diseÑo e implementaciÓn de un simulador …
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1
DISEÑO E IMPLEMENTACIÓN DE UN SIMULADOR
ELECTROMAGNÉTICO PARA CIRCUITOS PASIVOS EN TECNOLOGÍA MULTICAPA
DORA CAROLINA ROSALES ARIZA
ASESOR: NÉSTOR PEÑA
COASESOR:
JUAN CARLOS BOHÓRQUEZ
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES ABRIL DE 2009
2
TABLA DE CONTENIDO
LISTADO DE FIGURAS ....................................................................................................................... 4
RESUMEN........................................................................................................................................... 6
1 INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................ 7
2 ESTUDIO DEL MÉTODO FDTD – DIFERENCIAS FINITAS EN EL TIEMPO ....................................... 8
2.1 Ecuaciones de Maxwell ............................................................................................................. 8
2.2 Discretización Ecuaciones de Maxwell- Algoritmo Yee ............................................................... 10
2.3 Aproximación por diferencias finitas para hallar Hx ................................................................... 10
2.4 Expresiones de Diferencias Finitas para Hy y Hz ........................................................................ 11
2.5 Expresiones de Diferencias Finitas para Ex Ey y Ez .................................................................... 12
2.6 Condiciones de Frontera Superficie Perfectamente Conductora (PEC) ......................................... 12
2.7 Interfaz entre diferentes medios .............................................................................................. 12
2.8 Criterio de Estabilidad .............................................................................................................. 13
3 CONDICIONES DE FRONTERA ABSORBENTE – MEDIOS PLM ..................................................... 13
3.1 Ecuaciones de Maxwell TE- en 2D (Ex, Ey, Hz) ....................................................................... 14
3.2 Propagación de una onda plana TE en un medio PML ............................................................... 15
3.3 Condición de adaptación de impedancias ................................................................................. 16
3.4 Ecuaciones de Maxwell TE- en 3D .......................................................................................... 18
3.5 Condición de Frontera Absorbente en medio PML (PML-ABC) .................................................... 19
3.6 Conductividad en los PML ABC ................................................................................................. 21
3.7 PML ABC para el método FDTD ............................................................................................... 23
3.8 PML acoplado a medios no homogéneos .................................................................................. 25
4 METODOLOGÍA DE CALCULO DE PARA LOS PARÁMETROS S ..................................................... 26
5 EVOLUCIÓN DE PRUEBAS DURANTE EL DESARROLLO DEL SOFTWARE ...................................... 30
5.1 Simulación de una Cavidad Resonante ...................................................................................... 30
5.2 Simulación de una Cavidad Resonante ...................................................................................... 31
5.3 Simulación de una Guía de Onda .............................................................................................. 32
5.4 Simulación de una Microcinta ................................................................................................... 33
5.5 Densidad de corriente superficial como excitación para estructuras tipo Microcinta ...................... 34
6 MODELOS SIMULADOS ............................................................................................................ 36
6.1 Diagrama de Flujo del Programa desarrollado ........................................................................... 36
6.2 Antena Parche con Mallado Uniforme ....................................................................................... 37
6.3 Antena Parche con Mallado No Uniforme .................................................................................. 38
3
6.4 Filtro Pasa Bajos con Mallado No Uniforme ............................................................................... 41
7 SIMULACIÓN ESTRUCTURA MULTICAPA ................................................................................... 44
CONCLUSIONES ............................................................................................................................... 53
ANEXO A – LA HERRAMIENTA DE SIMULACIÓN ................................................................................. 54
ANEXO B - CÓDIGO IMPLEMENTADO................................................................................................ 55
BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................................. 59
4
LISTADO DE FIGURAS
Figura 1. Descripción de la tecnología multicapa 3D ..................................................................... 7
Figura 2. “Celda Yee”. Campos Eléctricos y Magnéticos .............................................................. 13
Figura 3. Frontera PML –ABC vista en 2D ................................................................................. 18
Figura 4. PML –ABC en un plano frontera .................................................................................. 20
Figura 5. Subcomponentes de campo en una celda en el medio PML .......................................... 24
Figura 6. Dominio Computacional para medio PLM en 3D. .......................................................... 25
Figura 7. Dominio computacional para dos medios diferentes con terminación PLM ..................... 26
Figura 8. Método de los 3 Puntos para cálculo de S11 ................................................................ 26
Figura 9. Método de los 3 Puntos para cálculo de S11 ................................................................ 29
Figura 10. Diagrama de flujo de algoritmo implementado ........................................................... 36
Figura 11. Simulación 1 - Cavidad Resonante ............................................................................ 31
Figura 12. Frecuencias de corte cavidad resonante. ................................................................... 31
Figura 13. Guía de Onda Simulada ............................................................................................ 32
Figura 14. Parámetro S11 Guía de Onda ................................................................................... 33
Figura 15. Dimensiones Microcinta ............................................................................................ 33
Figura 16. Parámetro S11 Microcinta ......................................................................................... 34
Figura 17. Coordenadas espaciales de excitación ....................................................................... 35
Figura 18. Toma de campo del modo fundamental para la microcinta ......................................... 35
Figura 19. Señal de excitación microcinta .................................................................................. 35
Figura 20. Antena Parche simulada con mallado uniforme .......................................................... 37
Figura 21. Parámetro S11 de Antena Parche con mallado uniforme ............................................. 38
Figura 22. Antema Parche simulada – mallado no uniforme ........................................................ 38
Figura 23. Vista xz mallado no uniforme Antena Parche ............................................................ 39
Figura 24. Vista xy mallado no uniforme Antena Parche ............................................................ 39
Figura 25. Parámetro S11 de Antena Parche con mallado no uniforme ........................................ 40
Figura 26. Corte campo eléctrico Ey (iteración 1000) de Antena Parche ...................................... 41
Figura 27. Filtro pasa bajos –mallado no uniforme ..................................................................... 41
Figura 28. Vista xz mallado no uniforme Filtro Pasa bajos ......................................................... 42
Figura 29. Vista xy mallado no uniforme Filtro Pasa bajos ......................................................... 42
Figura 30. Parámetro S11 Filtro Pasa bajos ............................................................................... 43
Figura 31. Parámetro S21 Filtro Pasa bajos ............................................................................... 43
Figura 32. Corte campo eléctrico Ey (iteración 1000) de filtro ..................................................... 44
Figura 33. Distribución de capas de la estructura. Vista Lateral ................................................... 45
5
Figura 34. Capa Inferior estructura multicapa. Unidades mm. ..................................................... 45
Figura 35. Capa Central estructura multicapa. Unidades mm. ..................................................... 46
Figura 36. Capa Superior estructura multicapa. Unidades mm. ................................................... 47
Figura 37. Geometría y mallado no uniforme estructura multicapa Vista xz. Todas las capas
superpuestas ........................................................................................................................... 48
Figura 38. Geometría y mallado no uniforme estructura multicapa Vista xy. ............................... 49
Figura 39. Parámetro S11 estructura multicapa para 200.000 iteraciones .................................... 50
Figura 40. Parámetro S21 estructura multicapa para 200.000 iteraciones .................................... 50
Figura 41. Parámetro S11 estructura multicapa para 600.000 iteraciones .................................... 51
Figura 42. Parámetro S21 estructura multicapa para 600.000 iteraciones .................................... 51
Figura 43. Corte campo eléctrico Ey (iteración 20.000) de estructura multicapa ........................... 52
6
RESUMEN En el presente trabajo se pretende mostrar el trabajo hecho durante un año, que consistió en la elaboración de un software para la simulación de circuitos pasivos de microondas en tecnología multicapa con alimentación tipo microcinta. Inicialmente se da una introducción con la motivación para este proyecto. A continuación se menciona la implementación del método FDTD y su manejo para condiciones de frontera PML. Luego se muestra la metodología de cálculo de parámetros S que se siguió para el análisis de datos. También se muestra un diagrama de flujo de la implementación del programa. Finalmente se presenta la evolución de pruebas realizadas durante el desarrollo del software y los resultados en diferentes estructuras hasta llegar a la simulación de una estructura Multicapa.
7
1 INTRODUCCIÓN
La investigación sobre tecnologías 3D tiene como finalidad estudiar la flexibilidad ofrecida por el aprovechamiento de la tercera dimensión (eje vertical). Utilizar este eje como un nuevo parámetro de libertad, es abrir nuevas perspectivas en término del diseño de dispositivos de microondas con el fin de cubrir exigencias impuestas por las nuevas necesidades de los usuarios (ej. frecuencia, dimensión, impedancia, etc.) en términos de funcionalidad, como flexibilidad en el diseño o miniaturización de los dispositivos o sistemas. La utilización de herramientas de simulación electromagnética es indispensable en el diseño de circuitos a hiper-frecuencias. La necesidad de herramientas eficaces, precisas, con resultados óptimos y tiempos de simulación cortos, es cada vez mayor. Estas condiciones aseguran el desarrollo, limitan el número de prototipos y economizan tiempo y dinero. La simulación electromagnética global no siempre es posible debido a la complejidad geométrica de las estructuras multicapa y a la relación en las dimensiones. Las herramientas comerciales de software para simulación electromagnética disponibles tienen la dificultad de simular la totalidad de este género de estructuras. El aporte de esta tesis es la implementación de una herramienta de simulación electromagnética que aborde este tipo de problemas para el caso específico de la tecnología multicapa 3D de circuitos pasivos de microondas.
A continuación se describe la estructura de un circuito en tecnología multicapa 3D, al cual se hace referencia como estructura a final a simular por el software implementado.
