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Disenos de Muestreo Estadıstico

Giovany Babativa, MSc.

Especializacion en EstadısticaDepartamento de Ciencias Basicas

Fundacion Universitaria Los Libertadores

15 de septiembre de 2012

Giovany Babativa, MSc. Disenos de Muestreo Estadıstico

Definicion

Sea s ⊆ U una muestra probabilıstica y sea S el conjunto de todaslas muestras posibles. La funcion de medida de probabilidad:

P :S → (0, 1)

si 7→ p(si )

Dado el conjunto S , un diseno de muestreo es una funcion p(·),tal que p(si ) es la probabilidad de que la muestra i sea laseleccionada.

Ejemplos:1. Muestreo Aleatorio Simple. MAS(N, n)

p(si ) =

(Nn)Para toda muestra de tamano n de N sin repocision

0 en otro caso

(1)n corresponde al tamano de la muestra mientras que Ncorresponde al tamano del universo.

Muestreo Aleatorio Simple. MAS(N, n)Mecanismo de seleccion

1 Algoritmo Coordinado Negativo: Sea ξk ∼ U(0, 1) usando

el arregloY : y1 y2 . . . yNξ: ξ1 ξ2 . . . ξN

se puede obtener una muestra de tamano n donde todos loselementos y muestras tienen la misma probabilidad de serseleccionados. El algoritmo consiste en ordenar el marcomuestral desde el aleatorio mas pequeno hasta el mas grandey seleccionar los primeros n elementos, ası:

Y : yl yk . . . yj . . . yiξ: ξ(1) ξ(2) . . . ξ(n) . . . ξ(N)

2. Algoritmo Fan-Muller & Rezucha (1962): denominadometodo de seleccion rechazo que consiste en ir descartando oseleccionando cada elemento en la muestra:

Procedimiento

1. Generar ζ1 ∼ U(0, 1) y si ζ1 <nN entonces y1 ∈ s y I1 = 1 en caso

contrario I1 = 0. Haga nsel,1 = I1

2. Generar ζ2 ∼ U(0, 1) y si ζ2 <n−nsel,1

N−1 entonces y2 ∈ s y I2 = 1 encaso contrario I2 = 0. Haga nsel,2 = nsel,1 + I2

i. Generar ζi ∼ U(0, 1) y si ζi <n−nsel,i−1

N−i+1 entonces yi ∈ s y Ii = 1 encaso contrario Ii = 0. Haga nsel,i = nsel,i−1 + Ii

El proceso se detiene automaticamente cuando nsel ,i = n.

Ejemplo en excel Fan-Muller.Giovany Babativa, MSc. Disenos de Muestreo Estadıstico

Procedimiento

Ejemplos2. Muestreo Bernoulli. Ber(N , π)

p(si ) = π.π . . . π︸︷︷︸ns veces

(1− π)(1− π) . . . (1− π)︸︷︷︸N−ns veces

p(si ) =

{πns (1− π)N−ns Para toda muestra de tamano ns elementos sin repocision

0 en otro caso

(2)π se fija a priori por experiencia y es igual para todos los elementosde U, notese que ns es un tamano de muestra aleatorio que puedeincluir a todos o a ningun elemento en la muestra.

(1− π)(1− π) . . . (1− π)︸︷︷︸N−ns veces

p(si ) =

0 en otro caso

(1− π)(1− π) . . . (1− π)︸︷︷︸N−ns veces

p(si ) =

0 en otro caso

Muestreo Bernoulli2. Mecanismo de seleccion

1 Fijar el valor de π tal que 0 < π < 1.

2 Asignar ξk ∼ U(0, 1) para todos los elementos de U.

3 El elemento k pertenece a la muestra si ξk < π. Ası laprobabilidad de que el k-esimo elemento pertenezca a lamuestra es igual a π.

Ejemplo.

Ejemplos3. Muestreo Sistematico. SIS(N , n, r)

Cuando no se dispone de un marco de muestreo de maneraexplıcita pero se sabe que la poblacion esta ordenada por un rotuloen particular. Por ejemplo, los hogares dentro de una manzanaestan ordenados por su direccion o numero de apartamento.

p(si ) =

(ar)Con una muestra por aj , ak , r = 2 elementos

0 en otro caso

(3)N = an + r , el tamano de muestra se define como la parte enteradel cociente N/a.

