diseño de filtros de guía de onda sintonizables en la
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Diseño de Filtros de Guía de Onda Sintonizables en la Región de Frecuencia de Ondas
Milimétricas
TESIS
Maestría en Ciencias en Sistemas Electrónicos con Especialidad en Telecomunicaciones
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey
Por
David Isaí Rodríguez Rodríguez
Mayo 2012
Diseño de Filtros de Guía de Onda Sintonizables en la Región de Frecuencia de Ondas Milimétricas
Por
M.A.Sc. David Isaí Rodríguez Rodríguez
TESIS
Presentada a la División de Mecatrónica y Tecnologías de Información
Este trabajo es requisito parcial para obtener el grado académico de Maestro en Ciencias en Sistemas Electrónicos con Especialidad en Telecomunicaciones
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey
Campus Monterrey
Monterrey, N.L. Mayo de 2012
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Reconocimientos
Brindo mi sincero agradecimiento para mi profesor y asesor de Tesis, Dr. Gabriel Campuzano
Treviño, por su ayuda e incondicional guía a lo largo de este trabajo de investigación. Se aprecian
en gran medida sus invaluables consejos, enseñanzas, dedicación, profesionalismo y paciencia, ya
que sin su apoyo no hubiera sido posible la realización de esta Tesis.
Doy mi reconocimiento extendido también para los sinodales miembros del comité de Tesis, Dr.
Graciano Dieck Assad y Dr. Gerardo Castañón Ávila, por sus valiosas sugerencias, comentarios y
retroalimentaciones que fortalecieron esta Tesis de maestría.
Gracias a mis profesores, compañeros de clase y amigos que me acompañaron en todo momento
durante mis estudios de posgrado.
Agradezco profundamente a mi familia y en especial a mis padres, David Rodríguez Aranda y Elvira
Rodríguez Rico, quienes me han dado su confianza, apoyo moral, consejo, y ejemplo de vida, para
seguir adelante en cada una de las etapas de mi carrera académica y profesional pero sobre todo
en mi vida personal.
DAVID ISAI RODRIGUEZ RODRIGUEZ
Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Monterrey
Mayo 2012
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Diseño de Filtros de Guía de Onda Sintonizables en la Región de Frecuencia de Ondas
Milimétricas
M.A.Sc. David Isaí Rodríguez Rodríguez
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey
Asesor de la tesis: Ph.D. Gabriel Campuzano Treviño
En esta Tesis se presenta una nueva metodología de diseño para el desarrollo de filtros de guía de
onda plano E sintonizables por medio de Sistemas Microelectromecánicos MEMS con aplicación
en las telecomunicaciones inalámbricas que operan en la región del espectro de ondas
milimétricas. La creciente demanda de ancho de banda en los servicios de comunicaciones
inalámbricas de alta capacidad así como la apertura comercial y flexibilidad de implementación de
estos sistemas en las bandas de frecuencia de 60 GHz y 70/80 GHz nos alienta a investigar nuevas
formas para diseñar filtros pasivos de ondas milimétricas.
Con el propósito de generar una metodología efectiva para el diseño de filtros basados en guías de
onda rectangulares se desarrolló un programa en MATLAB capaz de calcular la respuesta en
frecuencia en transmisión y reflexión de la estructura total del filtro plano E. El elemento clave
para la formulación de la herramienta de diseño es el análisis matemático y numérico del
problema de la guía de onda bifurcada estudiado previamente por Mittra y Lee en [1] con la
Técnica de Ajuste de Modos e Inversión Directa, en un esfuerzo para encontrar un conjunto de
ecuaciones para los coeficientes o amplitudes modales de las ondas electromagnéticas que
interactúan en la discontinuidad generada por un septo infinitamente largo e infinitesimalmente
delgado. La implementación numérica de este conjunto de amplitudes modales en combinación
con el método de Matriz de Dispersión Generalizada GSM presentado en [2] nos permiten
describir de manera precisa el fenómeno de propagación de los campos incidentes y excitados
dentro de las diferentes cavidades resonantes del filtro.
En nuestra rutina de diseño se realiza la síntesis de una respuesta objetivo en transmisión del tipo
Chebyshev para obtener los inversores de impedancia de un prototipo con elementos distribuidos
de acuerdo a las fórmulas de Rhodes introducidas en [35]. Este proceso de síntesis nos permite
obtener excelentes medidas iniciales para los septos y el espaciamiento necesario entre estos
mismos dentro de la estructura del filtro. Las dimensiones de septos y resonadores del diseño
inicial son utilizadas como punto de partida en un proceso de optimización en donde se minimiza
el error cuadrático medio entre la respuesta actual del filtro y la respuesta objetivo Chebyshev.
Una vez que contamos con un diseño optimizado nuestra herramienta computacional nos
permitió llevar a cabo un estudio de sintonización, en donde se propone realizar variaciones de la
permitividad relativa del dieléctrico y de las longitudes efectivas de los septos y resonadores que
componen la estructura del filtro de guía de onda por medio de MEMS. Las curvas del coeficiente
de transmisión y reflexión en potencia para el modo dominante se presentan en cada una de
las etapas de diseño y se cuantifica el error absoluto y relativo del ancho de banda, frecuencia
central y nivel de rizado para sustentar la validez del diseño final.
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INDICE GENERAL
1. Introducción .............................................................................................................................. 10
1.1. Definición del problema .................................................................................................... 15
1.2. Planteamiento del problema ............................................................................................ 15
1.2.1. La técnica de acoplamiento de Modos ..................................................................... 15
1.2.2. La Matriz de Dispersión Generalizada GSM .............................................................. 16
1.2.3. El problema de Sintonización .................................................................................... 17
1.3. Alcance y Limitaciones ...................................................................................................... 17
1.4. Motivación ........................................................................................................................ 19
1.4.1. Transmisión alámbrica vs. Inalámbrica ..................................................................... 19
1.4.2. Escenario de las comunicaciones de alta capacidad. ................................................ 20
1.4.3. Oportunidad de Alta Capacidad Inalámbrica ............................................................ 22
1.4.4. Sistemas inalámbricos de 60 GHz .............................................................................. 24
1.4.5. Sistemas inalámbricos en la ventana de 70/80 GHz ................................................. 24
1.5. Objetivo ............................................................................................................................. 25
1.5.1. Objetivos Específicos ................................................................................................. 25
1.6. Hipótesis ............................................................................................................................ 26
1.7. Justificación ....................................................................................................................... 26
1.8. Contribución ...................................................................................................................... 26
1.9. Organización de la Tesis .................................................................................................... 27
2. Antecedentes y Marco Teórico ................................................................................................. 29
2.1. Introducción ...................................................................................................................... 29
2.2. La Guía de Onda Bifurcada: Formulación .......................................................................... 29
2.3. La Guía de Onda Bifurcada: Solución por el Método de Inversión Directa ....................... 34
2.3.1. Solución de un Conjunto Truncado de Ecuaciones ................................................... 34
2.3.2. Solución de un Conjunto Infinito de Ecuaciones ....................................................... 36
2.4. La Matriz de Dispersión Generalizada ............................................................................... 42
2.4.1. Uso de la Matriz de Dispersión Generalizada GSM ................................................... 43
2.4.2. Proceso de Cascada de Matrices GSM de un filtro Plano E ...................................... 46
3. Implementación Numérica y Análisis de Resultados ................................................................ 52
3.1. Ecuaciones de Continuidad de una Unión Ideal ................................................................ 52
7
3.2. Características en Transmisión y Reflexión de una Unión Ideal ....................................... 58
3.3. Características de Reflexión de un Septo de Longitud Finita ............................................ 61
3.4. Respuesta de un Filtro Plano E de Bilateral no Sintonizable ............................................. 62
3.5. El Problema de la Guía de Onda Parcialmente Rellena de Dieléctrico ............................. 64
3.6. Parámetros de Reactancia y Circuito Equivalente de un Septo Bilateral .......................... 65
3.7. Método de Síntesis para Filtros de Guía de Onda Plano E ................................................ 67
4. Logrando la Sintonización ......................................................................................................... 73
4.1. Método de Sintonización con Variaciones de la Permitividad Relativa del Dieléctrico para
un Filtro Plano E Bilateral en la banda V de Frecuencia ................................................................ 73
4.2. Método de Sintonización por Variaciones de Longitud de Efectiva de Septos y
Resonadores .................................................................................................................................. 77
4.2.1. Análisis del Diseño Inicial .......................................................................................... 79
4.2.2. Análisis del Diseño Optimizado ................................................................................. 82
4.2.3. Análisis del Diseño con Ajuste de Septos .................................................................. 85
5. Conclusiones y Trabajo Futuro ................................................................................................. 91
6. Referencias ................................................................................................................................ 92
7. Apéndice Programa MATLAB .................................................................................................... 95
7.1. Programa principal ............................................................................................................ 95
7.2. Script para la Síntesis y obtención de Inversores de Impedancia ..................................... 97
7.3. Script para la obtención de la respuesta en Tx y Rx del Filtro Bilateral ............................ 98
7.4. Cálculo de Constantes de Propagación ............................................................................. 99
7.5. Calculo de Parámetros de Dispersión de una Unión Simple Bilateral ............................. 100
7.6. Matrices de Transmisión en las Regiones I, II y III ........................................................... 102
7.7. Obtención de las Matriz de Dispersión de un Septo de Longitud Finita ......................... 103
7.8. Cascada de Septos y Resonadores .................................................................................. 104
7.9. Cálculo de Distancias de Septos y Resonadores con Método de Bisección .................... 104
7.10. Inversores de impedancia y distancia de septos ......................................................... 105
7.11. Búsqueda de frecuencias ............................................................................... 106
7.12. Cálculo de Error de Rizado .......................................................................................... 106
7.13. Función implementada en la Optimización ................................................................ 107
7.14. Variables en el proceso de Optimización .................................................................... 107
Vita…...............................................................................................................................................108
8
INDICE DE FIGURAS
Figura 1. 1 Configuraciones típicas de un filtro de guía de onda plano E ......................................... 12
Figura 1. 2 Caracterización de un septo (a) Geometría (b) Representación matricial ...................... 13
Figura 1. 3 Derivación de los parámetros de dispersión (a) Un solo septo (b) Cascada de septos... 14
Figura 1. 4 Tendencia de las comunicaciones inalámbricas de alta capacidad................................. 21
Figura 1. 5 Bandas de frecuencia de uso comercial en los Estados Unidos ...................................... 21
Figura 1. 6 Atenuación en bandas de frecuencia de ondas milimétricas .......................................... 21
Figura 2. 1 La guía de onda bifurcada de placas paralelas ................................................................ 29
Figura 2. 2 Parámetros de Dispersión de una Unión......................................................................... 42
Figura 2. 3 Unión simple de guía de onda no homogénea................................................................ 43
Figura 2. 4 Geometría auxiliar para la Figura 2.3 .............................................................................. 44
Figura 2. 5 Fenómeno de múltiples reflexiones para dos uniones con .................................. 45
Figura 2. 6 Vista desde arriba de un septo bilateral.......................................................................... 46
Figura 2. 7 Derivación de la GSM de un septo bilateral de longitud finita ....................................... 47
Figura 2. 8 Proceso de cascada de dos septos y un resonador ......................................................... 48
Figura 3. 1 Guía de onda bifurcada y campo incidente en la región A ....................................... 52
Figura 3. 2 Guía de onda bifurcada y campo incidente en la región B ....................................... 55
Figura 3. 3 Guía de onda bifurcada y campo incidente en la región C ....................................... 57
Figura 3. 4 Guía de onda bifurcada con t=0 ...................................................................................... 58
Figura 3. 5 Magnitud del coeficiente de reflexión ..................................................................... 59
Figura 3. 6 Fase del coeficiente de reflexión ............................................................................ 59
Figura 3. 7 Magnitud del coeficiente de transmisión ............................................................... 60
Figura 3. 8 Magnitud del coeficiente de transmisión ............................................................... 60
Figura 3. 9 Fase de para un septo de longitud finita ................................................................. 61
Figura 3. 10 para un septo de longitud finita ............................................................................ 61
Figura 3. 11 Vista lateral de la placa insertada en el filtro plano E bilateral ..................................... 62
Figura 3. 12 Características de transmisión y reflexión para el filtro plano E Bilateral
diseñado en [28] ................................................................................................................................ 63
Figura 3. 13 Coeficiente de Transmisión (rizado) para el filtro bilateral diseñado en [28] ..... 63
Figura 3. 14 Geometría de una guía de onda parcialmente rellena de dieléctrico .......................... 64
Figura 3. 15 Curva “y” con 2 soluciones del sistema de ecuaciones simultáneas ............................ 64
Figura 3. 16 Curva “y” para encontrar “N” soluciones del sistema de ecuaciones simultáneas ..... 65
Figura 3. 17 Circuito equivalente de un septo bilateral .................................................................... 65
Figura 3. 18 Parámetros de reactancia vs longitud del septo bilateral .............................. 66
Figura 3. 19 Selección de número de resonadores Respuesta Teórica Chebychev ......................... 70
Figura 3. 20 Rizado en Respuesta Teórica Chebyshev ...................................................................... 70
Figura 3. 21 Inversores de impedancia Kr y longitudes de Septos y Resonadores .......................... 71
9
Figura 3. 22 Curvas para encontrar la longitud de septos que proporcionan los valores de Kr del
circuito equivalente. .......................................................................................................................... 71
Figura 3. 23 Coeficiente de Transmisión y Reflexión Filtro 60 GHz con BW=500 MHz ..................... 72
Figura 3. 24 Banda de paso y rizado a 0.1 dB .................................................................................... 72
Figura 3. 25 Distancias de Septos y Resonadores Optimizados ........................................................ 73
Figura 3. 26 Diseño y Optimización Filtro Bilateral con .............................................. 74
Figura 3. 27 Diseño y Optimización Filtro Bilateral con (Rizado x=0.1 dB) ................. 74
Figura 3. 28 Sintonización con variaciones de con ........................... 75
Figura 3. 29 Dependencia lineal de .................................................................................... 75
Figura 3. 30 Dependencia lineal del error del ancho de banda BW con ...................................... 75
Figura 3. 31 Respuesta en Transmisión y Reflexión Diseño Inicial .................................................... 79
Figura 3. 32 Respuesta en Transmisión Diseño Inicial y Objetivo Chebyshev .................................. 80
Figura 3. 33 Respuesta en Transmisión y Reflexión Diseño Optimizado .......................................... 82
Figura 3. 34 Respuesta en Transmisión Diseño Optimizado y Objetivo Chebyshev ........................ 83
Figura 3. 35 Respuesta en Transmisión y Reflexión Diseño con Septos Ajustados ........................... 85
Figura 3. 36 Respuesta en Transmisión Diseño Ajustado y Objetivo Chebyshev ............................. 86
Figura 3. 37 Longitud de Septos en el Diseño Ajustado ................................................................... 88
Figura 3. 38 Longitudes de Resonadores en el Diseño Ajustado ..................................................... 88
Figura 3. 39 Desplazamiento de septos hacia la derecha ................................................................. 90
Figura 3. 40 Desplazamiento de septos hacia la izquierda ............................................................... 90
INDICE DE TABLAS
Tabla 3. 1 Parámetros de Diseño Filtro V-Band ................................................................................ 69
Tabla 3. 2 Medición de BW y y sus respectivos errores tras el proceso de sintonización
con ..................................................................................................... 76
Tabla 3. 3 Medición de parámetros del filtro y cuantificación del Error en el Diseño Inicial ........... 81
Tabla 3. 4 Medición de parámetros del filtro y cuantificación del Error en el Diseño Optimizado .. 84
Tabla 3. 5 Medición de parámetros del filtro y cuantificación del Error en el Diseño con ajuste de
longitudes de septos ......................................................................................................................... 87
Tabla 3. 6 Longitudes de septos y resonadores en mm para el diseño ajustado ............................ 89
10
1. Introducción
Los filtros de guía de onda que usan elementos inductivos convencionales como varillas, cintas
transversales, y diafragmas transversales son difíciles de producir en grandes cantidades y bajo
costo debido a su estructura complicada. Los circuitos que implementan microcintas pueden
producirse a gran escala y a bajo costo pero tienen la desventaja de presentar pérdidas de
potencia elevadas, especialmente para aplicaciones que trabajan en el espectro de frecuencia de
las ondas milimétricas.
A lo largo de las décadas se han propuesto una gran cantidad de filtros del tipo plano-E con bajas
pérdidas, estos filtros los podemos identificar con tres configuraciones básicas como se muestra
en la figura 1.1:
1. Filtros plano E compuestos por solo septos metálicos
2. Filtros plano-E con septos unilaterales
3. Filtros plano-E con septos bilaterales.
Los filtros plano E compuestos solo por septos metálicos son los de más fácil fabricación ya que
como su nombre lo indica su configuración solo requiere insertar placas metálicas simples a una
guía de onda de placas paralelas. Los filtros plano E unilateral y bilateral se imprimen sobre un
sustrato por medio de técnicas fotolitográficas y pueden ser producidos en grandes cantidades a
bajo costo. En estas tres estructuras a la región que existe entre dos septos adyacentes se le
conoce como resonador y su dimensión se extiende a todo lo alto de la guía de onda de placas
paralelas para simplificar la geometría del dispositivo así como el análisis matemático de las
discontinuidades.
La interface que se presenta en la figura 1.2.a es una discontinuidad o “unión” que conforma el
bloque básico que compone un filtro plano E. La región I pertenece a la geometría de un
resonador mientras que las regiones II y III pertenecen a la geometría dividida por un septo
infinitesimalmente delgado e infinitamente largo.
El análisis matemático de una unión se hace por medio de la técnica de ajuste de modos y el
método de inversión directa estudiados por Mittra y Lee en [1]. La combinación de ambas
técnicas considera un número infinito de modos incidentes y excitados, lo que nos permitirá
obtener un conjunto de expresiones matemáticas exactas de los coeficientes o amplitudes de las
ondas electromagnéticas que interactúan en una sola unión.
La obtención de este conjunto de amplitudes nos permite introducir el concepto de matriz de
dispersión generalizada. La figura 1.2b ilustra la matriz de dispersión de tres puertos que
caracteriza una sola unión, y los elementos que componen esta matriz son las amplitudes de los
diferentes modos excitados “m” debido al modo incidente “p”. La gran ventaja de emplear la
técnica de matriz de dispersión generalizada, es que en principio permite tomar en cuenta la
interacción de un número infinito de modos con lo que se consigue una descripción precisa del
11
fenómeno físico de propagación de las ondas electromagnéticas dentro de las cavidades que
componen la estructura del filtro de guía de onda plano-E.
Una vez que conocemos la matriz de dispersión y la interacción de los modos para una sola unión
se requiere calcular la matriz de dispersión que caracteriza un septo de longitud finita. Para
lograrlo requerimos llevar a cabo un proceso que involucra la manipulación de las matrices de
dispersión de dos uniones, cada una de ellas localizadas al extremo opuesto del septo; y las
matrices de transmisión que representan la propagación de las ondas electromagnéticas para los
diferentes modos en las regiones II y III a lo largo de una distancia “w”. Este proceso de
combinación de matrices se muestra en la figura 1.3.a y el análisis numérico será detallado en
secciones posteriores.
Un septo de longitud finita puede ser caracterizado por medio de una matriz de dispersión de dos
puertos. Una vez que contamos con los parámetros de dispersión de cada septo que compone la
estructura del filtro realizamos un proceso en cascada en conjunto con las matrices de transmisión
de cada resonador para obtener la respuesta total en frecuencia del filtro plano-E.