Figura 1. Descripción de la tecnología multicapa 3D [35]
Las capas a manejar están dadas por un substrato sobre el cual se sobrepone una capa dieléctrica seguida de una capa metalizada o plano de masa con aberturas en las zonas grises, sobre esta capa metalizada se sobrepone otra capa dieléctrica y finalmente sobre esta se sobrepone una capa metalizada que corresponde a la cinta conductora. El grosor de las capas está en el orden de los micrómetros. La excitación que se maneja es tipo red de dos puertos (entrada y salida) con entrada en línea microcinta.
8
2 ESTUDIO DEL MÉTODO FDTD – DIFERENCIAS FINITAS EN EL TIEMPO
A continuación se explica que consiste éste método y las condiciones a tener en cuenta como las condiciones de frontera, el manejo de la permitividad y permeabilidad en la interfaz de medios diferentes y el criterio de estabilidad.
2.1 Ecuaciones de Maxwell [8]
A continuación se presentan tanto en forma diferencial, como en forma integral:
Ley de Faraday:
x (1)
. . . (2)
Ley de Ampere:
x (3)
. . . (4)
Ley de Gauss para el campo eléctrico:
. 0 (5)
. 0 (6)
Ley de Gauss para el campo magnético:
. 0 (7)
. 0 (8)
Donde,
: Campo Eléctrico (voltios/metro) : Densidad de flujo eléctrico (coulombs/metro2) : Campo Magnético (amperios/metro) : Densidad de flujo magnético (webers/ metro2) : Superficie tridimensional arbitraria.
dA: Vector normal diferencial que caracteriza la superficie A (metro2) l: Contorno cerrado que limita la superficie A
dl: Vector de longitud diferencial que caracteriza el contorno l J: Densidad de corriente eléctrica (amperios/metro2) M: Densidad de corriente magnética equivalente (voltios/metro2)
Para materiales lineales isotrópicos no dispersivos:
(9)
(10)
9
y involucran fuentes independientes de energía de los campos E y H respectivamente: y .
(11)
(12)
: Permitividad eléctrica (faradios/metro) : Permitividad relativa (escalar a-dimensional) : Permitividad del espacio libre (8.854 x 10-12) : Permeabilidad magnética (henrios/metro) : Permeabilidad relativa (escalar a-dimensional) Permeabilidad del espacio libre (4π x 10-7 henrios/metro)
: Conductividad eléctrica (siemens/metro) : Conductividad magnética (ohms/metro)
Sustituyendo ecuaciones (9) y (10) en (1) y (3) se obtienen las siguientes ecuaciones de maxwell para medios con pérdidas, isotópicos, lineales y no dispersivos.
1x
1 (13)
1x
1 (14)
El rotacional en coordenadas cartesianas se expresa de la siguiente manera:
x ̂ (15)
Así se tienen 6 ecuaciones de maxwell escalares:
1 (16)
1 (17)
1 (18)
1 (19)
1 (20)
1 (21)
10
2.2 Discretización Ecuaciones de Maxwell- Algoritmo Yee [7] : Discretización espacial:
, , ∆ , ∆ , ∆ (22)
Discretización temporal:
∆ (23)
Función Espacio-Tiempo:
∆ , ∆ , ∆ , ∆ , , (24)
Aproximación de diferencias finitas para las derivadas espaciales y temporales:
, , 1 2⁄ , , 1 2⁄ , ,∆x
(25)
, , ⁄ , , ⁄ , ,∆ (26)
Las derivadas espaciales y temporales de una función se implementan utilizando una aproximación en diferencias finitas centradas evaluadas en celdas solapadas. Muestreo Campos: El campo eléctrico se muestrea en tiempos enteros y el campo magnético en tiempos semi-enteros.
∆ (27)
1 2⁄ ∆ ⁄ (28)
El método se basa en utilizar las ecuaciones anteriores para calcular las derivadas de los campos electromagnéticos en las ecuaciones de Maxwell.
2.3 Aproximación por diferencias finitas para hallar Hx [8]
( )σµ
⎡ ⎤∂∂ ∂= − − +⎢ ⎥
∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦
*1 yx zsource x x
EH E M Ht z y
(29)
µσ
+ + + + + ++ −+ + + +
+ ++ + + + + +
⎡⎢ − −⎢ −⎢− ∆ ∆
=∆
− −
⎣
, 1/2, 1 , 1/2, , 1, 1/2 , , 1/21/2 1/2
, 1/2 1/2 , 1/2, 1/2
*, 1/2, 1/2, 1/2, 1/2 , 1/2, 1/2 , 1/2, 1/2
1
n n n ny i j k y i j k z i j k z i j k
n nx i j k x i j k
n ni j ksource i j k i j k x i j k
E E E EH H z y
tM H
⎤⎥⎥⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎦ (30)
Usando la aproximación semi-implícita: + −+ + + +
+ +
+=
1/2 1/2, 1/2, 1/2 , 1/2, 1/2
, 1/2, 1/2 2
n nx i j k x i j kn
x i j k
H HH (31)
σµ
+ −+ + + +
+ + + + + +
++ +
+ + + ++ +
− =
− −−
∆ ∆∆ +− −
1/2 1/2, 1/2, 1/2 , 1/2, 1/2
, 1/2, 1 , 1/2, , 1, 1/2 , , 1/2
1/2, 1/2, 1/2*
, 1/2, 1/2 , 1/2, 1/2, 1/2, 1/2
n nx i j k x i j k
n n n ny i j k y i j k z i j k z i j k
nx i j kn
source i j k i j ki j k
H HE E E E
z yt HM
−+ +
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
1/2, 1/2, 1/2
2
nx i j kH (32)
11
Se tiene:
σ σ
µ µ
µ
+ + + ++ −+ + + +
+ + + +
+ + +
+ +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ ∆⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−−
∆ ∆
* *, 1/2, 1/2 , 1/2, 1/21/2 1/2
, 1/2, 1/2 , 1/2, 1/2, 1/2, 1/2 , 1/2, 1/2
, 1/2, 1 , 1/2, ,
, 1/2, 1/2
1 12 2
i j k i j kn nx i j k x i j k
i j k i j k
n ny i j k y i j k z i j
i j k
t tH H
E E Et z
+ + +
+ +
⎡ ⎤−⎢ ⎥
∆⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1, 1/2 , , 1/2
, 1/2, 1/2
n nk z i j k
nsource i j k
Ey
M
(33)
Dividiendo en ambos lados por: σ
µ+ +
+ +
∆+
*, 1/2, 1/2
, 1/2, 1/2
12
i j k
i j k
t
(34) Se obtiene la expresión final:
σµ
σµ
µ
σµ
+ +
+ ++ −+ + + +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
⎛ ⎞∆⎜ ⎟−⎜ ⎟
= +⎜ ⎟∆⎜ ⎟+⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ∆⎜⎜
∆+
⎝
*, 1/2, 1/2
, 1/2, 1/21/2 1/2, 1/2, 1/2 , 1/2, 1/2*
, 1/2, 1/2
, 1/2, 1/2
, 1/2, 1/2*
, 1/2, 1/2
, 1/2, 1/2
12
12
12
i j k
i j kn nx i j k x i j k
i j k
i j k
i j k
i j k
i j k
t
H Ht
t
t
+ + + + + +
+ +
⎞ ⎡ ⎤− −⎟⎢ ⎥−⎟ ∆ ∆⎢ ⎥−⎜ ⎟ ⎢ ⎥
⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎠
, 1/2, 1 , 1/2, , 1, 1/2 , , 1/2
, 1/2, 1/2
n n n ny i j k y i j k z i j k z i j k
nsource i j k
E E E Ez y
M
(35)
2.4 Expresiones de Diferencias Finitas para Hy y Hz σ
µσ
µ
µσ
µ
+ +
+ ++ −+ + + +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
⎛ ⎞∆−⎜ ⎟
⎜ ⎟= +⎜ ⎟∆⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ∆⎜⎜
∆+
⎝
1/2, , 1/2
1/2, , 1/21/2 1/21/2, , 1/2 1/2, , 1/2
1/2, , 1/2
1/2, , 1/2
1/2, , 1/2
1/2, , 1/2
1/2, , 1/2
12
12
12
m i j k
i j kn ny i j k y i j k
m i j k
i j k
i j k
m i j k
i j k
t
H Ht
t
t+ + + + + +
+ +
⎞⎟⎡ ⎤− −⎟⎢ ⎥− −⎜ ⎟ ∆ ∆⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦
⎜ ⎟⎠
1, , 1/2 , , 1/2 1/2, , 1 1/2, ,1/2, , 1/2
n n n nz i j k z i j k x i j k x i j k n
source y i j k
E E E EM
x z
(36)
σµ
σµ
µσ
µ
+ +
+ ++ −+ + + +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
⎛ ⎞∆−⎜ ⎟
⎜ ⎟= +⎜ ⎟∆⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ∆⎜⎜
∆+
⎝
1/2, 1/2,
1/2, 1/2,1/2 1/21/2, 1/2, 1/2, 1/2,
1/2, 1/2,
1/2, 1/2,
1/2, 1/2,
1/2, 1/2,
1/2, 1/2,
12
12
12
m i j k
i j kn nz i j k x i j k
m i j k
i j k
i j k
m i j k
i j k
t
H Ht
t
t+ + + + + +
+ +
⎞⎟⎡ ⎤− −⎟⎢ ⎥− −⎜ ⎟ ∆ ∆⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦
⎜ ⎟⎠
1/2, 1, 1/2, , 1, 1/2, , 1/2,1/2, 1/2,
n n n nx i j k x i j k y i j k y i j k n
source z i j k
E E E EM
y x
(37)
12
2.5 Expresiones de Diferencias Finitas para Ex Ey y Ez σε
σε
εσε
+
+++ +
+
+
++ + + + −
+
+
⎛ ⎞∆−⎜ ⎟
⎜ ⎟= +⎜ ⎟∆⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞∆⎜ ⎟
−⎜ ⎟⎜ ⎟∆⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠
1/2, ,
1/2, ,11/2, , 1/2, ,
1/2, ,
1/2, ,
1/21/2, , 1/2, 1/2, 1/2, 1
1/2, ,
1/2, ,
12
12
12
i j k
i j kn nx i j k x i j k
i j k
i j k
ni j k z i j k z i j
i j k
i j k
t
E Et
tH H
t
+ + ++ + + − +
+
⎡ ⎤−⎢ ⎥− −
∆ ∆⎢ ⎥⎣ ⎦
1/2 1/2 1/2/2, 1/2, , 1/2 1/2, , 1/2 1/2
1/2, ,
n n nk y i j k y i j k n
source x i j k
H HJ
y z
(38)
σε
σε
εσε
+
+++ +
+
+
++ + + +
+
+
⎛ ⎞∆−⎜ ⎟
⎜ ⎟= +⎜ ⎟∆⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞∆⎜ ⎟
