desarrollo e implementaciÓn de un simulador

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DESARROLLO E IMPLEMENTACIÓN DE UN SIMULADOR

ELECTROMAGNÉTICO DE DISCONTINUIDADES DE GUÍAS DE ONDA

ALFREDO RAMÍREZ MONCADA

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES PREGRADO INGENIERÍA ELECTRÓNICA

BOGOTÁ 2004

DESARROLLO E IMPLEMENTACIÓN DE UN SIMULADOR

ELECTROMAGNÉTICO DE DISCONTINUIDADES DE GUÍAS DE ONDA

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ALFREDO RAMÍREZ MONCADA

Trabajo de Grado para optar al título de Ingeniero Eléctrico

Asesor Ph.D NÉSTOR M PEÑA T

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES PREGRADO INGENIERÍA ELECTRICA

BOGOTÁ AGOSTO 2004

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TABLA DE CONTENIDO

Introducción_________________________________________________________________ 1 1. Discontinuidades en Guías de Onda _______________________________________________ 3 2. El Simulador__________________________________________________________________ 7 2.1. Estructura del Simulador ______________________________________________________ 8 2.2. Tipos de Discontinuidades______________________________________________________ 9 2.3. Especificaciones _____________________________________________________________ 12 2.3.1. Fuente de Excitación _________________________________________________ 12 2.3.2. Modos Evanescentes__________________________________________________ 13 3. Método FDTD _______________________________________________________________ 14 3.1. Formulación del Método FDTD ________________________________________________ 14 3.2. Criterio de Estabilidad________________________________________________________ 19 3.3. Consumo de Memoria ________________________________________________________ 19 3.3.1. Implementación por Cuadros _______________________________________________ 21 3.4. Condiciones de Frontera ______________________________________________________ 21 3.4.1. Interfaz entre diferentes medios _____________________________________________ 22 3.4.2. Pared Eléctrica (PEC) ____________________________________________________ 23 3.4.3. Pared Magnética (PMC) __________________________________________________ 23 3.5. Fronteras Absorbentes________________________________________________________ 24 3.6. Validación del Método________________________________________________________ 27 4. Calculo Parámetros de Repartición (S) ____________________________________________ 30 5. Algoritmo del Simulador _______________________________________________________ 35 5.1. Algoritmo FDTD orientado a Cuadros ___________________________________________ 35 5.2. Algoritmo Parámetros de Repartición (S) _________________________________________ 37 6. Simulaciones de Discontinuidades de Guías de Onda _________________________________ 38 6.1. Discontinuidades Tipo 1 ______________________________________________________ 38 6.1.1. Estructura 1 ________________________________________________________ 39 6.1.2. Estructura 2 ________________________________________________________ 40 6.1.3. Estructura 3 ________________________________________________________ 42 6.1.4. Estructura 4 ________________________________________________________ 43 6.2. Discontinuidades Tipo 2 ______________________________________________________ 45 6.2.1. Estructura 5 ________________________________________________________ 45 6.2.2. Estructura 6 ________________________________________________________ 47 6.2.3. Estructura 7 ________________________________________________________ 47

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6.2.4. Estructura 8 ________________________________________________________ 49 6.2.5. Estructura 9 ________________________________________________________ 50 6.2.6. Estructura 10 _______________________________________________________ 52 6.3. Discontinuidades Tipo 3 ______________________________________________________ 52 6.3.1. Estructura 10 _______________________________________________________ 53 6.3.2. Estructura 11 _______________________________________________________ 54 7. Conclusiones_________________________________________________________________ 56 8. Bibliografía __________________________________________________________________ 58 ANEXO A______________________________________________________________________ 58 ANEXO B______________________________________________________________________ 62 ANEXO C______________________________________________________________________ 65

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1—1 Corte transversal Guía Modo TE10................................................................................. 3 Figura 1—2 Diafragmas inductivos cuyo circuito equivalente se basa en la inclusión de una inductancia en paralelo ......................................................................................................................... 4 Figura 1—3 Diafragmas Capacitivos, cuyo circuito equivalente es una conductancia en paralelo ..... 4 Figura 1—4 Iris Rectangular y Circular que presentan comportamiento Inductivo y Capacitivo ...... 5 Figura 1—5 Escalones o Cambios de tamaño en una guia, con comportamiento similar a los diafragmas, a diferencia de un cambio de impedancia........................................................................... 5 Figura 2—1 Entradas y Salidas del Simulador .................................................................................... 7 Figura 2.1—1 Diagrama de Bloques Simulador................................................................................... 8 Figura 2.1—2 Diagrama de Bloques del Bloque principal (FDTD) ..................................................... 9 Figura 2.2—1 Algunas estructuras Tipo 1, El puerto de excitacion puede ser A o B, y puede haber combinaciones entre dimensiones ....................................................................................................... 10 Figura 2.2—2 Algunas estructuras Tipo 2 ........................................................................................ 11 Figura 2.2—3 Algunas estructuras tipo 3.......................................................................................... 11 Figura 2.3—1 Frecuancia de Excitacion apropiada entre la curva de los modos de dos guis de onda 13 Figura 3.3—1 Discontinuidad en Guia de Onda, Seccion Roja los puerto donde hacer la medición, direccion de propagación z .................................................................................................................. 20 Figura 3.3—2 Discontinuidad en Guia de Onda limitada por un campo computacional rectangular20 Figura 3.3.1—1 Discontinuidad tipo 1 implementada por Cuadros .................................................. 21 Figura 4—1 a) Corte longitudinal guia de onda con discontinuidad b) Tres puntos de medicion en la guia ..................................................................................................................................................... 31 Figura 5.1—1 Algirtimo FDTD por Cuadros .................................................................................... 36 Figura 5.2—1 Algoritmo Parámetros S.............................................................................................. 37 Figura 6.1—1 Estructura 1. Escalón en X ......................................................................................... 39 Figura 6.1—2 Magnitud Parámetro S11 de Estructura 1 ................................................................. 39 Figura 6.1—3 Magnitud Parámetro S12 de Estructura 1 ................................................................. 40 Figura 6.1—4 Estructura 2 Ampliación en x y y............................................................................... 40 Figura 6.1—5 Magnitud Parámetro S11 de Estructura 2 ................................................................. 41 Figura 6.1—6 Magnitud Parámetro S12 de Estructura 2 ................................................................. 41 Figura 6.1—7 Estructura 3. Acople medio. Disminución de Tamaño en X ...................................... 42 Figura 6.1—8 Magnitud Parámetro S11 de Estructura 3 ................................................................. 42 Figura 6.1—9 Angulo Parámetro S11 de Estructura ........................................................................ 43 Figura 6.1—10 Estructura 4. Acople medio- disminución de tamaño en y ....................................... 43 Figura 6.1—11 Magnitud Parámetro S11 de Estructura 4 ............................................................... 44 Figura 6.1—12 Angulo Parámetro S11 de Estructura ..................................................................... 44 Figura 6.2—1 Estructura 5. Desplazamiento Lateral en X................................................................ 45 Figura 6.2—2 Magnitud Parametro S11 de Estructura 5 ................................................................. 46 Figura 6.2—3 Angulo Parámetro S11 de Estructura 5 ..................................................................... 46 Figura 6.2—4 Magnitud Parámetro S11 de Estructura 6 ................................................................. 47 Figura 6.2—5 Estructura 7. Desplazamiento Superior en Y ............................................................. 48 Figura 6.2—6 Magnitud Parámetro S11 de Estructura 7 ................................................................. 48 Figura 6.2—7 Angulo Parámetro S11 de Estructura 7 ..................................................................... 49 Figura 6.2—8 Magnitud Parámetro S11 de Estructura 8 ................................................................. 50 Figura 6.2—9 Estructura 9 Desplazamiento lateral y superior ......................................................... 50 Figura 6.2—10 Magnitud Parametro S11 de Estructura 9 ............................................................... 51

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Figura 6.2—11 Angulo Parámetro S11 de Estructura 9 ................................................................... 51 Figura 6.2—12 Magnitud Parámetro S11 de Estructura 10 ............................................................. 52 Figura 6.3—1 Estructura 11 Iris Rectangular................................................................................... 53 Figura 6.3—2 Magnitud Parámetro S11 de Estructura 11 ............................................................... 54 Figura 6.3—3 Variación de la amplitud del iris rectangular desde 0 a 18mm................................... 55

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Resumen En el estudio de estructuras electromagnéticas, surge la necesidad de implementar un simulador que facilite el aprendizaje y análisis de diferentes discontinuidades de guías de onda, esta caracterización se hace modelando la discontinuidad como un sistema multipuerto a través de los parámetros [S]. En este documento se expone el desarrollo de un simulador electromagnético de discontinuidades comunes en guías de onda como cortó circuitos, cambio de tamaño de la guía de onda, iris, entre otros. El simulador se basa en el método de diferencias finitas en el tiempo (FDTD-3D), y se implementó sobre el lenguaje de programación Visual Fortran 90. Este software fue desarrollado con el objetivo de dar al usuario la posibilidad de simular diferentes discontinuidades, se construyó procurando obtener el mínimo consumo de memoria, vital para el óptimo desempeño del simulador. Se obtuvieron diferentes simulaciones de discontinuidades, como escalones en una y en dos dimensiones, y saltos de iris rectangulares con longitud variable, validando el buen desempeño del simulador.

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Introducción En la actualidad, el estudio hecho de las discontinuidades en

guías de onda es bastante extenso desde hace varias décadas atrás, y por lo tanto se tienen múltiples aplicaciones, fundamentalmente en comunicaciones. En algunos casos, las discontinuidades son un resultado inevitable de una transición mecánica o eléctrica de un medio a otro, como un acople entre dos líneas de transmisión, o como un acople entre el coaxial y una antena de microcinta [2][4][5]. En otros casos, las discontinuidades son introducidas con el propósito de alterar determinado comportamiento de un circuito, como diafragmas reactivos o filtros [8][4]. Cada discontinuidad puede ser modelada a través de un

circuito equivalente con elementos en serie y/o paralelo [4][3]. Sin embargo, el modelo de algunas estructuras puede llegar a ser muy complejo y extenso, y por lo tanto, surge la necesidad de desarrollar un simulador electromagnético capaz de simular estas discontinuidades con la mayor precisión posible, sin dejar de ser un simulador de alta eficiencia computacional. Es necesario hacer diferentes validaciones que comprueben el funcionamiento del simulador, donde cada sistema se caracteriza a través de los parámetros de repartición S [2][3][4][6]. Para simular la propagación de ondas electromagnéticas en una

estructura, actualmente encontramos diferentes métodos numéricos tanto en el dominio del tiempo como el dominio de la frecuencia. Uno de los más utilizados es el método de las diferencias finitas en el dominio del tiempo (FDTD) [1][9], el cual posee buena precisión numérica y permite simular cualquier tipo de estructuras a cualquier rango de frecuencias. Este método fue planteado en los años 60, sin embargo el alto

costo computacional (memoria) exigido al sistema, limitaba considerablemente las dimensiones de la estructura a simular. Afortunadamente, el desarrollo tecnológico y posteriores modificaciones del método, motivaron su utilización en los últimos años.

Debido a que este método permite simular cualquier tipo de estructura sin importar su forma, sus aplicaciones han sido bastantes, desde la construcción de un simulador de antenas de microcinta [9] hasta simulador de estructuras ópticas [10]. A su vez, han surgido diferentes modificaciones o métodos

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similares que mejoran su desempeño orientados a una función específica. La modificación más importante a resaltar, es la implementación de paredes absorbentes (PML) [1] que sirve para emular sistemas abiertos con un error ajustable y volumen computacional reducido. En este artículo se exponen las características físicas del simulador, algunas de las validaciones hechas tomando diferentes discontinuidades en tamaño y forma. Finalmente, se hace un análisis de los resultados obtenidos y se presentan las conclusiones.

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1. Discontinuidades en Guías de Onda Las redes de microondas casi siempre consisten en líneas de transmisión con varios tipos de discontinuidades por diseño o por necesidad, y estas pueden ser modeladas con circuitos equivalentes que consisten en elementos en serio o en paralelo, que se colocan a partir de la líneas de transmisión, estas pueden ser tanto como capacitivos como inductivos y dependen propiamente del tipo de discontinuidad. En guías de onda encontramos diferentes tipos de discontinuidades desde iris o diafragmas, saltos, hasta cambios en altura y grosor de la guía, es importante entender que clase de efecto produce al sistema la inclusión de estas discontinuidades, por lo tanto tomando una guía de onda donde solo le se propaga el modo fundamental TE10, miramos el circuito equivalente con diferentes discontinuidades.

Figura 1—1 Corte transversal Guía Modo TE10

Primero analizamos los diafragmas y saltos en una guía de onda, se hace un corte transversal a la guía justo donde tenemos los diafragmas, siendo la sección en blanco la parte no metálica.

