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Una distribucin de probabilidad la podemos concebir como una distribucin terica de frecuencia, es decir, es una distribucin que describe como se espera que varen los resultados. Dado que esta clase de distribuciones se ocupan de las expectativas son modelos de gran utilidad para hacer inferencias y tomar decisiones en condiciones de incertidumbre.

Distribucin de probabilidadesEjemplo: En un estudio se clasific a un grupo de personas segn su sexo encontrndose el siguiente resultado:Sexo Masculino : 30Sexo femenino : 20Determine la distribucin de probabilidadesSolucin:

Sexo MasculinoFemeninoProbabilidad0.60.4Es aquella que asume diferentes valores a consecuencia de los resultados de un experimento aleatorio Estas variables pueden ser discretas o continuas. Si se permite que una variable aleatoria adopte slo un nmero limitado de valores, se le llama variable aleatoria discreta. Por el contrario, si se le permite asumir cualquier valor dentro de determinados lmites, recibe el nombre de variable aleatoria continua.Si una variable X, es una variable aleatoria sus valores dependen del azar.

Variable aleatoria 3El estudio de las distribuciones de probabilidad es similar al de la variable estadstica, el equivalente de la frecuencia relativa en la variable aleatoria es la probabilidad.

0.41 Proporcin de ausentesLlamemos: X: Nmero de estudiantes ausentes

Notamos que X toma valores 0, 1, 2 3Luego X es una variable discreta0.41 Probabilidad de 0 ausentes Ejemplo 2.- En un estudio sobre el ingreso de un grupo de consumidores se encontr: IngresoFrecuenciaFrecuencia Relativa500 1000120120/2001000 15005050/2001500 20002020/2002000 - 40001010/200Consideremos a la variable aleatoria Z definida como: Z: Ingreso del consumidorLa distribucin de probabilidades de Z est dada por:ZP[ z1 Z z2]500 10000.601000 15000.251500 20000.102000 - 40000.05Notamos que Z toma valores entre 500 y 4 000Luego Z es una variable continuaFuncin de probabilidad (V. discretas)

Funcin de densidad (V. Continuas)

9Para qu sirve la funcin de densidad?Muchos procesos aleatorios vienen descritos por variables de forma que son conocidas las probabilidades en intervalos.

La integral definida de la funcin de densidad en dichos intervalos coincide con la probabilidad de los mismos.

Es decir, identificamos la probabilidad de un intervalo con el rea bajo la funcin de densidad.

Funcin de distribucinEs la funcin que asocia a cada valor de una variable, la probabilidad acumulada de los valores inferiores o iguales.

F(x) = P(X x)

A los valores extremadamente altos les corresponden valores de la funcin de distribucin cercanos a uno.

Lo encontraremos en los artculos y aplicaciones en forma de p-valor, significacin,

Valor esperado Se representa mediante E[X]

Es el equivalente a la media

E[X] = xf(x) , si X es discreta Dx

E[X] = xf(x)dx , si X es continua Dx

VarianzaSe representa mediante VAR[X] o 2

A se le llama desviacin tpica

V[X] = E[ (x )] = E[X] E[X]

Valor esperado y varianza de una v.a. XUna distribucin de probabilidades queda caracterizada por:

Su funcin de probabilidad (densidad) y su dominio.

Su valor esperadoSu varianza

Esto es [X, f(x), E(x), V(x)] define la distribucin de probabilidades de la v.a X

Caracterizacin de una distribucin de probabilidadesDistribuciones de ProbabilidadDistribuciones de Probabilidad ContinuasBinomialDistribuciones de ProbabilidadDistribuciones de Probabilidad DiscretasNormalPropiedades de un experimento de Bernoulli1 - En cada prueba del experimento slo hay dos posibles resultados: xitos o fracasos.

2 - El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos en pruebas anteriores.

3 - La probabilidad de un suceso es constante, la representamos porp, y no vara de una prueba a otra. La probabilidad del complemento es 1- p y la representamos porq .

