diplomado de ingeniería electrónica

Diplomado de Ingeniería Electrónica

Módulo 1: Análisis de Señales

El objetivo de estudiar análisis de señales es aprender a caracterizar una señal, esdecir conocer los parámetros que la definen.

Definición de señal: Una señal es todo aquello que porta información y puedeviajar por algún medio, ya sea material o el vacio. En las comunicaciones existenvarias formas de enviar la información, antiguamente la información viajaba através de sonidos que viajaban en el aire, con el avance de la tecnología lacomunicación se realiza por medio de señales eléctricas u ópticas que viajan porcables, fibras ópticas o el medio ambiente.

Definición:

En este curso se consideran solamente señales eléctricas, por lo general señales devoltaje o corriente que bajo cierto comportamiento se pueden describir, algunasveces con una relación matemática explicita. Entre los muchos campos deaplicación del análisis de señales se pueden citar los siguientes:

Seguridad : Control no invasivo de estructuras (nuclear). Pruebas de control decalidad.

Sismología: Análisis de señales sísmicas (potencia, forma, entre otras).

Geofísica: Investigación de zonas petroleras.

Ingeniería Biomédica: Análisis de señales cardiacas, fetales, procedimiento digitalde imágenes.

Campos de aplicación:

Telecomunicaciones: Codificación, transmisión y análisis.

Comunicación hombre -maquina: Síntesis de voz, reconocimiento de voz.

Publico en general: Computadoras o sistemas que hablan, aprendizaje de lenguasextranjeras asistidos por computadoras, tv digital, internet.

Militar: Radar, pilotaje automático, entre otras.

Campos de aplicación:

Existen diferentes clasificaciones de señales entre las que se destacan:

• Señales de energía.

• Señales de potencia.

• Señales de continuas o analógicas.

• Señales digitales.

• Señales periódicas.

• Señales determinísticas.

• Señales aleatorias.

Clasificación de señales:


Señales de energía: Es una señal en forma de pulso que normalmente existe sólodurante un intervalo finito de tiempo. Si está presente en un lapso infinito, tiene almenos la mayor parte de la energía concentrada en un lapso infinito de tiempo.

La energía de una señal se puede calcular con la siguiente formula: 𝐸 = −∞∞𝑓(𝑡) 2dt

Si esta integral es finita, entonces f(t) es una señal de energía.

En la siguiente figura se muestra un ejemplo de señal de potencia.

Señales de Potencia:

A las señales en las que la ecuación E= −∞∞𝑓(𝑡) 2 𝑑𝑡 es infinita se les conoce como

señales de potencia, porque en este caso solo se les puede calcular su potencia. Si setiene una señal f(t), su potencia media en el intervalo ( , ) está dada por laexpresión:


𝑃 =1

𝑡2 − 𝑡1 𝑡1

𝑡2

𝑓(𝑡) 2 𝑑𝑡

Señales de Potencia:



Señales continuas o analógicas: Son las que están definidas para todo intervalo de tiempo,pueden tomar valores en un intervalo continuo (a , b). Estas señales se pueden escribirutilizando alguna función, por ejemplo:

Ortogonalidad Serie de Fourier


Señales digitales (también conocidas como secuencias): Las señales digitales o discretassolo están definidas, para ciertos valores de tiempo. Por lo común se denota la variableindependiente con la letra n, indicando el número de muestras. Una señal en tiempodiscreto se puede representar como una secuencia de números reales o complejos.Ejemplo: x(n):=1,4,2,8,9,3,0,1], h(n)= 5exp(-j2n).

Grafica de una señal discreta de tipo exponencial negativo.


Señales Periódicas y no periódicas: Una señal periódica es aquella que se repiteexactamente a si misma en un lapso fijo. Suele escribirse como f(t+T)= f(t), donde T es elperiodo de la señal.

Una señal periódica es una señal de potencia si su energía por ciclo es finita, y entonces lapotencia media solo necesita calcularse en un ciclo completo.


Señales determinísticas: Es aquella para la cual podemos conocer todos sus valores, paracualquier valor de tiempo o el espacio; se puede representar con una expresiónmatemática.