TE10 y

x Z

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Figura 1—2 Diafragmas inductivos cuyo circuito equivalente se basa en la inclusión de una inductancia en paralelo

Figura 1—3 Diafragmas Capacitivos, cuyo circuito equivalente es una conductancia en paralelo

Diafragma Capacitivo

Diafragma Capacitivo

Zo1 Zo1

Zo1 Zo1 Diafragma InductivoSi ét i

Diafragma InductivoA i ét i

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Figura 1—4 Iris Rectangular y Circular que presentan comportamiento Inductivo y Capacitivo

En las discontinuidades mas comunes de guías de onda encontramos también, los cambios de altura o grosor , estos son muy parecidos a los diafragmas sin embargo, la guías después del diafragma cambia de tamaño, introduciendo un cambio de impedancia y la constante de propagación. De igual forma se supone una guía en la cual encontramos el modo dominante TE10

Figura 1—5 Escalones o Cambios de tamaño en una guia, con comportamiento similar a los diafragmas, a diferencia de un cambio de impedancia

Iris Circular

Iris Rectangular

Zo1 Zo1

Cambio en Altura

Puerto A

Puerto

Cambio en el Ancho

Puerto A Puerto B

x

z

y

Zo1 Zo2

Zo1 Zo2

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Por ultimo encontramos otras como: cortos, fisuras o aperturas entre guías, angostamientos o ampliación de la guía en ambas dimensiones, esquinas de 90º, acoples en T, donde cada una presenta un comportamiento específico que puede ser capacitivo o inductivo según las dimensiones de la estructura.

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2. El Simulador En la construcción del simulador electromagnético de discontinuidades de guías de onda, es necesario primero observar todo el sistema como una caja negra, donde se debe plantear las limitaciones y características que debe tener el simulador, por lo tanto lo primero a definir es el tipo de discontinuidades que este puede analizar y su diagrama por bloques (Fig. 2—1) .

Figura 2—1 Entradas y Salidas del Simulador

Como se observa, tan solo se recibe la información básica que ayuda a formar la estructura que el usuario desea analizar, y este no debe preocuparse del tipo de excitación, ni la frecuencia adecuada para evitar distorsiones, etc. Se define la salida del simulador los parámetros de repartición S, dado que estos se convierten la forma más adecuada para caracterizar el comportamiento de una estructura, aunque internamente se hallen voltajes, corrientes e impedancias, la salida se define como todos los parámetros S de la estructura que varían según el numero de puertos que la estructura posea. Como es de esperarse, este es un software que esta apenas en sus inicios, y por lo tanto se tienen algunas limitaciones, se definió por el momento estructuras con máximo dos puertos, donde se puede colocar tan solo una fuente de excitación, además el software consume la memoria directa del computador el que el programa sea ejecutado y dado que esta aumenta considerablemente con la frecuencia de funcionamiento de cada

SIMULADOR DE DISCONTINUIDAD

ES DE GUIAS DE ONDA

Discontinuidad

S11

S12

S1n

Smn

.

.

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estructura, entonces no todas las longitudes de guías de onda pueden ser simuladas, se aconseja no analizar estructuras con secciones mas pequeñas que 500um en un computador promedio (512M).

2.1. Estructura del Simulador Como es aconsejable, siempre ante cualquier problema, se plantea un diagrama de bloques interno, el cual nos expone las diferentes funciones que debe llevar a cabo el simulador El simulador se divide en cuatro secciones (Fig. 2.1—1), que determina las diferentes áreas fundamentales que lo conforman, la primera es una interfaz secilla que facilita su manejo para el usuario, la siguiente, consiste en el método numérico de Diferencias Finitas en Dominio del Tiempo (FDTD), que se encarga de simular la propagación de los campos en la estructura, el siguiente es el encargado de calcular los parámetros S a partir del valor discreto de campos Electromagnéticos en el tiempo, y por ultimo una interfaz que se encarga de presentar los datos al usuario de forma grafica.

Figura 2.1—1 Diagrama de Bloques Simulador

Como se puede observar, el proceso fundamental del simulador es el bloque correspondiente al método numérico FDTD y el cálculo de los parámetros de repartición [S]. Por consiguiente, fue conveniente utilizar Fortran 90 [11] para la construcción del simulador, el cuál es el lenguaje de

INTERFAZ DE DATOS CON EL USUARIO

SALIDA GRAFICA DE DATOS A USUARIO

CALCULO DE LOS

PARAMETROS [S]

FDTD-3D ORIENTADO

TIPO ESTRUCTURA

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programación más apropiado en el desarrollo de métodos numéricos por su manejo óptimo de memoria, su poca complejidad, manejo matricial, entre otras.

Como se menciono con anterioridad, en la interfaz con el usuario los datos ingresados son estrictamente los parámetros de simulación necesarios, sin obligar al usuario a realizar ningún calculo adicional (Fig. 2.1—2) , entonces al usuario se le pide solamente cual tipo de discontinuidad va a simular, las dimensiones de esta, y en que puerto encontramos la fuente.

Figura 2.1—2 Diagrama de Bloques del Bloque principal (FDTD)

Los parámetros de repartición S se calculan partir del valor del campo eléctrico y magnético en determinados puntos (i,j,k) para un especifico espacio de tiempo proporcionado por el método FDTD, para cada puerto en el espectro de frecuencia, y para esto es necesario hacer uso de la transformada de Fourier Discreta (DFT)[1][9] implementada dentro del mismo código.

2.2. Tipos de Discontinuidades

Se definieron tres tipos de discontinuidades en las cuales el simulador puede ser utilizado, el primer tipo los Escalones

Parámetros Constitutivos (ur, er, σ)

I N T E R F A Z

Tipo de discontinuidad

Dimensiones Exteriores

Puertos Fuentes

Valor Campo Eléctrico y Magnético Celda (i,j,k) en tiempo

F D T D 3 D

Position Puerto/Fuentes

Paso Espacial dX, dY,dZ

Paso Temporal

Amplitud, Frecuencia, Ancho de Banda de Fuente de Excitación

Ajuste/Acople Dimensión de la Discontinuidad

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[6] (Fig. 2.2—1), son las mas comunes, donde se considera un sistema con dos puertos, la unión de dos guías de onda de diferente tamaño, una entrada y una salida, Puerto A y Puerto B, la señal en guía de onda que se propaga a lo largo del eje z, donde dicha discontinuidad puede ser tanto en x como en y, considerando también todas las posibles combinaciones entre las dos dimensiones.

Figura 2.2—1 Algunas estructuras Tipo 1, El puerto de excitacion puede ser A o B, y puede haber combinaciones entre dimensiones

El segundo tipo de estructuras (Fig. 2.2—2) [6], consiste en un corrimiento en el acople de dos guías de onda del mismo tamaño, este puede ser en cualquier dirección

Puerto A

Puerto

Puerto A

Puerto

Puerto A

Puerto

Puerto A Puerto B Puerto A

Puerto

Puerto A

Puerto

Puerto A

Puerto B

Puerto A

Puerto

x

z

y

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Figura 2.2—2 Algunas estructuras Tipo 2

El último tipo de estructura son los diafragmas metálicos o los iris rectangulares (Fig. 2.2—3) [2][4][7] colocados en un corte transversal a la guía, los cuales también se pueden hacer en cualquier dirección y con cualquier longitud de iris o salto, aumentando el numero de estructuras posibles a simular.

Figura 2.2—3 Algunas estructuras tipo 3

Puerto A Puerto B

Pu

Puerto A Puerto B

Puerto A Puerto B

Puerto A Puerto B

Puerto A

Puerto B

Puerto A

Puerto B

Puerto A

Puerto Puerto A

Puerto B

Puerto

Puerto

x

z

y

x

z

y

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2.3. Especificaciones Es importante, antes de proseguir con el Método FDTD, hacer ciertas consideraciones necesarias para lograr una simulación con el menor error posible y este puede tener múltiples causas, primero que todo se mira la fuente de excitación del sistema, es bastante grave si se polariza mal la estructura, luego miramos como evitamos los modos evanescentes que se producen por la discontinuidad.

2.3.1. Fuente de Excitación La guía de onda en un sistema que puede trabajar a diferentes frecuencias, sin embargo es conveniente trabajar con un sistema monomodo, es decir que tan solo excite el modo fundamental de la guía de onda TE10 , y para eso es necesario excitar el sistema a una frecuencia mas alta que es te modo y menor que los modos superiores. Para realizar esta excitación utilizamos un pulso Gaussiano de amplitud unitaria. Sin embargo, las discontinuidades que trabajamos las conforman guías de onda con diferente tamaño, lo cual tenemos que tener en cuenta al momento de definir la frecuencia y el ancho del pulso. Calculamos entonces los modos fundamentales de cada guía y ajustamos la frecuencia entre el mayor de los modos fundamentales y el menor de los modos superiores (Fig. 2.3—1).

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Figura 2.3—1 Frecuancia de Excitacion apropiada entre la curva de los modos de dos guis de onda

En algunos casos es posible que la frecuencia de corte TE10 de una guía sea mayor a la frecuencia de corte de un modo superior de otra guía (G2_fc1>=G1_Fc2), en ese caso se toma la frecuencia del modo TE10 y se advierten posibles distorsiones al usuario.

2.3.2. Modos Evanescentes Cuando se tienen discontinuidades en la guía de onda, la pérdida de geometría del sistema hace que se generen diferentes modos, sin embargo por las características físicas de la guía de onda, estos modos son evanescentes y decrecen con la distancia, sin embargo esa distancia depende de la constante de propagación de cada guía, por lo tanto, si no queremos interferencia de parte de estos modos se debe tomar las mediciones a una distancia especifica. Para calcular esta distancia, hallamos primero la constante de propagación de los modos evanescentes, como esta es reactiva, entonces a medida que nos alejemos de la discontinuidad, su magnitud disminuye, aquí tomamos una atenuación de -120db y

FRECUENCIA

TE10

TE10

TE20

TE20

Constante de Propagación N

ormalizada

8

G1_fc1 G2_fc1 G2_fc2 G1_fc2

FrecuenciaExcitación

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calculamos la distancia para esta, cual luego se discretiza en celdas.

3. Método FDTD Con el propósito de implementar el simulador de discontinuidades en guías de inda se utilizan actualmente diferentes métodos numéricos donde encontramos métodos superficiales como el método de los Momentos; métodos volumétricos como el método de Elementos Finitos (FEM), método de las líneas de Transmisión (TLM) o el método de Diferencias Finitas en el dominio del Tiempo (FDTD); también encontramos métodos híbridos. El método mas utilizado para caracterizar discontinuidades electromagnéticas en guía de onda es el método de Elementos Finitos, el método implementado en el simulador es el método FDTD. Este método numérico, como todos los métodos de simulación de sistemas electromagnéticos, requiere en general una representación discreta de la estructura y de las ecuaciones. El método de las Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo (FDTD) es un método que permite simular cualquier tipo de estructuras a cualquier rango de frecuencias, lo que lo convierte en una poderosa herramienta de simulación, tiene como inconveniente su alto costo computacional.

3.1. Formulación del Método FDTD El método de diferencias finitas en el dominio del tiempo fue propuesto en 1966 por Kane Yee [5], su buen desempeño es debido a que discretiza directamente de las ecuaciones de Maxwell-Faraday (2a) y Maxwell-Ampére (2b) en el tiempo y en el espacio. La discretización espacial de una estructura se hace a través de pequeñas representaciones cúbicas con tamaño ajustable (Figura 3.1—1), cada representación cúbica es llamada Celda Yee (Figura 3.1—2 Celda Yee), y cada una guarda la información física del sistema.

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Figura 3.1—1 Discretización Espacial FDTD imagen tomada de S. Sario [6]

Se almacena el valor de los campos electromagnéticos en el punto o espacio especifico que cada celda representa, como también las características eléctricas del material; se da por lo tanto, la posibilidad de trabajar con materiales con perdidas o sin perdidas, con permitividades, permeabilidades y conductividades específicas, modelando cualquier tipo de sistema. Claramente, la discretización espacial a través de celdas, limita considerablemente estructuras con bordes no rectangulares. Sin embargo la precisión ajustable, dada por el tamaño de la celda (∆x, ∆y, ∆z), permite que entre mas pequeña sea ésta, el comportamiento del sistema va a hacer más aproximado al real, requiriendo mayor número de celdas para simularlo.

Figura 3.1—2 Celda Yee imagen tomada de J. Herrera

Es importante resaltar que al discretizar los valores de los tres campos eléctricos y los tres campos magnéticos es

∆x

∆y

∆z

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(3—6)

(3—5)

(3—4)

(3—3)

(3—1)

JHtE rrrr

−×∇=∂∂ε

MEt

H rrrr

−×∇−=∂∂µ

( )nxH∇r

evqE =⋅∇rr

ε

mvqHu =⋅∇rr

(3—2)

necesario utilizar números con una buena aproximación decimal. Por consiguiente, como se desea gran precisión geométrica y buena precisión numérica en la simulación de discontinuidades en guías de onda en 3 dimensiones, el consumo de recursos computacionales es bastante alto. La discretización temporal consiste en la aproximación de primer orden de las derivadas temporales de los campos eléctricos y magnéticos. Se toma la diferencia finita (3—1,2), donde se toma el valor del campo en el siguiente paso de tiempo menos el valor del campo actual sobre el intervalo de tiempo ∆t. Tanto los campos magnéticos como los campos eléctricos deben ser actualizados para cada paso de tiempo ∆t. Por esta razón, basados en las ecuaciones de Maxwell (3—3,4,5,6), la densidad de corriente de desplazamiento la se calcula a través de la diferencia entre la densidad de corriente total y la densidad de corriente de conducción eléctrica. Es decir, el siguiente campo eléctrico (En+1) se calcula tomando el campo eléctrico a (En), el flujo de los campos magnéticos que circulan a su alrededor y la corriente de conducción (J =σEn). De forma similar se calcula el campo magnético utilizando los campos eléctricos circulantes.

