DINÁMICA DEL PUNTO MATERIAL

1. Definición de punto material. Interacciones. Fuerzas. 2. Leyes de Newton para el punto material. 3. Impulso mecánico. Cantidad de movimiento. Teorema de conservación de la cantidad de movimiento. 4. Momento de una fuerza respecto de un punto. 5. Momento cinético de un punto material. Teorema de conservación del momento cinético. Fuerzas

centrales. Ley de las áreas.

Punto material. Interacciones. Fuerzas

Punto material: Simplificación consistente en considerar toda la masa de un cuerpo concentrada en un punto.

En la naturaleza hay cuatro interacciones:

l Interacción gravitatoria. l Interacción electromagnética. l Interacción nuclear fuerte. l Interacción nuclear débil.

Fuerza: Medida de la intensidad de una interacción.

Cantidad de movimiento de una partícula: Producto de su masa por su vector velocidad: .

Impulso mecánico de una fuerza: Producto de la fuerza por el tiempo que actúa: .

Principios de la dinámica

La dinámica está basada en tres principios básicos:

l 1er principio o principio de la inercia

Una partícula no varía su estado de movimiento si sobre ella no actúa ninguna fuerza.

l 2º principio

La relación entre las fuerzas aplicadas a una particular y las aceleraciones producidas es siempre constante. A dicha constante se la llama masa inercial.

La cantidad de movimiento de una partícula se define como: .

que es otra manera de escribir el 2º principio: la fuerza que actúa sobre una partícula es la rapidez con que varía su cantidad de movimiento.

l 3er principio o principio de acción y reacción

Como las fuerzas son resultado de interacciones entre dos partículas, la fuerza que una ejerce sobre la otra es igual y de sentido contrario a la que la segunda ejerce sobre la primera.

Teorema de conservación de la cantidad de movimiento

Consecuencia de es que si la fuerza resultante sobre una partícula es cero, su cantidad

de movimiento no varía.

Momento de una fuerza respecto de un punto

Sea una fuerza y un punto de referencia O. Se define el momento de dicha fuerza respecto de O como el producto vectorial entre el vector que une el punto de referencia con el punto de aplicación de la fuerza, y el vector fuerza.

por lo tanto el momento de una fuerza es un vector perpendicular a y , de

módulo M = rFsen α y cuyo sentido viene dado por la regla de la mano derecha.

Momento cinético de una partícula respecto de un punto

Se define el momento cinético de una partícula respecto de un punto O como el producto vectorial entre el vector que une el punto de referencia con la partícula y el vector cantidad de movimiento.

por lo tanto el momento cinético es un vector perpendicular a y , y de módulo rmvsenα

Teorema de conservación del momento cinético

Si derivamos respecto del tiempo:

, esto es, : la rapidez con que varía el momento

cinético de una partícula es el momento de la fuerza aplicada.

Como consecuencia, si el momento resultante sobre una partícula es cero, su momento cinético no varía.

Campos centrales. Ley de las áreas

Un campo de fuerzas es central, cuando las líneas de acción de los vectores fuerza asociados se cortan en un punto fijo.

Como consecuencia, el momento de las fuerzas respecto de dicho punto fijo, , valdrá siempre cero. Si el momento de las fuerzas es siempre nulo, el

momento cinético de una partícula sometida a una fuerza de este tipo no variará como hemos visto en el teorema de conservación del momento cinético.

Por tanto, una fuerza central, trae como consecuencia la invarianza del momento cinético de una partícula sometida a esta fuerza. Si el momento cinético no varía, no varía ni en módulo ni en dirección y sentido. Esto trae dos consecuencias:

l Constancia en dirección → Trayectoria plana (ya que debe ser perpendicular a y a en todo momento)

l Constancia en módulo → Ley de las áreas (ya que , y el área del triángulo formado por y

es = constante)

Este último resultado de conoce con el nombre de ley de las áreas, aplicable a fuerzas centrales (como la fuerza gravitatoria): un punto sometido a una fuerza central "barre" áreas iguales en tiempos iguales.