Ejemplo: f(t)=


Señales aleatorias: Es aquella en la que existe algún grado de incertidumbre en todos susvalores. Se puede representar con una expresión matemática como f(t)= , soloque ahora los parámetros como la amplitud Α, la frecuencia ω y la fase φ, tiene asociadosuna función de densidad probabilística.

Señal aleatoria y su función de densidad de probabilidad asociada.

Ortogonalidad y series de Fourier:

Ortogonalidad y series de Fourier: Para el analis de señales es útil poder representar unaseñal en termino de funciones base, tales como las funciones trigonométricas, las funcionesexponenciales entre otras. Para poder representar una función como una combinación linealotras funciones base, estas funciones deben cumplir con la condición de Ortogonalidad, lacual se explica a continuación.

Si se tiene un conjunto de funciones que cumplen con la siguiente condición:


Donde y representan el complejo conjugado de y respectivamente.

En general, si tenemos , dos funciones con valor complejo de un conjunto de

funciones complejas , entonces las funciones y serán mutuamente ortogonales

si cumplen con lo siguiente:


Entonces el conjunto de funciones esta normalizado si

Si el conjunto de funciones es a la vez ortogonal y normalizado, se le llama“conjunto ortonormal”. Para comprender mejor el concepto de Ortogonalidad, se puedehacer una analogía utilizando vectores. Si son vectores, entonces si n=m losvectores son colineales y por lo tanto su producto punto es diferente de cero.


Se pueden hacer representaciones de funciones utilizando conjunto de funciones ortogonales tales como:

• Función seno coseno.• Polinomios de Legendre.• Funciones exponenciales.• Funciones de Bessel.• Funciones de Walsh.• Funciones de Wavelets.• Entre otras.


Iniciaremos con las funciones trigonométricas, primero se probara si las funciones seno ycoseno cumplen con la condición de ortogonalidad. Si las funciones seno y coseno formanun conjunto de funciones ortogonales, entonces se debe cumplir lo siguiente:

Con: La demostración de esta expresión se hace a continuación. Si tenemos la identidadtrigonométrica y sustituimos en la expresión anterior, para hacer laintegral,

Tenemos:

Evaluando los limites y sustituyendo


Lo cual demuestra que el conjunto de funciones forman un conjuntoortogonal de funciones en el intervalo [ 0, T ].

Transformada de Fourier

Una de las aplicaciones mas comunes de la transformada de Fourier es que nos ayuda aconocer las frecuencias componentes de las señales presentes y además distinguir lasseñales del ruido. Veamos un ejemplo sencillo: Supongamos que tenemos dos señalessenoidales, una de 50 Hz y otra de 120 Hz, inmersas en ruido, si vemos la figura de la señalen el tiempo, notaremos que es imposible distinguir las señales de ruido.

Si observamos la densidad espectral de la señal, utilizando la transformada de Fouriery la graficamos en función de la frecuencia obtendremos una gráfica como la que semuestra a continuacion:


Como se puede observar en la figura anterior ahora si es posible distinguir las frecuenciasde las señales componentes y el ruido, estas se pueden identificar como los picos que seencuentran en 50 Hz y 120Hz los demás picos corresponden al ruido. Podemos decir que latransformada de Fourier, nos permite observar, en el espacio de frecuencias laconcentración de la energia correspondiente a cierta señal.El instrumento gracias al cual podemos observar este tipo de parametros es el analizadorde espectro. Existen tambien dispositivos como los DSP que permiten obtener latransformada de Fourier de la señal en tiempo real. Otra forma de caracterizar una señales observar sus características en el dominio de la frecuencia. Dentro de las caracteristicasque podemo detectar se encuentran el ruido inmerso en una señal y el contenidofrecuencial, pero sobre todo en sistemas de comunicación interesa poder determinar suancho de banda.


