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MI54A EVALUACIN DE YACIMIENTOS UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIN DE YACIMIENTOS UNIVERSIDAD DE CHILE
Propiedades del variogramaPropiedades del variograma Modelos bsicosModelos bsicos Modelos anidadosModelos anidados AnisotropasAnisotropas
06 Variograma06 Variograma
modeladomodelado
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MotivacinMotivacin
El variograma experimental requiere ser modelado
es imperfecto los puntos obtenidos estn su!etos a
imprecisiones
es incompeto se calcul para un n"mero #nito de distancias $de direcciones del espacio
%e a!usta un mo!eode variograma& de#nido en todas las
direcciones del espacio $ para todas las distancias& entorno al variograma experimental obtenido' %e usar este
modelo como si (uera el )verdadero* variograma de la
(uncin aleatoria que representa la variable en estudio
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MotivacinMotivacinVariograma experimental
Variograma terico
El variograma experimental estima el variograma terico sin
sesgo
})]()({[2
1
)}()(var{
2
1)(
2uhu
uuhuh
ZZE
DZZ
+=
+=
=
+=)(
1
2)]()([)(2
1)(
h
huuh
h
N
i
ii zzN
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Propiedades delPropiedades del
variogramavariograma+n modelo de variograma+n modelo de variograma debe satis(acer varias
re"triccione" m#tem$tic#"
,uncin positiva -%. 0 ,uncin par -%. / -%. 1ulidad en el origen -&. / 0 En el in#nito& crece ms lentamente que una parbolaEn el in#nito& crece ms lentamente que una parbola
,uncin de tipo negativo condicional
0)(,,...,0,...1 1
1
1
1 = = ==
k
i
k
j
jijik
k
i
ik uuuuR/
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Propiedades delPropiedades del
variogramavariograma2os rasgos importantes de un variograma son
El comport#miento en e ori'en suave 3 continuo 3
discontinuo
El comport#miento # in(nito alcance 3 meseta
El comport#miento !ireccion# istropo 3 anistropo
4tros ciclicidad& e(ecto de 5o$o
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Propiedades delPropiedades del
variogramavariogramaEn la prctica& se modela el variograma experimental a partir
de (unciones bsicas preestablecidas que cumplen con las
restricciones matemticas de un variograma
modelo discontinuo en el origen e(ecto pepita
modelos lineales en el origen es(rico& exponencial7
modelos parablicos en el origen 8aussiano7
modelos sin meseta potencia7
modelos cclicos seno cardinal7
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E(ecto pepitaE(ecto pepita
Este modelo se traduce en una ausencia total de correlacin en el
espacio dos muestras distintas tienen valores independientes
=
=contrariocasoen
0si0)(
C
hh
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E(ecto pepitaE(ecto pepita
2as causas del e(ecto pepita son2as causas del e(ecto pepita son 2a2a pre"enci# !e )micro*e"tr+ct+r#",pre"enci# !e )micro*e"tr+ct+r#",-variabilidad a escala-variabilidad a escala
mu$ peque9a en comparacin con la escala de observacin.mu$ peque9a en comparacin con la escala de observacin.
2a2a pre"enci# !e errore" !e me!ici-npre"enci# !e errore" !e me!ici-n-errores (undamental&-errores (undamental&de segregacin& delimitacin& extraccin& preparacin $ anlisisde segregacin& delimitacin& extraccin& preparacin $ anlisisqumico.qumico.
2a2a pre"enci# !e errore" en # +.ic#ci-n !e o" !#to"pre"enci# !e errore" en # +.ic#ci-n !e o" !#to"-coordenadas equivocadas.-coordenadas equivocadas.
Soporte !e # me!ici-nSoporte !e # me!ici-nes mu$ peque9o -e(ecto de soporte.es mu$ peque9o -e(ecto de soporte. M+e"treo preferenci#M+e"treo preferenci#en :onas de altas le$es -$ de altaen :onas de altas le$es -$ de alta
variabilidad debido al e(ecto proporcional.variabilidad debido al e(ecto proporcional.