Ejemplos3. Muestreo Sistematico. SIS(N , n, r)

Cuando no se dispone de un marco de muestreo de maneraexplıcita pero se sabe que la poblacion esta ordenada por un rotuloen particular. Por ejemplo, los hogares dentro de una manzanaestan ordenados por su direccion o numero de apartamento.

p(si ) =

(ar)Con una muestra por aj , ak , r = 2 elementos

0 en otro caso

(3)N = an + r , el tamano de muestra se define como la parte enteradel cociente N/a.

Muestreo SistematicoMecanismo de seleccion

1 Seleccionar con probabilidad 1a un arranque aleatorio. Es decir,

un valor q tal que 1 ≤ q ≤ a.

2 La muestra estara definida por el siguiente conjunto:

sq = {k : k = q + (j − 1)a; j = 1, . . . , ns}

Ejemplo: Tabla aleatoria

sq = {k : k = q + (j − 1)a; j = 1, . . . , ns}

2. Probabilidades de Inclusion

Definicion

Se define probabilidad de inclusion de primer orden del elemento k

πk =∑k∈si

p(si ) (4)

{1 si k ∈ s

0 en otro caso

Entonces πk = P(Ik = 1)ejemplo MAS

Definicion

πk =∑k∈si

p(si ) (4)

{1 si k ∈ s

0 en otro caso

Definicion

πk =∑k∈si

p(si ) (4)

{1 si k ∈ s

0 en otro caso

Definicion

πk =∑k∈si

p(si ) (4)

{1 si k ∈ s

0 en otro caso

Definicion

Se define probabilidad de inclusion de segundo orden de loselementos k y l

πkl =∑k,l∈si

p(si ) (5)

Entonces πk,l = P(Ik Il = 1)

Definicion

πkl =∑k,l∈si

p(si ) (5)

Definicion

πkl =∑k,l∈si

p(si ) (5)

Assumption

1 πkk = πk .

2 Por definicion de muestra probabilıstica πk > 0.

3 En muestreo de elementos πk para todo k = 1, . . . ,N sonconocidos de antemano.

ejemplo MAS

Assumption

1 πkk = πk .

ejemplo MAS

Assumption

1 πkk = πk .

ejemplo MAS

Assumption

1 πkk = πk .

ejemplo MAS

Assumption

1 πkk = πk .

ejemplo MAS

Assumption

1 πkk = πk .

ejemplo MAS

2. Estadıstica y Estimador

Definicion

Cuando una estadıstica se usa para estimar un parametro sedenomina estimador y las realizaciones de este en una muestraaleatoria se denominan estimaciones. Sea θ una estadıstica oestimador entonces bajo el diseno muestral p(·) se define:

1 Valor esperado: EP(θ) =∑

S p(si )θ

2 Sesgo: B(θ) = EP(θ)− θ

3 Varianza: VP(θ) =∑

S p(si )[θ − E (θ)

4 Error Cuadratico Medio: ECM(θ) = V (θ) + B2(θ)

5 Error estandar:

√VP(θ)

6 Coeficiente de variacion (error relativo):

√VP(θ)

EP(θ)

7 Coeficiente de variacion estimado: cve( %) = 100 ∗√

VP(θ)

Definicion

S p(si )θ

S p(si )[θ − E (θ)

5 Error estandar:

√VP(θ)

EP(θ)

VP(θ)

Definicion

S p(si )θ

S p(si )[θ − E (θ)

5 Error estandar:

√VP(θ)

EP(θ)

VP(θ)

Definicion

S p(si )θ

S p(si )[θ − E (θ)

5 Error estandar:

√VP(θ)

EP(θ)

VP(θ)

Definicion

S p(si )θ

S p(si )[θ − E (θ)

5 Error estandar:

√VP(θ)

EP(θ)

VP(θ)

Definicion

S p(si )θ

S p(si )[θ − E (θ)

5 Error estandar:

√VP(θ)

EP(θ)

VP(θ)

Definicion

S p(si )θ

S p(si )[θ − E (θ)

5 Error estandar:

√VP(θ)

EP(θ)

VP(θ)

Definicion

S p(si )θ

S p(si )[θ − E (θ)

