PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIN NORMAL

La probabilidad se encarga de evaluar todas aquellas actividades en donde se tiene incertidumbre acerca de los resultados que se pueden esperar, esto quiere decir que la probabilidadest presente en casi en todas las actividades que se pretenda realizar, ejemplos: -Cualquier proyecto de Ingeniera o de otras reas -Competencias deportivas -Juegos de azar, etc., etc.Cmo podemos calcular probabilidades? En este caso, se hace uso de la informacin que se ha acumulado acerca del evento que nos interesa, y despus de esto se procede a calcular las probabilidades requeridas.Ejemplo. Determine la probabilidad de que en cierta lnea de produccin se manufacture un producto defectuoso, si se toma como referencia que la produccin de la ltima semana en esta lnea fue de 1,500 productos, entre los que se encontraron 8 productos defectuosos.p(producto defectuoso) = No de productos defectuoso /Total de productos producidos en la semana = 18 / 1500 = 0.012Lo anterior nos indica que es muy probable que 1.2 productos de cada 100 que se manufacturen en esa lnea sern defectuosos.A continuacin se definen algunas cuestiones implcitas en el clculo de probabilidades.a) Espacio muestral - Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Es nuestro Universo.Ejemplos:1. Se lanza al aire un dado normal (perfectamente equilibrado), enumere los posibles resultados de este experimento.2. Se lanza al aire dos veces una moneda normal, defina su espacio muestral.3. Se lanza al aire un dado normal, si la probabilidad de que aparezca una de sus caras es proporcional al nmero que ostenta, a) cul es la probabilidad de que aparezca un nmero par?4. En una competencia de nado sincronizado, participan los equipos de Ecuador, Mxico y Venezuela, Mxico tiene el doble de posibilidades de ganar que Ecuador, mientras que Venezuela tiene un tercio menos de posibilidades de ganar que ecuador, a. Determine la probabilidad de que gane Venezuela, b. Determine la probabilidad de que gane Ecuador o Venezuela, c. Determine la probabilidad de que no gane Mxico.5. En una competencia de ciclismo participan A, B y C, A tiene el doble de posibilidades de ganar que B y B el doble que C, a. Determine la probabilidad de que gane B, b. Determine la probabilidad de que gane A o B.6.Se lanza al aire una moneda normal (una moneda perfectamente equilibrada) tres veces, determine la probabilidad de que: a. Aparezcan puros sellos, b. Aparezcan dos guilas, c. Aparezcan por lo menos dos guilas.7.En un lote de produccin que consta de 20 computadoras personales de cierta marca, se ha detectado que 4 tienen defectos de tipo operacional. 1. Si se selecciona al azar una computadora, a. Determine la probabilidad de que la computadora seleccionada tenga defectos de tipo operacional.La distribucin Normal

Se trata, sin duda, del modelo continuo ms importante en estadstica, tanto por su aplicacin directa, veremos que muchas variables de inters general pueden describirse por dicho modelo, como por sus propiedades, que han permitido el desarrollo de numerosas tcnicas de inferencia estadstica. En realidad, el nombre deNormalproviene del hecho de que durante un tiempo se crey, por parte de mdicos y bilogos, que todas las variables naturales de inters seguan este modelo.Su funcin de densidad viene dada por la frmula:

que, como vemos, depende de dos parmetros (que puede ser cualquier valor real)y (que ha de ser positiva). Por esta razn, a partir de ahora indicaremos de forma abreviada que una variableXsigue el modelo Normalas:X~N(, ). Por ejemplo, si nos referimos a una distribucin Normal con = 0y = 1lo abreviaremosN(0, 1).

Como se puede ver, la funcin de densidad del modelo Normal tiene forma de campana, la que habitualmente se denominacampana de Gauss. De hecho, a este modelo, tambin se le conoce con el nombre dedistribucin gaussiana.Propiedades del modelo Normal1. Su media es .2. Su varianza es 2y, por tanto, su desviacin estandar es .3. Es simtrica respecto a su media , como puede apreciarse en la representacin anterior.4. Media, moda y mediana coinciden ().

1. Las calificaciones de los 500 aspirantes presentados a un examen para contratacin laboral, se distribuye normalmente con media 6'5 y varianza 4. a) Calcule la probabilidad de que un aspirante obtenga ms de 8 puntos. b) Determine la proporcin de aspirantes con calificaciones inferiores a 5 puntos. c) Cuntos aspirantes obtuvieron calificaciones comprendidas entre 5 y 7'5 puntos ?.

2. La media de los pesos de 500 estudiantes de un Instituto es 70 kg y la desviacin tpica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuntos estudiantes pesan: a) Entre 60 kg y 65 kg. b) Ms de 90 kg. c) Menos de 64 kg. d) 64 kg. e) 64 kg o menos.

3.- El tiempo de recuperacin de los enfermos de un hospital sigue una distribucin N(7,3). Se pide: a) Probabilidad de que un enfermo est menos de 5 das en el hospital. b) Probabilidad de que para recuperarse necesite entre 9 y 15 das de estancia. c) Si en el hospital hay 1000 enfermos, cuntos necesitan estar ms de 8 das en el hospital?

