UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO EL PER Facultad De Ingeniera En Industrias AlimentariasINTRODUCCINEn esta clase describiremos el uso de la distribucin de Poisson para obtener la probabilidad de ocurrencia de sucesos raros (eventos que ocurren con poca frecuencia) cuyo resultado lo representa una variable discreta.OBJETIVO GENERAL Utilizar la distribucin de Poisson para obtener las probabilidades de aquellas situaciones gerenciales que ocurren de forma impredecible y ocasional.OBJETIVOS ESPECFICOS1. Identificar las propiedades de una distribucin de Poisson.2. Determinar los valores de frecuencia p y segmento n.3. Determinar el promedio, la varianza y la desviacin estndar utilizando las variables de la distribucin de Poisson.

DISTRIBUCIN DE PROBABILIDADES PARA VARIABLES ALEATORIAS DISCRETASDISTRIBUCIN DE POISSONDATO HISTRICOLa distribucin de Poisson se llama as en honor a su creador, el francs Simen Dennis Poisson (1782-1840) Esta distribucin de probabilidad fue uno de los mltiples trabajos matemticos que Dennis completo en productiva trayectoria, la dio a conocer en1838en su trabajoRecherches sur la probabilit des jugements en matires criminelles et matire civile(Investigacin sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles).DEFINICINLadistribucin de Poissones unadistribucin de probabilidad discretaque expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado nmero de eventos durante cierto perodo de tiempo. Concretamente, se especializa en la probabilidad de ocurrencia de sucesos con probabilidades muy pequeas, o sucesos "raros".La distribucin de Poisson parte de la distribucin binomial, cuando en una distribucin binomial se realiza el experimento un nmero "n" muy elevado de veces y la probabilidad de xito "p" en cada ensayo es reducida, entonces se aplica el modelo de distribucin de Poisson:Se tiene que cumplir que:" " < 0,10" " < 10La distribucin de Poisson sigue el siguiente modelo:

Donde: k: nmero de ocurrencias del evento o fenmeno (la funcin nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamentekveces). : parmetro positivo que representa el nmero de veces que se espera que ocurra el fenmeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurrakveces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribucin de Poisson con = 104 = 40. : base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...)

PROPIEDADESLa Distribucin de Poisson tiene las siguientes propiedades:1. La probabilidad de observar exactamente un xito en el segmento o tamao de muestra n es constante.2. El evento debe considerarse un suceso raro, y darse en un lapso de tiempo.3. El evento debe ser aleatorio e independiente de otros eventos.Si repetimos el experimento n veces podemos obtener resultados para la construccin de la distribucin de Poisson.Media =

Varianza =

Desviacin estndar =

UTILIDAD1. La distribucin de Poisson se utiliza en situaciones donde los sucesos son impredecibles o de ocurrencia aleatoria .En otras palabras no se sabe el total de posibles resultados.2. Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso con resultado discreto.3. Es muy til cuando la muestra o segmento n es grande y la probabilidad de xitos p es pequea.4. Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se distribuye dentro de un segmento n dado como ejemplo la distancia , rea , volumen o tiempo de finido.EJEMPLOS DE UTILIDAD: (casos donde podemos aplicar la distribucin de Poisson) La llegada de un cliente al negocio durante una hora. Las llamadas telefnicas que se reciben en un da. Los defectos en manufacturas de papel por cada metro producido. Los envases llenados fuera de los lmites por cada 100 galones de producto terminado. Numero de fallas en la superficie de una cermica rectangular. Numero de bacterias en un volumen de un de agua. Nmero de accidentes de trabajo que ocurren en una fbrica durante una semana. El nmero de autos que pasan a travs de un cierto punto en una ruta (suficientemente distantes de los semforos) durante un periodo definido de tiempo. El nmero de errores de ortografa que uno comete al escribir una nica pgina. El nmero de llamadas telefnicas en una central telefnica por minuto. El nmero deservidores webaccedidos por minuto. El nmero de animales muertos encontrados por unidad de longitud de ruta. El nmero de mutaciones de determinada cadena deADNdespus de cierta cantidad de radiacin. El nmero de ncleos atmicos inestables que decayeron en un determinado perodo El nmero de estrellas en un determinado volumen de espacio. La distribucin de receptores visuales en laretinadel ojo humano. Lainventivade un inventor a lo largo de su carrera.

CASOS PRACTICOS Ejemplo 1:Una compaa de seguros de autos, asegura contra robos a 10000 autos en todo el Per, s en un mes la probabilidad de que un auto cualquiera sea robado es 3/3400 cul es la probabilidad que durante un mes determinado se roben 2 autos?

P()= = = 0,004981Ejemplo 2:

Si el 3% de las llantas fabricadas por una compaa son defectuosos, hallar la probabilidad de que una muestra de 100 llantas, se tenga 3 defectuosas.Probabilidad de llantas defectuosas : p = 0.03

P() = = = 0,224Ejemplo 3:

Si el 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernacin defectuosa, para obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan encuadernaciones defectuosas usamos la distribucin de Poisson.( En este caso concreto,kes 5 y, , el valor esperado de libros defectuosos es el 2% de 400, es decir, 8). Por lo tanto, la probabilidad buscada es:

Ejemplo 4:En una tienda los clientes llegan al mostrador conforme a una distribucin de Poisson con un promedio de 10 cada hora, en una hora dada calcule la probabilidad que lleguen al menos 5 clientes.

Ejemplo 5:En una clnica el promedio de atencin es 16 pacientes por 4 horas, encuentre la probabilidad que en 30 minutos se atiendan menos de 3 personas y que en 180 minutos se atiendan 12 pacientes.

La probabilidad que en 30 minutos se atiendan menos de 3 personas.

La probabilidad que en 180 minutos se atiendan 12 personas.

ESTADSTICA GENERALIng. Brgida de la CRUZ LAZO