12 xy - 9 x 2

sumando a ambos miembros de esta última desigualdad la expresión -12xy + 9x2

(por propiedad 3 ) se obtiene:

4 y2 - 12 xy + 9 x

2 0 o

(2 y - 3 x)2 0 expresión claramente verdadera por propiedad 8.

En consecuencia nuestro “punto de partida” será : (2y - 3x)2

.

Demostración formal:

Por propiedad 8 : (2 y - 3 x)2

0

Desarrollando el cuadro de binomio:

4 y2 - 12 xy + 9 x

2 0

sumando a ambos miembros la expresión 12 xy - 9 x2

:

4 y2 12 xy - 9 x

2

multiplicando por xy12

1 > 0 por propiedad 5 :

y

x

x

y

4

31

3

Ejemplo 1.1.2.

Sean a, b, c R

Demostrar que a2+ b

2 + c

2 ab + ac + bc

8

Demostración formal:

Se deja al alumno, como ejercicio, verificar el “punto de partida” de esta

demostración.

(a – b) 2 + (a – c) 2 + (b – c) 2 0 ¿ Por qué ?

desarrollando el cuadrado de los binomios:

a 2 - 2ab + b 2 + a 2 - 2ac + c 2 + b 2 - 2bc + c 2 0 o

2a 2 + 2b 2 + 2c 2 - 2ab – 2ac – 2bc 0 o

2 ( a2 + b

2 + c

2) – 2 ( ab + ac + bc ) .0

multiplicando por ½ > 0 :

a2 + b

2 + c

2 - (ab + ac + bc ) 0

sumando a esta última desigualdad la expresión ab + ac + bc ( a cada miembro):

a2 + b

2 + c

2 ab + ac + bc

Ejercicios propuestos 1.1.1

Probar las siguientes proposiciones:

1.- Si x

0 x2 +

2

9

x 6

2.- Si x > 0 y > 0

x

y

y

x 2

¿En qué caso se produce la igualdad ?

3.- Si x > 0 y > 0 23

5

5

3

x

y

y

x

4.- x, y R xy

yx

2

5.- x R x + x

1 2

6.- Sean x, y, z, w R

Si y

x <

w

z = >

y

x <

wy

zx

<

w

z

7.- Sean x, y R

9

Si A = 2

1 ( x + y ) (Media Aritmética)

G = xy (Media Geométrica)

yxH

11

2

11 (Media Harmónica)

Demostrar que A G H.

¿ Cuándo se cumple la igualdad?

8.- Si x, y, z R U 0 3

33xyz

xzyzxyzyx

9.- Si x > 0 x3 +

2

2

3

11

xx

x

¿ Cuándo ocurre la igualdad ?

10.- Si x > 0 x < 1 x2

< x

11.- Si y > 0 x < y + 1 y

x>

1

1

x

y

12.- Si x > y z < 0 z

x <

z

y

13.- Si x < y < 0 y

1 <

x

1

14.- Si x > 0 xn

> 0 n N

15.- Sea p Q , p > 0

Si x > 0 xp

> 0

16.- Sean x , y R

y p Q ; p > 0

Si x < y xp

< yp

17.- Si x, y R yx < yx

18.- Si x, y R x > xy > y

10

INTERVALOS:

Def. 1.1.4. Llamaremos eje numérico a una recta infinita en el cual se ha dispuesto:

- Un punto 0 que llamaremos origen.

- Un sentido positivo que se indica con una flecha.

- Una escala o unidad de Medida.

Los números reales se pueden representar mediante puntos del eje numérico dispuesto en

posición horizontal, considerando positivo el sentido de izquierda a derecha. (Figura 1)

_______________________________|__________________________________

0

Si un número a 1 es positivo se representará por un punto p 1 situado a la derecha del

origen 0 y a una distancia OP 1 = a1 . Si un número a 2 es negativo se representará por

un punto P 2 situado a la izquierda del origen 0 y a una distancia OP 2 = -a 2 . El punto 0

representará el número cero.

(Ver figura 2)

_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Entre todos los números reales y todos los puntos del eje numérico, descrito anteriormente,

existe una relación uno a uno: A cada número real le corresponde un solo punto que lo

representa en el eje numérico, y , recíprocamente, a cada punto le corresponde un solo

número.

Es claro que en el eje numérico existe una relación de orden entre los puntos, que

corresponde a la de los números reales.

A continuación describiremos conjuntos de puntos en el eje numérico de los

números reales, estableciendo una cierta propiedad, los que llamaremos “INTERVALOS”.

Def. 1.1.5. Sean a, b R definimos:

i) (a, b) = bxaRx / INTERVALO ABIERTO

2i) bxaRxba /, INTERVALO CERRADO

3i) (a, b] = bxaRx /

4i) [a, b) = bxaRx /

5i) ( -00, a] = axRx /

6i) ( -00, a) = axRx /

7i) [ a, 00) = axRx /

8i) ( a, 00 ) = axRx /

Figura 1

Figura 2

11

Podemos notar que en el Intervalo Cerrado [ a, b] los puntos terminales, a y b,

son puntos del conjunto; en el Intervalo Abierto, ninguno de los puntos terminales se

incluyen solamente uno de los puntos terminales llamaremos a estos conjuntos Intervalos

Semiabiertos (conjuntos 3i, 4i,, 5i, 7i ); los conjuntos 5i, 6i,, 7i, 8i se llaman Intervalos

Semi-infinitos.

Al hacer un esquema de un intervalo indicaremos por círculos pequeños los puntos

terminales. Y si incluye el punto terminal, el interior del círculo es negro; si no se incluye

el punto terminal el interior del círculo es blanco. (Figura 3)

[ a, b] _____ 0 ______________________ 0 ____________

a b

( a, b] _____ 0 ______________________ 0 _____________

a b

[ a, b ) _____ 0 ___________________________________

a b

( a, b ) _____ 0 ____________________________________

a b

( 00, a ] ___________________ 0 ______________________

a

( -00, a ) ____________________ 0 ______________________

a

[ a , 00 ) ________ 0 __________________________________

a

( a, 00 ) ________ 0 __________________________________

a Figura 3.

Existen otras formas, también adecuadas, para esquematizar intervalos en el eje numérico

real.

Nota 1.1.2:

i) x ( a, b ) a < x < b ( a < x ^ x < b )

2i) x [ a , b ] a x b ( a x ^ x b )

3i) x ( a, b ] a < x b ( a < x ^ x b )

4i) x [ a, b ] a x b ( a x ^ x < b )

5i) x ( -00, a ] x a

6i) x ( -00, a ) x a

12

7i) x [ a,

00 ) x > a

8i) x ( a,

00 ) x > a

Las operaciones de conjuntos también se pueden realizar entre intervalos.

Ejemplo 1.1.3:

Si A = ( -2, 8 ] , B = (0,10) y C = ( -1, 00 )

Determinaremos

a) A B b) A U C c) B c

a) BxAxBAx

10,08,2 xx

10082 xx

10082 xxxx

10802 xxxx

10802 xxxx

80 xx

80 x

8,0 x

luego 8,0BA

b) CxVAxCUAx

00,18,2 xvx

182 xvx

182 xvxx

1812 vxxxvx

Rxx 2

2 x

00,2 x

luego 00,2 AUC

c) BxBx c

10,0 x

100 vxx

00,100,00 vxx

00,100,00 x

13

Resulta sencillo realizar estas operaciones esquemáticamente:

a) ;10,08,2

__________________|_______________________________ 8,2

-2 o 8

_________________________________________________ 10,0

o 10

_________________________________________________ 8,010,08,2

o 8

b) :00,18,2

__________________|_______________________________ 8,2

-2 8

__________________________________________________ 00,1

-1

__________________|_____________________________ 00,200,18,2

-2 -1 o

c) :10,0c

________________________________________________ 10,0

o 10

__________________________________________________ ooooc ,100,10,0

o 10

14

Inecuaciones

Def. 1.1.6.- Una Inecuación es una desigualdad que contiene una o más incógnitas.

Resolver una Inecuación consiste en determinar el conjunto de valores de la incógnita (o

incógnitas), para los cuales la desigualdad se satisface, al que llamaremos conjunto solución

de la inecuación.

No existe una regla general para resolver los diferentes tipos de Inecuaciones. A

continuación se ilustrarán con algunos ejemplos como resolver ciertas inecuaciones.

Ejemplo 1.1.4

a) Resolver 2477 xx

Como en las ecuaciones, aquí trataremos de “despejar” la incógnita x, empleando

adecuadamente las propiedades de orden estudiadas anteriormente:

sumando ambos miembros de la desigualdad la expresión 74 x por propiedad 3

la inecuación queda 74242477 xxxx

realizando las respectivas operaciones:

53 x

multiplicando la Inecuación por 03

1 por propiedad 5

tenemos 3

5x

luego el conjunto solución es

00;

3

5S

La manera de resolver una Inecuación Cuadrática no guarda ninguna relación con la

fórmula utilizada para resolver una ecuación cuadrática, como se ilustrará en el siguiente

ejemplo:

b) Resolver 0342 xx

Para resolver esta inecuación la expresamos en una forma equivalente mediante

factorización:

031 xx

pero

03010301031 XXvxxxx

3131 xxvXX

31 vxx

3,0000,1 vxx

3;0000;1 x

luego 00;13;00 S

15

Otro Método:

- El factor 1x es cero cuando 1x ; para

01,1 xx y para

011 xx .

- El factor 3x es cero cuando 3x ; para

033 xx y para

033 xx .

Estas conclusiones las podemos resumir en el siguiente cuadro, el que nos permite obtener

el conjunto solución S rápidamente.

- -3 -1 +

3x - + +

1x - - +

13 xx + - +

Luego 03413 2 xxxx cuando

,00,13,00 x

es decir,

.00,13,00 S

c) Resolver 3

21

x

x

x

x (1)

Por desconocer el signo que toma el producto 3xx no es conveniente multiplicar la

Inecuación por él, como se haría en una ecuación racional, al hacerlo no sabríamos que

sentido toma la desigualdad, de acuerdo con las propiedades 5 y 6.

Para resolver esta inecuación podemos proceder de la siguiente manera:

Sumando a ambos miembros de la inecuación la expresión 3

2

x

x , y aplicando

la propiedad 3 se tiene:

03

21

x

x

x

x

16

Realizando operaciones:

03

231

xx

xxxx o

0

3

234 22

xx

xxxxx o

03

123

xx

x (2)

Resolver la Inecuación (1) es equivalente a resolver la Inecuación (2) por lo tanto la

solución de la Inecuación (1) será el conjunto solución de la inecuación (2).

Resolveremos la Inecuación (2) con la ayuda de un cuadro análogo al del ejemplo

1.1.4 parte b)

- -3 2

1 0 +

3x - + + +

12 x - - + +

x - - - +

3

12

xx

x

- + - +

Luego 00,02

1,3

S

Valor Absoluto.

Definición 1.1.7. El “Valor Absoluto” de un número real xx se define como:

0; xsix

´x

0; xsix

Presentamos a continuación algunas propiedades del Valor Absoluto de un número real.

P - 1. 0, xRxV

Demostración.

Sea ,Rx entonces por ley de tricotomía

i) 0x

2i) 0 x

3i) 0x

17

- Si 0x , por definición , 0 xx

- Si 0 x ; entonces 0x y por definición 0 xx

- Si 0x , por definición 0x

En cualquier caso 0x

P - 2. 00 xx

Demostración.

i) 00 xx

Supongamos que 0x , entonces, 00 xvx

Si 0;0 xxx

Si 0;0 xxx

En ambos casos existe contradicción con la hipótesis

0 x

ii) 00 xx

Basta aplicar definición.

P - 3. Sea ,Rx entonces 2xx

Demostración.

Rx , entonces por ley de Tricotomía,

i) 0x

2i) 0 x

3i) 0x

- Si 0x , entonces xxxyx 2 luego

2xx

- Si 0 x , entonces xxyxxx 2;0 luego 2xx

- Si 0x , entonces 00 2 xyx luego 2xx

en cualquiera de los tres casos 2xx

18

P. – 4. Sean ,, Ryx entonces yxxy

Demostración

yxyxyxyxyx 22222

P. - 5. Sean ,0,, yRyx entonces y

x

y

x

Demostración (Ejercicio)

P. – 6. Sean ,Rx entonces xx


P. - 7. Sean ,0a entonces

axaax

Demostración

i) axaax

- si ,0x entonces axx y como xa 0

se tiene que axa (1)

- si ,0x entonces ,0 ax se tiene que axa (2)

De (1) y (2) axa

2i) axaxa

- si 0x entonces axx es decir ax

- si 00 xayx se tiene que

,axx es decir .ax

En ambos casos .ax

Luego de (i) y (2i) se tiene que

axaax

P. - 8. Sea 0a , entonces

axvaxax


P. - 9. Sean ,, Ryx entonces:

yxyx

19

Demostración

Son casos triviales cuando:

i) 0 yx

2i) 00 yx

3i) .00 yx

basta demostrar para 00 yex

P - 7

xxxxx (1)

P - 7

)2(yyyyy

además yyy (3)

Al sumar miembro a miembro las desigualdades de (1) y (2)

yxyxyx

de sumar miembro a miembro las desigualdades de (1) y (2)

yxyxyx

de donde por P - 7.

yxyx (4)

Análogamente

yxyx (5)

de (4) y (5) yxyx

P.- 10. Sean ,, Ryx entonces

yxyx

Demostración (Ejercicio).

En los ejemplos siguientes se muestran resoluciones de Inecuaciones que involucran Valor

Absoluto.

Ejemplo 1.1.5

a) Resolver : 23 x

Para resolver este tipo de inecuación usaremos la propiedad 7 de Valor Absoluto, con

:2a

P - 7

23223 xx

20

3232 x

15 x

1,5 x

Luego 1,5 S

b) Resolver .65 x

Análogamente al caso anterior, usando adecuadamente la propiedad 8 de Valor

Absoluto, con ,6a encontraremos su conjunto solución.

656565 xvxx

111 xvx

1,0000,11 xvx

00,111,00 Ux

Luego 00,111,00 US

c) Resolver 124 xx

En esta desigualdad no podemos usar las propiedades 7 y 8 de Valor Absoluto como en

los anteriores.

De acuerdo a la definición de Valor Absoluto:

- si ,04 x entonces 44 xx

Esto nos sugiere que debemos situarnos en dos casos:

CASO I : Si ,04 x es decir, .4x

En este caso 44 xx y la inecuación queda:

124 xx ó

33 x

de donde 1x

Por lo tanto, en este caso debe cumplirse que ,14 xx

esto es 14 x

llamando 1S al conjunto solución para el caso I, tenemos que 1;41 S

CASO II: Si ,04 x es decir, .4x

En este caso 44 xx y la inecuación queda

21

,124 xx esto es ,

124 xx de donde

5x

Se debe cumplir entonces que 54 xyx

esto nos da que .4,002 S

Finalmente como puede darse el caso I ó el caso II, el conjunto solución S para la

Inecuación propuesta estará dada por .21 SUS

Luego 1,001,44,00 US

d) Resolver 1212 xx

De acuerdo a la definición de Valor Absoluto


- si ,012 x entonces xx 2112


- si ,02 x entonces xx 22

El número de casos a considerar queda visualizado mediante el siguiente cuadro:

½ 2

¿ Por qué ?

CASO I: Si .2

1x

En este caso xx 2112

xx 22 y la inecuación propuesta queda

1221 xx

0x

de donde

2

1,002

11 Sxx

CASO II : Si 22

1 x

En este caso 1212 xx

xx 22

y la inecuación propuesta queda

12 x - + +

2x - - +

22

1212 xx

de donde 3

2x

32,2

13

222

12Sxx

CASO III : Si 2x

En este caso 1212 xx

22 xx

.y la inecuación propuesta queda

1212 xx

de donde 2x

322 Sxx

Luego 0

32,2

12

1,0321 UUSUSUSS

.3

2,0

e) Demostrar la siguiente proposición:

si .2

11

112

xx

Este tipo de Demostración se usa frecuentemente en el estudio de límite de funciones.

Demostración.

Si 12112 xx (Propiedad 7 de Valor Absoluto)

Sumando 3 en cada miembro de ambas desigualdades:

412 x

se puede observar que ,01x por lo tanto 11 xx y entonces

4120 x

de donde 2

11

1

x (Propiedad 10 de desigualdades).

23

Solución Gráfica de Sistemas de Inecuaciones con dos Variables.

Ilustraremos con un ejemplo el procedimiento para resolver gráficamente un sistema

de inecuaciones con dos variables.

Ejemplo 1.1.6.

Resolver gráficamente el siguiente sistema de inecuaciones:

1) 623 yx

2) 22 yx

Solución :

Sean 623/, 2 yxRyxA

22/, 2 yxRyxB

Se puede determinar que el conjunto A está representado gráficamente por el semiplano

abierto (no contiene a la recta; recta segmentada) situado por debajo de la recta de

ecuación ,623 yx notando que cualquier punto, en esta región, (por ejemplo el

origen) satisface la desigualdad .623 yx

Análogamente se determina que el conjunto B está representado gráficamente por el

semiplano cerrado (contiene a la recta) situado por sobre la recta de ecuación .22 yx

La superficie achurada en la figura 4 contiene aquellos puntos que satisfacen

simultáneamente los conjuntos A y B, a decir, la solución gráfica al sistema propuesto.

3x+2y=6

x+2y=2 Figura 4

24

Ejercicios Propuestos 1.1.2.

I. Cuestionario.

1.- Defina los siguientes términos :

a) Intervalo abierto

b) Intervalo cerrado

c) Inecuación

d) Valor Absoluto de un número Real “a”

2.- Demuestre las siguientes propiedades del Valor Absoluto :

a) P – 5 c) P – 8

b) P - 6 d) P – 10

3.- Si bx

11 ¿bajo qué condiciones para x y b se puede concluir

que bx ;00 ? Justifique.

4.- Si bx

11 ¿ bajo qué condiciones para x y b se puede concluir

que 00; bx ? Justifique.

5.- Si 2

11

x ¿ se puede concluir que 2,0x ?

6.- ¿ Es R? x xx

7.- ¿ Es ?Rxxx

8.- ¿ Es posible encontrar 1 xquetalRx ?

9.- Determine y justifique (si es necesario) si es verdadero o falso:

Para babaxabxRbya ,0

II. Resuelva las siguientes inecuaciones:

1. 5

8362

xx ;

7

38;00S

2. xx 2152

3. 92 x ; 3,3S

4. 0232 2 xx

5. 43855 22 xxx ; 2

3;4S

25

6. 11

1

x

7. 1

891

xx ; 3;10;3 S

8.- 12

1

1

18

xx

9. 1

1

2

3

xx ; ;

251,2S

10. 23

23

x

x

11. 25

1

x

x ; 11;5S

12. 13

4

x

x

x

x

13. 1

21

x

x

x

x ; ;1

210S

14. 23

10

515

56

5

3

xxx

15. 21

1

1

12

xx

;

4

171;1

4

171;1S

16. 24

5

2

422

x

x

x

x

xx

x

17. 15 x ; 4;5 S

III. Hallar el conjunto de valores de x que satisfacen las siguientes proposiciones:

1. 1;1;5654 22 Sxxxx

2. 2312 xx

3. 6;57;;352522

2

Sxx

x

IV. Determinar los valores de x para los cuales, las siguientes raíces cuadradas son

números reales.

1. 1x

x ; ,01,S

26

2. 12 x

3. 3

2

x ; 3; S

4. 22

1

x

x

V. Resolver las siguientes Inecuaciones con Valor Absoluto.

1. 101 xx ;

;

2

11S

2. 61 xx ; 2

5;2

7S

3. 232 xxx

4. 412 xx

5. 1 xx ; 2

1;S

6. 53 xx ; 4;1S

7. 222 xx

8. xx 2112

9. xx 362 ; ;41;S

10. 411 xx ; 2;2S

11. 11

1

x

x

12. 62

1

x

x

13. 51

4

x

x ;

;

2

3

4

1;S

14. Hacer la gráfica del conjunto;

5123/, yxyx

27

VI. Demostrar las siguientes proporciones con Valor Absoluto.

1. Si 3

192

185

xx

2. Si 422 10.4014102 xx

3. Si 31

513

x

xx

VII. Resolver gráficamente los siguientes sistemas de inecuaciones con dos variables.

1) 12 yx

3 yx

2x

0x

0y

Respuesta:

2) 1 yx

3 yx

0x

0y

x=2

S

x+y=3

-2x+y=1

Figura 5

28

3) 1 yx

1x

3 yx

Respuesta:

x=1

x+y=3

x-y=1

S

Figura 6

29

1.2. Funciones

El concepto de función es uno de los conceptos fundamentales más importantes de las

Matemáticas. La parte principal de las Matemáticas actual se centra en torno a este

concepto, que es básico para el estudio del Cálculo.

Dedicaremos el resto de esta unidad al estudio de este importantísimo concepto.

Def. 1.2.1.-

i) Una función f de un conjunto A en un conjunto B es una regla que a cada

elemento Ax asocia uno y sólo un elemento f (x) en B.

2i) f (x) es llamado el Valor de f en x o Imagen de x bajo f.

3i) El conjunto A es llamado Dominio de definición de la función f y se

denota por Df.

4i) El conjunto B es llamado Contradominio.

Usaremos la siguiente notación para explicitar el Dominio y Contradominio de la función

f.

BAf :

Ejemplo 1..2.1

i) f : RR y 2xxx

f es la función que a cada real x le asocia su cuadrado 2x , así tenemos que:

RDf además

.22;164;00;11 etcffff

2i) .: xxgyRRg

g es la función que a cada real 0x le asocia su raíz cuadrada positiva.

En esta función ademásRDg

.5,225,6;22;11 etcggg

No todas las funciones están definidas mediante una ecuación, pero son en éstas en las que

centraremos nuestro interés; aún más; trabajaremos con funciones RDff :

llamadas Funciones Reales RDf

Dominio de una Función.

Para funciones definidas mediante una ecuación el Dominio consta de todos aquellos

valores de x para los cuales puede computarse xf , de modo que el resultado sea un

número real. Para el caso, esto implica la exclusión de valores de x que llevan a división

por cero y a las raíces de índice par de números negativos.

30

Cuando definimos una función el Dominio puede ser dado ya sea explícita o

implícitamente, por ejemplo, si se da

23 2 xxf

está implícito que x puede ser cualquier número real .RDf

Sin embargo si se nos da ,101;23 2 xxxf entonces el dominio de f

es 10;1

Análogamente, si g está definida por la ecuación 1

2

x

xxg

está implícito que 1x ya que el cuociente no está definido para 1x

Ejemplo 1.2.2.

1) Sea xxf 1

De acuerdo a lo anterior para determinar el Dominio de esta función debemos encontrar los

valores de x para los cuales .Rxf

Rxf Rx 1

01 x

.1 x

Luego 1;Df

2) Consideremos la función 1

3

x

xxf

Como está determinado un valor de xf por cada valor real de x ; excepto 1x

(¿Por qué?); el Dominio de f consiste de todos los valores reales excepto el 1, esto es,

.1 RDf

3) Sea

11

13

12

xsix

xsi

xsix

xf

En esta función el Dominio está dado explícitamente y de acuerdo a la definición de la

función ., RDff

Rango de una Función.

