DISTRIBUCION NORMALNombre: Wilson GuanoluisaINTRODUCCIN: La distribucin normal es una de las ms importantes de las distribuciones, por la frecuencia que se la encuentra y por las aplicaciones tericas, esta tambin es llamada distribucin GUASSIANA, La aplicacin de esta distribucin es muy alta como caracteres morfolgicos de individuos, animales plantas, de su especie como talla, peso, dimetro, permetro, etc. Tambin a caracteres sociolgicos como el consumo de ciertos productos por un grupo de individuos, otro ejemplo aplicativo en la teora de errores por ejemplo los errores que cometemos cuando medimos algunas magnitudes. La distribucin normal fue reconocida por primera vez por el francs Abraham de Moivre (16671754). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) elabor desarrollos ms profundos y formul la ecuacin de la curva; de ah que tambin se la conozca, ms comnmente, como la "campana de Gauss". La distribucin de una variable normal est completamente determinada por dos parmetros, su media y su desviacin estndar, denotadas generalmente por y . Con esta notacin, la densidad de la normal viene dada por la ecuacin:

Donde: = desviacin estndar = media X= variable Que determina la curva en forma de campana que tan bien conocemos (figura 1):

Ec. 1

Figura 1. Grfica de una distribucin normal y significado del rea bajo la curva

As, se dice que una caracterstica X sigue una distribucin normal de media y varianza denota como X = N ( , ), si su funcin de densidad viene dada por la Ecuacin 1.

, y se

En resumen se podra decir que una distribucin normal est basada en su media y su desviacin estndar, es decir se define a travs de ellas. La distribucin de probabilidad normal presenta las siguientes caractersticas: Tiene una nica moda, que coincide con su media y su mediana. La curva normal es asinttica al eje de abscisas. Por ello, cualquier valor entre y+ es tericamente posible. El rea total bajo la curva es, por tanto, igual a 1. Es simtrica con respecto a su media . Segn esto, para este tipo de variables existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayor que la media, y un 50% de observar un dato menor. La distancia entre la lnea trazada en la media y el punto de inflexin de la curva es igual a una desviacin tpica ( ). Cuanto mayor sea , ms aplanada ser la curva de la densidad. El rea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos desviaciones estndar de la media es igual a 0.95. En concreto, existe un 95% de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo ( -1.96 ; + 1.96 ). La forma de la campana de Gauss depende de los parmetros y ( Figura 2). La media indica la posicin de la campana, de modo que para diferentes valores de la grfica es desplazada a lo largo del eje horizontal. Por otra parte, la desviacin estndar determina el grado de apuntamiento de la curva. Cuanto mayor sea el valor de , ms se dispersarn los datos en torno a la media y la curva ser ms plana. Un valor pequeo de este parmetro indica, por tanto, una gran probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribucin.

Figura 2. Ejemplos de distribuciones normales con diferentes parmetros.

(a) Distribucin normal con distinta Desviacin estndar e igual media

(b)

Distribucin normal con diferentes medias e igual desviacin estndar

Como se deduce de este ltimo apartado, no existe una nica distribucin normal, sino una familia de distribuciones con una forma comn, diferenciadas por los valores de su media y su varianza. De entre todas ellas, la ms utilizada es la distribucin normal estndar, que corresponde a una distribucin de media 0 y varianza 1. As, la expresin que define su densidad se puede obtener de la Ec. 1 Es importante conocer que, a partir de cualquier variable X que siga una distribucin N ( , ), se puede obtener otra caracterstica Z con una distribucin normal estndar, sin ms que efectuar la transformacin:

Donde:

Ec.2

X= El valor de cualquier observacin o medicin en particular = Es la media de la distribucin = Es la deviacin estndar de la distribucin Un valor de Z expresa la distancia o diferencia entre un valor particular de X y la media aritmtica en unidades de desviacin estndar. Una vez que se estandarizan las observaciones normalmente distribuidas, los valor Z tienen una distribucin normal con una media de 0 y una desviacin estndar de 1. OBS. La probabilidad de que ocurra un evento se encuentra con tablas y el valor de Z calculado. Ejm 1:

El siguiente problema: supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacin sigue una distribucin aproximadamente normal, con una media de 80 Kg y una desviacin estndar de 10 Kg. Podremos saber cul es la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso superior a 100 Kg?Denotando por X a la variable que representa el peso de los individuos en esa poblacin, sta sigue una distribucin N(80,10). Si su distribucin fuese la de una normal estndar podramos utilizar la tabla del APNDICE D (ESTADISTICA APLINADA A LOS NEGOCIOS Y A LA ECONOMIA 12va EDICION, Douglas A. Lind, Samuel A. Wathen, Pag. 720) para calcular la probabilidad que nos interesa. Como ste no es el caso, resultar entonces til transformar esta caracterstica segn la Ec. 1, y obtener la variable

Para poder utilizar dicha tabla. As, la probabilidad que se desea calcular ser:

Como el rea total bajo la curva es igual a 1, se puede deducir que:

Esta ltima probabilidad puede ser fcilmente obtenida a partir tabla del APENDICE D (ESTADISTICA APLINADA A LOS NEGOCIOS Y A LA ECONOMIA 12va EDICION, Douglas A. Lind, Samuel A. Wathen, Pag. 720), resultando ser . Por lo tanto, la probabilidad buscada de que una persona elegida aleatoriamente de esa poblacin tenga un peso mayor de 100 Kg , es de 1 0.9772=0.0228, es decir, aproximadamente de un 2.3%. De modo anlogo, podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto est entre 60 y 100 Kg:

De la Figura 1, tomando a=-2 y b=2, podemos deducir que:

Por el ejemplo previo, se sabe que . Para la segunda probabilidad, sin embargo, encontramos el problema de que las tablas estndar no proporcionan el valor de para valores negativos de la variable. Sin embargo, haciendo uso de la simetra de la distribucin normal, se tiene que:

Finalmente, la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre 60 y 100 Kg., es de 0.9772-0.0228=0.9544, es decir, aproximadamente de un 95%. LA REGLA EMPRICA Dada una distribucin de las observaciones con forma aproximadamente campanada, entonces el intervalo: (Media S) contiene aproximadamente al 68 % de las observaciones. (Media 2S) contiene aproximadamente el 95% de las observaciones. (Media 3S) contiene casi todas las observaciones.

Figura 2. Distribucin de las observaciones La importancia de la regla emprica consiste en su utilidad para describir adecuadamente la variacin de un gran nmero de datos.LA APROXIMACIN DE LA DISTRIBUCIN NORMAL A LA BINOMIAL Aunque la distribucin normal es continua, resulta interesante hacer notar que algunas veces puede utilizarse para aproximar distribuciones discretas. Por ejemplo, los siguientes grficos corresponden a distribuciones binomiales con p = 0,5 y distintos valores de tamaos de muestras:

n=2

n=5

n=10

A medida que n aumenta, la forma que se va adoptando es ms parecida a la curva normal. La aproximacin normal a la distribucin binomial nos permite resolver problemas sin tener que consultar grandes tablas de la distribucin binomial tomando = np Ec. 3 y = Ec. 4

Donde: n= nmero de veces que se realiza el experimento aleatorio p= Probabilidad de xito (95%) q= probabilidad de fracaso (5%) Sin embargo, podemos notar que se necesita tener algo de cuidado al utilizar la aproximacin ya que la misma es bastante buena siempre y cuando se cumpla:

FACTOR DE CORRECCIN DE CONTINUIDAD

El factor de correccin de continuidad es el ajuste de media unidad de medida para mejorar la exactitud cuando a una distribucin discreta se le aplica una distribucin continua. Casos que pueden surgir: 1) Para la probabilidad de que por lo menos X ocurran, use el rea por encima de (X 0,5). 2) Para la de que ms de X sucedan, utilice el rea por arriba de (X + 0,5). 3) Para la de que X o menos ocurran, aplique el rea por debajo de (X + 0,5). 4) Para la de que menos de X sucedan, emplee el rea situada por debajo de (X 0,5). EJEMPLO: Suponga que una moneda se lanza 10 veces y que deseamos calcular la probabilidad de obtener 5,6 ,7 u 8 caras. Debemos calcular:

P(5 X 8) , al aplicar el factor de correccin y utilizando que

Calculamos entonces: Obs: Representa la bsqueda del rea con el valor de Z en cualquier tabla que se est

manejando (APNDICE D ESTADISTICA APLINADA A LOS NEGOCIOS Y A LA ECONOMIA 12va EDICION, Douglas A. Lind, Samuel A. Wathen, Pag. 720)

Si hubisemos aplicado la frmula de la distribucin de la binomial hubisemos obtenido que la probabilidad es de 0.6123, as que observamos que los resultados son muy parecidos, lo que refleja la bondad de la estimacin en al clculo de la probabilidad buscada.

EJERCICIOSEJERCICIOS RESUELTOS Nota: el smbolo (Z) se interpreta como buscar en tablas (APNDICE D) el rea a la izquierda

del valor de Z que se est manejando. 1. Dada una distribucin normal estndar, encuentre el rea bajo la curva que est a) a la izquierda de z = 1.43 P(Z < 1.43) = ( 1.43 ) = 0.9236 b) a la derecha de z = -0.89 P(Z > -0.89) = 1 ( -0.89) = 1- 0.1867 = 0.8133 c) entre z = -2.16 y z = -0.65 P( -2.16 10150) = P(X > 10175) = 1 =1[ (10175 10000)/100] [1.75] = 1 0.9599 = 0.0401

b) Si las especificaciones requieren de todos los componentes tengan resistencia a la traccin entre 9800 y 10,200 kilogramos por centmetro cuadrado inclusive, qu proporcin de piezas esperara que se descartar? Proporcin de descarte = 1 P(9800 < X < 10200)

P(9800 < X < 10200) = P(9775 < X < 10225)

=

[ (10225 10000)/100] -

[ (9775 10000)/100]

=

[2.25] -

[-2.25] = 0.9878 0.0122 = 0.9756

Proporcin de descarte = 1 0.9756 = 0.0244

10. Los CI de 600 aspirantes de cierta universidad se distribuyen aproximadamente de forma normal con una media de 115 y una desviacin estndar de 12. Si la universidad requiere un CI de

al menos 95, cuntos de estos estudiantes sern rechazados sobre esta base sin importar sus otras calificaciones? P(X < 95) = [(95 115)/12]= [-1.67] = 0.0478

Nmero de estudiantes rechazados = 600*0.0478 = 28.68 o 29 11. Una poblacin normal tiene una media de 80 una desviacin estndar de 14.0

= 80 = 1490 75

z

x

a) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75.0 y 90.0 p(75 x 90) z10

= 0.7611

z

5

= 0.3594

p(75 x 90) = 0.7611 0.3594 = 0.4017 b) Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 menor. p(x 75) z75

5

p(x 75) = 0.3594

0.3594

c) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55.0 y 70.0 p(55 x 70)70 55 10

z

= 0.2389

z

25

=0.0387

p(55 x 70) = 0.2389 0.0367= 0.2022

12. Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de prstamos en Down River Federal Savings tiene una distribucin normal, una media de $70,000 y una desviacin estndar de $20,000. Esta maana se recibi una solicitud de prstamo. Cul es la probabilidad de que: a) El monto solicitado sea de $80,000 o superior? p(x 80,000)80 000

z

10 000

= 0.6915

p(x 80,000) = 1 0.6915= 0.3085 b) El monto solicitado oscile entre $65,000 y $80,000? p(65,000 x 80,000)80 000 65 000

z

10 000

= 0.6915

z

5 000

=0.4013

p(65,000 x 80,000) = 0.6915 0.4013 = 0.2902 c) El monto solicitado sea de $65,000 o superior. p(x 65,000) z65 000 5 000

= 0.4013

p(x 65,000) = 1 0.4013 = 0.5987

13. Entre las ciudades de Estados Unidos con una poblacin de ms de 250,000 habitantes, la media del tiempo de viaje de ida al trabajo es de 24.3 minutos. Elx

tiempo de viaje ms largo pertenece a la ciudad de Nueva York, donde el tiempo medio es de 38.3 minutos. Suponga que la