12
Figura 1. 1 Configuraciones típicas de un filtro de guía de onda plano E
VISTA DE LADO
CIRCUITO PLANO E METALICO
CIRCUITO PLANO E BILATERAL
CIRCUITO PLANO E UNILATERAL
13
Figura 1. 2 Caracterización de un septo (a) Geometría (b) Representación matricial
Región I
Región III
Región II
UNION
14
Figura 1. 3 Derivación de los parámetros de dispersión (a) Un solo septo (b) Cascada de septos
15
1.1. Definición del problema
El desarrollo y diseño de filtros de guía de onda sintonizables en la región de ondas milimétricas es
un reto de ingeniería que requiere de hacer un análisis matemático y numérico del fenómeno
físico de propagación de las ondas electromagnéticas dentro de las cavidades que componen el
filtro. La parte analítica requiere resolver un problema con condiciones en la frontera en donde
las incógnitas son las amplitudes de los modos que se propagan a lo largo de la estructura del filtro
de guía de onda plano-E de placas paralelas. Para encontrar los parámetros de dispersión que
caracteriza la unión emplearemos la técnica de acoplamiento de modos y el método de inversión
directa [1]. Una vez que conocemos los parámetros de dispersión de una sola unión se realiza un
proceso de combinación de matrices para obtener la matriz de dispersión de dos puertos que
caracteriza un septo de longitud finita. Las diferentes matrices de dispersión y transmisión
dependen de las longitudes físicas de los septos y resonadores y tras un proceso de cascada se
puede obtener la respuesta en frecuencia para la estructura completa del filtro plano E como se
observa en el análisis realizado en [2]. Entonces el desafío que se nos presenta es crear una
metodología para diseñar filtros tipo plano-E con septos simples ó bilaterales que además por
medio de la implementación de sistemas MEMS nos proporcionen la funcionalidad de
sintonización en un amplio rango de frecuencias conservando las características y parámetros de
diseño impuestos por la aplicación de telecomunicaciones en la cual serán implementados.
1.2. Planteamiento del problema
1.2.1. La técnica de acoplamiento de Modos
La técnica de acoplamiento de modos es una de las técnicas más utilizadas para formular
problemas con valores en la frontera. Esta técnica resulta bastante útil cuando la geometría de la
estructura en cuestión puede ser identificada como la unión de dos o más regiones, cada una de
las cuales pertenece a un sistema de coordenadas separable. El primer paso en la técnica de
acoplamiento de modos involucra la expansión de los campos desconocidos dentro de cada una
de las regiones individuales en términos de una base de funciones ortonormales. Dado que la
distribución de los modos ortogonales es conocida, el problema se reduce a determinar el
conjunto de coeficientes modales o amplitudes de los modos asociados con la expansión del
campo eléctrico/magnético en cada una de las regiones. Este procedimiento en conjunto con la
propiedad de ortogonalidad de las funciones modales nos lleva a determinar un conjunto infinito
de ecuaciones simultáneas lineales para los coeficientes o amplitudes de los modos. En general,
no es posible obtener una solución exacta de este conjunto infinito de ecuaciones para las
amplitudes de los modos por lo que en la práctica se debe de truncar o aproximar el conjunto de
ecuaciones.
La técnica de acoplamiento de modos se ha utilizado extensivamente para resolver el problema de
dispersión de varias discontinuidades en guías de ondas y líneas de transmisión de microcintas.
También se ha extendido su uso para analizar estructuras compuestas como filtros de tipo plano-
E, filtros acoplados directamente con cavidades resonantes, divisores de potencias y filtros de
16
microcintas [3]-[10]. Todos estos son problemas de dispersión donde el conjunto de modos
ortogonales es discreto; sin embargo el uso de la técnica de acoplamiento de modos puede
extenderse a casos donde se tiene un espectro de modos continuo.
Además de resolver problemas donde obtenemos los parámetros de dispersión de diferentes
estructuras, la técnica de acoplamiento de modos es útil para resolver problemas con eigen-
valores. Es decir puede formularse esta técnica para obtener la frecuencia de resonancia de una
cavidad, la frecuencia de corte de una guía de onda, o bien para conocer la constante de
propagación de una línea de transmisión. La técnica de acoplamiento de modos es especialmente
útil para el análisis de líneas de transmisión planas como microcintas y filtros de guía de onda
plano-E en donde la anchura de metal es finita.
La técnica de acoplamiento de modos ha sido desarrollada por Mittra y Lee [1] en un esfuerzo para
obtener un conjunto de soluciones exactas para problemas con valores en la frontera. Sin
embargo solo una pequeña cantidad de problemas tienen el lujo de poseer un conjunto de
soluciones exacto. Las técnicas de procesamiento de información actuales hacen que sea muy
deseable desarrollar este método en procedimientos numéricos que puedan resolver problemas
más generalizados.
En secciones posteriores se discutirá a detalle el análisis matemático y numérico de un tipo de
problema con condiciones en la frontera que si tiene un conjunto de soluciones exacto y que será
la pieza fundamental para desarrollar y diseñar un filtro de guía de onda plano E. Este problema lo
conocemos como el problema de la guía de onda bifurcada, y consiste en obtener un conjunto de
ecuaciones que describa las amplitudes de los modos ortogonales en cada una de las regiones de
una guía de onda de placas paralelas dividida por un septo infinitesimalmente delgado e
infinitamente largo.
Una vez que se obtiene un conjunto de ecuaciones que definen los coeficientes y amplitudes de
los modos que se propagan en la guía de onda bifurcada se nos presenta el problema de obtener
la respuesta de la estructura completa del filtro, para lo cual es necesario emplear un concepto
llamado matriz de dispersión generalizada.
1.2.2. La Matriz de Dispersión Generalizada GSM
La técnica de Matriz de Dispersión Generalizada o GSM por sus siglas en inglés es utilizada
ampliamente para resolver problemas de microondas en los que se tiene una solución exacta de
un conjunto de ecuaciones que representa las amplitudes de los modos ortogonales que se
propagan dentro de una estructura. Está técnica es una extensión de la Matriz de Dispersión
convencional en la que se tiene una línea de transmisión de dos puertos en la cual se propaga o
atenúa un solo modo [11]. En el sentido convencional los parámetros de dispersión describen las
características de reflexión y función de transferencia de cada unión e interface que conforman
una estructura o línea de transmisión. La versión generalizada de la matriz de dispersión describe
el fenómeno físico de la interacción del modo dominante así como también de los modos de orden
superior. Dado que se toman en cuenta un número infinito de interacciones entre las uniones, se
17
puede describir correctamente el fenómeno físico aún cuando la distancia entre las uniones sea
infinitamente pequeña. Entonces las características de dispersión de estructuras más complicadas
puede obtenerse si se conocen los parámetros de dispersión de cada una de las uniones más
simples, está característica hace de esta técnica muy deseable para el diseño de componentes de
microonda y será utilizada extensivamente en el desarrollo de esta Tesis.
1.2.3. El problema de Sintonización
Una vez que contamos con la descripción de los parámetros de dispersión de la estructura
completa de un filtro que opera en una frecuencia central determinada surge el problema de
brindar la funcionalidad de sintonización al dispositivo para que este pueda ser implementado en
aplicaciones de telecomunicaciones en la región de ondas milimétricas.
Existen diferentes tipos de filtros de guía de onda sintonizables, entre ellos se encuentran: filtros
sintonizables mecánicamente, electrónicamente y magnéticamente [12], [13]. Los filtros
sintonizables magnéticamente utilizan la misma arquitectura o estructura física que los filtros
plano-E ordinarios, con la diferencia de que se aplica un campo magnético estático en la misma
dirección de la intensidad de campo eléctrico de las ondas TEmo que se propagan dentro del filtro.
Para generar el campo magnético se colocan pequeños toroides de cobre por donde se hace
circular una corriente de DC. La estructura de estos filtros se vuelve complicada y su
comportamiento es inestable debido a la caracterización de las placas de ferrita, por lo tanto no
los consideraremos una opción práctica para el diseño de filtros de comunicaciones inalámbricas
en la región de ondas milimétricas. Los filtros sintonizables mecánicamente logran su
funcionalidad realizando movimientos o desplazamientos de los componentes estructurales
básicos que integran el filtro, estos filtros se caracterizan por tener capacidad de manejo de
potencia así como bajas pérdidas sin embargo su implementación no fue tan factible en décadas
pasadas debido a que no existían componentes miniaturizados que fueran lo suficientemente
confiables, rápidos y precisos para lograr el proceso de sintonización. Hoy en día contamos con los
sistemas MEMS que brindan funcionalidad a diferentes dispositivos de radio frecuencia por medio
de cambios estructurales controlados mecánica y electrónicamente. Es esta capacidad de los
dispositivos MEMS la que aprovecharemos para proponer un nuevo procedimiento para sintonizar
un filtro plano E de manera automatizada en un amplio rango de frecuencia y que además cumpla
satisfactoriamente con las características de frecuencia central, ancho de banda y rizado
impuestas por los parámetros de diseño de nuestra aplicación de comunicaciones a implementar.
1.3. Alcance y Limitaciones
Alcances
Este trabajo provee una recopilación teórica que servirá como plataforma para ingenieros
interesados en el estudio, diseño y desarrollo de filtros de guía de onda plano-E para
aplicaciones de comunicaciones inalámbricas en el rango de frecuencia de ondas
milimétricas.
18
Obtención de las ecuaciones de continuidad de una unión simple para una guía de onda de
placas paralelas bifurcada por un septo infinitesimalmente delgado e infinitamente largo,
así como sus características de magnitud y fase del coeficiente de transmisión y reflexión.
Se proporciona un estudio de la respuesta en transmisión y reflexión para un septo de
longitud finita y sus características de fase.
Se formula un programa en MATLAB que es capaz de calcular el fenómeno físico de
interacción de las ondas electromagnéticas que se propagan o atenúan dentro de las
diferentes regiones de un filtro plano E. El programa MATLAB es una herramienta eficaz
para calcular las dimensiones físicas del filtro que cumplan con las especificaciones de
diseño impuestas por el usuario.
Implementación numérica de un método de síntesis en donde a partir de una respuesta
teórica de tipo Chebyshev se obtienen los parámetros de inversores de impedancia del
circuito equivalente del filtro plano E.
Se realiza un estudio de sintonización por medio de variaciones de la permitividad relativa
del dieléctrico que sirve como sustrato en un filtro plano E bilateral.
Se realiza un estudio de sintonización por medio de variaciones de la longitud efectiva de
los septos y resonadores de un filtro plano E bilateral.
Esta tesis provee una metodología consistente para diseñar filtros sintonizables en
diferentes bandas del espectro de frecuencia por medio de MEMS.
Limitaciones:
El programa de MATLAB calcula solamente el tipo de discontinuidades que se incluyen en
el problema básico de la guía de onda bifurcada con septos infinitesimalmente delgados.
Esta tesis no presenta el diseño de la arquitectura de los MEMS y asumimos que
actualmente contamos con dispositivos microelectromecánicos que pueden realizar los
desplazamientos de los septos de manera controlada [14]-[20].
El programa de MATLAB desarrollado en esta tesis no calcula el efecto introducido en la
respuesta del filtro debido al espaciamiento entre las placas de septos móviles y fijos.
El programa MATLAB no incorpora el efecto introducido en la respuesta en frecuencia del
filtro debido a las discontinuidades generadas por los MEMS insertados que controlan el
desplazamiento de los septos móviles en la dirección de propagación de la onda
electromagnética.
Esta tesis no incluye el diseño e implementación de la electrónica necesaria para controlar
los dispositivos MEMS que actuarán en la sintonización del filtro.
19
1.4. Motivación
En la actualidad, el diseño de dispositivos pasivos de microondas se considera una rama de la
ciencia bien estudiada. Por un lado, se cuenta con una teoría clásica bien fundamentada. Y por
otro lado tenemos que se han propuesto un sin número de métodos analíticos y numéricos que
en conjunto con herramientas de diseño nos permiten resolver problemas de aplicación general y
específica. En estos días contamos con modelos y métodos de simulación que se apegan al análisis
riguroso de las ecuaciones que describen el comportamiento de los fenómenos electromagnéticos
involucrados en el diseño de componentes de microondas, esta capacidad de las herramientas de
software nos permite tomar en consideración los efectos de múltiple orden.
El número de dispositivos móviles y servicios demandado por el usuario se ha incrementado en los
últimos años. Tenemos además que el espectro electromagnético en las diferentes bandas de
radio frecuencia y en especial en las bandas de aplicaciones de ondas milimétricas han pasado de
ser de uso exclusivo militar y restringido a convertirse en bandas para el campo comercial y de
desarrollo de nuevas tecnologías que permitan dar solución a las necesidades de comunicar a los
individuos comunes.
Ac continuación presentamos el escenario de las comunicaciones inalámbricas de alta capacidad y
sus principales características [21].
1.4.1. Transmisión alámbrica vs. Inalámbrica
La velocidad de transmisión inalámbrica se había rezagado en el pasado en comparación con su
contraparte alámbrica; sin embargo recientemente ha empezado a ponerse a la par, y en algunos
casos ha excedido la capacidad de transmisión de algunos esquemas de comunicaciones
alámbricos. En los últimos años, se han lanzado al mercado algunos equipos inalámbricos
comerciales capaces de lograr velocidades de transmisión de 1 Gb/s y mayores haciendo uso de
diferentes tecnologías. Podemos encontrar algunos sistemas inalámbricos que operan a 10 Gb/s e
incluso 40 Gb/s para rangos de distancias cortas. Tales velocidades de transmisión nos encamina
al desarrollo de nuevos componentes y dispositivos que sean capaces de operar en la región de
ondas milimétricas del espectro electromagnético. Estrictamente hablando, el término de ondas
milimétricas se refiere a las longitudes de onda menores a 1 cm o bien frecuencias mayores a 30
GHz. Sin embargo, en el mundo de las comunicaciones inalámbricas, es más conveniente referirse
a las ondas milimétricas en un rango de frecuencia mayor. Esto es debido a que las bandas de 6-
40 GHz, comúnmente llamadas bandas de microondas son relativamente consistentes en cuanto a
sus características y son manejadas de manera similar por las organizaciones regulatorias en todo
el mundo. Sin embargo las bandas de frecuencia mayores a 55 GHz tienen diferentes
características de propagación atmosférica y son tratadas de manera diferente por las
organizaciones regulatorias, es por esta razón que deben ser definidas de forma distinta. La
convención entonces es referirse a las bandas de ondas milimétricas a todas aquellas frecuencias
dentro del rango de 55 GHz a los 300 GHz.
20
Con la apertura y uso de las bandas de ondas milimétricas alrededor de los 60 GHz, los canales de
comunicaciones pueden hacerse los suficientemente amplios como para soportar los anchos de
banda requeridos en velocidades de transmisión multi-gigabit. Para soportar tasas de transmisión
de datos de 10 Gb/s y mayores de manera inalámbrica, los anchos de banda de los canales
necesarios ascienden a varias decenas de gigahertz. Solo en frecuencias de ondas milimétricas y
longitudes de onda ópticas pueden alcanzarse tales anchos de banda.
1.4.2. Escenario de las comunicaciones de alta capacidad.
WiFi: 802.11a/b/g/n
Wireless Fidelity (WiFi por sus siglas en inglés) es una tecnología de acceso de corta distancia que
ha encontrado gran popularidad para conectividad en áreas residenciales. La nueva variación del
estándar es 802.11n, y ofrece una razón de transmisión teórica de hasta 600 Mb/s empelando
múltiples antenas, formación de haces complejo y canales más amplios. Sin embargo, como la
gran mayoría de las tecnologías WiFi tiene un número de limitaciones que reduce
significativamente las velocidades de transmisión que pueden alcanzarse en la práctica [22]. En la
vida real, la tasa de transmisión alcanzable depende de diversos factores como el medio ambiente,
la distancia desde el punto de acceso, y el número de usuarios compartiendo la capacidad del
canal. Por esta razón, los usuarios típicamente experimentan conectividad alrededor de 1-2 Mb/s
con equipos comerciales, mucho menos que los máximos teóricos y tasas de transmisión
alcanzadas bajo condiciones controladas en laboratorios. Además de esto WiFi es una tecnología
sin licencia, lo cual resulta en problemas de interferencia y seguridad que deben considerarse al
momento de implementar una red con esta tecnología.
4G: WiMAX, LTE
Los sistemas de comunicaciones inalámbricas de cuarta generación, Worldwide Interoperability
for Microwave Access y Long Term Evolution Technologies (WiMAX y LTE respectivamente por sus
siglas en inglés) han sido implementados con éxito alrededor del mundo. Los sistemas WiMAX
superan las dificultades de seguridad y de calidad de servicio (QoS) que se presentan en los
sistemas WiFi. WiMAX trabaja en bandas de frecuencia con licencia y logra una tasa de
transmisión teórica de varias decenas de megabits por segundo; aunque las implementaciones en
la vida real alcanzan tasas cercanas de 2-4 Mb/s. Extensiones actuales de la familia WiMAX (por
ejemplo, 802.16m) proporcionarán al usuario velocidades de transmisión mayores. WiMAX ofrece
el beneficio de movilidad, lo cual no puede alcanzarse con sistemas como WiFi. LTE por el
contrario ha sido diseñado como la siguiente generación de la ya conocida tecnología celular 3G.
Teóricamente con estos sistemas se pueden alcanzar tasas de transmisión de datos de hasta 100
Mb/s.
Microondas Punto a Punto
Los radios inalámbricos que operan en la banda de frecuencia de microondas de 6-38 GHz han sido
usados extensivamente para alcanzar conexión punto a punto (PTP) de alta velocidad entre
21
Figura 1. 4 Tendencia de las comunicaciones inalámbricas de alta capacidad.
Figura 1. 5 Bandas de frecuencia de uso comercial en los Estados Unidos
Figura 1. 6 Atenuación en bandas de frecuencia de ondas milimétricas
22
estaciones base de telefonía celular, edificios y campus. Los radios de microondas PTP soportan
algunos estándares de alta velocidad como: 100-Mb/s FE (Fast Ethernet), 155-Mb/s STM1 SDH
(Synchronous Digital Hierarchy), SONET (Synchronous optical networking); sin embargo estos
radios están limitados para proveer mayores velocidades debido a los canales angostos que
implementan las organizaciones regulatorias (28 MHz u ocasionalmente 56 MHz en Europa y
hasta 50 MHz en los Estados Unidos).
Se han implementado sistemas que emplean circuitería sofisticada para el procesamiento de
señales y modulaciones de alto orden como 128 o 256 QAM para comprimir la información en
canales angostos. Haciendo uso de estas técnicas de modulación se pueden alcanzar tasas de
transmisión de hasta 311 Mb/s (2xSTM1).
Cabe mencionar que los sistemas de comunicaciones inalámbricas como radios PTP, microondas,
ondas milimétricas operan en división de frecuencia dúplex FDD, lo cual quiere decir que se
transmite y recibe al mismo tiempo. Es decir un radio que transmite y recibe a 100 Mb/s estaría
operando en realidad a 200 Mb/s. Sin embargo, la convención requiere que se describa como
conectividad inalámbrica de 100 Mb/s. En el mundo alámbrico y de acceso múltiple inalámbrico
que trabaja en la región de frecuencias más baja, los sistemas de comunicaciones operan en
división de tiempo dúplex (TDD), es decir que el dispositivo solo puede transmitir o recibir
información en un instante de tiempo determinado. Por lo tanto un sistema TDD que opera a 100
Mb/s en realidad opera en promedio a una velocidad de 50 Mb/s en una sola dirección.
1.4.3. Oportunidad de Alta Capacidad Inalámbrica
Los sistemas de Fibra Óptica (FO) continúan siendo la panacea de las comunicaciones de alta
capacidad. La tecnología de FO ofrece gran ancho de banda y bajas pérdidas de transmisión, lo
que se traduce en tasas de transmisión elevadas a lo largo de grandes distancias. A pesar de esta
gran ventaja, la fibra tiene muchas limitaciones. La FO no se encuentra implementada en todos
lados y la gran mayoría de los edificios comerciales no tienen conexiones basadas en fibra, y
aquellos que si las tienen pueden gastar hasta US$ 10,000 por mes por una conexión de Gb/s.
Instalar la fibra en las grandes ciudades también puede ser muy costoso hasta US 250,000.
Además del costo elevado de la fibra óptica, la instalación de la FO genera un impacto ambiental
considerable y en el proceso de tendido se requiere interrumpir vías de transporte en las ciudades.
Debido a estas limitaciones, recientemente se ha llevado a cabo una gran inversión en tecnologías
de comunicaciones alternativas de alta capacidad para llenar el vacío tecnológico que existe entre
los sistemas de FO y los más comunes sistemas de comunicaciones inalámbricos. Los cuerpos
regulatorios han ayudado a desarrollar nuevos estándares y regulaciones para promover el
desarrollo de nuevas tecnologías en las regiones de ondas milimétricas.
Espectro para Comunicaciones Inalámbricas de Gb/s
La clave para transmitir con tasas de tráfico muy grandes de manera inalámbrica es el espectro. A
medida que incrementa la tasa de transmisión de datos, proporcionalmente se requieren mayores
anchos de banda para soportar las velocidades de transmisión. En frecuencias de transmisión
23
bajas tales como las bandas de microondas hasta 40 GHz, las organizaciones regulatorias
deliberadamente dividieron el espectro disponible en muchos canales angostos para promover la
competencia y permitir a los usuarios utilizar los servicios sin experimentar problemas de
interferencia. Solo en la región de altas frecuencias de las ondas milimétricas se puede soportar
las mayores tasas de transmisión. La figura 1.4 muestra esta tendencia. En la región por debajo
de 10 GHz tenemos las tecnologías inalámbricas WiFi y WiMAX. Estas tecnologías soportan
velocidades de transmisión de hasta varias decenas de megabits por segundo. En la región de
microondas de 6-40 GHz, tenemos sistemas de comunicaciones de larga distancia implementados
comúnmente en esquemas de tecnología celular e interconexión empresarial con velocidades de
transmisión que alcanzan algunos cientos de Mb/s. Para transmitir información a velocidades de 1
Gb/s y más, se pueden utilizar las bandas de frecuencia de ondas milimétricas de 60, 70, y 80 GHz
[23], [24]. Para velocidades de transmisión mayores a 10 Gb/s se requiere implementar sistemas
que trabajen por encima de la banda de 100 GHz [25], [26].
La física de propagación atmosférica revela que existen muchas frecuencias en donde la
atenuación que experimentan las ondas de radio es minimizada, esto permite una mejor
transmisión inalámbrica. Las ya conocidas ventanas atmosféricas ocurren alrededor de las
frecuencias de 35, 90, 140, 220 GHz y en adelante. Las frecuencias de 35 GHz ya han sido
utilizadas ampliamente para comunicaciones comerciales satelitales y terrestres. Las frecuencias
alrededor de los 90 GHz han sido explotadas de manera similar para comunicaciones militares.
Los picos de absorción molecular que ocurren en las frecuencias de 60, 119, 183, y 325 GHz han
sido evitadas de manera general debido a que limitan la distancia de transmisión, pero las
ventanas entre ellas, centradas aproximadamente en 80, 140, y 220 GHz, muestran un gran
potencial para las comunicaciones de alta velocidad de transmisión debido al gran ancho de banda
disponible.
Desafortunadamente, no todas estas bandas están disponibles para aplicaciones en servicios
comerciales. La figura 1.5 muestra las principales frecuencias de uso comercial que se encuentran
disponibles en los Estados Unidos. Para el rango de frecuencias de microondas hasta 40 GHz
podemos observar anchos de banda angostos. Las bandas de 60 GHz (57-66 GHz, referidas
comúnmente como banda-V) y las bandas de 70/80 (71-76 GHz junto con 81-86 GHz, referidas
como banda-E) muestran tamaños de ancho de banda suficientemente grandes para soportar
operación multi-gigabit por segundo. La región de 90 GHz (92 - 94 GHz y 94.1 - 95 GHz) también
tienen anchos de banda considerablemente grandes, pero su proximidad con las bandas militares
de 94 - 94.1 GHz las hacen difíciles de usar en la práctica.
Tomando en cuenta estas últimas consideraciones tenemos que las bandas de 60 GHz y 70/80 GHz
son las más viables para usarse en aplicaciones que demandan tasas de transmisión altas. Sin
embargo la figura 1.6 nos muestra que justo en 60 GHz ocurre un pico de absorción atmosférica, lo
que significa que la distancia de transmisión es limitada significativamente. Por esta razón la
banda de 60 GHz es útil para transmisión de corto rango de alcance; sin embargo las bandas de
70/80 GHz ocurren dentro de las ventanas atmosféricas lo que permite varios kilómetros de
24
transmisión. Ambas tecnologías requieren línea de vista (LOS), lo que significa que los enlaces
requieren un camino libre de obstáculos entre las antenas.
Las bandas de 70/80 GHz se usan casi de manera idéntica en los Estados Unidos, Europa, y otros
países, haciendo de estas bandas muy atractivas comercialmente.
1.4.4. Sistemas inalámbricos de 60 GHz
Los sistemas inalámbricos de 60 GHz operan en el pico de absorción de oxígeno, alcanzando una
atenuación máxima de 15 dB/km a nivel del mar. Este gran nivel de atenuación limita
severamente la distancia de transmisión del enlace, haciendo de la banda de 60 GHz útil para
aplicaciones de corta distancia de transmisión [27]. Algunos vendedores ofrecen equipos de
comunicaciones de uso exterior que brindan conectividad en enlaces con 400 – 800 metros de
distancia a una velocidad de 1 Gb/s usando antenas de 30-60 centímetros. La atenuación
atmosférica que se presenta en la banda de 60 GHz ofrece la ventaja de gran re-uso de frecuencia
y seguridad de información. Esta banda de frecuencia también muestra ventajas importantes para
comunicaciones satelitales en donde el fenómeno de absorción del oxígeno desaparece y se tiene
comunicación en el espacio libre.
A pesar de la disponibilidad de equipos de comunicaciones inalámbricos de uso exterior, el
verdadero potencial de crecimiento de los 60 GHz es para comunicaciones de alta capacidad de
corto alcance. Entre las principales aplicaciones tenemos redes de comunicación personal
inalámbricas (WPAN), particularmente para entregar señales no comprimidas de televisión de alta
definición (HDTV) de manera inalámbrica en el hogar. El consorcio WirelessHD lanzó
recientemente la versión 1.0 de una especificación que permite la transmisión de hasta 4 Gb/s en
la banda de 60 GHz en distancias de 10 metros (el tamaño de una habitación grande). La IEEE ha
creado el estándar 802.15.3c para comunicaciones de alta capacidad en la banda de 60 GHz. Un
beneficio clave que ofrece la banda de 60 GHz, es que en general puede implementarse a menor
costo que en otras bandas de mayores frecuencias. Actualmente se está llevando a cabo
investigación para desarrollar componentes tales como transmisores/receptores, amplificadores,
filtros y mezcladores que operen en la banda de 60 GHz.
1.4.5. Sistemas inalámbricos en la ventana de 70/80 GHz
La banda-E de 70/80 GHz opera en la ventana atmosférica y tiene las siguientes ventajas:
Atenuación de 0.5 dB/Km bajo condiciones climatológicas óptimas
70/80 GHz no se ve afectado por la mayoría de los factores de deterioro en la transmisión
como partículas de agua y polvo suspendidas en el aire debido a que la longitud de onda
es relativamente mayor (1 mm).
70/80 GHz no se ve afectada por la niebla. Aún con densidades de niebla de (50
metros de visibilidad) se tiene una atenuación de tan solo .
25
1.5. Objetivo
Proporcionar una base teórica sólida para el diseño de filtros de guía de onda plano-E y desarrollar
una herramienta de software que nos permita diseñar filtros sintonizables por medio de MEMS
para aplicaciones de comunicaciones inalámbricas en las bandas de frecuencia de ondas
milimétricas.
1.5.1. Objetivos Específicos
Proporcionar una base teórica bien fundamentada para Ingenieros interesados en el
estudio y diseño de componentes de filtros de guía de onda plano-E realizables en la
región de ondas milimétricas.
Desarrollar una herramienta computacional práctica para el diseño de filtros plano-E
sintonizables y no sintonizables que sea capaz de llevar a cabo el análisis numérico en base
a las especificaciones de diseño del usuario.
Realizar un estudio de sintonización por medio de variaciones del índice de refracción del
dieléctrico en un filtro plano E bilateral.
Realizar un estudio de sintonización por medio de variaciones de longitudes de los septos
y resonadores de un filtro plano-E.
El objetivo primordial de esta Tesis es proponer una metodología completa de diseño de filtros de
guía de onda plano E sintonizables por medio de MEMS que satisfaga en lo posible las
especificaciones de respuesta en transmisión y reflexión en el dominio de la frecuencia.
Los filtros de guía de onda que diseñaremos con esta nueva metodología deben de cumplir con
las siguientes características.
Flexibilidad de ajuste de sintonización.
El dispositivo debe de tener la funcionalidad de seleccionar distintos canales conservando
sus características de ancho de banda, frecuencia central, y nivel de rizado.
Gran selectividad del filtro.
La creciente demanda de servicios de alta capacidad por parte del usuario final exige
mayores anchos de banda, así como la óptima utilización del espectro electromagnético
disponible. Por esta razón es importante que nuestra metodología nos permita diseñar
filtros lo suficientemente selectivos para evitar la interferencia entre canales adyacentes y
otros efectos no deseados.
Buen manejo de potencia
En los sistemas de comunicaciones actuales el manejo de potencia siempre será una
cuestión importante a considerar por diversos factores. Entre estos factores podemos
encontrar la atenuación que la señal electromagnética experimenta al viajar por el espacio
libre. Este factor es bien conocido y depende de la frecuencia de operación, la distancia
26
entre transmisor y receptor así como la ganancia de los mismos. Otro factor relevante al
manejo de potencia lo imponen las organizaciones regulatorias y los estándares de
comunicaciones debido a que existe cierta cantidad de energía electromagnética que
podemos radiar de forma que no se tengan efectos adversos en la salud del ser humano.
Tamaño y peso reducidos con la finalidad de lograr la integración con otros dispositivos y
circuitos.
Bajo costo y facilidad de producción en masa
1.6. Hipótesis
Se piensa que es posible llevar a cabo el proceso de sintonización si variamos de manera
controlada la permitividad relativa del dieléctrico que sirve como sustrato entre las placas
metálicas o septos de un filtro plano-E bilateral.
Se cree que es viable diseñar filtros de guía de onda plano-E sintonizables si conocemos un
conjunto de configuraciones físicas de longitudes de septos y resonadores. Debido a que
cada configuración está relacionada con una frecuencia central y ancho de banda
determinadas, podemos llevar a cabo el proceso de sintonización al variar las longitudes
de los septos de manera controlada por medio de dispositivos MEMS.
1.7. Justificación
La banda de 60 GHz a pesar de operar en el pico de absorción del oxígeno puede ser
utilizada para desarrollar aplicaciones de comunicaciones inalámbricas de alta capacidad
de corta distancia con la ventaja de re-uso de frecuencia.
La banda de 70/80 GHz se encuentra en una de las conocidas ventanas atmosféricas y
haciendo uso de estas frecuencias podemos tener comunicaciones inalámbricas de mayor
ancho de banda y mayor distancia de transmisión.
La creciente demanda de ancho de banda en servicios de alta velocidad de transmisión
requiere desarrollar dispositivos y componentes que sean capaces de operar en las bandas
de frecuencia de ondas milimétricas.
Para diseñar componentes pasivos tales como filtros de guía de onda plano E en la región
de ondas milimétricas se requiere conocer los fenómenos de propagación y dispersión de
la onda electromagnética dentro de la estructura.
1.8. Contribución
En este trabajo proporcionamos una base teórica bien fundamentada para el desarrollo de
filtros de guía de onda plano-E.
Un estudio de sintonización en base a las dimensiones físicas del filtro.
Un estudio de sintonización variando el índice de refracción o la permitividad del sustrato
de un filtro bilateral
27
Se revisan las contribuciones de otros autores en diferentes artículos y se corrigen
ecuaciones importantes para el análisis numérico de las discontinuidades y cascada de
matrices para el cálculo de la respuesta del filtro plano E.
Se proporciona una nueva metodología para sintonización de filtros tipo plano E haciendo
uso de MEMS y se describen de manera general el tipo de dispositivos necesarios para
lograrlo.
1.9. Organización de la Tesis
En el Capítulo 1 se presenta una introducción al problema que abordamos en esta Tesis para el
diseño de filtros de ondas milimétricas así como las herramientas matemáticas con las que
contamos para resolverlo. En la sección 1.1 se describe a grandes rasgos el problema de la guía
de onda bifurcada. En la sección 1.2 introducimos la técnica de ajuste de modos y la Matriz de
Dispersión Generalizada utilizada para obtener la respuesta en frecuencia de un filtro plano E de
ondas milimétricas. La sección 1.3 muestra los alcances y limitaciones de esta Tesis y en la sección
1.4 se proporciona el escenario de las comunicaciones inalámbricas de alta capacidad así como
nuestra motivación para llevar a cabo una investigación para el diseño de filtros de guía de onda
milimétricos. La sección 1.5 describe los objetivos generales y específicos de este trabajo. En la
sección 1.6, 1.7 y 1.8 se presenta la hipótesis, justificación y contribuciones respectivamente.
En el Capítulo 2 se proporciona una recopilación teórica para el diseño de filtros de guía de onda
plano E. En las secciones 2.1, 2.2 y 2.3 se presenta el problema de la Guía de Onda Bifurcada y la
solución obtenida previamente por Mittra y Lee en [1] con un conjunto de amplitudes modales por
medio del método de Ajuste de Modos e Inversión Directa. En la sección 2.4 se habla a mayor
detalle acerca de la Matriz de Dispersión Generalizada GSM y el proceso de cascada propuesto en
[2] necesario para encontrar los parámetros de dispersión de la estructura del filtro de guía de
onda plano E.
El Capítulo 3 presentamos el análisis numérico y la metodología para el diseño de filtros plano E en
la región de ondas milimétricas. En la sección 3.1 se obtienen las ecuaciones de continuidad para
la incidencia del campo dominante en cada una de las regiones del problema de la guía de
onda bifurcada. En la sección 3.2 se estudia el coeficiente de transmisión y reflexión para la
discontinuidad o unión de la guía de onda bifurcada por un septo ideal. La sección 3.3 muestra las
características de reflexión y transmisión para un septo de longitud finita y de anchura igual a
cero. En la sección 3.4 se replican los resultados obtenidos en [7] para un filtro bilateral que opera
en la banda de frecuencia. La sección 3.5 presenta la solución del problema de la guía de onda
rectangular rellena parcialmente de dieléctrico. La sección 3.6 presenta el circuito equivalente y
los parámetros de reactancia de un septo. En la sección 3.7 se discute el método de síntesis para
obtener los inversores de impedancia según [13} con las fórmulas propuestas por Rhodes en [14]
para un prototipo de elementos distribuidos.
28
El Capítulo 4 presenta dos estudios de sintonización realizados para llegar a una metodología de
diseño de filtros de guía de onda plano E sintonizables en la región de ondas milimétricas. En la
sección 4.1 se realiza un estudio de sintonización con variaciones de la permitividad relativa del
dieléctrico de un filtro bilateral. En la sección 4.2 presentamos una estudio de sintonización y una
metodología de diseño completa en donde se propone variar las longitudes de los septos y
resonadores por medio de dispositivos Microelectromecánicos MEMS.
En el Capítulo 5 se muestran nuestras conclusiones y el trabajo futuro a realizar en el diseño de
filtros de guía de onda plano E. El capítulo 6 presenta las referencias estudiadas a lo largo de esta
investigación. Finalmente en el capítulo 7 anexamos la herramienta de diseño desarrollada en
MATLAB así como sus funciones y módulos más importantes.
29
2. Antecedentes y Marco Teórico
2.1. Introducción
La técnica de ajuste de modos es una de las técnicas más utilizadas para resolver problemas de
electromagnetismo con valores en la frontera. La técnica consiste en obtener un conjunto infinito
de ecuaciones simultáneas a partir del cual se determinan los coeficientes o amplitudes de los
modos ortonormales. Sabemos que existe un gran número de problemas para los cuales se tiene
una solución exacta de este conjunto infinito de ecuaciones simultáneas, afortunadamente para
nosotros “el problema de la guía de onda bifurcada” se incluye entre estos casos y por lo tanto
podemos desarrollar un modelo analítico exacto que nos llevará a resultados numéricos precisos.
En la sección 2.2 y 2.3 se presenta a detalle el método desarrollado por Mittra y Lee [1] para
resolver el problema de la guía de onda bifurcada por medio de la técnica de acoplamiento de
modos e inversión directa.
2.2. La Guía de Onda Bifurcada: Formulación
En la figura 2.1 se presenta la geometría de la guía de onda bifurcada, la cual consiste de un par de
placas paralelas que se extienden de manera ideal hasta el infinito a lo largo del eje de
propagación . La guía de onda se divide o bifurca por una placa metálica infinitesimalmente
delgada e infinitamente larga insertada sobre el plano . El eje es de especial importancia ya
que la intensidad del campo eléctrico varía en esta dirección. Sobre el eje tenemos la
distribución espacial del campo eléctrico a todo lo largo de la separación de las placas paralelas.
Figura 2. 1 La guía de onda bifurcada de placas paralelas
Si asumimos la incidencia del campo eléctrico dominante en la región tenemos que las
componentes del campo eléctrico para son:
(2.1a)
(2.1b)
(2.1c)
30
Donde . Ahora el problema se reduce a determinar los campos
eléctricos tanto incidentes como excitados en cada una de las tres regiones A, B, y C.
Dado que la estructura bajo consideración es uniforme en la dirección , los campos excitados
estarán compuestos solamente por modos tipo TE (transversal eléctrico). De manera similar los
campos excitados pueden derivarse a partir de donde satisface la ecuación:
(2.2)
Las condiciones en la frontera para el campo eléctrico están dadas por:
1. satisface la condición de radiación en cuanto .
2. en , para toda ; y en , para .
3. La componente tangencial total de campo eléctrico , y la componente
tangencial total de campo magnético:
son continuos en .
4. satisface la condición límite en . De acuerdo al principio de radiación
de modo que (2.3)
Las condiciones 1 y 2 se satisfacen si representamos en términos de sus respectivos modos
normales en las regiones A, B, y C, de modo que tenemos la siguiente expansión del campo
eléctrico:
Región A
(2.4)
Región B
(2.5)
Región C
(2.6)
31
En donde son las constantes de propagación en las regiones A, B, y C
respectivamente y están dadas por:
Las raíces relacionadas con las constantes de propagación en cada una de las regiones deben ser
interpretadas de tal manera que para el número de onda real, la constante de propagación es
real positiva para los modos evanescentes, o imaginaria negativa para aquellos modos que se
propagan. Debemos recordar que la convención de tiempo es .
Ahora debemos aplicar la condición de continuidad 3, de aquí la técnica de ajuste de modos; es
decir se requiere igualar los campos eléctricos en la interface para obtener el siguiente
conjunto de ecuaciones:
Para
(2.7a)
(2.7b)
Para
(2.8a)
(2.8b)
Las expresiones (2.7) y (2.8) son las ecuaciones de continuidad del campo eléctrico y magnético en
la interface , y de aquí podemos derivar un conjunto de ecuaciones que involucra los
coeficientes desconocidos haciendo uso de la propiedad de ortogonalidad.
Con este propósito multiplicamos la ecuación (2.7) por e integramos con respecto a
, con lo que tenemos:
(2.9a)
(2.9b)
32
La derivación de las ecuaciones anteriores asume que para cualquier
combinación de m y n enteros; es decir b/a no es un número racional. A pesar de esto las
ecuaciones anteriores continúan siendo validas en este límite.
De manera similar multiplicamos la ecuación (2.8) por , e integramos con
respecto a , lo cual nos lleva al siguiente par de ecuaciones:
(2.10a)
(2.10b)
El último paso en la derivación de un conjunto de ecuaciones que involucran los coeficientes
solamente requiere la eliminación de los coeficientes y de las ecuaciones (2.9) y (2.10).
Una vez realizada esta operación obtenemos:
(2.11a)
(2.11b)
Donde . Cabe mencionar que el conjunto de ecuaciones
(2.11a) es derivado a partir de ajustar los campos en y , mientras que el conjunto
de ecuaciones (2.11b) proviene de ajustar los campos en para el rango complementario
. En vista de lo anterior, (2.11) debe ser tratado como un conjunto de ecuaciones
doblemente infinito que debe resolverse simultáneamente. Más adelante obtenemos expresiones
para los coeficientes modales desconocidos y en términos de . Para encontrar la
relación necesaria agregamos veces (2.9a) a (2.9b) y veces (2.10a) a (2.10b), con lo que
obtenemos:
(2.12a)
(2.12b)
Las ecuaciones (2.11) y (2.12) tienen la forma apropiada para resolverse por medio del método de
cálculo de residuos.
Un conjunto alternativo de ecuaciones para y similar a (2.11) puede derivarse; este
conjunto alternativo puede utilizarse en el método de inversión directa, el cual será introducido
33
más adelante. Para derivar estas ecuaciones, (2.7) y (2.8) se multiplican por e
integramos con respecto de sobre el rango entero . Las ecuaciones resultantes son:
(2.13)
(2.14)
Donde
Tras la eliminación de los coeficientes de la ecuación (2.13) y (2.14) obtenemos las
ecuaciones deseadas en términos de y únicamente:
(2.15)
Para resumir hasta este punto tenemos que la técnica de acoplamiento de modos nos ha llevado a
tres conjuntos de ecuaciones: (2.11), (2.12), y (2.15). Algunas de las ecuaciones obtenidas arriba
son apropiadas para resolverlas por medio del método de inversión directa, mientras que otras
pueden atacarse de mejor manera por medio de la técnica de cálculo de residuos.