5 Error estandar:

√VP(θ)

EP(θ)

VP(θ)

2. Estadıstica Ik

Ejemplo

E (Ik) =∑S

p(si )Ik(si )

=∑k∈si

p(si )

ejemplo MASejemplo BER

2. Estadıstica Ik

Ejemplo

E (Ik) =∑S

p(si )Ik(si )

=∑k∈si

p(si )

2. Estadıstica Ik

Ejemplo

E (Ik) =∑S

p(si )Ik(si )

=∑k∈si

p(si )

2. Estadıstica Ik

Ejemplo

V (Ik) =∑S

p(si ) [Ik(si )− E (Ik(si ))]2

p(si )I 2k (si )− 2

p(si )Ik(si )πk +∑S

p(si )π2k

= πk − 2π2k + π2

= πk(1− πk)

2. Estadıstica Ik

Ejemplo

V (Ik) =∑S

p(si )I 2k (si )− 2

p(si )π2k

= πk − 2π2k + π2

= πk(1− πk)

2. Estadıstica Ik

Ejemplo

V (Ik) =∑S

p(si )I 2k (si )− 2

p(si )π2k

= πk − 2π2k + π2

= πk(1− πk)

2. Estadıstica Ik

Ejemplo

Cov(Ik , Il) =∑S

p(si ) (Ik(si )− πk) (Il(si )− πl)

p(si )Ik(si )Il(si )− πl∑S

p(si )Ik(si )

− πk∑S

p(si )Il(si ) + πkπl∑S

p(si )

=∑k,l∈si

p(si )− πl∑k∈si

p(si )− πk∑l∈si

p(si ) + πkπl

= πkl − πkπl − πkπl + πkπl

= πkl − πkπl= ∆kl

ejemplo MAS, ejemplo BER

2. Estadıstica Ik

Ejemplo

Cov(Ik , Il) =∑S

p(si )Ik(si )

− πk∑S

p(si )

=∑k,l∈si

p(si ) + πkπl

2. Estadıstica Ik

Ejemplo

Cov(Ik , Il) =∑S

p(si )Ik(si )

− πk∑S

p(si )

=∑k,l∈si

p(si ) + πkπl

2. Estadıstica ns

Ejemplo

E (ns) =∑S

p(si )ns

p(si )∑U

p(si )Ik

∑k∈si

p(si )

2. Estadıstica ns

Ejemplo

E (ns) =∑S

p(si )ns

p(si )∑U

p(si )Ik

∑k∈si

p(si )

2. Estadıstica ns

Ejemplo

E (ns) =∑S

p(si )ns

p(si )∑U

p(si )Ik

∑k∈si

p(si )

3. Parametros de interes

Para un universo U de tamano N, sea y la caracterıstica de interes,entonces podrıamos estar interesados en:

1 Total: ty =∑

U yk (personas con cierta enfermedad)

2 Media: yU =∑

U ykN =

tyN (dinero)

3 Proporcion: pU =∑

U ykN =

tyN para yk = {1, 0} (desplazados)

4 Razon:R =tytz

. Unidades del producto por establecimientocon la intencion de venderlo.

Notese que todos los parametros pueden ser expresados comofuncion de totales, por tanto hay un particular interes encontrarestimadores para este parametro.

1 Total: ty =∑

2 Media: yU =∑

U ykN =

tyN (dinero)

U ykN =

4 Razon:R =tytz

1 Total: ty =∑

2 Media: yU =∑

U ykN =

tyN (dinero)

U ykN =

4 Razon:R =tytz

1 Total: ty =∑

2 Media: yU =∑

U ykN =

tyN (dinero)

U ykN =

4 Razon:R =tytz

1 Total: ty =∑

2 Media: yU =∑

U ykN =

tyN (dinero)

U ykN =

4 Razon:R =tytz

1 Total: ty =∑

2 Media: yU =∑

U ykN =

tyN (dinero)

U ykN =

4 Razon:R =tytz

3. Estimador de Horvitz-Thompson (1952)

Para un universo U se desea estimar el total de una caracterısticade interes y denotado como ty . Por ejemplo,

Definicion

Para θ = ty =∑

U yk se define:

θ = ty ,π =∑si

se denomina Factor de expansion

Cada elemento se representa a sı mismo y a una fraccion de lapoblacion.