Def. 1.2.2. Dada una función .: BAf El conjunto de los elementos By

tales que existe Ax (por lo menos uno) tal que .yxf es llamado Conjunto

Imagen de la Función f o Rango de la función f y designado por .AfoRf

31

Los siguientes ejemplos aclaran como determinar el rango de una función definida por una

ecuación.

Ejemplo 1.2.3.

1) Consideremos la función .2,2

1

x

xxf

Sea 2

1;,

xyesestoxfy

Encontrar el Rango de la función f es equivalente a determinar todos los valores

para y cuando .2x

Resolviendo :2

1tienesexpara

xy

21

y

x

x está determinado para cada valor real de y excepto el cero. Luego

.0 RRf

2) Sea xxfy 1

Puesto que se computa la raíz cuadrada no negativa, entonces .0y

Resolviendo la ecuación :1 xparaxy

21 yx

x es un número real cuando y es un número real ; entonces tomando en

cuenta que ;0y concluimos que ;0Rf

Gráfico de una Función.

Def. 1.2.3.

El gráfico Gf de una función se define por:

xfyDfxRyxGf /, 2

El gráfico de una función determina una curva en 2R la cual permite ver el

comportamiento analítico de la función.

Para graficar una función usaremos el sistema cartesiano de coordenadas y como en la

mayor parte de los casos, una adecuada tabla de valores con dos columnas. En la primera

se colocan algunos valores del dominio de la función y en la segunda columna se escriben

los valores correspondientes a la función.

El número de puntos a considerar en esta tabla de valores dependerá de la precisión

que se requiere para el gráfico.

32

Ejemplo 1.2.4. En este ejemplo se muestran algunos gráficos de funciones con sus

respectivas tablas de valores:

a) 12 xxf

x f(x)

-2 3

-1 0

0 -1

1 0

2 3

b) xxf

x f(x)

0 0

1 1

4 2

Figura 7

Figura 8

33

c) x

xf1

x f(x)

-3 -1/3

-2 -1/2

-1 -1

-1/2 -2

-1/3 -3

1/3 3

1/2 2

1 1

2 1/2

3 1/3

Nota 1.2.1.

Del gráfico de una función f se puede determinar el Dominio y Rango de :f

- La proyección del gráfico de f sobre el eje x determina el Dominio de .f

- La proyección del gráfico de f sobre el eje y determina el Rango de .f

Figura 9

34

Ejercicios Propuestos 1.2.1

I Defina los siguientes conceptos:

1. Función

2. Dominio de una función.

3. Rango de una función.

4. Gráfico de una función.

5. Imagen de x bajo la función .f

II 1. Si 1

1

x

xxg , encontrar:

2

10 gg

hgg 212

1

1

31

xgg

2. Si ,3xxh encontrar

xxspxhspoh 3.93:.Re21.Re 2

xspxhsph 3.9:..Re93.Re1

27:.Re1442224957,1.Re3

1 sphhsph

3. Si 132 xxxf

i) ¿Para qué valor de x es ?2xfxf

ii) ¿Para qué valor de x es ?22 xfxf

Resp. : (ii) 2

1

2

121 xyx

4. Si 12 xxf determine:

i)

h

xfhxf ii)

ax

afxf

III. Encontrar el Dominio y Rango de las siguientes funciones:

1. 22 xxf

2. 216 xxh Resp.: 0;4

4;4

Rf

Df

3. 4

3

x

xxg

35

01

0

xsi

xsixxf

4. 1

1

xxF Resp. :

RRf

coDf ;1

5. 1

x

xxH

6. 1x

xxG Resp. :

2;0

0

RG

RDG

7.

01

0

xsi

xsixxf

IV. Bosquejar la gráfica de las siguientes funciones :

1. 216 xxf

2.

01

0

xsi

xsixxf

3. 3 xxf

4.

40

422

23

xsi

xsix

xsi

xg

5. 4

3

x

xxh

6. 1x

xxf

Respuestas:

2.

36

40

422

23

xsi

xsix

xsi

xg

1x

xxf

4.

6) 0 RDf

- si 0,0 xfyxxentoncesx

- si 2,0 xfyxxentoncesx

es decir

02

00

xsi

xsixf

37

V. Dos funciones gyf son iguales si y sólo si

1. comúniododDDg min

2. Dxxgxf

En base a esta definición responda :

¿Son iguales las funciones 1

11

2

x

xxgyxxf ?

Determine el valor de k para el cual las funciones

44

16

4

2

xsi

k

x

x

xgyxxf

Sean iguales. Resp. : 8k

38

1.3 Tipos de Funciones

A. Función BIYECTIVA

Consideremos una función .: BAf Cuando Af coincide con el

contradominio BAf diremos que la función f es sobre.

Generalmente Af no es necesariamente igual al contradominio B ;

por ejemplo RRg : definida por 2xxg se tiene que .0URRg

Por otra parte, elementos distintos del dominio de f pueden tener el mismo valor en el

contradominio, es decir, puede ocurrir que 2121 xfxfyxx como ocurre en

la función ,2xxg la cual, tiene el mismo valor en los puntos .22 y

Una función que transforme elementos distintos del dominio en elementos distintos del

contradominio, es llamada FUNCION INYECTIVA.

En otras palabras BAf : es INYECTIVA si para todo par de puntos 21 xyx

en A tales que 21 xx se tiene que .21 xfxf

Como ejemplo de función inyectiva mostramos la función ,xxf se puede probar

que si ;21 xx entonces 21 xx para todo 0; 21 URxx

Definición 1.3.1 Una función que es al mismo tiempo INYECTIVA y SOBRE se llama

función BIYECTIVA.

Ejemplo 1.3.1 Se muestran algunos ejemplos de funciones que aclaran los conceptos

definidos anteriormente.

a) Consideremos la función RRf : f definida por xxf es una función

Biyectiva, en efecto

- Es un función sobre pues RRf

- Es una función Inyectiva pues para todo par 2121 ,, xxRdexx se cumple

que 21 xx ¿ Por qué ?

b) La función RRg 1: definida por 1

1

xxg

es una función inyectiva pues si Dgxx 21 ; y

11 2121 xxxx

1

1

1

1

21

xx

Puesto que no existe 01

11

xquetalRx se concluye que g

no es una función sobre.

c) La función RRh .: definida por 23)( xxh

- Es una función sobre pues RRh

- Es una función inyectiva pues para todo par ,, 21 Rdexx

39

si 2121 33 xxxx

2323 21 xx

21 xhxh

Nota 1.3.1

1) RfDff : siempre es sobre.

2) Una función f se dice sobre o epiyectiva.

3) Del gráfico de una función f se puede determinar si es una función

inyectiva o no.

Para una función f Inyectiva, toda paralela al eje x INTERCEPTA al gráfico

de f en A LO MAS UN PUNTO. (Figura 10)

Función Inyectiva Función No Inyectiva

Figura 10

y y

x x

40

B. Función Inversa.

Definición 1..3..1.

Sea BAf una función Biyectiva.

Definimos la función INVERSA ABf :1 tal que

xfyAxdondexyfBy ;)(, 1

Nota 1.3.1

i) También puede definirse la función Inversa de una función BAf :

inyectiva:

AAff :1

2i) La función Inversa 1f de una función biyectiva BAf : tiene por

dominio el rango de f y por contradominio el dominio de f.

es decir : RffD 1

DffR 1

3i) No confundir la función 1f con el recíproco f

1

4i) Si una función biyectiva se define por medio de una fórmula ,xfy

se puede resolver esta ecuación para x en términos de y (algunas veces).

Esta solución constituye la fórmula para la función inversa yfx 1

5i) Las funciones que tienen inversa se llaman funciones Invertibles.

Ejemplo 1.3.1.

a) Dada ,79 xxf ¿ es f invertible ?

De acuerdo a la nota 1.3.1. parte i) bastaría considerar si f es inyectiva.

Demostración:

2121 ;, xxDfxx entonces

21 99 xx y

;7979 21 xx esto es

21 xfxf

Por la tanto, f es inyectiva; de lo cual se concluye que es Invertible.

41

Determinaremos su inversa:

Sea xfy entonces .79 xy Resolveremos esta ecuación para x

en términos de y :

xy 97

9

7

yx

por lo tanto la función Inversa 9

71 y

yf

Con el propósito de respetar la notación de x para la variable del dominio,

cambiando y por x se tiene que:

9

71 x

xf

b) Hallar la función Inversa de la función f definida por .xxf

Sabemos que Df es el conjunto 00,0 al igual que su contradominio.

Como 0 y existe uno y sólo un elemento Dfx tal que 1xy

Entonces resolviendo esta ecuación para x en término de y tenemos:

02 yxy

por lo tanto la función Inversa 1f está dada por la fórmula

021 yyyf

Cambiando y por x se tiene que

021 xxxf

gráficamente la situación es:

1f

021 xxxf

f

Figura 11

42

Generalmente, no siempre las funciones serán inyectiva; pero si restringiremos su

dominio es posible obtener una función inyectiva que además puede ser invertible, por

ejemplo:

Sea 2,02,2: f definida por

24 xxf

Su dominio es el conjunto 2,2 , tomando una parte de él (Restringiéndolo), podemos

construir una función inyectiva:

2,02,0:1 f definida por

2

1 4 xxf

Gráficamente la situación es:

C. Función MONOTONA.

Definición 1.3.2.

Sean f una función con dominio DfAyDf

i) f se dice ESTRICTAMENTE CRECIENTE EN A

Si para 212121 ;; xfxfxxAenxx

2i) f se dice ESTRICTAMENTE DECRECIENTE EN A

Si para 212121 ,; xfxfxxAenxx

3i) f se dice CRECIENTE EN A

Si para 212121 ; xfxfxxAenxx

4i) f se dice DECRECIENTE EN A

Función (no inyectiva) Función Inyectiva

f

1f

43

Si para 212121 ; xfxfxxAenxx

5i) f se dice MONOTONA EN A si es CRECIENTE O DECRECIENTE EN A

Ejemplo 1.3.2.

La función 3xxf es una función estrictamente creciente en R , en efecto.

Sean 2121 ;; xxRxx

- Si ,021 xx entonces

2

2

1

3

1 xxx ¿ por qué?

y 3

2

2

21 xxx ¿ por qué?

Como 2

212

2

1 xxxx ¿ por qué ?

Se sigue que ,3

2

3

1 xx esto es ; se cumple que si 21 xx

entonces, 21 xfxf

- Si 21 0 xx entonces ,3

2

3

1 xx pues

00 3

2

3

1 xx

por lo tanto se cumple que si

21 xx entonces 21 xfxf

- Si 210 xx entonces,

2

2

1

3

1 xxx

Y 3

2

2

21 xxx

Como ,2

212

2

1 xxxx se sigue que 3

2

3

1 xx

En cualquier caso se cumple que para Rxx 21 ,

con 2121 xfxfxx

Figura 13 y = x3

y

x

44

Las funciones estrictamente decrecientes y estrictamente crecientes están ligadas

estrechamente con las funciones inyectivas, en efecto si f es estrictamente decreciente en

su dominio entonces se cumple que si Dfxxparaxfxfxx x 21121 ,

de donde se puede decir que

si Dfxxparaxfxfxx 212121 ;

Este hecho nos permite concluir que toda función estrictamente decreciente es una

función inyectiva.

Análogamente si f es estrictamente creciente entonces se cumple que si

Dfxxparaxfxfxx 212121 ; de donde se puede decir que si

.; 212121 Dfxxparaxfxfxx

Esto último nos permite concluir que toda función estrictamente crecientes es una función

inyectiva.

Por lo tanto, si tenemos una función estrictamente creciente o estrictamente

decreciente, esta función es una función invertible.

D. Función PAR e IMPAR.

Definición 1.3.3.

Una función f definida en un intervalo I centrado en el origen, se dice:

a) Par si Ixtodoparaxfxf

b) Impar si Ixtodoparaxfxf

Ejemplo 1.3.3.

a) La función 12 xxf es una función Par puesto que :

Rxtodoparaxfxxxf 11 22

Figura 14 12 xxf

y

0 x

45

b) La función 3xxg es una función Impar pues

.33Rxtodoparaxgxxxg

c) La función 1 xxh no es una función Par ni Impar puesto que

xhxxh 1

además como 1 xxh también ocurre que xhxh

(figura 16)

Figura 15 y = x 3

Figura 16 1 xxh

y

0 x

46

Nota 1.3.2.

1) El gráfico de una función f Par tiene simetría con respecto al eje y , esto se

refleja en el hecho que si el punto xfxP ; pertenece al gráfico, también lo

hace el punto .;1 xfxP

2) El gráfico de una función f Impar tiene simetría con respecto al origen puesto que

si el punto xfxP ; pertenece al gráfico, también lo hace el punto

xfxP ;1

3) Reconocer analíticamente la simetría del gráfico de una función tiene mucha

importancia en el trazado de éste pues si la función es Impar bastará dibujar los

puntos de Gf en el semiplano derecho (o izquierdo ) y el resto del gráfico se

obtiene por reflexión de esos puntos a través del origen. Análogamente si la

función es Par bastará dibujar los puntos de Gf en el semiplano derecho

(o izquierdo ) y el resto del gráfico se obtiene por simetría respecto al eje Y.

4) Ninguna función tiene su gráfico simétrico con respecto al eje x ¿Por qué?

E. Función ACOTADA.

Definición 1.3.4

Una función f se dice acotada en un conjunto DfcA si existe 0M

tal que Mxf para todo .Ax

- Como Mxf es equivalente a decir que ,MxfM entonces en

una función acotada en Df los valores ,xf que constituyen su rango, pertenecen al

intervalo finito MM ; lo que geométricamente significa que la gráfica de funciones

Acotadas está situada entre dos rectas paralelas al eje x de ecuaciones MyeMy

respectivamente. Este hecho nos proporcionará reconocer funciones acotadas. (Figura 17).

y

x

y = M

y = -M

Función acotada

Figura 17

47

Ejemplo 1.3.4.

a) La función 21 xxf es una función acotada en 1;1Df

pues su gráfico está situado entre las rectas ;11 yy aún más entre las

rectas 01 yey (Figura 18).

b) Como se aprecia en la figura 19 la función 3xxg no es una función

Acotada en R .

y=1

Figura 18 21 xxf

Figura 19 y = x3

y

x

y

x

48

c) Otras funciones Acotadas de gran importancia en matemáticas,, son las

funciones seno y coseno.

Funciones seno y coseno Figura 20

y

x

49

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.3.1

I Defina los siguientes conceptos:

Funciones Inyectiva y Biyectiva

Función Inversa

Función Estrictamente Creciente

Función Estrictamente Decreciente

Función Creciente

Función Decreciente

Función Par

Función Impar

Función Acotada

II Dada las siguientes funciones determinar cuales de ellas son Inyectivas.

Justifique su respuesta.

1.- 1 xxf

2.- 21 xxf

3.- xxf 22

4.- 12 xxf Respuesta : No es Inyectiva

5.- 1

1

xxg Respuesta : Inyectiva

6.- 1

x

xxh Respuesta : Inyectiva

Justificación ejercicio 5

Si 1

1

1

1

21

21

xx

xfxf

21 xx

Luego si 2121 xfxfxx

III Determine en cada caso si f es invertible. Cuando f sea invertible obtenga la f

Fórmula para xf 1 además grafique 1fyf

1.- xxxf 23

2.- 5xf Respuesta : f no es invertible

3.- x

xf1

4.- 23 2 xxf Respuesta : f no es invertible

5.- xxf 1

6.-

1

1

x

xxf

50

Respuesta Ejercicio 6.

xf es una función inyectiva.

?¿

1

1

1

1

21

2

2

1

121

quéporxx

x

x

x

xxfxf

Por lo tanto f es invertible

x

xxf

1

11

IV. Las funciones siguientes no son invertibles. Restrinja el Dominio de la función

dada para que la nueva función sea invertible. Graficar la función, la función

restringida y su inversa.

1.- 22 xxf

2.- 22 xxf

3.- 21 xxf

4.- xxf

Figura 21 x

xxf

1

11

51

Respuesta

Ejercicio 2:

22 xxf 0;2 2

1 xxxf

El dominio de la función f es el conjunto .00,00 Restringiendo el dominio al

conjunto 00,0 tenemos la función 0,2 2

1 xxxf la cual es invertible

(Figura 22)

xxf

21

1

xxf

21

1 ; 0,2 2

1 xxxf

IV. Clasifique las siguientes funciones según su Monotonía. Justifique su

respuesta.

1.- 11

1

x

xxf

2.- 1 xxf

3.- xxf

4.- xxf 1

Figura 22

Figura 23

1

1

f

1f

2

2

2 22

52

5.-

02

01

xsix

xsixf

6.- 02 xxxf

Respuestas

- Ejercicio 2 :

f es Estrictamente Creciente pues

si 111 2121 xxxx

11 21 xx

21 xfxf

- Ejercicio 4 :

f es Estrictamente Decreciente pues

si 2121 xxxx

21 11 xx

21 xfxf

- Ejercicio 6 :

f es Estrictamente Decreciente pues

2

2

2

1210 xxxx

2

2

2

1 xx

21 xfxf

Se recomienda graficar las funciones.

VI. Determine si las siguientes funciones son par, impar o ninguna de estos

tipos. Justifique su respuesta:

1.- 1

1

x

xxf Respuesta: Ninguna.

2.- 21 xxf

3.- xxf 3 Respuesta : Ninguna

4.- xsenxxf

5.- xxxf cos Respuesta: Impar

6.- xxsenxf cos

53

7.- 21 xxxf Respuesta: Ninguna

Justificación Respuesta Ejercicios 5 y 7:

- Ejercicio 5:

xfxxxxxf coscos

- Ejercicio 7:

xfxxxxxf 2211

xfxxxf 12

VII En las siguientes funciones determine cuales de ellas son Acotadas y

Cuales no son Acotadas en su Dominio. Se recomienda graficar las

Funciones:

1.- xxf 1 Respuesta: No Acotada

2.- 23 xxf Respuesta: Acotada

3.-

21

203

03

2

xsi

xx

xsi

xf Respuesta: Acotada

4.- 12

x

xxf Respuesta: Acotada

5.- xxg 3

Respuesta: No Acotada

Del gráfico de cada función se puede justificar las respuestas.

54

1.4. Funciones Especiales

A.- Función Polinomio

Definición 1.4.1. Una función Polinómica es una función de la forma:

n

nn

o axaxaxf ....................1

1

donde no aaa ..;; 1 son constantes reales llamadas Coeficientes, n es un entero

positivo que se llama Grado del Polinomio cuando 0oa

- El Dominio de la función Polinómica evidentemente es todo el conjunto de los

números reales.

Ejemplo 1.4.1.

a) baxxf es una función Polinómica llamada Función Lineal; su

gráfica es siempre una recta.

- Si 00 ayb la función lineal queda axxf y su gráfica es una

recta que pasa por el origen. (Figura 24ª)

- Si 0a la Función Lineal queda bxf y en este caso se llama

Función Constante y su gráfica es una recta paralela al eje x que intersecta el

eje y en el punto bP ,0 (Figura 24b).

axxf )0( bbxf

(a) (b)

b) cbxaxxf 2 es una Función Polinómica Cuadrática

oa o de segundo grado. La gráfica de esta función es una parábola

(Figura 25).

y

x

y

x

b

55

B.- Función Racional

Definición 1.4.2. Una Función Racional está formada por el cuociente de dos

funciones Polinómicas

n

nnn

o

n

nnn

o

bxbxbxb

axaxaxaxf

.....................

.......................2

2

1

1

2

2

1

1

La Función Racional está definida para todos los valores reales de x; excepto para aquellos

que anulan el denominador.

Ejemplo 1.4.2.

Las funciones 4

1;

32

x

xxg

xxf

258

123

2

xxx

xxxh , son funciones racionales.

C.- Función Valor Absoluto

Definición 1.4.3. La Función VALOR ABSOLUTO se define por:

.xxf

Como

0

0

xsix

xsixx , entonces la función Valor Absoluto

a < 0

0

a > 0

0

Figura 25

56

Puede escribirse también de la siguiente manera:

0

0

xsix

xsixxf

- El Dominio de la Función Valor Absoluto lo forman todos los números reales.

- El Rango de la Función Valor Absoluto la forman los números reales no negativos.

- La gráfica se muestra en la Figura 26.

Cuando 0x entonces xy es equivalente a ,xy que es una recta que pasa por el

origen con pendiente 1.

Cuando xyx ,0 es equivalente a xy que es la ecuación de una recta que

pasa por el origen con pendiente -1.

.xxf

Nótese que la Función Valor Absoluto es una Función par.

D.- Función Escalón Unitaria

Definición 1.4.4. La Función U (x) definida por:

01

00

xsi

xsixU

Se llama Función Escalón Unitaria.

- El Dominio de la Función Escalón Unitaria es R.

y = -x y = x

0

Figura 26

y

x

57

- El Rango de la Función Escalón Unitaria es el conjunto

- La gráfica de la Función U(x) se muestra en la Figura 27

Gráfica de la Función U(x)

E.- Funciones Exponenciales

Del álgebra elemental recordemos que si a y b son números reales positivos y si p

y q son números racionales las leyes básicas de potencias son:

qpqp aaa

pqqp aa

qp

q

p

aa

a

ppp

p

pp

baabb

a

b

a.;

p

po

aaa

1;1

Es costumbre desarrollar estas leyes para exponentes enteros positivos m y n y

posteriormente estas leyes se extienden a exponentes racionales de la forma n

mp

donde m es cualquier entero y n un entero distinto al cero.

En Cálculo es importante definir xa para valores irracionales de x ; pero no existe

una manera algebraica sencilla para definir xa para x irracional. Los

procedimientos para definir los son más elaborados que escapan al alcance de los

contenidos de este curso; por esta razón partiremos suponiendo que 0aa x está

definido para x real y cumple con las leyes básicas de los exponentes enunciados

anteriormente.

Definición 1.4.5. Sean 1,0;, aaRxa la función xaxf se llama

Función Exponencial.

0

1

Figura 27

y

x

58

El Dominio de la Función Exponencial es R

El Rango de la Función Exponencial es R

El gráfico de una Función Exponencial dependerá del valor particular que tenga a.

Como ilustración se muestran los gráficos de las Funciones Exponenciales

133 axf x y 13

13

1 axgx

x y = f(x)

-2 1/9

-1 1/3

0 1

1 3

2 9

xxf 3

x y =g(x)

-2 9

-1 3

0 1

1 1/3

2 1/9

x

xg

3

1

Figura 28

Figura 29

y

x

(0,1)

a = 3 > 1

y

x

(0,1)

a = 1/3

59

Observando el gráfico de las funciones x

y

33

13

, podemos generalizar algunas

propiedades de las Funciones Exponenciales:

- Las imágenes de las Funciones Exponenciales son siempre positivas (El rango es

R )

- Los gráficos de las Funciones Exponenciales interceptan el eje Y en el punto (0,1)

- Si 1a las Funciones Exponenciales son estrictamente Crecientes.

