conjuntos numéricos

UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER

UNIDAD 1

CONJUNTOS NUMÈRICOS

DEFINICIONES

El conjunto formado por los números racionales y los irracionales (no racionales) se llama

conjunto de números reales y se designa por R.

A continuación están los subconjuntos en un diagrama:

Con los números reales podemos realizar las mismas operaciones que hacíamos con los números

racionales: sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo por el cero) y se siguen manteniendo las

mismas propiedades.

También podemos extraer raíces de cualquier índice (salvo raíces de índice par de

números negativos) y el resultado sigue siendo un número real. Eso no ocurría con los números

racionales.

LA RECTA REAL

El conjunto de los números reales también puede representarse sobre una recta. A cada número

real le corresponde un único punto de la recta, y cada punto de la recta representa un único

número real. A esta recta la llamamos recta real. (Ver figura 1)

REALES (R)


Figura 1. “Recta de los números reales o Recta Real”.

REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS SOBRE LA RECTA REAL Todo número real puede situarse sobre la recta real, dependiendo de cómo sea el número:

a. Representación de naturales, enteros o decimales exactos

Ejemplo: 2 y 3,47

b. Representación de Decimal periódico:

Pueden expresarse en forma de fracción y representar la fracción (Se divide cada unidad

en tantas partes como tenga en denominador y se toman tantas como tenga el numerador.)

Ejemplo: 0,8333333…. = 5/6

5/6


c. Representación de irracionales

Si un número irracional es radical cuadrático o una combinación de ellos, se puede

representar construyendo triángulos rectángulos (Se utiliza el teorema de Pitágoras donde la

hipotenusa es lo que queremos dibujar.)

OPERACIONES CON REALES

Orden de Operaciones

Veamos el orden jerárquico de las operaciones

Reglas Importantes para Resolver Operaciones Aritméticas: 1. Resolver todo lo que esté dentro de símbolos de agrupación.

2. Evaluar las expresiones exponenciales.

3. Hacer todas las multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha.

4. Hacer todas las sumas y restas en orden de izquierda a derecha.

Por Ejemplo: 4 + 5 · 7

El típico error es comenzar el ejercicio efectuando la suma de 4 y 5, pero como ya sabemos que

existe un orden establecido, lo correcto es hacer primero el producto 5 · 7, o sea


4 + 5 · 7 = 4 + 35 = 39

Otro ejemplo: 57 – 5(8 - 6)3 .Resolvamos en el orden adecuado:

57 − 5 ∙ 23 = 57 − 5 ∙ 8 = 57 − 40 = 17

SUMA Y RESTA

Aquí proponemos una forma sencilla para aprender a sumar y restar mediante dos reglas muy

fáciles de recordar

Si se tienen dos números de signos iguales, entonces se suman y se deja el mismo

signo.

Ejemplo: 3+5 = 8 esta es una suma común y corriente entre naturales.

Pero y si fuera... − 3 − 5 = − 8; observa que igual se obtiene 8 como en la anterior pero esta vez

es de signo negativo porque ambos números son negativos y en realidad estamos avanzando

hacia la izquierda sobre la recta real.

Si se tienen dos números de signos diferentes, entonces se restan (entendido como resta entre números naturales, el mayor menos el menor) y se deja el signo de la magnitud mayor.

Ejemplo: 5 – 3 = 2

− 5 + 3 = − 2

En el primer ejemplo es una resta común y corriente entre número naturales. En el segundo caso

tenemos dos enteros –5 y 3. La regla dice que se restan como se haría entre números naturales

5−3 da 2, pero como la magnitud mayor es 5 y es de signo negativo el resultado queda negativo

−2.

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

Para estas operaciones se debe tener en cuenta la siguiente tabla:


Es decir que signos iguales dan positivo y signos diferentes dan negativo

Ejemplo:

5 3 15 15 5 3

5 3 15 15 5 3

5 3 15 15 5 3

5 3 15 15 5 3

OPERACIONES ENTRE FRACCIONARIOS

La definición de fraccionario y toda la parte teórica te la dejamos a ti. Mira cómo se opera entre

ellos

SUMA Y RESTA

Este tema lo podemos clasificar en dos:

Suma y resta de homogéneos:

Son las fracciones con igual denominador, son las más fáciles de sumar, simplemente se suman

los reales de los numeradores y se deja el mismo denominador:

Ejemplo:

3 7 5 11 3 7 5 11 10 16

2 2 2 2 2 2

63

2

Suma y resta de heterogéneos:


Lo importante para la suma y resta de fracciones heterogéneas es encontrar el común

denominador, el cual es el mínimo común múltiplo (m.c.m) de todos los denominadores presentes:

Ejemplo:

2 5 4 32 4 10 12

3 5 15 15

2

15

En el ejemplo anterior se obtuvo el común denominador multiplicando los denominadores. Como

común denominador también hubiese servido 30, 45, 60, etc. Pero la idea es escoger el múltiplo

mínimo, en este caso 15.