∆tEE

tE nn −=

∂∂ +1

∆tHH

tH nn 2/12/1 −+ −

=∂∂

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(3—8)

(3—7)( )nnn H∆tEErrrr

×∇+=+

ε1

( )nnn Eu∆tHH

rrrr×∇−= −+ 2/12/1

Para deducir el método FDTD, primero se aplica (3—1,2) a (3—3,4,5,6) y se considera un sistema homogéneo (corrientes de conducción cero) (3—7,8). El tratamiento de las cargas no es explícito en el método FDTD, por lo tanto no se consideran las otras dos ecuaciones de Maxwell (3—5,6). Debido a que cada intervalo de tiempo, se deben actualizar los campos eléctricos y los campos magnéticos, y unos dependen de los otros, es necesario calcular, en el mismo intervalo de tiempo, primero los campos Eléctricos, y luego, los campos Magnéticos (Figura 3.1—3). Por esta razón los campos son a almacenados utilizando un esquema de diferencias centrales en la celda Yee.

Figura 3.1—3 Actualización de los campos para el siguiente paso de tiempo, es requerido los dos anteriores para actualizar algún campo

Si se desea actualizar el sistema en el siguiente paso de tiempo t +∆t, primero se calcula el campo magnético Hn+1/2 con base a los valores dados En y Hn-1/2 en t, y posteriormente, se calcula En+1 con base a En y Hn+1/2. Es necesario calcular primero el campo magnético en todas las celdas, y luego el campo eléctrico. Finalmente, para discretizar el flujo campo magnético que circula alrededor de un campo eléctrico en una celda, al igual que el campo eléctrico que circula alrededor de cada campo magnético, además de utilizar los campos almacenados en la celda, es necesario tomar los campos almacenados en las celdas vecinas.

2/1−nHr 2/1+nH

t t +∆t

nEr

1+nEr

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(2

(3—13)

(3—12)

(3—11)

(3—10)⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

−∂

∂+=

−−+

zH

yH∆tEE

ny

nzn

xn

x

2/12/11

ε

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−−

∆

−+=

−+++−+++++

+

zHH

yHH∆tEE

kjin

ykjin

ykjin

zkjin

zkji

nxkji

nx

)2/1,,2/1()2/1,,2/1(),2/1,2/1(),2/1,2/1(),,2/1(),,2/1(

1

ε

rr

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂−

∂∂

+= −+

xE

yE

u∆tHH

ny

nxn

zn

z2/12/1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆−

−∆−

+= +++−+++++

−++

+

yEE

xEE

u∆tHH kji

nxkji

nxkji

nykji

ny

kjin

zkjin

z),,2/1(),1,2/1()1,2/1,(),2/1,1(

),2/1,2/1(2/1

),2/1,2/1(2/1

Figura 3.1—4 a) Cálculo de Hz b) Cálculo de Ex

Por consiguiente, se obtiene las ecuaciones para cada campo, que relaciona los campos eléctricos y los campos magnéticos, discretizando en espacio a través del rotacional. Por ejemplo, para cada celda se obtiene la ecuación de actualización del campo Ex (3—10) y para Hz (3—11) basados en las celdas aledañas (Figura 3.1—4) Tomando la aproximación de primer orden en las derivadas espaciales, las celdas de tamaño ∆x, ∆y, ∆z, y además, considerando que los campos eléctricos están referenciados al vértice inferior del cubo, y los magnéticos al centro de las caras posteriores, se obtienen las ecuaciones FDTD para Ex (2—12) y Hz (2—13). Las ecuaciones para los demás campos son calculadas de forma similar, las cuales están expuestas en el Anexo A. También en el Anexo A, se encuentran las ecuaciones de FDTD incluyendo las corrientes de conducción.

Hz Ey

Ey i+1 Ex j+1 E

CELDA (i,j,k) CELDA (i,j+1,k)

CELDA (i+1,j,k) x

z

y

(a) (b)

Hz

Ex

CELDA (i,j,k) CELDA (i,j-1,k)

CELDA (i,j,k-1)

x

z

y

Hy

Hy k-

Hz j-1

IEL1-I-04-21

19

(3—15)

(3—14)222

1111

zyxv

t

fase ∆+

∆+

∆

≤∆

o

fase

Cfv

xmax

=∆

Dado que ya tenemos la discretización espacial y temporal, es importante conocer los límites para ∆x, ∆y, ∆z y ∆t para que el método sea una buena herramienta de simulación.

3.2. Criterio de Estabilidad La estabilidad del método FDTD depende de la relación existente entre el paso espacial (∆x, ∆y, ∆z), el paso temporal (∆t) y la velocidad de fase máxima de las ondas que viajan en el sistema. Por lo tanto, el método FDTD es un método condicionalmente estable, el criterio de Courant (3—14) limita la magnitud del paso temporal. Aunque el orden del paso espacial no determinada la estabilidad del sistema, si determina la precisión del método, comúnmente este se tomarlo como (3—15) Donde ƒmax es la frecuencia máxima del sistema y Co es la relación celdas/longitud do onda, se aconseja un valor mayor o igual a 20 Celdas/Long. Como ƒmax es inversamente proporcional a λmin, entonces el paso de tiempo es directamente proporcional λmin.

3.3. Consumo de Memoria El alto consumo computacional del método FDTD es algo que se debe tener muy enguanta, en especial para hacer un simulador lo mas genérico posible, es decir, que sea capaz de modelar el mayor numero de estructuras. Si tomamos como ejemplo una discontinuidad tipo 1, donde encontramos un acople entre dos guías de diferente tamaño (Fig. 3.3—1),

IEL1-I-04-21

20

Figura 3.3—1 Discontinuidad en Guia de Onda, Seccion Roja los puerto donde hacer la medición, direccion de propagación z

Comúnmente para modelar sistemas con el método FDTD, se construye una matriz cúbica que contenga la estructura y se dejan celdas sin utilizar, en las cuales los campos se colocan en cero para que no afecte el comportamiento de la estructura al momento de actualizar los campos, y esto se debe principalmente a que las condiciones de frontera son difíciles de evaluar en lugares no geométricos con un campo computacional limitado.

Figura 3.3—2 Discontinuidad en Guia de Onda limitada por un campo computacional rectangular

Sin embargo, si este caso una tenemos una guía de gran tamaño con otra de un tamaño bastante reducido, y por lo tanto se desperdiciaría gran cantidad de celdas forzadas a cero en 3 dimensiones (Fig. 3.3—2), y esto hace que el simulador se bastante deficiente consumiendo altos recursos y con u tiempo de simulación considerable. Este consumo dependería estrictamente de la forma de la estructura a simular, si se toma una estructura multipuertos el consumo seria excesivo, y más aun cuando es una estructura abierta la cual requiere un gran campo computacional o la implementación de fronteras absorbentes que consumiría el doble de memoria. Por esta razón, fue necesario implementar de manera más práctica el almacenamiento y la actualización de campos que consiste en dividir el sistema en pequeños cuadros, evitando

b

a

c

x

z

y

x

z

y

IEL1-I-04-21

21

el despilfarro de memoria pero aumentando la complejidad del código.

3.3.1. Implementación por Cuadros Claramente, la complejidad adquirida al implementar FDTD por cuadros es justificable con la memoria que se esta ahorrando, el simulador perdió generalidad sin embargo al momento de analizar alguna estructura su consumo es ajustado al tamaño y forma de esta. Tomando una estructura de tipo 1 de escalón en x y en y, la estructura debe dividirse en seis cuadros (Fig. 3.3.1—1). Se tienen tres para cada guía de onda, con el mismo tamaño en x y y, los cuadros de los bordes de la estructura son de fronteras absorbentes, los cuales son los encargados de emular el sistema abierto evitando reflexiones de las paredes en el eje z que limitan el campo computacional, su implementación en un cuadro aparte hace que el consumo de memoria doble solo se aplique a este cuadro.

Figura 3.3.1—1 Discontinuidad tipo 1 implementada por Cuadros

El cuadro del medio de cada guía es necesario para calcular de manera correcta los parámetros de repartición S, luego y por ultimo, tenemos el cuadro de la discontinuidad, que hace el acople de las guías de onda, y su longitud en z determina la distancia adecuada para evitar distorsión por modos evanescentes,

3.4. Condiciones de Frontera

X

x

z

y

IEL1-I-04-21

22

(3—21)

(3—20)

(3—19)

o

fase

Cfv

xmax

=∆

44321

44321

44321

σσσσσ

εεεεε

+++=

+++=

+++=

uuuuu

Para implementar un simulador que sea de gran utilidad, se debe tener en cuenta todo tipo de fronteras que podamos encontrar, entre las cuales tenemos cambios de medio, paredes eléctricas y magnéticas.

3.4.1. Interfaz entre diferentes medios Para modelar estructuras con múltiples materiales, es necesario tomar en cuenta en la actualización de los campos de cada celda, los diferentes materiales de las celdas correspondientes a los campos utilizados en el cálculo, sin embargo, la construcción con cuadros se puede dividir también segmentos con el mismo material, lo cual hace que se almacene ese valor por cuadro y no por celda. Para incluir de forma adecuada la contribución de cada material se utiliza el promedio de los parámetros constitutivos en los bordes de los cuadros (3—19,20,21) (Figura 3.4.1—1). Por ejemplo sea una esquina de un cuadro, para calcular Ey (celda 4) se considera el promedio de los materiales (ε, σ) de las celdas (1,2,3,4) que varían en dirección z y en dirección x.

Figura 3.4.1—1 Multi-Medio. 4 celdas con parámetros constitutivos diferentes

Claramente se nota la importancia de las condiciones de frontera en los bordes de cada cuadro, tanto para saber la interfaz entre dieléctricos como para conocer el campo correspondiente al otro cuadro.

Ey

Hx k-1/2

Hx k+1/2

Hz i+1/2 Hz i-1/2

ε 1, u1,

ε 3,u3,σ3

ε 2, u2,

ε 4, u4,

IEL1-I-04-21

23

3.4.2. Pared Eléctrica (PEC) Cuando se tiene estructuras con materiales altamente conductores (metales), la energía debe ser reflejada casi por completo, interactuando únicamente la superficie y después de ésta no debe existir propagación del campo eléctrico, es necesario validar las condiciones de frontera donde éstas se convierten paredes del campo eléctrico. El caso ideal consiste en considera conductividad eléctrica infinita (PEC), o en otras palabras, un conductor perfecto. Para realizar las condiciones de frontera, se toman los campos eléctricos tangenciales a la superficie PEC de cada celda y como los éstos se encuentran directamente sobre la pared se hacen fácilmente cero.

Figura 3.4.2—1 Frontera PEC

Sin embargo, como se observa (Figura 3.4.2—1), en la parte inferior de la frontera se tienen dos posibilidades, la primera consiste en eliminar de la ecuación de Hz la componente Ex; la segunda consiste en direccionar a un campo de valor cero, el cual es ideal por la implementación de cuadros manejando un directorio de direccionamiento.

3.4.3. Pared Magnética (PMC) El método FDTD, además permite modelar paredes magnéticas, las cuales son muy poco comunes. De forma similar, se modela como una pared magnética perfecta y se cancelan todos los campos magnéticos tangenciales a la superficie.

IEL1-I-04-21

24

Figura 3.4.3—1 Frontera PMC

Sin embargo la mayoría de paredes magnéticas, normalmente no se encuentra en el mismo plano (Figura 3.4.3—1), por consiguiente para validar esta condición de frontera se modifica la ecuación de Ex tomando el campo magnético dentro de la pared cero (Hz j+1/2).