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Modelo es(ricoModelo es(rico
,orma de variograma com"nmente encontrada' El alcance,orma de variograma com"nmente encontrada' El alcancecorresponde al parmetrocorresponde al parmetro aa& la meseta al parmetro& la meseta al parmetro CC''
=
contrariocasoen
si2
1
2
3
)( 3
3
C
aha
h
a
hC
h
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Modelo es(ricoModelo es(rico
2a terminologa )variograma es(rico* se explica porque2a terminologa )variograma es(rico* se explica porqueCC -5. es proporcional al volumen de la interseccin de-5. es proporcional al volumen de la interseccin dedos es(eras de dimetrodos es(eras de dimetro aa& separadas por 5& separadas por 5
+
=
ah
aha
h
a
ha
si0
0si2
1
2
31
6volumen 3
33
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11/28MI54A EVALUACIN DE YACIMIENTOS UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIN DE YACIMIENTOS UNIVERSIDAD DE CHILE
Modelo exponencialModelo exponencial
=
a
hCh
3exp1)(
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12/28MI54A EVALUACIN DE YACIMIENTOS UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIN DE YACIMIENTOS UNIVERSIDAD DE CHILE
Modelo exponencialModelo exponencial
Modelo similar al es(rico pero asciende msModelo similar al es(rico pero asciende msabruptamente& tiene ms curvatura $ alcan:a la mesetaabruptamente& tiene ms curvatura $ alcan:a la meseta CCslo en (orma asintticaslo en (orma asinttica
ElEl #c#nce pr$ctico#c#nce pr$cticoest dondeest donde -5. vale 0';
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13/28MI54A EVALUACIN DE YACIMIENTOS UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIN DE YACIMIENTOS UNIVERSIDAD DE CHILE
Modelo 8aussianoModelo 8aussiano
=
2
23
exp1)(a
hCh
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14/28MI54A EVALUACIN DE YACIMIENTOS UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIN DE YACIMIENTOS UNIVERSIDAD DE CHILE
El modelo implica continuidad de corta escala debido a suEl modelo implica continuidad de corta escala debido a sucomportamiento parablico en el origen'comportamiento parablico en el origen'
Adecuado para variables como elevaciones o espesorAdecuado para variables como elevaciones o espesor
El alcance prctico se de#ne cuandoEl alcance prctico se de#ne cuando -5. vale 0';
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15/28MI54A EVALUACIN DE YACIMIENTOS UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIN DE YACIMIENTOS UNIVERSIDAD DE CHILE
Modelo potenciaModelo potencia
Este modelo se asocia a (ractales -movimientos =ro>nianosEste modelo se asocia a (ractales -movimientos =ro>nianos(raccionarios.' Est de#nido por una potencia 0?(raccionarios.' Est de#nido por una potencia 0??@ $ una?@ $ unapendiente positiva 'pendiente positiva '
= hCh)(
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16/28MI54A EVALUACIN DE YACIMIENTOS UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIN DE YACIMIENTOS UNIVERSIDAD DE CHILE
Modelo seno cardinalModelo seno cardinal
alcance prctico / @0'B a& semiperodo / B'< a& meseta / C
=a
h
h
aCh sen1)(
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17/28MI54A EVALUACIN DE YACIMIENTOS UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIN DE YACIMIENTOS UNIVERSIDAD DE CHILE
Modelos anidadosModelos anidados
Para obtener modelos ms comple!os& se puede sumar variosvariogramas elementales' En este caso& se 5abla de)/#rio'r#m#" #ni!#!o"*'Permite modelar cambios dePermite modelar cambios de
pendiente en el variogramapendiente en el variograma
)(...)()()( 21 hhhh S+++=
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18/28MI54A EVALUACIN DE YACIMIENTOS UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIN DE YACIMIENTOS UNIVERSIDAD DE CHILE
Modelos anidadosModelos anidados