Si repetimos el experimento nveces podemos obtener resultados para la construccin de la distribucin binomial.15La distribucin binomialLa distribucin de probabilidad binomial es un ejemplo de distribucin de probabilidad discreta. Esta formada por una serie de experimentos de Bernoulli. Los resutados de cada experimento son mutuamente excluyentes.Para contruirla necesitamos:1 - la cantidad de pruebas n 2 - la probabilidad de xitos p3 - utilizar la funcin matemtica.16

La funcin P(x=k)A continuacin vemos La funcin de probabilidad de la distribucin Binomial, tambin denominada Funcin de la distribucin de Bernoulli:

k - es el nmero de aciertos. n - es el nmero de experimentos. p - es la probabilidad de xito, como por ejemplo, que salga "cara" al lanzar la moneda.1-p - tambin se le denomina como q

17Es preciso verificar los siguientes cuatro criterios:

Un experimento slo puede tener dos resultados mutuamente excluyentes: un xito y un fracaso.

La distribucin es consecuencia de contar eI nmero de xitos en un nmero fijo de ensayos.

Cada ensayo es independiente.

La probabilidad, p, permanece igual de un ensayo al siguiente.Ejemplo1 de la funcinf(x=k)

Cul es la probabilidad de obtener 6 estudiantes de genero femenino al seleccionar 10 estudiantesEl nmero de aciertos k es 6. Esto es x=6El nmero de experimentos n son 10La probabilidad de xito p, es decir, que sea mujer al seleccionar un estudiante 50% o 0.50La frmula quedara:

P (X= 6) = 0.205Es decir, que la probabilidad de obtener 6 estudiantes de genero femenino al seleccionar 10 10estudiantes es de 20.5% .

19Tabla de probabilidad binomial Utilizando la tabla de probabilidad binomial se pueden resolver los clculos de probabilidades binomiales

Para esto debe saber los valores k y B (n,p) . k es el nmero de xitos que buscamos. Este valor se encuentra entre 0 y n.En el parmetro B(n,p), n debe ser mayor de 0 y p un valor desde 0 al 1.

En el ejemplo 1 los parmetros B(n,p) son B(10,0.50) respectivamente.20Ejemplo 2 B(n,p) Busque en la tabla de probabilidad binomialSolucin :Se trata de una distribucin binomial de parmetros B(12, 0.05). Debemos calcular la probabilidadde que x sea igual a k que en este caso es 2. Esto es P (k=2). Busque en la parte izquierda de la tabla n=12, luego en la parte superiror p=0.05 . La probabilidad estar en x=2 El resultado es 0.0988En una fbrica de cmaras el 5% sale con defectos. Determine la probabilidad de que en una muestra de 12 se encuentren 2 cmaras defectuosas.21Ejemplo 4 B(n,p) Compruebe el cmputo utilizando una calculadora de probabilidad binomialVea otros ejemplos en este enlaceSolucin :Se trata de una distribucin binomial de parmetros B(15, 0.10). Debemos calcular la probabilidad P(X=3). El resultado es 0.1285En una oficina de servicio al cliente se atienden 100 personas diarias. Por lo general 10 personas se van sin recibir bien el servicio. Determine la probabilidad de que en una encuesta a 15 clientes 3 no hayan recibido un buen servicio.

22Ejemplo:La administracin del restaurante Santoni Pizza descubri que el 70 por ciento de sus clientes nuevos regresan para comer all de nuevo. Para una semana en Ia que 80 clientes nuevos (por primera vez) cenaron en Santoni, cul es Ia probabilidad de que 60 o ms regresen aII a comer otra vez?Es preciso verificar los siguientes cuatro criterios:

Un experimento slo puede tener dos resultados mutuamente excluyentes: un xito y un fracaso.

La distribucin es consecuencia de contar eI nmero de xitos en un nmero fijo de ensayos.

Cada ensayo es independiente.

La probabilidad, p, permanece igual de un ensayo al siguiente.Ejercicio de redaccincon experiencia interactivaObserve el cambio de la distribucin variando el parmetro B(n,p)Cuando llegue al enlance entre:n en Number ot trials p en Prob. of SuccessPresente una descripcin escrita de las observaciones que obtiene al variar los valores n y p.