Además observa que la operación es muy sencilla:

Se encuentra el mínimo común múltiplo y se coloca como denominador común

Se divide el común denominador entre el primer denominador y el resultado se multiplica por el numerador

15 ÷ 3 = 5 luego (5) (−2) = −10

Se repite la operación para cada uno de las fracciones

Se suman los resultados obtenidos y la fracción obtenida se simplifica(si es posible) y listo

Veamos otro ejemplo:

5 3 7 1 5 2 3 4 7 5 6 28 27

8 4 2 8 8 8

Esta vez no se multiplicaron entre sí los denominadores porque no es necesario, 8 es múltiplo

común tanto de 2 como de 4 y del mismo 8. Eso no quiere decir que si tú escogieras por ejemplo

16, 24, 32 o cualquier otro múltiplo más grande estaría mal. ¡No! Sólo sería un múltiplo

innecesariamente grande y por lo tanto las multiplicaciones por los numeradores se crecerían

igualmente. ¡Haz la prueba!

Algunas veces obtener el común denominador mentalmente no es fácil, entonces debes recurrir a

la descomposición en factores primos para hallar el mínimo común múltiplo.

Ejemplo:

Sumar: 3 1 1

16 12 18


¿Cuál debe ser el común denominador?

Descomponer los denominadores en sus factores primos 12 = 2∙2∙3 16 = 2∙2∙2∙2 18 = 2∙3∙3

Para hallar el mínimo común múltiplo se escogen todos los números que haya y los multiplica con su mayor exponente

En el ejemplo:

24 ∙ 3

2 = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

Por lo tanto el común denominador será 144

3 1 1 3 9 1 12 1 8 27 12 8 23

16 12 18 144 8 144

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONARIOS

Para este tema debes conocer las tablas de multiplicar, las leyes de la multiplicación de signos y en

lo posible saber simplificar fraccionarios.

La multiplicación se realiza numerador con numerador y denominador con denominador

Así:

a c a c

b d b d

Ejemplo 1:

3 25 3 3 25 3 1

15 9 5 5 9 5 1

¿Qué sucedió? Sucedió que los 3 de los numeradores se pueden simplificar con el 9 del

denominador y que el 25 del numerador se puede simplificar con los 5 del denominador. Además la

expresión quedó negativa por la multiplicación de signos.

Otra forma de hacer el ejercicio es multiplicar todos los numeradores entre sí, al igual que los

denominadores y luego simplificar, pero eso sería tonto porque de todos modos toca simplificar y

terminaría dando 1


3 25 3 225

15 9 5 225

Ejemplo 2:

3 15 2 3 15 2 1 1 2 2

5 27 7 5 27 7 1 3 7 21

DIVISIÓN DE FRACCIONARIOS

a c

b d

Se puede realizar de dos formas:

a. En cruz: a c a d

b d b c

b. Extremos / Medios:

a

a dbc b c

d

Es obvio que en ambos casos se obtiene lo mismo, pero las dos formas son útiles en uno u otro

momento. Igualmente que en multiplicación de fracciones, cuando la división ya está expresada

como una multiplicación puedes emplear la simplificación para facilitar tu labor.

Ejemplo:

9 27 9 5 1

25 5 25 27 15


POTENCIACION

Definición Sea a un número real, entonces el producto de a por sí mismo n veces se escribe: a.a.a.a……..a = a

n donde a es la base y n es el exponente.

PROPIEDADES

1. 0)(a10 a

2. aa 1

3. mnmn aaa

4. mnmn aa

5. nnnn cbaabc )(

6. n

nnn

n

nn

a

b

a

b

b

a

b

a

b

a

7. mn

m

n

aa

a

8. n

n

aa

1

9. 00 naentoncesparesnyaiS

10. 00 naentoncesimparesnyaiS

Ejemplos:

RADICACION

Definición: Se llama raíz n-ésima de un número a, y se escribe n a , a un número b que elevado

a n dé a.

nn a b si b a

Donde:


→ se llama radical a → radicando n → índice de la raíz

Ejemplos:

10244 porque ,41024

813 porque,381

27)3( porque ,327

82 porque ,28

19614 porque ,14196

55

33

33

33

2

Existencia de Radicales:

1. Si a es positivo, entonces n a existe, cualquiera que sea n.

Ejemplos: 4 55, 7, 0,85 existen

2. Si a es negativo, sólo existen sus raíces de índice impar.

Ejemplos:

3

6

8 existe

0,85 no existe

3. Salvo que a sea una potencia n-ésima de un número entero o fraccionario,n a es un número

irracional.

