distribuciones_continuas
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Unidad 4 Distribuciones de
Probabilidad de V.A
Continuas
Introducción
A menudo, las observaciones que se
generan de distintos experimentos
estadísticas tienen el mismo tipo general
de comportamiento y por lo tanto, se
representan usando la misma distribución
de probabilidad.
Distribución Uniforme
Continua
Es una distribución
de probabilidad
cuyos valores
tienen la misma
probabilidad.
Concepto:
Se dice que una variable aleatoria X
continua tiene una distribución uniforme
en el intervalo [a,b] si la función de
densidad de probabilidad (FDP) es
La función de distribución acumulada en
el caso continuo entre a y b es
Su media y varianza son:
(a + b) / 2 (b − a)2 / 12
Ejemplo:
Supongamos que el consumo familiar de
un cierto producto se distribuye como
una variable aleatoria de distribución
uniforme, con esperanza igual a 10 y
varianza unidad.
Determina la probabilidad de que dicho
consumo este comprendido entre 8 y 12
unidades.
Solución:
Distribución
Gamma
Distribución Gamma
Juega un papel importante en la
teoría de colas y en problemas de confiabilidad. (tiempo entre llegadas a un
restaurante, tiempo de operación antes
del fallo)
Distribución
Función Gamma
Se estudia en
muchas áreas de
la matemática.
Cuando n es un
entero positivo
0
1)( dxex x
(n)= (n-1)!
Distribución Gamma
Una variable aleatoria continua X tiene distribución Gamma si su función de densidad de probabilidad está dada por:
x ,0
0 x,)(
1
)(/1
otro para
xexxf
>0, >0 son los parámetros para este modelo
MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN GAMMA
= E[X] = , 2 = V[X] = 2
Ejemplo:
El tiempo en horas que semanalmente requiere una máquina para mantenimiento es una variable aleatoria con distribución gamma con parámetros =3, =2
Encuentre la probabilidad que en alguna semana el tiempo de mantenimiento sea mayor a 8 horas.
Solución:
Sea X duración del mantenimiento en horas
(variable aleatoria)
Su densidad de probabilidad es:
Distribución
Exponencial
Distribución Exponencial
Es el caso especial
de la distribución
gamma, en la que
=1
Las aplicaciones
más importantes se
dan en situaciones
en las que se aplica
Poisson.
Definición
Una variable aleatoria continua X tiene distribución exponencial su densidad de probabilidad está dada por
>0 es el parámetro para este modelo
x ,0
0 x,1
)(/
otro para
xexf
MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIA
= E[X] = , 2 = V[X] = 2
Ejemplo:
Suponga que un sistema contiene cierto tipo de componente cuyo tiempo de falla en años está dado por a variable aleatoria T, distribuida exponencialmente con tiempo promedio de falla igual a 5. Sí 5 de estos componentes se instalan en diferentes sistemas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 2 continúen funcionando después de 8 años?
Solución:
Sea X: variable aleatoria continua (duración
de un componente en años)
= = 5
Su densidad de probabilidad es
Sea X: variable aleatoria discreta (cantidad
de componentes que siguen funcionando
luego de 8 años)
X tiene distribución binomial con n=5, p=0.2
Ejercicio
Un sistema usa un componente cuya
duración en años es una variable aleatoria
con distribución exponencial con media de 4
años. Si se instalan 3 de estos componentes y
trabajan independientemente, determine la
probabilidad que al cabo de 6 años, dos de
ellos sigan funcionando. R. 11.60%
Distribución
Beta
Distribución Beta
Es una función de densidad con dos parámetros
definida en el intervalo cerrado 0 < y < 1. Se utiliza
frecuentemente como modelo para fracciones, tal
como la proporción de impurezas en un producto químico o la fracción de
tiempo que una maquina está en reparación.
Definición
Una variable aleatoria continua X tiene distribución beta si su densidad de probabilidad está dada por
Media
Varianza
Ejemplo:
Un distribuidor de gasolina llena los tanques del depósito cada lunes. Se ha observado que la cantidad que vende cada semana se puede modelar con la distribución beta con =4, =2
a. Encuentre el valor esperado de la venta semanal
b. Encuentre la probabilidad que en alguna semana venda al menos 90%
Solución:
Sea X: proporción de combustible que
vende semanalmente (variable aleatoria
continua con valor entre 0 y 1)
Distribución
Weibull
Distribución de Weibull
Nos permite estudiar cuál es la distribución de fallos de un componente clave de seguridad que pretendemos controlar y que a través de nuestro registro de fallos observamos que éstos varían a lo largo del tiempo y dentro de lo que se considera tiempo normal de uso.
Definición
Una variable aleatoria continua X tiene distribución Weibull si su densidad de probabilidad está dada por
Media
Varianza
Ejemplo:
Suponga que la vida útil en horas de un
componente electrónico tiene
distribución de Weibull con =0.1, =0.5
a. Calcule la vida útil promedio
b. Calcule la probabilidad que dure mas de
300 horas
Solución:
Sea X: vida útil en horas (variable aleatoria continua)