25La media y desviacin estndar

26La Distribucin NormalUna variable aleatoria contnua es aquella que puede asumir un nmero infinito de valores dentro de cierto rango especfico.RepasemosLa curva normal tiene forma de campana y un slo pico en el centro de la distribucin. La distribucin de probabilidad normal y la curva normal que la acompaa tienen las siguientes caractersticas:

En resumenEn este mdulo hemos determinado la probabilidad binomial mediante el uso de la funcin binomial, tablas de distribucin y la calculadora del enlace. Adems, aprendimos que:

La distribucin binomial se forma de una serie de experimentos de Bernoulli La media () en la distribucin binomial se obtiene con el producto de n x p

La desviacin estndar ( ) en la distribucin binomial se obtiene del producto de n x p x q.

El valor de q es el complemento de p y se obtiene con 1 p.

30Caractersticas (cont.)

La familia de las distribuciones de probabilidad normal Cada una de las distribuciones puede tener una media distinta (u) y desviacin estndar distinta (). No existe una sola distribucin de probabilidad normal, sino ms bien se trata de toda una familia de ellas. Por tanto, eI nmero de distribuciones normales es ilimitado.

Normales con Medias y Desviaciones estndar diferentesm = 5, s = 3m = 9, s = 6m = 14, s = 1034La familia de las distribuciones de probabilidad normalXf(X)Cambiando movemos la distribucin lhacia la izquierda o derecha.Cambiando aumentamos o disminumos su altura..La distribucin de probabilidad normal estndarSera fsicamente imposible proporcionar una tabla de probabilidades para cada combinacin de u y (como para Ia distribucin binomial o para Ia de Poisson) .Es posible utilizar un slo miembro de Ia familia de distribuciones normales para todos los problemas en los que se aplica Ia distribucin normal.

0.8P(0 < z < 0.8) = 0.2881.

37La distribucin de probabilidad normal estndarTiene una media de 0 y una desviacin estndar de 1 Los valores mayores al promedio tienen valores Z positivos y, valores menores al promedio tendrn valores Z negativos.Zf(Z)10La distribucin de probabilidad normal estndarUtilizando un valor z, se convertir, o estandarizar, Ia distribucin real a una distribucin normal estndar. Transformamos unidades X en unidades Z Todas las distribuciones normales pueden convertirse a distribucin normal estndar restando Ia media de cada observacin y dividiendo por Ia desviacin estndar.Un valor z es Ia distancia a partir de Ia media, medida en las unidades de desviacin estndar.El valor z

Valor z = Ia distancia entre un valor seleccionado (x) y Ia media (u), dividida por la desviacin estndar ().

El valor z

42z0123-1-2-3xx+sx+2sx+s3x-sx-2sx-3sXLa desviacin estndarsigma representa la distancia de la media alpunto de inflexin de la curva normalLa Distribucin Normal Estndar42

mm+1sm+2sm+3sm-1sm-2sm+3sEntre:

1. 68.26%

2. 95.44%

3. 99.97%43

Lmites sigma

Lmites dos sigma

Lmites tres sigmaEjemplo:Supongamos que se calcul el valor z y el resultado es 1.91.

CuI es eI rea bajo la curva normal entre u y X?

Valor z calculadoEjercicios:Area bajo Ia curva2.841.000.49.4977.3413.1879Ejercicios:Los ingresos semanales de los gerentes de nivel intermedio tienen una distribucin aproximadamente normal con una media de $1,000.00 y una desviacin estndar de $100.00.

Cul es el valor z para un ingreso X de $1,100.00?

Y, para uno de $900.00?Para X = $1,100:

1100 1000 100

= 1.00

Utilizando la frmula: Para X = $900:

900 - 1000 100= - 1.00

La primera aplicacin de Ia distribucin normal estndar es encontrar el rea bajo Ia curva normal entre una media y un valor seleccionado, designado como X.

Utilizando Ia misma distribucin que en eI ejemplo anterior del ingreso semanal (u = $1 000, = $100)

CuI es el rea bajo Ia curva normal entre $1,000 y $1,100?Utilizando nuevamente el ingreso medio de $1,000 al mes y Ia desviacin estndar de $100 al mes:

Cul es Ia probabilidad de que un ingreso semanal especfico elegido aI azar est entre 790 y 1,000 dlares?