−⎜ ⎟⎜ ⎟∆⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠
, 1/2,
, 1/2,1, 1/2, , 1/2,
, 1/2,
, 1/2,
1/2, 1/2, , 1/2, 1/2 , 1/2,
, 1/2,
, 1/2,
12
12
12
i j k
i j kn ny i j k y i j k
i j k
i j k
ni j k x i j k x i j k
i j k
i j k
t
E Et
tH H
t
+ + +− + + − + +
+
⎡ ⎤−⎢ ⎥− −
∆ ∆⎢ ⎥⎣ ⎦
1/2 1/2 1/21/2 1/2, 1/2, 1/2, 1/2, 1/2
, 1/2,
n n nz i j k z i j k n
source y i j k
H HJ
z x
(39)
σε
σε
εσε
+
+++ +
+
+
++ + + −
+
+
⎛ ⎞∆−⎜ ⎟
⎜ ⎟= +⎜ ⎟∆⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞∆⎜ ⎟
−⎜ ⎟⎜ ⎟∆⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠
1/2, ,
, , 1/21, , 1/2 , , 1/2
, , 1/2
, , 1/2
1/2, , 1/2 1/2, , 1/2 1/2, ,
, , 1/2
, , 1/2
12
12
12
i j k
i j kn nz i j k z i j k
i j k
i j k
ni j k z i j k z i j k
i j k
i j k
t
E Et
tH H
t
+ + ++ + + − + +
+
⎡ ⎤−⎢ ⎥− −
∆ ∆⎢ ⎥⎣ ⎦
1/2 1/2 1/21/2 , 1/2, 1/2 , 1/2, 1/2 1/2
, , 1/2
n n ny i j k y i j k n
source z i j k
H HJ
x y
(40)
2.6 Condiciones de Frontera Superficie Perfectamente Conductora (PEC) Las componentes tangenciales del campo eléctrico se anulan en la superficie.
La componente perpendicular al campo magnético también se anula en la superficie.
En la discretización espacial, los bordes de la región perfectamente conductora coincide con los bordes de alguna de las celda Yee.
2.7 Interfaz entre diferentes medios Para el cálculo del campo eléctrico rodeado por cuatro celdas con diferentes permitividades
, , , , la permitividad efectiva se halla a partir del promedio ponderado de las permitividades de cada celda según sea su área:
13
_ (41)
Figura 2. “Celda Yee”. Campos Eléctricos y Magnéticos
2.8 Criterio de Estabilidad El tamaño de la celda debe ser tal que los campos electromagnéticos no cambien sustancialmente de un nodo a otro de la celda. Por tanto la dimensión de la celda deberá ser una fracción de la longitud de onda. Se recomienda un valor menor a λ/10.
Criterio de Courant: Impone un límite superior al paso de tiempo ∆t
∆1
1∆
1∆
1∆
(42)
En el caso ∆x= ∆y= ∆z= ∆:
∆∆
c√3 (43)
3 CONDICIONES DE FRONTERA ABSORBENTE – MEDIOS PLM En una simulación electromagnética es muy importante tener un límite espacial con el fin de economizar memoria computacional ya que se evita guardar datos indefinidamente, esto se logra mediante una condición de frontera adecuada para simular una extensión infinita la cual reduce las
14
reflexiones ficticias a un nivel tal que la solución sea válida todo el tiempo. Dentro de estas condiciones de frontera absorbentes (ABC) una de las más utilizadas es la desarrollada por Jean Berenger [10].
Berenger fue el promotor de un absorbente de ondas no físico independiente de la frecuencia y ángulo de incidencia de la onda. Esto se hace aprovechando los grados de libertad adicionales que se obtienen mediante una estrategia de división del campo en sus componentes. Con lo cual se tiene una capa perfectamente adaptada PLM adyacente a la frontera del espacio FDTD para absorber todas las ondas incidentes en esta. Esto es posible igualando la impedancia del espacio libre con la de la capa PLM, pero para evitar que la onda siga propagándose al final de la capa PLM se coloca al final de ésta un medio PEC (conductor eléctrico perfecto), cuyas condiciones atenúan por completo la onda electromagnética.
Por simplicidad se explica la implementación del procedimiento de condición de frontera absorbente a dos dimensiones para así poderlo aplicar a tres dimensiones.
3.1 Ecuaciones de Maxwell TE- en 2D (Ex, Ey, Hz) [13]
(44)
(45)
(46)
Donde: ε Permitividad Vacío µ Permeabilidad Vacío σ Conductividad eléctrica σ Pérdidas magnéticas PML introduce un nuevo grado de libertad en la especificación de pérdidas y adaptación de impedancia, dividiendo HZ en dos subcomponentes Hzx y Hzy:
(47)
Así las ecuaciones de Maxwell con modificación PML se expresan por:
(48)
(49)
(50)
µ∂H
∂t σ H∂E∂y (51)
La formulación PLM representa una generalización de un medio físico modelado normalmente.
15
3.2 Propagación de una onda plana TE en un medio PML [13] Las cuatro componentes del campo para soluciones de onda plana se expresan como:
(52)
(53)
(54)
(55)
Donde, Amplitud del campo eléctrico.
Amplitud componente Hzx del campo magnético Amplitud componente Hzy del campo magnético
Frecuencia Angular Tiempo
, Componentes del vector de onda Sustituyendo estas expresiones de propagación de campo eléctrico en las ecuaciones de Maxwell con modificación PLM se tiene:
Para la ecuación (5):
1 (56)
De igual forma para ecuaciones (6) a (8) se tiene:
1 (57)
1 (58)
1 (59)
Haciendo:
1 1
1 1
Se pueden expresar las ecuaciones de Maxwell con modificación PLM en el dominio de la frecuencia de la forma:
(60)
16
(61)
(62)
Despejando de (17) y (18) y reemplazándolos en (19) se tiene la ecuación de dispersión:
(63)
Los números de onda que satisfacen la anterior ecuación son:
(64)
(65)
Donde: θ Es un Parámetro libre c Velocidad de la luz Reemplazando y en las cuatro ecuaciones de las componentes del campo para soluciones de onda plana - ecuaciones (9) a (12) - representadas por se tiene:
(66)
3.3 Condición de adaptación de impedancias [13]
Cuando se satisface:
(67)
La impedancia de la onda plana en el medio es igual a la impedancia de la onda en el vacío. No ocurren reflexiones cuando una onda plana se propaga normalmente a través de una interface entre el vacío y un medio PML.
Si las conductividades longitudinales , y transversales , satisfacen la anterior condición se tiene que y entonces:
(68)
Las dos primeras exponenciales son iguales a las de la forma de onda en el vacío, con fase y velocidad . Las dos siguientes exponenciales son los términos absorbentes. La magnitud de la onda decrece en dirección x, ó y, de acuerdo a las conductividades , y respectivamente.
17
Conocidos los números de onda , , éstos se pueden reemplazar en las ecuaciones de Maxwell con modificación PLM (ecuaciones 17-20) y despejar los valores de las amplitudes del campo
eléctrico , sabiendo que y la magnitud del campo magnético :
1 (69)
1 (70)
1 (71)
Donde
Y a partir de las ecuaciones 15 y 16 se tiene:
(72)
(73)
Cuando se satisface la condición de adaptación de impedancias para , y , se tiene que 1 y de la ecuación 28 se obtiene que
(74)
Esta ecuación corresponde a la impedancia de onda en el vacío y es igual a la del medio acoplado. Así en una interface normal a x entre dos medios, en donde se satisfaga la condición de adaptación y las conductividades transversales sean iguales ( , una onda transmitida se puede acoplar de manera perfecta a cualquier onda incidente, es decir, el coeficiente de reflexión es cero en cualquier ángulo de incidencia y a cualquier frecuencia.
3.4
Las e
Ecuacione
ecuaciones de
Fig
es de Maxw
e Maxwell co
gura 3. Front
well TE- en
on modificaci
tera PML –AB
3D [13]
ón PML se e
BC vista en 2
xpresan por:
2D [15]
:
18
(75)
(76)
(77)
(78)
(79)
(80)
(81)
(82)
19
(83)
(84)
(85)
(86)
La solución de onda plana es de la forma:
(87)
Luego de un tratamiento similar al mostrado para el caso TE 2D se obtiene la ecuación de dispersión:
(88)
Donde los números de onda están dados por:
cos (89)
(90)
(91)
Donde son parámetros libres y
1 1 , ,
Reemplazando estos valores en La solución de onda plana se tiene:
(92)
También para el caso 3D se cumple que no se produce reflexión desde una interface entre dos medios PML cuyas conductividades longitudinales satisfagan la condición de adaptación de impedancia y las conductividades transversales sean iguales.