- Si 1a las Funciones Exponenciales son estrictamente Decrecientes.

- De acuerdo a lo anterior en cualquier caso las funciones Exponenciales son

Funciones Inyectivas y por lo tanto Invertibles.

- A medida que x crece el gráfico de las Funciones Exponenciales se acerca al eje

X sin alcanzarlo nunca. Cuando esto ocurre se dice que el gráfico tienen un

comportamiento “Asintótico”.

F.- Funciones Logarítmicas

Como las Funciones Exponenciales son invertibles, a sus respectivas inversas

Las llamamos Funciones Logarítmicas.

Definición 1.4.6. La Función Inversa de la Función Exponencial

1;0 aaa x se llama Función Logarítmica y se denota por xf

logaritmo en base a de x)

- El Dominio de la Función Logarítmica es R

- El Rango de la Función Logarítmica es R

- El gráfico de la Función Logarítmica, al igual que las funciones exponenciales

dependerá de la “base a” 101 aoa (Figura 30)

)1(10 aa

a > 1

0 (1,0)

(1,0)

Figura 30

60

Se puede observar que si 1a la Función Logarítmica es estrictamente creciente

y si 10 a la Función Logarítmica es estrictamente decreciente.

Definición 1..4.7. Sean entoncesaaN 1;0;0

M

a aNMN log

El Logaritmo en base a de un número positivo N, es el exponente al cual debe ser

elevado la base a para obtener N.

Así por ejemplo. 322532log 5

2 quepuesto

497249log 2

7 quepuesto

8268log6

2 quepuesto

Algunas Propiedades fundamentales de la Función Logaritmo:

En lo que sigue la base a tiene las características dadas en la definición

1.4.6, es decir .10 aya

P - 1.- 01log a

El Logaritmo de la Unidad en cualquier base a es siempre cero, pues

1oa

P – 2.- 1log aa

El Logaritmo de la base es 1 pues aa 1

P – 3.- NMMN aaa logloglog

El Logaritmo, en cualquier base a, de un producto de dos factores es igual

a la suma de los Logaritmos, en la misma base, de los factores

Demostración:

Sean Mx alog

Ny alog

Entonces por definición Ma x

Na y

de donde yx aaMN

yxaMN

61

lo que es equivalente ((Definición 1.4.7) a

MNyx alog

es decir, MNNM aaa logloglog

Esta propiedad puede extenderse a un producto formado por un número finito de

factores:

naaana NNNNNN log..........loglog.......log 121

P - 4.- 0logloglog NNMN

Maaa

El Logaritmo en base a, de un Cuociente N

M es igual a la diferencia entre el

Logaritmo en base a del dividendo (M) y el Logaritmo en base a del divisor (N).

Demostración: Sean Mx alog

Ny alog

Entonces por definición:

Ma x

Na y

de donde y

x

a

a

N

M

ó yxaN

M

lo que es equivalente (Definición 1.4.7) a

N

Myx alog

es decir, N

MNM aa logloglog

P - 5.- MNM a

n

a loglog

El Logaritmo en base a, de una potencia NM es igual al producto entre el

exponente de la Potencia (N) y el Logaritmo en base a, de la base de la potencia

(M).

Demostración:

Sea ,log Mx a entonces

Ma x

y NxN aM

62

ó NxN aM

lo que es equivalente (Definición 1.4.7) a

N

a MNx log

ó N

aa MMN loglog

Ejemplo 1.4.3.-

1.- rqprq

p

rq

p 4

23

1

2

4

31

24

3

2 loglogloglog

rqp 2

4

22 logloglog3

1

rqp 222 loglog4log3

1

rqp 222 loglog4log3

1

2.- pqqp 777777 log2

1log35loglog3log

2

15log

21

7

3

77 loglog5log pq

pq 7

3

7 log5log

p

q3

7

5log

3.- Aplicando Definición y Propiedades de la Función Logaritmo,

resolveremos la siguiente ecuación:

29log1log 33 xx

291log3 xx

2910log 2

3 xx

22 3910 xx

0102 xx

010 xx

01 x

102 x

63

Discusión:

Si 0x , entonces

01log1log 33 x

29log9log 33 x

Así 29log1log 33 xx se satisface para 0x

Por lo tanto, 0x es una solución a la ecuación propuesta.

Si 10x , entonces

91101 x

y no está definido 1log3 x cuando .10x

Por lo tanto, 0x es una solución a la ecuación propuesta.

Si 10x , entonces

91101 x

y no está definido 1log3 x cuando 10x

Por lo tanto 10x no es solución a la ecuación propuesta.

Como se ha visto, hay tantas funciones logaritmos o tipos de logaritmos

como números reales positivos distintos de 1 (bases) existen. Sin embargo en

Matemáticas se distingen dos tipos de logaritmos:

- Logaritmo decimal, denotado por log , cuya base es a = 10 y

- Logaritmo natural, denotado por Ln, cuya base es un número e = 2.71882811828..

Logaritmos en otras bases pueden ser determinadas por la “Fórmula de

Cambio de Base”:

Sean b una base conocida ebób 10 ; a una base distinta de 10 ó e,

entonces :

a

BA

b

b

alog

loglog Fórmula de Cambio de Base

Demostración:

Sea Ax alog , entonces xaA

Aplicando logaritmo en base b tenemos:

axA bb loglog ¿por qué?

64

de donde a

Ax

b

b

log

log , es decir

a

AA

b

b

alog

loglog

65

Ejercicios 1.4.1.-

I Grafique las siguientes funciones:

1) 23 2 xxf

2) 33xxf

3) 13 3 xxf

4) 1 xxf

5) 3 xxf

6) 3 xxf

7) 3

1

xxf

8) 2xU

9) 25 xUxf

10) xxf2

1log

11) xxf 2log

12) x

xf

2

1

13) xxf 2

14) 1 xLnxf

15) x

Lnxf1

16) xexf

17) xexf

18) xLnxf

II Evaluar:

1) 22 Lne

2) 2eLn

3) 2Lne

4) 12 Lne

5) 32 Lne

6) e

a alog

III Determinar el Valor de N si:

1) 16log64log 42 N

2) xxfsiffN 2log1816

3) 25log100log8.4log N

4) 125,0log48.0 N

66

IV Resolver las siguientes ecuaciones:

1) x16log 2

2) 40001.0log x

3) 2

13log x

4) 13loglog xx

5) 64loglog2

1x

6) 4.1log3log2log xx

7) 25log2log x

8) 53 2 x

9) 3105 x

10) 2235 25 xx

11) xxx 5.221 12

12) 2

12

6

7.52

x

xxx

V Resolver las siguientes sistemas :

1) 2

11loglog

15

yx

yx

2) 3loglog

1loglog

yx

yx

3) 12.33

62

yx

yx y

VI Determinar los siguientes Logaritmos:

1) 25.1log2

2) 5log 7

3) 8log 3 2

4) 10log3

67

Respuestas de algunos Ejercicios:

I.- 2) 33xxf

4)

11

111

xsix

xsixxxf ¿Por qué?

y

x

y

x

68

8)

20

212

xsi

xsixU

10) xxf2

1log

xxy

y

2

1log

21

xy 2

x y =f(x)

½ 1

1 0

2 -1

4 -2

y

x

y

x

(1,0)

69

12) x

xf

2

1

14) 1 xLnxf

00,1 Df

x y = f(x)

-2 4

-1 2

0 1

1 ½

2 ¼

y

x

y

x

(0,1)

-1 0

70

16) xexf

II.- 2) Sea 2eLnx , entonces

2ee x (definición de Logaritmo en base e)

2x (por ser la Función Exponencial Inyectiva)

Resuelva este ejercicio aplicando propiedades de Logaritmos.

4) Sea 12 Lnex

sacando Logaritmo Natural a ambos miembros

1,12 eLnperoeLnLnxLn

Así 12 LnxLn pero Ln 2 = 0.69314718 (Valor por la calculadora)

169314718.0 xLn

30685281.0xLn

xe 30685281.0 (definición de Logaritmo Natural)

x = 0,735758882 (Valor determinado en Calculadora)

6) Sen e

a ay log

ey aa (por definición de Logarimo en base a )

ey (por ser la Función Exponencial Inyectiva)

y

x

1

0

71

III.- 1) 16log64log 42 N

2

4

6

2 4log2log

4log22log6 42

426

IV.- 2) 40001.0log x

10

1

110

110

10410log

4

444

x

x

x

xx

4)

2

5

025

0103

103

110log10log3log

13loglog

2

1

2

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

x = -5 no es solución ¿Por qué?

Si x = 2, entonces 110log5log2log

Luego x = 2 es solución.-

8) 53 2 x

Sacando Logaritmo decimal a ambos miembros de la ecuación:

....464973521,3

23log

5log

3log

5log2

5log3log2

5log3log 2

x

x

x

x

x

72

V.- 2) 3loglog

1loglog

yx

yx Sumando, ambas ecuaciones

_____________________

100

10

2log

4log2

2

x

x

x

x

definición de Logaritmo decimal.

Reemplazando x en la primera ecuación del Sistema.

10

10

1log

1log2

1

y

y

y

y

Solución 10;100 yx

VI.- 2) Aplicando Fórmula de Cambio de Base con ebya 7

827087475.07

55log 7

Ln

Ln

73

1.5. Algebra de Funciones

Definición 1.5.1.-

Sean f y g dos funciones cuyos dominios son Df y Dg respectivamente.

Definimos:

i) La función SUMA (f + g) como:

DgDfxxgxfxgf

2i) La función DIFERENCIA (f – g) como:

DgDfxxgxfxgf

3i) La función PRODUCTO (f . g) como:

xgxfxgf ..

4i) La función CUOCIENTE g

f como:

0/ xgDxDgDfxxg

xfx

g

fg

Ejemplo 1.5.1.-

Sea x

xgyxxf1

2 dos funciones

Determinar: gfgfgfgf /;.;; y sus respectivos dominios

x

xxgxfxgf1

2

x

xxgxfxgf1

2

x

xxgxfxgf

2..

21

2

xx

x

x

xg

xfx

gf

El Dominio de la función f es 00,2

El Dominio de la función g es 0R

Luego el 00,2gfD al igual que el gDfygDfgfD /.;

Nota 1.5.1.-

La definición de suma y producto de funciones, se puede generalizar para un número finito

de funciones

74

Definición 1.5.2.

Dada las funciones f y g definiremos la COMPOSICIÓN de funciones; denotado

por (fog); como (fog) (x) = xgf donde DfxgyDgxxfogD /

Ejemplo 1.5.2.-

Sea 32 xxgyxxf Hallar

i) 3;1;0 fogfogfog

2i) bafogafog ;

3i) Dominio de fog

Solución:

i)

39933

5511

3300

fgffog

fgffog

fgffog

ii) 3232 aafagfafog

3223232 bababafbagfbafog

iii) DfxgDgxxfogD /

00,2/32/3/

032/

032/

0

xRxxfogD

xRxxfogD

URxRxxfogD

URDf

RDg

Ejemplo 1.5.3.-

Dada la función: 2 xxf graficaremos

a) Uof donde U es la Función Escalón Unitaria:

como

00

01

x

xxU

entonces

020

0212

x

xxU

xfUxUof

luego

20

212

x

xxU

75

Figura 31 2xU

b) gof donde xxg

22

2222

xsix

xsixxxgxfgxgof

Definición 1.5.3.- Sean

i) nfff ....., 21 funciones definidas en un dominio común D

2i) naaa ................,, 21 números reales

Una expresión de la forma

y

x

y

x

2

76

nn fafafafa ...................332211

Se llama combinación Lineal de las funciones nffff ...,, 321

Por ejemplo 12253 xUxUxU es una Combinación Lineal de la funciones:

.12; xuyxUxU Sería interesante determinar la función resultante de esta Combinación.

Como

00

01

xsi

xsixU

20

212

xsi

xsixU .

y

10

111

xsi

xsixU

Entonces:

00

033

xsi

xsixU

20

2525

xsi

xsixU

10

1212

xsi

xsixU

Sea 12253 xUxUxUxf

Podemos observar el DF = R , queda particionado en cuatro intervalos:

00;22;0;0;1;1;00 y

Los valores de f(x) en los distintos Intervalos quedan determinados en el siguiente cuadro:

x 3U(x) 5U(x-2) 2U(x+1) 12253 xUxUxUxf

1x 0 0 0 0

01 x 0 0 2 -2

20 x 3 0 2 1

2x 3 5 2 6

77

Así

26

201

012

10

xsi

xsi

xsi

xsi

xF

la cual resulta una función “Escalonada” pero no Unitaria.

El problema de expresar una función “escalonada” como una combinación lineal de

funciones escalonadas unitarias compuestas con funciones polinómicas lineales, queda

ilustrado en el siguiente ejemplo.-

Ejemplo 1.5.4.- Dada la función

23

211

12

xsi

xsi

xsi

expresarla como una Combinación Lineal de funciones escalonadas unitariass compuestas

con funciones polinomiales lineales.

Desarrollo: Los números -1 y 2 dividen al DF = R en tres sub intervalos

00;22,11;00 y lo que sugiere una Combinación lineal de la forma

CxBUxAUxf 21

Donde A, B y C son constantes reales para determinar.

Como

21

202

11

101

xsi

xsixUy

xsi

xsixU

entonces los Valores de A, B y C pueden ser determinados fácilmente, mediante el

siguiente cuadro

x 1xAU 2xBU CxBUxAU 21 xf

1x 0 0 C -2

21 x A 0 A + C 1

2x A B A + B + C -3

resolviendo el Sistema.

A + B + C = -3

A + C = 1

C = -2

78

Tenemos que A = 3

B = -4

C = -2

Luego 22413 xUxUxf

Ejercicios Propuestos 1.5.2.-

I Para los siguientes pares de funciones; se pide determinar:

goffoggfgfgfgf ,;;/;.;; y sus respectivos dominios.

1.- 15 2 xxgxxf

2.- 32 xxgxxf

3.- x

xgx

xxf

1

1

1

4.- 12 xxgxxf

5.- 112 xxgxxf

Soluciones:

1.- i) 615 22 xxxxxgxfxgf

2i) 415 22 xxxxxgxfxgf

3i) 15.. 2 xxxgxfxgf

4i)

11

52

x

x

x

xg

xfx

gf

5i) 62 xxfog

6i) 24102 xxxgof

y sus respectivos dominios:

1,1

R

gf

DRgfD

RfogDRgfD

RgofDRgfD .

4.- i) 12 xxxgxfxgf

2i) 12 xxxgxfxgf

3i) 1.. 2 xxxgxfxgf

4i) 12

x

x

xg

xfx

gf

5i) 11 22 xxfxgfxfog

6i) 1 xxgxfgxgof

79

y sus respectivos dominios:

00 URg

fDURgfD

RfogDURgfD 0

00. URgofDURgfD

II Determinar la función resultante de las siguientes Combinaciones Lineales:

1.- 212_23 xUxU

2.- 32

2

2

121 3;1253 xxxfxxfsixfxf

Respuesta: 15 23 xx

3.- 82353 xUxUxU

III Dados las siguientes funciones, expresarla como una Combinación Lineal:

1.-

bxsi

bxasi

axsi

xf

0

5

0

2.-

22

211

10

xsi

xsi

xsi

xg Respuesta: 21 xUxUxg

3.- xh cuyo gráfico es:

y

x

1

-1 0 1 2 3

-1

-2

80

2.- Límite y Continuidad

2.1. Límite de Funciones:

El concepto de Límite desempeña un papel fundamental

en cálculo ya que con él estan relacionados conceptos más importantes en

Matemáticas como son el de Derivada e Integral.

La Idea de Límite de una función f es estudiar el

comportamiento de f(x) cuando x se “acerca” a un valor determinado.

Ejemplo 2..1.1.

a) Consideramos la función x

xsenxf ¿Qué sucede con los valores

f(x) cuando x toma valores cercanos a ?0x

En la siguiente Tabla aparecen algunos valores de f(x) correspondientes a

valores de x cercanos a cero, por la izquierda de cero 0x y por la

derecha de cero 0x

x

x

xsen

x

x

senx

-0,1 0,998334166 0,1 0,998334166

-0,01 0,999983333 0,01 0,999983333

-0,001 0,999999833 0,001 0,999999833

-0,0001 0,999999998 0,0001 0,999999998

Tabla - 1

En la Tabla 1 podemos observar que x

xsenxf se puede acercar a uno,

tanto como se quiera, siempre que se elija x suficientemente próximo a x = 0,

lo que en símbolos matemáticos escribimos.

0

1lim

x

x

xsen

Esto se lee: “El Límite, de ,x

xsen cuando x tiende a cero, es igual a 1.

81

b) Sea 12 xxf ¿Qué sucede a f(x) cuando x se acerca a dos?

Algunos valores de f(x) para x cercano a dos estan dados en la Tabla 2

x 12 x x 12 x

1,9 2,610000 2,1 3,410000

1,99 2,960100 2,01 3,040100

1,999 2,996001 2,001 3,004001

1,9999 2,999600 2,0001 3,000400

1,99999 2,999960 2,00001 3,000040

Tabla - 2

En la Tabla 2 podemos observar que “f(x) se acerca a 3”, cuando “x se acerca a

2”. Lo que en símbolos matemáticos escribimos:

2

31lim 2

x

x

c) Consideremos la función 62 xxf ¿Qué ocurre con f(x) cuando x

es próximo a x = 5?

Algunos valores de f(x) para x cercanos a cinco están dados en la Tabla 3

x 62 x x 62 x

4,9 1,9493588 5,1 2,49390150

4,99 1,9949937 5,01 2,00499370

4,999 1,9994999 5,001 2,00049993

4,9999 1,9999499 5,0001 2,00004990

4,99999 1,9999950 5,00001 2,00000500

4,999999 1,9999995 5,000001 2,00000050

Tabla - 3

En la Tabla 3 observamos que: “f(x) se acerca a 2”, cuando “x se acerca

A 5”. Lo que en símbolo matemáticos escribimos:

5

262lim

x

x

Para precisar, en general, la frase “f(x) se acerca a un número L”, tomamos en cuenta

Lxf , que mide la distancia entre f(x) y L. Análogamente para precisar el sentido

que tiene la frase “x se acerca a a” tomamos en cuenta ax , que mide la distancia que

separa x de a. En lenguaje poco preciso el significado de

ax

Lxf

lim es que

Lxf se puede hacer “arbitrariamente pequeño”, siempre que ax sea

suficientemente pequeño.

La siguiente definición da un significado matemático del concepto de Límite de una

función.

82

Definición 2.1.1.

ax

sisóloysiLxf

0lim existe

Lxfquetal0 siempre que

ax0

Nota 2.1.1.

a) En la definición 2.1.1. la función f (x) se supone definida en un intervalo que contiene

a x = a , aunque no es necesario que f esté definida en x = a.

b) El número es el que se da primeramente, indica cuan pequeño se desea que sea

Lxf . El número indica lo próximo que ha de estar x de a para garantizar

que f(x) est´´e a una distancia de L no superior a .

c) Claramente el valor de dependerá del valor de

d) Cuando el

,

lim

ax

Lxf

, la definición 2.1..1. nos dice que:

“Para cada número positivo , por pequeño que sea se puede encontrar un número

positivo que satisfaga la desigualdad

"0 axquesiempreLxf

e) La definición 2.1.1. no dice nada sobre el comportamiento de axenxf

f) Lxf es equivalente a LxfL

ax0 es equivalente a axconaxa

La definición Lxf lim se ilustra en la siguiente Figura:

Figura 33

ax

Lxf

lim

L + ε

L

L - ε

a - δ a + δ a

83

Ejemplo 2.1.2.

a) 713lim x , en efecto:

2x

Aquí 2713 aLxxf

Sea 0 debemos encontrar 0 tal que 7xf

Cuando 20 x

Buscando :

Consideremos el valor absoluto :7xf

23637137 xxxxf

en consecuencia la desigualdad

713x

se cumple si 23 x , es decir, si:

3

2

x

Por lo tanto dado 0 podemos hacer 3

(o cualquier otro valor positivo

menor que 3

) y la afirmación "207" xcuandoxf será

verdadera, pues cuando 3

220

xx

713633

2 xdeciresxx

b) ax

efectoenaax

:,0,lim

Sea 0 . Consideremos el valor absoluto ax :

a

ax

a

ax

ax

axax

. (*)

la desigualdad

aax

oa

axax

Tomamos , a entonces

84

cuando aaxax0

a

ax

ax

(*)

c) ax

ax

lim

Aquí aLxxf ;

Sea .0 Tomando se tiene que cuando

axfax 0

d) ax

cc

lim

Aquí cLteconsfuncióncxf ;)tan( es claro que

Lxf0 cuando (0 ax cualquier número

positivo) puesto que 0 ccLxf

Teorema 2.1.1. Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene

a ax .

Si xflim existe, entonces este límite es UNICO.

ax

Demostración:

Supongamos que

axax

LLyLxfLxf

2121 lim;lim

Para

y

se tiene que:

1) Existe 111 00 axcuandoLxfquetal

2) Existe 222 00 axcuandoLxfquetal

tomando )2)1,21 yporentoncesyentremínimo

.021 axcuandoLxfyLxf

Por lo tanto para todo x tal que ax0 se cumple:

122121 LxfLxfxfxfLLLL

21123

22 LLLxfLxf

85

Lo que es claramente contradictorio.