= $70,00 = $20,00

z

distribucin de los tiempos de viaje en la ciudad de Nueva York tiene una distribucin de probabilidad normal y la desviacin estndar es de 7.5 minutos.

a) Qu porcentaje de viajes en la ciudad de Nueva York consumen menos de 30 minutos? p( x 30)30 8 3

z

=0.1335

p( x 30) = 0.1335 = 13.35% b) Qu porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos? p(30 x 35)35 30

z

33 75 8 3

=0.3300 =0.1335

z p(30

x 35) = 0.3300 0.1335 = 0.1965 = 19.65%

c) Qu porcentaje de viajes consumen entre 30 y 40 minutos? p(30 x 40)40 17 75 83 75

z z p(30

30

=0.5910

=0.1335

x 40) = 0.5910 0.1335= 0.4575 = 45.75%

14. Las ventas mensuales de silenciadores en el rea de Richmond, Virginia, tiene una distribucin normal, con una media de $1,200 y una desviacin estndar de $225. = 1,200 = 225 5% = .0500 zx

Al fabricante le gustara establecer niveles de inventario de manera que solo haya 5% de probabilidad de que se

agoten las existencias. Dnde se deben establecer los niveles de inventario?

1 - 0.0500 = 0.9500 Valor z = 1.65 zx

1.65

x 225

x = 1,571.25

15. En 2004 y 2005, el costo medio anual para asistir a una universidad privada en Estados Unidos era de $20,082. Suponga que la distribucin de los costos anuales se rigen por una distribucin de probabilidad normal y que la desviacin estndar es de $4,500. El 95% de los estudiantes de universidades privadas paga menos de Qu cantidad? 1.64x 4 500

x = 27,462. 16. El fabricante de una impresora lser informa que la cantidad media de pginas que imprime un cartucho antes de reemplazarlo es de 12,200. La = 12,200 x = 820 distribucin de pginas impresas por z cartucho se aproxima a la 99% = .9900 distribucin de probabilidad normal y la desviacin estndar es de 820 pginas. El fabricante desea proporcionar lineamientos a los posibles clientes sobre el tiempo que deben esperar que les dure un cartucho. Cuntas pginas debe indicar el fabricante por cartucho si desea obtener 99% de = 20,082 certeza en todo momento? = 4,500 95% = .9500 = 1 64

1 -0.99 = 0.01

Valor z = - 2.33 x - 2.33 820

x = 10,289.4

17. En una ciudad se estima que la temperatura mxima en el mes de junio sigue una distribucin normal, con media 23 y desviacin tpica 5. Calcular el nmero de das del mes en los que se espera alcanzar mximas entre 21 y 27.

18. La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviacin tpica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuntos estudiantes pesan:

1. Entre 60 kg y 65 kg.

2.Ms de 90 kg.

3.Menos de 64 kg.

19. Se supone que los resultados de un examen siguen una distribucin normal con media 78 y varianza 36. Se pide: Cul es obtenga una calificacin superior a 72? la probabilidad de que una persona que se presenta el examen

20. Calcular la proporcin de estudiantes que tienen puntuaciones que exceden por lo menos en cinco puntos de la puntuacin que marca la frontera entre el Apto y el No-Apto (son declarados No-Aptos el 25% de los estudiantes que obtuvieron las puntuaciones ms bajas).

21. Varios test de inteligencia dieron una puntuacin que sigue una ley normal con media 100 y desviacin tpica 15. Determinar el porcentaje de poblacin que obtendra un coeficiente entre 95 y 110.

22. Se calcul que el promedio de enf riamiento de todas las neveras para una lnea de cierta compaa, emplean una temperatura de -4C con una desviacin t pica de 1.2C. a. Cul es la probabilidad de que una nevera salga con una temperatura superior a 3C? b. Cul es la probabilidad de que una nevera salga con una temperatura menor a 5.5C?

a. Z=0.83 P=0.5-0.2967=20.88%La probabilidad de que una nevera salga con una temperatura superior a -3C es de 20,33%

b. P(x2.6)= f) Encuentre la probabilidad de un valor entre 2.9y 3.7 P(2.9 X 2.6)= 6. Segn el Insurance Instituto Of Amrica, una familia de 4 miedros gasta entre 400$ y 3800$ al ao en todo tipo de seguros. Suponga que el dinero gastado tiene una distribucin uniforme entre estas cantidades a) Cul es el monto medio gastado en seguros?

b) Cul es la desviacin estndar del monto gastado?

c)

=5070000

d) Si escogemos una familia al azar. Cul es la probabilidad de que gaste menos de $2000 al ao en seguros?