Sólo podremos obtener su expresión decimal aproximada.

Forma Exponencial de los Radicales

La raíz n-ésima de un número puede ponerse en forma de potencia:

1/m

nn mn na a a a

Esta nomenclatura es coherente con la definición.


aaaaa nnnnnn 1)/1(/1 )()(

Es importante familiarizarse con la forma exponencial de los radicales, pues nos permitirá

expresarlos y operar cómodamente con ellos.

1 2 14 25 5 4 22 2 a a a

Propiedades de los Radicales: Los radicales tienen una serie de propiedades, que debemos

conocer y utilizar con soltura. Todas ellas son consecuencia inmediata de conocidas propiedades

de las potencias. Veámoslas una a una, estudiando su significado en algunos ejemplos, y viendo

sus aplicaciones.

1. 1/np np p np na a a a Ejemplos:

2

2

44

66 3

9 3 3

4 2 2

Esta propiedad tiene una importante aplicación, la de simplificar radicales tal y como se ha

visto en los ejemplos anteriores;

2. n n na b a b Ejemplos:

2 2

5 5 5 5

3 3

32 32 2

x y x y

x x x

3. n

n

n

b

a

b

a Ejemplos:

288

33

3 5

3

3 5

3

5

33

xxx

xx

Esta propiedad, junto con la primera y segunda, sirve para poner productos y cocientes de

radicales bajo una sola raíz, ejemplo:

66 3 2 3 436 2 66

36 6 3

3 4 3 4 3 22 3 18

2 324 2 3


4. p n pn a a Ejemplo: 25)5()5( 44

5. mnnm a a Ejemplos:

8

63

55

33

Radicales Semejantes: Dos radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice y

radicando. Los radicales 3 y 35 son semejantes. Tienen el mismo índice, 2, y el mismo

radicando, 3. Además, 8 y 2 son semejantes, esto se comprueba sacando factores del

radical.

Operaciones con Radicales

1. La suma o la resta de radicales semejantes es otro radical semejante a los dados, cuyo coeficiente es igual a la suma o la resta de los coeficientes de los radicales sumados o restados, esto es,

( )n n nb a c a b c a

Ejemplos: 3 5 6 5 (3 6) 5 9 5

3 2 2 4448 18 2500 2 2 3 2 5 2 2 3 2 5 2 10 2

Si los radicales no son semejantes, la suma se deja indicada. Ejemplo: 3752

2. El producto de radicales, con el mismo índice, es igual a otro radical cuyo coeficiente y radicando son iguales, respectivamente, a los productos de los coeficientes y radicandos de los factores, así tenemos:

n n nb a d c b d a c

Ejemplo: 2

156

2

3253

Si los radicales son de distinto índice, primero hay que reducirlos a índice común

Ejemplo: 3 263 62 5 2 5 200


3. El cociente de dos radicales con el mismo índice, es igual a otro radical, cuyo coeficiente y

radicando son iguales, respectivamente, al cociente de los coeficientes y radicandos de los

radicales dividendo y divisor, quedando: nn

n

c

a

d

b

cd

ab

Ejemplo: 8 3

8 3 7 57 5

NOTA: En el caso que los radicales sean de diferente índice, se procede de la misma manera

que en la multiplicación (primero se reducen a índice común)

4. La potencia de un radical es igual a otro radical, cuyo coeficiente y radicando están elevados a

dicha potencia, n

mnm mb a b a

Ejemplo: 3 3 3 3

31 1 13 3 3 3 32 2 2 2(2 5) (2 5 ) 2 (5 ) 2 5 2 (5 ) 2 5 8 125

Es importante observar que al elevar al cuadrado un radical de índice 2, se obtiene el

radicando:

aaa 22)( .

Ejemplo: 2

2 1 22 25 5 5 5

Racionalización de denominadores: A veces conviene suprimir las raíces del

denominador. Para ello hay que multiplicarlo por la expresión adecuada. Naturalmente, el

numerador también se multiplicará por esa misma expresión.

Ejemplo:

2 2

3 3

3 33 3

1 1 1 5 5

525 55 5

2

2

1 1 5 3 5 3 5 3 5 3

25 3 225 3 5 3 5 3 5 3

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