Para generalizar el medio PML acoplado a un medio dieléctrico se utiliza en vez de en todas las ecuaciones anteriores. No se producen reflexiones desde la interface entre un dieléctrico de permitividad y un medio PML. Esta condición también se cumple en el caso en que sea reemplazado por en todas las ecuaciones.
3.5 Condición de Frontera Absorbente en medio PML (PML-ABC) [13]
Sea edondeinterfcondi
Dondreducmétoen el
El espen lacoefic
En lapeque
Si se PLM.
Dond
el caso de ue las conduface. Una oición PEC. El
de es el espcir incrementdos numéricespacio disc
pesor de la Pa conductiviciente de ref
as implementeño en la int
denota coEl coeficient
de es la
Fig
na capa de uctividades tnda plana icoeficiente d
pesor de la Ptando el anccos actuales ecreto aparece
PLM debe serdad deben
flexión debe
taciones actterface hasta
omo la coordte de reflexió
reflexión co
gura 4. PML –
un medio PMtransversalesincidente qude reflexión
PLM y el ánho de la capesto no se pen reflexione
r el menor poser pequeñ
ser el menor
tuales de PMa un valor ma
enada en la ón es:
n ángulo de
–ABC en un
ML ubicado es (ue penetra ede la onda e
ngulo de propa o incremeuede hacer d
es ficticias.
osible para rñas para rer posible.
ML-ABC la coayor en el lad
dirección no
incidencia no
plano fronte
entre el vací, es d
en la PML, en el vacío es
opagación. Elentando el vadebido a que
reducir el coseducir las re
onductividad do exterior.
ormal a la int
ormal:
era [13]
ío y un conddecir no haes absorbid
stá dado por
l coeficiente alor de la coe cuando se
sto computaceflexiones es
varía en la
terface y
ductor perfecay reflexión da y reflejad:
de reflexión nductividad varía la cond
cional. Las vaspurias. El
PLM desde
la conductivi
20
cto (PEC), desde la
da por la
(93)
se puede . En los
ductividad
ariaciones valor del
e un valor
idad en el
(94)
(95)
21
3.6 Conductividad en los PML ABC La Teoría de las PML describe una variación continua de las propiedades del material sobre la región PML. En el enmallado FDTD es necesario discretizar esta variación promediando las propiedades del material sobre el ancho de una celda centrada en cada componente de campo. Como se ha mencionado anteriormente en los métodos numéricos aparecen reflexiones espurias en las interfaces vacío- PML. Para reducir la reflexión la conductividad en la PML debe crecer desde un valor pequeño en la interface vacío –PML hasta un valor mayor en el lado del PEC que finaliza la PML. La conductividad magnética se obtiene a partir de la condición de adaptación.
La conductividad eléctrica ya sea , ó se puede expresar de forma polinomial o de forma geométrica. El perfil polinomial es de la siguiente forma:
(96)
Donde es el grado del polinomio, es el espesor de la PLM, es la distancia desde la interface y es la conductividad en el lado exterior de la PML (para ). Reemplazando en la
ecuación de reflexión con incidencia normal (ecuación 52) se obtiene:
0 (97)
de donde al despejar se tiene:
12
0 (98)
La conductividad implementada en el nodo L (L=0 en la interface) del enrejado FDTD se calcula como:
1∆
∆ /
∆ / (99)
Donde ∆ es el paso espacial, 0, , 1, … , que corresponden a puntos de la malla. N es el
número de celdas en el espesor PML. Así:
01 2
(100)
0 0 2 1 2 1 Como ejemplo de la implementación se toma la integral de la conductividad en x sigma(x) en la región PML.
∆ (101)
∆ /2 (102) ∆ /2 (103)
0, , 1, … , que corresponden a puntos de la malla. N es el número de celdas en el espesor
PML. Donde la integral es sobre el ancho de una celda en x, limitado por y . Aplicando esta ecuación a la ecuación del perfil polinomial de la conductividad en x, expresada por:
22
∆ (104)
Donde es el grado del polinomio, ∆ es el espesor de la PLM, es la distancia desde la interface y es la conductividad en el
lado exterior de la PML (para ∆ ). Se tiene:
1∆
1∆
u
∆
∆ ∆ u
∆ ∆
un 1
∆ (105)
Donde:
µ
∆ 0 (106)
Las definiciones de x y x depende de la posición de la componente de campo en la celda. Para el campo eléctrico:
i ∆ (107)
i ∆ (108)
Donde i varía desde 0 hasta N-1
Para el campo eléctrico en las interfaces de la estructura con el medio PML :
0 (109)
∆ (110)
Por la condición de adaptación de impedancias:
(111)
Se tiene que la conductividad magnética se puede expresar como:
µ∆
(112)
Para el campo magnético:
i ∆ (113)
23
i 1 ∆ (114)
Donde i varía desde 0 hasta N-1
El perfil geométrico de la conductividad se expresa por:
/∆ (115)
La conductividad se multiplica por un factor de una celda FDTD a la siguiente.
La reflexión con incidencia normal correspondiente es:
0∆
(116)
De donde:
2∆ln
1ln 0 (117)
Así la conductividad numérica en los índices, 0, , 1, … , es de la forma:
01
ln (118)
01
ln
El perfil polinomial de la conductividad es el más utilizado en la literatura, aunque el perfil geométrico satisface mejor la reducción de las reflexiones ficticias, especialmente en el caso de ondas evanescentes, en donde este perfil geométrico permite un menor espesor de la PML que el perfil polinomial.
En el espacio discretizado del método FDTD se produce reflexión en las interfaces vacío- PML, a pesar de que la teoría predice que no hay reflexión. Esta reflexión depende de parámetros como el espesor de la PML, el perfil de conductividad en la PML, o la separación entre la PML y el objeto de interés.
3.7 PML ABC para el método FDTD [14] En el caso 3D las 12 ecuaciones de Maxwell con modificación PML mostradas anteriormente avanzan en el tiempo en cada celda FDTD. La grilla FDTD no cambia, solo que se calcula dos subcomponentes por cada componente. Por ejemplo y se calculan en los nodos de una grilla FDTD tradicional. Por ejemplo se tiene en notación FDTD:
⁄ , , ⁄ , ,
⁄ , ⁄ ,
⁄⁄ , ⁄ ,
⁄
∆
(119)
Donde A y B evaluados en el nodo E i , j, k son de la forma:
Tamb:
Las o
En lase pre
1 La prrápida
bién se pued
otras 11 ecua
Figu
s paredes PMesentan las t
ropagación de la. Para los medio
den represen
aciones se ob
ura 5. Subcom
ML se tiene tres conduct
as ondas electroos PLM Taflove
ntar con una
btienen de m
mponentes d
que dos conividades en c
omagnéticas ensugiere utilizar
discretizació
manera simila
de campo en
nductividadescada celda.
n medios con altesta discretizac
ón exponenc
ar.
n una celda e
s son iguales
ta disipación ención exponencial
cial1 válida pa
en el medio P
s a cero. En
nergía presenta l. Ver referencia
ara cualquier
PML [14]
las esquina
una caída expoa[14].
24
(120)
(121)
r valor de
(122)
(123)
s del PLM
onencial muy
Para espacPML. dondereemtérmilos noderivacomp
3.8 CuanPML. la contienen
Para del mcoefic
la interfacecial en la dir Las ecuacie las subcomplazadas porno odos en el vada espacia
ponente se re
PML acopdo se tienenSe deben im
nductividad yn dos dieléct
seleccionar lmedio PML ciente de ref
Figura 6. D
e vacío-PML ección perpeiones en estemponentes sr su compon
se reemplvacío localizal de la ecuaeemplazada
plado a medn dos o másmplementar y la permitivtricos como l
os parámetr1 corresponflexión del m
Dominio Com
las ecuacioendicular a lae punto se oson fusionadnente corresplaza por edos en la mación FDTD por la suma
dios no hom dieléctricos medios PML
vidad se mano muestra la
ros de condudiente al medio PML 2 d
mputacional p
ones del cama interface in
obtienen consdas. En el nopondiente. Pen una interfitad de la ceregular estde las dos su
mogéneos [1 al interior
de diferententenga consta figura sigui
ctividad se dmedio dieléctde la siguient
para medio P
mpo deben nvolucra un siderando al odo en el vaPor ejemplo eface perpend
elda desde laá en la inteubcomponen
16] de la estruces conductivante para toente, se deb
debe conocerrico 1 (R1te manera:
PLM en 3D [3
modificarse,nodo en el vvacío como
acío las dos en la ecuaciódicular a . a interface, uerface, es dntes correspo
ctura con intvidades tales odos los medbe cumplir:
r el coeficien) y a partir
3].
, ya que la vacío y un nun caso espsubcompone
ón de aDe manera s
una componeecir en la P
ondientes.
erface haciaque la relac
dios. Por ejem
te de reflexiór de esto se
25
derivada nodo en la pecial PML entes son nterior, el similar en ente de la PML. Esta
el medio ción entre mplo si se
(124)
ón teórico e halla el
(125)
4
4.1
1
2
Figura 7. D
METODOLO
Coeficient
1. Se lee el Campo enCampo en
Campo en
2. Se aplica Campo enCampo enCampo en
Dominio comp
OGÍA DE CA
te de Reflex
z-
Figura
valor del cam
n P1: n P2:
n P3:
la transform
n P1: n P2: n P3:
putacional pa
ALCULO DE
xión - Méto
P3
∆z
-∆z
a 8. Método d
mpo en tres
mada de Four
= = =
ara dos med
E PARA LOS
odo de los 3
P2
z
z
de los 3 Punt
puntos, el pu
rier al valor d
ios diferente
PARÁMETR
3 Puntos
∆z
tos para cálc
unto interme
del campo en
es con termin
ROS S
P1
z+∆z
culo de S11
edio está en
n cada punto
nación PLM [
la posición z
( (
(
o.