1. Sobre una mesa horizontal se encuentran dos bloques de 2 kg unidos por un hilo. Uno de ellos está unido mediante otro hilo que pasa por una polea a un tercer bloque que pende. El coeficiente de rozamiento de los bloques con la mesa es de 0.2.

a. Hallar el mínimo valor que debe tener la masa colgante para que el conjunto se ponga en movimiento.

b. Si a esa masa mínima se le superpone otra de 1 kg, ¿cuál será su aceleración? ¿Cuánto valdrán las tensiones de los hilos?

a) Planteando la segunda ley de la dinámica para cada masa, tendremos las ecuaciones indicadas en la figura, obteniendo un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas:

sistema de ecuaciones, que para resolverlo, lo más conveniente es sumar las tres ecuaciones, obteniendo:

mg - fR1 - fR2 = a(m+m1 +m2). (1)

En el momento en que el sistema se pone en movimiento a = 0, por tanto:

b) Si hacemos m = 1.8 kg, y sustituimos en (1):

T1 = mg -ma = 14.6 N; T2 = m2a + fR2 = 7.3 N

2. A un cuerpo de 10 kg inicialmente en reposo sobre un plano inclinado 30º se le aplican dos fuerzas, una de 70 N paralela al plano y hacia arriba, y otra de 40 N perpendicular al plano y hacia él. Calcular la fuerza de rozamiento. Coeficiente de rozamiento estático y dinámico entre plano y cuerpo 0.2 (g=10 m/s2)

Empecemos calculando las componentes del peso:

PX = Psen30º = mg sen30º = 50 N

PY = Pcos30º = mg cos30º = 86.6 N

Situamos las fuerzas en el gráfico, teniendo en cuenta que como el bloque no se despega del plano N = 40 + 86.6 = 126.6 N.

El valor máximo de la fuerza de rozamiento es µN = 25.32 N.

Ahora surge un conflicto, si suponemos que el cuerpo, que parte del reposo, sube, la fuerza de rozamiento de 25.32 N iría hacia abajo, provocando que 70 < 75.32 que es contradictorio con que suba. Si por el contrario suponemos que el bloque baja, la fuerza de rozamiento iría hacia arriba siendo incompatible con (70 + 25.32) > 50.

Por tanto, hay que admitir que el cuerpo no se puede mover, valiendo la fuerza de rozamiento 20 N hacia abajo, ya que no olvidemos que µN representa el valor máximo de la fuerza de rozamiento, siendo ésta menor cuando el cuerpo está parado.

3. Resolver el problema anterior si en el momento inicial se le comunica una velocidad paralela al plano y hacia arriba de 10 m/s.

Ahora, no hay duda del sentido y módulo de fR, fR = µN = 25.32 N hacia abajo.

Habrá ahora, una fuerza resultante de 5.32 N hacia abajo, valiendo a = FR/m = 0.532 m/s2 hacia abajo. El cuerpo asciende

por lo tanto con un movimiento de frenado.

4. Un cuerpo debería emplear 8 s en recorrer deslizando un plano inclinado 30º respecto de la horizontal, pero debido al rozamiento emplea 12 s. Calcular el valor de la longitud del plano inclinado y del coeficiente de rozamiento.

En primer lugar consideremos que no hay rozamiento. La fuerza resultante sobre el bloque es PX = mgsenα :

Si recorre el plano en 8 s, la longitud del plano será:

x= ½ at2 = ½ 4.9 64 = 157 m.

Si ahora, incluimos el rozamiento, la fuerza resultante será:

a = gsenα - µgcosα

La aceleración vale ahora: a=2L/t2 = 314/144 = 2.18 m/s2. Por lo tanto:

5. Determinar la máxima velocidad con que un automóvil puede circular sin derrapar por una curva horizontal en función del radio de la curva y del coeficiente de rozamiento estático.