Antes de describir la solución del conjunto infinito de ecuaciones derivado arriba vale la pena
hacer notar que para la formulación del problema se han utilizado solo las condiciones 1 a la 3, y
que la condición 4 (que describe el comportamiento del campo en el límite) no ha sido
incorporada en la formulación aún. Esto puede hacernos creer posiblemente que la última
condición es superficial. Sin embargo, esta última condición es determinante para encontrar una
solución única para el conjunto infinito de ecuaciones. Veremos que se puede encontrar un
número arbitrario de soluciones para el conjunto de ecuaciones en (2.11), (2.12), y (2.15), cada
una de estas soluciones es matemáticamente válida; sin embargo solo una de estas soluciones
satisface la condición 4 y por lo tanto es admisible como la solución válida para el fenómeno físico
bajo consideración.
A continuación se demuestra que la condición de límite en (2.3) gobierna el comportamiento
asintótico de los coeficientes modales , y para grande.
Escribimos en primera instancia la expresión de las componentes de campo magnético excitadas
en la región A:
(2.16a)
(2.16b)
34
Asumimos que , y , con a
determinar. Hacemos en (2.16), y tenemos:
(2.17a)
(2.17b)
Haciendo y tomando en cuenta la condición en la
frontera en (2.3) tenemos que:
(2.18)
(2.19a)
(2.19b)
La ecuación (2.19) expresa el comportamiento asintótico de los coeficientes modales establecido
por las condiciones en la frontera. En la siguiente sección procedemos a derivar una solución para
los coeficientes , y que satisfacen el comportamiento asintótico descrito por (2.19).
2.3. La Guía de Onda Bifurcada: Solución por el Método de Inversión Directa
A continuación discutiremos el método de inversión directa para resolver las ecuaciones (2.11) y
(2.15) del problema de la guía de onda bifurcada. Primero nos concentramos en el conjunto de
ecuaciones doblemente infinito en (2.11) que involucran los coeficientes solamente. Se
derivará una solución en dos pasos. El primer paso requiere el truncamiento de (2.11) de tal modo
que se retengan P ecuaciones de (2.11a) y Q ecuaciones de (2.11b). Entonces procederemos a
resolver este conjunto de ecuaciones aplicando la regla de Cramer. Finalmente, se hace que P y Q
tiendan a infinito de tal manera que se satisfaga (2.19).
2.3.1. Solución de un Conjunto Truncado de Ecuaciones
Si truncamos (2.11) tenemos:
(3.1a)
(3.1b)
Donde , tenemos que los valores de P y Q son arbitrarios. La ecuación (3.1) es un
conjunto de ecuaciones lineales y puede arreglarse en forma de matriz.
(3.2) Donde
es la columna de incógnitas, es la columna de
valores conocidos que representan el término de la derecha de la ecuación (3.1), y es una matriz
de que relaciona A y B de acuerdo la ecuación (3.1).
35
Un método clásico de resolver una ecuación de matrices como la de (3.2) es por medio de la regla
de Cramer. Esto requiere el cálculo de la razón , donde es el determinante de H y es
el determinante obtenido al reemplazar la enésima columna de por B. Esta operación genera
, el enésimo elemento de A. Para obtener el conjunto entero , se debe repetir el proceso N
veces. Este método puede que no sea el más práctico para la inversión de las matrices. Sin
embargo, debido a la forma de los elementos H, A, y B, la aplicación de la regla de Cramer nos
permite encontrar soluciones en forma cerrada para los coeficientes desconocidos , como se
demostrará a continuación.
La clave para resolver (3.2) es reconocer la característica única en el patrón de los elementos en
las matrices. Se debe notar primero que el determinante de la matriz H tiene la forma conocida
como doble alternante. De manera que tenemos el siguiente determinante:
(3.3)
Se observa que cada elemento del determinante es el recíproco de la diferencia de dos cantidades,
por ejemplo, y o . Solo una de ellas, cambia mientras se desciende en las
columnas, al contrario de y que cambian a medida que uno se mueve en los renglones.
Entonces, si , para , tenemos que el determinante y este cero es un cero
simple. Entonces el denominador de debe contener los factores y para
varias combinaciones de los subíndices. La expresión completa para basándonos en los
argumentos anteriores estaría dada entonces por:
(3.4)
Donde es igual a cero o uno, dependiendo de P y Q. Requerimos entonces calcular solo la razón
de los determinantes , y no los determinantes individuales. Aplicando la regla de Cramer
de (3.2) y notando la forma especial del lado derecho de (3.1) llegamos al resultado:
36
(3.5)
Donde significa el determinante con reemplazado por .
La fórmula de arriba, en conjunto con (3.4) proporciona la solución deseada de . Después de
cancelar los factores comunes del numerador y denominador llegamos a la siguiente expresión de
los coeficientes desconocidos:
(3.6)
Donde el subíndice en el último operador de productos indica que el término
correspondiente a debe ser omitido. La expresión en (3.6) es la solución exacta de que
satisface el conjunto de ecuaciones truncada en (3.1).
2.3.2. Solución de un Conjunto Infinito de Ecuaciones
Como se indicó anteriormente, el siguiente paso en el proceso involucra permitir que y
. Regresando a (3.6), observamos que se necesita algún tipo de arreglo antes de que el
límite anterior pueda llevarse a cabo. Esto es debido a que los productos individuales en (3.6)
divergen a medida que el límite superior se vuelve infinitamente grande. Para evitar esta
dificultad primero debemos observar que la siguiente representación de productos converge
uniformemente a medida que .
Esto sugiere reacomodar (3.6) de la siguiente forma
(3.7a)
(3.7b)
Ahora podemos estudiar el límite de varios factores en (3.7) a medida que . Primero
consideraremos el límite de dado en (3.7b). Con un ligero reacomodo podemos escribir:
37
(3.8)
Usando la definición de la constante de Euler tenemos:
(3.9)
Observando que el límite de la cantidad dentro de los primeros corchetes de la ecuación (3.8) es
cero, entonces tenemos:
(3.10)
De la ecuación (3.10) podemos ver que el límite de depende del límite del cociente a
medida que P y Q tienden a infinito. En otras palabras, el conjunto de ecuaciones doblemente
infinito en (2.11) posee la propiedad de convergencia relativa, lo que significa que la solución
converge a un grupo diferente de respuestas para los coeficientes a medida que el tamaño
de las matrices truncadas se vuelve infinitamente grande para diferentes proporciones de P/Q. La
naturaleza arbitraria de la solución del conjunto de ecuaciones doblemente infinito en (2.11) no es
del todo inesperada, ya que como habíamos mencionado anteriormente, solamente se puede
obtener una solución única cuando se imponen las condiciones en la frontera.
Ahora regresamos al problema de aplicar las condiciones en la frontera para obtener el valor único
para la razón P/Q. Para esto reescribimos la expresión de en (3.7a) como:
(3.11)
Donde los factores están definidos por:
(3.12)
(3.13)
(3.14)
38
Para aplicar la condición en la frontera en (2.19) primero debemos determinar el comportamiento
asintótico de para m grande. Nótese que tiende a una constante a medida que P y Q
crecen indefinidamente para una m determinada. El factor F puede expresarse en términos de
funciones gamma a medida que P y Q tienden a infinito.
(3.15)
Observamos que la expresión anterior se reduce a una constante y el valor asintótico del factor
se puede ver como:
(3.16)
Notamos que
. Por lo tanto, el primer factor en
los corchetes de (3.16) se comporta asintóticamente como , o bien:
(3.17)
Combinando las ecuaciones (3.11), (3.12), (3.15), y (3.17) llegamos al comportamiento asintótico
de :
(3.18)
(3.19)
Si la solución en (3.18) satisface la condición en la frontera de (2.17a), la opción única para la razón
P/Q estará dada por:
(3.20)
Con este resultado podemos retomar la ecuación (3.7a) y obtener el límite cuando
de la forma indicada en (3.20). Esto nos lleva al resultado final para los coeficientes o
amplitudes:
(3.21)
La ecuación anterior cumple con las cuatro condiciones en la frontera especificadas en la sección
2.2 y representa las amplitudes de los campos excitados o reflejados en la región A cuando incide
el modo en la región A.
39
Si combinamos los productos infinitos en (3.21) y cancelamos los factores exponenciales podemos
simplificar la ecuación de la siguiente manera:
(3.22)
Debemos enfatizar que el último factor dentro de los corchetes de (3.22) debe ser considerado
completamente, y no debe ser interpretado de manera separada como:
(3.23)
La razón para resto, es que los productos infinitos individuales en (3.23) son divergentes mientras
que el producto infinito de (3.22) converge a medida que m tiende a infinito.
De manera similar podemos obtener las ecuaciones para las amplitudes de los campos excitados
en la región B y C:
(3.24)
(3.25)
Las ecuaciones para los coeficientes se encontraron al analizar la incidencia del
modo fundamental en la región A. Dichos coeficientes son de hecho los elementos de la
matriz de dispersión generalizada GSM de tres puertos para una unión. Hablaremos a más detalle
sobre las características de la GSM y su aplicación para obtener la respuesta total d un filtro de
guía de onda plano-E en la siguiente sección.
Haciendo un análisis similar de la incidencia del modo fundamental en la región B y en la
región C es posible obtener los elementos restantes de la GSM que caracteriza una unión como se
presenta en [28]. Durante el desarrollo de nuestra herramienta de diseño de MATLAB se detectó
40
un error de signo en el denominador del término para el conjunto de ecuaciones
presentado en la referencia [28]. La versión corregida de este conjunto de ecuaciones se presenta
a continuación:
(3.26a)
(3.26b)
(3.26c)
(3.26d)
(3.26e)
(3.26f)
(3.26g)
(3.26h)
(3.26i)
(3.27)
(3.28)
Donde
son las constantes de propagación del i-ésimo modo en las regiones I, II, y III
respectivamente. La notación para es el coeficiente o amplitud del modo
excitado en la región debido al modo incidente en la región .
Los coeficientes están relacionado con la geometría de la estructura y la distribución
del campo en las regiones I, II, y III, respectivamente. Estos se derivan a partir de las integrales de
acoplamiento.
(3.29a)
(3.29b)
41
Donde
son las funciones de distribución ortonormales para el campo
eléctrico en las regiones I, II, y III, respectivamente. Las expresiones para los coeficientes
, de diferentes geometrías son las siguientes.
Estructura Plano E Metálica
(3.30a)
(3.30b)
(3.30c)
Estructura Plano E Bilateral
(3.31a)
(3.31b)
(3.31c)
(3.31d)
En donde son las componentes en x del número de onda de orden n en el dieléctrico y la
región de aire respectivamente. Para el caso de la estructura bilateral tenemos que resolver el
conocido problema de la guía de onda de placas paralelas rellena parcialmente con dieléctrico
[29].
(3.32a)
(3.32b)
(3.32c)
Además debemos de resolver numéricamente el siguiente conjunto de ecuaciones simultáneas
(3.33a)
(3.33b)
42
2.4. La Matriz de Dispersión Generalizada
La técnica de matriz de dispersión generalizada fue introducida por Mittra y Pace [30], y es una
extensión de la técnica convencional de matriz de dispersión la cuál es muy común en el análisis
de sistemas de microondas. La técnica convencional de la matriz de dispersión considera el flujo
de señal de una unión en una línea de transmisión donde se propaga un solo modo.
Existen al menos dos instancias para las cuales los parámetros de dispersión convencionales fallan
en proveer soluciones satisfactorias. Una es cuando la línea de transmisión es multimodal, y la
otra es cuando dos discontinuidades se encuentran en extrema proximidad. En el primer caso, los
modos propagantes interactúan en la discontinuidad, y los parámetros S deben de ser definidos
para cada uno de esos modos. Por el otro lado, en el segundo caso, las interacciones de los modos
de alto orden entre dos discontinuidades no pueden ser despreciadas incluso cuando los modos
son evanescentes.
La técnica de matriz de dispersión generalizada (GSM) es orientada hacia la “teoría de campos” a
diferencia de la técnica convencional que es orientada tradicionalmente para el estudio de
circuitos eléctricos. La GSM está compuesta por los coeficientes o amplitudes de los modos
incidentes y excitados en una discontinuidad. La definición puede ilustrarse con un ejemplo. La
figura 2.2 muestra el ya conocido problema de la guía de onda bifurcada. Se asume que este es un
problema bidimensional con el campo incidente entrando a la discontinuidad desde la
izquierda o bien desde la región I. Los campos son reflejados hacía la región I y transmitidos hacía
la región II y III. Dado que los campos pueden escribirse en término de los modos (en este caso
tenemos solo modos del tipo ) en cada región, los coeficientes modales indican con qué
amplitud y con qué fase se excita cada modo. Dichos coeficientes son los que hemos calculado en
las ecuaciones (3.26) por medio de la técnica de ajuste de modos.
Figura 2. 2 Parámetros de Dispersión de una Unión
43
Si asumimos que la amplitud del modo incidente es la unidad, entonces la amplitud compleja
del m-ésimo modo excitado (propagante o evanescente) hacía la región I sería
La amplitud compleja del p-ésimo y q-ésimo modo transmitido hacía la región II y III son:
De igual manera podemos definir otros coeficientes para la GSM y en general son
matrices de tamaño infinito.
2.4.1. Uso de la Matriz de Dispersión Generalizada GSM
La técnica de matriz de dispersión generalizada GSM es de gran utilidad para resolver problemas
en donde se estudia la interacción de los modos propagantes o evanescentes en estructuras
multimodales. La estructura que se muestra en la figura 2.2 como ya vimos se puede resolver
utilizando las técnicas de ajuste de modos y de inversión directa haciendo uso de la regla de
Cramer. Consideremos ahora la estructura mostrada en la figura 2.3. Podemos decir que una
forma estándar de resolver el problema sería expandir los campos en términos de su distribución
modal en cada una de las regiones, seguido de un ajuste de modos en la unión . La GSM es
una técnica que puede tratar este tipo de problemas de manera eficiente y exacta. La estructura
auxiliar en la figura 2.4 nos proporciona una pista de cómo podemos utilizar esta técnica.
Podemos observar que si se tiene una solución para el problema de la figura 2.4, entonces la
solución para la figura 2.3 puede obtenerse al hacer . También podemos ver que la figura
2.4 está compuesta por dos uniones. La unión A es exactamente la misma que la de la figura 2.2,
mientras que la unión B es una transición simple en la cual no puede existir el acoplamiento de
modos.
Figura 2. 3 Unión simple de guía de onda no homogénea
IV
44
Ahora podemos identificar que existe una GSM asociada para la unión A y B con los subíndices A y
B respectivamente. Tenemos entonces que es la amplitud del m-ésimo modo
transmitido hacía la región I cuando el n-ésimo modo entra a la región A por la derecha en la
región II.
Consideremos lo que sucede cuando incide una onda de tipo TE en la unión A desde la izquierda
en la región I en el caso donde . Dado que podemos describir esta onda una vez que
conocemos todas las amplitudes modales, la onda incidente puede representarse con el vector
columna de tal manera que es el coeficiente del i-ésimo modo del campo incidente.
Refiriéndonos a la figura 2.5 observamos el siguiente fenómeno de múltiples reflexiones [2]
1. En la unión A, los campos son reflejados hacía la región I y transmitidos hacía la región II y
III. El vector para el campo reflejado hacía la región I estaría dado por mientras que
el campo transmitido hacía la región III sería y el campo transmitido hacía la región II
sería .
2. Una parte del campo es reflejado hacía la unión A como
, y la otra parte se
transmite a la región IV como
. Nótese que y por lo tanto no se requiere
considerar el fenómeno de propagación entre la unión A y B.
3. De esta manera se llevan a cabo el fenómeno de múltiples reflexiones como se observa en
la figura 2.5. Los campos resultantes en la región I y IV después de este proceso de
interacciones puede obtenerse como la suma de todos los campos transmitidos y
reflejados sucesivamente.
Figura 2. 4 Geometría auxiliar para la Figura 2.3
Expresamos el campo en la región IV con el vector modal :
(4.1)
IV
45
La sumatoria tiene la forma de una serie de Neuman y puede ser expresada de manera compacta
como se muestra en la última línea. Dado que la unión A y B se unen a medida que
podemos definir la matriz GSM compuesta para la combinación de ambas uniones como
(4.2)
De manera similar podemos obtener la GSM para las uniones compuestas restantes. El proceso
descrito arriba es matemáticamente exacto debido a que las matrices con las que se trabaja son
de tamaño infinito. Sin embargo, en la práctica, el tamaño de las matrices debe de ser finito, de
manera que los resultados que obtendremos serán aproximados debido al truncamiento de las
matrices. Afortunadamente, para muchas aplicaciones se pueden obtener resultados muy
precisos para matrices con tamaños relativamente pequeños.
Figura 2. 5 Fenómeno de múltiples reflexiones para dos uniones con
1
2
3
4
5
6
46
2.4.2. Proceso de Cascada de Matrices GSM de un filtro Plano E
En la sección anterior, se presentó el método de matriz de dispersión generalizada GSM para un
problema con valores en la frontera. En esta sección presentamos la aplicación del método GSM
orientada para el estudio de problemas de circuitos como se describe en [2]. En muchos circuitos
de microondas, un escenario común es que se nos presenten varias discontinuidades en cada
sección. Un buen ejemplo de estos casos son los filtros de guía de onda plano-E. Mientras que las
discontinuidades se encuentren lejos con respecto a la longitud de onda dentro de la guía, los
parámetros de dispersión convencionales aplican bastante bien. Sin embargo, en muchos casos
esto no sucede, y la interacción de los modos de alto orden debe tomarse en cuenta para tener
una descripción real del fenómeno físico. La técnica de GSM automáticamente incluye todos los
modos de orden superior y en principio podemos incluir tantas interacciones modales como sean
necesarias para lograr la exactitud deseada.
La aplicación de la técnica GSM para el estudio de un septo bilateral de un filtro plano-E como el
que se muestra en la figura 2.6 se describe a continuación.
Figura 2. 6 Vista desde arriba de un septo bilateral
En un filtro bilateral la capa de dieléctrico se inserta en el centro de la guía de onda de forma
paralela a las placas metálicas de la guía. Debido a que en la práctica el filtro se diseña de tal
forma que se propague solo el modo dominante ; y dado que la estructura es simétrica,
podemos utilizar una pared magnética en el centro para analizar solo la mitad de la estructura
como se muestra en la figura 2.7.
47
Figura 2. 7 Derivación de la GSM de un septo bilateral de longitud finita
UNION A UNION B
48
Figura 2. 8 Proceso de cascada de dos septos y un resonador
49
La estructura del septo bilateral puede identificarse con dos uniones idénticas A y B separadas por
una distancia . La unión A o B pueden resolverse exactamente como ya lo hemos hecho con las
técnicas de ajuste de modos. Cada una de estas uniones se caracteriza con una matriz GSM de
tres puertos que contiene nueve elementos, y cada elemento es de dimensión infinita debido a la
inclusión de todos los modos de orden superior. Tenemos entonces que la matriz GSM que
caracteriza la unión A tendría la siguiente forma:
(4.3)
Los elementos son de tamaño infinito y su forma específica es como se
obtuvo en el conjunto de ecuaciones (3.26a) (3.26i).
El proceso siguiente requiere poner en cascada las matrices GSM que corresponden a las uniones
y incluyendo la transmisión de los modos en las regiones II y III. Para sacar ventaja de la
simetría de la estructura combinamos primero y con la mitad de un septo de longitud . La
mitad de las longitudes de las guías de ondas más pequeñas para la región II y III se caracterizan
por medio de las matrices de transmisión y respectivamente. Estas matrices de transmisión
son matrices diagonales de tamaño infinito donde su diagonal contiene términos exponenciales en
cuyo argumento se incluye la constante de propagación de cada modo y la distancia por la cual
viaja la onda electromagnética, en este caso dicha distancia de propagación corresponde a mitad
de la longitud del septo . Tenemos entonces la siguiente expresión para los elementos de la
matriz de transmisión de la región II y III:
(4.4a)
(4.4b)
Donde y son las constantes de propagación del enésimo modo en las regiones II y III
respectivamente. La GSM para la unión A mas la transmisión a lo largo de la mitad de la longitud
del septo bilateral está dado entonces por:
(4.5)
Y de manera similar tenemos
(4.6)
Entonces la matriz de transmisión está dada por
(4.7)
50
La ecuación (4.5) y (4.6) indica que los planos de referencia para la unión A se mueven por una
distancia en las regiones II y III y por una distancia cero en la región I.