( ( (
26
16]
.
(126) (127)
(128)
(129) (130) (131)
27
Donde:
, ∆ , ∆ (132)
, , (133)
, ∆ , ∆ (134)
Por la propiedad: se tiene:
2 cos ∆ , ,
2 cos ∆ ,
2 cos ∆ (135)
De donde:
cos ∆ (136)
Por la propiedad: se tiene:
2j sen ∆ , , (137)
Por propiedad: sen ∆ 1 ∆ reemplazando el cos ∆ se tiene:
sen ∆ 1 (138)
Entonces:
2j 1 , , (139)
El parámetro se define como:
, ,,
(140)
28
De donde: , , , (141)
Y
2j 1
2, , ,
(142)
2j 12
, 1 , (143)
Así también para la ecuación:
, ,
Se tiene:
, , , (144)
, 1 , (145)
Y despejando
,1 ,
(146)
Que reemplazando en:
2j 12
, 1 ,
Se tiene:
2j 1
2 1 ,1 ,
(147)
De donde debe despejarse , siguiendo el siguiente procedimiento:
Así:
4.2
1
Coeficient
1. Se lee el Campo enCampo enCampo en
te de Trans
Figura
valor de cam
n P1_1: n P2_1: n P3_1:
smisión - M
a 9. Método d
mpo en los tr
étodo de lo
de los 3 Punt
es puntos Pu
os 3 Puntos
tos para cálc
uerto 1:
s
culo de S11
( ( (
29
(148)
(149)
(150)
(151)
(152)
(153) (154) (155)
30
2. Leo el valor de campo en los tres puntos Puerto 2:
Campo en P1_2: ∆ (156) Campo en P2_2: (157) Campo en P3_2: ∆ (158)
3. Aplico la transformada de Fourier al valor del campo en cada punto Campo en P1_1: _ = ∆ , (159) Campo en P2_1: _ = , (160) Campo en P3_1: _ = ∆ , (161) Campo en P1_1: _ = ∆ , (162) Campo en P2_1: _ = , (163) Campo en P3_1: _ = ∆ , (164) Donde:
1. _ , ∆ , ∆ (165) 2. _ , , (166) 3. _ , ∆ , ∆ (167) 4. _ , ∆ , ∆ (168) 5. _ , , (169) 6. _ , ∆ , ∆ (170)
,,, (171)
__ _
_ __
__ _
_ __
(172)
5 EVOLUCIÓN DE PRUEBAS DURANTE EL DESARROLLO DEL SOFTWARE
5.1 Simulación de una Cavidad Resonante
5.2 Iniciacavid Los pa=2.2máxim
Malla
Simulació
almente se iad.
parámetros so286cm; b=1ma=18GHz.
do 28x13x49
ón de una C
implemento
on los siguie.016cm; c=4
Figu
Figur
9 celdas (178
Cavidad Res
el código F
entes: 4.064cm; N=
ra 10. Simula
ra 11. Frecue
836 celdas)
sonante
FDTD para
=20.000 itera
ación 1 - Cav
encias de cor
encontrar
aciones; Frec
vidad Resona
rte cavidad re
las frecuenc
cuencia mínim
ante [12]
esonante.
cias de corte
ma=6GHz; F
31
e de una
Frecuencia
32
Dimensiones celda FDTD: ∆ 816,42 , ∆ 781,53 , ∆ 829,38 . Señal de Excitación: Pulso gaussiano modulado:
2 ∆ (173)
Con frecuencia central 12 , Paso temporal máximo ∆ 1.56 , variando desde 0 hasta N,
.∆
68.27, 4 273.08 para un nivel relativo de señal en los extremos de la
banda de frecuencia de -35dB. Las frecuencias de corte de la cavidad, obtenidas en la simulación se observan en la figura 12.
5.3 Simulación de una Guía de Onda Prueba inicial para verificación de fronteras absorbentes PML
Figura 12. Guía de Onda Simulada
Dimensiones: a=3 cm, b=1.5 cm c=15 cm. Frec. Corte = c/2a=5GHz . Excitación: Fuente de corriente Carga Puntual. Frecuencia mínima 5GHz, frecuencia máxima=12GHz.. Número de celdas: en x “nx” =24 celdas; número de celdas en y “ny”=12 celdas; número de celdas en z “nz”= 120 celdas. Paso temporal ∆ = 2.405e-012 seg . Paso de la celda ∆ ∆ ∆ = 1.25mm. Cálculo de Parámetros S Método Guía de Referencia: Se extiende c=70cm y ahora nz=560 celdas. Se toma la medición en la celda 115 en z. Se hacen 3 simulaciones cambiando el número de celdas PML (10, 15 y 20 celdas). El número de Iteraciones= 1000. El coeficiente de Reflexión para este ejemplo se observa en la figura 14, en donde se verifica para diferentes valores de capas PML.
5.4 A papropaejemp
Permmáxim
Simulació
rtir de la sagación en plo:
itividad relma=15GHz.
ón de una M
imulación dedicha estruc
lativa=2.2 Número itera
Figura 13. P
Microcinta
e una microctura. La m
Figura 14
longitud eaciones=500
Parámetro S1
ocinta se hamanera de r
4. Dimension
en z=3cm, 00.
11 Guía de O
alla la excitarealizarlo se
nes Microcint
frecuencia
Onda
ación del mpresenta m
ta
a mínima=
modo fundammediante el
1GHz, f
33
mental de siguiente
frecuencia
pml=Paso Resul
5.5
ConsiSe tie
Dond
Excitadirecc
.=8.
temporal
ltados:
Densidad Microcinta
iste en hacerene una excit
de:
ación Espacición de prop
.
de corrienta
r una primeratación tempo
.
ial: Uniformeagación es e
. . nx=23
.
Figura 15.
te superfici
a simulaciónoral [6] dada
.
e para todasen z.
3 celdas. ny=
. Parámetro S
ial como ex
de una micra por:
s las celdas
=8 celdas. nz
S11 Microcin
xcitación pa
rocinta exten
bajo la cint
. z=45 celdas.
nta
ara estructu
ndiendo la lín
ta en Plano
. Número de
uras tipo
nea de alimen
xy: Para z=
34
. celdas
ntación.
(174)
(175)
=nz/2. La
Se copropadesea
Para
orre la simulaagación Esteada.
Fi
el ejemplo a
Figu
ación y se ge valor corre
gura 17. Tom
nterior la se
ura 16. Coord
guarda el valesponde a la
ma de campo
eñal esta de
Figura 18. S
denadas esp
lor del campa fuente de
o del modo f
excitación es
eñal de excit
aciales de ex
po cuando yacorriente qu
fundamental
spacio-tempo
tación microc
xcitación
a se tiene esue se va a a
para la micr
oral se mues
cinta
stablecido el aplicar a la e
rocinta
stra a continu
35
modo de estructura
uación:
36
6 MODELOS SIMULADOS
6.1 Diagrama de Flujo del Programa desarrollado
El siguiente es el diagrama de flujo que describe el algoritmo utilizado para implementar el método FDTD:
Inicio
Entrada de parámetros de geometría de la estructura
Cálculo de las dimensiones de las celdas y paso temporal
Inicialización de campos H y E en cero
Cálculo de conductividades para la región PML
Para las zonas donde hay conductor coloca a cero las constantes de las componentes tangenciales del campo eléctrico y las constantes de las
componentes normales del campo magnético
Actualización de Campos Magnéticos
Actualización de Campos Eléctricos
Inicializa el número de iteraciones n =0
n=n+1
n=número máximo de iteraciones ?
Guarda datos de campos de los puntos de observación
Escribe archivo de salida con los datos de los campos
Fin
si
no
Cálculo de las constantes de campo eléctrico y campo magnético
Aplicar Señal de Excitación Espacio Temporal
Figura 19. Diagrama de flujo de algoritmo implementado
37
6.2 Antena Parche con Mallado Uniforme
Inicialmente se trabajó con mallado uniforme y como muestra de éste se presenta la siguiente estructura (tamaño en celdas):
Figura 20. Antena Parche simulada con mallado uniforme
Frecuencia mínima de operación= 1GHz. Frecuencia máxima de operación = 20GHz. Lambda mínimo= 0.0101m. Altura del dieléctrico= 3 celdas. Permitividad el dieléctrico =2.2. Los deltas espaciales en x,y,z son: dx=0.000389m; dy=0.000265m; dz=0.0004m. Número de celdas en x, y,z: nx=60; ny=16; nz=100. La excitación está ubicada en la celda 5 en z. El delta temporal es: dt=6.4033e-013seg. La simulación corrió durante 10.000 iteraciones con un tiempo de simulación de 34.11 minutos.
El coeejempcon la7.5GH
6.3 Tamb
El pro
F
eficiente de plo tomado a referencia Hz de la refe
Antena Pa
bién se toma
ograma gene
Figura 21. Pa
reflexión se de la referen[9], como p
erencia.
arche con M
la estructur
Figura 22.
era el siguien
arámetro S11
muestra en ncia [9]. Se or ejemplo la
Mallado No
a del ejempl
Antema Parc
nte mallado n
1 de Antena
la figura 21observa sima frecuencia
Uniforme
o anterior to
che [1] simu
no uniforme:
Parche con m
1. Se comparmilitud en las
de corte en
omado de la
lada – malla
mallado unifo
ra con el resfrecuencias 7.44GHz (p
referencia [1
do no unifor
orme
sultado para de corte coropia) compa
1].
me
38
el mismo mparadas arada con
39
Figura 23. Vista xz mallado no uniforme Antena Parche
Figura 24. Vista xy mallado no uniforme Antena Parche
Frecuencia mínima de Operación= 1GHz. Frecuencia máxima= 20GHz.