Al girar los neumáticos, estos siguen avanzando en la misma dirección, apareciendo una fuerza de rozamiento perpendicular al plano de la rueda. Esta fuerza tiene una componente perpendicular al vector velocidad, y va a ser la responsable del cambio de trayectoria.

La fuerza ejercida por el suelo sobre las ruedas no puede ser mayor que

µEN = µEmg, por lo que la fuerza resultante máxima es: FMAX = maMAX

= µEmg. Por otra parte, como la trayectoria es circular la aceleración debe

de ser normal a la trayectoria a = v2/R.

La máxima aceleración normal permitida (si es mayor el suelo no proporcionará la fuerza necesaria) es por lo

tanto: aMAX = ; y el valor máximo de v será:

6. Con la ayuda de una cuerda se hace girar un cuerpo de 1 kg en una circunferencia de 1 m de radio en un plano vertical, cuyo centro está situado a 6 m por encima del suelo. La cuerda se rompe cuando la tensión es de 100 N, lo cual ocurre cuando el cuerpo está en el punto más bajo de la trayectoria. Calcular:

a. Velocidad del cuerpo cuando se rompe la cuerda. b. ¿Cuánto tiempo tardará en caer al suelo? c. ¿Cuál será la velocidad en el instante de chocar con el suelo?

a) La aceleración en el punto más bajo es de 90.2 m/s2 y además es normal a la trayectoria, por lo que vale v2/R.

a = v2/R;

b) La velocidad inicial del cuerpo es la calculada en el apartado anterior, y tardará en caer el mismo tiempo que tardaría en caer cualquier objeto una altura de 5 m, ya que la velocidad inicial sólo tiene componente

horizontal, es decir:

c) La ecuación de la velocidad es:

7. Determinar el ángulo de peralte de una curva, de radio 25 m, para que un vehículo de 500 kg pueda tomarla, sin deslizar, con rapidez de 70 km/h, sabiendo que el coeficiente de rozamiento estático entre el caucho y el hormigón es 0.8.

El vehículo, por la inercia, tiende a salirse de la curva, esto es, a subir; por lo tanto la fuerza de rozamiento va dirigida hacia abajo. La fuerza de rozamiento está contribuyendo de manera doble: por una parte, con su componente X contribuye a aumentar la resultante en el eje X, y con su componente Y simula como si el cuerpo pesara más, estando más "pegado" al suelo.

Planteando la ecuación fundamental de la dinámica, tendremos tres fuerzas, cuya resultante es la masa por la aceleración:

En primer lugar hallamos las componentes de la fuerza de rozamiento, y de la reacción del suelo en los ejes escogidos.

NX = Nsenα NY = Ncosα

frX = frcosα frY = frsenα

Escribiendo la ecuación fundamental en forma cartesiana:

la aceleración solamente tiene componente X, y es normal a la trayectoria por lo que vale v2/R:

Por otra parte, el valor máximo de fR es µEN, por lo que podemos escribir:

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, N y α , que para resolverlo escribiremos de otra forma:

; si dividimos miembro a miembro:

; y despejando tanα :

8. Una bolita unida a un extremo de un hilo de longitud L, gira en un plano horizontal como consecuencia de la rotación del otro extremo del hilo. Demostrar que el período de rotación vale

, siendo α el ángulo que se aparta el hilo de la vertical.