Luego cuando el

ax

xf

lim existe éste es Unico

Límites Laterales

Definición 2.1.2.-

a) Se dice que L es el Límite de f(x) cuando x tiende a a POR LA DERECHA

y se escribe

ax

Lxflim

Si para todos 0 existe cuandoLxfquetal 0

aax ,

b) Se dice que L es el Límite de f(x) cuando x tiende a a POR LA IZQUIERDA

y se escribe

ax

Lxflim

Si para todo aaxcuandoLxfquetaexiste ,00

Ejemplo 2.1.3.

a) Consideremos la función 2xx

xxf

observando su gráfico (Figura 34)

podemos ver que cuando x se aproxima a cero por la derecha f(x) tiende a 1, en

este caso se puede demostrar que:

0

lim2

x

xx

x

Figura 34 2xx

xxf

y

x

-1

0

+1

86

Análogamente cuando x tiende a cero por la izquierda f(x) tiende a - 1 y

se puede demostrar que

1lim2

xx

x

b) Consideramos la función xxf observando su gráfico (Figura 35)

vemos que

0

0lim

x

x

Como esta función no está definida para valores de

0

lim,0

x

xx no existe

Figura 35 xxf

c) Consideremos la función x

xsenxf , de la Tabla 1 podemos observar que

000

1lim1lim,1lim

xxx

x

xseny

x

xsen

x

xsen

La relación entre los Límites Laterales y el límite de una función está expresada

en el siguiente teorema.

y

x 0

87

Teorema 2.1.2.-

axax

existexfiEXISTELxf lim))(lim

2i) ax

existexflim

3i)

axax

Lxfxf limlim

Ejemplo 2.1.3.

a) Como 0

)(seclim

x

iumpleexistex

xsen

0

)2(lim

x

icumpleseexistex

xsen

00

)3(1limlim

xx

icumplesex

xsen

x

xsen

entonces

0

)(1lim

x

Existex

xsen

b) Como

0

1lim2

x

xx

x

(se cumple i )

0

)2(1lim2

x

icumplesexx

x

y

00

limlim22

xx

xx

x

xx

x

(No se cumple 3i)

entonces

0

lim2

x

xx

x

No existe

88

c) Como

0

0lim

x

x (se cumple i)

0

lim

x

x no existe (no se cumple 2i)

entonces 0

lim

x

x no existe


I.- 1) Defina los siguientes conceptos:

a) límite de una función

ax

xf

lim

b) límites laterales

axax

xfxf lim;lim

2) Diga en que casos

ax

existexf

lim

3) Si

333

?lim¿?lim¿2lim

xxx

xfxfxf

II.- Estudie, a través de Tablas, el Comportamiento de f(x) cuando x es

cercano a x = a

a) Por valores mayores que x = a

b) Por valores menores que x = a

Si

1.- 2;4

12

ax

xf

2.- 0; ax

xxf

3.- 0;2

ax

xxf

89

4.- 1;1

12

a

x

xxf

5.- 3;3

92

a

x

xxf

III.- ¿Para qué funciones del Ejercicio II existe

ax

xf

?lim

IV.- Dado 0,0 encontrar (Si existe) tal que

axcuandoLxf 0

1) 1,0;2;3;12 aLxxxf

Respuesta 4

1.0

2) 01.0;12;2

3

aL

x

xxf

3) 1.01;2;1

12

aL

x

xxf

Respuesta 1.0

4) 01.03;6;3

92

aL

x

xxf

5) 01.0;3;17;52 aLxxf

Respuesta 5

01.0

90

2.2 Algebra de Límite

El procedimiento de comprobar límites de funciones mediante la definición

resulta en algunos casos sumamente complicado. Estudiaremos procedimientos simples

para evaluarlos, basados en ciertas propiedades de límites. Estas propiedades tratan,

entre otras, con límites de sumas, diferencias, productos y cuocientes de funciones

(Álgebra de límites).

Propiedades de límites

P – 1 ax

ax

lim

P – 2 ax

cc

lim c : constante

P – 3 Si C es una constante y f una función tal que

ax

xf

lim

Entonces,

axax

xfcxfc

limlim

En las propiedades siguientes f y g son funciones tales que

ax

xf

lim

y

ax

xg

lim existen ambas.

P – 4

ax

xg

ax

xfxgxf

limlim.lim

El límite de un producto de funciones es el producto de los límites de

las funciones.

P – 5

ax

xg

ax

xfxgxf

limlimlim

El límite de una suma (diferencia) de funciones es la suma (diferencia)

de los límites de las funciones.

P – 6 Si

ax

xg

0lim entonces,

axax

xg

ax

xf

xg

xf

lim

lim

lim

91

El límite de un cuociente de funciones es el cuociente de los límites de las

funciones.

La demostración de estas propiedades se hacen directamente a partir de la

definición y se dejan como ejercicio. A modo de ejemplo demostraremos la propiedad

4.

Demostración P – 4

Sean

axax

BxgAxf

lim,lim;0

I) Supongamos 0B

debemos probar que existe 0 tal que ABxgxf

cuando ax0

como quetalexisteparaLxf 00,lim 1

10 axcuandoAxf

pero AxfAxf _

Así, de lo anterior, cuando 10 ax

10 MAxf

Para quetalexisteB

002

2

)2(02

2

axcuandoB

Axf

además, como

ax

quetalexisteM

paraBxg

002

,lim 3

302

axcuandoM

Bxg (3)

Supongamos sin pérdida de generalidad que ,321 entonces

Si ,0 321 ax se cumple

(4) Mxf por (1)

(5) B

Axf2

por (2)

(6) M

Bxg2

por (3)

Además

92

ABxfBxfBxgxfABxfxf

AxfBBxgxf

AxfBBxgxf

AxfBBxgxf

B

BM

M2

.2

cuando 10 ax ( por (4), (5) y (6) )

Si B = 0 se deja como ejercicio su demostración.

Nota 2.2.1.-

i) La propiedad 3 es un caso particular en la propiedad 4 cuando

cxg (función constante).

2i) Las propiedades de límites también son válidas para límites laterales.

3i) Propiedades 4 y 5 pueden generalizarse para un número finito de funciones.

Ejemplo 2.2.1.

a) Como axax

Nnaxlímentoncesaxlím nn

,

b) Límite de la función Polinomio

n

nn

on

nn

o ababaaxaxalím ............................ 1

1

1

1

c)

000

1011 22

xxx

límxlímxlím

d)

1111

85215252 22

xxxx

límxlímxlímxxlím

e)

111

21111 22

xxx

límxlímxlím

f)

11

,021lim852lim 22

xx

entoncesxyxxComo

4

2

8

1

1lim

1

52lim

1

52lim

2

2

2

2

x

x

x

xx

x

xx

93

Otras Propiedades de Límite:

P - 7 Sean

i) Ra

2i) xgyxf dos funciones tales que xgxf para ax

3i)

ax

Lxg

lim (existe)

Entonces

ax

Lxf

lim(existe)

P - 8 Sean

i) I un intervalo centrado en a

2i) f, g, h funciones definidas en I

3i) ., axIxtodoparaxhxgxf

4i) Lxhxfaxax

limlim

entonces

Lxgax

lim

Ejemplo 2.2.1.

a) Aplicación de P – 7.

Consideremos la función 1

12

x

xxf

Notemos que 01lim01lim1

2

1

xyx

xx

por lo tanto no podemos aplicar P – 6. Sin embargo,

111̀

11

1

12

xxgx

x

xx

x

xxf

como ,21limlim11

xxgxx

por P – 7 se concluye que

21

1lim

2

1

x

x

x

b) Aplicación de P - 8.

Consideremos la función xsenxxf 2

Como 222 xxsenxx

y .0lim 2

0

xsenx

x

94


I. Enuncie las propiedades de límites.

II. Demuestre las siguientes propiedades:

P - 3 ; P - 5 ; P - 7 ; P - 8.- (OPTATIVAS)

III. Utilizando las propiedades de límite determinar:

1. 6lim 3

3

x

x Respuesta 33

2. 96´lim 2

2

xx

x Respuesta 25

3. 6

1lim

31 xx Respuesta

7

1

4. xx

xx

x 53

23lim

2

2

2

Respuesta 6

5. 23

124lim

2

0

x

xx

x Respuesta

2

1

6. 1

52lim

2

2

1

x

xx

x Respuesta 4

7. 2

2lim

2

x

x

x Respuesta 0

8. 2

4lim

2

2

x

x

x Respuesta 4

9. 2

8lim

3

2

x

x

x Respuesta 12

10. 253

103lim

2

2

2 xx

xx

x

Respuesta 1

11. 32

44lim

23

2

uu

uuu

u Respuesta 0

12. 2012

65lim

2

2

2

xx

xx

x Respuesta

8

1

13. ax

ax

ax

lim Respuesta

a

a

2

95

14.

h

xfhxf

h

0lim Si

a) 2xxf Respuesta 2x

b) 12 xxf Respuesta 2x

c) x

xf1

Respuesta 2

1

x

d) xxf Respuesta x2

1

e) 3xxf Respuesta 23x

g) 123 2 xxxf

15.

31 1

3

1

1lim

xxx Respuesta -1

16. 49

32lim

27

x

x

x

17.

x

x

x

82lim

3

0

Respuesta 12

96

2.3. Continuidad de una Función.

La importancia de estudiar la CONTINUIDAD de las funciones

nos permite conocer sus características y propiedades. Por sus propiedades

las FUNCIONES CONTINUAS juegan un rol fundamental en el estudio de

lLa Matemática y en particular del Cálculo.

Definción 2. 3. 1. Sea xf una función definida para todo x en un

intervalo abierto que contiene al número a. Entonces

f es Contínua en ax si y sólo si afxfax

lim

Nota 2. 3. 1.

i) Para que una función sea Contínua en un punto ax se deben

satisfacer tres condiciones:

1) af debe estar definida, es decir, Dfa

2) xfax

lim existe

3) afxfax

lim

2i) f es Contínua en ax si y sólo si. Para todo 0 , existe 0

tal que afxf cuando ax

3i) Si: 1) af no está definida ó

2) xfax

lim no existe ó

3) ax

xf

lim existe pero no es igual a ,af la función f no

es Contínua en ax . En este caso diremos que la función es

DISCONTINUA en ax .

Ejemplo 2..3.1.

a) Sea n

nnn axaxaxaxf ....2

2

1

10 (función Polinómica).

Como bfabababaxf n

nnn

obx

....lim 2

2

1

1 entonces

la función Polinómica es CONTINUA en bx

Toda Función Polinómica es contínua en cualquier número real.

b) La función Racional es continua en todo su dominio.

c) Consideremos la función

1 si2

1 si1

12

x

xx

xxf

Como:

1) 211 fdefinidaestáf

97

2) 2lim1

xfx

3) 1lim1

fxfx

, entonces

1xencontínuaesxf

d) Como la función 1

12

x

xxf no está definida en 1x ,

entonces xf es DISCONTINUA en 1x

e) Consideremos la función

01

0

xx

xxxf

Esta función está definida en ,100 fx pero 0

limx

no

existe pués los límites laterales son distintos, en efecto:

,1lim;0lim00

xfxfxx

en consecuencia

xf es DISCONTINUA en 0x

f) Consideremos la función

1 si0

1 si1

12

x

xx

xxf

Como:

1) xf está definida en 011 fx

2) 2lim1

xfx

y

3) 1lim1

fxfx

entonces xf es DISCONTINUA en x = 1

98

Definición 2. 3. 2.

a) f es Contínua en un Intervalo Abierto (a, b) si f es Contínua en todo punto

del Intervalo (a puede ser y/o b puede ser )

b) f es Contínua en un Intervalo Cerrado :. siba

1) f es Contínua en el Intervalo Abierto (a,b)

2) bfyaf están definidas

3)

bxax

yafxf limlim

c) f es Contínua en un conjunto A si

f es Contínua en todo punto de A

Ejemplo 2. 3. 2.

La función xxf es Contínua en el Intervalo 00,0 en efecto:

Sea 0

lim;00,0xx

o comox

entonce f es Contínua para todo 00,0 ox aún más como ,0lim0

xx

se tiene que f es Contínua en el conjunto 00,0

Nótese que xx 0lim

no existe ya que x no está definida para valores negativos

de .0xx Esto ilustra la importancia de definir la Continuidad en los puntos

extremos de un intervalo cerrado en términos de los límites laterales.

99

Ejercicios Propuestos 2. 3. 1.

1.- Defina los siguientes conceptos:

i) Continuidad

2i) Continuidad en un punto, en un intervalo

3i) Discontinuidad

4i) Continuidad en un conjunto

2.- En los problemas siguientes encontrar el conjunto en el cual la función es

contínua.

a) 23 1517 xxxf Resp. (-00, +00)

b) 31

xxf

c) 2

1

xxf Resp. 00,22,00 U

d) 1

172

x

xxf

e) 2

2 1

x

xxf

Resp. 00,00,00 U

f) 2

2

x

xxf

g) x

xxxf

62 Resp. 00,00,00 U

3.- Demostrar que la función

1si3

1 si1

13

x

xx

xxf

es contínua en R

4.- ¿Para que valores de c la función definida por

1 si

1 si1

14

xc

xx

xxf

es contínua en x = 1 ? Resp. c = 4

100

5.- Sea

24

20

002

x

xx

x

xf

Grafique f. Demuestre que f es contínua en R

6.- Sea 2

1

x

xxf i) ¿Es contínua en el intervalo 3,,3 ?

2i) ¿Es contínua en el intervalo 1,,1 ?

Resp. (i) NO ; (2i) SI

7.- Si f y g son funciones reales, definimos las funciones f V g

y gf como sigue:

DgDfgDfVgDf y además

DgDfxxgxfxgVxfxgVf ,´máx

DgDfxxgxfxgxfxgf ,mín

i) Grafique las funciones gfyfVg si

2, xxgxxf

2i) Utilizando i) ¿qué puede decir sobre la continuidad de

gfyfVg ? (Problema opcional)

2. 4. Algunas Propiedades de las Funciones Contínuas.

Las siguientes propidades nos permitirán, entre otras, reconocer

funciones Contínuas para un espectro más amplio de funciones y la caracterización

gráfica de las funciones Contínuas.

P.1. Sean f y g funciones contínuas en x = a, c una constante, entonces las

siguientes funciones son contínuas en x = a:

i) c f

2i) f + g

3i) f . g

4i) 0 si agg

f

La demostración de estas propiedades se basan en las definiciones de límite

y continuidad. Por ejemplo para probar 4i tenemos que si ,0ag

101

ag

f

ag

af

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax

lim

limlim

así axg

fen contínua es

Ejemplo 2. 4. 1.

La función 53

232

23

xx

xxxxf es contínua

En 0x puesto que 23 23 xxxxp es contínua en 0x

y 532 xxxq es contínua en 050 ademásy 0 qx

P.2. Si f es contínua en a y axgbx

lim entonces

afxgfbx

lim es decir

xgfxgfxfog

bxbxbxlimlimlim

Demostración P.2.

Sea .0 Debemos probar que existes 0 tal que afxgf

cuando bx0

i) Como f es contínua en a, por definición (Nota 2.3.1; 2i) existe 1

tal 1 cuando axafxf

2i) Como 1 que tal existe,lim

axgaxgbx

cuando bxbx

pero si 1 axg entonces, de (i) afxgf

Luego afxgf que tal0 existe0

cuando bxbx

Esta propiedad es muy útil para calcular límites de funciones compuestas.

Ejemplo 2. 4. 1.

a) Determinar 2

14lim x

x

como xxhxx

función lay 34lim 2

1

102

es contínua en 00,0 (Ejemplo 2. 3. 2.) se concluye que

34lim4lim 2

1

2

1

xx

xx

b) 1648lim22

0

xx

x en efecto

448lim 2

0

xx

x y como la función

2xxh es contínua en R, se sigue que

16448lim48lim 222

0

22

0

xxxx

xx

P.3. Si f es es contínua en ba, , entonces f es Acotada en ba, ,

es decir existen m y n en R tales que baxnxfm ,

P.4. Sean f contínua en ba,

c un número entre bfaf y , entonces existe un ox

en ba, tal que .0 cxf

La interpretación geométrica de esta propiedad es la siguiente:

“Si trazamos una recta paralela al eje x por cualquier punto c

ubicado entre bfaf y , esta recta corta al gráfico de f

en al menos un punto cuya abscisa está entre a y b (Fig. 36)

Figura 36

f(b)

c

f(a)

a

y = f(x)

xo b

103

Como consecuencia inmediata de la propiedad 4, tenemos la

siguiente propiedad.

p.5. Si xf es contínua en el intervalo ba, y af y bf

son signos contrarios 0 bfaf entonces existe

bax ,0 tal que 00 xf

00 bfaf

Figura 37

Nota 2.4.1.

a) Las propiedades 4 y 5 juegan un papel importante en algunos

métodos que se usan para resolver ecuaciones.

b) La propiedad 4 y la definición de continuidad permiten reconocer

mediante su gráfica a una función contínua en un intervalo ba, .

Una función f es contínua en ba, si su gráfica no se “interrumpe”

en dicho intervalo, es decir, su gráfico es contínuo.

c) Por lo expuesto en b y por lo que sabemos de sus gráficos las fun-

ciones Exponenciales, logarítmicas, hiperbólicas, Trigonométricas,

etc., son contínuas en sus respectivos dominios.

00 afbf

y y

f(b)

f(b) f(a)

f(a)

0 0

a a b

b

y = f(x) y - f(x)

x x xo

104


I.- Enuncie las propiedades de las funciones contínuas.

II.- Aplicando propiedades de las funciones contínuas y de límite, determinar:

1) 3

lim 1x

x

Resp. 2

2) 0

lim ;n

xa x a R n N

Resp. na

3) 0

limx

sen x

tg x Resp. 1

4) 0

lim1 cos

sen x

x x Resp. 2

5) 1

lim 2x

arc sen x

6) 0

1lim log

1x

x

x

Resp. 0

7) 2

lim sen x

xe

Resp. e

8) 2 2

1lim

x x

xe

Resp. 1

9) 2

lim2x

x sen x

x

10) 2

0

1 1limx

x x

x

Resp.

2

1

11) 2

lim ( )x

Ln sen x

Resp. 0

12) 2

3 2lim

2x

x x

x

13) 2

3 2lim

2x

x x

x

14) 1

lim 1 2x

x x

Resp. No existe

15) 1

lim 1x

x

Resp. No existe

16) 1

lim( 1)x

x arcsenx

Resp. 2

105

17) )(lim1

arcsenxxx

18) x

senx

x cos1lim

0

19) 23

1lim

20

xx

senxe x

x

III.- Aplicando propiedades de funciones contínuas

Demostrar:

1.- que la ecuación 02035 xx tiene al menos una raíz entre 0 y 2

2.- que 1

211 que tal2,1 3

x

xxxx

3.- que la ecuación 65 xx tiene al menos una raíz en 8,6

2.5. Límite al Infinito

A.- Límmite Infinito y Asíntotas Verticales

Si el valor f x de una función crece indefinidamente cuando x

tiende a a, entonces limx a

f x

no existe.

conviene tener un símbolo para expresar brevemente este caso.

En matemáticas se usa el símbolo:

limx a

f x

para indicar que f x crece sín límite donde el símbolo se

lee “más infinito” y no se le debe atribuir ningún valor real.

Ejemplo 2.5.1.

22

1lim

2x x

como se puede observar en la gráfica de la

función

2

1

2f x

x

(Figura 38)

106

Figura 38

2

1

2f x

x

El significado preciso de limx a

f x

está dado por la

siguiente definición.

Definición 2.5.1.

El símbolo limx a

f x

significa que 0M , existe 0

tal que cuando 0f x M x a

Definición 2.5.2.

a) El símbolo limx a

f x

significa que 0,M existe

0 tal que cuando , f x M x a a

b) El símbolo lim significa que 0,x a

f x M

existe

0 tal que cuando ,f x M x a a

Ejemplo 2.5.2.

a) 2

limx

tgx

b) 1

1lim

1x x

y

x 0

x = 2

107

(a) (b)

Figura 39 a) 1

b) 1

f x tgx g xx

Si el valor de f x toma “valores negativos grandes”, cuando

x tiende a a, introducimos el símbolo lim donde x a

f x

se lee “menos infinito” y también no se le debe atribuir ningún

valor real.

El significado matemático de los símbolos

lim ; lim ; limx a x a x a

f x f x f x

están dados en la siguiente definición

Definici´jon 2.5.3.

a) limx a

f x

significa que :

0, existe 0 tal que cuandoM f x M

0 x a

b) limx a

f x

significa que:


,x a a

c) limx a

f x

significa que:

y

x

-π/2 0 π/2 π 3π/2

y

x

0

x = 1

108


,x a a

Ejemplo 2.5.3.

a)

22

1lim

2x x

Figura 40 (a)

b) 1

1lim

1x x

Figura 40 (b)

c) 0

lim lnx

x

(a) (b)

Figura 40

Los símbolos dados en las definiciones 2.5.1., 2.5.2. y 2.5.3. se conocen

bajo el nombre de límite infinitos y en estos casos decimos que f tiene

límite infinito ó diverge a infinito.

Asíntotas Verticales

Si f x tiene un límite infinito cuando x tiende a a por la derecha

ó por la izquierda, la gráfica de la función se acerca más y más a la

recta vertical de ecuación x a , cuando x a . En este caso la recta

x a se llama ASINTOTA VERTICAL de la gráfica.

Ejemplo 2.5.4.

a) El gráfico de la función

2

1

2f x

x

tiene una Asíntota Vertical

cuya ecuación es 2x , puesto que

22

2lim

2x x

(Figura 40(a))

y y

0

0

x = 2

x x

x = 1

109

b) Como 3

2lim

3x

x

x

entonces la recta de ecuaciones 3x es una

Asíntota Vertical, del gráfico de la función 2

3

xf x

x

(nótese

que 3

2lim

3x

x

x

)

Figura 41 2

3

xf x

x

B.- Límites en el Infinito y Asíntotas Horizontales.

En varias aplicaciones importantes es necesario determinar

el comportamiento de f x para valores de x cada vez

más grandes.

Consideremos el comportamiento de 1x

f xx

cuando

x toma valores “grandes positivos” a través de la siguiente

tabla:

x 1x

x

_____________________________

1 2

10 1,2

100 1,01

1000 1,001

10000 1,000

Tabla 1

3

110

Es evidente que cuando x crece indefinidamente 1x

f xx

se aproxima a uno. Lo que en notación matemática escribimos:

1

lim 1x

x

x

Análogamente si x toma valores “grandes negativos” se puede

apreciar en la Tabla 2 que 1x

f xx

se aproxima a uno, lo

que en símbolos matemáticos escribimos:

1

lim 1x

x

x

x 1x

x

__________________________________

-1 0

-10 0,9

-100 0,99

-1000 0,999

-10000 0,9999

Tabla 2

El comportamiento gráfico de f x cuando x toma valores

“grandes positivos” x y x toma valores “grandes

negativos” 0x queda ilustrado en la Figura 42.

Figura 42 1x

y f xx

y

x 0

1

111

Definición 2.5.4.

a) limx

f x L

si y sólo si 0 existe, 0M

tal que cuando f x L x M

b) lim x

f x L

si y sólo si 0 existe 0M

tal que f x L cuando x M

Ejemplo 2.5.5.

a) 1

lim 0x x

en efecto

Sea 0 , debemos encontrar 0M tal que

1

0x cuando x M

se tiene que 1 1 1

0 0xx x x

entonces 1 1

0 cuando 0xx x

es decir 1 1

0 cuando xx

Sea 1

0M

, entonces cuando 1

x M

se

tiene que 1

0x , por lo tanto

1lim 0x x

b) 1

lim 0x x

en efecto

Sea 0 , debemos encontrar 0M tal que

1

0x cuando x M

se tiene que 1 1 1

0 0xx x x

entonces 1

0x cuando

10x

x

es decir 1

0x cuando

1x

Sea 1

0M

entonces, cuando 1

x M

se tiene que 1

0x , luego

1lim 0x x

c) 2

1lim 0x x

112

como 1

lim 0x x

se sigue que 2

1lim 0x x

d) 2

2

2 5 3lim

3 4 2x

x x

x x

A través de una tabla podemos observar que este límite es 2

3

Para calcular este límite en una forma más facil, podemos

tratar de usar la propiedad de límite para el cuociente pero,

2 2lim 2 5 3 y lim 3 4 2x x

x x x x

y el límite no está determinado

Podemos obviar este problema dividiendo numerador y

denominador por 2x (la potencia de mayor exponente que

aparece en el cuociente) entonces:

2

2 2 2 2 2

22

2 22 2 2

2 5 3 5 32

2 5 3

4 23 4 23 4 23

x x

x x x x x x x

x xx x

x xx x x

y como 2

1 1lim 0 limx xx x

tenemos que

2 2

2

2

1 12 5 3

2 5 3 2lim lim

1 13 4 2 33 4 2

x x

x x x x

x x

x x

Nótese que se ha hecho mucho uso de algunas de las propiedades

de límite. ¿Cuáles?