LambLos dLos dλ/50)El deLa ex El pa
Se co[9]. Sla de La simtiemp Un coiterac
bda mínimo=deltas espaciadeltas espaci); dz_min= 0lta de tiempo
xcitación está
rámetro S11
Fig
ompara tambSe observa sla referencia
mulación corpo de corrida
orte de la dición 2000 se
= 0.0101129males máximoales mínimo
0.000217m (o es dt= 4.0á ubicada en
entregado p
gura 25. Pará
bién en este similitud en laa [9] que par
rrió durante a disminuye n
stribución espuede aprec
m. s en x,y,z sos en x,y,z so(≈ λ/46). ). 09172x10-13sla celda 5 e
por el progra
ámetro S11
caso con el as frecuenciara el caso de
10.000 iteracnotoriamente
spacial del cciar en la figu
on: dx=dy=don: dx_min= eg. Número n z. Punto de
ama se mues
de Antena Pa
resultado paas de corte, e mallado un
ciones con ue cuando el m
campo eléctrura 26.
z= 0.000842=0.000224m
de celdas ene lectura: ce
stra en la figu
arche con m
ara el mismoasí como quiforme, en to
n tiempo demallado es n
ico Ey bajo
2m (≈ λ/12).(≈ λ/45); dy
n x, y, z: nx=lda (17,2,12
ura 25.
allado no un
o ejemplo tomue la respuesodo el rango
e simulación do uniforme.
la cinta (en
y_min=0.00
=41, ny=9, n).
niforme
mado de la rsta se asemede las frecu
de 11.856 m
el dieléctrico
40
0198m (≈
nz=53.
referencia eja más a encias.
minutos. El
o) para la
6.4 Se sim
Frecumínimλ/12)dy_m4.106en la Puntogener
Fig
Filtro Pasa
mula la sigui
uencia mínimmo= 0.0101). Los delt
min=0.000198604x10-13segcelda 5 en z
os de lecturarado por el p
gura 26. Cort
a Bajos con
ente discont
Figu
ma de Oper129m. Los dtas espacia8m (≈ λ/50. Número de
z.
a: Puerto 1 programa se
te campo elé
n Mallado N
inuidad (filtr
ra 27. Filtro
ración= 1GHdeltas espacales mínimo0); dz_min=e celdas en x
celda (23,2muestra en
éctrico Ey (ite
No Uniforme
o pasa bajos
pasa bajos –
Hz. Frecuencciales máximos en x,y, 0.000211m
x, y,z: nx=41
2,11), puertolas figura 28
eración 1000
e
s [1]):
–mallado no
cia máxima mos en x,y,z ,z son: dx
m (≈ λ/47), ny=9, n
o 2 celda (38 y 29.
0) de Antena
uniforme
de operacióson: dx=dy
x_min= 0.0). El delta nz=53. La ex
37,2,38). El
Parche
ón= 20GHz.y=dz= 0.000000234m (≈
de tiempo xcitación est
mallado no
41
. Lambda 0842m (≈ ≈ λ/43); es dt=
tá ubicada
uniforme
42
Figura 28. Vista xz mallado no uniforme Filtro Pasa bajos
Figura 29. Vista xy mallado no uniforme Filtro Pasa bajos
Los pde lodatossuminAsí code co
parámetros Sos parámetros de la simnistró para tomo en el S2orrida de la s
F
F
S de esta estros S entre loulación hec
tal comparac21 se observimulación pa
Figura 30. Pa
Figura 31. Pa
ructura se pros resultadosha por el I
ción. Se obseva la frecuencara 5.000 iter
arámetro S11
arámetro S21
resentan en s del simuladIngeniero Iberva coincidecia de corte raciones fue
1 Filtro Pasa
1 Filtro Pasa
la figuras 30dor y la refebrahim Massencia en las para el filtrode 6.895 m
bajos
bajos
y 31. Se preerencia [1], sy, quien mfrecuencias
o pasa bajos minutos.
esenta la comasí como ta
muy amablemde corte para los 5GHz.
43
mparación mbién los mente los ra el S11. El tiempo
Un coiterac
7 S
La esfigurados racoplRT/D Para Lado=AnchoApert En el ApertApert La pe
orte de la dición 1000 se
SIMULACIÓ
structura a sa 33) con el resonadores le eléctrico uroid) con a
cada resona=16mm o de la cintatura en el laz
plano de tietura magnétitura eléctrica
ermitividad d
stribución espuede aprec
Figura 32.
ÓN ESTRUC
imular fue toplano de tieren lazo abiey magnéticltura=1.27m
dor:
=1.5mm. zo =1mm.
erra: ica: dx=4.5 ma: dx=4 mm
e ambos die
spacial del cciar en la figu
. Corte camp
CTURA MUL
omada de larra en la mitaerto (ver figuco (ver figu
mm.
mm y dy=2.5y dy=2.55m
léctricos es d
campo eléctrura 32.
po eléctrico E
LTICAPA
a referencia ad de las dos
uras 34 y 36)ura 35). Am
55mm. mm.
de 10.2.
ico Ey bajo
Ey (iteración
[4] y consis capas. Cad). En el plano
mbos dieléctr
la cinta (en
1000) de filt
ste de dos ca dieléctrico o de tierra sricos tienen
el dieléctrico
tro
capas dielécttiene en su
se tienen apeεr=10.2 (d
44
o) para la
tricas (ver superficie
erturas de dieléctrico
FrecuLamb
uencia de Opbda mínima=
peración: 800= 0.078278m
Figura 33.
Figura 34.
0MHz a 1.2GH.
Distribución
. Capa Inferio
Hz.
de capas de
or estructura
e la estructur
a multicapa.
ra. Vista Late
Unidades mm
eral
m.
45
Figura 35.. Capa Centrral estructuraa multicapa. Unidades mm
m.
46
Con ede canegatpudo El ma
el fin de impada placa etivo en el larealizar por
allado no uni
Figura 36.
lementar en n Ansoft Deboratorio pafallas en la m
forme gener
Capa Superi
el laboratoriesigner y seara luego reamáquina par
rado por el p
ior estructura
io el circuito e generaron alizar la pruera circuitos m
rograma se p
a multicapa.
impreso dellos archivos
eba de la immulticapa.
presenta en
Unidades m
modelo se rs *.ger, que
mplementació
las figuras 3
mm.
realizaron lose fueron impón. Esta prue
7 y 38.
47
s modelos presos en eba no se
F
Los dLos d(≈ λ/2El de
Figura 37. Ge
deltas espaciadeltas espacia246); dz_minlta de tiempo
eometría y m
ales máximoales mínimosn=0.0001312o es dt= 3.6
mallado no u
s en x,y,z sos en x,y,z so2m (≈ λ/5966376x10-13s
niforme estrusuperpuest
on: dx=dy=don: dx_min=). eg.
uctura multictas
z= 0.006523=0.0002499m
capa Vista xz
3m (≈ λ/12).m (≈ λ/313);
z. Todas las c
dy_min=0.0
48
capas
0003174m
Núme Con 200.0iteraciteracparámpresecoinctransy 101
ero de celdas
el delta esp000 iteracionciones la señciones hastametros S se entan los residencia en lamisión. Ya p
13MHz (figur
Figur
s en x, y,z: n
pacial mínimnes, cuya real todavía no que la señpresentan e
sultados de loas bandas d
para las 600.0a 41).
ra 38. Geome
nx=92, ny=1
mo generadoespuesta en po estaba estañal en el tieen las figuraos parámetrode frecuencia000 iteracion
etría y malla
16, nz=57.
por el maparámetros Sable en el tieempo quedóas 41 y 42. os S dados pa para el S1nes se aprec
ado no unifor
llado no unS está dada empo, con lo totalmente Con el fin d
por HFSS. C11, pero todian los dos c
rme estructu
iforme se reen las figuracual fue necestabilizada
de presentarCon 200.000 avía no se aceros de tran
ura multicapa
ealizaron inias 39 y 40. Ccesario correa. Para ester una compaiteraciones saprecian los nsmisión en 9
a Vista xy.
49
icialmente Con estas
er 600.000 caso los
aración se se aprecia
ceros de 994.2MHz
Figu
Figu
ura 39. Parám
ura 40. Parám
metro S11 es
metro S21 es
structura mu
structura mu
ulticapa para
ulticapa para
200.000 iter
200.000 iter
raciones
raciones
50
Para HFSSFracc
Figu
Figu
la respuestaS=1.011MHz.cional HFSS=
ura 41. Parám
ura 42. Parám
a de S21 (f. Error del 0.
= 3.85%.
metro S11 es
metro S21 es
figura 42) s79%. Ancho
structura mu
structura mu
se observa Fo de banda F
ulticapa para
ulticapa para
Frecuencia cFraccional sim
600.000 iter
600.000 iter
central = 1.0mulador =3.9
raciones
raciones
003MHz con98%. Ancho
51
ntra la de de banda
En la bajo
figura 43 sela cinta de la
Figura
e presenta laa capa super
43. Corte ca
a distribuciónior (en el die
ampo eléctric
n espacial deeléctrico) par
co Ey (iteraci
el campo elécra la iteración
ión 20.000) d
ctrico Ey en n 20.000.
de estructura
el plano xz
a multicapa
52
una celda
53
CONCLUSIONES
El presente proyecto se ha basado en el estudio de un gran marco teórico del método FDTD, el manejo de las fronteras absorbentes PML, la manera de excitar el circuito, como calcular los parámetros S, como implementar el mallado no uniforme, entre otros, para poder obtener los resultados presentados, también se ha invertido gran tiempo en la búsqueda y corrección de errores.