Las dos fuerzas que actúan dan como resultado una aceleración que es normal al vector velocidad y dirigido en la dirección del radio de la circunferencia; es decir:

siendo ω la velocidad angular de la bolita.

haciendo ω = , tendremos:

9. Determinar el periodo de un péndulo simple de 2 m de longitud en un punto donde g = 9.81 m/s2

El movimiento de un péndulo simple es aproximadamente armónico simple, cumpliéndose que la aceleración es directamente proporcional y de sentido contrario a la elongación:

a = -ω 2x

x es la separación a la posición de equilibrio a lo largo del arco:

x = Lϕ

Cuando la masa puntual se encuentra en la posición angular ϕ , la fuerza resultante en la dirección del desplazamiento es mgsenϕ

Σ FT = maT = -mω 2Lϕ = mgsenϕ

Obteniéndose: ω 2Lϕ = gsenϕ ;

Recordemos que en el M.A.S. ω =

Obteniéndose:

El valor del periodo depende desgraciadamente del ángulo de separación, pero si consideramos pequeñas

desviaciones únicamente: , y tendremos una relación independiente de la posición angular:

El periodo buscado vale pues: 2.84 s

10. Un automóvil de 800 kg desciende por una larga pendiente de 6º. Las fuerzas de rozamiento tanto

con el suelo como con el aire que se oponen al movimiento del coche tienen la forma fR = 100 +1.2v2 (en

unidades S.I.). ¿Cuál es la velocidad límite al descender el automóvil por esta pendiente?

La fuerza de rozamiento tiene dos contribuciones: una de 100 N que se debe al rozamiento seco (sólido-sólido) y otra dependiente de la velocidad, 1.2v2 que se debe al rozamiento con el aire, o rozamiento viscoso. Por tanto no es constante, sino que aumenta con la velocidad, lo que hace que se alcance una velocidad límite.

Al principio cuando la velocidad es pequeña hay una fuerza resultante hacia abajo de 819 - 100. Pero conforme va aumentando la velocidad, la fuerza de rozamiento va creciendo, hasta que mgsenα = fR, siendo cero la fuerza

resultante a partir de ese momento:

Por tanto haremos mgsenα = 100 + 1.2v2;

11. En un parque de atracciones, los participantes se sostienen contra las paredes de un cilindro giratorio mantenidos por la fuerza de rozamiento. Si el coeficiente de rozamiento estático entre los participantes y la pared vale 0.4 y el radio del cilindro es de 5 m, hallar la frecuencia mínima necesaria en revoluciones por minuto. Si su altura sobre el suelo es de 3 m, ¿cuánto tardarán en caerse si por error la frecuencia es de 20 r.p.m? (coeficiente de rozamiento dinámico 0.3)

Para que no se caigan: fR = mg

N, la fuerza de contacto que ejerce la pared, provoca la trayectoria circular. Es además la fuerza resultante.

N = mω 2R

fR = µEN = µEmω 2R = mg; µEω2R = g

Si la frecuencia es de 20 r.p.m., ω = 2π /3 rad/s. N será ahora menor de lo necesario y por tanto:

fR < mg; mg - µDmω 2R = ma; a = g - µDω2R = 9.8 - 0.3⋅ 4π 2/9⋅ 5 = 3.22 m/s2

= 1.36 s

12. Un satélite que orbita la Tierra, tiene en el instante en que su posición es Gm (en cierto

sistema de referencia XYZ) una velocidad de km/s. Calcular aplicando la ley de las áreas el valor de su velocidad cuando su posición sea Gm.

El momento cinético del satélite es en todo momento constante por estar sometido a una fuerza central: = cte, por tanto

Gm⋅ km/s

Haciendo tendremos

; km/s

13. En el sistema de la figura, en el que A y B son dos poleas sin masa y sin rozamiento, se abandonan simultáneamente las masas m1 y m2. En el instante después

de abandonarlas, se pide:

a. Tensión del hilo del que pende la masa m1.

b. Aceleración de la masa m2.

c. Fuerza que ejerce la masa m1/2 sobre la masa m2/2.

Datos m1 = 1 kg; m2 = 2 kg ;µ1 = 1/3 ;µ 2 = 2/9.

En la figura podemos observar las fuerzas que actúan sobre cada masa: la masa m2 con su peso P2 tira de m2/2 con T2.