Nota 2.5.1.

a) Si lim 0 y lim 0,x a x a

f x A g x

entonces

diverge a cuando

f xF x x a

g x

b) Si lim 0 y lim , entoncesx a x a

f x A g x

lim 0x a

f x

g x

c) Si diverge a cuando , y lim 0f x x a g x A

entonces

diverge a

f xF x

g x

113

d) Si lim y lim ,x a x a

f x g x

entonces

limx a

f x g x

Formas Indeterminadas

Si no tenemos una expresión general para el cálculo de un

límite, se dirá que este límite es Indeterminado.

Los siguientes casos son límites indeterminados:

1) Si lim 0 y lim 0,x a

x a

f x g x

entonces no hay una

expresión general para calcular

limx a

f x

g x

(forma indeterminada 0

0)

2) Si f y g divergen a , cuando ,x a entonces no

hay una expresión general para calcular

limx a

f x

g x

(forma indeterminado

)

3) Si lim y lim ,x a x a

f x g x

entonces no hay

una expresión general para limx a

f x g x

(forma indeterminada )

Otras formas indeterminadas son: (0.00) ; (0º) ; (00º)

(1ºº)

Asíntotas horizontales

Si lim ,x

f x c

la gráfica de f se acerca más y más a

la linea horizontal y c se llama ASINTOTA

HORIZONTAL de la gráfica de f ; análogamente

si limx

f x d

la recta de ecuación y d se

llama Asíntota Vertical del gráfico de f.

De acuerdo a lo anterior el gráfico de una función f

tiene Asíntota Horizontal y c si limx

f x c

y/o cuando limx

f x c

114

Ejemplo 2.5.6.

En el gráfico de la función 2

3

xf x

x

la recta 1y

es una Asíntota Horizontal puesto que 2

lim 13x

x

x

(Figura 43)

Figura 43 2

3

xf x

x

Ejercicios propuestos 2.5.1.

I.- Defina los siguientes conceptos:

1) Asíntota Vertical

2) Asíntota Horizontal

3) lim ; limx a x a

f x f x

4) lim ; limx x

f x f x

II.- Calcular los siguientes límites:

1) 2

21

1 2lim Resp.:

2 1 3x

x

x x

2) 2

2

1 1lim Resp.:

2 1 2x

x

x x

3)

0

1 1 2 1 3 1lim Resp.: 6x

x x x

x

115

4)

20 30 30

50

2 3 3 2 3lim Resp.:

22 1x

x x

x

5) lim Resp.:0x

sen x

x

6) 2

0

1 1limx

x

x

III.- Encuentre cualquier Asíntota Horizontal y Vertical de

las gráficas de las siguientes funciones.

(Se recomienda bosquejar el gráfico de la función).

1) 1 1

Resp.: 0 x

f x yx

Asíntota Horizontal

2)

1 Resp.: x 0 A. Vertical

y = 0 A. Horizontal

f xx

3)

2

Resp.: x 1 A. Vertical1

y = 0 A. Horizontal

xf x

x

4) 2

1

2

xf x

x x

5) 2 3 2

xf x

x x

6) 2

21

xf x

x

Resp.: y = 1 A. Horizontal

7) 3f x x

8) 2

2 3

2 3 5

xf x

x x

Resp.: x =

5

2

A. Vertical

x = 1 A. Vertical

y = 0 A. Horizontal

9) 2

4

6f x

x x

Resp.: x = -3 x = 2

Asíntotas Verticales

y = 0 Asínt. Horizontal

10) 1f x x x

11) 2

2 3

2 3

xf x

x x

Resp.: y = 2 ; y = -2

Asíntotas Horizontales.

116

IV.- Calcular los siguientes límites:

1) 2 2

limx a

x b a b

x a

2) 5

5 2

3 2 3lim Resp.:

4 20 4x

x

x x

3) 1 1

3 3) lim ) lim Resp.: a) +

1 1

b) -

x x

x xa b

x x

4) a)

0 0lim ) limx x

f x b f x

c) lim ) limx x

f x d f x

si 1

si x>0

3x+2 si 0

f x x

x

5) 2

2

3 5 3lim Resp.:

4 5 4x

x

x

6) 2

2 7lim Resp.: 0

8x

x

x

7) 2

5 2lim Resp.: 5

3 1x

x

x x

8) a) 2 2

4 1 4 1lim b) lim Resp.: a) 4

2 2

b) -4

x x

x x

x x

9) a)2 2

7 4 7 4lim b) lim

5 5x x

x x

x x

2.6. Algunos Límites Especiales.

En esta sección daremos a conocer algunos límites especiales

que cobran importancia en la unidad de Derivadas.

Estos límites son:

0

1lim lim 1

x

x x

sen xy e

x x

Teorema 2.6.1.

lim 1sen

117

Demostración: Nótese que el limsen

no puede ser calculado

por evaluación ya que determina una forma indeterminada.

Probaremos el teorema en el caso en que

02

el caso 02

es similar.

De la Figura 44 se tiene:

Área Area del sector circular y

OAC OAC Area OBCx

Área 1 1

2 2OAC OC x AD sen

Área 1 1

2 2OAC OC x BC tg

Área sector circular 1

2OAC

Así

1 1 1

2 2 2sen tg

Para 0 multiplicamos estas desigualdades por 2

sen para

obtener.

1

1cossen

ó

cos 1sen

Como 0 0

limcos 1, concluimos que lim 1sen

Figura 44

y

x

-1

-1

1

0 D C

A B

sen x

tg x θ

118

1

1

x

f xx

Teorema 2.6.2.

1

lim 1

u

ue

u

La demostración de este teorema se omite por escapar al nivel

De este curso. En la Figura 45 podemos observar que la recta

y e es una Asíntota Horizontal del gráfico de la función

1

1

x

f xx

Figura 45

Teorema 2.6.3. Regla de Sustitución

Si. cuando u g x A x a

Y lim limx a u A

f g x f u L

Ejemplo 2.6.1.

a) Encontrar

31

2 1lim

1x

sen x

x

Nótese que

3 22

2 1 2 2 1 2 1 2

1 2 1 12 1 1

sen x sen x sen x

x x x xx x x

Sea 2 1 ;U x

x

y

1

0

e

-1

119

0

2 1 0 cuando lim 1,u

sen uu x x

u entonces

3 21 1

2 1 2 1 2lim lim

1 2 1 1x x

sen x sen x

x x x x

21 1

2 1 2lim lim

2 1 1x x

sen x

x x x

21

2 2lim lim

1 3u o x

sen u

u x x

b) Encontrar 1

0lim 1 x

xx

Sea 1

,ux

entonces 11 1

y 1 1

u

xx xu u

Además como cuando 0,u x se sigue que

1

0

1lim 1 lim 1

u

x

x xx e

u

1

//0

lim 1 x

xx e

c) Encontrar 20

1 coslimx

x

x

Nótese que

2 2

1 cos 1 cos 1 cos

1 cos

x x x

x x x

2 2 2

2 2 2

1 cos

1 cos 1 cos

sen x

x x x

2 2

1 cos

sen x

x x

Sea 0 cuando 0 y lim 1

u o

u x

senuu x

u

Así

2 2

20 0 0

1 coslim lim lim

1 cosx x x

x sen x

x x x

2 2

0lim lim

1 cosu o x

sen u

u x

2 2

12 2 //

120


I.- Enuncie la Regla de Sustitución y explique para que sirve:

II.- Calcular cada uno de los siguientes límites y justifique su

respuesta en término a los teoremas vistos en la Sección 2.6

1.- 0

5lim Resp.: 5x

sen x

x

2.- 0

3 3lim Resp.:

2 2x

sen x

sen x

3.- 2

lim 2 2 Resp.: 0x

x sen x

4.- 0

lim Resp.: 1x

tg x

x

5.- 0

lim Resp.: Constantex

sen AxA A

x

6.- 0

1 coslim Resp.: 0x

x

x

7.-

51

lim 1 Resp.:

x

xe

x

8.-

3

31lim 1 Resp.:

x

xe

x

9.- 22lim 1 Resp.:

x

xe

x

10.-

3

43lim Resp.:

1

x

x

xe

x

11.- lim 1 Resp.: 1x

x Ln x Ln x

12.- 3sec 3

2

lim 1 cos Resp.: x

xx e

3.- DERIVADAS.

El concepto de límite nos permite definir dos operaciones sobre

una función f : la Derivación e Integración, en los cuales se centra el

estudio del Cálculo.

En el presente capítulo trataremos sobre la Derivada.

3.1. Definición de Derivada

Definición 3.1.1. Sean f una función y ox R

- Diremos que f es Derivable en ox si:

limo o

h o

f x h f x

h

existe

121

- Dicho límite, cuando existe, se llama “DERIVADA de f en ox ”

y se denota por ´ of x .

Nota 3.1.1.

Existen varias notaciones para la derivada:

a) haciendo , entonces o oh x x x h x y

´ limo

o

ox x

o

f x f xf x

x x

b) haciendo h x entonces

´ limo o

ox o

f x x f xf x

x

c) si o entonces y oy f x f x

Escribiendo

ox x x (incremento de la variable x)

oy y y (incremento asociado a la variable y ),

entonces o o oy f x f x f x x f x y

o of x x f x y

x x

(Cuociente Incremental)

Así ´ limox o

yf x

x , lo que redpresenta la variación

instantánea de y respecto de x cuando ox x

También se emplea la notación

limo x o

dy yx x

dy x

Definición 3.1.2. Sea f una función.

La Derivada de f es la función f`´

cuyo dominio Df´ es el conjunto de puntos en que f es

derivable, está definida por

´ lim ; ´h o

f x h f xf x x Df

h

Notación: Si x e y están relacionados por la ecuación

,y f x podemos escribir

´dy df

f xdx dx

122

Teorema 3.1.1. Si f es derivable en ox , entonces es

Contínua en ox

Demostración: Por demostrar que lim 0o

ox x

f x f x

Sea ox x x entonces of x f x x y cuando

, 0ox x x

;

lim lim lim

0. ´ 0

o

o o

o

o o

ox x x o x o

o

x f x x f xf x f x

x

f x x f xf x f x x

x

f x

123

DERIVADA DE ALGUNAS FUNCIONES BÁSICAS

1.- Derivada de la función constante.

Si ,f x c c una constante ´ 0f x

La Derivada de una constante es cero.

Demostración:

0f x h f x c c

h h

lim 0h o

f x h f x

h

Luego ´ 0f x

2.- Derivada de la función f x x

Si ´ 1f x x f x

Demostración:

1

lim 1h o

f x h f x x h x h

h h h

f x h f x

h

Luego ´ 1f x

3.- Derivada de la función nf x x

Si 1´n nf x x f x nx n N

Demostración:

1 2 2 3 3

1 2 2 3 1

1 2 2 3 1

1 1 2...

2 6

1 1 2....

2 6

1 1 2...

2 6

n n n n n n

n n n n

n n n n

n n n n nx nhx h x h x h xf x h f x

h h

n n n n nh nx hx h x h

h

n n n n nnx hx h x h

1lim n

h o

f x h f xn x

h

124

Luego 1´ nf x n x

La conclusión de este teorema se puede generalizar cuando n es un número

Real; por ejemplo si 2

333 ´

5 5f x x f x x

4.- Derivada de la función f x sen x

Si ´ cosf x sen x f x x

La Derivada de la función seno es la función coseno

Demostración:

2 cos2 2

2.cos

2

2

f x h f x sen x h sen x

h h

h hsen x

h

hsen

hx

h

2

lim lim .limcos2

2

h o h o h o

hsen

f x h f x hx

hh

Como 2

lim 1 y limcos cos2

2

h o h o

hsen

hx x

h

Entonces

lim cosh o

f x h f xx

h

Luego ´ cosf x x

5.- Derivada de la función cosf x x

Si cos ´f x x f x sen x

La Derivada de la función cos x es la función –sen x


6.- Derivada de la función logaf x x

125

Si 1

log ´ loga af x x f x ex

Demostración:

1

log log

1 1log log 1

2

1log 1

1log 1

a a

a a

a

ua

f x h f x x h x

h h

x h h

h x x

x h

x h x

hu con u

x x

Cuando 1

, y lim 1 ,u

u oh o u o u e

entonces

11 1

´ lim limlog 1 logua a

h o u o

f x h f xf x u e

h x x

Luego 1

´ logaf x ex

7.- Derivada de la función f x Ln x

Si 1

´f x Ln x f xx

Demostración: Aplicando la derivada de logaf x x

1 1

tenemos ´con a e f x Ln ex x

Luego 1

´f xx

8.- Derivada de f x x

9.- Si 1 1

´2

f x f xx x

10.- Si 1

1

1´

2f x x f x

x

126

EJERCICIOS PROPUESTOS 3.1.1.

1.- Defina Derivada de f en x

2.- Defina ´ of x

3.- Demuestre que si f es derivable en ox , entonces es contínua en ox

4.- Defina “Cuociente Incremental”

5.- Sea f x x ¿Es f derivable en 0x ?

6.- Sea f x x determinar df

dx para 0x

7.- Si 1

demuestre que ´f x Ln x f xx

8.- Utilizando la expresión

´ limo

o

x xo

f x f xf x

x x

Hallar:

a) 2´ 1 si 6 Resp.: 2f f x x

b) ´ 0 si Resp.:f f x m x b m

c) ´ 3 si Resp.: 1f f x x

d) 1

´ 4 si Resp.: 4

f f x x

9.- Sea 1

1f x

x

(opcional)

a) Encontrar ´f x , donde f sea derivable

b) Grafique f x

10.- Sea f x x x Encontrar ´f x ; donde existe (opcional)

11.- Sea 0 1

1 1

x xf x

x x

¿Existe ´ 1f ?

3.2. Algebra de Derivada

En esta sección veremos teoremas sobre derivadas que nos permitan

obtener en forma más agil la derivada de una función.

127

Teorema 3.2.1. Si c es una constante y si f es derivable, entonces

cf también es derivable y

d df

cf cdx dx

“El factor constante se puede sacar fuera del proceso de derivación”

Demostración:

lim

lim

lim

h o

h o

h o

cf x h cf xdcf

dx h

f x h f x hc

f x h f xc

h

dfc

dx

Ejemplo 3.2.1.

3 3 2 25 5 5. 3 15d d

x x x xdx dx

Teorema 3.2.2. Sean f y g diferenciables, entonces f g

También es diferenciable y

d df dg

f gdx dx dx

“La derivada de la suma (o diferencia) de funciones derivables es la suma

(o diferencia) de sus derivadas”.

Demostración

lim

lim

lim

lim lim

h o

h o

h o

h o h o

f g x h f g xdf g

dx h

f x h g x h f x g x

h

f x h f x g x h g x

h h

f x h f x g x h g x

h h

df dg

dx dx

El resultado de este teorema se puede generalizar para un número

finito de funciones derivables:

128

1 2 3 1 2 3.... ´ ´ ´ ´ ... ´n nf f f f f f f f

Ejemplo 3.2.2.

5 5

4

1 13 3

4 4

1 53 cos

42

d d d dsen x x x sen x x x

dx dx dx dx

x xx

Teorema 3.2.3. Sean f y g derivables, entonces (fg) es

derivable y

d dg df

fg f gdx dx dx

“La derivada del producto de dos funciones derivables es igual al

producto de la primera función por la derivada de la segunda más

el producto de la segunda por la derivada de la primera función”

Demostración:

lim

lim

lim

lim lim

lim lim .lim

h o

h o

h o

h o h o

h o h o h o

fg x h fg xdfg

dx h

f x h g x h f x g x

h

f x h g x h f x g x h f x g x h f x g x

h

g x h f x h f x f x g x h g x

h h

f x h f x g x h g xg x h f x

h h

como limh o

g x h g x

puesto que g es continua debido que es

derivable (Teorema 3.1.1.)

luego

d dg df

fg f gdx dx dx

129

Teorema 3.2.4. Sean f y g funciones derivables en x y si 0g x ,

entonces:

2

df dgg x f x

d f dx dx

dx g g x

“La derivada del cuociente de dos funciones es igual a otro cuociente que

tiene por denominador el cuadrado del denominador del cuociente dado

y por numerador, la diferencia entre el producto del denominador por la

derivada del numerados y el producto del numerador por la derivada del

denominador”.

Demostración:

2

. .lim lim

lim

lim lim

.lim

.

h o h o

h o

h o h o

h o

f x h f x

g x h g x f x h g x f x g x hd f

dx g h hg x g x h

f x h g x f x g x f x g x f x g x h

hg x g x h

f x h f x g x h g xg x f x

h h

g x g x h

df dgg x f x

dx dx

g x

Ejemplo 3.2.3.

a)

2 2

cos cos cos

cos cos

cos

cos 2

d d dsen x x sen x x x sen x

dx dx dx

sen x sen x x x

x sen x

x

b)

3 2 2 32

23 3

3 2 2

23

4 3 4 3 2

23

2 3 4

23

1 3 8 3 8 13 8

1 1

1 2 3 3 8 3

1

2 2 3 3 3 9 24

1

3 2 24 6

1

d dx x x x x x

d x x dx dx

dx x x

x x x x x

x

x x x x x x

x

x x x x

x

130

c)

1

1

1

d d dx Ln x x Ln x Ln x x

dx dx dx

x Ln xx

Ln x

d)

2

1

d dLn x x x Ln x

d x dx dx

dx Ln x Ln x

Ln x

Ln x

Derivada de la función tg x

Si 2´ secf x tg f x x

Demostración:

2

2

2 2

2

2

cos

cos cos

cos cos

cos cos

cos

cos

cos

1

cos

sen xtg x

x

d dx sen x sen x x

d d sen x dx dxtg xdx dx x x

x x sen x sen x

x

x sen x

x

x

Luego 2´ secf x x

Si sec ´ secf x x f x x tg x

Demostración:

1

cos secx

x

131

2

cos 1 1 cos1

seccos cos

0

cos cos

1

cos cos

sec

d dx x

d d dx dxxdx dx x x

sen x

sen x

x x

sen x

x x

x tg x

Luego ´ secf x x tg x

Derivada de la función 2cosec x

Si 2´ cosf x ctgx f x ec x

Demostración.- Ejercicio

Derivada de función cosec x

Si cos ´ cosf x ec x f x ec x ctg x

Demostración.- Ejercicio

Teorema 3.2.5.- Regla de la Cadena

Si en cierto punto x la función u g x es derivable

y la función y f u es derivable en el valor correspondiente de u en

un punto x, entonces la función compuesta y fog x f g x es una

función derivable en x y

d d d

fog x f u g xdx du dx

ó ´ ´ ´fog x f g x g x

ó dy dy du

dx du dx

132

Demostración:

lim

lim

lim

lim lim *

x o

x o

x o

x o x o

fog x x fog xdfog x

dx x

f g x x f g x

x

f g x x f g x g x x g x

x g x x g x

f g x x f g x g x x

g x x g x x

El segundo límite de (*) es ´ .du

g xdx

Para evaluar el primer

límite nótemos que cuando x o g x x g x porque,

siendo g derivable es contínua en x

Sea , cuando g g x x g x g o x o y

lim lim

´ ´

x o g o

f g x x f g x f g x g f g x

g x x g x g

df g x f u f u

du

Así d d d

fog x f u g xdx du dx

ó ´ . ´d

fog x f g x g xdx

La Derivada de una Función Compuesta es igual al producto

de la derivada de esta función respecto a la Variable intermedia u por

la derivada de la Variable Intermedia respecto a x

´d du

f u f u udx dx

Variable Intermedia

Ejemplo 3.2.4.

a) si 3

2 5 ; Hallar dy

y f x xdx

Desarrollo:

3

2 25y x

Sea 3 3

2 2 2 25, entonces 5u g x x y x u

133

3 1

2 23

y como 22

dy d duu u x

du du dx

Usando la regla de la Cadena

12

12 2

2

32

2

3 5

3 5

dy dy duu x

dx du dx

x x

x x

b) Si 5cos 1 , hallar dy

y xdx

Desarrollo:

Sea 5 1, entonces cos yu x y u

5

4

4 5

cos 1

5

5 1

dy dy du d du x

dx du dx du dx

dysen u x

dx

dyx sen x

dx

c) si 2

2

1 Hallar ´

1

xy f x f x

x

Desarrollo:

Sea 2

2

1, entonces

1

xu y u

x

y

2 2 2 2

2 2 22 2 2

2

22

2

22 2

2

32

1 1 2 1 2 2 1 2

1 1 1

1 22

1

1 212

1 1

2 1 1 2

1

x x xdu x x x x x

dx x x x

dy dy du x xu

dx du dx x

x xx

x x

x x x

x

134


I.- Determinar la derivada de las siguientes funciones:

1. 4 2 33 6 Resp.: ´ 4 6y x x y x x

2. 3 26y x x

3. 5 2 45x 2

Resp.: y´=a+b

x x xy

a b a b a b

4. 3 2 1

5

x xy

5. 2

3 2 22 Resp.: y´=6ax

x xy ax c

b b

6. 7 52 26 4 2y x x x

7. 3

23 2

1 3 1 13 Resp.: ´

2 3y x x y

x xx x

8. 2 2

2 2

x m x ny

m x n x

9. 2 1 2 1Resp.: ´ 2a a a ay x x y ax ax

10. 3 21 4 1 2y x x

11. 2 22 1 6 3 Re .: ´ 6 26 12y x x x sp y x x

12.- 2 2

2xy

b x

13.-

2

2Resp.: ´

a x ay y

a x a x

14.- 2

21

tf t

t

15.-

2

2

4 2 4Resp.: ´

3 3

s s sf s f s

s s

16.- 2

22 3y x

17.- 5 4

2 2 2 2Resp.: ´ 10y x a y x x a

18.- 2 2y x a

135

19.-

12

312 2

1 1Resp.: ´

1 1 1

xy y

x x x

20.- 3

31y x

21.- 2 Resp.: ´ 2y sen x y sen x

22.- 2 cos 3y sen x x

23.- 2

Resp.: ćos

ay tg ax b y

ax b

24.- 1 cos

sen xy

x

25.- 5 4 2cot 5 Resp.: ´ 25cot 5 csc 5y g x y g x x

26.- 3 cosy sen t t

27.- 2

cos 2 Resp.: ćos 2

a sen xy a x y

x

28.- 3

3

zr a sen

29.- 1

Resp.: ´ cossec

tg xy y sen x x

x

30.-

12

1ln

1

sen xy

sen x

31.- ln Resp.: á

y ax b yax b

32.- 2

3lgy x sen x

33.- 1

ln ln Resp.: ´ln

y x yx x

34.- 3ln 2 5y x x

35.- ln Resp.: ´ ln 1y x x y x

36.- 2ln 1y x x

37.- lny tg x

136

3.3. Derivada de la Función Inversa:

Teorema 3.3.1.- Si para la función y f x existe la función inversa

x g y tal que en un punto y dado tenga derivada

´ 0g y entonces la función ,y f x tiene en el

punto correspondiente x una derivada ´f x dada por:

1

´`

f xg y

Demostración: Como ,x g y entonces x g y y g y

además; 1y

xx

y

Como g y es contínua, cuando , entoncesx o y o

1 1lim lim

´x o y o

y

xx g y

y

Osea 1

´´

f xg y

La derivada de una de las dos funciones recíprocamente inversas es

igual al valor recíproco de la derivada de la otra función para los

correspondientes valores de .x e y

Derivadas de las Funciones Trigonométricas Inversas.

a) Derivada de la funci´jon arc sen x;

Si 2

1

1

dyy f x arc sen x

dx x

Demostración:

2 2

y arc sen x x sen y y

2 2cos 1 1

dxy sen y x

dy

(Signo + pues para cos )2 2

y y o

137

De acuerdo al Teorema 3.3.1.