2a presencia de una microestructura se traduceexperimentalmente en un e(ecto pepita
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19/28MI54A EVALUACIN DE YACIMIENTOS UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIN DE YACIMIENTOS UNIVERSIDAD DE CHILE
Modelos en @C $ DCModelos en @C $ DC
Ms di(cil que modelos C $a que el modelo debe serMs di(cil que modelos C $a que el modelo debe serlegtimo -del punto de vista matemtico. en todas laslegtimo -del punto de vista matemtico. en todas lasdirecciones'direcciones'
om"nmente calculamos variogramas experimentales enom"nmente calculamos variogramas experimentales endirecciones ortogonales principales direcciones vertical&direcciones ortogonales principales direcciones vertical&5ori:ontal ma$or $ 5ori:ontal menor'5ori:ontal ma$or $ 5ori:ontal menor'
+n modelo de variograma+n modelo de variograma i"-tropoi"-tropo-que slo depende de la-que slo depende de ladistancia& no de la orientacin dedistancia& no de la orientacin de %%. es poco (recuente. es poco (recuente
2os tipos de anisotropa ms comunes son la2os tipos de anisotropa ms comunes son la #ni"otrop0##ni"otrop0#'eom1tric#'eom1tric#$ la$ la #ni"otrop0# 2on##ni"otrop0# 2on#
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20/28MI54A EVALUACIN DE YACIMIENTOS UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIN DE YACIMIENTOS UNIVERSIDAD DE CHILE
Anisotropa geomtricaAnisotropa geomtrica
El mapa variogr#co dibu!a eip"e"-@C. o eip"oi!e"-DC.' El modelamiento slo requiere especi#car lasdirecciones principales -ortogonales entre s. $ los
alcances correspondientes''
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21/28MI54A EVALUACIN DE YACIMIENTOS UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIN DE YACIMIENTOS UNIVERSIDAD DE CHILE
Anisotropa geomtricaAnisotropa geomtrica
onse!os de modelamientoonse!os de modelamiento
%eleccionar la pepita de la%eleccionar la pepita de ladireccin vertical -o de ladireccin vertical -o de ladireccin me!or in(ormada.direccin me!or in(ormada.
Escoger una constanteEscoger una constantepepita ba!apepita ba!a
Ceterminar el n"mero $ tipoCeterminar el n"mero $ tipode modelos de variogramasde modelos de variogramas
Prueba$error paraPrueba$error para
establecer los parmetrosestablecer los parmetros Fa$ so(t>are GexibleFa$ so(t>are Gexible
disponibledisponible
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22/28MI54A EVALUACIN DE YACIMIENTOS UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIN DE YACIMIENTOS UNIVERSIDAD DE CHILE
Anisotropa :onalAnisotropa :onal
El mapa variogr#co dibu!a .#n!#"' %e trata de un casolmite de anisotropa geomtrica& donde el alcance en unadireccin se vuelve mu$ grande' A la escala de traba!o& la
meseta cambia seg"n la direccin''
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23/28MI54A EVALUACIN DE YACIMIENTOS UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIN DE YACIMIENTOS UNIVERSIDAD DE CHILE
Anisotropas comple!asAnisotropas comple!as
%e obtiene (ormas ms comple!as de anisotropa alme:clar anisotropas geomtricas $3o :onales deorientacin $ ra:n di(erentes
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24/28MI54A EVALUACIN DE YACIMIENTOS UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIN DE YACIMIENTOS UNIVERSIDAD DE CHILE
Heglas de a!usteHeglas de a!uste
El modelo de variograma debe ser consistente en las distintasEl modelo de variograma debe ser consistente en las distintasdirecciones& es decir& tener el mismo e(ecto pepita $ el mismodirecciones& es decir& tener el mismo e(ecto pepita $ el mismon"mero $ tipo de estructuras anidadas'n"mero $ tipo de estructuras anidadas' Por e!emplo& si el variograma (uera de tipo es(rico en una direccin $Por e!emplo& si el variograma (uera de tipo es(rico en una direccin $