Con este trabajo se verificó el funcionamiento del Método FDTD en el simulador implementado, lo cual se realizó revisando cuidadosamente el código y corrigiendo fallas en el funcionamiento deducidas a partir de las pruebas realizadas para tal fin.
Con respecto a las estructuras multicapa se concluye que el tiempo de simulación aumenta considerablemente debido a los deltas espaciales tan pequeños. Para estas estructuras el simulador arroja resultados muy comparables a otros simuladores electromagnéticos como el caso de HFSS.
La implementación de circuitos con tecnología multicapa 3D presenta dificultades en cuanto al costo de materiales, los cuales deben ser optimizados para evitar desechar material o circuitos realizados. Es aquí donde se valora la importancia de poder contar con herramientas de simulación, como la aquí implementada en donde se puedan estimar los resultados y así proceder a una fabricación de un circuito confiable.
El presente proyecto ha sido muy enriquecedor en cuanto al conocimiento del método FDTD y su implementación con lo cual se ha adquirido experiencia gracias al gran proceso de aprendizaje que conllevó su realización.
54
ANEXO A – LA HERRAMIENTA DE SIMULACIÓN
Entrada a la herramienta: Archivo de texto llamado “datos.txt” con la siguiente información por línea:
1. Frecuencia mínima de operación. 2. Frecuencia máxima de operación. 3. Número de Objetos: Un objeto corresponde a una representación rectangular de cada uno
de los elementos que constituyen la estructura a simular. Los objetos incluyen el aire, los dieléctricos y los conductores.
4. Total tipos de Material Dieléctricos. 5. Permitividad relativa del dieléctrico tipo 1: Aire 6. Permeabilidad relativa del dieléctrico tipo 1: Aire 7. Conductividad eléctrica del dieléctrico tipo 1: Aire 8. Conductividad magnética del dieléctrico tipo 1: Aire 9. Permitividad relativa del dieléctrico tipo 2: Material x 10. Permeabilidad relativa del dieléctrico tipo 2: Material x 11. Conductividad eléctrica del dieléctrico tipo 2: Material x 12. Conductividad magnética del dieléctrico tipo 2: Material x 13. Si hay más tipos de material dieléctrico se ingresan a continuación sus propiedades (en la
misma secuencia que los dieléctricos tipo1 y 2). 14. Definición de cada objeto (consta de 7 líneas):
Línea 1: Tipo de Objeto: Si es dieléctrico se coloca el número de tipo de dieléctrico que le corresponde según sus propiedades ( líneas 5 en adelante). Si es conductor se colocan los siguientes datos:
91: Objeto que corresponde a cinta conductora de puerto 1. 92. Objeto que corresponde a cinta conductora de puerto 2. 93. Simulación solamente de microcinta. 94: Objeto que corresponde a plano de tierra. 99: Cualquier otro objeto conductor. La distribución geométrica en los ejes x, y, z es de la siguiente manera: La altura de la estructura (todas las capas) es el eje y. El plano xz corresponde a la vista superior de la geometría. La dirección de propagación es el eje z. Línea 2: Longitud en x del objeto (metros) Línea 3: Longitud en y del objeto (metros) Línea 4: Longitud en z del objeto (metros) Línea 5: coordenada inicial en x del objeto (metros) Línea 6: coordenada inicial en y del objeto (metros) Línea 7: coordenada inicial en z del objeto (metros)
55
En una misma carpeta debe estar el archivo ejecutable y el archivo de entrada de datos “datos.txt”. De esta manera se puede llamar el ejecutable “simulador.exe”, el cual empezará a correr la simulación, mostrándose una ventana de aplicación de consola durante el tiempo en que corra la simulación. Cuando se termina ésta, se generan dos archivos de texto llamados “example.txt” y “example_P2.txt”, cuyos datos son los valores de los campos en el tiempo. Estos archivos son procesados en Matlab corriendo el archivo “Parametros_3p.m” para el cálculo de los parámetros S y la visualización gráfica.
ANEXO B - CÓDIGO IMPLEMENTADO
El código fue desarrollado en C++. Para el cálculo de parámetros S y visualización gráfica se utilizó Matlab.
A continuación se presentan las rutinas más relevantes del código implementado en C++
/************************************************** //Subrutina de Lectura de Archivo con datos de entrada ***************************************************/ leer_datos(parametros_ref, nmax, min_obj_x, min_obj_y, min_obj_z, fmin, fmax, n_obj, t_mat, par_mat, objetos); /**************************************************************** Selección de las dimensiones de la celda FDTD – Llamado a funcion que genera mallado no uniforme **************************************************/ mallado(celdas_x, dx, objetos_c, npml, n_obj, min_obj_x, lambda_min, objetos, 1); // Mallado variable x mallado(celdas_y, dy, objetos_c, npml, n_obj, min_obj_y, lambda_min, objetos, 2); // Mallado variable y mallado(celdas_z, dz, objetos_c, npml, n_obj, min_obj_z, lambda_min, objetos, 3); // Mallado variable z nx = objetos_c[0][1]; ny = objetos_c[0][2]; nz = objetos_c[0][3]; dt=(sqrt(min_eps))/(c*(sqrt(1.0/(dx_min*dx_min)+1.0/(dy_min*dy_min)+1.0/(dz_min*dz_min)))); //*********************************************************************** Cálculo de Conductividades para Región PML ************************************************************************* sigma(sigx, sigmx, dx, m, nx, ny, nz, npml, tipo_obj_pml, par_mat, objetos_c, 0); sigma(sigy, sigmy, dy, m, nx, ny, nz, npml, tipo_obj_pml, par_mat, objetos_c, 1); sigma(sigz, sigmz, dz, m, nx, ny, nz, npml, tipo_obj_pml, par_mat, objetos_c, 2); /********************************************************** %Cálculo de Coeficientes de Ecuaciones de Actualización: **********************************************************/ //cálculo de constantes c: constante(ca_xy, cb_xy, nx, ny, nz, npml, dt, tipo_obj_pml, par_mat, objetos_c, n_obj, sigy, celdas_y,0,1,celdas_z); constante(ca_xz, cb_xz, nx, ny, nz, npml, dt, tipo_obj_pml, par_mat, objetos_c, n_obj, sigz, celdas_z,0,2,celdas_y); constante(ca_yz, cb_yz, nx, ny, nz, npml, dt, tipo_obj_pml, par_mat, objetos_c, n_obj, sigz, celdas_z,1,2,celdas_x); constante(ca_yx, cb_yx, nx, ny, nz, npml, dt, tipo_obj_pml, par_mat, objetos_c, n_obj, sigx, celdas_x,1,0,celdas_z); constante(ca_zx, cb_zx, nx, ny, nz, npml, dt, tipo_obj_pml, par_mat, objetos_c, n_obj, sigx, celdas_x,2,0,celdas_y); constante(ca_zy, cb_zy, nx, ny, nz, npml, dt, tipo_obj_pml, par_mat, objetos_c, n_obj, sigy, celdas_y,2,1,celdas_x); // cálculo de constantes d: constante_d(da_xy, db_xy, nx, ny, nz, npml, dt, tipo_obj_pml, par_mat, objetos_c, sigmy, celdas_y, 0,1); // constante_d(da_xz, db_xz, nx, ny, nz, npml, dt, tipo_obj_pml, par_mat, objetos_c, sigmz, celdas_z, 0,2); //
56
