Dominio de Funciones Especiales

Funciones reales especiales

Dependiendo de ciertas características que tome la expresiónalgebraica o notación de la función 𝑓 en 𝑥, tendremos distintostipos de funciones

Funciones Polinomiales.

Una función polinómica f es una función cuya expresión esun polinomio tal como:

𝑓 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥

3 + …+ 𝑎𝑛𝑥𝑛

El dominio de las funciones polinómicas son todoslos números reales.

Función Constante.

Una función 𝑓 es constante si la variable dependiente𝑦 toma el mismo valor 𝑎 para cualquier elemento deldominio (variable independiente 𝑥).

𝑓 𝑥 = 𝑎 siendo 𝑎 constante

Función Constante.

En términos matemáticos, la función 𝑓 es constante sipara cualquier par de puntos 𝑥1 y 𝑥2 del dominio tales que𝑥1 < 𝑥2, se cumple que 𝑓 𝑥1 = 𝑓(𝑥2).

La gráfica de una función constante es una recta paralelaal eje de abscisas X.

Función lineal.

Las función lineal son aquellas que tienen un polinomio degrado 1 como expresión. Están compuestas por un escalarque multiplica a la variable independiente más unaconstante. Su mayor exponente es 𝑥 elevado a 1.

𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑛, siendo 𝑚 la pendiente y 𝑛 la ordenada.

Su representación gráfica es una recta.

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ

𝑅𝑒𝑐 𝑓 = ℝ

Función Identidad.

Una función identidad es una función tal que la imagen de cualquier elemento es éste mismo:

𝑓 𝑥 = 𝑥

La función del ejemplo es una función lineal de pendiente m = 1 que pasapor el origen de coordenadas, es decir, por el punto (0,0). Divide elprimer y el tercer cuadrante en partes iguales, o sea, es su bisectriz.La función identidad es importante en la función inversa.

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ

𝑅𝑒𝑐 𝑓 = ℝ

Función cuadrática.

Las funciones cuadráticas (o funciones de segundo grado) sonfunciones polinómicas de grado 2, es decir, el mayor exponente delpolinomio es 𝑥 elevado a 2, su gráfica es una parábola.

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 siendo 𝑎 ≠ 0

Por ejemplo: 𝑓 𝑥 = 𝑥2

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ

Función cuadrática.

Para graficar una función cuadrática, buscamos las soluciones de la función, llamadas también raíces o ceros.Éstas se obtienen haciendo 𝑓 𝑥 = 0.

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 siendo 𝑎 ≠ 0

Para determinar las soluciones de la ecuación 𝑓 𝑥 = 0 se utiliza la conocida fórmula la de ecuación cuadrática

𝑥 =−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

donde llamamos discriminante a la expresión 𝑏2 − 4𝑎𝑐 que designamos por ∆𝑥.

Dependiendo del valor del discriminante, podemos obtener las intersecciones con el eje 𝑋.

Función cuadrática.

1. Análisis del discriminante ∆𝒙 = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄.

Si ∆𝑥 > 0, la parábola corta en dos puntos al eje 𝑋.

Si ∆𝑥 = 0, la parábola corta en un único punto al eje 𝑋.

Si ∆𝑥 < 0, la parábola NO corta eje 𝑋.

Función cuadrática.

2. Concavidad.

Para 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Si 𝑎 > 0, la parábola se abre hacia arriba. Tiene valor mínimo.

Si 𝑎 < 0, la parábola se abre hacia abajo. Tiene valor máximo

Función cuadrática.

3. Coordenadas del vértice de la parábola.

Para y = 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 se tiene que

𝑉 −𝑏

2𝑎, 𝑓 −

𝑏

2𝑎

Función cuadrática.

Función cuadrática.

Ejemplo.

Cuando se lanza un cohete casero desde el suelo y cae formando una parábola. La altura, en pies, está dada por la ecuación ℎ 𝑡 = 160𝑡 − 16𝑡2

donde 𝑡 es el tiempo en segundos.a) ¿En cuánto tiempo el cohete vuelve al suelo?b) ¿Cuál es la altura del cohete a los 2 segundos?c) ¿Cuál es la máxima altura alcanzada por el cohete?