3.5. Fronteras Absorbentes A pesar de que este método fue implementado hace ya varias décadas, debido a su costo computacional, la simulación de discontinuidades en guías de onda requería que los puertos se extendieran considerablemente para emular un sistema abierto en los bordes y evitar reflexiones de las paredes limitantes, lo cual hacia muy dispendioso por el excesivo uso de memoria y la limitación de numero de iteraciones, lo cual hace sumamente difícil simular estas estructuras, esto se soluciono en los años 80´s, cuando fue formulada la teoría de fronteras absorbentes (PML) [5][6]. Las fronteras absorbentes disminuyeron considerablemente el tamaño de cada sistema e hizo posible la simulación de estructuras abiertas en cualquier dirección, es decir, hizo posible la simulación de estructuras sin paredes eléctricas o magnéticas limitantes, debidas a un campo computacional limitado. Actualmente, así como existen diferentes modificaciones o nuevos métodos basados en el método FDTD, también encontramos diversas formulaciones de PML. La formulación de las fronteras absorbentes consisten en utilizar las corrientes eléctricas (J =σeE) y magnéticas conducidas (M=η0σmH donde η0 es la impedancia características del medio) en las ecuaciones de Maxwell con (3—3, 4), variando las conductividades eléctricas y magnéticas

IEL1-I-04-21

25

(3—26)

(σe=σ, σm=σ´) con el propósito de degradar la onda en la dirección de propagación, para así, disminuir casi totalmente posibles reflexiones en las paredes eléctricas o magnéticas que interfieran el sistema a modelar.

yH

Et

E zxyy

xy

∂∂

=+∂

∂σε (3—22)

xHE

tE z

yxxyx

∂∂

−=+∂

∂σε (3—23)

yEH

tH x

zyyzy

∂∂

=′+∂∂

σηµ 20 (3—24)

xE

Ht

H yzxx

zx

∂∂

−=′+∂∂ σηµ 2

0 (3—25)

Como la degradación se hace en la dirección de propagación, para introducir las conductividades correctamente en las ecuaciones de Maxwell es necesario tomar la única componente magnética Hz como la suma de una componente en x y en y (3—26), obteniendo así la modificación de las ecuaciones de Maxwell para PML (3—22,23,24,25)

nzy

nzx

nz HHH +=

Como se observa, se requieren en este caso dos variables para actualizar una sola componente, cumpliendo la misma función, tanto así que si se toma σ=0 el resultado es el mismo que FDTD sin PML, pero no es conveniente aplicar dicha división a las secciones sin frontera absorbente, debido a que se duplica el tamaño de la matriz en el FDTD, demostrando la conveniencia de la implementación por cuadros La frontera PML, se establece por lo tanto, como una capa que aparece bloqueando las paredes limitantes no deseadas, degradando la onda a mediad que esta se aproxima a la pared.

IEL1-I-04-21

26

(3—22)

2

max_ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=δ

σσ xEE

(3—23)

Figura 3.5—1 Estructura con Fronteras PML, fuente en el centro imagen tomada de S Sario [8]

En la construcción del simulador se implementó una frontera absorbente con perfil parabólico [8] (Fig. 3.5—9) considerando un sistema homogéneo. Para este, se toma la conductividad como (3—22) Donde x es la distancia de la pared, δ la longitud de la capa de PML y σmax (3—23) la determina la longitud de la capa PML, el ancho de la celda Yee en la dirección de atenuación ∆x, la permitividad del medio ε, la velocidad de fase de propagación y el coeficiente de reflexión deseado Rth.

)ln(2

3max_ th

faseE R

xv∆

=δε

σ

Para introducir la atenuación adecuadamente a las ecuaciones de FDTD se toman la conductividad promedio (2—23,24) por celda como lo aconseja S Sario [6]

IEL1-I-04-21

27

(3—26)

(3—28)

(3—27)

(2—25)

(3—24)

(3—25)

ume σ

εσ

=

ieiee

εσ

εσ

εσ

=== ...2121

2

3max

3ˆ

)(1ˆ

δσσ

σσ

xx

dxxx

EEx

xEx

∆=

∆= ∫

2

3max

3ˆ

δσ

σy

yEy ∆=

Figura 3.5—2 Perfil parabólico PML

Se introduce las corrientes eléctricas y magnéticas de conducción en las ecuaciones de FDTD aplicando un ajuste exponencial para asegurar completamente estabilidad numérica para altas conductividades, se obtiene las ecuaciones FDTD-PML con perfil parabólico (ver anexo B). Es necesario, mantener la condición de acople electromagnético (3—27) para que la atenuación se efectiva, forzando a que las impedancias del medio entre PML y medio sin PML sean iguales. Además también es necesario, tener en cuenta el acople con diferentes materiales (3—28) para que la frontera absorbente funcione correctamente en la presencia de dieléctricos.

3.6. Validación del Método Antes de proseguir con las simulaciones de discontinuidades de guías de onda, es importante hacer una validación al método FDTD, y principalmente comprobar el funcionamiento de las fronteras absorbentes. Para comprobar el funcionamiento de la frontera absorbente es necesario hacer un análisis del coeficiente de reflexión Para calcularlo primero tomamos una guia de onda de longitud 1.02cm*1.02cm, colocamos una pared lateral a 5.71cm de la

De forma similar se obtiene σy (2—25)

Distancia x Long PML δ

0

IEL1-I-04-21

28

(3—29)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

ferencia

ferenciaflejadoDB E

EELogAtenuacion

Re

ReRe20

fuente, medimos muy cerca de la pared limitante con PML, aquí obtenemos la onda transmitida y reflejada Luego, tomamos la misma estructura cuya pared limitante la alejamos 1000 celdas mas, es decir a 102.5cm de la fuente, medimos en el mismo punto anterior y asi obtenemos la onda transmitida. Calculando la atenuación con (3—29) Se excitó el sistema con una fuente puntual de pulso Gaussiano Frecuencia Excitacion : 14.6 GHz Frecuencia Modo 1 Guia 1: 13.7GHz Ancho de B : 28702554.9020599 Num Iteraciones: 2000 Delta Espacial: 0.968 mm Delta Temporal : 1.864ps

IEL1-I-04-21

29

Figura 3.6—1 Coeficiente de Atenuación PML

Las fronteras absorbentes se implementaron con perfil parabólico en dos dimensiones [8]; la atenuación obtenida fue de -78dB con incidencia normal y 12 celdas de PML, suficiente para evitar problemas de distorsión de la señal por reflexiones indeseadas (Figura 3.6—2).

IEL1-I-04-21

30

(4—1)

(4—2)

(4—3)

(4—4)

(4—5)

(4—6)

(4—7)

(4—8)

(4—9)

(4—10)

(4—11)

(4—12)

4. Calculo Parámetros de Repartición (S) Posteriormente de analizar el método FDTD, se prosigue a entender teóricamente como se hallaron los parámetros de repartición, para esto se toma una guía de onda con en dirección de propagación z , donde tenemos la propagación del Modo Fundamental TE10 [5] (4—1,2,3,4,5,6)

Para el Modo dominante TE10 los campos transversales pueden escribirse (4—7,8)

Donde ey y hx, son variables que dependen exclusivamente de la posición en x y y en que se encuentren en la guía. Entonces como se tiene una onda transmitida y una onda reflejada se puede expresar como una suma de una componente en dirección positiva y otra negativa (4—9,10)

Si tomamos el mismo punto (x,y) para cualquier punto en z, podemos expresar cada campo como (4—11,12)

ZjBz

z

ZjBzx

z

ZjBy

x

z

z

z

eaxA

aawjzyxH

zyxH

eaxA

awuzyxH

zyxE

exa

Aa

zyxE

zyxE

−

−

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

=

ππεπ

ππε

β

ππε

cos),,(

0),,(

sin),,(

0),,(

sin1),,(

0),,(

10

10

10

ZjBxx

ZjByy

z

z

eyxhAzyxH

eyxeAzyxE−

−

=

=

),(),,(

),(),,(

10

10

( ) ( )

( ) ( )ZjBZjByZjBZjByx

ZjBZjByZjBZjByy

zzzz

zzzz

eIeIC

yxheAeAyxhzyxH

eVeVC

yxeeAeAyxezyxE

+−−++−−+

+−−++−−+

−=−=

+=+=

2

1010

1

1010

),(),(),,(

),(),(),,(

( ) ( )

( ) ( )ZjBZjBZjBZjByx

ZjBZjBZjBZjByy

zzzz

zzzz

eIeIKeIeIC

yxhzyxH

eVeVKeVeVC

yxezyxE

+−−++−−+

+−−++−−+

−=−=

+=+=

22

11

),(),,(

),(),,(

IEL1-I-04-21

31

(4—13)

(4—14)

(4—15)

(4—16)

(4—17)

Expandiendo nos queda (4—13,14)

Para calcular los parámetros de repartición [S] de forma acertada es necesario calcular los voltajes y corrientes en la guía para cada puerto, para ello se toman tres puntos A(x,y,z1), B(x,y,z2) y C(x,y,z3) (Fig. 4—1)

Figura 4—1 a) Corte longitudinal guia de onda con discontinuidad b) Tres puntos de medicion en la guia

Como tenemos 3 puntos tenemos un sistema de 3 ecuaciones 3 incógnitas, para hallar los voltajes a través de los campos eléctricos aplicamos (4—13)

Para cada puerto

ZjBZjBx

ZjBZjBy

zz

zz

eIKeIKzyxH

eVKeVKzyxE+−−+

+−−+

−=

+=

22

11

),,(

),,(

33

22

11

113

112

111

)3,,(

)2,,(

)1,,(

ZjBZjBy

ZjBZjBy

ZjBZjBy

zz

zz

zz

eVKeVKEzyxE

eVKeVKEzyxE

eVKeVKEzyxE

+−−+

+−−+

+−−+

+==

+==

+==

Discontinuidad TE10

TE10 A B C

Z Z

IEL1-I-04-21

32

(4—18)

(4—19)

(4—20)

(4—19)

(4—20)

(4—21)

(4—22)

(4—23)

(4—24)

(4—25)

(4—26)

(4—27)

(4—28)

(4—29)

(4—30)

(4—31)

(4—32)

De forma similar se obtienen las ecuaciones para las corrientes aplicando (4—14) Sin embargo, este es un sistema no lineal y es necesario aplicar una linealización, para la cual tomamos Z2=Z+ Z1 (4—16,19) y Z3= Z - Z1 (4—17,20)

Ahora, como tenemos la componente para Z1 constante para cada uno de los tres voltajes entonces las ecuaciones se pueden escribir como (4—25,26,27,28,29,30) Si tomamos ahora (4—31,32)

33

22

11

223

222

221

)3,,(

)2,,(

)1,,(

ZjBZjBx

ZjBZjBx

ZjBZjBx

zz

zz

zz

eIKeIKHzyxH

eIKeIKHzyxH

eIKeIKHzyxH

+−−+

+−−+

+−−+

−==

−==

−==

ZjB

ZjB

z

z

eA

eA+−

−

=

=1

( ) ( )

( ) ( ) ZjBZjBZjBZjBZZjBZZjB

ZjBZjBZjBZjBZZjBZZjB

ZjBZjB

zzzzzz

zzzzzz

zz

eVeKeVeKeVKeVKE

eVeKeVeKeVKeVKE

eVKeVKE

−−+++−−+−−−+

+−+−+−++−+−+

+−−+

+=+=

+=+=

+=

1111

1111

11

11113

11112

111

ZjBZjB

ZjBZjB

zz

zz

eVLeVLE

eVLeVLE

VLVLE

−−++

+−−+

−+

+=

+=

+=

12113

12112

12111

ZjBZjB

ZjBZjB

zz

zz

eILeILH

eILeILH

ILILH

−−++

+−−+

−+

−=

−=

−=

22213

22212

22211

ZjBZjBZjBZjB

ZjBZjBZjBZjB

ZjBZjB

zzzz

zzzz

zz

eIeKeIeKH

eIeKeIeKH

eVKeIKH

−−+++−

+−+−+−

+−−+

−=

−=

−=

11

11

11

223

222

111

IEL1-I-04-21

33

(4—33)

(4—34)

(4—35)

(4—36)

(4—37)

(4—38)

(4—39)

(4—40)

(4—41)

(4—42)

(4—43)

Entonces la ecuación (4—25,26,27) queda (4—33,34,35) Y de igual forma para las corrientes (4—36,37,38) En este sistema fácilmente encontramos solución (4—39,40,41,42,43), sustituyendo en cada ecuación, se obtiene la solución para una componente y luego nos devolvemos para hallar las otras.

AVLAVLE

AVLAVLE

VLVLE

−−+

−−+

−+

+=

+=

+=

121

113

112112

12111

AILAILH

AILAILH

ILILH

−−+

−−+

−+

−=

−=

−=

221

213

122212

22211

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )2

33222

2122

232

2132

21

2321

2332

22

2121

232

2132

21

2321

2332

22

2112

232

2132

21

2321

2332

22

2111

232

2132

21

2321

1

322

12

32

1

322

12

32

242

44

242

44

242

44

242

44

24)(

24)(

HHHHHL

HHHHHHHHHI

HHHHHL

HHHHHHHHHI

EEEEEL

EEEEEEEEEV

EEEEEL

EEEEEEEEEV

HHHHHH

EEEEEE

A

−−−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−+−−+

=

−−−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++−−−+−

=

−−−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−+−−+−

=

−−−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++−−−+−

=

++−+=

++−+=

−

+

−

+

IEL1-I-04-21

34

(4—44)

(4—45)

(4—46)

(4—47)

(4—48)

(4—49)

Ya obtenidos los voltajes y corrientes, reemplazamos las constantes asignadas y dejamos solo en termino de las constantes K1 y K2 las cuales se cancelan al dividir posteriormente los voltajes y corrientes (4—44,45,46,47,48) Donde el termino exp(-jBz*Z1) nos da el desfase del punto

central de muestreo y la distancia a la fuente de excitación, necesaria para calcular los parámetros cruzados

Una vez obtenido el voltaje y la corriente para cada puerto se procede a hallar las impedancias (V/I) y seguidamente los parámetros de repartición deseados (4—48)[3][4]

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

1

1

1

1

*2332

22

212

232

2132

21

2321

*2332

22

212

232

2132

21

2321

*2332

22

211

232

2132

21

2321

*2332

22

211

232

2132

21

2321

1

322

12

32

242

44

242

44

242

44

242

44

24)(

ln

ZjBz

ZjBz

ZjBz

ZjBz

eHHHHHK

HHHHHHHHHI

eHHHHHK

HHHHHHHHHI

eEEEEEK

EEEEEEEEEV

eEEEEEK

EEEEEEEEEV

EEEEEE

Zjz

−−

++

−

−+

−−−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−+−−+

=

−−−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++−−−+−

=

−−−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−+−−+−

=

−−−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++−−−+−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ++−+−=β

),(),(

),(),(),(

xwonxwn

xwomxwmxwmn ZV

ZVS =

IEL1-I-04-21

35

(5—2)

(5—1)fuentec JJH

tE rrrrr

−−×∇=∂∂ε

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −∆−

∆= a

tot

fuente etfb

msenJ σππ 4max )2cos()2(

r

5. Algoritmo del Simulador Como se describió con anterioridad el diagrama de bloques del sistema, es importante describir el algoritmo utilizado en el simulador en los bloques más importantes, en el método FDTD por cuadros y el de parámetros S, lo cual hace que el usuario entienda el programa sin recurrir al código y aproveche mejor las ventajas que ofrece el simulador Antes de todo, es importante examinar la introducción de la fuente en el sistema, esta se introduce como una fuente de corriente, adicionándola en las ecuaciones de Maxwell (5—1). Esta se coloca sobre el puerto A, por consiguiente la potencia encontrada en el puerto B será completamente potencia transmitida (SinB =0). Luego que se discreticen las ecuaciones de Maxwell, la fuente se introduce como un pulso Gaussiano (5—2) de magnitud unitaria donde To determina el corrimiento temporal y el ancho de banda del pulso lo determina σ . Esta fuente de corriente se aplica al campo de tal forma que se excite el modo fundamental, es decir, si tenemos una guía a lo largo de z, la fuente de corriente estaría a lo lardo del eje x con perfil impar del primer modo introducida a través del campo Ey.