4.- La estatura de los estudiantes de una Universidad sigue una distribucin Normal demedia 170 cm. y desviacin tpica 5 cm. Calcular:a) La probabilidad de que un estudiante mida menos de 162 cm.b) La probabilidad de que un estudiante mida entre 160 y 170 cm.c) La probabilidad de que un estudiante mida exactamente 180 cm.d) Si consideramos al 5 % ms alto de los estudiantes como posible candidato para unequipo de baloncesto. Cul es la estatura mnima que debe tener un estudiante para serconsiderado candidato al equipo?.e) Si sabemos que 1723 estudiantes miden menos de 168 cm. Cuntos estudiantes midenms de 180 cm?

5.- El tiempo de recuperacin de los enfermos de un hospital sigue una distribucin N(7,3). Se pide:a) Probabilidad de que un enfermo est menos de 5 das en el hospital.b) Probabilidad de que para recuperarse necesite entre 9 y 15 das de estancia.c) Si en el hospital hay 1000 enfermos, cuntos necesitan estar ms de 8 das en elhospital?

6. El acero que se utiliza para tuberas de agua a menudo se recubre internamente con un mortero de cemento para evitar la corrosin. En un estudio de los recubrimientos de mortero de una tubera empleada en un proyecto de transmisin de agua en California (Transportation Engineering Journal, Noviembre de 1979) se especific un espesor de 7/16 pulgadas para el mortero. Un gran nmero de mediciones de espesor dieron una media de 0.635 pulgadas yuna desviacin estndar de 0.082 pulgadas. S las mediciones de espesor, tenan una distribucin Normal, qu porcentaje aproximado fue inferior a 7/16 de pulgada?7.Un tubo fluorescente estndar tiene una duracin distribuida Normalmente, con una media de 7,000 horas y una desviacin estndar de 1,000 horas. Un competidor ha inventado un sistema de iluminacin fluorescente compacto que se puede insertar en los receptculos de lmparas incandescentes. El competidor asegura que el nuevo tubo compacto tiene una duracin distribuida Normalmente con una media de 7,500 horas y una desviacin estndar de 1,200 horas. a. Cul tubo fluorescente tiene mayor probabilidad de tener una duracin mayor de 9,000 horas? b. Cul tubo tiene mayor probabilidad de tener una duracin de menos de 5,000 horas?8.La distribucin de la demanda (en nmero de unidades por unidad de tiempo) de un producto a menudo puede aproximarse con una distribucin de probabilidad Normal. Por ejemplo, una compaa de comunicacin por cable ha determinado que el nmero de interruptores terminales de botn solicitados diariamente tiene una distribucin Normal, con una media de 200 y una desviacin estndar de 50.a)En qu porcentaje de los das la demanda ser de menos de 90 interruptores?b)En qu porcentaje de los das la demanda estar entre 225 y 275 interruptores?c)Con base en consideraciones de costos, la compaa ha determinado que su mejor estrategia consiste en producir una cantidad de interruptores suficiente para atender plenamente la demanda en 94% de todos los das. Cuantos interruptores terminales deber producir la compaa cada da?

9. Una mquina despachadora de refrescos est ajustada para servir un promedio de 200 ml por vaso.Si la cantidad de refresco es normalmente distribuida con una desviacin estndar igual a 15 ml.a)Qu fraccin de los vasos contendr ms de 224 ml?b)Cul es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 ml?c)Cuntos vasos probablemente se derramarn si se utilizan vasos de 230 ml en los siguientes 1000 refrescos?d)Debajo de qu valor se obtiene el 25% ms pequeo de los refrescos?10.El dimetro interno ya terminado de un anillo de pistn est normalmente distribuido con una media de 10 cm y una desviacin estndar de 0.03 cm.a)Qu proporcin de los anillos tendr un dimetro interno que exceda de 10.075 cm?b)Cul es la probabilidad de que un anillo de pistn tenga un dimetro interno entre 9.97 y 10.03 cm?c)Debajo de qu valor de dimetro interno caer el 15% de los anillos de pistn?

11.Un abogado se traslada diariamente de su casa en los suburbios a su oficina en el centro de la ciudad.En promedio el viaje le toma 24 minutos con una desviacin estndar de 3.8 minutos.Asuma que la distribucin de los tiempos de traslado est normalmente distribuida.a)Cul es la probabilidad de que un traslado le tome al menos hora?b)Si la oficina abre a las 9:00 AM y l sale de su casa a las 8:45 AM diariamente Qu porcentaje de las veces llega tarde a su trabajo?c)Si deja su casa a las 8:35 AM y en la oficina se sirve un caf entre las 8:50 y las 9:00 AM Cul es la probabilidad de que se pierda el caf?d)Encuentre el periodo arriba del cual se encuentra el 15% de los traslados ms lentos.e)Encuentre la probabilidad de que 2 de los siguientes traslados tomarn al menos hora.