Sobre m2/2 actúa T2, la fuerza de rozamiento con la mesa

fR2, la fuerza de rozamiento con la masa de arriba fR1, su

peso m2g/2, y la fuerza de contacto N2 = (m1+m2)g/2. Sobre

m1/2 actúa T1, la fuerza de rozamiento con la masa inferior

fR1, su peso y la fuerza de contacto N1 = m1g/2.

N1 = m1g/2

N2 = (m1 + m2)g/2

Escribiendo la ecuación fundamental de la dinámica para cada masa, tendremos:

Sumando las dos últimas y simplificando: g(1 - µ1/2) = 3/2 a1

a1 = = = 5.44 m/s2

por tanto T1 = m1(g - a1) = =

4.36 N.

Para obtener a2 sumamos las dos primeras y sustituimos valores:

g a2;a2 = g/2 = 4.9 m/s2

Finalmente, la fuerza mutua que se ejercen las dos masas es la resultante del peso de la superior con la fuerza de rozamiento:

= 5.16 N

fR1 = µ1N1 = µ1m1g/2 = g/3/2= g/6 =1.6 N

14. Un recipiente semiesférico de radio R está rotando con

velocidad angular ω respecto de su eje vertical. Cuando se coloca una canica en la superficie interior a una distancia r del eje, ésta permanece en equilibrio. Demostrar que para que esto suceda, r debe ser:

m2g - T2 = m2a2 m2g - T2 = m2a2

T2 - fR2 -fR1 =

m2a2/2

T2 - µ2(m1 + m2)g/2 -µ1 m1g/2 =

m2a2/2

T1 - fR1 = m1a1/2 T1 - µ1 m1g/2 = m1a1/2

m1g - T1 = m1a1 m1g - T1 = m1a1

Sobre la canica actúan, su peso, y la fuerza de reacción del suelo:

;

El vector aceleración resultante va dirigido hacia el eje y es normal al vector velocidad.

Nsenα = mω 2r

Ncosα = mg

dividiendo miembro a miembro:

tanα = =

15. Una caja de 20 kg es arrastrada por un suelo horizontal con velocidad constante mediante una cuerda que forma cierto ángulo con la horizontal. El coeficiente de rozamiento dinámico entre la caja y el suelo vale 0.6. Calcular el ángulo de inclinación de la cuerda que consigue que la fuerza tenga un valor mínimo.

Primero se escriben las fuerzas en forma vectorial:

Planteando la ecuación fundamental de la dinámica:

; ya que la aceleración es 0.

por tanto: F(cosα + µsenα ) = µmg

Para averiguar si la función F(α ) presenta un valor mínimo derivamos F respecto de α e igualamos a cero:

basta que el numerador sea 0:

α Fmin = arctan(0.6) = 30.96º.

El valor de la fuerza mínima será:

Para obtener senα y cosα , trazamos un triángulo de lados µy 1:

senα = cos α =

=100.8 N

En el gráfico se ha representado la función F(α ). En él se ve que para α = 0, F = µmg; decreciendo al aumentar α , el punto mínimo F = 100.8 N α = 30.96º, y el aumento de F a partir de este ángulo.

16. Sobre un plano inclinado un ángulo α se sitúan dos cuerpos, tal como se muestra en la figura. Sabiendo que las masas de dicho cuerpos son m1 y m2 y que sus coeficientes de rozamiento con

el suelo valen µ1 y µ2, con µ1>µ2, determinar:

a. Fuerza de contacto entre los cuerpos. b. Valor mínimo de α para que se inicie el movimiento.

Llamando a la fuerza de contacto que la masa 2 hace sobre la 1 F1, hallaremos la

fuerza resultante sobre la masa 1.