2

1 1

1

dy

dxdx xdy

b) Derivada de la función arc cos x:

Si 2

1cos

1

dyy f x arc x

dx x

Demostración:

cos cos 0y arc x x y y

2 21 cos 1dx

sen y y xdy

(la raíz cuadrada son signo + pues 0 cuando 0 )sen y y

De acuerdo al Teorema 3.3.1.

2

1 1

1

dy

dxdx xdy

c) Derivada de la función arc tg x

Si 2

1

1

dyy f x arc tg x

dx x

Demostración:

2 2

y arc tg x x tg y y

2 2 2

1 1 1 1

sec 1 1

dy

dxdx y tg y x

dy

d) Derivada de la función arc ctg x:

Si 2

1

1

dyy f x arc ctg x

dx x

Demostración: Ejercicio

e) Derivada de la función arc sec x

Si 2

1sec

1

dyy f x arc x

dx x x

138


f) Derivada de la función arc cosec x

Si 2

1cos

1

dyy f x arc ec x

dx x x

Demostración: Ejecicio

Derivada de la función Exponencial e Hiperbólicas:

a) Derivada de la función ; 1xa a o a

Si ; 1x xdyy f x a a o a a Ln a

dx

Demostración:

logx

ay a x y

1 1

1 loglog a

a

dy y

dxdx ee

dy y

Pero 1

logx

a

Ln ey a y e

Ln a Ln a

Así entonces

xdya Ln a

dx

b) Derivada de la función xe

Si x xdyy f x e e

dx

Demostración:

En el resultado anterior cambiando a por e tenemos:

xdye Ln e

dx

Luego xdye

dx

c) Derivada de la función seno hiperbólico:

Si cosdy

y f x sen hx hxdx

139

Demostración:

1

,2

x xy sen hx e e entonces

1

cos2

x xdye e hx

dx

d) Derivada de la funci´jon coseno hiperbólico:

Si cosdy

y f x hx sen hxdx

Demostración:

1cos2

1

2

x x

x x

y hx e e

dye e sen hx

dx

e) Derivada de función tangente hiperbólica:

Si 2secdy

y f x tg hx h xdx

Demostración:

Si

2

2 2

2

2

2

cos

cos ´ cos ´

cos

cos

cos

1sec

cos

sen hxy tg hx

hx

hx sen hx sen hx hxdy

dx hx

hx sen hx

hx

h xhx

f) Derivada de la función secante hiperbólica:

Si sec secdy

y f x hx hx tg hxdx


g) Derivada de la función cosecante hiperbólica:

Si cos cos cotdy

y f x ec hx ec hx g hxdx


140

h) Derivada de la función cotangente hiperbólica:

Si 2cosdy

y f x ctg hx ec h xdx



1.- Enuncie el Teorema de la Función Inversa.

2.- Hallar la derivada de la Función Inversa (cuando sea posible)

de las siguientes funciones:

a) 1

3 5 Resp.: 3

dxf x x

dy

b) 17 2f x x

c) 2

1 dx 1Resp.:

dyf x

x y

d) 1

2f x

x

e) 2 1

1 Resp.: 2

dxf x x

dy y

f) ln 2 5f x x

g) 3 1f x x

h) xf x e

3.- Determinar la derivada de los siguientes funciones:

a) 3

33 2

3

3

3Resp.: ´

2 3

xx e x

f x e f xx

b) ln 5xf x e

c) 2 22 1 2 1Resp.: ´ 2 2x x x xf x e f x e x

d) 3 2lgf x x

e) 5

3 3lg 2 Resp.: ´ lg 2xf x f x

141

f) 1

2xtgf x

g) 2

33 Resp.: f´ x

1 9f x arc sen x

x

h) 2sec 1f x arc c x

i) f x arc sen x

j)

2

2cos 1 2 Resp.: ´

1 1 2f x arc x f x

x

k) 3secf x arc x x

l) 3secf x arc x x

m) 2

2Resp.: ´

2 4

xf x arc tg f x

x

n) 3cotf x arc g x

o)

2

4

2 44 Resp.: ´

1 4

xf x arc tg x f x

x

4.- Utilizando las definiciones de seno hiperbólico y coseno

Hiperbólico, demostrar que:

a) 2 2 xcos 1 b) e cosh x sen h x hx sen hx

c) cosxe hx sen hx

5.- Demuestre que 2cotd

g hp cocec h xdx

(Sugerencia utilice

cos

cothx

g hxsen hx

6.- Demuestre que sec secd

hx hx tg hxdx

7.- Determinar la derivada de las siguientes funciones:

a) 4 2f x sen h x

b) 2

1 1 1cos Resp.: ´f x h f senh

x x x

c) sec lnf x c h x

142

TABLA DE LAS PRINCIPALES FORMULAS DE DERIVACIÓN.

( ) , constantef x c c ´ 0f x

;af x x a R 1´f x x

f x sen x ´ cosf x x

cosf x x ´f x sen x

f x tg x 2´ secf x x

f x ctg x 2´ cosf x ec x

secf x x ´ secf x x tg x

cosf x ec x ´ cos cotf x ec x g x

f x arc sen x 2

1´

1f x

x

f x arc tg x 2

1´

1f x

x

xf x a ´ xf x a Ln a

xf x e ´ xf x e

logaf x x 1

´ logaf x ex

f x Ln x 1

´f xx

y cf x ´dy

cf xdx

y f x g x ´ ´dy

f x g xdx

y fg x ´ ´dy

f x g x g x f xdx

f

y xg

2

´ ´g x f x f x g xdy

dx g x

143

3.3. Derivación de Funciones Implícitas, Derivadas de orden Superior y

Derivación de Funciones Paramétricas:

A.- Derivación de Funciones Implícitas.-

Supongamos que los valores de las Variables x e y se

encuentran relacionados por la ecuación:

, 0f x y

Si la función y f x definida en cierto intervalo (a, b)

es tal que, al sustituir y por la expresión f x en la ecuación

, 0,F x y esta ecación se convierte en una identidad respecto

s x, entonces la función y f x recibe el nombre de “Función

Implícita” definida por dicha ecuación.

Por ejemplo la ecuación

2 2 2 24 0 (aqui , 4x y F x y x y

determina Implícitamente las funciones:

2

2

4 e

4

y x

y x

cos 0y x y

Pues al sustituir y por estas expresiones en la ecuación ésta se

convierte en la identidad

2 24 4 0x x

No siempre es posible hallar la forma explícita de una función

implícita. Por ejemplo las funciones Implícitas definidas por

las ecuaciones

5 2 0y y x

ó cos 0y x y

No pueden expresarse mediante funciones y f x definidas

explícitamente, es decir, éstas ecuaciones no pueden ser resueltas

en y.

Veamos cómo se obtiene la derivada de una función implícita

sin necesidad de transformarla previamente en explícita (sin

ponerla previamente en la forma ).y f x

Supongamos que la función y f x está definida implíci-

tamente por la ecuación 2 3 cos 0y x y

144

Derivando ambos miembros de la ecuación respecto a x y

considerando que y es función de x, obtenemos aplicando la

regla de la cadena:

22 3 0dy dy

y x sen ydx dx

de donde 22 3dy

y sen y xdx

y 23

2

dy x

dx y sen y

Ejemplo 3.4.1.

a) Hallar si cosdy

y x ydx

Desarrollo:

1

1

dy dsen x y x y

dx dx

dy dysen x y

dx dx

dy dysen x y sen x y

dx dx

sen x ydy

dx sen x y

b) Hallar cosdy

si xy xdx

Desarrollo:

cos 1

. 1

1

1

1

1

dxy

dx

dsen xy xy

dx

dysen xy y x

dx

dyy x

dx sen xy

dyx y

dx sen xy

y sen xydy

dx x sen xy

145

B.- Derivadas de Orden Superior.-

Supongamos que la función y f x es derivable en un

Conjunto D, entonces la derivada ´f x está definida en D.

Si la función derivada ´f x es derivable en D, derivando ´f x

con respecto a x, obtenemos la función derivada de ´f x

definida en D, llamada

Derivada de Segundo Orden o Segunda Derivada de f y se

denota por: 2

2" " , ,

d yy f

dx etc.

Ejemplo 3.4.2.

a) Si 2

2, entonces cos

dy d yy sen x x y sen x

dx dx

b) Si 2

5 55 , entonces ´ 1 "y x Ln x y y y

x x

La derivada de la segunda derivada se denomina

Derivada Tercer Orden o Tercera Derivada de f.

En general, la derivada de la derivada de orden (n-1) se llama

Derivada de nesimo Orden y se designa por

; , , etc.n

n n

n

d yy f

dx

Nótese que por definición 1n nf f

Ejemplo 3.4.3.

a) Si entonces nx xf x e f x e

b) Si

1

2

3

4

, entonces

cos2

2.2

cos 32

42

f x sen x

f x x sen x

f x senx sen x

f x x sen x

f x sen x sen x

En general

2n

f x sen n x

146

C.- Derivación de funciones Paramétricas.

Funciones dadas en forma Paramétricas.

Consideremos las ecuaciones

x F t

y G t

(1)

Donde ; ; y t c d F G funciones uno a uno.

Para cada valor de ,t c d corresponden dos valores, uno de x y otro de y.

Considerando que los valores de x e y son las coordenadas de un punto P en

el Plano Cartesiano, a cada valor de t entonces, corresponderá un punto

determinado de dicho plano.

Este punto describe cierta curva C cuando t varía de c a d.

Las Ecuaciones (1) se llaman Ecuaciones Paramétricas de la curva C, en la

que t se denomina Parámetro y el método de determinar la curva C

mediante las ecuaciones (1) se llama método Paramétrico.

Sea 1t F x la función Inversa de .x F t Es claro que y es función

de x:

1y G F x f x

En este caso se dice que la función y f x está definida en Forma

Paramétrica.

Ejemplos de Ecuaciones Paramétricas de algunas Curvas:

a) Circunferencia de radio r y centro en origen:

cosx r t

y r sen t

0 2t

Eliminando el parámetro t, encontramos: 2 2 2x r

b) Elipse:

cosx a t

y b sen t

0 2t

Eliminando el parámetro t, encontramos: 2 2

2 21

x y

a b

147

c) Astroide:

3

3

cosx a t

y a sen t

0 2t

Eliminado el parámetro t (elevando los dos miembros de estas

Ecuaciones a la potencia 23 y sumándolas), encontramos:

23

2 2

3 3x y a

Derivada de una función definida Paramétricamente.

Sea y f x una función dada por las ecuaciones

Paramétricas:

x F t

y G t

1ot t t

Supongamos que F y G son derivables y que F tiene inversa

1t F x que, a su vez, también es derivable. En este caso

la función y f x definida por las ecuaciones paramétricas

puede considerarse como una función compuesta:

1;y G t t F x

donde t es una Variable Intermedia.

Según la regla de la Cadena tenemos:

1 ´dy dy dt dy

F xdx dt dx dt

Pero

1 1 1´

´F x

dxF t

dt

(Derivada de la función Inversa).

y así tenemos

dy

dy dtdxdx

dt

Ejemplo 3.4.4.

La función y f x está dada por las ecuaciones paramétricas:

1 cos

x a t sen t

y a t

0 2t

148

Calcular: dy

dx

i) para cualquier valor de t

2i) para 4

t

3i) en qué valor de t no está determinado y´

Desarrollo:

dy

dy dtdxdx

dt

dy

a sen tdt

1 cosdx

a tdt

i) 1 cos 1 cos

dy a sen t sen t

dx a t t

2i) 4

4

4

2

22

1cos 2 2 21

2

dy sen

dt t

Para funciones de tipo v x

y u x donde tanto la base como

el exponente son funciones de x, aprovechamos las propiedades de logaritmo

y la técnica de derivación Implícita para determinar su derivada.

Ejemplo 3.4.5.

a) Hallar si xdy

y sen xdx

Desarrollo: Tomando logaritmo natural de la función y

Ln y x Ln sen x

Derivando esta igualdad respecto a x, tenemos:

1 cosdy x

x Ln sen xy dx sen x

cotdy

y x g x Ln sen xdx

149

b) Hallar xdysi y x

dx

Desarrollo: Tomando logaritmo natural de la función y

Ln y x Ln x

Derivando:

1 1

1

1x

dyx Ln x

y dx x

dyy Ln x

dx

dyx Ln x

dx

El procedimiento aplicado en el ejercicio 3.4.5. se puede aplicar en

la derivación de ciertas funciones jpara simplificar cálculos:

Ejemplo 3.4.6. Hallar

2

3 3 2

1 si

4 2

xx edyy

dx x x

Desarrollo: Tomando logaritmo natural a la función y

212ln 1 3 4 2

3Ln y x x Ln x Ln x

Derivando con respecto a x tenemos:

)1)2(3

2

4

3

1

2(

2)4(

)1(

)1)2(3

2

4

3

1

2(

)2(3

2

)4(

31

1

21

23 23

2

2

2

x

x

xxxx

ex

dx

dy

x

x

xxy

dx

dy

x

x

xxdx

dy

y

x

150


I.- 1. Hallar 2

2 2 3

2

2 3 si 3 1 0 Resp.:

6 3

dy dy x yx xy y

dx dx xy y

2. Hallar 3 2 4 si 4 3 25dy

x xy ydx

3. Hallar

13

2 23 3 2

3 si Resp.: dy dy y

x y adx dx x

4. Hallar 4 2 5 6 si 3 8 0dy

x y x y xdx

5. Hallar 3 2 4 5

4 2 5 6

5 4

4 15 6 si 3 8 0 Resp.:

3 2

dy dy x y x y xx y x y x

dx dx x x y

6. Hallar 2 2 si 1

dyx xy y

dx

II.- 1. Demuestre que 2

" ´ 1 0y y

Si ln cos 1 2y x

2. Demuestre que 2 31 " 2 ´ 2x y xy x

Si 1

1 2y arc tg xx

3. Demuestre que 2

" ´ 0yy y

Si 1 2 lnx y y y

4. Demuestre que 2

" ´ 2yy y

Si 2 2

1 22y x c x c

5. 3 23 2 5 1 hallar " Resp. " 18 4f x x x x y y x

6.

22 2

2 2 2 2hallar " Resp. "

af x a x y y

a x a x

7. 4 4

7

152 hallar Resp.

8f x x y y

x

151

III. Hallar dy

dx en las siguientes funciones paramétricas:

1. 22 ; Resp. 2dy

x t y t tdx

2. 16

2 ;x t yt

3. cos ; Resp. cotdy

x t y sen t gtdx

4. 2

4 4;

a ax y

t t

5. 2

2 2

5 110;

1 1

ttx y

t t

6. 2

2

1;x y t

t

*7. Utilice la fórmula

1

11

1;

n

nnn

n n

dy

d y d ydt ydxdx dx

dt

para hallar 2

2

d y

dx en los problemas 1, 3, 5 de la parte III.

152

3.5. Deferencial de una función.

Definimos la derivada de una función y f x como:

lim ´x o

dy yf x

dx x

De este límite vemos que para x “pequeño”

y

x es próximo a ´ ,f x es decir ´

yf x

x ó

´y f x x

donde el símbolo se entiende como “es aproximadamente

igual a”.

Esta última relación nos permite encontrar el valor aproximado

de una función en ciertos puntos. Por ejemplo la Tabla 1 nos

ilustra la estimación para la función

cerca de 30º (6

y senx x x

TABLA 1

Definición 3.5.1.- Sea y f x donde f es una función

derivable, entonces definimos.

a) la diferencial como 0dx dx x x

b) la diferencial de como ´dy f dy f x dx

Nota 3.5.1. a) y dy y dx x

b)

´

´f x dxdy

f xdx dx

Ejemplo 3.5.1. a) si cosy sen x dy x dx

b) si 2 1 2u x du x dx

x 6 x 6sen x 6 6

y sen x sen Aproximación

´ .6

f x

0,01 0.533598775 0.508635109 0.008635109 0.008660254

0,001 0.524598775 0.500865775 0.000865775 0.0008660254

0,0001 0.523698775 0.5000866 0.0000866 0.00008660254

153

3.6. Antiderivadas.

Hasta ahora se ha estudiando el problema de encontrar la

derivada de una función dada, es decir, dada F(x); se desea

hallar una función F(x) cuya derivada sea igual a f(x), es

decir.

´F x f x

Definición 3.6.1. Sea f una función definida en ,a b .

Si existe una función y F x tal que

F es continua en ,a b , derivable en ,a b y la

derivada de F es f para todo ,x a b , esto es

´ ,F x f x x a b

entonces F es llamada una Antiderivada o

integral Indefinida de f en el intervalo ,a b y

la denotamos por F x f x dx f

f x dx se lee “Integral de f x con

respecto a x”

El proceso de calcular una Integral es llamado Integración.

La Variable x es llamada Variable de Integración y la función

f es llamada Integrando. Si f tiene una antiderivada se dice

que f es Integrable.

Ejemplo 3.6.1.

a) cos ya que cosd

sen x dx x x sen xdx

b) 5 6 6 56 ya que 6d

x dx x x xdx

Notemos es este ejemplo que cosd

x C sen xdx

donde C

es una Constante es decir cosF x x C también es una

Antiderivada de .f x sen x

Teorema 3.6.1.- Si F y G son dos funciones derivables las cuales

tienen la misma derivada, entonces estas

funciones difieren en una Constante, es decir

Si ´ ´ donde F x G x F x G x C C

es alguna Constante.

Este teorema nos permite dar una definición más general de

antiderivada de f:

f x F x C

donde F (x) es alguna antiderivada de f y C es una Constante.

154

Teorema 3.6.2.- Sean f y g funciones integrales y k una

constante, entonces

y kf f g son integrales, además

i) kf x dx k f x dx y

2i) f x g x dx f x dx g x dx

Demostración.- Sean

,F x f G x g , entonces

Como d d

kF k F kfdx dx

tal que ,d

k F kF kfdx

es decir

kF kf de donde

k f kf

Análogamente como d d d

F G F G f gdx dx dx

Se concluye que F G f g ó

f g f g

Esta última conclusión se puede generalizar para un número

finito de sumandos.

Antes de ver como determinar integrales daremos una Tabla

de integrales de las funciones elementales, la que se deduce

inmediatamente de la definición de Antiderivada y de la tabla

de las principales fórmulas de derivación vista en 3.3.

1. 1

11

aa x

x dx c aa

2. dx

Ln x Cx

3. cossen x dx x C

4. cos x dx sen x C

5. 2sec xdx tg x C

6. 2cosec x dx ctg x C

7. x xe dx e C

8. x

x aa dx C

Ln a

9. 21

dxarc tg x C

x

155

10. 21

dxarc sen x C

x

Ejemplo 3.6.2.-

a) 3 35 6 cos 5 6 cosx x x dx x dx x dx x dx

12

12

32

3

13 1

12

4

5 6 cos

5 63 1 1

5 26

4 3

x dx x dx x dx

x xsen x

xx sen x C

b) 1

2 2 4

4

3 52 2 3 5

dxx x dx x dx xdx x dx

x xx

14

12 1 1 1

3 2 34

2 3 512 1 1 1

14

1 203

3 3

x x xLn x C

x x Ln x x C

Ejemplo 3.6.3.- Integración por Sustitución

a) Calcular cossen x x dx

Haciendo la Sustitución u = sen x, encontramos que

du = cos x dx y por lo tanto

32

32

2cos

3

2

3

sen x x dx u du u C

sen x C

b) Calcular cos 5x dx

Haciendo u = 5x, encontramos que du = 5dx de donde

1

,5

dx du por lo tanto

1 1cos 5 cos

5 5

15

5

x dx u du sen u C

sen x C

c) Calcular tg x dx

, por lo tanto cos cos

sen x sen xtg x tg x dx dx

x x

156

Haciendo u = cos x, encontramos que du = -sen x dx ó

-du = sen x dx y por lo tanto

du

tg x dx Ln u Cu

Luego costgx Ln x C

d) Calcular 22 3

x dx

x

Haciendo 22 3u x , encontramos que du = 4x dx de donde

1

4x dx du y así

12

12

1

2

2

1 1 1

14 4 4 12 3 2

1 12 3

2 2

x dx du uu du C

ux

u x C

Ejercicios Propuestos 3.6.1.-

I.- 1.- Defina Antiderivada de una función

2.- Demuestre mediante la definición de antiderivada que

af bg a f b g

II.- Calcular las siguientes Integrales.

1.- 2

cos x

sen x

2.- 3

1x dx

x

3.- cos

2 3

xdx

sen x

4.- 3

x x dxx

5.- dx

x Ln x

6.- 2

2x x dx

7.- 1

dx

x

157

8.- 2cos

t g xdx

x

9.- 21

arc sen xdx

x

10.- 21

dx

x arc sen x

11.- 1

cos Ln x dxx

12.- cossen xe x dx

13.- 5 5x xe a dx

14.- 2 4 5 2x xe x dx

158

4. Aplicaciones de la Derivada

4.1. Interpretación física de la derivada.

A.- Razón y Cambio.

Una cantidad y puede relacionarse generalmente con otra cantidad

x por medio de una función f: y = f(x). Un cambio en el valor de

x frecuentemente induce un cambio correspondiente al valor de y.

Por ejemplo, sea x el radio de un círculo; sea y el área de este

círculo, entonces 2.y x En el caso en que el radio tenga una

longitud x = 3 unidades consideramos un pequeño cambio en

,x x la nueva área es 2

3 ,x así el cambio en el valor

del área y es:

2 23 3y x

Una forma de comparar el cambio y experimentado en y, y el

cambio x experimentado en x, es calcular la razón

y

x

Es claro que ésta razón está dependiendo de ,x pero si

aproximamos x a cero, entonces el límite de y

x (si existe)

define lo que llamaremos “Razón Instantánea de Cambio de y

comparada con x, cuando x = 3”.

En nuestro caso se tiene que:

2

2

3 9

9 6 9

6

y x

x x

x x

de donde

6y

xx

y 0

lim lim 6 6 ,x x o

yx

x

por lo tanto cuando el radio

es 3, la razón de cambio del área del círculo con respecto a la

razón es 6 veces el cambio x en el radio

es cercano a 6y

x

. Consideremos algunos casos:

Si 0.1x

nuevo radio = 3.1

nueva área = 9.61π

159

9,61 9

0,61

y

Si 0.01x

nuevo radio = 3,01

nueva área = 9,0601π

9,0601 9

0,0601

0,06016,01

0,01

y

y

x

Consideremos ahora una función derivable y = f (x) y un

pequeño cambio x en el valor de la variable independiente x.