P(x3000) = 7. Enumere las caractersticas ms importantes de una distribucin de probabilidad normal. X=Q=M coinciden en la campana de gauss Las curvas asimtricas y simtricas no topan al eje horizontal La ubicacin de una distribucin normal atreves de la media la dispersin o extensin de la distribucin por medio de la desviacin estndar Es simtrica con respecto a la media Cae ligeramente fuera en cualquier sentido con respecto al valor central

8. La media de distribucin de probabilidad normal es de 60; la desviacin estndar

es 5 ? a) Alrededor de que porcentajes de las observaciones se encuentran entre 55 y 65?

55 y 65, calculados 60(5) b) Alrededor de que porcentajes de las observaciones se encuentran entre 50 y 70?

50 y 70, calculados 60 (10)

c) Alrededor de que porcentajes de las observaciones se encuentran entre 45 y 75?

45 y 75, calculados 60 (15)

9. Un artculo reciente que apareci en el Cincinati Enquirer informo que el costo medio de la mano de obra para reparar una bomba de calefaccin es de 90$ con una desviacin estndar de 22$. Monte`s plumbing y Heqating servicies terminaron de reparar la bomba esta maana. El costo de mano de obra para la primera fue 75$ y para la segunda fue de $100. Calcule los valores de z para cada caso y comente sus hallasgos?

10. Una poblacin normal tiene una media de 12.2 y una desviacin estndar de 2,5a) Calcule el valor de z relacionado con 14,3

b) Qu valor de proporcin de la poblacin est entre 12.2 y 14,3

6,299c) Qu proporcin de la poblacin es menor que 10.0??

z=0.3106

11. La media de la distribucin normal es 400 libras. La desviacin estndar es 10 libras a) Cul es el valor del rea entre 415 libras y la media de 400 libras?

Valor de rea= 0,4332 b) Cul es el valor del rea entre la media y 395 libras?

Valor de rea= 0,1915 c) Cul es la probabilidad de seleccionar un valor al azar y descubrir que tiene un valor menor de 395 libras?

12. Una distribucin normal tiene una media de 80 y una desviacin estndar de 14 a) Calcule la probabilidad de un valor entre 75 y 90

Area1=0.1368

Area2=0.2611

Area Total=0.3979

b) Calcule la probabilidad de un valor de 75 o menos

Area=0.1368c) Calcule la probabilidad de un valor entre 55 y 70

Area1=0.4625 Area Total=0.2014

Area2=0.2611

13. Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de prstamo caseros en Dowm River Federal Savings siguen la distribucin normal con una media de $70000 y una desviacin estndar de $20000 .esta maana se recibi una solicitud de prstamo, Cul es l probabilidad:

a) De que monto solicitado sea $80000 o ms?

Area1=0.0199 rea total=0.301 b) De que monto solicitado este entre $65000 y $80000 o ms?

Area1=0.0199 Area Total=0.1186

Area2=0.0987

c) De que monto solicitado sea $65000 o ms?

Area=0.0987 Area total=0.4013 Area2=0.0987 EJERCICOS APLICADDOS AL AREA ELECTROMECANICA

BIBLIOGRAFIAESTADISTICA APLINADA A LOS NEGOCIOS Y A LA ECONOMIA 12va EDICION, Douglas A. Lind, Samuel A. Wathen,

http://www.vadenumeros.es/sociales/aproximacion-binomial-normal.htm http://www.vitutor.com/pro/5/a_g.html http://www.uca.es/uca/dpto/C146/pag_personal/f_alvarez/documentos/CC%20Trabajo% 20Tema%205.pdf http://ocw.udem.edu.mx/cursos-de-posgrado/tutorial-de estadistica/Modulos/Modulo02/EJERES07.pdf