5.1. Algoritmo FDTD orientado a Cuadros El algoritmo del FDTD implementado por cuadros (Fig. 5.1—1), se diseño de tal forma que la implementación de diferentes estructuras fuese relativamente sencilla, obteniendo buena eficiencia computacional y un buen número de estructuras simuladas. El bloque FDTD recibe los parámetros de simulación necesarios para ejecutar el método de diferencias finitas en el tiempo, y

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36

para esto la interfaz procesa los datos ingresados por el usuario, con los cuales se prosigue a crear las matrices que actualizan los campos Electromagnéticos para cada cuadro, según el tipo de cuadro incluyendo PML con lo cual es necesario duplicar la matriz.

Figura 5.1—1 Algirtimo FDTD por Cuadros

Una vez creadas todas las matrices e inicializadas en cero, se prosigue al ciclo principal que se ejecuta hasta cumplir el numero de iteraciones. El ciclo principal empieza con la actualización del campo magnético, pero esta debe hacerse a todos los cuadros, cuadro por cuadro, donde aquí se ejecuta en todos los bordes i+1, j+1, k+1, la condición de frontera magnética, la cual ejecuta un directorio donde se almacena la posición del siguiente campo magnético del siguiente cuadro, si se tiene al frente un conductor perfecto, entonces cancelamos los campos normales a la pared, si tenemos una pared magnética cancelamos los campos tangenciales a esta. Luego de actualizar todos los campos magnéticos de cada cuadro, se prosigue a actualizar los campos eléctricos de forma similar, en este caso se introduce la fuente y se examinan las fronteras i-1, j-1, k-1, donde se busca en un

ENTRADA

CALCULO PARAMETROS ∆x, ∆y, ∆z, ∆t,To,…

CONSTRUCCION ESTRUCTURA

C1 C2 Cn…

COND DE FRONTERA (k+1)

C1 C2 Cn …

COND DE FRONTERA (k-1)

Actualización Campo Magnético Actualización Campo Eléctrico

Cont++

Fuente

Ciclo Principal

GUARDA

PUERTOS

CELDAS

SALIDA

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37

directorio eléctrico la posición del campo correspondiente, si tenemos un conductor perfecto se cancelan los campos tangenciales. Al finalizar cada iteración, el programa consulta la posición exacta de las celdas a ser escaneadas con el propósito de calcular los parámetros S de cada puerto, estos campos son almacenados en archivos de texto para que finalmente cuando el ciclo principal halla terminado se libere espacio en memoria de las constantes y matrices utilizadas para la actualización de los campos.

5.2. Algoritmo Parámetros de Repartición (S) El algoritmo para hallar los parámetros S (Fig. 5.2—1)comienza una vez termina el ciclo principal, primero carga en memoria el valor discreto de todos los campos electromagnéticos en el tiempo almacenados previamente en disco, Luego los convierte al dominio de la frecuencia aplicando la transformada de Fourier, implementada también dentro del mismo código, una vez en el dominio de la frecuencia se utilizan las ecuaciones para calcular los voltajes y corrientes (4—44,45,46,47,48) , los cuales se almacenan en archivo texto.

Figura 5.2—1 Algoritmo Parámetros S

Finalmente, ya obtenidos los voltajes y corrientes, se calculan las impedancias, para finalmente obtener los

LECTURA

CALCULO VOLTAJE

CALCULO IMPEDANCIA

TRANSFORMADA DE FOURIER (FFT)

CALCULO PARAMETROS S

GUARDA/GRAFICA

x Puerto

CALCULO CORRIENTE

SALIDA

ENTRADA

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parámetros S (4 15). Por ultimo se almacenan también y se ejecuta el modo grafico.

6. Simulaciones de Discontinuidades de Guías de Onda Son muchas las discontinuidades de guías de onda que se pueden modelar, sin embargo, es necesario tener una fuente confiable donde validar los resultados del simulador, por eso mismo las simulaciones que mostramos a continuación dependieron de simulaciones ya hechas a determinadas estructuras. En el desarrollo e implementación del software, claramente, la mayor prioridad fue hacer una buena validación del programa, y por lo tanto se obtuvieron varias simulaciones de diferentes estructuras de los tres tipos definidos con anterioridad. Estas discontinuidades son los errores más comunes en redes de microondas, el mal acople entre guías o el cambio de tamaño de la guía pueden llegar a afectar de sobremanera una transmisión, convirtiéndose en un sistema de filtraje indeseado. Se obtienen adelante principalmente coeficientes de reflexión con la variación del ángulo y algunos coeficientes de transmisión.

6.1. Discontinuidades Tipo 1 Las discontinuidades de tipo 1 son aquellas que consisten en cambios de longitud de la guía, el programa permite simular el cambio de tamaño, se introduce la longitud de las dos guías y el tipo de acople que desea, donde se titen como opción acople inferior, central o superior para cada dimensión, dando la posibilidad al usuario de hacer múltiples combinaciones. Se simularon cuatro estructuras de tipo 1 cuyos resultados se muestran a continuación donde encontramos acoples capacitivos o inductivos, en la simulación se hicieron 20000 iteraciones para cada uno

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39

6.1.1. Estructura 1

La primera estructura es un escalón o cambio de longitud en x, donde la guía de onda se angosta formando un acople inferior inductivo

Figura 6.1—1 Estructura 1. Escalón en X

Parámetros de Simulación: Frecuencia Excitación: 12,34GHz Frecuencia Modo TE10 Guía 1: 6,56GHz Frecuencia Modo TE10 Guia 2: 9,99GHz Ancho de Banda: 0.92GHz Delta espacial: 1,213mm Delta Temporal: 2.337ps Tiempo de Simulación = 1387.109sg Se obtuvieron los parámetros S11 y S12

Figura 6.1—2 Magnitud Parámetro S11 de Estructura 1

x

z

y 2.286cm

1.02 cm

1.5cm

Manohar Deshpande[6]

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40


6.1.2. Estructura 2

En esta estructura se tiene otro cambio de longitud de la guía pero esta vez aumenta de tamaño en ambas dimensiones, es un acople centrado en x e inferior en que da un efecto capacitivo e inductivo. Se obtuvieron los parámetros de reflexión y transmisión

Figura 6.1—4 Estructura 2 Ampliación en x y y

Parámetros de Simulación Frecuencia Excitación: 12,091GHz Frecuencia Modo TE10 Guía 1: 9.4871GHz Frecuencia Modo TE10 Guia 2: 6.5456GHz Ancho de Banda: 1.01GHz Delta Espacial: 1,239mm Delta Temporal: 2.3864ps

x

z

y 1.158cm 2.29cm

0.79cm

1.02cm


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41





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42

6.1.3. Estructura 3 La siguiente estructura es similar a la estructura 1, se hace un acople medio inductivo en este caso. En este caso se expone el coeficiente de reflexión en magnitud y fase

Figura 6.1—7 Estructura 3. Acople medio. Disminución de Tamaño en X

Parámetros de Simulación Frecuencia Excitación: 14,989GHz Frecuencia Modo TE10 Guía 1: 14,988GHz Frecuencia Modo TE10 Guia 2: 6.54587GHz Ancho de Banda: 0.01GHz Delta Espacial: 1mm Delta Temporal: 1.9258ps


1cm x

z

y

2.286cm 1cm


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43

Figura 6.1—9 Angulo Parámetro S11 de Estructura

6.1.4. Estructura 4

Esta es la ultima estructura tipo 1, aquí tenemos un acople capacitivo medio, la guía se angosta en y con el modo dominante TE10. Se expone S11 magnitud y fase

Figura 6.1—10 Estructura 4. Acople medio- disminución de tamaño en y

Parámetros de Simulación Frecuencia Excitación: 6.5571GHz Frecuencia Modo TE10 Guía 1: 6.5571GHz Frecuencia Modo TE10 Guia 2: 6.5571GHz Ancho de Banda: 0.01GHz Delta Espacial: 2.283mm Delta Temporal: 4.3969ps

2.286cm

1cm 0.6cm x

z

y


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44


Figura 6.1—12 Angulo Parámetro S11 de Estructura



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45

6.2. Discontinuidades Tipo 2 Las estructuras de tipo dos consisten en una guía del mismo tamaño, pero que sufren un corrimiento, y acople como tal es recubierto con metal, logrando un escalón pero sin cambio de longitud de la guía. Se simularon 6 estructuras de este tipo, algunas muy similares a otra pero variando su tamaño para bajar la banda de operación. Para simular estas estructuras el usuario ingresa la longitud de la guía y el corrimiento en x y en y el cual debe ser menor a tamaño de la guía. De igual forma que las anteriores estructuras para las de tipo 2 se emplearon 20000 iteraciones.

6.2.1. Estructura 5 En esta estructura dos guías iguales se acoplan con un corrimiento en x izquierdo, este corrimiento genera una discontinuidad inductiva. En este caso, como las dos guías son iguales los modos de propagación son los mismos

Figura 6.2—1 Estructura 5. Desplazamiento Lateral en X

Parámetros de Simulación Frecuencia Excitación: 6.5571GHz Frecuencia Modo TE10 Guía : 6.5571GHz Ancho de Banda: 0.01GHz Delta Espacial: 2.283mm Delta Temporal: 4.3969ps Se expone el parámetro de reflexión, su magnitud y respectivo ángulo

2.286cm 2.286cm

1cm 1cm 1.02cm

x

z

y

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46

Figura 6.2—2 Magnitud Parametro S11 de Estructura 5

Figura 6.2—3 Angulo Parámetro S11 de Estructura 5



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6.2.2. Estructura 6 La estructura 6, por forma es exactamente igual que la estructura 5, sin embargo sus dimensiones son mayores aumentaron las dimensiones a 7.21cm*3.4cm cada guía con corrimiento lateral de 1.02cm, pasa de trabajar en la banda X a la banda S. Se expone la magnitud del coeficiente de reflexión Parámetros de Simulación Frecuencia Excitación: 3.243GHz Frecuencia Modo TE10 Guía: 2.079GHz Ancho de Banda: 0.45GHz Delta Espacial: 4.617mm Delta Temporal: 8.8928ps


6.2.3. Estructura 7

Se tiene aquí otra estructura tipo 2, en este caso el desplazamiento es superior, lo cual causa un acople capacitivo


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48

Figura 6.2—5 Estructura 7. Desplazamiento Superior en Y

Parámetros de Simulación Frecuencia Excitación: 6.5571GHz Frecuencia Modo TE10 Guía: 6.5571GHz Ancho de Banda: 0.01GHz Delta Espacial: 2.283mm Delta Temporal: 4.3969ps Se presenta el coeficiente de reflexión en magnitud y fase


1cm 1cm

2.286cm 2.286cm

0.4cm x

z

y


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6.2.4. Estructura 8 Esta estructura es de la misma forma que la estructura 7, pero aumentando las dimensiones a 7.21cm*3.4cm cada guía con corrimiento superior de 0.63cm, para trabajar en banda S acople capacitivo. Parámetros de Simulación Frecuencia Excitación: 3.243GHz Frecuencia Modo TE10 Guía 1: 2.079GHz Ancho de Banda: 0.45GHz Delta Espacial: 4.617mm Delta Temporal: 8.8928ps Se expone la magnitud del parámetro S11


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50


6.2.5. Estructura 9

Combinación de las estructuras anteriores, se tiene un desplazamiento lateral y superior, siendo un poco menos capacitivo que la estructura anterior.

Figura 6.2—9 Estructura 9 Desplazamiento lateral y superior

Parámetros de Simulación Frecuencia Excitación: 3.243GHz Frecuencia Modo TE10 Guía 1: 2.079GHz Ancho de Banda: 0.45GHz Delta Espacial: 4.617mm Delta Temporal: 8.8928ps

1cm

1cm

2.286cm

2.286cm

x

z

y

0.3cm

0.3cm


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51

Figura 6.2—10 Magnitud Parametro S11 de Estructura 9




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52

6.2.6. Estructura 10 La ultima estructura de tipo 2, de forma análoga que las

anteriores estructuras, esta consiste en la misma estructura 9, pero trabajado en banda S, aumentando las dimensiones a 7.21cm*3.4cm cada guía, con corrimiento superior de 0.63cm y lateral 1.02cm

Parámetros de Simulación Frecuencia Excitación: 3.243GHz Frecuencia Modo TE10 Guía 1: 2.079GHz Ancho de Banda: 0.45GHz Delta Espacial: 4.617mm Delta Temporal: 8.8928ps

Se expone La magnitud del coeficiente de reflexión


6.3. Discontinuidades Tipo 3


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53

Se simularon dos estructuras, una que consiste en iris rectangular, con una abertura bastante reducida y amplitud o grosor de iris cero, la otra simulación es otro iris rectangular más grande pero en este caso se varía la longitud de iris Son las discontinuidades más comunes, y a su vez su implementación es relativamente sencilla, consiste en introducir una pared metálica en una guía (un diafragma o iris), sin embargo, en una de las estructuras simuladas se tiene un espesor de iris variable lo cual hace necesario trabajar con una guía auxiliar que va a determinar la amplitud del iris rectangular, lo cual a su vez complica su implementación pero mejora eficiencia computacional. Los modos dominantes son en este caso los de la guía principal dado que no consiste en un acople entre guías sino la inserción de un iris rectangular. En ambos casos se produce un efecto capacitivo e inductivo, y se presenta la magnitud del parámetro de reflexión

6.3.1. Estructura 10

Figura 6.3—1 Estructura 11 Iris Rectangular

Para modelar este tipo de sistema, se modela como dos discontinuidades escalón en cascada, tres guías de onda, donde se simulo la guía de la mitad con la longitud mínima (1 celda = 0.824mm). Cuya frecuencia de excitación fue 22.2Ghz.

x

zy0.3cm

0.4cm

0.7cm

0.2cm

0.3cm

1cm

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54


6.3.2. Estructura 11

Como ultima estructura a simular, se tomo una de la misma forma con una guía de tamaño 12.7mm*12.7mm, un salto de 9.5mm*9.5mm, un corrimiento en de 1.5cm en x y ninguno en y. Sin embargo en este caso, tomamos el grosor del salto como variable de 0 a 18 y muestreamos a 9Ghz Como se puede observar el coeficiente de reflexión aumenta si aumentamos el ancho del salto, y esto se debe porque el modo transmitido por la guía al entrar al salto se convierte en un modo evanescente, cuyo valor disminuye con la distancia, y por lo tanto el coeficiente de transmisión disminuye tamben con el grosor del salto.


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Figura 6.3—3 Variación de la amplitud del iris rectangular desde 0 a 18mm

Cada estructura simulada se trató de tomar con la mayor precisión posible, especialmente al momento de su implementación, donde la falta de simetría producía perdidas adicionales al sistema. Los parámetros de repartición fueron sobrepuestos en la misma simulación con los resultados teóricos dados por Manohar Deshpande [6] para las estructuras de tipo 2 y Sheng-Li Lin[7] para las estructuras tipo 3.


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7. Conclusiones Se realizo un extenso trabajo de validación del simulador, obteniendo buenos resultados con error no superior del 3% para diferentes estructuras clasificadas en tres tipos diferentes.

Se observa como en algunos casos las discontinuidades introducidas producen un efecto de filtro pasa altas o pasa bajas en una señal, exponiendo la gran utilidad del simulador para el diseño estructuras.

Como se pudo observar, se realizo un importante trabajo previo, antes de empezar a solucionar el problema planteado inicialmente, se distribuyo por diagrama de bloques, observando las limitaciones y ventajas del simulador, como la estricta geometría, el consumo mínimo de memoria y los tamaños adecuados para cada bloque

Se observó la practicidad que posee el lenguaje de programación Visual Fortran 90 para la elaboración de este software comparado con el trabajo previo hecho en el lenguaje de programación C++.

Se conservó un alto nivel de generalidad por la variedad de estructuras que se pueden analizar consumiendo la menor memoria posible, lo cual se vuelve de gran importancia cuando trabajamos con las diferencias finitas en el dominio del tiempo en tres dimensiones (FDTD-3D).

Se espera que en futuro se pueda realizar una interfaz llamativa al usuario con recursos gráficos que permitan al usuario el uso cómodo del simulador. El simulador implementado basado en el método de diferencias finitas en el dominio del tiempo (FDTD-3D), se convierte en una clara herramienta de análisis y diseño de discontinuidades en guía de onda.

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57

Agradecimientos Especial agradecimiento aquellos que día a día me apoyan con su amor y compresión, a aquellos que están siempre a mi lado

en las buenas y en las malas, aquellos que miran el corazón de las personas antes de juzgar. A todos Mil gracias!

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8. Bibliografía [1] Allen Taflove, Susan C. Hagnes. “Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method” . Artech House. Boston London [2] Collin, Robert E. Field theory of guided waves. New York. McGraw-Hill, 1960. [3] Marcuvitz Nathan. Waveguide handbook. Massachusetts Institute of Technology. Boston Technical Publishers, 1964 [4] David M Pozar, “Microwave Engineering” Addison Wesley Publishing Company University of Massachussettsat Amberst 1990 [5] Balanis, Constaine A. Antenna Theory: analysis and design. 2nd Ed. New York : John Wiley & Sons, c1997 [6] Manohar D. Deshpande “Analysis of Waveguide Junction Discontinuities Using Finite Element Method” ViGYAN, Inc., Hampton, Virginia July 1997 [7] Sheng-Li Lin, Le-Wei Li, “A Unified Modal Analysis of Off-Centered Waveguide Junctions With Thick Iris” 9, septiembre 2001 IEEE Microwave and wireless [8] “The Generalized Scattering Matrix” Vicente E. Boria Esbert Electromagnetismo Avanzado [9] Sergio Aukusti Sario “FDTD Modelling for wireless communication antennas and materials”. Griffith University September 2002 [10] “Simulación de Microcavidades Ópticas usando FDTD” Alfredo Ramírez Moncada enero 2004 [11] “Fortran 90/95 explained” Michael Metcalf, John Reid. Oxford University Press, 1999 [12] Free software from Alan J. Miller. Logistic Regression; Miscellaneous other code; Applied Statistics Algorithms http://users.bigpond.net.au/amiller ANEXO A

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Ecuaciones FDTD-3D para Materiales Homogéneos Se considera la siguiente notación para facilitar el entendimiento de todas las ecuaciones de FDTD .

( )( )( )( )( )( ) ),,(,,

),,(,,),,(,,

),,(,,

),,(,,),,(,,

21

21

21

21

21

21

21

21

21

kjiHkjiH

kjiHkjiHkjiHkjiH

kjiEkjiE

kjiEkjiEkjiEkjiE

zz

yy

xx

zz

yy

xx

=++

=++=++

=+

=+=+

La deducción de las ecuaciones de FDTD se expone en el capitulo 3.1, la fuente es introducida como una corriente eléctrica o magnética, y simplemente se agrega a la ecuación deseada. Campo Eléctrico

( ) ( )),,1(),,( )1,,(),,(),,(),,( 211 kjiHkjiHCkjiHkjiHCkjiEkjiE n

znzEy

nx

nxEy

ny

ny −−+−−+=+

Donde

zkjit

ykjitC

rrEx ∆

∆−=

∆∆

=),,(

C),,( 0

Ex20

1 εεεε

ykjit

xkjitC

rrEz ∆

∆−=

∆∆

=),,(

C),,( 0

Ez20

1 εεεε

Campo magnético:

( ) ( )),,()1,,(),,(),1,(),,(),,( 211 kjiEkjiECkjiEkjiECkjiHkjiH n

ynyHx

nz

nzHx

nx

nx −++−++=+

( ) ( )),,(),,1( ),,()1,,(),,(),,( 211 kjiEkjiECkjiEkjiECkjiHkjiH n

znzHy

nx

nxHy

ny

ny −++−++=+

( ) ( )),,(),1,(),,(),1(),,(),,( 211 kjiEkjiECkjiEkjiECkjiHkjiH n

ynyHz

ny

nyHz

nz

nz −++−++=+

( ) ( ))1,,(),,( C ),1,(),,(),,(),,( Ex211 −−+−−+=+ kjiHkjiHkjiHkjiHCkjiEkjiE n

yny

nz

nzEx

nx

nx

( ) ( )),1,(),,(),,1(),,(),,(),,( 211 kjiHkjiHCkjiHkjiHCkjiEkjiE n

xnxE

ny

nyE

nz

nz −−+−−+=+

xkjit

zkjitC

rrEy ∆

∆−=

∆∆

=),,(

C),,( 0

Ey20

1 ε ε ε ε

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60

( ) 2/11 ++ −×∇+= nnnn EH∆tEErrrrr

σε

( ) nnnn HEu∆tHH σ ′−×∇−= −+

rrrr2/12/1

( ) ( )22

12/1

2/12/1 nnn

nnn EEEHHH

rrr

rrr −

=−′=′

++

−+

σσσσ

Donde

zkjiuut

ykjiuutC

rrHx ∆

∆=

∆∆

−=),,(

C),,( 0

Hx20

1

xkjiuut

zkjiuutC

rrHy ∆

∆=

∆∆

−=),,(

C),,( 0

Hy20

1

ykjiuut

xkjiuutC

rrHx ∆

∆=

∆∆

−=),,(

C),,( 0

Hx20

1

Ecuaciones FDTD-3D para Materiales no Homogéneos En este caso se incluyen las corrientes de conducción en las ecuaciones de Maxwell, y para discretizar esto la mejor forma es utilizar el promedio del campo Incluyendo este término se obtiene las ecuaciones FDTD no homogéneas Campo Eléctrico

( ) ( ))1,,(),,( C ),1,(),,(),,(),,( Ex2101 −−+−−+=+ kjiHkjiHkjiHkjiHCkjiECkjiE n

yny

nz

nzEx

nxEx

nx

( ) ( )),,1(),,( )1,,(),,(),,(),,( 2101 kjiHkjiHCkjiHkjiHCkjiECkjiE n

znzEy

nx

nxEy

nyEy

ny −−+−−+=+

( ) ( )),1,(),,(),,1(),,(),,(),,( 2101 kjiHkjiHCkjiHkjiHCkjiECkjiE n

xnxEz

ny

nyEz

nzEz

nz −−+−−+=+

Donde

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆−

=

),,(2),,(1

),,( C

),,(2),,(1

),,(

),,(2),,(1

),,(2),,(1

0

0Ex2

0

01

0

00

kjitkjizkji

t

kjitkjiykji

t

C

kjitkji

kjitkji

C

r

r

r

rEx

r

rEx

εεσεε

εεσεε

εεσ

εεσ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆−

=

),,(2),,(1

),,( C

),,(2),,(1

),,(

),,(2),,(1

),,(2),,(1

0

0Ey2

0

01

0

00

kjitkjixkji

t

kjitkjizkji

t

C

kjitkji

kjitkji

C

r

r

r

rEy

r

rEy

εεσεε

εεσεε

εεσ

εεσ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆−

=

),,(2),,(1

),,( C

),,(2),,(1

),,(

),,(2),,(1

),,(2),,(1

0

0Ez2

0

01

0

00

kjitkjiykji

t

kjitkjixkji

t

C

kjitkji

kjitkji

C

r

r

r

rEz

r

rEz

εεσεε

εεσεε

εεσ

εεσ

IEL1-I-04-21

61

Campo Magnético

( ) ( )),,()1,,(),,(),1,(),,(),,( 211 kjiEkjiECkjiEkjiECkjiHCkjiH n

ynyHx

nz

nzHx

nxHxo

nx −++−++=+

( ) ( )),,(),,1( ),,()1,,(),,(),,( 211 kjiEkjiECkjiEkjiECkjiHCkjiH n

znzHy

nx

nxHy

nyHyo

ny −++−++=+

( ) ( )),,(),1,(),,(),1(),,(),,( 211 kjiEkjiECkjiEkjiECkjiHCkjiH n

ynyHz

ny

nyHz

nzHzo

nz −++−++=+

Donde

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆′+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆′+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆′+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆′−

=

),,(2),,(1

),,( C

),,(2),,(1

),,(

),,(2),,(1

),,(2),,(1

0

0Hx2

0

01

0

00

kjiuutkji

zkjiuut

kjiuutkji

ykjiuut

C

kjiuutkji

kjiuutkji

C

r

r

r

rHx

r

rHx σσσ

σ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆′+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆′+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆′+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆′−

=

),,(2),,(1

),,( C

),,(2),,(1

),,(

),,(2),,(1

),,(2),,(1

0

0Hy2

0

01

0

00

kjiuutkji

xkjiuut

kjiuutkji

zkjiuut

C

kjiuutkji

kjiuutkji

C

r

r

r

rHy

r

rHy σσσ

σ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆′+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆′+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆′+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆′−

=

),,(2),,(1

),,(C

),,(2),,(1

),,(

),,(2),,(1

),,(2),,(1

0

0Hz2

0

01

0

00

kjiuutkji

ykjiuut

kjiuutkji

xkjiuut

C

kjiuutkji

kjiuutkji

C

r

r

r

rHx

r

rHz σσσ

σ

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62

ANEXO B Ecuaciones FDTD-3D con PML Para la formulación de PML, es necesario tomar cada componente como la suma de una componente ortonormales.

),,(),,(),,( kjiHkjiHkjiH nzy

nzx

nz +=

Insertando el perfil parabólico en el FDTD-3D se obtiene Campo Eléctrico

( )( )),1,(),,(),,(),,(

),1,(),,(),,(),,(

101

101

kjiHkjiHCkjiECkjiE

kjiHkjiHCkjiECkjiEnzx

nzxExz

nxzExz

nxz

nzy

nzyExy

nxyExy

nxy

−−+=

−−+=+

+

( )( )),,1(),,(),,(),,(

),,1(),,(),,(),,(

201

201

kjiHkjiHCkjiECkjiE


nzxEyx

nyxEyx

nyx

nzy

nzyEyz

nyzEyz

nyz

−−+=

−−+=+

+

( )( )),,1(),,(),,(),,(

),,1(),,(),,(),,(

201

201

kjiHkjiHCkjiECkjiE


nzxEzy

nzyEzy

nzy

nzy

nzyEzx

nzxEzx

nzx

−−+=

−−+=+

+

Donde

ykjikji

tkji

Ckji

tkjiC

y

r

y

Exr

xEx ∆

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆−=

),,(),,(

),,(exp1

),,(),,(

exp 01

00 σ

εεσ

εεσ

ykjikji

tkji

Ckji

tkjiC

y

r

y

Exr

xEx ∆

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆−=

),,(),,(

),,(exp1

),,(),,(

exp 01

00 σ

εεσ

εεσ

ykjikji

tkji

Ckji

tkjiC

y

r

y

Exr

xEx ∆

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆−=

),,(),,(

),,(exp1

),,(),,(

exp 01

00 σ

εεσ

εεσ

ykjikji

tkji

Ckji

tkjiC

y

r

y

Exr

xEx ∆

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆−=

),,(),,(

),,(exp1

),,(),,(

exp 01

00 σ

εεσ

εεσ

ykjikji

tkji

Ckji

tkjiC

y

r

y

Exr

xEx ∆

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆−=

),,(),,(

),,(exp1

),,(),,(

exp 01

00 σ

εεσ

εεσ

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63

2

3max

3ˆ

δσσ

xx

x ∆= 2

3max

3ˆ

δσσ

yy

y ∆=

xkjikji

tkji

kjitkji

Cx

r

r

yEy

x

∆

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆−−

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆−=

),,(),,(

),,(exp1

C),,(

),,(1exp 0

Ey20

0 σεε

σ

εεσ

Tomando , conductividades que se incrementan a medida que se aleja de la pared, e introduciendo por lo tanto en las ecuaciones de FDTD un perfil parabólico [6]. Es necesario además, hacer una rotación de constantes en el campo eléctrico para ajustar las dos componentes a las dos componentes magnéticas.

Campo Magnético

( )),,(),1(),,(),,( 11 kjiEkjiECkjiHCkjiH n

ynyHzx

nzHzxo

nzx −++=+


ynyHzx

nzHzxo

nzx −++=+


ynyHzx

nzHzxo

nzx −++=+


ynyHzx

nzHzxo

nzx −++=+


ynyHzx

nzHzxo

nzx −++=+

( )),,(),1,(),,(),,( 11 kjiEkjiECkjiHCkjiH n

xnxHzy

nzHzyo

nzy −++=+

Donde

tkjixkjiuu

tkji

Ckjiuu

tkjiCx

r

x

Hzxr

xHzx ∆′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆∆′

−−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆′−=

),,(),,(

),,(exp1

),,(),,(exp 0

10

0 σ

σσ

tkjixkjiuu

tkji

Ckjiuu

tkjiCx

r

x

Hzxr

xHzx ∆′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆∆′

−−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆′−=

),,(),,(

),,(exp1

),,(),,(exp 0

10

0 σ

σσ

tkjixkjiuu

tkji

Ckjiuu

tkjiCx

r

x

Hzxr

xHzx ∆′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆∆′

−−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆′−=

),,(),,(

),,(exp1

),,(),,(exp 0

10

0 σ

σσ

tkjixkjiuu

tkji

Ckjiuu

tkjiCx

r

x

Hzxr

xHzx ∆′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆∆′

−−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆′−=

),,(),,(

),,(exp1

),,(),,(exp 0

10

0 σ

σσ

tkjixkjiuu

tkji

Ckjiuu

tkjiCx

r

x

Hzxr

xHzx ∆′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆∆′

−−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆′−=

),,(),,(

),,(exp1

),,(),,(exp 0

10

0 σ

σσ

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),,(),,( 00 kjiuukji r

x

r

x σεεσ ′

=

),,(),,( 00 kjiuukji r

y

r

y σεεσ ′

=

tkjiykjiuutkji

kjiuutkji

Cy

r

y

r

yHzy ∆′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆∆′

−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆′−=

),,(),,(),,(

exp1C

),,(),,(

exp 0Hzy1

00 σ

σσ

Y para que se obtenga perfecto acople es necesario

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ANEXO C Manual Usuario El uso de este programa se hará respetando las normas de derechos de autor correspondientes, y además, el uso de este software es exclusivamente bajo su propia responsabilidad ante cualquier daño o perjuicio que este pueda ocasionar a su equipo. Constantes Al inicio del programa se definen las constantes necesarias para el funcionamiento, el usuario puede modificar estas a su gusto, teniendo las limitaciones fisicas del computador donde este software sea ejecutado. Las constantes importantes son: Lpml Indica el numero de celdas del PML en las fronteras absorbentes IterMax Indica el numero de iteraciones maximo del sistema permitidas NmaxPuertos Indica el numero maximo de puertos en el sistema Lz la distancia z a lado y lado para la caracterización del sistema PI El valor numerico del numero PI MUO El valor numerico de la permeavilidad en el vacio, normalmente se actualiza todo con el mismo valor, pero se tiene l a posibilidad de variar la estructura de forma especial EPO El valor numerico de la permitividad en el vacio, normalmente se actualiza todo con el mismo valor pero se tiene la posibilidad de variar la estructura de forma especial Variables Las varibles que son ingresadas por el usuario Total Indica el numero de iteraciones del sistema Estruc Indica el tipo de Estructura (1, 2 o 3)

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DisconX Indica el acople en X (angostura izquierda=1, angostura central=2, angostura derecha=3, amplitud izquierda=4, amplitud central=5, amplitud derecha=6) DisconY Indica el acople en Y (angostura izquierda=1, angostura central=2, angostura derecha=3, amplitud izquierda=4, amplitud central=5, amplitud derecha=6) Xtot Vector que contiene en cada fila el valor de amplitud en X en metros de cada puerto Xtot Vector que contiene en cada fila el valor de amplitud en Y en metros de cada puerto También encontramos algunas variables que el programa calcula pero a su vez se pueden modificar MUR Indica la permeabilidad relativa de cada cuadro EPR Indica la permitividad relativa de cada cuadro DimX Longitud en X en celdas por puerto DimY Longitud en X en celdas por puerto DimZ Longitud en X en celdas por puerto Puerto Indica a que puerto pertenece cada cuadro Tipo cuadro Indica a que tipo (PML en x de izquierda a derecha, PML en x de derecha a izquierda, PML en y de izquierda a derecha, PML en y de derecha a izquierda, PML en z de izquierda a derecha, PML en z de derecha a izquierda, FDTD normal) NN Número de Cuadros de la Estructura CuaPuerto Indica el puerto correspondiente a cada cuadro PosPuerto Indica los cuadros correspondiente a cada puerto CuaFuente Indica el cuadro donde encontramos la Fuente PosFuente Indica la posición de la Fuente dentro del cuadro Fuente Sigma Variable utilizada para calcular el ancho de banda del pulso gaussiano en el tiempo

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To Desplazamiento temporal del pulso gaussiano dT Paso Espacial dX Paso Temporal en X dY Paso Temporal en Y dZ Paso Temporal en Z Celx Relación de Precisión celdas por longitud de onda en X, su valor por defecto es 20 Cely Relación de Precisión celdas por longitud de onda en Y, su valor por defecto es 20 Celz Relación de Precisión celdas por longitud de onda en Z, su valor por defecto es 20 Ztot longitud total de todo el sistema en Z en metros m1, m2, n1, n2 Determinan los modos de propagación para el calculo de las frecuencias Fmin1, Fmin2 Frecuencia del modo Fundamental TE10 para cada guía F Frecuencia de Excitación BW Ancho de Banda del Pulso Fsig Maxima Frecuencia del sistema incluyendo el ancho de banda Alpha, radio Variables para calcular la distancia en Z para la cancelación de los modos evanescentes Funcionamiento Simulador Dentro de la precaria interfaz del simulador se hace fácil su comprensión y análisis de estructuras, para introducir datos estos se hacen directamente sobre el código, lo cual se considero por facilidad del usuario de no repetir una y otra vez los datos de simulación. Estos datos deben ser introducidos en la función Parámetros(), esta al principio exige los datos necesarios dados por el usuario, los cuales son el tipo de estructura, la discontinuidad requerida, las

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dimensiones de la estructura en metros, la permitividad relativa y la permeabilidad relativa. Los tipos de discontinuidades siguen el orden planteado al inicio del documento, se tienen las de estructura de tipo 1, los escalones que se dividen en las dimensiones X y Y por separado, el acople entre las dos guías de onda lo determina DisconX y DisconY respectivamente variando de 1 a 6, cuando tenemos Estructuras de tipo 2, DisconX varia de 1 a 3, donde 1 se hace movimiento lateral izquierdo, 2 ningún movimiento, y 3 movimiento derecho, y de forma similar lo hace DisconY. En el tipo 3, es similar a las de tipo 1, considerando primero una angostamiento y posteriormente un ampliamiento de guía. En el caso que la longitud del iris sea cero, es decir la introducción de la pared metálica sobre una cela, se debe tomar como angostamiento inferior, centrado o superior para cada dimensión. El simulador genera diferentes archivos de texto, los archivos EkPr.txt, son los campos Eléctricos muestreados donde k es el numero muestreado de los tres campos necesarios para caracterizar el sistema, aquí E1 es el punto central, E2 el posterior y E3 el de adelante, donde r es el Puerto al cual pertenecen estos campos, este el almacenamiento se hace para mas adelante liberar memoria y además el usuario pueda mirar el comportamiento de los campos en ese punto. De igual manera que el campo eléctrico también se generan HkPr.txt para el campo Magnético. Posteriormente se obtienen los archivos S11a.txt, S11p.txt, S12a.txt, S12p.txt, S21a.txt, S21p.txt, S22a.txt, S22p.txt los cuales representan la magnitud y fase de cada parámetros de repartición del sistema. Por ultimo genera un archivo Parámetros.txt, donde el usuario puede encontrar los diferentes parámetros de simulación desde las frecuencias de modos dominantes, la frecuencia de excitación, la longitud en número de celdas de cada cuadro del sistema hasta el tiempo de simulación Se recomienda no introducir letras ni datos incoherentes puesto que el programa puede generar errores o peor aun obtener simulaciones erróneas. Cada variable que no es de tipo entero tiene precisión real de 8 bytes

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Manual Programador Como el código que no ha sido de mi total autoría, no se publicaran las funciones auxiliares Plot () y FFT (), dado que este derecho de autor debe ser respetado. Si desea adquirir la función Plot () la cual grafica el vector suministrado ejecutando el modo grafico de Fortran, debe obtener la autorización del Ingeniero Ibrahim Massy (Universidad de los Andes), sin embargo el programa imprime los resultados en de archivos de texto, los cuales el usuario puede ver fácilmente en Excel o Matlab. La función FFT, realiza la transformada de Fourier de un vector complejo en varias direcciones, para adquirirla consulte la referencia [12], freeware por Mark Olesen and John Beale. Es importante, antes de tratar de entender el código, primero que todo entender el funcionamiento de todo el sistema, y para esto se recomienda leer con cuidado el algoritmo del sistema presentado en el Capitulo 5 de este documento, tanto para el FDTD como para la caracterización del sistema El sistema se divide en funciones claramente evidentes, comenzamos a analizar el sistema con la estructura principal ! Archivo FDTD.f90 Primero se definen las constantes y variables que se van a compartir con cada subrutina, creándose las necesarias para calcular los campos Empieza el Programa Utiliza las librerias use variables Almacena las variables utilizadas por todo el sistema use singleton Almacena las diferentes FFT use dfport Necesaria para el modo Grafico use dflib Manejo de Archivos call Inicializacion Crea espacio en Memoria e Inicializa todo en cero o con su valor por defecto call Parametros Calcula los parámetros de simulación automáticamente a partir de los datos dados por el usuario, calcula además información acerca de la estructura que finalmente imprime en parámetros.txt.