Definicion

Para θ = ty =∑

U yk se define:

θ = ty ,π =∑si

Definicion

Para θ = ty =∑

U yk se define:

θ = ty ,π =∑si

3. Estimador de Horvitz-Thompson (1952)Propiedades

Resultado

E (ty ,π) = ty demost.

V (ty ,π) =∑∑

U ∆klykπk

V (ty ,π) =∑∑

si∆klπkl

∆kl = πkl − πkπl , ademas E (V (ty ,π)) = V (ty ,π)

Resultado

V (ty ,π) =∑∑

U ∆klykπk

V (ty ,π) =∑∑

si∆klπkl

Resultado

V (ty ,π) =∑∑

U ∆klykπk

V (ty ,π) =∑∑

si∆klπkl

Resultado

V (ty ,π) =∑∑

U ∆klykπk

V (ty ,π) =∑∑

si∆klπkl

Resultado

V (ty ,π) =∑∑

U ∆klykπk

V (ty ,π) =∑∑

si∆klπkl

Resultado

V (ty ,π) =∑∑

U ∆klykπk

V (ty ,π) =∑∑

si∆klπkl

3. Estimador de Horvitz-Thompson (1952)Muestreo Aleatorio Simple

Resultado

ty ,π =∑

siykπk

VMAS (ty ,π) = N2

(1− n

VMAS (ty ,π) = N2

(1− n

)S2ysi

Resultado

ty ,π =∑

siykπk

VMAS (ty ,π) = N2

(1− n

VMAS (ty ,π) = N2

(1− n

)S2ysi

Resultado

ty ,π =∑

siykπk

VMAS (ty ,π) = N2

(1− n

VMAS (ty ,π) = N2

(1− n

)S2ysi

Resultado

ty ,π =∑

siykπk

VMAS (ty ,π) = N2

(1− n

VMAS (ty ,π) = N2

(1− n

)S2ysi

3. Estimador de Horvitz-Thompson (1952)Muestreo Bernoulli

Resultado

ty ,π =∑

siykπk

siykπ

VBer (ty ,π) =(

1π − 1

)∑U y 2

VBer (ty ,π) = 1π

(1π − 1

)∑si

Ejercicio: Para los ejercicios hechos en clase de MAS y Bernoullicalcule ty ,π y VBer (ty ,π), este ultimo vıa definicion y por elestimador dado por la expresion. Para ambas expresionescompruebe el insesgamiento del estimador.

Resultado

ty ,π =∑

siykπk

siykπ

VBer (ty ,π) =(

1π − 1

)∑U y 2

VBer (ty ,π) = 1π

(1π − 1

)∑si

Resultado

ty ,π =∑

siykπk

siykπ

VBer (ty ,π) =(

1π − 1

)∑U y 2

VBer (ty ,π) = 1π

(1π − 1

)∑si

Resultado

ty ,π =∑

siykπk

siykπ

VBer (ty ,π) =(

1π − 1

)∑U y 2

VBer (ty ,π) = 1π

(1π − 1

)∑si

Resultado

ty ,π =∑

siykπk

siykπ

VBer (ty ,π) =(

1π − 1

)∑U y 2

VBer (ty ,π) = 1π

(1π − 1

)∑si

Resultado

ty ,π =∑

siykπk

siykπ

VBer (ty ,π) =(

1π − 1

)∑U y 2

VBer (ty ,π) = 1π

(1π − 1

)∑si

3. Estimacion de la media poblacionalMuestreo Aleatorio Simple

Resultado

yU =ty,πN

VMAS(yU) = 1n

(1− n

VMAS(yU) = 1n

(1− n

)S2ysi

Al factor(1− n

)se le conoce como factor de correccion para

poblaciones finitas.