Nuevo valor de la variable independiente x x

Nuevo valor de y f x x

y f x x f x

a) La razón entre el cambio del valor de la función, y el cambio

de la variable independiente es:

f x x f xy

x x

también llamada razón promedio (o media).

b) La razón Instantánea de cambio de y con respecto a x se

define como:

0 0

lim lim ´x x

f x x f xyf x

x x

Si el límite existe.

Ejemplo 4.1.1.

El costo C, en dólares, de producir diariamente x aparatos de TV está

dado por la fórmula:

C = 7000 + 50x – 0.50 2x

Encontrar la razón de cambio instantáneo de C con respecto a x

(llamado costo marginal) cuando se producen 200 aparatos cada

día.

Solución

C’(x) = 50 – 0.1x

C’(100) = 50 – 0.1 (100) =

= 50 – 10 = 40

La razón de cambio instantáneo son 40 dólares por TV diariamente.

160

B.- Velocidad y Aceleración-

Supongamos que una partícula se mueve en línea recta sobre la

cual se ha introducido un sistema de coordenadas y sea f (t) la

coordenada de la partícula en el instante t. ( f ( t ) es el

desplazamiento de la partícula).

Definición 4.1.1.

a) La velocidad media de la partícula, desde 1 2 a ,t t denotada por

1 2,v t t se define como

2 1

1 2

2 1

,f t f t

v t tt t

b) Se define la velocidad instantánea de la partícula en el instante

0t como

0

0

0 0

0

lim ´t t

f t f tv t f t

t t

cuando tal límite existe.

c) La razón de cambio instantáneo de la velocidad, con respecto

tiempo, se conoce como aceleración y se denota por a (t).

NOTA

a) La Velocidad Media de la partícula es la razón media de

cambio (o razón promedio) entre el desplazamiento de la

partícula y el tiempo en que se produce este

desplazamiento.

b) La Velocidad Instantánea de la partícula es la razón

instantánea de cambio del desplazamiento de la particula

con respecto al tiempo en un instante determinado t.

c) ' ''dv d

a t f t f tdt dt

Ejemplo 4.1.2.

Se lanza verticalmente al aire una pelota con velocidad inicial

de 64 pies/seg. Si su desplazamiento s (t) en el instante t

está dado por:

264 16s t t t

a) Calcular la velocidad media durante el primer segundo a

partir del instante inicial ( t = 0 segundo).

161

b) Hallar la velocidad instantánea como función de t.

c) Hallar la velocidad instantánea en el instante t = 3

segundo.

Desarrollo:

a) 2 1

1 2

2 1

1 0, 48 pie/seg.

1 0

s t s t s sv t t

t t

b) ' 64 32s t t

c) ' 3 32 pie/seg.s t

El signo menos indica que la pelota se mueve hacia abajo, es

decir, en ese instante ( t = 3 segundos ) la pelota viene de

vuelta.

Ejemplo 4.1.3.

La posición s (t) de un automóvil a lo largo de una autopista

está dada por:

2 2s t t t

De aquí que:

Su velocidad instantánea en un instante t es:

' 2 2v t s t t

La velocidad instantánea en el instante t = 3 segundo es :

3 2 3 2 4 unidadesv

La aceleración en un instante t es:

' 2 unidadesa t v t

Nótese que la aceleración es constante.

C.- Variables Ligadas.

En cada rama de la ciencia, encontramos cantidades que

cambian con el tiempo (oxidación de metales, difusión de

gases, combustión, digestión de alimentos, absorción de

calor, el decaimiento de elementos radiactivos, etc.).

Si dos cantidades se relacionan por una ecuación y se

conoce la razón de cambio de una de ella con respecto al

tiempo, entonces derivando implícitamente la ecuación con

respecto al tiempo, se puede encontrar la razón de cambio

(Instantánea) de la otra cantidad.

162

Ejemplo 4.1.4.

Un pozo petrolero fuera de control en el océano expulsa petro-

leo dejando una película circular sobre la superficie del agua.

Si el radio del círculo aumenta a razón de 2min

m

.

¿Qué tan rápido crece el área de la película de petróleo cuando

su radio es de 100 metros?

Desarrollo: Sean

i) R = Radio de la película circular de petróleo.

2i) A = Area de la película circular de petróleo

Entonces

2

2min

A R

dR m

dt

Se pide la razón de cambio instantaneo del Área con respecto

al tiempo en el instante que R = 100 m. lo que denotaremos

por 100dA

Rdt

Derivando implícitamente con respecto al tiempo la ecuación

que relaciona al área con el Radio se tiene

2

2

100 2 .100 2min

100 400min

dA dRR

dt dt

dA mR m m

dt

dA mR

dt

Ejemplo 4.1.5.

La parte más alta de una escalera de 25 pies descansa sobre

una pared vertical, la escalera se resbala a razón de 1 pie

por minuto. ¿Qué tan rápido se desliza la base de la

escalera sobre el piso cuando está a 7 pies de la base de la

pared?

Desarrollo: Sean

x = la distancia entre la base de la escalera a la

pared.

y = la distancia entre la parte alta de la escalera

y la base de la pared.

y

x

25

163

Como la escalera se resbala a razón de 1min

pie

por sobre

la pared entonces

1dy pie

dt seg

El signo menos indica el movimiento hacia debajo de la parte

superior de la escalera.

Se desea calcular 7dx

xdt

Por teorema de Pitágoras tenemos

2 2 225x y

Derivando implícitamente con respecto al tiempo se tiene

2 2 0dx dy

x ydt dt

ó 0dx dy

x ydt dt

de donde

dx y dy

dt x dt

cuando x = 7 se tiene que y = 24

y

min7

247

piesx

dt

dx

Ejemplo 4.1.6.

Se llena un tanque cilíndrico de 10 pies de radio con trigo a razón de 314

pies³ por minuto. ¿Qué tan rápido se incrementa la profundidad del

trigo?

Desarrollo

Sean H = Altura del trigo almacenada en el tanque en un instante t

R = Radio del tanque cilíndrico (constante)

V = Volumen del trigo almacenado en el tanque en el instante t

entonces

HRV 2 (1)

Variación de cambio del volumen con respecto al tiempo es

min314

3pies

dt

dv

164

Se pide dt

dH

Derivando la ecuación (1) implícitamente con respecto al tiempo,

teniendo presente que R es contante, se tiene

dt

dHR

dt

dV 2

De donde

min

1100

min314

2

3

2

pies

pies

pies

R

dt

dV

dt

dH

165


1.- Encontrar la razón de cambio a la cual el área superficial de un cubo

de lado x cambia con respecto a x cuando x es 2 pies.

2.- El número de kilómetros desde la tierra hasta el cohete lo da la

Fórmula:

230 0.005E t t t

donde t se mide en segundos. ¿Qué tan rápido cambia la distancia

cuando el cohete está a 35.000 kilómetros de la tierra.

3.- Un cubo se expande de tal forma que su arista cambia a razón de 5

pulgadas por segundo. Cuando su arista es de 4 pulgadas, hallar

la razón de cambio del volumen.

4.- Una partícula se mueve sobre la línea recta de manera que su

posición s(millas) en un tiempo t (horas) la da

2

4 1 1s t t t

a) ¿Cuándo se mueve hacia la derecha?

b) ¿Cuándo se mueve hacia la izquierda?

c) ¿Cuándo cambia de dirección?

d) Cuando se mueve hacia la izquierda ¿cuál es la máxima rapidez

que alcanza? (La rapidez es el valor absoluto de la velocidad).

5.- Una partícula se mueve a lo largo del eje s, de tal manera que

después de t segundos su posición está dada por la fórmula de

desplazamiento:

3 26 21s t t t

Hacer una tabla mostrando el desplazamiento de la partícula,

velocidad y aceleración al final de cada segundo durante los

primeros 6 segundos de movimiento.

Resp.:

6.- Un cohete se dispara hacia arriba con una velocidad inicial de 128

pie por segundo:

a) ¿Cuánto viaja en un segundo, en 2 segundos?

b) ¿Cuánto alcanza la altura máxima?

c) ¿Cuál es esta altura máxima?

d) ¿Cuándo regresará al suelo?

e) ¿Cuál es su velocidad cuando llega al suelo?

t 1 2 3 4 5 6

s( t ) 16 5 -6 -11 -4 21

v(t ) -9 -12 -9 0 15 36

a(t) -6 0 6 12 18 24

166

INDICACIÓN:

La ecuación de caída libre es:

216s t so vo t t

donde: so es la posición del objeto en el instante t = 0

vo es la velocidad del objeto en el instante t = 0

s está medida en pies y t en segundo y el sentido positivo

de s es hacia arriba.

Resp.: (Problema 6 )

a) 112 pies; 192 pies

b) 4 segundos

c) 256 pies

d) 8 segundos

e) 128 pie/seg. = vo

7.- Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad

inicial de 400 pies por segundos. Su altura s después de t

segundos es:

2400 16s t t t

¿Qué tan rápido cambia la distancia desde la piedra hasta un

observador que se encuentra en el suelo a 1800 pies del sitio

del lanzamiento, cuando la piedra aún sube y se halla a 2400

pies del suelo?

Resp. 64 pie/seg.

8.- Un pequeño embudo con forma de cono se vacía de fluído a razón

de 12 milímetros cúbicos por segundo. La altura del embudo es

20 milímetros y el radio de la base es 4 milímetros.

¿Qué tan rápido desciende el nivel del fluído cuando el nivel está

a 5 milímetros arriba del vértice del cono? (Volumen de cono

es 21)

3r h

Resp:

seg

mm

12

9.- El largo de un rectángulo de área constante de 800 milígramos2

aumenta a razón de 4 milímetros por segundos.

a) ¿Cuál es el ancho del rectángulo en el momento en que el

ancho decrece 0,5 milímetros por segundos?

b) ¿Qué tan rápido cambia la diagonal del rectángulo cuando

el ancho es de 20 milímetros?

Resp.: a) 10 milímetros

b) aumenta a razón de 6

5

mm

seg

167

10.- ¿Cuál es el radio de un círculo en expansión cuando la razón

de cambio de su área es numéricamente igual al doble a la

razón de cambio de su radio?

Resp.: 1

r

11.- Un avión que vuela paralelo al suelo a una altura de 4 kilómetros

pasa sobre una estación de radar. Poco tiempo después, el

equipo de radar revela que el avión está a 5 kilómetros de

distancia y que la distancia entre el avión y la estación aumenta

a razón de 300 kilómetros po hora. En ese momento,

¿qué tan rápido se mueve en forma horizontal el avión?.

Resp.: 500km

hr

12.- Un bote pasa una boya fija a las 9.00 A.M. enfilando hacia el

oeste a 3 millas por hora. Otro bote pasa la misma boya a

las 10:00 A.M. dirigiéndose hacia el norte a 5 millas por hora

¿qué tan rápido cambia la distancia entre los botes a las

11:30 A.M.?

Resp.: 4 2millas

hr

168

4.2.- Interpretación Geométrica de la Derivada.

Hemos citado las ideas de velocidad, aceleración “razón de cambio” y

con todas ellas siempre terminamos con el concepto de DERIVADA.

Centraremos nuestra atención en dar a la Derivada una interpretación

Geométrica. Usaremos para ello, algunos conceptos que no

definiremos en detalle; como por ejemplo, recta secante, recta

tangente, sino recurriremos a los conceptos que manejamos de

geométria analítica plana.

Consideremos la gráfica de la función y f x y sobre ella un

recta secante que

Figura 46

Pasa por los puntos A y B de coordenadas , y o ox f x

;o ox x f x x respectivamente.

La pendiente de esta recta secante viene dada por:

seco o

o o

o o

f x x f xm

x x x

f x x f x

x

Si hacemos tender a cero x el punto B sobre la gráfica se acercará

al punto A y la pendiente de esa recta secante tenderá hacia la

pendiente de la recta tangente en el punto A es decir

xo xo + Δx

A

B

f(xo)

f(xo + Δx)

169

0

limo o

x

f x x f xm tg

x

Donde m tg denota la pendiente de la recta tangente. Por lo tanto:

' om tg f x Derivada de la función f en el punto ;o ox f x

De donde:

La ecuación de la recta tangente es :

'o o oy y f x x x

Ejemplo 4.2.1.

a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva 24y x x

en el punto ( 2,4 )

Desarrollo:

La ecuación que se pide es de la forma 'o o oy y f x x x

donde , 2,4 yo ox y

2' es la derivada de 4of x x x

evaluada en el punto 2ox

luego ' 4 2o of x x

Así tenemos

4 0

4

y

y

b) ¿En qué puntos de la curva 3y x la tangente es tal que corta al eje

x en el punto (1,0) ?

Solución:

Figura 47

L

( xo , yo)

(1,0)

3y x

170

Supongamos ,o ox y es un punto de tangencia.

Luego ' of x es la pendiente de la recta tangente

Además considerando los puntos , y 1.0o ox y podemos

determinar la pendiente de la recta L que pasa por dichos puntos; es

decir:

pendiente de recta 1

o

o

yL

x

De lo cual podemos concluir que

231

o

oo

yx

x

rectas paralelas o considentes de donde

23 1 1o ooy x x

Por otro lado el punto 3 satisface la curva o ox y y x

es decir 3 2o oy x

Considerando (1) y (2) se concluye que

3 23 1oo ox x x

de donde 320o ox v x

por lo tanto los puntos buscados son

3 27

0,0 ,2 8

y

Definición 4.2.1.

La Recta Normal a una curva en un punto P se define como una

recta perpendicular a la recta tangente en P.

Nota 4.2.1.

1.- Como para una función f x derivable en xo la pendiente de

la recta tangente en el punto , es 'P xo f xo f xo

entonces la pendiente de la recta normal en P, cuando ' 0,f xo

está dada por 1

'f xo y la ecuación de la Recta Normal para este

caso es:

1

'y f xo x xo

f xo

171

Ejemplo 4.2.2.

Hallar la ecuación de la recta normal a la curva 2 3 5y x x

en la punto (3,5).

Desarrollo

Sea 2 3 5f x x x

' 2 3

' 3 3

f x x

f

Pendiente de la recta normal es 1

3

Ecuación de la recta normal es

1

3 33

y f x

15 3

3

3 18 0

y x o

x y

172

EJERCICIOS PROPUESTOS 4.2

1.- Hallar la ecuación de la recta tangente y Normal a cada una de las

siguientes curvas en los puntos indicados.

a) 2 en 2,4y x y en el origen.

b) en 4,2y x

c) 23 en 0,0 y en 1,2y x x

2.- ¿En qué puntos de la curva 3y x es la tangente paralela a la

Recta 12 16?x y

3.- Demostrar que la recta y x es tangente a la curva

3 26 8y x x x ¿cuál es el punto de tangencia? ¿corta

esa recta a la curva en otros puntos?.

4.- ¿Para qué valores de a, b y c tienen los gráficos de

2f x x ax b y

2g x x cx

una recta tangente común en el punto (2,2)?.

5.- ¿En qué puntos la recta Normal a la curva 2 3 5y x x en el

punto (3,5) interseca a la curva?.

173

4.3.- Teoremas sobre Derivadas

A.- Teorema de Rolle

Teorema 4.3.1.- Teorema de Rolle.

Sea f una función con las siguientes propiedades:

i) Continua en un intervalo ,a b

2i) Derivable en el intervalo ,a b

3i) f a f b

Entonces existe por lo menos un número , tal que ' 0c a b f c

Interpretación geométrica del teorema de Rolle:

Si una curva continua, con tangente en cada uno de sus puntos,

corta a una recta paralela al eje x en puntos cuyas obscisas son

a y b, entonces, en esta curva, existirá por lo menos un punto de

abscisa c, a < c < b, en el cual la tangente es paralela al eje x.

Figura 48

Nota 4.3.1.

1.- Un caso particular del Teorema de Rolle lo constituyen

las funciones para las cuales cumpliendo las propiedades

( i ) y ( 2i ) de dicho teorema se anulan en los extremos

del intervalo ,a b .

f(a) = f(b)

y = f(x)

a c1 c2 b

174

2.- Si la función f es tal que no tiene derivada en algún punto

del intervalo (a, b) la conclusión del teorema puede no

cumplirse por ejemplo la función 231 ,f x x esta

función es continua en 1,1 , se anula en los extremos

es decir 1 1 0;f f pero 3

2'

3f x

x

no

está definida en 0 1,1x y además no se anula

para ningun 1,1x (se recomienda graficar f ( x ) ).

Ejemplo 4.3.1.- Verificar el Teorema de Rolle para la

función 28 6 en 2,4f x x x

Desarrollo:

i) f es continua en 2,4

2i) f es derivable en ( 2,4 )

3i) f (2) = f (4) = 0

Luego existe por lo menos un número 2,4c tal

que ' 0f c

¿Cómo determinar c?

' 0 6 2 0

3 2,4

f c c

c

Por lo tanto c = 3

B.- Teorema del Valor Medio

Como una consecuencia del teorema de Rolle se tiene otro

importante teorema del Cálculo, el llamado Teorema del

Valor Medio para Derivadas.

Teorema 4.3.2.- Teorema del Valor Medio

Sea f una función continua en ,a b y derivable en (a,b).

Entonces existe por lo menos un número ,c a b tal que

'f b f a

f cb a

Con la ayuda de la Figura 49 podemos dar un significado

geométrico del Teorema del Valor Medio.

175

La cuerda AB; que une los puntos , y A a f a

,B b f b del gráfico de f; tiene pendiente

f b f a

b a

Por otra parte 'f c es la pendiente de la recta

Tangente al gráfico de f en el punto ; .C c f c

Por lo tanto, el teorema del Valor Medio nos dice que

existe por lo menos un punto C en el gráfico de f tal

que su correspondiente tangente en C, es paralela a la

cuerda que une los puntos A y B.

Figura 49

Ejemplo 4.3.2.- Verificar el teorema del Valor Medio

Para 3 26 4 30f x x x x en el

Intervalo 4,6

Desarrollo:

1. f es continua en 4,6

2. f es derivable en 4,6

2' 3 12 4

4 78

6 54

6 4 54 7812

6 4 2

f x x x

f

f

f f

Y

X a c b

C=(c , f(c))

A=(a , f(a))

B=(b , f(b))

T

176

Para determinar c hacemos :

2

2

' 12 3 12 4 12

3 12 16 0

12 144 192

6

12 336

6

22 21

3

f c c c

c c

c

c

c

Y se escoge 2 2

2 21 pues 2 21 4,63 3

c

c.- Teorema del L’Hôpital

En el estudio de límite de funciones nos encontramos a

menudo con formas indeterminadas 0 0 0( 0. ; 0 ; ;1 ; ; ; )

0

El Teorema de L’Hôpital es una herramienta poderosa que

permite el cálculo de los límites de las indeterminaciones bajo

ciertas condiciones de las funciones involucradas.

Teorema 4.3.3.- Teorema o Regla del L’Hôpital (forma

indeterminada 0

0 )

Sean f y g dos funciones con derivada continua en (a,b) tal

que 0 y ' 0.f a g a g x Entonces, si

' 'lim existe lim lim

' 'x a x a x a

f x f x f x

g x g x g x

Ejemplo 4.3.3.

Calcular

0

1limx

Ln x

x

Desarrollo:

0

1 0lim forma indeterminada

0x

Ln x

x

Aquí 1 y f x Ln x g x x ambas funciones cumplen

con la Hipótesis del Teorema a 4.3.3. en 0, 0a

Como

'1 1' ; ' 1

1 ' 1

f xf x f x y

x g x x

entonces,

0 0

' 1lim lim 1

' 1x x

f x

g x x

existe

177

Por lo tanto :

1

1

0 0 0

1 1lim lim lim 1

1 1

x

x x x

Ln x

x x

Nota 4.3.2.

1.- El teorema es válido también cuando las funciones

y f x g x no estan definidas en x a pero

lim 0 y lim 0x a x a

f x g x

2.- Si ' ' 0f a g a y las funciones ' y 'f x g x

satisfacen las Hipótesis de la Regla de L’Hôpital,

entonces

' ''lim lim

' ''x a x a

f x f a

g x g a

Ejemplo 4.3.4.

Calcular 0

2lim

1 cos

x x

x

e e

x

Desarrollo : Se puede verificar que se cumplan las

condiciones de la nota 4.3.2. (2) por lo tanto

0 0 0

2lim lim lim 2

1 cos cos

x x x x x x

x x x

e e e e e e

x sen x x

Teorema 4.3.4. Teorema del L’Hôpital (forma indeterminada

)

Sean f y g dos funciones continuamente derivables para todo

x a en algún intervalo abierto centrado en a; ' 0,g x para

toda x en dicho intervalo;

lim 00 y lim 00,x a x a

f x g x

entonces si existe

'lim

'x a

f x

g x, se tiene que

'lim lim

'x a x a

f x f x

g x g x

Nota 4.3.3.

1.- Si en el teorema 4.3.3. la Hipótesis

'lim

'x a

f x

g x existe se cambia por

'lim

'x a

f x

g x

178

la igualdad de la conclusión del teorema también es

válida.

2.- El teorema se puede generalizar al caso en que x

Ejemplo 4.3.5.

Calcular limx

x

e

x

Desarrollo:

Se puede verificar que las funciones y f x tgx

3g x tg x cumplen con las Hipótesis del Teorema

4.3.4. Así:

2 2

2

2

seclim lim

3 3 sec 3x x

tg x x

tg x x (forma indeterminada

0

0 )

Aplicando sucesivamente teorema 4.3.4. se tiene

2

2

12 2

cos

2 21

cos 3

sec cos 3y

sec 3 cos

x

x

x x

x x

2 2 2

2 2

2 2

sec cos 3 2.3cos 3 3lim lim lim

sec 3 cos 3 2 cosx x x

x x x sen x

x x sen x

2 2

cos 3 33 lim . lim

cosx x

x sen x

x sen x

2 2

cos 3 3 33 lim 3 lim 3 3

cosx x

x sen x

x sen x

Por lo tanto:

2 2

2

2

1 seclim lim 3

3 3 sec 3x x

tg x x

tg x x

Los cálculos de los límites de las indeterminaciones

restantes se reducen a los casos ya vistos.

Ejemplo 4.3.6.

a) Calcular 0

lim n

xx Ln x

forma indeterminada 0 00

179

Desarrollo:

1

n

n

Ln xx Ln x

x

se reduce a la forma indeterminada 00

00

Así 1

1

10 0 0lim lim lim

n n

n x

nx x xx x

Ln xx Ln x

0

lim 0n

x

x

n

b) Calcular 0

lim sen x

xx

(forma indeterminada 00 )

Desarrollo:

Hacemos sen xy x , sacando logaritmo natural a

ambos miembros se tiene:

Ln y sen x Ln x

tomando límite cuando 0x

0 0

lim limx x

Ln y sen x Ln x

(forma indeterminada 0 00 )

1

0 0lim lim

1 cos cot

x

x x

Ln x

ecx g x

sen x

2

0 0 0lim lim lim

cos cosx x x

sen x sen x sen x

x x x x

0

Como la función logaritmo es continua se tiene que

0 0

lim lim 0x x

Ln y Ln y

De donde 0 0

lim 1, es decir lim 1sen x

x xy x

180


1.- Verificar el teorema de Rolle encontrando valores de x para los cuales

y ' se anulan donde nf x f x f x x x a

( n entero positivo). Resp. 1 20

1

anc y c

n

2.- Verificar el teorema del Valor Medio para 1 en 0,3F x x

Resp. 5

4c

3.- Verificar la hipótesis del teorema del Valor Medio para

2 2 5 en 1,5g x x x y encontrar un valor de c

garantizado por el teorema.

Resp. 3c

4.- ¿Es válido el teorema del Valor Medio para 1 en 1, 3 ?F x x

5.- ¿Se cumple el teorema del Rolle para la función 1

2

xf x

x

en el

intervalo 1,3 ?

6.- ¿Es aplicable el teorema del Valor Medio a la función 3 2f x x

en 0,27 ?

7.- Consideremos la función 1

2f x

x

en el intervalo cerrado 0,1

¿Existe un valor c que satisface a la conclusión del teorema de

Rolle? del teorema del Valor Medio?

8.- ¿En que intervalo la función 28 6f x x x satisface la

conclusión del teorema de Rolle? del teorema del Valor Medio?

Encontrar los siguientes límites. (Aplique Regla de L’Hôpital).

9.- 0

1 1limx x sen x

10.- 0

1lim

x

x

e

x

11.- 3

lim 1

x

x x

12.- 0

1lim

1

y

y

e sen y

Ln y

Resp. 2

181

13.- limax

x

x

e Resp. 0 si 0; si 0a a

14.- 0

7lim

2x

Ln tg x

Ln tg x Resp. 1

15.- 1

lim 12x

xx tg

Resp.

2

3

16.- 21

2 1lim

1 1x x x

Resp. - 12

17.- 1

1limx

x

Ln Ln x

Resp. -1

18.- 1

1

1lim x

xx

Resp.

1

e

19.- 0

1lim

tg x

x x

Resp. 1

20.- 1

0lim cot Ln x

xx

Resp.

1

e

21.- 2

lim secx

x tg x

Resp. 0

22.-

12

0lim

x

x

sen x

x

Resp. 6

1

e

182

4.4. Significados de los signos de la Primera y Segunda derivada.

Plantearemos a través del estudio del signo de la primera derivada,

las condiciones que debe cumplir una función para que sea

constante, creciente o decreciente. Veremos que si el gráfico de

una función “sube” o “baja” depende directamente del signo de la

primera derivada.

Teorema 4.4.1.

Sea f una función contínua en ,a b y derivable en ,a b .

Entonces:

i) Si ' 0f x para todo , ,x a b f es Estrictamente

Creciente en ,a b

ii) Si ' 0f x para todo , ,x a b f es Estrictamente

Decreciente en ,a b

Ejemplo 4.4.1.

a) Determinar los intervalos de monotonía de la función:

3 3 1;f x x x x R

Desarrollo:

De acuerdo al teorema 4.4.1., se debe realizar un estudio del

signo de la primera derivada, lo que realizaremos con ayuda

de una cuadro apropiado.

2 2' 3 3 3 1 3 1 1f x x x x x

-00 -1 1 +00

Por lo tanto

f es Estrictamente Creciente en , 1 y 1,

f es Estrictamente Decreciente en 1,1 (ver gráfico de

f x en la figura 50)

x + 1 -- + +

x - 1 -- -- +

f’ ( x ) -- -- +

183

Figura 50

Nota 4.4.1.

1.- El teorema 4.4.1. tiene la siguiente interpretación geométrica:

si la función f x es creciente en el intervalo ,a b , la

recta tangente a la curva y f x , forma con el eje X un

ángulo agudo (en algunos puntos puede ser paralela a este

eje). La pendiente de ésta recta tangente es positiva (o nula).

Si la función f x es decreciente en el intervalo ,a b ; la

recta tangente a la curva y f x , forma con el eje x un

ángulo obstuso (en algunos puntos puede ser paralela a este

eje). La pendiente de ésta recta tangente es negativa (o nula).

2.- Si f es derivable en , y ' 0a b f x para todo x en ,a b

entonces f es función constante en ,a b .

Otra característica cualitativa importante del gráfico de una

función es su concavidad, la cual está vinculada estrechamente

al signo de la segunda derivada.

Definición 4.4.1.

a) Una cuva en Cóncava hacia arriba si toda la curva está

situada encima de la recta tangente en cualquier punto

dado de la curva (Figura 51)

Figura 51

-1 1

(0,1)

184

b) Una curva es Cóncava hacia abajo si toda la curva está

situada por debajo de la recta tangente en cualquier

punto dado de la curva (Figura 52)

Figura 52

A continuación enunciaremos los criterios que permiten

determinar la concavidad del gráfico de una función f x .

Teorema 4.4.2.

Suponga que ''f x existe en un intervalo ,a b . Entonces:

i) Si '' 0 en a,b ,f x f es Cóncava hacia arriba en

,a b .

ii) Si '' 0 en , ,f x a b f es Cóncava hacia abajo en

,a b .

Ejemplo 4.4.2.

Estudiar la concavidad del gráfico de la función

4 3 22 36 24 12f x x x x x

Desarrollo

De acuerdo al teorema 4.4.2. debemos estudiar el signo de la

segunda derivada.

3 2' 4 6 72 24f x x x x

2 2'' 12 12 72 12 6 12 2 3f x x x x x x x

-00 -3 2 +00

x + 3 - + +

x – 2 - - +

f’’( x ) + - +

Por lo tanto el gráfico de la función dada es :

- Cóncava hacia arriba en (-00,-3 ) y en (2, +00)

185

- Cóncava hacia abajo en ( -3, 2 )

Notemos que '' 3 0 y '' 2 0f f además en 3 y x

2x se produce un cambio de convidad.

Definición 4.4.2.

El punto 0 0,x f x se llama Punto de Inflexión de f si

el gráfico de f cambia su concavidad en 0x

En el ejemplo 4.4.2. se puede observar que se produce un

cambio de concavidad en 3 y 2x x por lo tanto

3; 3 y

2; 2

f

f

Son puntos de Inflexión del gráfico de la función f x

Nota 4.4.2.

f puede tener punto de Inflexión en 0x en uno de los

siguientes dos casos:

i) 0'' 0f x , ó

ii) 0''f x no esta definido

Ejemplo 4.4.3.

Sea 3 7

5 56

, entonces '' aqui '' 025

f x x f x x f x

para 0 y '' 0 para 0x f x x

por lo tanto (0,0) es un punto de Inflexión; podemos notar

que '' 0f no está definida.

186

4.5. Extremos Relativos

Definición 4.5.1.

Diremos que una función f tiene un:

i) Máximo Local (o Relativo) en 0x si existe un intervalo

0f x f x para todo x en ( a, b )

ii) Mínimo Local (o Relativo) en 0x si existe un intervalo

abierto ( a,b ) que contiene a tal que

0f x f x para todo x en ( a,b )

iii) Máximo Global (o Absoluto) en 0x si

0f x f x para todo x en Df.

iv) Mínimo Global (o Absoluto ) en 0x si

0f x f x para todo x en Df.

Los máximos y mínimos de una función se llaman extremos o

Valores extremos de la función.

Ejemplo 4.5.1.

a) Consideremos el gráfico de la siguiente función

3 23 9 10y x x x

Figura 53

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

4

8

12

16

-4

-8

-12

-16

y

x

187

Podemos observar que f tiene un:

i) Máximo Local en 0 3x

ii) Mínimo Local en 0 1x

no tiene máximo ni mínimo global

Nótese que ' 3 ' 1 0f f

b) Consideremos el gráfico de la función

4 28y x x

Figura 54


i) Máximo Local en 0 0x

ii) Mínimo Local y Global en 0 02 y x 2x

No tiene un máximo global

Nótese que ' 2 ' 0 ' 2 0f f f

-3 -2 -1 1 2 3

8

y

4

0

x

-4

-8

-12

-16

188

c) Consideremos el gráfico de la función

2 3f x x x

Figura 55


i) Máximo Local y Global en 2x

2i) Mínimo Local en 3x

No tiene mínimo Global puesto que la función decrece indefinidamente

a partir de 2x

Nótese que ' 3f no está definida y que ' 2 0f

Definición 4.5.2. Puntos Críticos

Sean i) f continua en ,a b

2i) 0 ;x a b

Ejemplo 4.5.2.

a) 3 y 1x x son puntos críticos de la función

3 23 9 10f x x x x puesto que ' 3 1 0f f

(Ejemplo 4.5.1. a) )

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

y

-3 -2 -1 1

189

b) 2 ; 3x x son puntos críticos de la función

2 3f x x x puesto que ' 2 0 y ' 3f f

No está definida (Ejemplo 4.5.1. c) )

Teorema 4.5.1.

Condición necesaria para la existencia de una extremo local.

Si f tiene un extremo local, en 0x , entonces 0x es un punto crítico.

El recíproco de este Teorema no es verdadero como lo demuestra el

siguiente ejemplo:

Ejemplo 4.5.3.

Sea 3f x x . Entonces 2' 3f x x la cual es siempre

Positiva excepto en el punto crítico x = 0. Pero f no tiene

un extremo local en x = 0 puesto que f ( x ) es creciente

en R.

Los ejemplos 4.5.1. y 4.5.3. ilustran el hecho que es un

punto crítico una función puede tener o no tener un extremo

local.

Teorema 4.5.2.

Condiciones suficientes para la existencia de un extremo.

Sean:

i) f (x) contínua en ,a b

2i 0 ,x a b , punto crítico de f

3i) ( ) derivable en ,f x a b , a excepción, quizás, en 0x

a) Si, al pasar por 0x de izquierda a derecha, el signo de

la derivada cambia de “más ' 0f x a “menos”

' 0f x , entonces la función f tiene un MAXIMO en

0x x

b) Si, al pasar por 0x de izquierda a derecha, el signo de

la derivada cambia de “menos” ' 0f x a “más”

' 0f x , entonces la función tiene un MINIMO en

0x x

190

Ejemplo 4.5.4.

Hallar los máximos y los mínimos de la función.

3 22 4 2f x x x x

Desarrollo

1. Hallamos la primera derivada:

2' 6 2 4 2 3 2 1f x x x x x

2. Determinamos los puntos críticos:

En este caso para hallar los puntos críticos resolvemos

la ecación:

2 3 2 1 0x x de donde los puntos críticos son:

2

13

x x

3. Analizamos el signo de la derivada

' 2 3 2 1f x x x a la izquierda y a la derecha

de los puntos críticos, mediante la siguiente tabla:

Signo de 'f x

al pasar por los puntos críticos

Naturaleza del

extremo

x < -1 x = -1 x > -1

+ 'f x =0

- Máximo

x < 2/3 x = 3/3 x > 2/2

- 'f x =0

+ Mínimo

Luego la función tiene un Máximo en x = -1 tiene un Mínimo

en 2

3x

191

Nota 4.5.1.

1. Debe tenerse en cuenta que las condiciones a) y b) del teorema

4.5.3. deben cumplirse para todos los valores de x próximos al

punto crítico.

2. Si el signo de 'f x al pasar de izquierda a derecha, por un punto

crítico no cambia no hay máximo ni mínimo (la función crece o

decrece).

3. Estas condiciones suficientes para la determinación de extremos

se conoce con el nombre de “Criterio de la Primera Derivada

para la determinación de Extremos” y es de gran utilidad cuando

la función no está definida en los puntos críticos.

Teorema 4.5.3.

Criterio de la segunda derivada para determinar extremos

Si 0' 0f x , entonces:

i) Si 0'' 0f x La función f tiene un Máximo en 0x

2i) Si 0'' 0f x La función f tiene un Mínimo en 0x

Ejemplo 4.5.4.

Hallar los máximos y mínimos de la función 3 3 2f x x x

Desarrollo

1. Hallamos la primera derivada:

2' 3 3 3 1 1f x x x x

2. Calculando los puntos críticos:

1 2

3 1 1 0

1 1

x x

x x

3.- Hallamos la segunda derivada:

'' 6f x x

4. Analizamos la naturaleza de cada punto crítico:

Para 1 '' 1 6 0x f

luego f tienen un Máximo en x = -1

192

Para 1 '' 1 6 0x f

Luego f tiene un Mínimo en x = 1

Figura 56

Problemas Propuestos 4.5.1.

Hallar los extremos de las funciones:

1. 2 2 3f x x x Resp. Mínimo en x = 1

2. 2

32 1f x x Resp. Máximo en x = 1

3. 1

33 2 1f x x Resp. No hay Máximo ni Mínimo

4.

2

2 3x xf x

x

Resp. Máximo en

12

5x

5. 2 x xf x e e Resp. Mínimo en ln 2

2x

6. ln

xf x

x Resp. Mínimo en x = e

7. 2

cos ; en ,2

f x x sen x x

Resp. Máximo en 4

x

y

4

3

2

1

x -1 1 2

-1

193

8. 2 ; en ,2 2

f x sen x x x

Resp. Máximo en 6

x

Mínimo en 6

x

9. xf x e sen x Resp. Mínimo en 24

x k

Máximo en

32

4x k

k z

10. 1f x x x Resp. Máximo en 3

4x

Mínimo en 1x

194

4.6. Análisis de Carvas Planas

Estamos en condiciones de trazar la gráfica de una gran variedad de

funciones. Los aspectos más importantes de considerar en una

gráfica son: Intervalo de Monotonía, Concavidad y Extemos

relativos.

Ejemplo 4.6.1.

Determinar la gráfica de la función

2 1

xf x

x

considerando los aspectos mencionados

Desarrollo Sea 2 1

xy

x

1.- Intersección con los ejes

i) Eje x : Hacemos 2

0 entonces 01

xy

x

de donde 0x

luego el gráfico de f corta al eje x en 0x

2i) Eje y : Hacemos 0 entonces 0x y

luego el gráfico de f corta al eje y en

0y

de i) y 2i) se concluye que el gráfico de f pasa

por el origen.

2.- Simetrías:

2 2 11

x xf x f x

xx

(función Impar)

por lo tanto el gráfico de f tiene simetría con respecto al

origen.

3.- Asíntotas :

i) Verticales :

Como se trata de una función racional cuyo denominador

no se anula para ningún valor de x, entonces el gráfico

de f no tiene asíntotas verticales.

195

2i) Horizontales:

Como 2lim lim 0

1x x

xf x

x

, entonces el gráfico de

f tiene por asíntotas horizontales de recta 0y

4.- Intervalos de Monotonía:

Para determinar intervalos de Monotonía analizamos el signo de

la derivada.

2

2 22 2

1 11'

1 1

x xxf x

x x

Conclusión:

'f x es estrictamente creciente en el intervalo 1,1

f x es estrictamente decreciente en los intervalos

, 1 y 1,

Nótese que los puntos críticos de f son 1; 1x x

5.- Concavidad:

Para determinar la concavidad analizamos el signo de la segunda

derivada

2

3 32 2

2 3 32 3''

1 1

x x xx xf x

x x

3x - + + +

x - - + +

3x - - - +

)('' xf - + - +

1 + x - + +

1 - x + + -

f’(x) - + -

-1 1

3 0 3

196

Conclusión:

f x es cóncava hacia arriba en los intervalos

3 , 0 y 3 , y f x es cóncava hacia

abajo en los intervalos , 3 y 0, 3

Nótese que los puntos de inflexión de f son 3x

0 3x x

6.- Extremos Relativos:

Usando el criterio de la segunda derivada para la determinación

de extremos analizamos el signo de ''f x en los puntos

críticos:

Para 1

1 '' 12

x f luego f tiene un Mínimo Relativo,

en 1

1 y 12

x f

Para 1

1 '' 12

x f luego f tiene un Máximo Relativo,

en 1

1 y 12

x f

7.- Gráfico de f(x) : Rx

Figura 56

Nótese que los extremos relativos encontrados son también extremos

globales y que el dominio de la función es R.

¿Cuál es el rango de f ?

y

x

3 -1

1 3 0

197

Ejercicios Propuestos 4.6.

Trazar la gráfica de las siguientes funciones determinando:

a) Dominio y Rango

b) Intersecciones con los ejes

c) Simetrías

d) Asíntotas

e) Intervalos de Monotonía

f) concavidades

g) Extremos Relativos

1. 3 22 4 3f x x x x

2. 3 1f x x

3.

3

2

1xf x

x

4. xf x x e

5. xf x e sen x

6. f x x sen x

7. f x x sen x

8. ln 1f x x x

9. 2ln 1f x x

10. 3

23

xf x

x

198

4.7 Problemas de Máximos y Mínimos

El cálculo se utiliza para resolver problemas que estan fuera del alcance

de los métodos algebraicos. En esta sección veremos algunos ejemplos

de problemas de máximos y mínimos usando técnicas propias del cálculo

diferencial.

Ejemplo 4.7.1.

Con una lámina de hojalata rectángular de 4 x 5 decímetros se desea

construir una caja sin tapa para esto, recortamos cuadrados de igual

tamaño en las cuatro esquinas de la lámina y doblamos los lados

hacia arriba ¿Qué dimensiones deberá tener la caja para tener su

máxima capacidad? Figura 57.

Figura 57

Desarrollo

Sea x el lado del cuadrado de cada esquina que se recortara, entonces

las dimensiones de la caja serán:

Largo ; (5 – 2x) dm

Ancho ; (4 – 2x) dm

Alto ; x dm con 0 < x < 2

El volumen de la caja: V (x) = (5 - 2x) (4 – 2x) x dm3 como la función

volumen en términos de x es derivable usamos el criterio de la segunda

derivada para determinar su máximo:

2 3

2

5 2 4 2 20 18 4

' 20 36 12

V x x x x x x x

V x x x

Puntos críticos

3 212,2637626 2

2 6

3 210,7362373

2 6

x

x

4 – 2x x

x

5 – 2x

4 – 2x

5 – 2x x

199

16 cm.

Como la variable x está restringida por la condición 0 2x sólo

0,7362373ox es un punto crítico.

" 36 24

" 18,330302 0O

V x x

V X

Luego para 0,7362373x decímetros da por resultado la caja sera

tapa de volumen máximo, cuyas dimensiones son:

Largo : 3,52 dm (aproximado a la centésima)

Ancho : 2,52 dm (aproximado a la centésima)

Alto : 0,74 dm (aproximado a la centésima)

Ejemplo 4.7.2.

La resistencia a una viga de sección rectangular es directamente

proporcional al ancho y al cubo de su altura. Hallar el ancho de

la viga de máxima resistencia que podría ser obtenida a un tronco

de madera de 16 cm. De diámetro. Figura 58

Figura 58

Sean:

x = ancho de la viga

y = alto de la viga

R = Resistencia de la viga

Luego de acuerdo a los datos del problema se tiene que:

3R k xy donde k es una constante de proporsionalidad pero de

la figura 58 tenemos que:

2256y x

Por lo tanto

3

22256 0 16R x k x x x

y

x

200

Aplicamos el criterio de la segunda derivada para determinar extremos

relativos:

2 2' 256 256 4R x k x x

Puntos críticos:

16 . no satisface 0 16x cm x

8 .x cm

Se puede probar que ' 8 0R

El ancho de la viga de máxima resistencia pedida es 8 .x cm

Ejemplo 4.7.3.

Se requiere construir un canal abierto de capacidad máxima.

La base y los lados del canal deben ser de 10 cm. de longitud;

además, los costados del canal deben de estar igualmente

inclinados respecto a la base. ¿Cuál debe ser la anchura del

canal por arriba?. Figura 59

Figura 59

Desarrollo

La capacidad del canal es proporcional a la sección transversal

del canal. Por lo tanto, maximizar la capacidad, es equivalente

a maximizar el área de la sección transversal.

El área de la sección transversal corresponde al área de un trapecio

como se observa en la figura 59.

Recordemos que el área del trapecio es igual a la semisuma de sus

Bases multiplicado por la altura.

De la figura 59 obtenemos que:

Base superior = 10 + 2x

10 cm.

x x

h 10 cm.

201

Base inferior = 10

Altura h = 2100 0 10x x

De donde A =

2

2

2

10 100

10100

100

x x

x xdAx

dx x

Puntos Críticos:

x= -10 (no satisface la restricción)

x = 5

Se puede probar que A” (5) < 0

Luego la anchura superior del canal debe ser de 20 cms.

Nota 4.7.1.

Se recomienda seguir la siguiente estrategia para abordar los

problemas de máximos y mínimos:

1.- Leer el problema, hasta tener una comprensión clara de éste;

subraya las parte que son importantes, indique los datos y

defina las incógnitas.

2.- Dibuje una figura para ilustrar el problema. Esta fígura debe

Contener los datos y las incognitas definidas (en lo posible).

3.- Escriba una ecuación de la variable que va hacer maximizada

o minimizada, en términos de una sola variable independiente,

mediante la utilización de los datos, del problema y relaciones

algebraicas conocidas.

4.- Una vez obtenida la ecuación aplicar la teoría del máximos y

Mínimos.

202

PROBLEMAS PROPUESTOS 4.7.

1. Hállese las dimensiones del rectángulo de mayor área que pueda

Inscribirse en un semicírculo de radio r.

2. Se dispone de un alambre de longitud L para hacer un círculo y un

cuadrado. ¿Cómo ha de cortarse el alambre en sus dos formas

para que la suma de las áreas correspondientes sea máxima?.

3. ¿Cuáles son las dimensiones de una lata en forma de cilindro circular

recto sin tapa que pueda hacerse de un material que pesa 1 gr. por

cm 2 , si el volumen de la lata ha de ser de 1000 cm 3 ?

4. Una caja rectangular sin tapa de volumen de 128 mts 3 se desea

construir. Si el fondo debe ser cuadrado con un costo de $ 2

por mt 2 , mientras que el costo de los lados es de $ 0,5 por mt 2

¿Qué dimensiones minimizarán el costo?

5. Hay que construir un silo en forma de cilindro rematado por una

semiesfera. El costo de construcción por pie cuadrado de área

superficial es doble para la semiesfera que para el cilindro.

determínense las dimensiones que han de utilizarse si el volumen

es fijo y el costo de construcción ha de ser mínimo. Despreciense

el espesor de la pared del silo y el desperdicio producido en la

construcción.

6. Un torpedero se encuentra anclado a 9 kms. Del punto más próximo

de de la costa. Es preciso enviar un mensajero a un campamento

militar situado a 5 kms. Del punto de tierra más próximo, contando

a lo largo de la costa; si el mensajero puede andar a pie lo hace a

5 km/hrs. Y remando a 4km/hrs.

¿En qué punto de la costa debe desembarcar el mensajero para llegar

al campamento en el menor tiempo posible?.

7. Dos pueblos, localizados en la misma orilla de un rio recto; acuerdan

construir una estación de bombeo y una planta de filtrado junto al rio

para su uso en común. Si las distancias entre los pueblos y el rio son

“a” y “b”, y la distancia entre pueblo y pueblo es c, muéstrese que la

suma de las longitudes de tubería necesaria para unirlos con la estación

de bombeo es, por lo menos, 2 4c ab .

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