Solución.

a) La fórmula del recorrido del cohete es ℎ 𝑡 = 160𝑡 − 16𝑡2. Se pide calcular el valor de 𝑡 cuando ℎ 𝑡 = 0 o cuando el cohete toca el suelo y ya no tiene altura.En ℎ 𝑡 = 160𝑡 − 16𝑡2 factorizamos en 𝑡 e igualamos a cero

16𝑡 10 − 𝑡 = 0

Función cuadrática.

Esto significa que:

16𝑡 = 0 ⟹ 𝑡 = 010 − 𝑡 = 0 ⟹ 𝑡 = 10

Si 𝑡 = 0

Representa al cohete en el suelo cuando es lanzado, así que no es la respuesta que se busca.

Si 𝑡 = 10

Representa al cohete de vuelta al suelo.

Luego tenemos que el cohete llega al suelo a lo 10 segundos.

Función cuadrática.

b) Reemplazamos 𝑡 = 2 en la función cuadrática.

ℎ 𝑡 = 160𝑡 − 16𝑡2 ⟹ ℎ 2 = 160(2) − 16(2)2

∴ ℎ 2 = 320 − 64 = 256

Luego de 2 segundos, la altura del cohete es de 256 pies.

c) La máxima altura esta dada en el vértice de la parábola, según la fórmula

𝑉 =−𝑏

2𝑎, 𝑓

−𝑏

2𝑎=

−160

2 ∙ −16, 𝑓(5) = (5,400)

Entonces ocurre cuando 𝑡 = 5, luego calculamos

ℎ 5 = 160 5 − 16 5 2 = 400

Por lo tanto, el cohete alcanza 400 pies de altura.

Función cúbica.

Las funciones cúbicas (o funciones de tercer grado) son funciones polinómicas de grado 3, es decir, las que el mayor exponente del polinomio es x elevado a 3:

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 siendo 𝑎 ≠ 0

La representación gráfica de la función cúbica es:

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ

𝑅𝑒𝑐 𝑓 = ℝ

Función cúbica.

Una función cúbica puede tener tres raíces reales dos o una. Las raícesde una función son los elementos del dominio que la hacen nula. Esdecir, son los puntos donde la gráfica de la función corta al eje X,como se mencionó para la función cuadrática.

Función racional.

Las funciones racionales f(x) son el cociente irreducible de dospolinomios (para ello, no deben tener las mismas raíces). La palabraracional hace referencia a que esta función es una razón.

𝑓 𝑥 =𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)

𝑃(𝑥) es el polinomio del numerador y 𝑄(𝑥) el del denominador. Eldominio de una función racional son todos los números reales exceptolos valores de la variable 𝑥 que anulan el denominador (𝑄(𝑥) = 0), esdecir, excepto las raíces del polinomio correspondiente al denominador.

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ − 𝑥 ∈ ℝ / 𝑄 𝑥 = 0

Función racional.

La gráfica de estas funciones, si el polinomio del denominador Q(x) es de grado 1, es una hipérbola:

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ − 0

𝑅𝑒𝑐 𝑓 = ℝ− 0

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ − 4

𝑅𝑒𝑐 𝑓 = ℝ− 0

Función radical.

Una función radical o función raíz es la que la variable dependiente 𝑦 se obtiene de una raíz que alberga en el radicando a la variable independiente 𝑥.

𝑔 𝑥 =𝑛𝑓(𝑥)

Son llamadas también funciones irracionales.

Cuando el índice de laraíz 𝑛 es par, el dominio de lafunción son los valoresde 𝑥 que hacen al radicandocero o mayor que cero.

Función a tramos.

Las funciones definidas a tramos (o función por partes o función atrozos) si la función tiene distintas expresiones o fórmulasdependiendo del intervalo (o trozo) en el que se encuentra la variableindependiente (x).

𝑓 𝑥 =

𝑓1(𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓1𝑓2(𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓2⋮ ⋮ ⋮

𝑓𝑛(𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓𝑛

Donde:𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝐷𝑜𝑚 𝑓1 ∪ 𝐷𝑜𝑚 𝑓2 ∪ … ∪ 𝐷𝑜𝑚 𝑓𝑛

𝑅𝑒𝑐 𝑓 = 𝑅𝑒𝑐 𝑓1 ∪ 𝑅𝑒𝑐 𝑓2 ∪ … ∪ 𝑅𝑒𝑐 𝑓𝑛

Función a tramos.