(4.8)
(4.9)
Tras un proceso de combinación de matrices llegamos al resultado mostrado en (4.10) y (4.11)
para la GSM de un septo de longitud finita. Cabe mencionar que debido a que la unión A y B
tienen las mismas características a excepción de su orientación opuesta, podemos obtener la
expresión de la GSM del septo de longitud finita en función de los parámetros de una sola unión.
(4.10)
(4.11)
Y donde es el elemento matricial de
.
El proceso para poner en cascada dos septos es relativamente simple y se muestra en la figura 2.8,
hacemos que la matriz GSM del septo A sea y del septo B sea . Ambas matrices y son
de tamaño y sus elementos matriciales menores son de tamaño infinito. El septo
representado por se pone en cascada primero con la sección de guía de onda de longitud
representada por la matriz de transmisión :
(4.12)
Donde la matriz es una matriz diagonal de tamaño infinito que representa la transmisión de los
modos a lo largo de la región I.
(4.13)
Donde es la constante de propagación del i-ésimo modo en la región de la guía de onda con
longitud . El resultado de poner en cascada la matriz con es:
(4.14)
51
El siguiente paso es poner en cascada las matrices y para obtener la matriz GSM de la
estructura compuesta por dos septos y una sección de transmisión en un resonador como se
muestra en la figura 2.8.
(4.15)
El proceso se repite hasta que se obtenga la matriz de dispersión GSM de la estructura completa
del filtro compuesta por cualquier número de septos y resonadores.
Las ecuaciones de la matriz de dispersión de un septo de longitud finita y la matriz de dispersión
que representa la cascada de un septo de longitud finita con una sección de transmisión en un
resonador presentadas en [2] contienen errores que llevan a complicaciones en la implementación
numérica por lo que en (4.10) y (4.15) se presentan las versiones corregidas.
A continuación presentamos las ecuaciones de [2] con el propósito de documentar los errores en
las matrices.
Obtención de un septo finito según [2]:
(4.16)
(4.17)
Cascada de dos septos y una sección de resonador según [2]:
(4.18)
52
3. Implementación Numérica y Análisis de Resultados
3.1. Ecuaciones de Continuidad de una Unión Ideal
Campo Incidente en la Región A
A continuación presentamos el análisis numérico de las ecuaciones de continuidad para el campo
incidente en la región A para la guía de onda bifurcada por un septo ideal, es decir infinitamente
largo e infinitesimalmente delgado.
La figura 3.1 muestra la incidencia del modo fundamental en la región A, como sabemos la
incidencia de esta onda en la unión excita un número infinito de campos en las regiones A, B, y C.
Figura 3. 1 Guía de onda bifurcada y campo incidente en la región A
El campo incidente en la región A tiene energía unitaria y está dado por:
(1.1)
El campo eléctrico debido a la contribución de los modos excitados en cada una de las regiones
por el campo incidente está dado por:
(1.2a)
(1.2b)
(1.2c)
Aplicando la propiedad de continuidad del campo eléctrico tenemos:
(1.3a) (1.3b)
Región A
Región C
Región B
53
(1.4)
(1.5)
Multiplicamos (1.4) por e integramos con respecto de x sobre la región B
(1.6)
Multiplicamos (1.5) por e integramos con respecto de x sobre la región C
(1.7)
En el lado izquierdo de (1.6) tenemos la integral que describe el acoplamiento de los modos
excitados en la región A con la distribución de campo de prueba en la región B. Tras un
poco de manipulación matemática la expresión se reduce a:
(1.8)
(1.9)
(1.10)
La distribución en del campo eléctrico en cada una de las regiones es ortonormal por lo que
tenemos la siguiente propiedad:
(1.12)
(1.13)
(1.14)
54
En el lado derecho de (1.6) tenemos la integral que describe el acoplamiento de los modos
excitados en la región B con la distribución de campo de prueba el cual pertenece a esta
misma región. Aplicando la propiedad de ortonormalidad (1.14) tenemos:
(1.15)
Obtenemos entonces de la ecuación de continuidad una expresión que involucra los coeficientes
de la matriz de dispersión generalizada y los coeficientes de acoplamiento solamente:
(1.16)
Donde sabemos que la notación representa la amplitud del campo excitado q en la región
s debido al campo incidente r en la región t.
De manera análoga en el lado izquierdo de (1.7) tenemos la integral que describe el acoplamiento
de los modos excitados en la región A con la distribución de campo de prueba en la región
C. Tras un poco de manipulación matemática la expresión se reduce a:
(1.17)
(1.18)
(1.19)
En el lado derecho de (1.7) tenemos la integral que describe el acoplamiento de los modos
excitados en la región C con la distribución de campo de prueba el cual pertenece a esta
misma región. Aplicando la propiedad de ortonormalidad (1.14) tenemos:
(1.20)
Tenemos entonces de la ecuación de continuidad una expresión que involucra los coeficientes de
la matriz de dispersión generalizada y los coeficientes de acoplamiento solamente:
(1.21)
55
Campo Incidente en la Región B
La figura 3.2 muestra la incidencia del modo fundamental en la región B, donde el campo
incidente en la región B tiene energía unitaria y está dado por:
(1.22)
Figura 3. 2 Guía de onda bifurcada y campo incidente en la región B
El campo eléctrico debido a la contribución de los modos excitados en cada una de las regiones
por el campo incidente sobre la región B está dado por:
(1.23a)
(1.23b)
(1.23c)
Aplicando la propiedad de continuidad del campo eléctrico tenemos:
(1.24a) (124b)
(1.25)
(1.26)
Región A
Región C
Región B
56
Multiplicamos (1.25) por e integramos con respecto de x sobre la región B
(1.27)
Multiplicamos (1.26) por e integramos con respecto de x sobre la región C
(1.28)
Haciendo uso de (1.10) y la propiedad de ortonormalidad (1.14) la ecuación (1.27) se reduce a:
(1.29)
Haciendo uso de (1.19) y la propiedad de ortonormalidad (1.14) la ecuación (1.28) se reduce a:
(1.30)
Campo Incidente en la Región C
La siguiente figura muestra la incidencia del modo fundamental en la región C, donde el
campo incidente en la región C tiene energía unitaria y está dado por:
(1.31)
El campo eléctrico debido a la contribución de los modos excitados en cada una de las regiones
por el campo incidente sobre la región C está dado por:
(1.32a)
(1.32b)
57
(1.32c)
Figura 3. 3 Guía de onda bifurcada y campo incidente en la región C
Aplicando la propiedad de continuidad del campo eléctrico tenemos:
(1.33a) (1.33b)
(1.34)
(1.35)
Multiplicamos (1.34) por e integramos con respecto de x sobre la región B
(1.36)
Multiplicamos (1.35) por e integramos con respecto de x sobre la región C
(1.37)
Región A
Región C
Región B
58
Haciendo uso de (1.10) y la propiedad de ortonormalidad (1.14) la ecuación (1.36) se reduce a:
(1.38)
Haciendo uso de (1.19) y la propiedad de ortonormalidad (1.14) la ecuación (1.37) se reduce a:
(1.39)
3.2. Características en Transmisión y Reflexión de una Unión Ideal
Una vez que se comprueban las ecuaciones de continuidad para la guía de onda de placas
paralelas bifurcada por un septo infinitamente largo e infinitesimalmente delgado podemos
proceder a calcular los parámetros de transmisión y reflexión asociados como en [31].
Consideramos la incidencia de un campo fundamental en una de las guías de onda pequeñas
como se muestra en la estructura de la figura 3.4 donde .
Figura 3. 4 Guía de onda bifurcada con t=0
Región A
Región C
Región B
59
Figura 3. 5 Magnitud del coeficiente de reflexión
Figura 3. 6 Fase del coeficiente de reflexión
60
Figura 3. 7 Magnitud del coeficiente de transmisión
Figura 3. 8 Magnitud del coeficiente de transmisión
61
3.3. Características de Reflexión de un Septo de Longitud Finita
A continuación presentamos las curvas del coeficiente de reflexión y su fase para un septo de
longitud finita infinitesimalmente delgado como se demuestra en [32]. Para replicar estas curvas
se implementó una rutina en MATLAB que calcula las ecuaciones (4.10) y (4.11) para obtener la
matriz de dispersión de un septo de longitud finita en una guía de onda bifurcada de puras placas
paralelas metálicas (sin dieléctrico) con las siguientes características:
Ancho de la guía de onda:
a=7.112 mm
Ancho de dieléctrico
b=c=a/2
Número de modos M=3
En la figura 3.9 se muestra el coeficiente de reflexión con relación a la longitud del septo para un
rango de frecuencia de 26 GHz a 40 GHz con un paso de 2 GHz, donde la curva correspondiente a
los 26 GHz tiene la mayor magnitud de y la curva de 40 GHz tiene la menor magnitud de
para toda variación de . Podemos observar que a medida que incrementa la longitud
del septo para una frecuencia determinada, la magnitud del coeficiente de reflexión tiende a la
unidad. De manera similar en la figura 3.10 se presenta la fase del coeficiente de reflexión y su
dependencia prácticamente lineal con la longitud del septo insertado dentro de la guía de onda en
el rango de 26 GHz a 40 GHz con incrementos de 2 GHz.
Figura 3. 10 para un septo de longitud finita
Figura 3. 9 Fase de para un septo de longitud finita
Región A
Región C
Región B
62
3.4. Respuesta de un Filtro Plano E de Bilateral no Sintonizable
A continuación hacemos uso de nuestra herramienta MATLAB para reproducir las curvas del
coeficiente de reflexión y de transmisión obtenidas en [28]. La figura 3.11 muestra el diseño de un
filtro plano E bilateral compuesto por 5 resonadores y que opera en la banda de frecuencia
(26.5-40 GHz). La frecuencia central del filtro es 38.85 GHz, el ancho de banda dentro del rizo de
0.1 dB es 1.1 GHz, y la selectividad a 500 MHz con respecto a las frecuencias y es de -40 dB.
La figura 3.12 muestra la respuesta en frecuencia en transmisión y en reflexión
. El rizado del filtro puede apreciarse de manera similar en la figura 3.13.
Tamaño de resonadores
Tamaño de septos
En este diseño en particular es importante notar que los resonadores están acoplados débilmente
debido a que los septos que los separan son relativamente más grandes. En general cada septo
puede ser modelado por un circuito T equivalente que consta únicamente de elementos reactivos.
Este circuito T equivalente resulta de gran utilidad en el diseño convencional de circuitos pasivos
de microondas y ondas milimétricas y nos da la posibilidad de obtener excelentes medidas iniciales
que servirán como punto de partida en un proceso de optimización. Describiremos este circuito
equivalente a mayor detalle en la sección 3.6.
Figura 3. 11 Vista lateral de la placa insertada en el filtro plano E bilateral
Sustrato: RT/Duroid Guía de Onda Altura Ancho Anchura t=0 mm
H
63
Figura 3. 12 Características de transmisión y reflexión para el filtro plano E Bilateral diseñado en [28]
Figura 3. 13 Coeficiente de Transmisión (rizado) para el filtro bilateral diseñado en [28]
64
3.5. El Problema de la Guía de Onda Parcialmente Rellena de Dieléctrico
Para poder diseñar un filtro plano E del tipo bilateral es necesario abordar el problema de la guía
de onda de placas paralelas parcialmente rellena con dieléctrico. La figura 3.14 presenta la
geometría de este problema en donde la sección con líneas transversales representa una región de
dieléctrico con ancho dentro de la guía.
Figura 3. 14 Geometría de una guía de onda parcialmente rellena de dieléctrico
Dadas las características de este sistema no existe una expresión matemática cerrada para
encontrar el número de onda correspondiente a cada modo que puede propagarse dentro de la
guía [11], por esta razón es necesario implementar un método numérico para resolver el conjunto
de ecuaciones simultáneas en (5.1).
(5.1)
Donde es la permitividad relativa del dieléctrico, y son las componentes en x del
número de onda de orden m en la región con dieléctrico y aire respectivamente. La figura 3.15
muestra los primeros dos cruces por cero de la función , dichos cruces indican los valores de
y para los primeros dos modos que resuelven el sistema de ecuaciones simultáneas en (5.1).
Figura 3. 15 Curva “y” con 2 soluciones del sistema de ecuaciones simultáneas
En donde
(5.2)
65
En la figura 3.16 observamos que a medida que la ecuación (5.2) se aproxima a una
función sinusoidal; sin embargo en nuestra implementación numérica utilizamos un método de
bisección para encontrar todos los modos que resuelven el par de ecuaciones simultáneas en (5.1).
Figura 3. 16 Curva “y” para encontrar “N” soluciones del sistema de ecuaciones simultáneas
3.6. Parámetros de Reactancia y Circuito Equivalente de un Septo Bilateral
Ahora estudiaremos el circuito equivalente de un septo bilateral de longitud finita y sus
características de reactancia con respecto a la longitud del septo. Esta será la clave para el
diseño de los filtros que presentaremos ya que los parámetros del circuito equivalente están
relacionados con su matriz de impedancia y esta a su vez con los parámetros de dispersión del
septo bilateral.
La figura 3.17 muestra el diagrama del circuito equivalente para un septo de longitud finita
como se presenta en [33].
Figura 3. 17 Circuito equivalente de un septo bilateral
Vista de Lado
66
Los valores de reactancia del circuito equivalente pueden ser calculados por medio de los
parámetros de dispersión del septo de longitud finita bilateral según [28]. Supongamos que la
matriz de dispersión del modo fundamental para un septo bilateral de longitud está dado por:
(6.1)
Y tenemos que para un dispositivo de dos puertos recíproco sin pérdidas debe permanecer la
siguiente expresión:
(6.2)
Ahora bien si convertimos la matriz de dispersión a su matriz de impedancia correspondiente y la
igualamos a la matriz de impedancia del circuito equivalente del septo bilateral tenemos la
siguiente relación:
(6.3)
Al igualar ambos lados de la ecuación tenemos que los parámetros de reactancia del circuito
equivalente están relacionados directamente con los parámetros de dispersión del septo bilateral
de longitud finita de la siguiente manera:
(6.4)
Figura 3. 18 Parámetros de reactancia y su dependencia con la longitud del septo bilateral
67
3.7. Método de Síntesis para Filtros de Guía de Onda Plano E
A continuación presentamos el método de síntesis propuesto en [34] para la obtención de los
inversores de impedancia que conforman un circuito prototipo con parámetros distribuidos. Una
vez que contamos con dichos elementos ideales es posible implementar un método numérico para
obtener las distancias de septos y resonadores del filtro de guía de onda plano E que proporcionan
la respuesta en frecuencia deseada.
El método de síntesis utiliza las fórmulas de Rhodes [35] para obtener los valores de un prototipo
paso bajo de elementos distribuidos. El circuito equivalente del septo bilateral que se describió en
la sección anterior en conjunto con el método de síntesis será de gran utilidad para obtener las
longitudes de los septos y el espaciamiento necesario entre ellos.
La metodología de diseño de un filtro paso banda bilateral o de puras placas metálicas toma como
punto de partida los siguientes parámetros de diseño:
Factor de rizado en la banda de paso
Ancho de banda con referencia a las frecuencias
El nivel de atenuación para la banda de rechazo en
El procedimiento de síntesis es como se muestra en los siguientes pasos:
1) Determinar la longitud dentro de la guía de onda de banda media resolviendo:
(7.1)
Donde son las longitudes de onda dentro de la guía dentro de la sección de resonador
para las frecuencias respectivamente. Para el caso de ancho de banda estrecho tenemos
que y entonces:
(7.2)
Sin embargo para el caso de anchos de banda grandes debe de resolverse numéricamente.
2) Determinar el factor de escalamiento
(7.3)
3) Determinar el número de resonadores R. Esto se puede conseguir encontrando el mínimo
valor de R para el cual se cumple la atenuación L en la banda de rechazo:
(7.4)
68
(7.5)
Donde es el polinomio de Chebyshev de orden R y es la longitud de onda dentro de la guía
para la frecuencia de rechazo donde la atenuación alcanza los dB.
(7.6)
4) Calcular las impedancias de los elementos distribuidos y los valores de inversores de
impedancia requeridos para el circuito equivalente de cada septo.
(7.7)
(7.8)
5) Dado que la impedancia característica de las secciones de resonadores son idénticas, se
escala la impedancia a la unidad con lo que tenemos:
(7.9)
6) Ahora determinamos la longitud de los septos del filtro plano E de tal manera que
cumplan con los valores de los inversores de impedancia requeridos en el paso anterior.
Para lograrlo utilizamos el circuito T equivalente del septo y la relación que existe entre las
reactancias con los parámetros de dispersión.
(7.10)
(7.11)
(7.12)
Donde son los parámetros de dispersión del septo para el modo dominante en la
frecuencia central del filtro paso banda. Nótese que en el cálculo de se toman en
cuenta los efectos de los modos de alto orden por lo que los resultados que obtendremos serán
exactos y representarán el fenómeno físico de propagación de manera confiable. Los parámetros
69
son funciones de la longitud del septo , y dado que no existe una expresión matemática
cerrada para conocer los valores de que satisfacen los inversores de impedancia del circuito
equivalente obtenidos en el procedimiento de síntesis se debe implementar un método numérico.
7) Finalmente una vez que encontramos las longitudes de los septos adecuadas que cumplen
con los valores de inversores de impedancia en el paso 6 podemos encontrar la longitud
de los resonadores del filtro plano E de la siguiente manera:
(7.13)
A continuación presentamos el diseño de un filtro plano E bilateral con una frecuencia central de
60 GHz, ancho de banda de 500 MHz y nivel de rizo de 0.1 dB. Para obtener un filtro plano E que
opera en la banda V (50-75 GHz) es necesario utilizar las medidas estándar de la guía de onda.
Tabla 3. 1 Parámetros de Diseño Filtro V-Band
Parámetros de Diseño Filtro Bilateral con f0= 60 GHz
Ancho de Guía 2a=0.148 pulgadas=3.759 mm
Altura de Guía l=0.074 pulgadas=1.88 mm
Ancho de Dieléctrico b=0.02*a=37.592 um
Permitividad Relativa
Frecuencia Central
Ancho de Banda
Banda de Transición
Frecuencias Límite
Frecuencia de Rechazo
Donde es el nivel de atenuación en la frecuencia de rechazo y es la amplitud del rizo en la
banda de paso en potencia es decir:
Para encontrar las longitudes de onda dentro de la guía en la sección de los resonadores
utilizamos la siguiente ecuación (7.14) como se describe en [36]y [37].
(7.14)
Utilizando las ecuaciones de Rhodes en [35] implementamos una rutina de búsqueda para
encontrar el número de resonadores necesarios que cumplen con los parámetros de diseño de la
tabla 3.1. Tenemos entonces que para satisfacer el nivel de atenuación en la banda de rechazo
para se requiere escoger .
x
y z
2a 2b
70
Figura 3. 19 Selección de número de resonadores Respuesta Teórica Chebychev
Figura 3. 20 Rizado en Respuesta Teórica Chebyshev
Escogemos R=5 para reducir la complejidad de nuestro diseño y en la figura 3.21 se muestran los
valores de los inversores de impedancia requeridos para cada septo bilateral.
71
Figura 3. 21 Inversores de impedancia Kr y longitudes de Septos y Resonadores
Haciendo uso de los parámetros del circuito equivalente y su relación con la matriz de dispersión,
implementamos un método de bisección para encontrar las distancias de septos que cumplen con
los inversores de impedancia requeridos en la síntesis como se muestra en la figura 3.22. Al
concluir este proceso de búsqueda, las distancias en milímetros de los septos que proporcionan la
respuesta en frecuencia adecuada para el diseño inicial se guardan en el vector .
Similarmente las distancias de los resonadores se guardan en el vector con sus
unidades calculadas también en milímetros.
Figura 3. 22 Curvas para encontrar la longitud de septos que proporcionan los valores de Kr del circuito equivalente.
72
Una vez que conocemos las distancias de los septos y resonadores del filtro plano E bilateral
podemos obtener la respuesta total del filtro en transmisión y reflexión:
Figura 3. 23 Coeficiente de Transmisión y Reflexión Filtro 60 GHz con BW=500 MHz
Figura 3. 24 Banda de paso y rizado a 0.1 dB
73
4. Logrando la Sintonización
4.1. Método de Sintonización con Variaciones de la Permitividad Relativa del Dieléctrico para
un Filtro Plano E Bilateral en la banda V de Frecuencia
En el primer paso de este estudio de sintonización se utilizan los mismos parámetros de diseño de
la Tabla 3.1 para obtener las medidas de septos y resonadores del diseño inicial como se muestra
en la figura 3.21. Una vez que se conocen las medidas iniciales se puede calcular la respuesta en
frecuencia para nuestro filtro centrado en 60 GHz como se mostró en la figura 3.23 y 3.24 en la
sección anterior y como se muestra ahora en la figura 3.26 con la curva azul. La respuesta en
frecuencia calculada para las medidas iniciales obtenidas con el método de síntesis se aproximan a
la respuesta Chebyshev objetivo de nuestro diseño; sin embargo existe cierto error con respecto al
ancho de banda y frecuencia central deseadas. La frecuencia central de nuestro diseño inicial es
59.9658 GHz y el ancho de banda es 465.6 MHz, este último parámetro se encuentra a 34.4 MHz
por debajo de las especificaciones lo cual representa un error relativo del 6.88%. Para eliminar
estos errores utilizamos la función de optimización “lsqnonlin” de MATLAB con la cual se
encuentran los valores de septos y resonadores que minimizan el error cuadrático medio entre la
respuesta actual del filtro y la respuesta Chebyshev objetivo. La figura 3.25 muestra las medidas
de septos y resonadores obtenidas al concluir el proceso de optimización. Las figuras 3.26 y 3.27
muestran la respuesta en frecuencia del filtro optimizado en comparación con la respuesta del
diseño inicial y la respuesta objetivo Chebyshev.
Figura 3. 25 Distancias de Septos y Resonadores Optimizados
74
Figura 3. 26 Diseño y Optimización Filtro Bilateral con
Figura 3. 27 Diseño y Optimización Filtro Bilateral con (Rizado x=0.1 dB)
Una vez que contamos con las medidas de septos y resonadores que proporcionan una respuesta
optimizada para y se corre el programa MATLAB variando la
permitividad relativa del dieléctrico en el rango de con como se
muestra en la figura 3.28. Podemos observar que a medida que aumenta el espectro se recorre
hacía la izquierda y a medida que disminuye el espectro se desplaza hacia la derecha, logrando
con esto la sintonización. La figura 3.29 y 3.30 nos muestran que la sintonización de la frecuencia
central y el error del ancho de banda tienen una dependencia prácticamente lineal con las
variaciones de la permitividad del dieléctrico.
75
Figura 3. 28 Sintonización con variaciones de con
En la Tabla 3.2 se cuantifica el error del ancho de banda que resulta al llevar a cabo el proceso de
sintonización con variaciones de la permitividad relativa del dieléctrico. La magnitud de los
errores obtenidos con respecto a la respuesta objetivo Chebyshev y la dificultad para cambiar la
permitividad relativa de un dieléctrico significativamente nos indica que el método resulta viable
solo para diseños en donde se requiere un ajuste fino en la frecuencia central y en donde la
penalización en el ancho de banda no es un factor crítico.
Figura 3. 29 Dependencia lineal de
Figura 3. 30 Dependencia lineal del error del ancho de banda BW con
76
Tabla 3. 2 Medición de BW y y sus respectivos errores tras el proceso de sintonización con
BW (MHz) Error Relativo
BW (%) Error Absoluto
BW (MHz)
2.1 60.0928 505.2801 1.05602 5.2801
2.105 60.0882 505.2951 1.05902 5.2951
2.11 60.0836 504.86 0.972 4.86
2.115 60.0789 504.65 0.93 4.65
2.12 60.0742 504.485 0.897 4.485
2.125 60.0695 504.32 0.864 4.32
2.13 60.0648 504.23 0.846 4.23
2.135 60.0602 503.795 0.759 3.795
2.14 60.0556 503.78 0.756 3.78
2.145 60.0509 503.345 0.669 3.345
2.15 60.0462 503.225 0.645 3.225
2.155 60.0414 502.955 0.591 2.955
2.16 60.0368 502.67 0.534 2.67
2.165 60.0321 502.475 0.495 2.475
2.17 60.0275 502.34 0.468 2.34
2.175 60.0228 502.28 0.456 2.28
2.18 60.0181 501.95 0.39 1.95
2.185 60.0134 501.545 0.309 1.545
2.19 60.0088 501.32 0.264 1.32
2.195 60.004 501.125 0.225 1.125
2.2 59.9995 500.9 0.18 0.9
2.205 59.9948 500.72 0.144 0.72
2.21 59.9901 500.51 0.102 0.51
2.215 59.9855 500.33 0.066 0.33
2.22 59.9808 500.15 0.03 0.15
2.225 59.976 499.955 -0.009 0.045
2.23 59.9714 499.775 -0.045 0.225
2.235 59.9667 499.61 -0.078 0.39
2.24 59.962 499.22 -0.156 0.78
2.245 59.9573 498.875 -0.225 1.125
2.25 59.9527 498.815 -0.237 1.185
2.255 59.948 498.56 -0.288 1.44
2.26 59.9433 498.29 -0.342 1.71
2.265 59.9387 498.095 -0.381 1.905
2.27 59.934 497.855 -0.429 2.145
2.275 59.9293 497.66 -0.468 2.34
2.28 59.9247 497.57 -0.486 2.43
2.285 59.92 497.435 -0.513 2.565
2.29 59.9154 497 -0.6 3
2.295 59.9107 496.82 -0.636 3.18
2.3 59.906 496.67 -0.666 3.33
77
4.2. Método de Sintonización por Variaciones de Longitud de Efectiva de Septos y
Resonadores
Como vimos en la sección anterior el método de sintonización por medio de variaciones de la
permitividad relativa del dieléctrico puede ser utilizado para sintonización fina; sin embargo
cuando trabajamos con aplicaciones que requieren seleccionar canales en un rango de frecuencia
mucho más amplio se requiere un método de sintonización distinto. En esta sección se presenta
una nueva metodología y análisis que propone variar las longitudes efectivas de las placas
metálicas o septos dentro de la estructura del filtro plano E de manera controlada haciendo uso de
MEM para llevar a cabo el proceso de sintonización.
Es importante mencionar que en este estudio de sintonización se toman en cuenta los mismos
parámetros de las dimensiones físicas de la guía de onda para un filtro V-Band como se muestra en
la Tabla 3.1, y además se mantiene fija la permitividad relativa del dieléctrico ya que el
efecto de este mismo ya ha sido estudiado en la sección anterior.
La metodología para obtener un filtro sintonizables es la siguiente:
1) Se define el ancho de banda BW del filtro con respecto a los puntos de frecuencia de 0.1
dB y así como la banda de transición del filtro . Este último parámetro es la
distancia que existe entre la frecuencia de rechazo a de atenuación y las
frecuencias y a 0.1 dB.
2) Se define un vector de corrimiento de frecuencia que contiene el conjunto de
frecuencias centrales para las cuales se realiza el análisis de la respuesta del filtro
3) Se toma cada uno de los puntos del vector de frecuencia como la frecuencia
central a analizar, y con las especificaciones de diseño del filtro se implementa el método
de síntesis en [34] y [35] para obtener las distancias de septos y resonadores que servirán
como punto de partida en la rutina de optimización.
4) Las longitudes obtenidas en el diseño inicial se aproximan bastante a la respuesta teórica
Chebyshev, sin embargo existe cierto error con respecto a la frecuencia central y el ancho
de banda del filtro. Para eliminar el error utilizamos la función de optimización “lsqnonlin”
de MATLAB con la que se encuentran los valores de septos y resonadores que minimizan
el error cuadrático medio entre la respuesta actual del filtro y la respuesta Chebyshev
objetivo
5) Una vez que contamos con las distancias de los septos y resonadores optimizadas para
cada frecuencia central , se propone ajustar la longitud total del filtro y mantenerla fija
para disminuir la complejidad de diseño e implementación del dispositivo.
Definimos el vector de longitudes donde el subíndice se refiere a la longitud total del
filtro para cada punto de frecuencia central. El hecho de tener una longitud total del filtro
distinta para cada frecuencia de sintonización aumenta considerablemente la complejidad
78
del filtro. Para evitar este problema se define una longitud del filtro fija para todas
las frecuencias centrales en el proceso de sintonización:
Para mantener la longitud del filtro fija es necesario hacer un ajuste de compensación
sobre los septos optimizados.
Donde es un vector que contiene las distancias de los septos después de realizar el
ajuste sobre las distancias de los septos optimizados .
Al ajustar las longitudes de los septos para mantener la longitud total del filtro en se
impacta en cierta medida el ancho de banda y frecuencia central del filtro por lo que se
debe cuantificar el error con respecto a la respuesta Chebyshev objetivo. Si la magnitud
de los errores obtenidos están dentro de los límites de tolerancia que permite nuestra
aplicación podemos tomar estas medidas de septos y resonadores ajustadas como
satisfactorias.
6) Una vez que se obtienen las configuraciones de septos y resonadores para cada frecuencia
central se puede implementar un algoritmo para mover las placas metálicas de manera
controlada por medio de dispositivos MEMS.
A continuación se presenta el análisis y los resultados obtenidos en cada una de las etapas de
diseño que se listan arriba.
79
4.2.1. Análisis del Diseño Inicial
La figura 3.31 muestra la respuesta en transmisión y reflexión del modo dominante para las
frecuencias centrales de 56 – 64 GHZ con incrementos de 2 GHz para el filtro con las longitudes
iniciales de septos y resonadores obtenidas con el método de síntesis en [34] y [35]. La figura 3.32
muestra la respuesta en transmisión para el diseño inicial del filtro en comparación con la
respuesta objetivo Chebyshev. La cuantificación de los errores del diseño inicial en relación con la
respuesta teórica objetivo se estudia en la tabla 3.3.
Figura 3. 31 Respuesta en Transmisión y Reflexión Diseño Inicial
80
Figura 3. 32 Respuesta en Transmisión Diseño Inicial y Objetivo Chebyshev
81
Tabla 3. 3 Medición de parámetros del filtro y cuantificación del Error en el Diseño Inicial
f0 (GHz)
fl (GHz)
fh (GHz)
Error Abs f0 (MHz)
Error Relativo f0
(%)
Error Abs BW
(MHz)
Error Relativo BW
(%)
Rizo Máximo
(dB)
Error Rizo Promedio
(dB)
55.9779 55.7377 56.2182 22.1 -0.039464 19.502 -3.9004 0.0998 0.048
56.1776 55.9374 56.4177 22.4 -0.039858 19.652 -3.9304 0.1 0.0481
56.377 56.1372 56.6168 23 -0.04078 20.402 -4.0804 0.0999 0.0481
56.5767 56.3371 56.8164 23.3 -0.041166 20.7021 -4.1404 0.0996 0.0495
56.7764 56.5372 57.0156 23.6 -0.041549 21.6022 -4.3204 0.1007 0.0481
56.9759 56.7369 57.2149 24.1 -0.042281 22.0522 -4.4104 0.1 0.0494
57.1753 56.9366 57.414 24.7 -0.043182 22.6523 -4.5305 0.101 0.0484
57.3749 57.1365 57.6134 25.1 -0.043728 23.1023 -4.6205 0.0997 0.0483
57.5743 57.3363 57.8123 25.7 -0.044618 24.0024 -4.8005 0.0995 0.0511
57.7737 57.5359 58.0116 26.3 -0.045502 24.3024 -4.8605 0.1001 0.0483
57.9732 57.7356 58.2108 26.8 -0.046207 24.7525 -4.9505 0.0997 0.0994
58.1726 57.9353 58.4099 27.4 -0.047079 25.3525 -5.0705 0.0997 0.0483
58.372 58.135 58.609 28 -0.047945 25.9526 -5.1905 0.1003 0.048
58.5713 58.3345 58.808 28.7 -0.048976 26.5527 -5.3105 0.1007 0.05
58.7706 58.5342 59.0069 29.4 -0.05 27.3027 -5.4605 0.1 0.048
58.9701 58.7339 59.2062 29.9 -0.050678 27.7528 -5.5506 0.1007 0.048
59.1693 58.9335 59.4051 30.7 -0.051858 28.3528 -5.6706 0.1001 0.048
59.3683 59.1329 59.6036 31.7 -0.053367 29.2529 -5.8506 0.1009 0.0501
59.5675 59.3324 59.8026 32.5 -0.05453 29.853 -5.9706 0.1001 0.0501
59.7666 59.5318 60.0014 33.4 -0.055853 30.453 -6.0906 0.1002 0.0479
59.9657 59.7314 60.2 34.3 -0.057167 31.3531 -6.2706 0.1002 0.0478
60.1648 59.9309 60.3987 35.2 -0.058472 32.2532 -6.4506 0.1003 0.0999
60.3639 60.1303 60.5975 36.1 -0.059768 32.8533 -6.5707 0.1007 0.0478
60.5627 60.3294 60.796 37.3 -0.061551 33.4533 -6.6907 0.1007 0.0504
60.7616 60.5287 60.9945 38.4 -0.063158 34.2034 -6.8407 0.1004 0.0482
60.9605 60.7282 61.1928 39.5 -0.064754 35.4035 -7.0807 0.1005 0.0482
61.1594 60.9273 61.3915 40.6 -0.06634 35.8536 -7.1707 0.1008 0.0477
61.3581 61.1266 61.5897 41.9 -0.068241 36.9037 -7.3807 0.1005 0.0477
61.5568 61.3257 61.7879 43.2 -0.07013 37.8038 -7.5608 0.1006 0.048
61.7554 61.5246 61.9862 44.6 -0.072168 38.4038 -7.6808 0.1006 0.0505
61.954 61.7237 62.1843 46 -0.074194 39.4539 -7.8908 0.1006 0.0505
62.1524 61.9225 62.3822 47.6 -0.076527 40.354 -8.0708 0.1009 0.0476
62.3509 62.1215 62.5804 49.1 -0.078686 41.1041 -8.2208 0.1007 0.0475
62.5491 62.3201 62.7781 50.9 -0.08131 42.0042 -8.4008 0.1007 0.1001
62.7476 62.5191 62.976 52.4 -0.083439 43.0543 -8.6109 0.1007 0.0474
62.9458 62.7177 63.1738 54.2 -0.086032 43.9544 -8.7909 0.1007 0.1002
63.144 62.9165 63.3714 56 -0.088608 45.1545 -9.0309 0.1006 0.0473
63.3419 63.1149 63.5688 58.1 -0.09164 46.0546 -9.2109 0.1007 0.0476
63.5398 63.3134 63.7663 60.2 -0.094654 47.1047 -9.4209 0.1006 0.05
63.7378 63.5119 63.9637 62.2 -0.097492 48.1548 -9.631 0.1006 0.0475
63.9356 63.7102 64.1609 64.4 -0.100625 49.3549 -9.871 0.1006 0.0501
82
4.2.2. Análisis del Diseño Optimizado
La figura 3.33 muestra la respuesta en transmisión y reflexión del modo dominante para las
frecuencias centrales de 56 – 64 GHZ con incrementos de 2 GHz para el filtro optimizado. La figura
3.34 muestra la respuesta en transmisión para el filtro con las longitudes de septos optimizadas en
comparación con la respuesta objetivo Chebyshev. La cuantificación de los errores del diseño
optimizado en relación con la respuesta teórica objetivo se estudia en la tabla 3.4.
Figura 3. 33 Respuesta en Transmisión y Reflexión Diseño Optimizado
83
Figura 3. 34 Respuesta en Transmisión Diseño Optimizado y Objetivo Chebyshev
84
Tabla 3. 4 Medición de parámetros del filtro y cuantificación del Error en el Diseño Optimizado
f0 (GHz) fl (GHz) fh (GHz) Error Abs f0
(MHz) Error
Relativo f0 Error Abs BW (MHz)
Error Relativo BW
(%)
Rizo Máximo
(dB) Error Rizo Promedio
55.9995 55.7491 56.2498 0.5 -0.000893 0.7501 0.15 0.1047 0.0512
56.1994 55.9491 56.4497 0.6 -0.001068 0.6001 0.12 0.1026 0.0494
56.3996 56.1494 56.6498 0.4 -0.000709 0.45 0.09 0.1033 0.0509
56.5996 56.3492 56.85 0.4 -0.000707 0.7501 0.15 0.1052 0.0505
56.7995 56.5491 57.05 0.5 -0.00088 0.9001 0.18 0.1053 0.0512
56.9994 56.7491 57.2497 0.6 -0.001053 0.6001 0.12 0.1039 0.0525
57.1996 56.9492 57.45 0.4 -0.000699 0.7501 0.15 0.1051 0.0501
57.3995 57.1491 57.6498 0.5 -0.000871 0.7501 0.15 0.1052 0.0518
57.5995 57.3491 57.85 0.5 -0.000868 0.9001 0.18 0.1026 0.0509
57.7996 57.5492 58.05 0.4 -0.000692 0.7501 0.15 0.1044 0.05
57.9996 57.7492 58.25 0.4 -0.00069 0.7501 0.15 0.1032 0.0508
58.1996 57.9492 58.45 0.4 -0.000687 0.7501 0.15 0.1042 0.05
58.3996 58.1492 58.65 0.4 -0.000685 0.7501 0.15 0.1018 0.05
58.5995 58.3492 58.8498 0.5 -0.000853 0.6001 0.12 0.1051 0.0513
58.7994 58.5489 59.0498 0.6 -0.00102 0.9001 0.18 0.1048 0.0497
58.9994 58.7489 59.2498 0.6 -0.001017 0.9001 0.18 0.1044 0.0496
59.1995 58.9489 59.45 0.5 -0.000845 1.0501 0.21 0.1048 0.0501
59.3993 59.1489 59.6497 0.7 -0.001178 0.7501 0.15 0.1037 0.0504
59.5995 59.3491 59.8498 0.5 -0.000839 0.7501 0.15 0.1055 0.0527
59.7994 59.5489 60.0498 0.6 -0.001003 0.9001 0.18 0.1052 0.0515
59.9994 59.7489 60.2498 0.6 -0.001 0.9001 0.18 0.1045 0.0499
60.1995 59.9491 60.4498 0.5 -0.000831 0.7501 0.15 0.1055 0.0502
60.3995 60.1491 60.65 0.5 -0.000828 0.9001 0.18 0.1047 0.0502
60.5994 60.3489 60.8498 0.6 -0.00099 0.9001 0.18 0.1048 0.05
60.7993 60.5489 61.0497 0.7 -0.001151 0.7501 0.15 0.1062 0.0509
60.9994 60.7491 61.2497 0.6 -0.000984 0.6001 0.12 0.1065 0.0513
61.1994 60.9491 61.4497 0.6 -0.00098 0.6001 0.12 0.1049 0.0503
61.3994 61.1491 61.6497 0.6 -0.000977 0.6001 0.12 0.1047 0.0513
61.5995 61.3491 61.8498 0.5 -0.000812 0.7501 0.15 0.1059 0.0509
61.7994 61.5491 62.0497 0.6 -0.000971 0.6001 0.12 0.1055 0.0528
61.9994 61.7491 62.2497 0.6 -0.000968 0.6001 0.12 0.1059 0.0516
62.1994 61.9491 62.4497 0.6 -0.000965 0.6001 0.12 0.1073 0.0522
62.3994 62.1491 62.6497 0.6 -0.000962 0.6001 0.12 0.1034 0.0497
62.5994 62.3491 62.8497 0.6 -0.000958 0.6001 0.12 0.1043 0.0518
62.7995 62.5491 63.0498 0.5 -0.000796 0.7501 0.15 0.1071 0.0522
62.9994 62.7489 63.2498 0.6 -0.000952 0.9001 0.18 0.1079 0.0516
63.1994 62.9491 63.4497 0.6 -0.000949 0.6001 0.12 0.1072 0.0514
63.3994 63.1489 63.6498 0.6 -0.000946 0.9001 0.18 0.1078 0.0531
63.5994 63.3489 63.8498 0.6 -0.000943 0.9001 0.18 0.1107 0.0516
63.7993 63.5488 64.0498 0.7 -0.001097 1.0501 0.21 0.1114 0.0528
63.9994 63.7488 64.25 0.6 -0.000938 1.2001 0.24 0.1113 0.052
85
4.2.3. Análisis del Diseño con Ajuste de Septos
La figura 3.35 muestra la respuesta en transmisión y reflexión del modo dominante para las
frecuencias centrales de 56 – 64 GHZ con incrementos de 2 GHz para el filtro con ajuste de
longitud de septos. La figura 3.36 muestra la respuesta en transmisión para el filtro con las
longitudes de septos ajustadas en comparación con la respuesta objetivo Chebyshev. La
cuantificación de los errores del diseño ajustado en relación con la respuesta teórica objetivo se
estudia en la tabla 3.5.