Transformada de Fourier de tiempo continuo de una función no periódica (TFTC): Para deducir esta, se partirá de una función periódica en el tiempo f(t), como se muestra en la figura:

Transformada de Fourier de tiempo continuo (TFTC)

Si tenemos la representación de esta señal en serie de Fourier compleja:

Donde

Al incrementar el periodo T, aumenta la densidad del espectro de líneas, y cuando T→ , la grafica de se hace continua. Si sustituimos la expresión anterior en la primera, tenemos

Cambiando nω₀ por ω, y si ω = , entonces . . Cuando T → , , ω → y la sumatoria se convierte en la integral:


f(t)= −∞∞ 1

2𝜋 −∞∞𝑓(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔 =

1

2𝜋 −∞∞𝐹(𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔

En las integrales

y

𝑓 𝑡 =1

2𝜋 −∞

∞

𝐹(𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔

Se les llama Integral de Fourier o transformada de Fourier directa e inversa respectivamente de una función no periódica e indica la distribución de la energía de la señal en el espacio de frecuencias. A la grafica de f(ω) se le conoce como espectro de energía de f(t).Ejemplo: Encuentre la TFTC del pulso 𝑓 𝑡 = 𝑒𝛼⃓ 𝑡 cuya grafica se muestra a continuación:

Escriba aquí la ecuación.

𝐹 𝜔 = −∞

∞

𝑓(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡


Resolviendo

Gráficamente,


𝐹 𝜔 = −∞

∞

𝑓(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 = −∞

∞

𝑒𝛼⃓ 𝑡 𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 = −∞

0

𝑒 𝛼⃓−𝑗𝜔 𝑡𝑑𝑡 = 0

−∞

𝑒− 𝛼⃓+𝑗𝜔 𝑡𝑑𝑡

=𝑒 𝛼−𝑗𝜔 𝑡

(𝛼⃓−𝑗𝜔)⃒ 0−∞

+ 𝑒− 𝛼+𝑗𝜔 𝑡

− 𝛼⃓+𝑗𝜔⃒∞0=

1

(𝛼⃓−𝑗𝜔)+ 1

𝛼⃓+𝑗𝜔=𝛼⃓+𝑗𝜔+𝛼⃓−𝑗𝜔

(𝛼⃓−𝑗𝜔)(𝛼⃓−𝑗𝜔)=

2𝛼⃓

𝛼⃓2+𝜔2

Curva de la Transformada deFourier de la función F(𝜔)

Transformada de Fourier de tiempo continuo de una señal periódica: Podemos escribir una función periódica usando su serie de Fourier como:

𝑓𝜏 t =

𝑛=−∞

∞

𝐹𝑛𝑒𝑗𝑛𝜔0𝑡

Si obtenemos la transformada de Fourier de 𝑓𝜏 t tenemos:

𝛿 𝑓𝜏(𝑡) = 𝛿 𝑛=−∞∞ 𝐹𝑛𝑒

𝑗𝑛𝜔0𝑡 = 𝑛=−∞∞ 𝐹𝑛𝛿 𝑒

𝑗𝑛𝜔0𝑡 = 𝑛=−∞∞ 𝐹𝑛2𝜋𝛿(𝜔 − 𝑛𝜔0)=

=2𝜋 𝑛=−∞∞ 𝐹𝑛𝛿(𝜔 − 𝜔0)

Entonces

𝛿 𝑓𝜏 𝑡 = 2𝜋

−∞

∞

𝐹𝑛 𝛿(𝜔 − 𝑛𝜔0)

La transformada de Fourier de tiempo continuo es una función discreta compuesta por funciones impulso moduladas por el coeficiente de la serie de Fourier compleja.


Transformada de Fourier de tiempo discreto (TFTD): Con el desarrollo de las computadoras fue posible tener señalesdiscretas a partir de señales analógicas, de allí nacieron los algoritmos para la transformada de Fourier de tiempo discretoy para la transformada de Fourier discreta.

Transformada de Fourier de tiempo discreto (TFTD)

Transformada de Fourier de tiempo discreto (TFTD): Con el desarrollo de las computadoras fue posible tener señalesdiscretas a partir de señales analógicas, de allí nacieron los algoritmos para la transformada de Fourier de tiempodiscreto y para la transformada de Fourier discreta.


Señales discretas: A continuación se presentan las señales discretas comúnmente usadas en el análisis de señales:

.


Transformada de Fourier de tiempo continuo

Ejemplos de funciones de tiempo continuo y sus transformadas de Fourier

Muestreo

Teoría de muestreo: El interés de muestrear una señal x(t) en tiempo continuo, para tener una representación de esta enel dominio discreto, se ha desarrollado en gran medida gracias a la facilidad, accesibilidad, bajo costo y facilidad dereproducir el procesamiento digitalmente.

Muestreo ideal: El proceso de muestrear idealmente consiste en multiplicar en el dominio del tiempo, una señalcontinua x(t) por una función de tren de impulsos unitarios y así obtener valores instantáneos a la cadencia,determinada por el tren de impulsos, es decir:

Donde:x(t) es una señal de tiempo continuo limitada en banda.δт(t) es un tren de impulso unitario de periodo t.

Xm(t) es la función x(t) muestreada a periodos T.

Gráficamente se observa tanto en el tiempo como en la frecuencia:

Muestreo

Muestreo

Muestreo

Cabe aclarar que 𝛿𝜏 𝑡 es un tren de impulsos de amplitud unitaria y espaciados cada periodo T. Adicionalmente losvalores de X(t) son continuos. La señal Xm(t), será el resultado de multiplicar el tren de impulsos 𝛿𝜏 𝑡 por la señal X(t),es decir, se escribe como: Xm(t)= X(t) 𝛿𝜏 𝑡 .Si sustituimos la función 𝛿𝜏 𝑡 por su equivalente suma de impulsos 𝑛=−∞

∞ 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇) espaciados cada T segundos,como resultado se tiene la siguiente ecuación:

𝑋𝑚 𝑡 = x(t) 𝑛=−∞∞ 𝛿 𝑡 − 𝑛𝑇 = 𝑛=−∞

∞ 𝑥(𝑡)𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇)

Si se toman las muestras casa t=nT, se pasa de tiempo continuo a tiempo discreto para la señal x(t).En el dominio discreto la ecuación anterior se pude escribir como:

𝑋𝑚 𝑡 = 𝑛=−∞∞ 𝑥(𝑛𝑇)𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇)

Teorema de muestreo: Sea f(t) una señal de banda limitada con Fω= 0 para |ω₀|≥ 2𝜔𝑚. Entonces f(t) está determinada

unívocamente por sus muestras f(nT), n=0,±1, ±2,…, si 𝜔0 ≥ 2𝜔𝑚 donde 𝜔0 =2𝜋

𝑇frecuencia de muestreo 𝑓0 ≥ 2𝑓𝑚

Con: f₀= frecuencia de muestreo.fm = frecuencia máxima de la señal.

El termino W lo definiremos como la frecuencia angular y f como la frecuencia en ciclos por segundo.

Al teorema de muestreo también se le llama frecuencia de Nyquist o teorema deShannon.Si no se cumple la ecuación anterior se produce el efecto de “recubrimiento deespectro” como se puede apreciar en la siguiente figura. Una vez producido elrecubrimiento del espectro, no se podrá recuperar la señal analógica correspondiente.

Reconstrucción de la señal analógica a partir de las muestras digitales

Al proceso de reconstruir la señal analógica a partir de sus muestras digitales se ledenomina “conversión digital-analógica”. Si partimos que la fase de muestreo fuerealizada por muestreo ideal, y partiendo de la representación en frecuencia, es decir,del espectro periodizado. Tal como lo muestra la figura.

Muestreo

Muestreo

Se pueden plantear dos situaciones posibles:a) No se respeta el teorema de muestreo.b) Se respeta el teorema de muestreo.

Si No se respeta el teorema de muestreo, es decir, que 𝜔𝑚 >𝑤0

2, entonces no se puede

reconstruir la señal f(t).

Si se respeta el teorema de muestreo, implica que 𝜔𝑚 ≤𝑤0

2;

entonces partiendo del espectro periodizado, el cual esta afectado por una amplitud1

𝑇, lo que se tiene que realizar es una multiplicacion con un fIltro de ganancia 𝑇.

Cabe resaltar que se puede filtrar cualquiera de los espectros, pero el mas sencillo es elque se encuentra alrededor de la frecuencia cero.El efecto del filtro será eliminar todos los componentes restante, de tal modo quecalcular la transformada inversa de Fourier de la señal F(𝜔) dará como resultado 𝑓 𝑡 .

Muestreo

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