Resultado

yU =ty,πN

VMAS(yU) = 1n

(1− n

VMAS(yU) = 1n

(1− n

)S2ysi

Al factor(1− n

Resultado

yU =ty,πN

VMAS(yU) = 1n

(1− n

VMAS(yU) = 1n

(1− n

)S2ysi

Al factor(1− n

Resultado

yU =ty,πN

VMAS(yU) = 1n

(1− n

VMAS(yU) = 1n

(1− n

)S2ysi

Al factor(1− n

Resultado

yU =ty,πN

VMAS(yU) = 1n

(1− n

VMAS(yU) = 1n

(1− n

)S2ysi

Al factor(1− n

Resultado

yU =ty,πN

VMAS(yU) = 1n

(1− n

VMAS(yU) = 1n

(1− n

)S2ysi

Al factor(1− n

3. Observacion

Remark

Sarndal, et.al. (1992, pag. 47) menciona que la expresion

V (ty ,π) =∑∑

puede producir estimaciones negativas de la varianza para algunasconfiguraciones de muestra, para evitarlo se debe garantizar que∆kl = πkl − πkπl < 0 para k 6= l lo cual se tiene para los disenosde muestra fijo.

3. Ejemplo: Diseno NO convencional aplicandoπ-Estimador

Ejemplo

Considere una poblacion de tamano N = 3, U = {1, 2, 3}. Seas1 = {1, 2}, s2 = {1, 3}, s3 = {2, 3}, s4 = {1, 2, 3} conP(s1) = 0,4, P(s2) = 0,3, P(s3) = 0,2 y P(s4) = 0,1.

a. Calcule todos los πk y πkl .

b. Encuentre el valor de E (ns) de dos formas: por calculo directousando la definicion y por uso de la formula que expresa aE (ns) como funcion de πk .

c. Usando la definicion, calcular el valor esperado y la varianza delπ-estimador.

d. Calcule la varianza estimada V (tyπ) para cada una de lascuatro muestras posibles. ¿Es este un estimador insesgado de lavarianza real?.

Ejemplo

4. Muestreo con Reemplazamiento.Muestreo Proporcional al Tamano PPT (pk ,m)

Definicion

Se realizan m eventos aleatorios con probabilidad contante 1/N, esdecir se selecciona uno de los N elementos, se realiza su medicionyk1 , se repone en el universo y se selecciona de nuevo uno de los Nelementos con medicion yk2 y ası sucesivamente hasta completar melementos. Sea:

Z : Numero de veces que el elemento k aparece en la muestra

Z = 0, 1, . . . ,m

Z ∼ Bin(m, 1/N)

P(Z = r) =(mr

)(1/N)r (1− 1/N)m−r

P(Z = 0) = (1− 1/N)m

πk = P(Z ≥ 1) = 1− P(Z = 0) = 1− (1− 1N )m

Definicion

Z = 0, 1, . . . ,m

Z ∼ Bin(m, 1/N)

P(Z = r) =(mr

)(1/N)r (1− 1/N)m−r

P(Z = 0) = (1− 1/N)m

πk = P(Z ≥ 1) = 1− P(Z = 0) = 1− (1− 1N )m

Definicion

Z = 0, 1, . . . ,m

Z ∼ Bin(m, 1/N)

P(Z = r) =(mr

)(1/N)r (1− 1/N)m−r

P(Z = 0) = (1− 1/N)m

πk = P(Z ≥ 1) = 1− P(Z = 0) = 1− (1− 1N )m

Definicion

Z = 0, 1, . . . ,m

Z ∼ Bin(m, 1/N)

P(Z = r) =(mr

)(1/N)r (1− 1/N)m−r

P(Z = 0) = (1− 1/N)m

πk = P(Z ≥ 1) = 1− P(Z = 0) = 1− (1− 1N )m

Definicion

Z = 0, 1, . . . ,m

Z ∼ Bin(m, 1/N)

P(Z = r) =(mr

)(1/N)r (1− 1/N)m−r

P(Z = 0) = (1− 1/N)m

πk = P(Z ≥ 1) = 1− P(Z = 0) = 1− (1− 1N )m

Definicion

Z = 0, 1, . . . ,m

Z ∼ Bin(m, 1/N)

P(Z = r) =(mr

)(1/N)r (1− 1/N)m−r

P(Z = 0) = (1− 1/N)m

πk = P(Z ≥ 1) = 1− P(Z = 0) = 1− (1− 1N )m

Definicion

Z = 0, 1, . . . ,m

Z ∼ Bin(m, 1/N)

P(Z = r) =(mr

)(1/N)r (1− 1/N)m−r

P(Z = 0) = (1− 1/N)m

πk = P(Z ≥ 1) = 1− P(Z = 0) = 1− (1− 1N )m

Una generalizacion conduce al diseno de Probabilidad Proporcionalal Tamano (PPT) cuando cada elemeto se selecciona conprobabilidad pk , tal que

∑U pk = 1. Para este diseno se debe

contar con informacion auxiliar disponible para todos los elementosde U, este diseno tienes varios beneficios entre los que seencuentra que reduce costos y que su uso es relativamente simple.