Ejercicios:Si tuvieramos una muestra de 60, calcular una distribucin binomial para un nmero tan grande tomara mucho tiempo. La aproximacin de la distribucin normal a la binomialUn enfoque ms eficiente consiste en aplicar Ia aproximacin de Ia distribucin normal a Ia binomial.El uso de Ia distribucin normal (que es contnua) como sustituto de una distribucin binomial (que es discreta) para valores de n parece razonable porque, a medida que n aumenta, Ia distribucin binomial se acerca cada vez ms a Ia distribucin normal. La aproximacin de la distribucin normal a la binomialEjemplo:La administracin del restaurante Santoni Pizza descubri que el 70 por ciento de sus clientes nuevos regresan para comer all de nuevo. Para una semana en Ia que 80 clientes nuevos (por primera vez) cenaron en Santoni, cul es Ia probabilidad de que 60 o ms regresen aII a comer otra vez?Es preciso verificar los siguientes cuatro criterios:

Un experimento slo puede tener dos resultados mutuamente excluyentes: un xito y un fracaso.

La distribucin es consecuencia de contar eI nmero de xitos en un nmero fijo de ensayos.

Cada ensayo es independiente.

La probabilidad, p, permanece igual de un ensayo al siguiente.Observe que se cumplen las condiciones binomiales:

Slo hay dos resultadosposibles: un cliente regresa o no regresa.

Es posible contar eI nmero de xitos, lo que significa, por ejemplo, que 57 de los 80 clientes regresarn.

Los ensayos son independientes, es decir, si Ia persona nmero 34 regresa para cenar en otra ocasin, no influye en que Ia persona nmero 58 regrese.

La probabilidad de que un cliente regrese permanece en un 0.70 para los 80 clientes.Debido a que se usar Ia curva normal para determinar Ia probabilidad binomial de 60 o ms xitos, es preciso restar, en este caso, 0.5 de 60.

El valor 0.5 se conoce como factor de correccin de continuidad.

Este pequeo ajuste es necesario porque se utiliza una distribucin contnua (Ia distribucin normal) para aproximar a una discreta (Ia binomial). Al restar 600.5 = 59.5.3.Para Ia probabilidad de que ocurra X o menos, utilice (X + 0.5).Cmo aplicar el factor de correccinX2.Para Ia probabilidad de que ocurra ms que X, utilice (X + 0.5).4.Para Ia probabilidad de que ocurra menos de X, utilice (X- 0.5).Slo pueden surgir cuatro casos. Estos son:

1.Para Ia probabilidad de que aI menos X ocurra, utilice (X - 0.5).Para utilizar Ia distribucin normal para aproximar Ia probabilidad de que 60 mas de los 80 clientes que fueron por primera vez a Santoni regresen, realizaremos lo siguientes pasos.

Paso 1.

Encuentre Ia media y Ia varianza de una distribucin binomial y el valor z correspondiente a una X de 59.5 usando Ias siguientes frmuIas:

u = np = 80(.70) = 56

2 = np(1-p) = 80(.70)(1-.70) = 16.8

= raz cuadrada de 16.8 = 4.10

Z = 59.5 56 = 85 4.10Paso 2.

Determine el rea bajo Ia curva normal entre un u de 56 y un X de 59.5.

Con base en el paso 1, se sabe que eI valor z correspondiente a 59.5 es 0.85.

As, se consulta el apndice D y se baja por el margen izquierdo hasta 0.8, y luego se lee horizontalmente el rea bajo Ia columna encabezada por 0.05.

Esa rea es 0.3023.

Caractersticas de la distribucin binomial
n = 5 p = 0.1
n = 5 p = 0.5
Media = E(X) = n p= 5 0.1 = 0.5= 5 0.5 = 0.25
Desviacin estndar
0
.2
.4
.6
0
1
2
3
4
5
X
P(X)
.2
.4
.6
0
1
2
3
4
5
X
P(X)
0