Figura 3. 35 Respuesta en Transmisión y Reflexión Diseño con Septos Ajustados
86
Figura 3. 36 Respuesta en Transmisión Diseño Ajustado y Objetivo Chebyshev
87
Tabla 3. 5 Medición de parámetros del filtro y cuantificación del Error en el Diseño con ajuste de longitudes de septos
f0 (GHz) fl (GHz) fh (GHz) Error Abs f0
(MHz) Error
Relativo f0 Error Abs BW (MHz)
Error Relativo BW
(%)
Rizo Máximo
(dB) Error Rizo Promedio
56.0004 55.7455 56.2553 0.4 0.0007143 9.751 1.9502 0.1364 0.0822
56.2001 55.9465 56.4536 0.1 0.0001779 7.0507 1.4101 0.1237 0.0446
56.4 56.1474 56.6526 0 0 5.1005 1.0201 0.1176 0.0462
56.5998 56.3482 56.8515 0.2 -0.000353 3.3003 0.6601 0.1129 0.0483
56.7997 56.5486 57.0508 0.3 -0.000528 2.1002 0.42 0.1084 0.0496
56.9994 56.7494 57.2494 0.6 -0.001053 0 0 0.1041 0.0513
57.1994 56.9502 57.4486 0.6 -0.001049 1.5002 -0.3 0.1103 0.0528
57.3992 57.1506 57.6479 0.8 -0.001394 2.7003 -0.5401 0.1164 0.0537
57.5992 57.3512 57.8473 0.8 -0.001389 3.9004 -0.7801 0.1224 0.0598
57.7992 57.5518 58.0467 0.8 -0.001384 5.1005 -1.0201 0.1268 0.0559
57.999 57.7521 58.2459 1 -0.001724 6.1506 -1.2301 0.1311 0.0631
58.1991 57.9526 58.4456 0.9 -0.001546 6.9007 -1.3801 0.1343 0.0578
58.3989 58.1527 58.645 1.1 -0.001884 7.6508 -1.5302 0.1374 0.0596
58.599 58.3529 58.8452 1 -0.001706 7.6508 -1.5302 0.1388 0.059
58.799 58.5532 59.0449 1 -0.001701 8.2508 -1.6502 0.1401 0.0593
58.9989 58.7533 59.2446 1.1 -0.001864 8.7009 -1.7402 0.141 0.0595
59.1989 58.9532 59.4446 1.1 -0.001858 8.5509 -1.7102 0.141 0.0599
59.399 59.1533 59.6447 1 -0.001684 8.5509 -1.7102 0.1407 0.0597
59.599 59.3532 59.8449 1 -0.001678 8.2508 -1.6502 0.1393 0.0596
59.799 59.553 60.045 1 -0.001672 7.9508 -1.5902 0.1379 0.069
59.999 59.7529 60.2452 1 -0.001667 7.6508 -1.5302 0.136 0.0587
60.1991 59.9527 60.4455 0.9 -0.001495 7.2007 -1.4401 0.1334 0.0645
60.3991 60.1524 60.6458 0.9 -0.00149 6.6007 -1.3201 0.1304 0.0587
60.5992 60.3521 60.8462 0.8 -0.00132 5.8506 -1.1701 0.127 0.0577
60.7991 60.5517 61.0465 0.9 -0.00148 5.1005 -1.0201 0.1232 0.0604
60.9992 60.7512 61.2471 0.8 -0.001311 4.0504 -0.8101 0.1193 0.056
61.1992 60.9508 61.4477 0.8 -0.001307 3.0003 -0.6001 0.1153 0.0539
61.3993 61.1505 61.6482 0.7 -0.00114 2.2502 -0.45 0.1108 0.0524
61.5993 61.3497 61.8489 0.7 -0.001136 0.7501 -0.15 0.106 0.0555
61.7994 61.5491 62.0497 0.6 -0.000971 0.6001 0.12 0.1054 0.0502
61.9995 61.7485 62.2505 0.5 -0.000806 1.9502 0.39 0.1072 0.0489
62.1995 61.9476 62.4514 0.5 -0.000804 3.7504 0.7501 0.11 0.0479
62.3995 62.147 62.6521 0.5 -0.000801 5.1005 1.0201 0.1069 0.046
62.5996 62.3461 62.8532 0.4 -0.000639 7.0507 1.4101 0.1091 0.0625
62.7997 62.5452 63.0542 0.3 -0.000478 9.0009 1.8002 0.1128 0.0654
62.9997 62.744 63.2554 0.3 -0.000476 11.4011 2.2802 0.1144 0.043
63.1998 62.9431 63.4565 0.2 -0.000316 13.3513 2.6703 0.1145 0.0668
63.3998 63.1419 63.6578 0.2 -0.000315 15.9016 3.1803 0.1156 0.0401
63.5999 63.3407 63.8592 0.1 -0.000157 18.4518 3.6904 0.1188 0.0394
63.7998 63.5393 64.0604 0.2 -0.000313 21.0021 4.2004 0.1196 0.0391
63.9999 63.738 64.2619 0.1 -0.000156 23.8524 4.7705 0.1196 0.038
88
En las figuras 3.37 y 3.38 muestra el tamaño de las placas metálicas y resonadores requeridos para
sintonizar el filtro en cada punto de frecuencia. Debido a que la estructura es simétrica
geométricamente se observan solamente tres curvas.
Figura 3. 37 Longitud de Septos en el Diseño Ajustado
Figura 3. 38 Longitudes de Resonadores en el Diseño Ajustado
89
Tabla 3. 6 Longitudes de septos y resonadores en mm para el diseño ajustado
f0 (GHz) S1 R1 S2 R2 S3 R3 S4 R4 S5 R5 S6
56 0.7479 2.7913 2.2921 2.802 2.5076 2.8021 2.5076 2.802 2.2921 2.7913 0.7479
56.2 0.7623 2.7658 2.3161 2.7761 2.5335 2.7762 2.5335 2.7761 2.3161 2.7658 0.7623
56.4 0.7771 2.7407 2.3403 2.7505 2.558 2.7506 2.558 2.7505 2.3403 2.7407 0.7771
56.6 0.7914 2.716 2.364 2.7254 2.5824 2.7254 2.5824 2.7254 2.364 2.716 0.7914
56.8 0.8057 2.6917 2.3876 2.7006 2.606 2.7007 2.606 2.7006 2.3876 2.6917 0.8057
57 0.8192 2.6677 2.4106 2.6762 2.6302 2.6763 2.6302 2.6762 2.4106 2.6677 0.8192
57.2 0.8323 2.644 2.4334 2.6522 2.6538 2.6522 2.6538 2.6522 2.4334 2.644 0.8323
57.4 0.8455 2.6207 2.4561 2.6285 2.6769 2.6285 2.6769 2.6285 2.4561 2.6207 0.8455
57.6 0.858 2.5977 2.4782 2.6051 2.7003 2.6052 2.7003 2.6051 2.4782 2.5977 0.858
57.8 0.8704 2.5751 2.5002 2.5821 2.723 2.5822 2.723 2.5821 2.5002 2.5751 0.8704
58 0.8823 2.5528 2.5219 2.5594 2.7458 2.5595 2.7458 2.5594 2.5219 2.5528 0.8823
58.2 0.8943 2.5307 2.5435 2.5371 2.7678 2.5371 2.7678 2.5371 2.5435 2.5307 0.8943
58.4 0.9056 2.509 2.5646 2.515 2.7902 2.5151 2.7902 2.515 2.5646 2.509 0.9056
58.6 0.9169 2.4876 2.5857 2.4933 2.8118 2.4933 2.8118 2.4933 2.5857 2.4876 0.9169
58.8 0.9278 2.4664 2.6065 2.4718 2.8336 2.4718 2.8336 2.4718 2.6065 2.4664 0.9278
59 0.9384 2.4455 2.627 2.4506 2.8551 2.4506 2.8551 2.4506 2.627 2.4455 0.9384
59.2 0.949 2.4249 2.6476 2.4297 2.8759 2.4297 2.8759 2.4297 2.6476 2.4249 0.949
59.4 0.9591 2.4045 2.6677 2.409 2.8971 2.409 2.8971 2.409 2.6677 2.4045 0.9591
59.6 0.969 2.3844 2.6877 2.3886 2.9178 2.3887 2.9178 2.3886 2.6877 2.3844 0.969
59.8 0.9786 2.3645 2.7075 2.3685 2.9385 2.3685 2.9385 2.3685 2.7075 2.3645 0.9786
60 0.9879 2.3449 2.727 2.3486 2.9591 2.3486 2.9591 2.3486 2.727 2.3449 0.9879
60.2 0.9972 2.3255 2.7465 2.329 2.9792 2.329 2.9792 2.329 2.7465 2.3255 0.9972
60.4 1.006 2.3063 2.7658 2.3096 2.9994 2.3096 2.9994 2.3096 2.7658 2.3063 1.006
60.6 1.0146 2.2874 2.7848 2.2904 3.0196 2.2904 3.0196 2.2904 2.7848 2.2874 1.0146
60.8 1.023 2.2687 2.8038 2.2714 3.0392 2.2714 3.0392 2.2714 2.8038 2.2687 1.023
61 1.0314 2.2502 2.8227 2.2527 3.0587 2.2527 3.0587 2.2527 2.8227 2.2502 1.0314
61.2 1.0391 2.2318 2.8412 2.2341 3.0785 2.2341 3.0785 2.2341 2.8412 2.2318 1.0391
61.4 1.0466 2.2138 2.8595 2.2158 3.0984 2.2158 3.0984 2.2158 2.8595 2.2138 1.0466
61.6 1.0542 2.1958 2.878 2.1977 3.1173 2.1977 3.1173 2.1977 2.878 2.1958 1.0542
61.8 1.0613 2.1781 2.8961 2.1798 3.1367 2.1797 3.1367 2.1798 2.8961 2.1781 1.0613
62 1.0682 2.1606 2.9142 2.162 3.1559 2.162 3.1559 2.162 2.9142 2.1606 1.0682
62.2 1.0752 2.1432 2.9324 2.1445 3.1744 2.1445 3.1744 2.1445 2.9324 2.1432 1.0752
62.4 1.0813 2.126 2.9498 2.1271 3.1941 2.1271 3.1941 2.1271 2.9498 2.126 1.0813
62.6 1.0879 2.109 2.9678 2.1099 3.2123 2.1099 3.2123 2.1099 2.9678 2.109 1.0879
62.8 1.094 2.0922 2.9854 2.0929 3.2311 2.0928 3.2311 2.0929 2.9854 2.0922 1.094
63 1.1002 2.0755 3.003 2.076 3.2492 2.076 3.2492 2.076 3.003 2.0755 1.1002
63.2 1.1056 2.059 3.0204 2.0593 3.268 2.0593 3.268 2.0593 3.0204 2.059 1.1056
63.4 1.1113 2.0427 3.0377 2.0428 3.2861 2.0428 3.2861 2.0428 3.0377 2.0427 1.1113
63.6 1.1168 2.0265 3.0551 2.0264 3.3041 2.0264 3.3041 2.0264 3.0551 2.0265 1.1168
63.8 1.122 2.0104 3.0722 2.0102 3.3222 2.0101 3.3222 2.0102 3.0722 2.0104 1.122
64 1.1268 1.9945 3.0892 1.9941 3.3403 1.994 3.3403 1.9941 3.0892 1.9945 1.1268
90
Las figuras 3.39 y 3.40 muestran el desplazamiento necesario de las placas metálicas o septos del
filtro para lograr la sintonización partiendo desde la frecuencia 56 GHz hacía cualquier otro punto
de frecuencia en el rango de 56 GHz a 64 GHz. Nuevamente se considera que la estructura
conserva simetría por lo que se despliegan las curvas de tres septos
Figura 3. 39 Desplazamiento hacia la derecha Septo 1 (amarillo), Septo 2 (magenta) y Septo 3 (Cian)
Figura 3. 40 Desplazamiento hacia la izquierda Septo 1 (amarillo), Septo 2 (magenta) y Septo 3 (Cian)
91
5. Conclusiones y Trabajo Futuro
En esta Tesis se presentó una recopilación teórica para el diseño de filtros de ondas milimétricas
basados en guías de onda rectangulares. Se desarrolló un estudio de sintonización realizando
variaciones progresivas de la permitividad relativa del dieléctrico en un filtro plano E, y se
determinó que esta forma de sintonizar resulta viable solo si se requiere hacer una sintonización
fina con una pequeña penalización en los parámetros de ancho de banda y frecuencia central. Las
tendencias de las comunicaciones inalámbricas actuales requieren de anchos de banda mayores
para lograr transmisiones multi-gigabit por segundo así como un mayor rango de sintonización. La
respuesta para lograr una mayor flexibilidad y efectividad en el proceso de sintonización yace en la
funcionalidad a nivel RF que proporcionan los dispositivos microelectromecánicos MEMS actuales.
En la sección 4.2 se logró el objetivo de obtener una metodología de diseño para sintonizar un
filtro de guía de onda plano E en la región de ondas milimétricas al variar las longitudes efectivas
de los septos de manera controlada por medio de MEMS. El estudio realizado considera que las
placas metálicas insertadas en el filtro son ideales, es decir que son infinitesimalmente delgadas.
Incluir el grosor de las placas metálicas involucra determinar un conjunto de matrices de
dispersión adicionales por lo que se considera como trabajo futuro a realizar en esta investigación.
Una de las limitaciones de este trabajo es en cuanto a la generación de la arquitectura y
electrónica necesaria para manipular las placas metálicas o septos del filtro de manera controlada
por medio de MEMS, por lo que se considera un área importante a investigar para el desarrollo e
implementación física de estos filtros milimétricos. La incorporación de dispositivos MEMS en la
estructura del filtro plano E trae consigo nuevos retos de ingeniería y se considera que es una
tarea importante realizar un estudio de las nuevas discontinuidades para determinar el impacto
producido en la respuesta en frecuencia.
92
6. Referencias
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95
7. Apéndice Programa MATLAB
A continuación presentamos el programa en MATLAB principal y sus funciones con el cual
realizamos el estudio de sintonización por medio de variaciones de longitudes efectivas de septos
y resonadores.