4. Muestreo PPT (pk ,m)Algoritmo de Seleccion: Acumulativo Total

Ejemplo

Suponga que U = 9, para un estudio de mercados se deseaseleccionar una muestra de 4 tiendas, pero basado en lainformacion auxiliar se desea darle mas peso a las tiendas quetienen una mayor rotacion del producto. La informacion auxiliarpara las 9 tiendas es:

Tienda Ventas Unid1 322 963 654 1405 226 787 658 479 106

4. Muestreo PPT (pk ,m)Estimacion - π-Estimador

La muestra ordenada es de tamano m mientras que la muestra noordenada (sin repeticion) es de tamano n.

Resultado

ty ,π =∑si

=∑si

yk1− (1− pk)m

El estimador cuenta con n sumandos, es decir, que los elementosrepetidos solo cuentan una vez dentro del estimador.

4. Muestreo PPT (pk ,m)Estimador de Hansen-Hurwitz (1943)

Resultado

ty ,MCR =1

m∑i=1

ykipki

donde pki es la probabilidad de seleccion del elemento k . Cadaelemento se representa ası mismo y al resto del universo →promedio.

Resultado

E(ty ,MCR

m∑i=1

ykipki

E (Zk)

yk = ty

Resultado

E(ty ,MCR

m∑i=1

ykipki

E (Zk)

yk = ty

Resultado

E(ty ,MCR

m∑i=1

ykipki

E (Zk)

yk = ty

Resultado

V(ty ,MCR

∑U pk

(ykpk− ty

V(ty ,MCR

m(m−1)

∑mi=1

(ykipki− ty ,MCR

V(ty ,MCR

(ty ,MCR

4. Muestreo PPT (pk ,m)Ejemplo

Ejemplo

Para el estudio de mercados suponga que so = {4; 7; 7; 9};pk = {0,215; 0,1; 0,1; 0,163} y que los valores de las ventassemanales recolectados los establecimientos seleccionados fueronyk = {12; 7; 7; 11}

1 Usando el π−estimador, estime el total de ventas semanales(demanda) del producto en las nueve tiendas.

2 Usando el MCR−estimador, estime el total de ventassemanales (demanda) del producto en las nueve tiendas ycalcule el cve..

Ejemplo

4. Muestreo PPT (pk ,m)Notas

Remark

Es facil comprobar que V(ty ,MCR

)si yk = cpk , c constante.

Es decir, si yk es exactamente proporcional a pk . En lapractica eso es imposible !!!... primero es la probabilidad yluego la medicion..

En la practica, sea xk una variable auxiliar altamentecorrelacionada con yk ası yk/xk

.= c entonces se puede

determinar

pk =xk∑U xk

=xktx, k = 1, . . . ,N

Entre mas este correlacionado xk con yk entoncesV(ty ,MCR

)→ 0

Si los pk no varıan casi, me voy con MAS pero si varıanmucho me voy con PPT .

Remark

determinar

pk =xk∑U xk

=xktx, k = 1, . . . ,N

)→ 0

Remark

determinar

pk =xk∑U xk

=xktx, k = 1, . . . ,N

)→ 0

Remark

determinar

pk =xk∑U xk

=xktx, k = 1, . . . ,N

)→ 0

4. Muestreo PPT (pk ,m)Tarea (Ejercicio 8 del taller)

Suponga que se tiene U = {1, 2, 3, 4, 5} y que se conocen todos losvalores de la variable de interes, que estan dados por:

79 0.176 0.1554 0.239 0.2512 0.3

Para un muestreo con reemplazamiento con m = 3, determine si esmejor la estrategia usando π-estimador o MCR-estimador.

disenos~ de muestreo estad stico - · pdf fileˇse ja a priori por experiencia y es igual para...

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