Por ejemplo:

𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑠𝑖 −∞ < 𝑥 < 12 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 ≤ 4

5 − 𝑥 𝑠𝑖 4 < 𝑥 < ∞

La imagen de un valor x se calcula según en que intervalo seencuentra 𝑥. Por ejemplo, el 0 se encuentra en el intervalo (−∞, 1),por lo que su imagen es f(0)=0. El valor 3 está en el intervalo [1,4],luego su imagen es f(3)=2.

Para trazar su gráfica bastarácon construir cada una en unmismo plano, pero solamentela parte correspondiente alintervalo indicado.

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ

𝑅𝑒𝑐 𝑓 = (−∞, 1) ∪ 2

Función a tramos.

Ejemplo: Dada la función

𝑓 𝑥 = −𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −3

3 𝑠𝑖 −3 < 𝑥 ≤ 1𝑥2 − 2𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 > 1

Primero se grafica la función 𝑓1 𝑥 = −𝑥 − 1 dándonos dos punto enel intervalo (−∞,−3 . Para tener en cuenta siempre es recomendabletomar los extremos del dominio de la función, en éste caso 𝑥 = −3 ycualquier otro punto, en este caso un punto cualquiera 𝑥 = −5

• Si 𝑥 = −3Entonces 𝑓 −3 = − −3 − 1 = 2

• Si 𝑥 = −5Entonces 𝑓 −5 = − −5 − 1 =4

Función a tramos.

Graficamos ahora la función 𝑓2 𝑥 = 3 en el intervalo ( −3,1 . Observaque tenemos una función contante, donde su grafica es una rectahorizontal que corta al eje 𝑌 en el punto (0,2).Además observa que el punto (−3,2) queda sin pintar pues 𝑥 = −3 nopertenece a la función 𝑓2 𝑥 = 3. Por otro lado el punto (1,2) se pintaporque 𝑥 = 1 pertenece al dominio.

Función a tramos.

Finalmente graficamos la función cuadrática 𝑓3 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 en elintervalo (1, +∞). Observa que el valor de 𝑥 = 1 no pertenece aldominio, por eso queda sin pintar el extremo de la gráfica que estárepresentada por una parábola.

• Si 𝑥 = 1Entonces 𝑓 1 = 12 − 2 1 + 1 = 0

• Si 𝑥 = 2Entonces 𝑓 2 = 22 − 2 2 + 1 = 1

• Si 𝑥 = 3Entonces 𝑓 3 = 3 − 2 3 + 1 =4

Función a tramos.

Finalmente colocamos las tres gráficas en un mismo plano, quedando

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ

𝑅𝑒𝑐 𝑓 = (0,+∞)

Función valor absoluto.

La función valor absoluto está definida por

𝑓 𝑥 = 𝑥 = 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0

La función de valor absoluto tiene por ecuación 𝑓 𝑥 = 𝑥 , ysiempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva onula .Su gráfica es:

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ

𝑅𝑒𝑐 𝑓 = 0, +∞)

Función escalón unitario.

La función escalón unitario paso 𝒂 está definida por

𝑓 𝑥 = 𝑈(𝑥 − 𝑎) = 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 𝑎0 𝑠𝑖 𝑥 < 𝑎

Su gráfica es:

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ

𝑅𝑒𝑐 𝑓 = 0,1

Función escalón unitario.

Ejemplo. Dada la función 𝑓 𝑥 = 𝑈 𝑥 + 2𝑈 𝑥 − 1 − 3𝑈(𝑥 − 2). Encuentre la función representada en tramos, dominio, recorrido y construya su gráfica.Solución.Por definición se tiene que:

𝑈(𝑥) = 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 00 𝑠𝑖 𝑥 < 0

𝑈(𝑥 − 1) = 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 10 𝑠𝑖 𝑥 < 1

𝑈(𝑥 − 2) = 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 20 𝑠𝑖 𝑥 < 2

Ahora consideremos la tabla

𝑥 𝑈(𝑥) 2𝑈(𝑥 − 1) −3𝑈(𝑥 − 2) 𝑓(𝑥)

𝑥 < 0 0 0 0 0

0 ≤ 𝑥 < 1 1 0 0 1

1 ≤ 𝑥 < 2 1 2 0 3

𝑥 ≥ 2 1 2 −3 0

Función escalón unitario.

Luego se tiene que la función 𝑓 𝑥 puede ser escrita por tramos como sigue

𝑓 𝑥 =

0 𝑠𝑖 𝑥 < 01 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 13 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 < 20 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ

𝑅𝑒𝑐 𝑓 = 0,1,3