Distribución Gamma

1.- Función de distribución acumulada para la distribución de probabilidad Gamma

Utilizando el caso para el cual ∝= 𝑚 es un entero positivo e integraciones sucesivas, prueba que

𝑃(𝑋 > 𝑥) = ∫𝛽𝛼

Γ(𝛼)

∞

𝑥

𝑡𝛼−1𝑒−𝛽𝑡𝑑𝑡 = ∑𝑒𝛽𝑥(𝛽𝑥)𝑘

𝑘!

𝑚−1

𝑘=0

Y que por lo tanto el siguiente resultado es válido.

Teorema. Si una variable aleatoria 𝑋 tiene distribución Gamma con parámetros 𝛼 y 𝛽, donde 𝛼 =

𝑛 es un entero positivo, entonces

𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = 1 − ∑𝑒𝛽𝑥(𝛽𝑥)𝑘

𝑘!

𝑛−1

𝑘=0

2.- Supongamos que el tiempo empleado por un estudiante seleccionado al azar que utiliza una terminal conectada a un centro local de cómputo de tiempo compartido, tienen una distribución gamma con media de 20 minutos y varianza de 80 minutos2. a) ¿Cuáles son los valores de y ?

b) Cuál es la probabilidad de que un estudiante utilice la terminal por lo menos 24 minutos?

Sol. a) 41y 5 / b) 0.2851

3.- Supongamos que cuando un transistor de cierto tipo se somete a una prueba acelerada de vida útil, la duración 𝑋 (en semanas) tiene una distribución gamma con media de 24 semanas y desviación estándar de 12 semanas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un transistor dure entre 12 y 24 semanas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un transistor dure a lo sumo 24 semanas? Sol. a) 0.4236 b) 0.5665 4.- Los tiempos de respuesta en una terminal en línea para cierta computadora, tienen aproximadamente una distribución gamma, con media de 4 segundos y varianza de 8 s2. Obtén la función de densidad de probabilidad para los tiempos de respuesta. 5.- Los ingresos anuales de los jefes de familia en cierta sección de una ciudad tienen aproximadamente una distribución gamma con 1/2y 0001 ,

a) Determina la media y la varianza de estos ingresos. b) ¿Esperarías encontrar muchos ingresos superiores a 40, 000 dólares en esta área de la ciudad?

6.- El tiempo en horas que semanalmente requiere una máquina para mantenimiento es una v.a. 𝑋

que tiene una distribución Gamma con 𝛼 = 3 y 𝛽 = 2

a) ¿Cuál es la probabilidad de que en determinada semana, el tiempo de mantenimiento sea mayor

a 8 horas?

b) Si el costo de mantenimiento en dólares está dado por la expresión 𝐶(𝑋) = 30𝑋 + 2𝑋2 donde

𝑋 es el tiempo de mantenimiento, encuentra el costo promedio de mantenimiento en dólares.

Distribución Exponencial

1.-Una v.a 𝑋 está exponencialmente distribuida con λ=3. Encuentra la probabilidad de que en el resultado de la prueba X cae en el intervalo 0.13, 0.7. R: 0.552

2. Supongamos que el tiempo de respuesta 𝑋 en una terminal de computadora en línea tiene una distribución exponencial con tiempo de repuesta esperado de μ=5 segundos. a) Encuentra la probabilidad de que el tiempo de respuesta sea cuando mucho de 10 segundos. R: 0.865 b) Encuentra la probabilidad de que el tiempo de respuesta sea de entre 5 y 10 segundos. R: 0.233 3. Supongamos que un sistema contiene cierto tipo de componente cuya duración útil en años, está dada por la variable aleatoria 𝑇, distribuida exponencialmente con parámetro λ=0.01. Encuentra la probabilidad de que una de estas componentes falle después de 50 horas. 4. Se prueban dos elementos que trabajan independientemente. La duración del tiempo de trabajo sin fallo del primer y segundo elemento tiene distribución exponencial con parámetros λ1=0.02 y λ2=0.05 respectivamente. Encuentra la probabilidad de que en el tiempo de duración de 𝑡 = 6 horas: a) ambos elementos fallen R: 0.03 b) ambos elementos no fallen R: 0.66 c) la probabilidad de que falle un sólo elemento R: 0.31 d) la probabilidad de que por lo menos un elemento no falle. R: 0.34