DISTRIBUCION DE ERLANG

Esta distribución es también conocida por Distribución Gamma. Algunas densidades de probabilidad importantes, cuyas aplicaciones se exponen posteriormente, son casos especiales de la distribución gamma. Esta distribución está dada por:

f ( x )={ 1

βα Γ (α )xα−1 e−x /β , x>0

0 , para otro x

 

Donde ᴦ(α) es el valor de la función gamma, definido por:

Γ ( α )=∫0

∞

xα−1e− xdx

Mediante la integración por partes puede demostrarse que:

Si es un entero positivo, entonces

() = ( - 1)!

Γ ( α )=∫0

∞

xα−1e− xdx

u = x-1 du = (-1)x-2 dx

dv = e-x dx v = -e-x

Se obtiene

Γ ( α )=( α−1 )∫0

∞

xα−2e−xdx= ( - 1)( - 1)

En la siguiente figura se muestran varias graficas de distribuciones gamma en las cuales se observa el hecho de que estas distribuciones son positivamente sesgadas

En realidad el sesgo decrece cuando α se incrementa manteniendo fija a β. La media y la varianza de la distribución gamma pueden obtenerse utilizando la función gamma y sus propiedades especiales mencionadas antes, Para la media tenemos que:

Demostración para

= ∫−∞

∞

xf ( x )dx= ∫0

∞

x1

βα Γ (α )xα−1e− x /β dx

=

1

βα Γ (α )∫0

∞

xα e− x /β dx

Mediante la sustitución y = x/

=

1

βα Γ (α )∫0

∞

( βy )α e− y β dy

=

βΓ (α )∫0

∞

y α e− ydy

Con la definición de la función Gamma:

=

βΓ (α )

Γ (α+1 )=

βΓ (α )

αΓ( α )=αβ

Con métodos similares podemos demostrar que la varianza de la distribución gamma está dada por:

2 = 2

EJEMPLO:

El tiempo en horas que semanalmente requiere una máquina para mantenimiento es una variable aleatoria con distribución gamma con parámetros =3, =2

a) Encuentre la probabilidad que en alguna semana el tiempo de mantenimiento sea mayor a 8 horas

b) Si el costo de mantenimiento en dólares es C = 30X + 2X2, siendo X el tiempo de mantenimiento, encuentre el costo promedio de mantenimiento.

Solución:

Sea X duración del mantenimiento en horas (variable aleatoria)

Su densidad de probabilidad es:

f(x) =

1

βα Γ (α )xα−1e−x / β= 1

23Γ (3 )x3−1e−x /2= 1

16x2e− x /2

a) P(X>8) es el área resaltada en el gráfico

P(X>8) = 1 – P(X8) = 1 -

116

∫0

8

x2e− x /2 dx

Para integrar se pueden aplicar dos veces la técnica de integración por partes:

∫ x2e− x /2dx,

u = x2 du = 2x dx

dv = e-x/2 dx v = -2 e-x/2

= -2x2 e-x/2 + 4∫ xe− x /2dx

∫ xe− x /2dx

u = x du = dx

dv = e-x/2dx v = -2 e-x/2

= -2x e-x/2 + 2∫ e−x /2dx

Sustituyendo los resultados intermedios,

P(X>8) = 1 -

116

[-2x2 e-x/2+4( -2x e-x/2+2(-2 e-x/2))]80 = 0.2381

b) E[C] = E[30X + 2X2] = 30 E[X] + 2 E[X2]E[X] = = 3(2) = 6

E[X2] =∫−∞

∞

x2 f (x )dx=∫0

∞

x2 116x2e− x /2dx

=

116 ∫

0

∞

x4 e−x /2dx

sustituya y = x/2 para usar la función Gamma

=

116 ∫

0

∞

(2 y )4 e− y(2dy )=

2∫0

∞

y4 e− ydy = 2(5) = 2(4!) = 48

Finalmente se obtiene

E[C] = 30(6) + 2(48) = 276 dólares

BIBLIOGRAFÍA

Distribución Gamma (2010), Distribuciones gamma [DOC], Disponible en: www.ocw.espol.edu.ec/.../ DISTRIBUCIONES _ GAMMA _EXPONENCIAL_WEIBULL_BETA.doc

Miller, Freud, Johnson, Probabilidad y estadística para ingenieros

Distribución de Erlang(Gamma)

Mariela Suriano Marroquín

Sandra del Carmen Ventura García

Ingeniería en Sistemas Computacionales

Simulación

Ingeniero José Ángel Santos Gordillo

Comitán de Domínguez, Chiapas a; 30 de Marzo del 2011.