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Construye la estructura, distribución de tamaños en las matrices que representan el campo Electrico y Magnetico para cada cuadro, se cuadran las condiciones de frontera Empieza el Ciclo Principal dT hasta que se cumpla el numero de iteraciones de t=0 a T=Total do while (t<Ttotal) t=t+1 Calculo del campo Magnetico cuadro a cuadro, donde para esto llama la función Cuadro M que para cada cuadro aplica las ecuaciones de FDTD y utiliza las condiciones de Frontera, tanto con paredes metálicas u otros medios como entre otros cuadros haciendo el respectivo acople Cont=1 do while (Cont<NN+1) NCuadro=Cont call CuadroM Cont=Cont+1 end do De igual forma que para el campo magnético, se calcula el campo Eléctrico con CuadroE, se hace un ciclo que vaya de cuadro a cuadro actualizando el cuadro aplicando las ecuaciones de FDTD correspondientes a cada cuadro Cont=1 do while (Cont<NN+1) NCuadro=Cont call CuadroE Cont=Cont+1 end do En el campo eléctrico se introduce el valor de la fuente como corriente de conducción reseñado en el Capitulo 5 call fuente Posteriormente de actualizar todo el ciclo, se recurre a la función Spar, la cual almacena el valor del campo eléctrico y magnético en los tres/seis puntos necesarios para caracterizar el sistema, esto se hace cada ciclo !call Spar Termina el ciclo, imprimiendo el número de iteración y liberando el espacio utilizado por las matrices de cada cuadro

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print *,t end do call Inicializacion Una vez liberado el sistema de memoria se llama a la función Salida, la cual calcula para cada Puerto los voltajes y corrientes, y finalmente los parámetros de repartición call Salida Aquí termina, calculando el tiempo de simulación y cerrando todos los archivos utilizados end program fdtd Como se puede observar, las funciones de más importancias son CuadroE y CuadroM, por lo tanto vamos a entrar a analizar en detalle una de estas pues ambas son muy similares. CuadroM Empieza llamando las variables globales, esta función que hace el ciclo de actualización al cuadro asignado donde cada cuadro posee las características físicas deseadas !Cuadro <1 PML en direccion Z Pared Inicial !Cuadro <2 PML en direccion Z Pared Final !Cuadro <3 PML en direccion Y Pared Inicial !Cuadro <4 PML en direccion Y Pared Final !Cuadro <5 PML en direccion X Pared Inicial !Cuadro <6 PML en direccion X Pared Final !Cuadro <7 FDTD con Mallado Maximo X,Y,Z !Cuadro <8 FDTD con Mallado Preciso y determinado subroutine CuadroM use variables Además de las globales, se utilizan algunas constantes para calcular el cambio de medio entre interfaces y también necesarias para aplicar las fronteras absorbentes. MUX = MUR(NCuadro)*MU0 EPY = EPR(NCuadro)*EP0 MUY = MUR(NCuadro)*MU0 EPZ = EPR(NCuadro)*EP0 MUZ = MUR(NCuadro)*MU0 EPX = EPR(NCuadro)*EP0 Primero que todo vamos mirar los cuadros correspondientes al PML

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Se define las constantes de PML para obtener perfil parabolico GXEmax = 0.01 GYEmax = 0.01 GZEmax = 0.01 GZE = GZEmax*Lpml/(3*dZ) GZM = GZE*MUZ/EPZ GYE = GYEmax*Lpml/(3*dY) GYM = GYE*MUY/EPY GXE = GXEmax*Lpml/(3*dX) GXM = GXE*MUX/EPX En este caso se utiliza una matriz del doble de dimensión ! Hl(i,j,k,1) -> Hxy ! Hl(i,j,k,2) -> Hxz ! Hl(i,j,k,3) -> Hyz ! Hl(i,j,k,4) -> Hyx ! Hl(i,j,k,5) -> Hzx ! Hl(i,j,k,6) -> Hzy Las dimensiones para un PML que atenúa en z, que es el más común serian !En X -> DimX !En Y -> DimY !En Z -> Lpml donde Z es la direccion de la guia Hacemos un ciclo que recorra el cuadro, dado que se tienen las longitudes de cada cuadro, en este caso se utilizan constantes auxiliares que se encargan de transmitir las condiciones de frontera de cada cuadro EauxX=0 EauxY=0 EauxZ=0 Sello=0 Como las ecuaciones de PML consultan para el campo magnético aquellos campos eléctricos con el siguiente índice entonces es importante mirar los casos limites superiores donde el k+1, j+1 e i+1 no existen en el cuadro Entonces si miramos el limite k if(k==DimZ(NCuadro)) then Se indica que condición de frontera se busca en el directorio de acoples entre cuadros, y se ejecuta la condición de Frontera Directorio M sello = 1 call DirectorioM

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Este ubica E(k+1) el cual se encuentra en el cuadro Siguiente y lo guarda en Eaux, si este corresponde a pared metálica retorna el valor de cero Luego se calcula el promedio de campos para los parámetros constitutivos EPZ = ((EPR(NCuadro)+EPR(NCuadroSz))/2)*EP0 MUZ = ((MUR(NCuadro)+MUR(NCuadroSz))/2)*MU0 Finalmente se almacena en constantes el cálculo de la circulación de los campos y el valor anterior del campo, necesarios para el calculo de la FDTD Hxz0= Hl(i,j,k,2,Puerto(NCuadro)) Hyz0= Hl(i,j,k,3,Puerto(NCuadro)) Hxz = (EauxY-El(i,j,k,3,Puerto(NCuadro))-El(i,j,k,4,Puerto(NCuadro))) Hyz = (EauxX-El(i,j,k,1,Puerto(NCuadro))-El(i,j,k,2,Puerto(NCuadro))) Si no estamos en un limite se almacena la circulación de los campos obtenida dentro del mismo cuadro else EPZ = EPR(NCuadro)*EP0 MUZ = MUR(NCuadro)*MU0 Hxz0= Hl(i,j,k,2,Puerto(NCuadro)) Hyz0= Hl(i,j,k,3,Puerto(NCuadro)) Hxz=(El(i,j,k+1,3,Puerto(NCuadro))-El(i,j,k,3,Puerto(NCuadro)) +El(i,j,k+1,4,Puerto(NCuadro))-El(i,j,k,4,Puerto(NCuadro))) Hyz=(El(i,j,k+1,1,Puerto(NCuadro))-El(i,j,k,1,Puerto(NCuadro)) +El(i,j,k+1,2,Puerto(NCuadro))-El(i,j,k,2,Puerto(NCuadro))) Las condiciones de frontera se calculan de forma independiente para cada, dimensión incluyendo así regiones donde tenemos varios limites Luego de obtener todos los valores de los campos necesarios para calcular la FDTD, se prosigue a calcular las constantes de atenuación de PML, en este caso atenuación sobre Z p_k=Lpml+1-k <- si PML Izquierdo p_k=k <- si PML Derecho GZE = GZEmax*((p_k*1.0)**3)/(3*dZ*(Lpml*Lpml)) GZM = GZE*MUZ/EPZ Se actualizan las constantes del sistema, aplicando la atenuación producida por PML como estamos en Z, se aplica a

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Hxz0, Hxz, Hyz0, Hyz, y para las demas se aplican las constantes de FDTD normales Hxy0=Hxy0*1 Hxy =Hxy *-dT/(MUY*dY) Hxz0=Hxz0*DEXP(-GZM*dT/MUZ) Hxz =Hxz *(1 - DEXP(-GZM*dT/MUZ))/(GZM*dZ) Hyz0=Hyz0*DEXP(-GZM*dT/MUZ) Hyz =Hyz *-(1 - DEXP(-GZM*dT/MUZ))/(GZM*dZ) !Hxz0=Hxz0*1 !Hxz =Hxz *dT/(MUZ*dZ) !Hyz0=Hyz0*1 !Hyz =Hyz *-dT/(MUZ*dZ) Hyx0=Hyx0*1 Hyx =Hyx *dT/(MUX*dX) Hzx0=Hzx0*1 Hzx =Hzx *-dT/(MUX*dX) Hzy0=Hzy0*1 Hzy =Hzy *dT/(MUY*dY) Y por ultimo se completan las Ecuaciones de FDTD Hl(i,j,k,1,Puerto(NCuadro)) = Hxy0 + Hxy Hl(i,j,k,2,Puerto(NCuadro)) = Hxz0 + Hxz Hl(i,j,k,3,Puerto(NCuadro)) = Hyz0 + Hyz Hl(i,j,k,4,Puerto(NCuadro)) = Hyx0 + Hyx Hl(i,j,k,5,Puerto(NCuadro)) = Hzx0 + Hzx Hl(i,j,k,6,Puerto(NCuadro)) = Hzy0 + Hzy De forma similar, pero aplicando la atenuación de PML, se construye la pared de PML en Y y en X, y en combinaciones. Para los cuadros sin PML se utilizan la mitad de constantes, dado que no se tiene atenuación y no se parten los campos el proceso es menos costos y mas sencillo de implementar. Su implementación sigue la misma estructura revisando las condiciones de frontera. El Cuadro Eléctrico es muy similar al cuadro magnético a diferencia de que la condición de frontera se hace para i=0, j=0, k=0 puesto que las ecuaciones de FDTD se buscan los campos magnéticos anteriores, para este caso se utilizan constantes adicionales para cancelar los campos tangenciales a las superficies metálicas La fuente es un pulso gaussiano, cuyo valor se actualiza para cada iteración, y se introduce cuando se calcula el campo eléctrico en cada cuado. Las funciones Directorio almacenan las direcciones a través de condicionales, donde estas hacen el acople adecuado entre cuadro y cuadro, DirectorioM lo hace

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hacia delante mientras que DirectorioE lo hace hacia atrás de forma independiente. Por ultimo miremos la función salida, que calcula los parámetros S Escanea para cada puerto los campos almacenados Pt=1 do while (Pt<NmaxPuertos) w=1 do while (w<Ttotal) read (1+10*(Pt),*) E1(w) read (2+10*(Pt),*) E2(w) read (3+10*(Pt),*) E3(w) read (4+10*(Pt),*) H1(w) read (5+10*(Pt),*) H2(w) read (6+10*(Pt),*) H3(w) w=w+1 end do Aplica la Transformada de Fourier a cada campo E1=(fft(E1)) E2=(fft(E2)) E3=(fft(E3)) H1=(fft(H1)) H2=(fft(H2)) H3=(fft(H3)) Y aplica las Ecuaciones de Voltaje y Corriente Vmas(2+Pt,:) = (csqrt(((E2+E3)**2)-4*(E1**2)))*(E2+E3)**2-(4*(E1**2)-(E2+E3)**2)!*((( (((E2+E3)**2)- 4*(E1**2))+E2+E3)/(2*E1+0.0000001))**(-(Pt-1)*(DimZ(2)+DimZ(3)-20)/(2*lz)))) Vmen(Pt,:) = (csqrt(((E2+E3)**2)-4*(E1**2)))*(E2+E3)**2+(4*(E1**2)-(E2+E3)**2)!*((( (((E2+E3)**2)- 4*(E1**2))+E2+E3)/(2*E1+0.0000001))**(+(Pt-1)*(DimZ(2)+DimZ(3)-20)/(2*lz)))) Imas(Pt,:) = (((csqrt(((H2+H3)**2)-4*(H1**2))*(H2+H3))**2-(4*(H1**2)-(H2+H3)**2)))!*((( (((H2+H3)**2)- 4*(H1**2))+H2+H3)/(2*H1+0.0000001))**(-(Pt-1)*(DimZ(2)+DimZ(3)-20)/(2*lz)))) Imen(Pt,:) = -(((csqrt(((H2+H3)**2)-4*(H1**2))*(H2+H3))**2+(4*(H1**2)-(H2+H3)**2)))!*((( (((H2+H3)**2)- 4*(H1**2))+H2+H3)/(2*H1+0.0000001))**(+(Pt-1)*(DimZ(2)+DimZ(3)-20)/(2*lz))))

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Pt=Pt+1 end do Luego de hacerlo para cada puerto se calculan los parámetros S S11 = (abs(Vmen(1,:)*csqrt(Vmen(1,:)/Imen(1,:))))/(abs(Vmas(1,:)*csqrt(Vmas(1,:)/Imas(1,:)))) S12 = (abs(Vmen(1,:)*csqrt(Vmen(1,:)/Imen(1,:))))/(abs(Vmen(2,:)*csqrt(Vmen(2,:)/Imen(2,:)))) S21 = (abs(Vmas(2,:)*csqrt(Vmas(2,:)/Imas(2,:))))/(abs(Vmas(1,:)*csqrt(Vmas(1,:)/Imas(1,:)))) S22 = (abs(Vmas(2,:)*csqrt(Vmas(2,:)/Imas(2,:))))/(abs(Vmen(2,:)*csqrt(Vmen(2,:)/Imen(2,:)))) Y finalmente, se almacena y se grafica su magnitud y fase Para ver más con detalle el código, acudir al CD anexo donde se encuentra, también documentado y organizado para que sea fácil su interpretación, modificación y utilización.

desarrollo e implementaciÓn de un simulador

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