exponencial en otra& Icul sera su expresin en las direccionesexponencial en otra& Icul sera su expresin en las direcciones
diagonalesJdiagonalesJ
Imo asegurar un modelo consistenteJImo asegurar un modelo consistenteJ Komar un "nico -el ms ba!o. e(ecto pepita istropoKomar un "nico -el ms ba!o. e(ecto pepita istropo Escoger el mismo n"mero de estructuras anidadas para todas lasEscoger el mismo n"mero de estructuras anidadas para todas las
direcciones& basado en la direccin ms comple!adirecciones& basado en la direccin ms comple!a Asegurar que el mismo parmetro de meseta se use para todas lasAsegurar que el mismo parmetro de meseta se use para todas las
estructuras anidadas en todas las direccionesestructuras anidadas en todas las direcciones Permitir un alcance di(erente en cada direccinPermitir un alcance di(erente en cada direccin Modelar una anisotropa :onal de#niendo un alcance mu$ grande enModelar una anisotropa :onal de#niendo un alcance mu$ grande en
una o ms de las direcciones principalesuna o ms de las direcciones principales
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25/28MI54A EVALUACIN DE YACIMIENTOS UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIN DE YACIMIENTOS UNIVERSIDAD DE CHILE
Heglas de a!usteHeglas de a!uste
E3empoE3empo proponer un proponer unmodelo para el siguientemodelo para el siguientevariograma suponiendovariograma suponiendo
que las direccionesque las direccionesprincipales correspondenprincipales correspondena los e!es de coordenadaa los e!es de coordenada
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26/28MI54A EVALUACIN DE YACIMIENTOS UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIN DE YACIMIENTOS UNIVERSIDAD DE CHILE
Heglas de a!usteHeglas de a!uste
Re'#Re'#
. Ceterminar el e(ecto. Ceterminar el e(ectopepitapepita
@. Ceterminar los alcances@. Ceterminar los alcances$ mesetas en cada$ mesetas en cadadireccindireccin
D. Ceterminar la cantidad $D. Ceterminar la cantidad $los tipos de modelos quelos tipos de modelos que
se anidarn para else anidarn para ela!ustea!uste
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27/28MI54A EVALUACIN DE YACIMIENTOS UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIN DE YACIMIENTOS UNIVERSIDAD DE CHILE
Heglas de a!usteHeglas de a!uste
Empe:amos con un e(ecto pepita deEmpe:amos con un e(ecto pepita deamplitud -meseta. 0'amplitud -meseta. 0'
2uego se agrega una estructura2uego se agrega una estructura
-exponencial. que llega a la-exponencial. que llega a laprimera meseta& conprimera meseta& conalcances propios en cadaalcances propios en cadadireccindireccin
2uego se agrega una segunda2uego se agrega una segundaestructura para llegar a laestructura para llegar a lasegunda meseta& de!ando in#nitosegunda meseta& de!ando in#nitoel alcance en la direccin el alcance en la direccin
,inalmente se agrega una tercera,inalmente se agrega una terceraestructura para llegar a laestructura para llegar a lameseta total& de!ando in#nitos losmeseta total& de!ando in#nitos losalcances en las direcciones $ @alcances en las direcciones $ @
-5. / 0' pepa-5. / 0' pepa
L 0'; exp-@00m&@0m&
-
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onsideraciones prcticasonsideraciones prcticas
=uscar anisotropas simples con @ D direccionesprincipales& ortogonales entre sidenti#car la elipse o el elipsoide que me!or se acerca al mapa
variogr#co
El variograma experimental es poco con#able paradistancias mu$ grandes
1o existe un modelo "nico 2a meseta del variograma -varian:aterica. puede
di(erir de la varian:a del 5istograma -varian:a emprica.
%e debe prestar atencin a la representatividad de lospuntos experimentales& a la in(ormacin disponiblesobre la variable $ a la escala de traba!o
Cescon#ar de los a!ustes automticos