constante_d(da_yz, db_yz, nx, ny, nz, npml, dt, tipo_obj_pml, par_mat, objetos_c, sigmz, celdas_z, 1,2); // constante_d(da_yx, db_yx, nx, ny, nz, npml, dt, tipo_obj_pml, par_mat, objetos_c, sigmx, celdas_x, 1,0); // constante_d(da_zx, db_zx, nx, ny, nz, npml, dt, tipo_obj_pml, par_mat, objetos_c, sigmx, celdas_x, 2,0); // constante_d(da_zy, db_zy, nx, ny, nz, npml, dt, tipo_obj_pml, par_mat, objetos_c, sigmy, celdas_y, 2,1); // //*************************************************************** //Coloca a cero las constantes ubicadas donde hay Conductor PEC //Componenetes tangenciales del campo eléctrico =0 //componenetes normales del campo magnético = 0 //*************************************************************** for(i=i_ini; (i< i_fin); i++) for(j=j_ini; (j< j_fin); j++) for(k=k_ini; (k< k_fin); k++) { //Para hx: da_xy[i][j][k] =da_xy[i][j][k]*hx_cero[i][j][k]; da_xz[i][j][k] =da_xz[i][j][k]*hx_cero[i][j][k]; db_xy[i][j][k] =db_xy[i][j][k]*hx_cero[i][j][k]; db_xz[i][j][k] =db_xz[i][j][k]*hx_cero[i][j][k]; //Para hy da_yz[i][j][k] =da_yz[i][j][k]*hy_cero[i][j][k]; da_yx[i][j][k] =da_yx[i][j][k]*hy_cero[i][j][k]; db_yz[i][j][k] =db_yz[i][j][k]*hy_cero[i][j][k]; db_yx[i][j][k] =db_yx[i][j][k]*hy_cero[i][j][k]; //Para hz da_zx[i][j][k] =da_zx[i][j][k]*hz_cero[i][j][k]; da_zy[i][j][k] =da_zy[i][j][k]*hz_cero[i][j][k]; db_zx[i][j][k] =db_zx[i][j][k]*hz_cero[i][j][k]; db_zy[i][j][k] =db_zy[i][j][k]*hz_cero[i][j][k]; //Para ex ca_xz[i][j][k] =ca_xz[i][j][k]*ex_cero[i][j][k]; ca_xy[i][j][k] =ca_xy[i][j][k]*ex_cero[i][j][k]; cb_xz[i][j][k] =cb_xz[i][j][k]*ex_cero[i][j][k]; cb_xy[i][j][k] =cb_xy[i][j][k]*ex_cero[i][j][k]; //Para ey ca_yz[i][j][k] =ca_yz[i][j][k]*ey_cero[i][j][k]; ca_yx[i][j][k] =ca_yx[i][j][k]*ey_cero[i][j][k]; cb_yz[i][j][k] =cb_yz[i][j][k]*ey_cero[i][j][k]; cb_yx[i][j][k] =cb_yx[i][j][k]*ey_cero[i][j][k]; //Para ez ca_zx[i][j][k] =ca_zx[i][j][k]*ez_cero[i][j][k]; ca_zy[i][j][k] =ca_zy[i][j][k]*ez_cero[i][j][k]; cb_zx[i][j][k] =cb_zx[i][j][k]*ez_cero[i][j][k]; cb_zy[i][j][k] =cb_zy[i][j][k]*ez_cero[i][j][k]; }// fin for(i=i_ini; (i< i_fin); i++) ... //************************************************************ // Señal de excitación temporal: // f(ndt)=Acos(2*pi*fc*dt*(n-n_0))*exp(-((n-n_0)^2)/Beta^2) //************************************************************ exc = (double *)malloc((nmax)*sizeof(double)); for (n=0; n<nmax; n++) { exc[n] = cos(2*pi*fc*dt*((n+1)-n_0)) * exp(-pow(((n+1)-n_0),2)/pow(Beta,2)); } //************************************************************ //Coordenadas para excitación: c_exc_z==(2*npml+nz)/2; // c_exc_z= 5+npml; // k=c_exc_z; cont1=objetos_c[cy_tierra][5]; cont2=objetos_c[obj_exc1][5];
for(i=objetos_c[obj_exc1][4]+npml; i<=(objetos_c[obj_exc1][4]+objetos_c[obj_exc1][1]+npml); i++)
{ for(j=(cont1+npml); j<(cont2+npml); j++) //desde coory plano de tierra coord_exc[i][j][k] = 1.0;//
57
} //*********************************************************************** //Definición de Fuente de corriente que se halla con una primera simulación usando coord_exc J da tanto la distribución espacial plano x,y de la excitación como temporal Se usan fronteras PML tipo microcinta (estructura=2) El tamaño es el normal de la ínea (parametros_ref=0) Jy[i][j][n]: Jy = 2*Hx --> Se inyecta en la ecuación de ey Jx[i][j][n]: Jx =-2*Hy --> Se inyecta en la ecuación de ex //*********************************************************************** //******************************************** /* Definición de Excitación Jx, Jy */ for(i=1; i<(2*npml+nx); i++) for(j=0; j<(2*npml+ny); j++) for(n=0; n<(nmax); n++) Jy[i][j][n] = coord_exc[i][j][c_exc_z]*exc[n]; }//fin if (exc_ok==0 //*********************************************************************** //*********************************************************************** //Rutina Principal //*********************************************************************** //*********************************************************************** for (int n = 0; n < nmax; n++) { //*********************************************************************** // Actualización de Campos magnéticos //*********************************************************************** for(i=i_ini; i< i_fin; i++) for(j=j_ini; j< j_fin; j++) for(k=k_ini; k< k_fin; k++) { //hx : if(i!=i_ini) {
hxy[i][j][k] = da_xy[i][j][k]*hxy[i][j][k]- db_xy[i][j][k]*(ezx[i][j+1][k]+ezy[i][j+1][k]-ezx[i][j][k]-ezy[i][j][k]); hxz[i][j][k] = da_xz[i][j][k]*hxz[i][j][k]+ db_xz[i][j][k]*(eyz[i][j][k+1]+eyx[i][j][k+1]-eyz[i][j][k]-eyx[i][j][k]);
hx[i][j][k] = hxy[i][j][k]+ hxz[i][j][k]; if ((k==nz_copia*3/4)&&(exc_ok==0)) //Foto del campo para fuente de corriente - en primera simulación
Jy[i][j][n]=2*hx[i][j][k]; } //hy : if(j!=j_ini) {
hyz[i][j][k] = da_yz[i][j][k]*hyz[i][j][k]- db_yz[i][j][k]*(exy[i][j][k+1]+exz[i][j][k+1]-exy[i][j][k]-exz[i][j][k]); hyx[i][j][k] = da_yx[i][j][k]*hyx[i][j][k]+ db_yx[i][j][k]*(ezx[i+1][j][k]+ezy[i+1][j][k]-ezx[i][j][k]-ezy[i][j][k]);
hy[i][j][k] = hyz[i][j][k] + hyx[i][j][k]; if ((k==nz_copia*3/4)&&(exc_ok==0)) //Foto del campo para fuente de
corriente - en primera simulación Jx[i][j][n]=-2*hy[i][j][k]; } //hz: if(k!=k_ini) {
hzx[i][j][k] = da_zx[i][j][k]*hzx[i][j][k]- db_zx[i][j][k]*(eyz[i+1][j][k]+eyx[i+1][j][k]-eyz[i][j][k]-eyx[i][j][k]); hzy[i][j][k] = da_zy[i][j][k]*hzy[i][j][k]+ db_zy[i][j][k]*(exy[i][j+1][k]+exz[i][j+1][k]-exy[i][j][k]-exz[i][j][k]);
hz[i][j][k] = hzx[i][j][k] + hzy[i][j][k]; } //*********************************************************************** // Actualización de campos eléctricos //*********************************************************************** //ex: if((j!=j_ini)&&(k!=k_ini))
58
{ if(k==c_exc_z)
exz[i][j][k] = ca_xz[i][j][k]*exz[i][j][k]- cb_xz[i][j][k]*(hyz[i][j][k]+hyx[i][j][k]-hyz[i][j][k-1]-hyx[i][j][k-1]+Jx[i][j][n]*(celdas_z[k+1]-celdas_z[k-1])/2);
else exz[i][j][k] = ca_xz[i][j][k]*exz[i][j][k]- cb_xz[i][j][k]*(hyz[i][j][k]+hyx[i][j][k]-hyz[i][j][k-1]-hyx[i][j][k-1]); exy[i][j][k] = ca_xy[i][j][k]*exy[i][j][k]+ cb_xy[i][j][k]*(hzx[i][j][k]+hzy[i][j][k]-hzx[i][j-1][k]-hzy[i][j-1][k]);
ex[i][j][k] = exy[i][j][k] + exz[i][j][k]; } //ey: if((i!=i_ini)&&(k!=k_ini)) { if(k==c_exc_z)
eyz[i][j][k] = ca_yz[i][j][k]*eyz[i][j][k]+ cb_yz[i][j][k]*(hxy[i][j][k]+hxz[i][j][k]-hxy[i][j][k-1]-hxz[i][j][k-1]-Jy[i][j][n]*(celdas_z[k+1]-celdas_z[k-1])/2);
else eyz[i][j][k] = ca_yz[i][j][k]*eyz[i][j][k]+ cb_yz[i][j][k]*(hxy[i][j][k]+hxz[i][j][k]-hxy[i][j][k-1]-hxz[i][j][k-1]); eyx[i][j][k] = ca_yx[i][j][k]*eyx[i][j][k]- cb_yx[i][j][k]*(hzx[i][j][k]+hzy[i][j][k]-hzx[i-1][j][k]-hzy[i-1][j][k]);
ey[i][j][k] = eyz[i][j][k] + eyx[i][j][k]; } //ez: if((i!=i_ini)&&(j!=j_ini)) {
ezx[i][j][k] = ca_zx[i][j][k]*ezx[i][j][k]+ cb_zx[i][j][k]*(hyz[i][j][k]+hyx[i][j][k]-hyz[i-1][j][k]-hyx[i-1][j][k]); ezy[i][j][k] = ca_zy[i][j][k]*ezy[i][j][k]- cb_zy[i][j][k]*(hxy[i][j][k]+hxz[i][j][k]-hxy[i][j-1][k]-hxz[i][j-1][k]);
ez[i][j][k] = ezx[i][j][k]+ ezy[i][j][k] ; } }//fin for(i=i_ini; i< i_fin; i++)... //*********************************************************************** //Se Guardan los datos de los campos de la iteración n //***********************************************************************
campo_c1[n]=ey[c_xP1][c_yP1][c_zP1+offset]; campo_c2[n]=ey[c_xP1][c_yP1][c_zP1]; //
campo_c3[n]=ey[c_xP1][c_yP1][c_zP1-offset]; // campo_c4[n]=ey[c_xP2][c_yP2][c_zP2+offset]; // campo_c5[n]=ey[c_xP2][c_yP2][c_zP2]; // campo_c6[n]=ey[c_xP2][c_yP2][c_zP2-offset]; // } }//Fin del ciclo de iteraciones //*********************************************************************** //Escribir campo en 3 celdas a txt: // 0-> example.txt //línea normal - 3 Puntos Puerto 1 // 2-> example_P2.txt //línea normal - 3 Puntos Puerto 2 //*********************************************************************** if(exc_ok==1) escribir_campo(time1,dt,fmin,fmax,nmax,campo_c1,campo_c2,campo_c3,parametros_ref); if((exc_ok==1)&&(parametros_ref==0)) escribir_campo(time1,dt,fmin,fmax,nmax,campo_c4,campo_c5,campo_c6,2); //3 Puntos Puerto 2 //***********************************************************************
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