La proyección del peso sobre la línea paralela al plano vale m1gsenα , y la fuerza

de rozamiento µ1N1 = µ1m1gcosα , por tanto:

m1gsenα + F1 - µ1m1gcosα = m1a (1)

Del mismo modo procedemos con la masa 2:

Llamando a la fuerza de contacto que la masa 1 hace sobre la 2 F2, hallaremos la

fuerza resultante sobre la masa 2.

La proyección del peso sobre la línea paralela al plano vale m2gsenα , y la fuerza

de rozamiento µ2N2 = µ2m2gcosα , por tanto:

m2gsenα - F2 - µ2m2gcosα = m2a (2)

Considerando que F1 = F2 = F en valor absoluto, e igualando las dos aceleraciones:

gsenα + F/m1 - µ1gcosα = gsenα - F/m2 - µ2gcosα

observamos que si µ1 = µ2, la fuerza de contacto se anula.

b) Considerando aceleración cero en el caso mínimo, y utilizando las relaciones (1) y (2):

m1gsenα + F = µ1m1gcosα

m2gsenα = F + µ2m2gcosα

si las sumamos para deshacernos de F:

gsenα (m1+m2) = gcosα (µ1m1+µ2m2);

17. Analizar las circunstancias en que puede empujarse un coche parado. Aplicarlo a la situación en que la masa de la persona es de 80 kg, la masa del coche es de 1000 kg, el coeficiente estático de rozamiento entre la persona y el suelo 0.6 y el coeficiente estático de rozamiento entre el coche y el suelo 0.05.

Para que el coche comience a moverse es necesaria una fuerza µ2Mg, que por el tercer

principio de la dinámica actuará sobre la persona. Pero ésta se pondrá en movimiento si actúa sobre ella una fuerza mayor que µ1mg, de

modo que si µ2Mg es mayor que µ1mg, quien

se moverá será la persona. Para mover el coche es necesario que µ1m > µ2M.

En el caso concreto, µ1m = 48 y µ2M = 50, por lo que el coche empujará a la persona.

18. El bloque de la figura está sujeto a una varilla vertical por medio de dos cuerdas. Cuando el sistema gira alrededor del eje longitudinal de la varilla, las cuerdas se tensan. Determina el valor de las tensiones en las cuerdas cuando la velocidad angular sea de 120 revoluciones por minuto.

Datos: m = 1 kg; L = 30 cm; d = 20 cm.

Inicialmente, cuando la velocidad angular es pequeña, el sistema se comporta como un péndulo cónico, siendo T2, la tensión de la cuerda inferior, cero. A

partir de cierta velocidad angular las dos cuerdas se tensan, estando la masa sometida a las fuerzas que se indican en la figura.

Como la masa se halla en equilibrio pero con una aceleración normal dirigida hacia la varilla:

ω = 2π f = 2π ⋅ 2 = 4π rad/s.

;

Resolveremos la ecuación anterior en cada eje:

T1cosα = T2cosα + mg

T1senα + T2senα = mω 2R haciendo senα = R/L; cosα = d/L

= 31.04 N

= 16.34 N

19. Un bloque de masa 18 kg cuelga de una cuerda de 1.5 m descansando en una superficie cónica cuyo eje de revolución forma 37º con la generatriz. El cono gira con una frecuencia de 15 r.p.m.. Calcular:

a. La fuerza de contacto de la superficie cónica con el bloque. b. La tensión de la cuerda c. La frecuencia necesaria para que el bloque se separe del suelo, y

tensión en este momento.

La masa se halla en equilibrio vertical pero con una aceleración normal dirigida hacia el interior, ya que describe circunferencias de radio R:

ω = 2π f = 2π ⋅ 15/60 = π /2 rad/s.

→

dividiendo miembro a miembro:

= = 73.9 N

b) = 165 N

c) N = 0 para g⋅ tanα = ω 2Lsenα → = 2.86 rad/s

→ f = 0.45 Hz = 27.29 r.p.m.

la tensión en ese momento es: = 220.5 N

20. ¿Qué aceleración horizontal hay que proporcionar al sistema de la figura para que la masa no deslice?. Aplicarlo al caso en que el coeficiente de rozamiento estático entre las dos superficies sea de 0.15 y el ángulo de inclinación sobre la horizontal 30º.

