Dos tipos de errores caracterizan a los métodos numéricos

1.- Errores de redondeo2.- Errores de truncamiento

Ambos errores pueden avaluarse mediante la siguiente definición de

error verdadero Ev y error relativo Er:

Ev = Valor verdadero – Valor aproximado

Er = 100 Ev / Valor verdadero

En un proceso de iterativo el error aproximado Ea se define asi:

Ea = 100 ( Valor aproximado actual - Valor aproximado anterior ) / Valor aproximado actual

Error de truncamiento y la serie de Taylor

La serie de Taylor proporciona una forma de predecir el valor de una función en un punto cuando se conoce el valor de la función y sus derivadas en otro punto. Sea xi, f(xi) el punto conocido. Entonces, el valor de la función en el punto xi+1 es:

f(xi+1) = f(xi) + f ’(xi) h + f ’’(xi) h2 / 2! + f ’’’(xi)h3 / 3! +…+ f n(xi) hn / n! + Rn

En donde:

h = xi+1 – xi

Rn = f n+1(ξ) hn+1 / (n+1)! ; xi < ξ < xi+1 (Término residual)

Por ejemplo, si la serie de Taylor se trunca a partir del término de la segunda derivada se obtiene una aproximación a la derivada, así:

f(xi+1) ≈ f(xi) + f ’(xi)h

y

f ’(xi) ≈ ( f(xi+1) - f(xi) ) / h

Obsérvese que se han despreciado términos de orden h1 y superiores:

f ’(xi) = ( f(xi+1) - f(xi) ) / h + O(h)

O(h) = f ’’(xi) h1 / 2! + f ‘’’(xi) h2 / 3! +…+ f n(xi) hn-1 / n! + Rn / h

Existen varias formas de aproximar la derivada de una función usando una serie de Taylor truncada.

Por ejemplo, si f(xi) representa al valor de la función f en el punto xi, entonces el valor de la función en el punto xi+1, se puede expresar mediante una expansión de la serie de Taylor alrededor del punto xi, como sigue

Diferencias finitas

...6

h

dx

)x(fd

2

h

dx

)x(fdh

dx

df)x(f)x(f

3

3i

32

2i

2

i1i

• Si ahora se despeja de esta ecuación el término de la primera derivada, se obtiene

• en donde el símbolo O(h) es la forma como usualmente se representa a los términos de orden h1 o mayores, es decir, para el caso anterior

• Por consiguiente, si se desprecian estos términos, la derivada puede aproximarse así

• y representa la aproximación de orden uno (O(h)) de la derivada en un esquema de diferencias finitas

)h(Oh

)x(f)x(f

dx

df i1i

...6

h

dx

)x(fd

2

h

dx

)x(fd)h(O

2

3i

3

2i

2

h

)x(f)x(f

dx

df i1i

• Debido a que esta aproximación se obtuvo avaluando la función f(x i+1) un punto adelante de xi, se dice que es una diferencia finita adelantada.

• De la misma manera, se puede obtener la aproximación de la derivada evaluando la función en el punto (xi-1) así

•

• y si ahora se despeja a la derivada y se desprecian los términos O(h), se obtiene la definición de la diferencia finita atrasada.

• Los dos esquemas anteriores tiene una aproximación de orden uno. Para mejorar la aproximación simplemente es necesario conservar más términos de la serie de Taylor.

...6

h

dx

)x(fd

2

h

dx

)x(fdh

dx

)x(df)x(f)x(f

3

3i

32

2i

2i

i1i

h

)x(f)x(f

dx

)x(df 1iii

También se puede definir la representación centrada de la derivada alrededor del punto xi. Si se restan las dos ecuaciones de la expansión hacia adelante y hacia atrás de la serie de Talor :

...6

h

dx

)x(fd

2

h

dx

)x(fdh

dx

)x(df)x(f)x(f

3

3i

32

2i

2i

i1i

...6

h

dx

)x(fd

2

h

dx

)x(fdh

dx

)x(df)x(f)x(f

3

3i

32

2i

2i

i1i

....3

h

dx

)x(fdh

dx

)x(df2)x(f)x(f

3

3i

3i

1i1i

....3

h

dx

)x(fd

h2

)x(f)x(f

dx

)x(df 2

3i

31i1ii

)h(Oh2

)x(f)x(f

dx

)x(df 21i1ii

h2

)x(f)x(f

dx

)x(df 1i1ii

Despejando:

Aproximación de orden 2 O(h2)

Representaciones de la derivada en diferencias finitas

xi - 1 xi xi + 1

Adelantada O(h)

Atrasada O(h) Centrada O(h2 ) = ½ (Adelantada + Atrasada)

f(xi - 1)

f(xi)

f(xi + 1)

Diferencias finitas

Aproximación

f ’(xi) ≈ ( f(xi + 1) - f(xi) ) / h Diferencia finita adelantada O(h)

f ’(xi) ≈ ( f(xi) - f(xi - 1) ) / h Diferencia finita atrasada O(h)

f ’(xi) ≈ ( f(xi + 1) - f(xi - 1) ) / 2h Diferencia finita centrada O(h2)