7.1. Programa principal
clc clear all close all %--------------------------------------------------- % PARAMETROS %--------------------------------------------------- N=1000; %Términos en producto infinito a truncar M=3; %Modos Excitados P=M; %Modos Incidentes mu0=4*pi*1e-7; ep0=8.8541878176e-12; slight=299792458; %Velocidad de la Luz fpts=200;
% ----------------------------------------------------------------- % ESPECIFICACIONES FILTRO V-BAND % WR15 WG25 R620 V band 50.00 — 75.00 39.875 79.750 0.148 × 0.074 % ------------------------------------------------------------------ a=3.7592e-3/2; %Ancho region a b=0.02*a; %Ancho region b c=a-b; %Ancho region c L=(b/pi)*log(a/b)+(c/pi)*log(a/c); trband=.5e9; %Transition Band BW=.5e9; %Ripple BandWidth Lstopband=-40; %atenuación en dB en fs out of band rejection x=0.1; %amplitud del rizo en dB potencia S21^2 epr=2.2;
%------------------------------------------------------------------ % VARIACION DE FRECUENCIA CENTRAL PARA CALCULO DE DISTANCIAS %------------------------------------------------------------------ fa=56e9; fb=64e9; df=.2e9; f0sweep=fa:df:fb; for i=1:length(f0sweep) fl=f0sweep(i)-BW/2; fh=f0sweep(i)+BW/2; fs1=fl-trband; fs2=fh+trband; calc_sintesis_ball calc_dist_bisection Ri(i,:)=Dist; Si(i,:)=Width; fvector=linspace(fs1,fs2,fpts); Main_Bilateral1
96
Rxi(i,:)=abs(Scasc11(1,1,:)); Txi(i,:)=abs(Scasc21(1,1,:)); fi(i,:)=fvector; Txo(i,:)=-10*log10(1+h^2*Tchebychev(ic(1),:).^2);%Función Objetivo fo(i,:)=f; end
%---------------------------------------------------------------- % CALCULO DE ERROR DE RIZADO,BW y f0 para Respuesta Inicial Txi %----------------------------------------------------------------
margedge=0.01; for i=1:length(f0sweep) %Interpolación Respuesta Inicial Txi Txiint(i,:)=spline(fi(i,:),Txi(i,:),fo(i,:)); %Errores de frecuencia FreqErrori(i,:)=busca_fl_fh(20*log10(Txiint(i,:)),fo(i,:),margedge,x); %Errores de rizado RizoErrori(i,:)=busca_rizo(fo(i,:),20*log10(Txiint(i,:)),x); end
%---------------------------------------------------------------- % OPTIMIZACION %---------------------------------------------------------------- options=optimset('MaxFunEvals',600,'MaxIter',5,'Display','iter'); for i=1:length(f0sweep) sr0=reduce_varopt(Si(i,:),Ri(i,:),R); lb=sr0-sr0*.05; ub=sr0+sr0*.05;%Valores límite de septos y resonadores para optimización
[distSR,resnorm]=lsqnonlin(@optimiza_mincuad,sr0,lb,ub,options,Txo(i,:),f
o(i,:),R,fi(i,:),N,M,P,mu0,ep0,slight,a,b,c,L,epr) distSRrec=reconstdistSR(distSR,R); So(i,:)=distSRrec(1:R+1); Ro(i,:)=distSRrec(R+2:length(distSRrec)); f0sweep(i)*1e-9 end
%Respuesta en frecuencia con diseño Optimizado for i=1:length(f0sweep) fvector=fi(i,:); Width=So(i,:); Dist=Ro(i,:); Main_Bilateral1 Rxopt(i,:)=abs(Scasc11(1,1,:)); Txopt(i,:)=abs(Scasc21(1,1,:)); end
%---------------------------------------------------------------- % ERROR DE RIZADO,BW y f0 para Respuesta Optimizada Txopt %----------------------------------------------------------------
for i=1:length(f0sweep) %Interpolación Respuesta Optimizada Txopt Txoptint(i,:)=spline(fi(i,:),Txopt(i,:),fo(i,:)); %Errores de frecuencia
97
FreqErroropt(i,:)=busca_fl_fh(20*log10(Txoptint(i,:)),fo(i,:),margedge,x)
; %Errores de rizado RizoErroropt(i,:)=busca_rizo(fo(i,:),20*log10(Txoptint(i,:)),x); end
%-------------------------------------------------------------- % Cálculo de Respuesta con Ltotal fijo %-------------------------------------------------------------- Li=sum(So,2)+sum(Ro,2); Ltot=mean(Li); adjust=Ltot-Li; Stripsnew=So; for i=1:length(f0sweep) adjustdistrib(i,1:R+1)=adjust(i)/(R+1); end Stripsnew=Stripsnew+adjustdistrib; for i=1:length(f0sweep) Width=Stripsnew(i,:); Dist=Ro(i,:); fvector=fi(i,:); Main_Bilateral1 Txaj(i,:)=abs(Scasc21(1,1,:)); Rxaj(i,:)=abs(Scasc11(1,1,:)); end
%---------------------------------------------------------------- % ERROR DE RIZADO,BW y f0 para Respuesta Optimizada con Ajuste %----------------------------------------------------------------
for i=1:length(f0sweep) %Interpolación Respuesta Optimizada Txopt Txajint(i,:)=spline(fi(i,:),Txaj(i,:),fo(i,:)); %Errores de frecuencia FreqErroraj(i,:)=busca_fl_fh(20*log10(Txajint(i,:)),fo(i,:),margedge,x); %Errores de rizado RizoErroraj(i,:)=busca_rizo(fo(i,:),20*log10(Txajint(i,:)),x); end
7.2. Script para la Síntesis y obtención de Inversores de Impedancia %-------------------------------- % RESPUESTA TEORICA %--------------------------------
%Guide Wavelengths synthpts=10000; f=linspace(fs1,fs2,synthpts); const=1+(epr-1)*((2*b/2/a)+sin(pi*2*b/2/a)/pi); lg= (slight./f)./sqrt(const-0.25*(2*a./(slight./f)).^-2); lgl=(slight/fl)/sqrt(const-0.25*(2*a/(slight/fl))^-2); lgh=(slight/fh)/sqrt(const-0.25*(2*a/(slight/fh))^-2);
puntos=100; lamg0=(0:puntos)/puntos*(lgh-lgl)+lgl;
98
valor=lgl*sin(pi*lamg0/lgl)+lgh*sin(pi*lamg0/lgh); pfit=polyfit(lamg0,valor,1); lg0=-pfit(2)/pfit(1); l0=sqrt(const/( (1/lg0^2)+0.25/(2*a)^2 ) ); f0=slight/l0; %factor de escalamiento alpha y rizado h alpha=lg0/(lgl*sin(pi*lg0/lgl)); h=sqrt(10^(x/10)-1); argumento=(alpha*lg/lg0).*sin(pi*lg0./lg); Tchebychev(3:7,:)=real(cosh((3:7)'*acosh(argumento))); %------------------------------------------------------------- % Búsqueda de R (Numero de resonadores necesario) %------------------------------------------------------------- ic=find((abs(fs1-f))==min(abs(fs1-f))); ic=find(-10*log10(1+h^2*Tchebychev(:,ic).^2)<=Lstopband); R=ic(1)
%----------------------------------------- % Cálculo de Inversores de Impedancia %----------------------------------------- r=1:R; y=sinh((1/R)*asinh(1/h)); Za=2*alpha*sin((2*r-1)*pi/(2*R))/y; Zb=(y^2+sin(r*pi/R).^2)./sin((2*r+1)*pi/(2*R)); Zc=(y^2+sin((r-1)*pi/R).^2)./sin((2*r-3)*pi/(2*R)); Zr= Za-(1/(4*y*alpha))*(Zb+Zc); Z0=1; Zr=[Z0 Zr Z0]; r=0:R; kr=sqrt(y^2+sin(r*pi/R).^2)/y; Kr=kr(r+1)./sqrt(Zr(r+1).*Zr(r+2));
7.3. Script para la obtención de la respuesta en Tx y Rx del Filtro Bilateral k02=(2*pi*fvector).^2*mu0*ep0; septums=length(Width); for freq=1:length(fvector) calc_gammas; calcSu_funf_bilateral; Su(:,:,freq)=[S11 S12 S13;S21 S22 S23;S31 S32 S33]; end %end Frecuencia
%----------------------------------------------------------------- % CALCULO DE SEPTUMS INDIVIDUALES %----------------------------------------------------------------- for s=1:septums for freq=1:length(fvector) Tmat=calc_T2_T3_bilat(s,M,b,c,k02,Width,gammas(freq,:,:)); %Calculo de S1'
Sp(:,:,freq)=Tmat*Su(:,:,freq)*Tmat; SS(:,:,freq,s)=calc_Septum(Sp(:,:,freq),M);
end %Fin índice de frecuencia end %Fin septum
99
%-------------------------------------------------------- % CASCADA DE SEPTUMS %-------------------------------------------------------- for freq=1:length(fvector) for s=2:septums%septums if s==2 STa=SS(:,:,freq,1); T1=calc_T1_bilat(s,M,a,b,c,k02,Dist,gammas(freq,:,:)); STb=SS(:,:,freq,s); STap=T1*STa*T1; STa=cascada(STa,STb,STap,M); else T1=calc_T1_bilat(s,M,a,b,c,k02,Dist,gammas(freq,:,:)); STb=SS(:,:,freq,s); STap=T1*STa*T1; STa=cascada(STa,STb,STap,M); end
end Scasc(:,:,freq)=STa; %Seleccionamos submatrices Scasc21(:,:,freq)=Scasc(M+1:2*M,1:M,freq); Scasc11(:,:,freq)=Scasc(1:M,1:M,freq); end
7.4. Cálculo de Constantes de Propagación
%Cálculo de N constantes de propagación para cada región y cada punto de %frecuencia n=1:N; PSI=calc_psi(N,a,b,c,epr,k02(freq)); knb=(n-0.5)*pi/b; knc=n*pi/c;
gammas(freq,:,1)=-abs(sqrt(PSI.^2-epr*k02(freq))).^2./sqrt(PSI.^2-
epr*k02(freq)); gammas(freq,:,2)=-abs(sqrt(knb.^2-epr*k02(freq))).^2./sqrt(knb.^2-
epr*k02(freq)); gammas(freq,:,3)=-abs(sqrt(knc.^2-k02(freq))).^2./sqrt(knc.^2-k02(freq));
function [raices]=calc_psi(Nmax,a,b,c,epr,k02) %------------------------------------------------------------------ % Método de bisección para encontrar las raíces del sitema %------------------------------------------------------------------ margen=1e-5; delta=pi/(2*a); psi1=0; psi2=delta; n=1; while n<=Nmax flag=0; f1=feign(psi1,k02,epr,b,c); f2=feign(psi2,k02,epr,b,c);
100
if f1*f2<0 while flag~=1 psi3=(psi1+psi2)/2; f3=feign(psi3,k02,epr,b,c); if abs(f3)<=margen flag=1; raices(n)=psi3; psi1=psi2; psi2=psi2+delta; n=n+1; else %punto c antes del cruce por cero if f3*f1<0 psi2=psi3; f2=f3; end %punto c despues de cruce por cero if f3*f2<0 psi1=psi3; f1=f3; end end end %end while flag else psi1=psi2; psi2=psi2+delta; end end %end while Nmax end %fin funcion calc_psi
function [ func ] = feign( psi,k02,epr,b,c ) eta=sqrt(psi^2+k02*(1-epr)); func=psi*sin(psi*b)*sin(eta*c)/eta-cos(eta*c)*cos(psi*b); end
7.5. Calculo de Parámetros de Dispersión de una Unión Simple Bilateral
for p=1:P gp1=gammas(freq,p,1); gp2=gammas(freq,p,2); gp3=gammas(freq,p,3); calc_HFGp;
for m=1:M gm1=gammas(freq,m,1); gm2=gammas(freq,m,2); gm3=gammas(freq,m,3); calc_HFGm;
101
%-------------------------------------------------------------% % Calculo de S11(m,p) %-------------------------------------------------------------% PI=(gm2-gm1)*(gm3-gm1)/((gm2+gp1)*(gm3+gp1)); A=(-1)*Hp/Hm; gamma=(-1)*L*(gm1+gp1); S11(m,p)=A*exp(gamma)*PI*funcionf_shih_bilateral(m,-
gm1,gp1,a,b,c,gammas(freq,:,:));
%-------------------------------------------------------------% % Calculo de S21(m,p) %-------------------------------------------------------------%
PI=1/(gm2-gp1); A=Hp*Fm/(2*gm2); gamma=L*(gm2-gp1); S21(m,p)=A*exp(gamma)*PI*funcionf_shih_bilateral(0,gm2,gp1,a,b,c,gammas(f
req,:,:));
%-------------------------------------------------------------% % Calculo de S31(m,p) %-------------------------------------------------------------%
PI=1/(gm3-gp1); A=Hp*Gm/(2*gm3); gamma=L*(gm3-gp1); S31(m,p)=A*exp(gamma)*PI*funcionf_shih_bilateral(0,gm3,gp1,a,b,c,gammas(f
req,:,:));
%-------------------------------------------------------------% % Calculo de S12(m,p) %-------------------------------------------------------------%
PI=1/(gm1-gp2); A=-Hm*Fp/(2*gm1); gamma=L*(gp2-gm1); S12(m,p)=A*exp(gamma)*PI*funcionf_shih_bilateral(0,gp2,gm1,a,b,c,gammas(f
req,:,:));
%-------------------------------------------------------------% % Calculo de S22(m,p) %-------------------------------------------------------------%
PI=(gm3+gp2)*(gm1-gm2)/((gm3-gm2)*(gm1+gp2)); A=(-1)*Fp/Fm; gamma=L*(gm2+gp2); S22(m,p)=A*exp(gamma)*PI*funcionf_shih_bilateral(m,gp2,-
gm2,a,b,c,gammas(freq,:,:));
%-------------------------------------------------------------% % Calculo de S32(m,p) %-------------------------------------------------------------%
PI=(gm2+gp2)*(gm1-gm3)/((gm2-gm3)*(gm1+gp2)); A=(-1)*Fp/Gm;
102
gamma=L*(gm3+gp2); S32(m,p)=A*exp(gamma)*PI*funcionf_shih_bilateral(m,gp2,-
gm3,a,b,c,gammas(freq,:,:));
%-------------------------------------------------------------% % Calculo de S13(m,p) %-------------------------------------------------------------%
PI=1/(gm1-gp3); A=-Hm*Gp/(2*gm1); gamma=L*(gp3-gm1); S13(m,p)=A*exp(gamma)*PI*funcionf_shih_bilateral(0,gp3,gm1,a,b,c,gammas(f
req,:,:));
%-------------------------------------------------------------% % Calculo de S23(m,p) %-------------------------------------------------------------%
PI=(gm3+gp3)*(gm1-gm2)/((gm3-gm2)*(gm1+gp3)); A=(-1)*Gp/Fm; gamma=L*(gm2+gp3); S23(m,p)=A*exp(gamma)*PI*funcionf_shih_bilateral(m,gp3,-
gm2,a,b,c,gammas(freq,:,:));
%-------------------------------------------------------------% % Calculo de S33(m,p) %-------------------------------------------------------------%
PI=(gm2+gp3)*(gm1-gm3)/((gm2-gm3)*(gm1+gp3)); A=(-1)*Gp/Gm; gamma=L*(gm3+gp3); S33(m,p)=A*exp(gamma)*PI*funcionf_shih_bilateral(m,gp3,-
gm3,a,b,c,gammas(freq,:,:));
end%fin for modos M end %end modos P
7.6. Matrices de Transmisión en las Regiones I, II y III
function [ T ] = calc_T2_T3_bilat(s,M,b,c,k02,Width,gammas) Id=eye(M); %Matriz Identidad ceromat=zeros(M); for m=1:M
%Matriz de Transmisión en Región II gm2=gammas(1,m,2); T2(m,m)=exp(gm2*Width(s)/2); %Matriz de Transmisión en Region III gm3=gammas(1,m,3); T3(m,m)=exp(gm3*Width(s)/2); end T=[Id ceromat ceromat;ceromat T2 ceromat;ceromat ceromat T3]; end
103
function [ T ] = calc_T1_bilat(s,M,a,b,c,k02,Dist,gammas ) Id=eye(M); %Matriz Identidad ceromat=zeros(M);
for m=1:M %Matriz de Transmisión en Región I gm1=gammas(1,m,1); T1(m,m)=exp(gm1*Dist(s-1)); end T=[Id ceromat;ceromat T1]; end
7.7. Obtención de las Matriz de Dispersión de un Septo de Longitud Finita
function [ Sseptum ] = calc_Septum( Sp,M ) %Generalized Scattering Matrix Process Id=eye(M); ceromat=zeros(M);
s11t=Sp(1:M,M+1:2*M)*Sp(M+1:2*M,1:M)+Sp(1:M,2*M+1:3*M)*Sp(2*M+1:3*M,1:M); s21t=Sp(M+1:2*M,M+1:2*M)*Sp(M+1:2*M,1:M)+Sp(M+1:2*M,2*M+1:3*M)*Sp(2*M+1:3
*M,1:M); s31t=Sp(2*M+1:3*M,M+1:2*M)*Sp(M+1:2*M,1:M)+Sp(2*M+1:3*M,2*M+1:3*M)*Sp(2*M
+1:3*M,1:M); s22t=Sp(M+1:2*M,M+1:2*M)*Sp(M+1:2*M,M+1:2*M)+Sp(M+1:2*M,2*M+1:3*M)*Sp(2*M
+1:3*M,M+1:2*M); s33t=Sp(2*M+1:3*M,M+1:2*M)*Sp(M+1:2*M,2*M+1:3*M)+Sp(2*M+1:3*M,2*M+1:3*M)*
Sp(2*M+1:3*M,2*M+1:3*M); s23t=Sp(M+1:2*M,M+1:2*M)*Sp(M+1:2*M,2*M+1:3*M)+Sp(M+1:2*M,2*M+1:3*M)*Sp(2
*M+1:3*M,2*M+1:3*M); s32t=Sp(2*M+1:3*M,M+1:2*M)*Sp(M+1:2*M,M+1:2*M)+Sp(2*M+1:3*M,2*M+1:3*M)*Sp
(2*M+1:3*M,M+1:2*M); s12t=Sp(1:M,M+1:2*M)*Sp(M+1:2*M,M+1:2*M)+Sp(1:M,2*M+1:3*M)*Sp(2*M+1:3*M,M
+1:2*M); s13t=Sp(1:M,M+1:2*M)*Sp(M+1:2*M,2*M+1:3*M)+Sp(1:M,2*M+1:3*M)*Sp(2*M+1:3*M
,2*M+1:3*M);
s12=Sp(1:M,M+1:2*M); s13=Sp(1:M,2*M+1:3*M); s21=Sp(M+1:2*M,1:M); s31=Sp(2*M+1:3*M,1:M); s11=Sp(1:M,1:M);
A=[s12t,s13t;s12,s13]; B=[Id-s22t,-s23t;-s32t,Id-s33t]; %B=inv(B); C=[s21,s21t;s31,s31t]; D=[s11,s11t;ceromat,s11]; Sseptum=A*(B\C)+D;
end
104
7.8. Cascada de Septos y Resonadores
function [ SC ] = cascada( STa,STb,STap,M )
Id=eye(M); %Matriz Identidad ceromat=zeros(M); %Dividimos en submatrices STa y STb
STa11=STa(1:M,1:M); STa22=STa(M+1:2*M,M+1:2*M);
STap11=STap(1:M,1:M); STap12=STap(1:M,M+1:2*M); STap21=STap(M+1:2*M,1:M); STap22=STap(M+1:2*M,M+1:2*M);
STb11=STb(1:M,1:M); STb12=STb(1:M,M+1:2*M); STb21=STb(M+1:2*M,1:M); STb22=STb(M+1:2*M,M+1:2*M);
AA=[STap12*STb11;STb21]; BB=Id-STap22*STb11; CC=[STap21 STap22*STb12]; DD=[STap11 STap12*STb12;ceromat STb22];
SC=AA*(BB\CC)+DD;
end
7.9. Cálculo de Distancias de Septos y Resonadores con Método de Bisección
%--------------------------------------------------------------- % S Matrix of junction %---------------------------------------------------------------
freq=1; k02=(2*pi*f0)^2*mu0*ep0; calc_gammas; calcSu_funf_bilateral; Sunion=[S11 S12 S13;S21 S22 S23;S31 S32 S33];
%------------------------------------------------------------------ % Método de bisección para encontrar las raíces del sistema %------------------------------------------------------------------
exactitud=1e-9; for r=1:R+1 ready=0; w1=0.03e-3; w2=15e-3; KKr=Kr(r); kphi=calc_Ksw_Kr(M,b,c,k02,w1,gammas,KKr,Sunion);
105
Kswr1=kphi(1); kphi=calc_Ksw_Kr(M,b,c,k02,w2,gammas,KKr,Sunion); Kswr2=kphi(1); if Kswr1*Kswr2<0 while ready~=1 w3=(w1+w2)/2; kphi=calc_Ksw_Kr(M,b,c,k02,w3,gammas,KKr,Sunion); Kswr3=kphi(1); if abs(Kswr3)<=exactitud ready=1; Width(r)=w3; phi(r)=kphi(2); else %punto c antes del cruce por cero if Kswr3*Kswr1<0 w2=w3; Kswr2=Kswr3; end %punto c después de cruce por cero if Kswr3*Kswr2<0 w1=w3; Kswr1=Kswr3; end end end %end while ready else disp('no encontró cruce verificar rango de Width Septum') end end
for r=1:R Dist(r)=(lg0/(2*pi))*(pi-(phi(r)+phi(r+1))/2); end
7.10. Inversores de impedancia y distancia de septos
function [ K_PHI ] = calc_Ksw_Kr(M,b,c,k02,stripwidth,gammas,KKr,Sunion) freq=1; s=1; T23=calc_T2_T3_bilat(s,M,b,c,k02,stripwidth,gammas(freq,:,:)); Sprima=T23*Sunion*T23; SStrip(:,:,s)=calc_Septum(Sprima,M);
%------------------------------------------------------- % Reactancias Xs y Xp del Circuito Equivalente %------------------------------------------------------- S11sw(1,:)=SStrip(1,1,:); % S11 del Septo finito S12sw(1,:)=SStrip(1,M+1,:); Xs=imag((1-S12sw+S11sw)./(1-S11sw+S12sw));
Xp=imag((2*S12sw)./((1-S11sw).^2-S12sw.^2)); PHI=-atan(2*Xp+Xs)-atan(Xs); Ksw=abs(tan(PHI/2+atan(Xs))); K_PHI(1)=Ksw-KKr; K_PHI(2)=PHI; end
106
7.11. Búsqueda de frecuencias
function [ FED ] = busca_fl_fh( Ax,vectorf,mg,zdB ) % Busqueda de fl %FED contiene las frecuencias fl y fh encontradas stopl=0; stoph=0; indl=1; indh=length(Ax); while stopl==0 if abs(Ax(indl)+zdB)<=mg FED(1)=vectorf(indl); FED(2)=indl; stopl=1; end indl=indl+1; end % Búsqueda de fh while stoph==0 if abs(Ax(indh)+zdB)<=mg FED(3)=vectorf(indh); FED(4)=indh; stoph=1; end indh=indh-1; end
FED(5)=(FED(1)+FED(3))/2; %Guardamos frecuencia central FED(6)=(FED(3)-FED(1));% Guardamos BW end
7.12. Cálculo de Error de Rizado
function [ erizo ] = busca_rizo(F,G,threshold) % Esta función encuentra una región en la cual el rizo sobrepasa % el límite especificado en el diseño y como resultado arroja % un vector con los puntos de frecuencia y magnitudes que sobrepasan % ese límite fed=busca_fl_fh(G,F,0.001,threshold); frizo=F(fed(2):fed(4)); grizo=G(fed(2):fed(4)); erizo(1)=min(grizo); ftot=fed(3)-fed(1);
for i=1:length(erizo) if grizo(i)>threshold grizo(i)=0; end end Area=integra(frizo,grizo); erizo(2)=Area/ftot;
end
107
7.13. Función implementada en la Optimización
function mincuad =
optimiza_mincuad(distSR,Txcheby,fcheby,R,fvector,N,M,P,mu0,ep0,slight,a,b
,c,L,epr) % Esta función recibe un vector distSR con las distancias de los septos
y resonadores y la función de transferencia objetivo Chebyshev. Con
estos valores calcula la diferencia de cuadrados
%----------------------------------------------------------------- % Búsqueda de Mínimos Cuadrados %----------------------------------------------------------------- flhrizo=busca_fl_fh(Txcheby,fcheby,0.1,3);%.1db de margen fobj=fcheby(flhrizo(2):flhrizo(4)); Txobj=Txcheby(flhrizo(2):flhrizo(4));%Función Objetivo %Reconstruimos el vector Width y Dist a partir de las variables reducidas distSRrec=reconstdistSR(distSR,R); Width=distSRrec(1:R+1); Dist=distSRrec(R+2:length(distSRrec)); Main_Bilateral1 Txact(1,:)=20*log10(abs(Scasc21(1,1,:)));%Respuesta actual Txactint=spline(fvector,Txact,fcheby); Txactrizo=Txactint(flhrizo(2):flhrizo(4)); mincuad=Txobj-Txactrizo; end
7.14. Variables en el proceso de Optimización
function [ sr0 ] = reduce_varopt(Width,Dist,R ) % Esta función recibe un vector Width y Dist con distancias de septums
%y resonadores y genera el vector de variables iniciales simplificadas %para que entren a la función de optimización conservando simetría if rem(R,2)~=0 %para R impar sr0(1:(R+1)/2) = Width(1:(R+1)/2); sr0((R+1)/2+1:R+1)=Dist(1:(R+1)/2); else %para R par sr0(1:R/2+1)=Width(1:R/2+1); sr0(R/2+2:R+1)=Dist(1:R/2); end end
function [ SRrec ] = reconstdistSR( SRred,R) % Reconstruye el Vecotr de Distancias de Septos y Resonadores if rem(R,2)~=0 %para R impar W=[SRred(1:(R+1)/2) fliplr(SRred(1:(R+1)/2))]; D=[SRred((R+1)/2+1:R+1) fliplr(SRred((R+1)/2+1:R))]; else %para R par W=[SRred(1:R/2+1) fliplr(SRred(1:R/2))]; D=[SRred(R/2+2:R+1) fliplr(SRred(R/2+2:R+1))]; end SRrec=[W D]; End