La fuerza resultante sobre la masa que se halla sobre el plano es . Si queremos que la masa no se deslice, esto equivale a decir que no tenga componente

vertical de aceleración: aY = 0, o, . Desglosada por ejes nos conduce a dos ecuaciones:

NX - fRX = ma

NY + fRY = mg

Nsenα - µNcosα = ma

Ncosα + µNsenα = mg

dividiéndolas:

= 3.85 m/s2

Para aceleraciones menores, N y fR son pequeños y la masa se desliza hacia abajo (siempre que µ< tanα ).

Con aceleraciones mayores la masa comenzará a subir (N crece, y con ella fR, pero PX no varía).

21.El sistema de la figura representa dos masas M1 y M2 que unidas por un hilo inextensible y sin masa

deslizan sobre dos planos inclinados de 60º y 30º respectivamente. Sabiendo que M1 = kg, M2 = 1 kg, µ1

= , µ2 = , tomando g = 9.8 ms-2 y suponiendo que A es una polea sin masa ni rozamiento, Se pide:

1. Aceleración del sistema. 2. Tensión del hilo que une ambas masas. 3. Trabajo de rozamiento del sistema en el recorrido de 1 m.

Comenzamos dibujando todas las fuerzas que actúan y hallando las componentes.

Aplicando el segundo principio a las dos masas, tendremos:

M1gsen60º-T-µ1M1gcos60º = M1a

T-M2gsen30º-µ2M2gcos30º = M2a

Que sumadas miembro a miembro:

M1gsen60º - M2gsen30º - µ1M1gcos60º - µ2M2gcos30º = a(M1 + M2)

Y finalmente:

b) T = M2a + M2gsen30º + µ2M2gcos30º =

c) W = (fr1 + fr2)x = µ1M1gcos60º + µ2M2gcos30º =

22. El sistema de la figura representa una lanzadera constituida por un primer tramo horizontal liso (1-2) y un segundo tramo circular rugoso de radio 1 m y ángulo 60º (2-3). En la posición 3, la masa puntual de 1 kg abandona la lanzadera alcanzando una altura máxima de 5 m en su trayectoria, con respecto a su posición inicial. Sabiendo que dicha masa parte de la posición 1 con una velocidad inicial de 12 ms-1, tomando g = 10 ms-2 y despreciando la resistencia del aire, se pide:

1. Vector velocidad en el punto más alto de la trayectoria. 2. Trabajo de rozamiento en el tramo 2-3. 3. Componente normal de la reacción de la superficie de la lanzadera sobre la masa en la posición 3.

Al abandonar el punto 3, la masa posee una velocidad, cuya componente vertical vale v3sen60º,

que es la que le hace alcanzar los 5 m de altura. Como el punto 3 está a 0.5 m de altura, alcanza 4.5 m de altura sobre el punto 3.

Si nos fijamos únicamente en la componente vertical de la velocidad, v3sen60º, y la relacionamos con la

altura alcanzada:

(v3sen60º)2 = 2gh; → v3 =

Sabida v3, como su componente horizontal no varía, es justamente la que tiene en el punto más alto, esto es:

v4 = v3cos60º = ;

b) Conociendo v4, conocemos la energía total en el punto 4, que es la misma que en 3:

E4 = mgh + ½mv2 = 50 + 15 = 65 J

Por lo que la diferencia de energías entre 3 y 2 (trabajo de rozamiento en el tramo 2-3) es:

E3 - E2 = 65 - 72 = -7 J, ya que E2 = E1 = ½mv12 = 72 J.

c) En el punto 3, la resultante de las fuerzas en la dirección radial es N - Pcos60º, que es igual a la masa por la aceleración normal: