Dinmica de estructuras

Dinmica de estructurasCuarta edicin

Ail K. ChopraUniversity o f California at Berkeley

T r a d u c c i n

Jess Elmer Murrieta MurrietaMaestro en investigacin de operaciones

Tecnolgico de Monterrey - Campus Morelos

R e v i s i n t c n i c a

Luciano Roberto Fernndez Sola

Consuelo Gmez SobernDepartamento de Materiales

Universidad Autnoma Metropolitana-Azcapotzalco

PEARSON

Datos de ca ta logacin bibliogrfica

CHOPRA, AIL K.Dinmica de estructurasCuarta edicin

PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2014

ISBN: 978-607-32-2239-6 rea: Ingeniera

Formato: 18.5x23.5 cm Pginas: 752

Authorized translation from the English language edition, cnritlcd DYNAMICS OF STRUCTURES 4th edition, by AIL CHOPRA, publishcd by Pcarson Education, Inc., publishing as Prcntioc Hall, Copyright O 2012. All rights rcscrvcd.

ISBN 9780132858038

Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls, titulada DYNAMICS OF STRUCTURES 4'edicin, por AIL CHOPRA, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Prentice Hall, Copyright C 2012. Todos los derechos reservados.

Esta edicin en espaol es la nica autorizada.

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Superior Latinoamrica:

CUARTA EDICIN, 2014

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El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes.

ISBN VERSIN IMPRESA: 978-607-32-2239-6 ISBN VERSIN E-BOOK: 978^07-32-2240-2 ISBN E-CHAPTER: 978-607-32-2241-9

Impreso en Mxico. Printed in Mxico.12 34 5 6 7 8 9 0 - 1 6 15 14 13

Philip de la Vega Mario Contrcras Luis M. Cruz Castillo c-mail: luis.cmz@pearson.com Bemardino Gutirrez Hernndez Juan Jos G arda Guzmn

Marisa de Anta

PEARSONwww.pearsonenespaol.com

mailto:luis.cmz@pearson.com

Dedicado a Hamida y Nasreen, con gratitud por sugerirme la idea de trabajar en un libro, y con agradecimiento por soportar pacientemente

y compartir estos aos de preparacin conmigo. Su presencia y aliento hicieron que esta idea se volviera una realidad.

Contenido breve

PARTE I S is te m a s c o n u n s o lo g ra d o d e lib e rta d 1

1 E cuaciones de m ovim iento, planteam iento del problemay m to d o s de so lucin 3

2 Vibracin libre 39

3 R esp u esta a las excitaciones arm nicas y peridicas 65

4 R esp u esta a excitaciones arbitrarias, escalonadas y de p u lso 125

5 Evaluacin numrica de la respuesta dinmica 165

6 R esp u esta ssm ica de sis tem a s lineales 197

7 R esp u esta al s ism o d e lo s s is tem a s inelsticos 257

8 S is tem a s generalizados d e un so lo grado d e libertad 307

PARTE II S is te m a s d e v a r io s g r a d o s d e lib e rtad 345

9 E cuaciones de m ovim iento, planteam iento del problemay m to d o s de so lucin 347

10 Vibracin libre 403

vil

vi Descripcin

11 Am ortiguam iento en estructuras 447

12 Anlisis dinm ico y respuesta de los s is tem a s lineales 467

13 Anlisis ssm ico de sis tem a s lineales 513

14 Anlisis de lo s s is tem a s lineales con am ortiguam iento no clsico 617

MATERIAL EN EL SITIO WEB

15 R educcin de los grados de libertad 657

16 Evaluacin num rica de la respuesta dinmica 673

17 S y s te m s w ith D is tr ib u ted M a ss a n d E las tic ity (EN INGLS) 697

18 In tro d u c tio n to th e F in ite E lem en t M ethod (EN INGLS) 729

PARTE III RESPU ESTA SSMICA, DISEO Y EVALUACINDE EDIFICIOS DE VARIOS NIVELES 755

19 R esp u esta ssm ica d e edificios elstico lineales 757

20 Anlisis ssm ico y respuesta de edificios inelsticos 775

21 E a r th q u a k e D y n am ics o f B a s e - ls o la te d B u ild in g s (EN INGLS) 809

22 Dinmica estructural en los cd igos d e construccin 835

23 Dinmica estructural en las especificaciones de evaluacinde los edificios 863

A pnd ice A M todo del dom inio de la frecuencia para el anlisisde respuesta 883

A pnd ice B Notacin 905

A pnd ice C R esp u esta s a problem as se leccionados 917

ndice 933

Contenido

Prlogo xxi

Prefacio xxlll

Agradecim ientos xxxi

PARTE I S is te m a s c o n u n s o lo g ra d o d e lib e rta d 1

1 E cuaciones de m ovim iento, planteam iento del problemay m to d o s de so lucin 3

1.1 Estructuras sim ples 3

12 Sistem as d e un g rado de libertad 7

1 3 Relacin fuerza-desplazam iento 8

1.4 Fuerza de am ortiguam ien to 12

1 3 Ecuacin de m ovim iento: fuerza ex terna 14

1.6 Sistem a m asa-resorte-am ortiguador 19

1.7 Ecuacin de m ovim iento: excitacin ssm ica 23

1.8 P lan team iento del problem a y e lem en tos m ecnicos 26

ix

1.9 C om binacin de respuestas est ticas y d inm icas 28

1.10 M todos de solucin de la ecuacin d iferencial 28

1.11 E studio de los sistem as de 1GDL: organizacin 33

A pndice 1: C oeficientes de rig idez para un elem ento en flexin 33

Vibracin libre

2.1 V ibracin libre no am ortiguada 39

2.2 V ibracin libre v iscosam ente am ortiguada 4 8

2 3 Energa en vibracin libre 56

2.4 V ibracin lib re con am ortiguam ien to de C oulom b 57

R esp u esta a las excitaciones arm nicas y peridicas

Parte A: Sistemas con amortiguamiento viscoso: resultados bsicos 66

3.1 V ibracin arm nica de sistem as no am ortiguados 66

3.2 V ibracin arm nica con am ortiguam ien to v iscoso 72

Parte B: Sistemas con amortiguamiento viscoso: aplicaciones

3 3 R espuesta ante un generador de vibracin 85

3.4 F recuencia natural y am ortiguam iento a partir de pruebas arm nicas 87

3 3 Transm isin de fuerza y a islam ien to de v ibraciones 90

3.6 R espuesta ante el m ovim iento del terreno y a islam ien to de v ibraciones 91

3.7 Instrum entos para m edir v ibraciones 95

3 3 Energa d isipada por el am ortiguam ien to viscoso 99

3.9 A m ortiguam iento v iscoso equivalente 103

Parte C: Sistemas con amortiguamiento no viscoso 105

3.10 V ibracin arm nica con am ortiguam iento independiente d e la frecuencia 105

3.11 V ibracin arm nica con friccin de C oulom b 109

Parte D: R espuesta an te una excitacin peridica 113

3.12 R epresentacin de las series de Fourier 114

3.13 R espuesta ante una fuerza peridica 114

A pndice 3: G rfica de escala te tra logartm ica 118

4 R espuesta a excitaciones arbitraras, escalonadas y de pu lso

Parte A: Respuesta a fuerzas que varan arbitrariamente

Contenido

en el tiempo 125

4.1 Respuesta a un im pulso unitario 126

4.2 Respuesta a una fuerza arb itraria 127

Parte B: Respuesta a fuerzas escalonada y creciente 129

4 3 Fuerza escaln ada 129

4.4 Fuerza tipo ram pa o linealm ente creciente 131

4 3 Fuerza escalonada con tiem po de crecim ien to finito 132

Parte C: Respuesta a excitaciones de pulso 135

4.6 M todos d e solucin 135

4.7 Fuerza d e pulso rectangular 137

4.8 Fuerza d e pulso sinusoidal d e m edio ciclo 143

4.9 Fuerza de pulso triangular s im trica 148

4.10 Efectos de la form a del pu lso y anlisis aproxim ado para lo s pulsos cortos 151

4.11 Efectos del am ortiguam ien to v iscoso 154

Evaluacin numrica de la respuesta dinmica 165

5.1 M todos paso a paso en el tiem p o 165

5 3 M todos basados en la in terpolacin de la excitacin 167

5 3 M todo de la di ferencia central 171

5.4 M todo de N ew m ark 174

5 3 Estabilidad y erro r de clcu lo 180

5.6 Sistem as no lineales: m todo de la d iferencia central 183

5.7 Sistem as no lineales: m todo de N ew m ark 183

xi

125

xii Contenido

6 R esp u esta ssm ica d e s is tem a s lineales 197

6.1 Excitacin ssm ica 197

6 2 Ecuacin de m ovim iento 203

6 3 C antidades de respuesta 204

6.4 H istoria de la respuesta 205

6.5 C oncepto del espectro de respuesta 207

6.6 E spectros de respuesta d e deform acin,de pseudo-velocidad y de pseudo-aceleracin 208

6.7 R espuesta estructural m xim a a partir del espectro de respuesta 217

6.8 C aractersticas del espectro de respuesta 222

6.9 E spectro de d iseo e lstico 230

6.10 C om paracin de lo s espectros de d ise o y respuesta 239

6.11 D istincin en tre los espectros de d iseo y de respuesta 241

6.12 E spectros de respuesta de velocidad y aceleracin 242

A pndice 6: El centro , m ovim iento del terreno de 1940 246

7 R esp u esta al s ism o de lo s s is tem a s inelsticos 257

7.1 R elaciones fuerza-deform acin 258

7.2 R esistencia a la cedencia norm alizada, factor de reduccin de la resistencia a la cedencia y factor de ductilidad 265

7 3 Ecuacin de m ovim iento y parm etros de control 266

7.4 Efectos de la cedencia 267

7 3 E spectro de respuesta para la deform acin de cedenciay la resistencia a la cedencia 274

7.6 R esistencia a la cedencia y deform acin a partir del espectro d e respuesta 278

7.7 Relacin resistencia a la cedencia-ductilidad 278

7.8 E fectos relativos de la cedencia y el am ortiguam ien to 280

7.9 Energa d isipada 281

7 .10 D ispositivos com plem entarios para la d isipacin de energ a 284

7.11 Espectro de d iseo inelstico 289

7 .12 A plicaciones del espectro de d iseo 296

7.13 C om paracin de los espectros de respuesta y de d iseo 302

8 S is tem a s generalizados de un so lo grado d e libertad

8.1 Sistem as generalizados de 1GD L 307

8 .2 Ensam bles d e cuerpos rg idos 309

8 3 Sistem as con m asa y elasticidad d istribu idas 311

8 .4 Sistem a d e m asa concentrada: ed ificio de cortan te 323

8 .5 Frecuencia d e vibracin natural por el m todo d e R ayleigh 330

8 .6 Seleccin de la funcin de form a 334

A pndice 8: Fuerzas de inercia para los cuerpos rgidos 338

II S is te m a s d e v a r io s g r a d o s d e lib e rtad

9 E cuaciones de m ovim iento, planteam iento del problema y m to d o s de solucin

Contenido

9.1 Sistem a sencillo: ed ificio cortan te d e dos niveles 347

9 2 Enfoque general para los sistem as lineales 352

9 3 C ondensacin est tica 369

9 .4 S istem as planos o de p lanta sim trica: m ovim iento del terreno 372

9.5 Edificios d e un piso con planta asim trica 377

9 .6 Edificios de varios n iveles con p lanta asim trica 383

9 .7 Excitacin m ultisoporte 387

9 .8 Sistem as inelsticos 392

9 .9 Planteam iento del problem a 392

9.10 E lem entos m ecnicos 393

9.11 M todos para reso lver las ecuaciones de m ovim iento: descripcin general 393

10 Vibracin libre 403

Parte A: Frecuencias y modos de vibracin naturales 404

10.1 S istem as sin am ortiguam iento 404

10.2 Frecuencias y m odos de vibracin naturales 406

103 M atrices m odal y espectral 408

10.4 O rtogonalidad de los m odos 409

10.5 In terpretacin de la ortogonalidad m odal 410

10.6 N orm alizacin de los m odos 410

10.7 Expansin m odal d e los desp lazam ientos 420

Parte B: Respuesta de vibracin libre 421

10.8 Solucin de ecuaciones de vibracin libre: sistem as no am ortiguados 421

10.9 S istem as con am ortiguam iento 424

10.10 Solucin de ecuaciones de v ibracin libre: sistem as c lsicam ente am ortiguados 425

Parte C: Clculo de las propiedades de vibracin 428

10.11 M todos d e solucin para el problem a de valor caracterstico 428

10.12 C ociente de R ayleigh 430

10.13 M todo de iteracin vectorial inverso 430

10.14 Iteracin vectorial con desplazam iento: p rocedim iento preferente 435

10.15 T ransform acin de k = (2m

11.4 M atriz de am ortiguam ien to c lsico 455

11.5 M atriz de am ortiguam ien to no c lsico 464

12 Anlisis dinmico y respuesta de lo s s is tem a s lineales

Parte A: Sistemas de dos grados de libertad 467

12.1 A nlisis de los sistem as de dos grados de libertad sin am ortiguam iento 467

12.2 A m ortiguador de m asa resonante 470

Parte B: Anlisis modal 472

123 E cuaciones m odales para los sistem as no am ortiguados 472

12.4 Ecuaciones m odales para los sistem as am ortiguados 475

12.5 R espuesta de desp lazam iento 476

12.6 Fuerzas de los e lem entos 477

12.7 A nlisis m odal: resum en 477

Parte C: Contribuciones a la respuesta modal 482

12.8 Expansin modal del vector de excitacin p(/) = sp( t ) 482

12.9 A nlisis m odal para p(/) = sp ( t ) 486

12.10 Factores de contribucin m odal 487

12.11 R espuestas m odales y nm ero requerido d e m odos 489

Parte D: Procedimientos especiales de anlisis 496

12.12 M todo de correccin est tica 4 %

12.13 M todo d e superposicin de la aceleracin m odal 499

12.14 M todo d e superposicin de la aceleracin m odal: excitacin arb itraria 500

13 Anlisis s sm ico d e s is tem a s lineales

Parte A: Anlisis de la historia de la respuesta 514

13.1 A nlisis m odal 514

13.2 Edificios de varios niveles con planta sim trica 520

133 Edificios de varios n iveles con p lanta asim trica 540

Contenido

13.4 R espuesta torsional de edificios con p lanta sim trica 551

133 A nlisis de respuesta para la excitacin m ultisoporte 555

13.6 Idealizacin estructural y respuesta a los sism os 561

Parte B: Anlisis con el espectro de respuesta 562

13.7 R espuesta m xim a a partir del espectro de respuesta de los sism os 562

13.8 Edificios de varios niveles con p lanta sim trica 567

13.9 Edificios de varios niveles con p lanta asim trica 579

13.10 U na envolvente basada en el espectro d e respuesta para respuestas sim ultneas 587

13.11 R espuesta m xim a a m ovim ientos del terreno con varios com ponentes 595

14 Anlisis de los s is tem a s lineales con am ortiguam iento no clsico 617

Parte A: Sistemas con amortiguamiento clsico: reformulacin 618

14.1 Frecuencias y m odos d e vibracin natural 618

143 V ibracin lib re 619

143 R espuesta al im pulso unitario 620

14.4 R espuesta ssm ica 621

Parte B: Sistemas con amortiguamiento no clsico 622

143 Frecuencias y m odos d e vibracin natural 622

14.6 O rtogonalidad de los m odos 623

14.7 V ibracin lib re 627

14.8 R espuesta al im pulso unitario 632

14.9 R espuesta ssm ica 636

14.10 S istem as con valores caractersticos de valor real 638

14.11 A nlisis del espectro de respuesta 646

14.12 R esum en 647

A pndice 14: D educciones 648

Contenido

MATERIAL EN EL SITIO WEB

15 R educcin de lo s grados de libertad

15.1 Restricciones cinem ticas 658

15.2 C oncentracin de m asas en los grados de libertad seleccionados

15 J M todo de R ayleigh-R itz 659

15.4 Seleccin de los vectores de R itz 663

15.5 A nlisis d inm ico m ediante los vectores de R itz 668

16 Evaluacin numrica de la respuesta dinmica

16.1 M todos de anlisis en el tiem po paso a paso 673

16.2 Sistem as lineales con am ortiguam ien to no c lsico 675

163 Sistem as no lineales 681

17 S y s te m s w ith D is tr ib u ted M ass a n d E las tic ity (EN INGLS)

17.1 Equation o f U ndam ped M otion: A pplied Forces 698

172 Equation o f U ndam ped M otion: Support Excitation 699

173 Natural V ibration Frequencies and M odes 700

17.4 Modal O rthogonality 707

17.5 M odal A nalysis o f Forced D ynam ic R esponse 709

17.6 Earthquake R esponse H isto ry A nalysis 716

17.7 Earthquake R esponse Spectrum A nalysis 721

17.8 D ifficulty in A nalyzing Practical System s 724

18 In tro d u c tio n to th e F in ite E lem en t M ethod (EN INGLS)

Part A: Rayleigh-Ritz Method 729

18.1 Form ulation U sing C onservation o f Energy 729

18.2 Form ulation U sing Virtual W ork 733

18.3 D isadvantages o f R ay le ig h -R itz M ethod 735

Part B: Finite Element Method 735

18.4 F inite E lem ent A pproxim ation 735

18.5 A nalysis P rocedure 737

x v i

PARTE III

19

20

18.6 E lem ent D egrees o f Freedom and In terpolation Functions 739

18.7 E lem ent Stiffness M atrix 740

18.8 E lem ent M ass M atrix 741

18.9 E lem ent (A pplied) Forc Vector 743

18.10 C om parison o f F in ite E lem ent and Exact Solutions 747

18.11 D ynam ic A nalysis o f S tructural C ontinua 748

RESPU ESTA SSMICA, DISEO Y EVALUACIN DE EDIFICIOS DE VARIOS NIVELES 755

R esp u esta ssm ica d e edificios elstico lineales 757

Contenido

19.1 Sistem as analizados, espectro de d iseo y cantidades de respuesta 757

19.2 Influencia de 7 , y p en la respuesta 762

1 9 3 Factores de contribucin m odal 763

19.4 Influencia de T, en la respuesta de los m odos superiores 765

1 9 3 Influencia de p en la respuesta de los m odos superiores 768

19.6 Variacin de la respuesta de los m odos superiores con la a ltu ra 769

19.7 C uantos m odos deben inclu irse 771

A nlisis s sm ico y respuesta de edificios inelsticos 775

Parte A: Anlisis de la historia de la respuesta no lineal 776

20.1 E cuaciones de m ovim iento: form ulacin y so lucin 776

20.2 C lculo de las dem andas ssm icas: factores por considerar 777

2 0 3 D em andas de la d isto rsin de en trep iso 781

20.4 D em andas de resistencia para sistem as de IG D L y V G D L 787

Parte B: Procedimientos de anlisis aproximado 788

20.5 M otivacin y concepto bsico 788

20.6 A nlisis de la h isto ria de la respuesta m odal desacoplada 790

20.7 A nlisis pushover m odal 797

20.8 E valuacin del anlisis pushover m odal 802

20.9 A nlisis pushover m odal sim plificado para su ap licacin p rc tica 807

21 Earthquake Dynamics o f Base-lsolated Buildings (EN INGLS) 809

21.1 Iso lation System s 809

21.2 B ase-Isolatcd O ne-S tory B uildings 812

2 1 3 E ffectiveness o f Base Isolation 818

21.4 B ase-lsolated M ultistory B uild ings 822

21.5 A pplications o f B ase Iso la tion 828

22 Dinmica estructural en lo s cd igos de construccin 835

Parte A: Cdigos de construccin y dinmica estructural 836

22.1 Cdigo internacional de construccin (E stados U nidos), 2009 836

22.2 Cdigo nacional de construccin de Canad, 2010 839

2 2 3 C digo del D istrito Federal en M xico , 2004(ltim a actualizacin en enero de 2004) 841

22.4 Eurocdigo 8, 2004 844

22.5 La d inm ica estructural en los cdigos de construccin 846

Parte B: Evaluacin de los cdigos de construccin 852

22.6 C ortante basal 852

22.7 C ortantes de en trep iso y fuerzas est ticas equivalentes 856

22.8 M om entos de volteo 858

22.9 O bservaciones finales 861

23 Dinmica estructural en las especificaciones de evaluacind e lo s edificios 863

23.1 P rocedim iento d inm ico no lineal: prctica actual 864

23 .2 Estim acin del desp lazam iento de techo para un sistem a d e 1G D L 865

23.3 E stim acin de la deform acin en sistem as inelsticos de 1GDL 868

23.4 Procedim ientos est ticos no lineales 874

23.5 O bservaciones finales 880

Contenido xix

A pnd ice A M todo del dom inio de la frecuencia para el anlisisde respuesta 883

A pndice B Notacin 905

A pnd ice C R esp u esta s a problem as seleccionados 917

ndice 933

Contenido

Prlogo

La necesidad de un libro de texto sobre ingeniera ssmica fue planteada por prim era vez por el eminente ingeniero consultor, John R. Freeman (1855-1932). Despus del sism o de 1925 que caus grandes daos en Santa Brbara, California, Freem an se interes en el tema y realiz bsquedas de libros adecuados en la Biblioteca Pblica de Boston. Encontr que no slo no haba ningn libro de texto sobre ingeniera ssmica, sino que el tema en s no se mencionaba en ninguno de los libros de ingeniera estructural. Al revisar al pasado podemos ver que la enseanza de la ingeniera en 1925 se encontraba en un gran atraso, los clculos se realizaban usando regla de clculo y los programas de estudio no preparaban al estudiante para la comprensin de la dinm ica estructural. De hecho, no se haban desarrollado instrumentos para el registro de movimientos fuertes del terreno, y la sociedad no pareca estar preocupada por el peligro de los sismos.

En aos recientes se han publicado textos sobre ingeniera ssmica y dinm ica estructural, pero este libro del profesor Ail K. Chopra llena un nicho existente entre los libros ms elementales y los que son para estudios avanzados de posgrado. El autor es un reconocido experto en ingeniera ssm ica y dinmica estructural, y su libro ser de gran valor para los estudiantes, no slo en las regiones ssmicas, sino tambin en otras partes del mundo, dado que el conocim iento de la dinm ica estructural es esencial para la ingeniera moderna. El libro presenta material sobre vibraciones y la dinmica de las estructuras, y demuestra su aplicacin a los movimientos estructurales causados por los sismos. El material se presenta efe una manera muy clara, con num erosos ejem plos ilustrativos resueltos, por lo que incluso estudiantes de alguna universidad donde no se imparta este curso sern capaces de estudiar con el libro a su propio paso. Los lectores que ya practican la ingeniera, con la ayuda de este libro no deben tener ninguna dificultad para estudiar el tema.

Una caracterstica muy interesante del libro es la aplicacin de la teora de la dinm ica estructural a los aspectos ms importantes en la respuesta ssm ica y el diseo de edificios de

xxi

xxii R logo

\arios niveles. La informacin que se presenta aqu ser de gran valor para los ingenieros que participan en el diseo ssmico real y que desean mejorar su comprensin del tema.

Aunque el material del libro conduce a la ingeniera ssm ica, la informacin que se presenta tambin es relevante para las vibraciones inducidas por el viento sobre las e s tructuras, as com o los movimientos realizados por el hombre, com o los producidos por martillos a gravedad o por el trfico de vehculos pesados. Este texto sobre vibraciones y dinmicas estructurales no tiene com petencia, y puede recom endarse a cualquier estudiante serio. Creo que este libro debe ser el que John R. Freeman estaba buscando.

George W. Housner California Institute ofTechnology

Prefacio

FIL O S O F A Y O B JE T IV O S

Este libro sobre la dinm ica de estructuras est concebido com o un texto para cursos de ingeniera civil. Incluye muchos temas tericos de la dinmica estructural, y aplicaciones de esta teora al anlisis, la respuesta, el diseo y la evaluacin de las estructuras en casos de sismo. Se asume un nulo conocimiento de la dinmica estructural con el fin de que resulte adecuado para el lector que estudia el tema por primera vez. La presentacin es suficientemente detallada e integrada mediante referencias cruzadas a fin de que sea adecuada para el autocstudio. Esta caracterstica, junto con una seleccin de temas motivados por la prctica, debe ser atractiva para los ingenieros profesionales, sobre todo para los que estn interesados en el anlisis y diseo de estructuras en ubicaciones ssmicas.

Al elaborar este libro se ha puesto un nfasis especial en facilitar el aprendizaje de la dinm ica estructural a los estudiantes e ingenieros profesionales, ya que puede resultar difcil. Para lograr este objetivo, se ha estructurado la presentacin en tom o a varias caractersticas: las m atem ticas se mantienen tan sencillas com o el tema lo permite. Los procedimientos analticos se resumen y se hace hincapi en los pasos clave, facilitando su aplicacin por parte del lector. Estos procedim ientos se ilustran con ms de 120 ejemplos resueltos, m uchos de ellos completos y realistas en los que se enfatiza la interpretacin fsica de los resultados. Se han diseado y ejecutado con detalle alrededor de 500 figuras, de modo que resulten pedaggicam ente eficaces; muchas de ellas implican simulaciones com pletas por computadora de la respuesta dinm ica de las estructuras. Se incluyen, asim ism o, fotografas de las estructuras y los movimientos estructurales registrados durante los sismos a fin de relacionar la presentacin con hechos reales.

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xxv R efac i

La preparacin de este libro se inspir en varios objetivos:

Relacionar las ideas estructurales estudiadas con las propiedades de las estructuras reales.

Presentar la teora de la respuesta dinm ica de la estructuras de una m anera que destaque la comprensin fsica de los procedim ientos analticos.

Ilustrar las aplicaciones de la teora en la solucin de problem as motivados por aplicaciones prcticas.

Interpretar los resultados tericos para entender la respuesta de las estructuras a diferentes excitaciones dinm icas, con nfasis en la excitacin ssmica.

Aplicar la teora de la dinm ica estructural para realizar estudios paramtricos que pongan en evidencia varios aspectos fundamentales de la respuesta, el diseo y la evaluacin de los sismos en edificios de varios niveles.

Este modo de presentacin debe ayudar al lector a lograr una comprensin ms profunda del tema y aplicar con confianza la teora de la dinm ica estructural a problemas prcticos; sobre todo en el anlisis, el diseo y la evaluacin de estructuras ante los sismos, reduciendo as la brecha existente entre la teora y la prctica.

EVOLUCIN DEL LIBRO

Dado que el libro apareci por prim era vez en 1995, se ha revisado y am pliado en varias formas, lo que dio lugar a la segunda edicin en 2001 y a la tercera edicin en 2007. Im pulsado por un creciente nm ero de registros de movimientos del terreno en la proxim idad de una falla, el captulo 6 se extendi para identificar las caractersticas especiales de los movimientos del terreno cercanos a las fallas y compararlas con los movimientos habituales lejanos a stas. Debido al inters cada vez mayor en el comportam iento de los puentes ante los sismos, en varios captulos se aadieron ejemplos sobre la dinmica de stos y su respuesta ante estos eventos. Debido a la gran necesidad de simplificar los procedimientos del anlisis dinm ico adecuados para la ingeniera ssmica basada en el desem peo, se ampli el captulo 7 a fin de proporcionar un anlisis ms com pleto de las deform aciones inducidas por los sismos en los sistem as inelsticos y elsticos, y para dem ostrar las aplicaciones del espectro de diseo inelstico en el diseo estructural de ductilidad perm isible, el diseo basado en el desplazam iento y la evaluacin ssmica de estructuras existentes. El anterior captulo 19 (ahora 20) se recscribi por com pleto para incorporar los avances posteriores a 1990 en el anlisis de los sismos y la respuesta de las construcciones inelsticas. El anterior captulo 21 (ahora 22), que originalm ente se limitaba a tres cdigos de construccin (E stados Unidos, Canad y Mxico), se ampli para incluir el Eurocdigo. La adicin del captulo 22 (ahora 23) estuvo motivada por la adopcin de las directrices basadas en el desem peo para la evaluacin de construcciones existentes en la profesin de la ingeniera estructural.

En respuesta a las peticiones de los lectores se incluy el mtodo de dominio de la frecuencia para el anlisis dinm ico, pero presentado como un apndice en vez de estar d isperso a lo largo del libro. Esta decisin se debi a mi objetivo de m antener las matemticas tan sencillas com o lo perm ita cada tema, con lo que la dinmica estructural se vuelve ms accesible a los estudiantes e ingenieros profesionales.

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NOVEDADES EN ESTA EDICIN

Dinmica de estructuras ha sido bien recibido desde que se public por primera vez, hace ya ms de 18 aos, y contina siendo utilizado com o texto en universidades de Estados Unidos y muchos otros pases, y cuenta tam bin con una gran cantidad de lectores profesionales deseosos de actualizarse. Se han hecho traducciones al japons, coreano, chino, griego, persa y al espaol. La preparacin de esta cuarta edicin me proporcion la oportunidad de mejorar, ampliar y actualizar el libro.

El captulo 14 es nuevo, por lo que fue necesaria una renumeracin de los captulos 14 a 22 (com o 15 a 23); esta nueva num eracin se refleja en el resto del prefacio. Los captulos 5 y 16 se sometieron a una revisin exhaustiva; los captulos 12 y 13 se am pliaron; y el 22 y el 23 se actualizaron. Enseguida presentam os algunos de los cam bios especficos:

Se aadi el captulo 14, sobre sistem as con am ortiguam iento no clsico. Esta ad icin fue motivada por el gran inters por estos sistem as que se presentan en varias situaciones prcticas: estructuras con sistemas com plem entarios para la disipacin de energa o sobre la base de un sistema de aislamiento, sistemas terreno-estructura y sistem as fluido-estructura.

Los captulos 5 y 16, sobre la evaluacin num rica de la respuesta dinm ica, se reescribieron para ajustarse a las formas en las que estos mtodos numricos se implementan generalmente en los programas com putacionales y para ofrecer una presentacin integrada del anlisis esttico no lineal (tambin conocido com o anlisis paso a paso (o pushover) modal, y el anlisis dinm ico no lineal.

Se aadi una seccin al final del captulo 12 para presentar una versin general del mtodo de superposicin en el modo de aceleracin para excitaciones ms complejas, com o la fuerza de las olas que se presenta en las plataformas de perforacin en alta mar.

El captulo 13 se ampli para incluir dos tem as que hasta ahora haban sido relegados a la literatura de investigacin, pero que son de inters prctico: (1) la com binacin de respuestas mximas de una estructura a los distintos componentes del movimiento de traslacin del terreno, con el fin de estim ar la respuesta m xim a a varios com ponentes de excitacin, y (2) las ecuaciones de respuesta basadas en el espectro para determ inar una envolvente que delimita la trayectoria de respuesta conjunta de todas las fuerzas que actan al mismo tiempo y que controlan el diseo ssmico de un elemento estructural.

Los captulos 22 y 23 se actualizaron para reflejar la edicin ms actual de los c digos de construccin para el diseo de nuevos edificios y las directrices basadas en el desempeo y las normas para la evaluacin de construcciones existentes.

La adicin del captulo 14 implic algunas modificaciones en los captulos 2 ,4 ,6 , 10 y 12.

Se aadieron nuevas figuras, fotografas, as como ejem plos resueltos y problem as de fin de captulo.

Con el uso de este libro en el aula y analizndolo con cuidado en los ltimos aos, han surgido mejoras adicionales. El texto se ha clarificado y perfeccionado, hacindolo ms global, y se han reorganizado algunas secciones para mejorar su presentacin.

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T E M A S Q U E S E P R E S E N T A N

Este libro est organizado en tres partes: I. Sistemas con un solo grado de libertad; II. S istemas de varios grados de libertad y DI. Respuesta ssm ica, diseo y evaluacin de edificios de varios niveles.

La parte I incluye los captulos 1 a 8. En el cap tu lo 1 se form ula el problem a de la dinm ica estructural para estructuras simples elsticas e inelsticas, que pueden idealizarse com o sistemas con un solo grado de libertad ( 1GDL), y se estudian brevemente cuatro mtodos para resolver la ecuacin diferencial que controla el movimiento de la estructura. rXispus se estudia la respuesta dinm ica de los sistem as elstico lineales (1) a la vibracin libre (captulo 2), (2) a las excitaciones arm nicas y peridicas (captulo 3), y (3) a las excitaciones de paso e impulso (captulo 4). En los captulos 2 y 3 se incluye la dinm ica de los sistemas de 1GDL con amortiguamiento de Coulomb, un tema que por lo regular no se incluye en los textos de ingeniera civil, pero que se ha hecho relevante para la ingeniera ssmica porque los dispositivos para la disipacin de energa basados en la friccin se utilizan en la construccin resistente a los sism os. Tras la presentacin numrica de los m todos de clculo de tiempo por pasos para la respuesta dinm ica de los sistem as de 1GDL (captulo 5), se estudia la respuesta ssmica de los sistem as elsticos e inelstico lineales en los captulos 6 y 7 , respectivamente. La cobertura de estos temas es ms amplia que en los textos disponibles; se incluyen detalles sobre la construccin de respuesta y los espectros de diseo, los efectos de la amortiguacin y la fluencia, as com o la distincin entre la respuesta y los espectros de diseo. El tema del captulo 8 es el anlisis de sistemas complejos tratados como sistem as generalizados de 1GDL.

La parte II incluye los captulos 9 a 18 (los 4 ltimos se encuentran en el sitio web del libro, 15 y 16 en espaol y 17 y 18 en ingls) sobre el anlisis dinmico de sistem as con varios grados de libertad (VGL). En el primero de estos captulos (el 9) se form ula el problema de la dinmica estructural para estructuras idealizadas com o sistemas con un nm ero finito de g rados de libertad, y se ilustra mediante num erosos ejem plos; tambin se incluye una descripcin general de los mtodos para resolver las ecuaciones diferenciales que controlan el m ovim iento de la estructura. En el captulo 10 se ve la vibracin libre de sistem as con amortiguamiento clsico y al clculo numrico de frecuencias de vibracin y modos naturales de la estructura. El captulo 11 aborda varios aspectos que se plantean en la definicin de las propiedades de amortiguamiento de las estructuras, incluyendo datos experim entales (a partir de ensayos de vibracin forzada sobre las estructuras y movimientos de las estructuras registrados durante los sismos) que proporcionan una base para estimar las fracciones de amortiguamiento modal y los procedim ientos analticos para construir la matriz de am ortiguam iento en caso necesario. El captulo 12 aborda el anlisis dinm ico de los sistem as lineales, donde se pone nfasis en el procedimiento clsico de anlisis modal. La parte C de este captulo representa una nueva forma de ver el anlisis modal que facilita la comprensin de la forma en la que las contribuciones de la respuesta modal estn influenciadas por la distribucin espacial y la variacin en el tiempo de las fuerzas aplicadas, originando criterios prcticos en el nm ero de modos que deben incluirse en el clculo de la respuesta. En el captulo 13 se desarrollan los procedimientos del anlisis modal para el anlisis de sism os en sistem as con am ortiguamiento clsico; tanto el anlisis de la historia de la respuesta, com o los procedim ientos del anlisis para el espectro de respuesta se presentan en una forma que proporciona una interpretacin fsica; este ltimo procedim iento estima la respuesta mxima de los sistemas

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oon VGL directamente de la respuesta ssmica o del espectro de diseo. Los procedimientos se ilustran con numerosos ejem plos, entre ellos la respuesta lateral-torsional acoplada de edificios con planta asim trica y la respuesta torsional de edificios nominalmcnte sim tricos. Este captulo termina con los procedimientos de respuesta basados en el espectro para considerar todas las fuerzas que actan al m ismo tiempo y que controlan el diseo de un elemento estructural, as como para estim ar la respuesta mxima de una estructura a la excitacin de un sism o con mltiples componentes. Este procedim iento se ampla en el captulo 14 al anlisis de la historia de la respuesta para sistemas con am ortiguam iento no clsico sometidos a una excitacin ssmica. R ira este propsito, primero se revisan los sistem as con amortiguamiento clsico y se modifican los procedimientos de anlisis de los captulos 10 y 13, de m odo que faciliten su extensin al caso ms general.

El captulo 15 (en el sitio web del libro) est dedicado al aspecto com putacional prctico para reducir el nm ero de grados de libertad en la idealizacin estructural requerida para el anlisis esttico, con el fin de reconocer que la respuesta dinm ica de muchas estructuras puede representarse mediante sus primeros m odos naturales de vibracin. En el captulo 16 (tambin en el sitio web) se presentan los m todos num ricos de tiempo por pasos para sistemas con VGL no susceptibles al anlisis modal clsico: sistem as con amortiguamiento no clsico o sistemas que responden en el intervalo del com portam iento no lineal. El captulo 17 (en ingls) se ocupa de los problem as clsicos en la dinm ica de los sistem as con m asa distribuida; slo se incluyen los sistem as unidim ensionales. En el captulo 18 (tambin en ingls) se presentan dos m todos para discretizar los sistem as un idimensionales con masa distribuida: el mtodo de Rayleigh-Ritz y el mtodo del elemento finito. Se presenta el concepto de matriz de masa consistente y se dem uestra la precisin y la convergencia de las frecuencias naturales aproxim adas de una viga en voladizo, determ inadas m ediante el mtodo del elemento finito.

I^a parte III del libro consta de cinco captulos (todos en el sitio web) que se ocupan del diseo de respuesta ssmica y la evaluacin de edificios con varios niveles, un tem a que en general no se incluye en los textos de dinm ica estructural. Se abordan varios aspectos importantes y prcticos usando los procedimientos analticos desarrollados en los captulos anteriores. En el captulo 19 se presenta la respuesta ssmica de edificios con varios niveles elstico lineales para un intervalo amplio de dos parmetros clave: el periodo de vibracin natural fundamental y la relacin de rigidez viga-columna. Con base en estos resultados se desarrolla una comprensin de la manera en que estos parmetros afectan a la respuesta ssmica de los edificios y, en particular, a las contribuciones relativas de respuesta de los distintos modos naturales, las cuales conducen a informacin prctica sobre el nmero de m odos ms altos que deben incluirse en los clculos de respuesta ssmica. El captulo 20 se refiere al importante tema de la respuesta ssmica de edificios con varios niveles que se deforman en su intervalo inelstico. La parte A de este captulo presenta un riguroso anlisis de la historia de la respuesta no lineal; identifica la importante influencia de los supuestos en el modelo, los principales parmetros estructurales y los detalles del movimiento ssmico sobre las demandas ssmicas; asimismo, determ ina la fuerza necesaria para limitar las demandas de ductilidad de cada nivel en un edificio de varios niveles. En vista de que el anlisis riguroso no lineal de la historia de la respuesta sigue siendo una tarea difcil, en la parte B se desarrolla el procedimiento del anlisis paso a paso o pushover modal (APM ) (un procedimiento de anlisis aproximado). En este procedimiento se estiman las dem andas ssmicas mediante anlisis no esttico lineales de la estructura sometida a distribuciones de fuerza inerciales modales. El aislamiento de la base

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es el tema del captulo 21 (en ingls). El objetivo es estudiar el comportamiento dinmico de los edificios soportados sobre sistemas de aislamiento de la base con el objetivo limitado de entender por qu y en qu condiciones resulta eficaz al reducir las fuerzas inducidas por los sismos en una estructura. En el captulo 22 se presentan las disposiciones de la fuerza ssmica en cuatro cdigos de construccin: International Building Code (Estados Unidos), National Building Code o f Caada, Eumcdigo y Cdigo del Distrito Federal (Mxico), as como su relacin con la teora de la dinm ica estructural desarrollada en los captulos 6 ,7 , 8 y 13. Posteriormente se evalan las disposiciones de los cdigos en vista de los resultados del anlisis dinmico de edificios que se presenta en los captulos 19 y 20. Las directrices y normas basadas en el desempeo para la evaluacin de edificios existentes consideran de forma explcita el comportamiento inelstico en la estimacin de las demandas ssmicas en los niveles de bajo rendimiento, como la seguridad de la vida y la prevencin de colapso. En el captulo 23 se presentan y analizan determinados aspectos del procedimiento dinmico y del procedimiento esttico no lineales en esos documentos (ATC-40, FEM A 356 y ASCE 41 -06) dada la teora de la dinmica estructural desarrollada en los captulos 7 y 20.

NOTA PA R A L O S P R O F E S O R E S

Este libro es adecuado para cursos tanto a nivel de postgrado com o de pregrado superior. No es necesario ningn conocim iento previo sobre la dinm ica estructural. Los fundam entos necesarios se obtienen a travs de los cursos habituales de los estudiantes de ingeniera civil, que incluyen:

Anlisis esttico de las estructuras, incluyendo las estructuras estticam ente indeterminadas y la form ulacin matricial de procedimientos de anlisis (conocim ientos previos necesarios principalm ente para la parte II)

Diseo estructural Dinmica de cuerpos rgidos M atemticas: ecuaciones diferenciales ordinarias (para la parte I), lgebra lineal

(para la parte II) y ecuaciones diferenciales parciales (slo para el captulo 17)

Al proporcionar un tratam iento elem ental pero minucioso de una gran cantidad de temas, el libro permite una flexibilidad inusual en la seleccin de los contenidos, a criterio del profesor, para desarrollar varios cursos, o adaptar uno a su m edida, en funcin del material presentado; he aqu algunos ejemplos.

Casi todo el libro puede cubrirse en un curso de un ao:

Ttulo: Dinmica de estructuras I (1 sem estre)

Plan de estudio: captulo 1; secciones 1 y 2 del captulo 2; partes A y B del captulo3; captulo 4; temas seleccionados del captulo 5; secciones 1 a 7 del captulo 6; secciones 1 a 7 del captulo 7; temas seleccionados del captulo 8; secciones 1 a 4 y 9 a11 del captulo 9; partes A y B del captulo 10; secciones 1 y 2 del captulo 11; partesA y B del captulo 12; secciones 1 ,2 ,7 y 8 (excluyendo el mtodo CQC) del captulo13; y temas seleccionados de la parte A del captulo 22.

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Ttulo: Dinmica de estructuras II (1 sem estre)

Plan de estudio: secciones 5 a 7 del captulo 9; secciones 3 a 5 del captulo 11; partes C y D del captulo 12, secciones 3 a 11 del captulo 13; partes seleccionadas de los captulos 14, 15, 17 ,19 a 21, y 23; y el apndice A.

La seleccin de los temas para el primer curso se ha realizado en parte por la necesidad de proporcionar una cobertura com pleta, incluyendo el anlisis dinmico y el anlisis ssmico en sistemas con VGL, para los estudiantes que toman un solo curso.

Es posible organizar versiones abreviadas de los esquemas anteriores de modo que se impartan en dos cursos trimestrales. Una posibilidad es la siguiente:

Ttulo: Dinmica de estnicturas I (1 trimestre)

Plan de estudio: captulo 1; secciones 1 y 2 del captulo 2; secciones 1 a 4 del captulo3; secciones 1 y 2 del captulo 4; tem as seleccionados del captulo 5; secciones 1 a 7del captulo 6 ; secciones 1 a 7 del captulo 7; temas seleccionados del captulo 8; secciones 1 a 4 y 9 a 11 del captulo 9; partes A y B del captulo 10; parte B del captulo 12; secciones 1 ,2 , 7 y 8 (excluyendo el mtodo CQC) del captulo 13.

Ttulo: Dinmica de estructuras II (1 trimestre)

Plan de estudio: secciones 5 a 7 del captulo 9; secciones 3 a 9 del captulo 13; y temas seleccionados de los captulos 19 a 23.

Un curso de un sem estre, con nfasis en la ingeniera ssm ica, puede organizarse de la siguiente manera:

Ttulo: Dinmica ssmica de estructuras

Plan de estudios: captulo 1; secciones 1 y 2 del captulo 2; secciones 1 y 2 del captulo 4; captulos 6 y 7; tem as seleccionados del captulo 8; secciones 1 a 4 y 9 a 11 del captulo 9; partes A y B del captulo 10; parte A del captulo 11; secciones 1 a 3 y 7 a 11 del captulo 13; tem as seleccionados de los captulos 19 a 23.

La resolucin de problem as es esencial para que los estudiantes aprendan sobre la dinmica estructural. Para ello, los primeros 18 captulos incluyen 373 problemas. Los captulos 19 a 23 no incluyen problemas por dos razones: (1) en estos captulos no se presentan nuevos procedimientos de anlisis dinm ico; (2) este material no es para plantear problemas pequeos y significativos. Sin embargo, ser til trabajar con los ejem plos que se presentan en los captulos 19 a 23 y reproducir los resultados. La computadora es esencial para resolver algunos de esos problem as, los cuales se en cuentran bien identificados. En su solucin se asume que el estudiante tiene acceso a programas de computadora, com o MATLAB o MATHCAD. Las soluciones de estos problemas estn disponibles en ingls para los profesores en el sitio web del libro (pregunte a su representante cm o acceder a ellos).

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En mis conferencias en Berkeley, desarrollo la teora en el pizarrn y la ilustro m ediante transparencias de las figuras ms com plejas del libro; las versiones ampliadas de muchas de las figuras, que resultan adecuadas para la elaboracin de transparencias que pueden usarse en el aula, estn disponibles para los profesores en el sitio web del libro. A pesar de que se ha solicitado un conjunto com pleto de diapositivas de PowerPoint, no se ha desarrollado porque no creo que este enfoque sea la estrategia ms eficaz para la enseanza de la dinmica de estructuras.

NOTA PA R A L O S IN G E N IE R O S P R O F E S IO N A L E S

M uchos ingenieros profesionales me alentaron durante la dcada de 1980 a preparar un libro ms com pleto de Dinmica de estructuras. Estudio elemental (Dynamics ofStructures, A Primer), una monografa publicada en 1981 por el Earthquake Engineering Research Ins- titute. Esta necesidad, espero, se cubri mediante el presente libro. Al haber sido concebido como un libro de texto, incluye el form alism o y el detalle necesario para los estudiantes, pero estas caractersticas no deberan disuadir a los profesionales de utilizar el libro, porque su filosofa y estilo estn creados para facilitar el aprendizaje del tema m ediante el autoes- tudio.

P ira los ingenieros profesionales interesados en el anlisis, respuesta, diseo y evaluacin de las estructuras ante sismos, sugiero la siguiente ruta de lectura: captulos 1 y 2; captulos 6 a 9; partes A y B del captulo 10; parte A del captulo 11; y los captulos 13 y 19 a 23.

R E F E R E N C IA S

En un texto introductorio no es prctico presentar las fuentes de la informacin. Se han omitido las referencias para evitar distraer al lector. Sin embargo, se han incluido com entarios ocasionales para aadir una perspectiva histrica, y al final de casi todos los captulos se proporciona una breve lista de las publicaciones adecuadas para una lectura adicional.

S U S C O M E N T A R IO S S O N B IE N V E N ID O S

Invito a los profesores, estudiantes e ingenieros profesionales a escribirme (chopra@ ce.berkeley.edu) si tienen alguna sugerencias de mejora o aclaraciones, o si identifican e rro res en el libro. Les agradezco de antemano por tomarse el tiempo y el inters en hacerlo.

Ail K. Chopra

Agradecimientos

Agradezco a todas las personas que ayudaron en la preparacin de este libro.

El profesor Rakesh K. Goel, un compaero de principio a fin, me ayud de numerosas form as y jug un papel importante. Su contribucin ms importante fue desarrollar y ejecutar los programas de computadora necesarios para generar los resultados num ricos y crear la mayora de las figuras.

El profesor Gregory L. Fenves ley el prim er borrador del manuscrito original, lo analiz conmigo cada semana y siempre realiz importantes sugerencias para su mejora.

Seis revisores, los profesores Luis Esteva, W illiam J. Hall, Rafael Riddell, C. C. Tung y los fallecidos George W. H ousner y Donald E. Hudson exam inaron el borrador final del manuscrito original. Ellos me alentaron y dieron sugerencias muy acertadas.

Los profesores Gregory L. Fenves y Filip C. Fillipou me aconsejaron sobre la modificacin de los captulos 5 y 16, y realizaron observaciones sobre el proyecto final.

El Dr. Ian Aiken me proporcion materiales (incluyendo fotografas) y recom endaciones para la modificacin de las secciones 7.10.1 y 7.10.2 sobre dispositivos complementarios para la disipacin de energa.

El Dr. Charles Menun, cuyos resultados de investigacin fueron la base para la nueva seccin 13.10, me asesor mucho sobre la preparacin de esta seccin y revis varios borradores.

xxxi

xxxii Agradecim ientos

El profesor scar Lpez y el Dr. Charles M enun, cuyos resultados de investigacin fueron la base de la nueva seccin 13.11, me proporcionaron su ayuda y revisaron el borrador final.

Varios revisores los profesores Michael C. Constantinou, Takeru Igusa, George C. Lee, Fai Ma y Carlos E. Ventura me sugirieron mejoras para la versin final del captulo 14.

Seis expertos me asesoraron en la interpretacin de las versiones actualizadas de los cuatro cdigos de construccin del captulo 22: Yousef Bozorgnia y Ronald O. Hamburguer (International fuilding Cade); Jagm ohan L. Humar (National Buil- ding Code o f Caada); Eduardo M iranda (Cdigo del Distrito Federal, Mxico); y Feter Fajfar y Michael N. Fardis (Eurocdigo).

Diversos profesores que han adoptado el libro en sus cursos durante varios aos me han sugerido mejoras. Algunas de las modificaciones y adiciones en esta ed icin estuvieron motivadas por las recomendaciones de los profesores A. Stavros Anagnostopoulos, Michael C. Constantinou, Kincho Law y Jos M. Roesset.

M uchos ex estudiantes me han ayudado durante aos en la preparacin de soluciones para los ejemplos resueltos y los problem as de fin de captulo, y me han ayudado de otras maneras: A shraf Ayoub, Ushnish Basu, Shih-Po Chang, Juan Chvez, Chatpan Chintanapakdee, Juan Carlos De la Llera. Rakesh K. Goel, G arrett Hall. Gabriel Hurtado, Petros Keshishian, Alien Kwan, Lin W en-Hsiung, Charles M enun y Tsung-Li Tai. Han-Chen Tan realiz el procesamiento de textos y grficos para el manual de soluciones original de los 233 problemas de la primera edicin.

Varios estudiantes y ex estudiantes me ayudaron en la preparacin del material nuevo en la cuarta edicin: Juan Carlos Reyes resolvi los ejem plos y problemas finales de los captulos 5, 14 y 16, y elabor las figuras. Yvonne Tsui gener los resultados num ricos de la seccin 13.10 y prepar las figuras prelim inares. Neal Simn Kwong resolvi los ejemplos y prepar las figuras en las secciones 12.14 y 13.11, y finaliz las figuras de la seccin 13.10. Eric Keldrauk desarroll los resultados de la figura 11.4.3.

Charles D. Jam es, Director de Sistem as de Informacin para el NISEE en la Uni- \ersidad de California, Berkeley, me ayud en la seleccin y recopilacin de las fotografas nuevas.

C laire Johnson prepar el texto para las partes nuevas y modificadas en el m anuscrito, y tambin reuni y edit el manual de soluciones.

Barbara Zeiders trabaj com o editora de textos en esta edicin, com o lo hizo en las tres primeras ediciones.

El profesor Joseph Penzien asum i mis funciones com o editor asociado de Earth- quake Engineering and Structural Dynamics desde junio de 1993 hasta agosto de 1994 cuando estaba trabajando en el libro original.

Tambin deseo expresar mi profundo agradecimiento a los profesores Ray W. Clough, Jr., Joseph Pcnzien, Emilio Roscnblueth y A. S. Veletsos por la influencia que han tenido

Agradecimientos xxxiii

en mi crecim iento profesional. A principios de la dcada de 1960, los profesores Clough, f tn z ie n , y Rosenblueth me expusieron sus puntos de vista bien sustentados y sus cursos tan bien organizados sobre la dinm ica estructural y la ingeniera ssmica. Ms tarde, el profesor Veletsos, a travs de su investigacin, sus escritos y sus conferencias, influy en mi enseanza y filosofa de investigacin. Su obra, en colaboracin con el fallecido profesor Nathan M. Newmark, defini el enfoque adoptado para algunas secciones de los captulos 6 y 7; y que, en colaboracin con el profesor Carlos R Ventura, defini el estilo de presentacin para el captulo 14.

Este libro ha tenido la influencia de mi propia experiencia de investigacin en colaboracin con mis alumnos. Desde 1969, varias organizaciones han apoyado mi investigacin en la ingeniera ssmica, como la National Science Foundation, el Cuerpo de Ingenieros del Ejrcito de Estados Unidos y el California Strong Motion Instrumentation Program.

Este libro y sus ediciones revisadas se han preparado durante aos sabticos, un privilegio que agradezco a la Universidad de California en Berkeley.

Ail K. Chopra

PARTE ISistemas con un solo

grado de libertad

1

Ecuaciones de movimiento, planteamiento del problema

y mtodos de solucin

AVANCE

En este prim er captulo se formula el problema de la dinm ica estructural para estructuras simples que pueden idealizarse com o sistem as con una masa concentrada soportados por una estructura sin m asa. Se consideran tanto las estructuras elsticas lineales, as com o las estructuras inelsticas, sometidas a una fuerza dinmica aplicada o a un movimiento del terreno inducido por un sismo. Despus se estudian brevemente cuatro mtodos para resolver la ecuacin diferencial que rige el movimiento de la estructura. El captulo termina con un resumen de la forma en que est organizado el estudio de la respuesta dinmica de los sistemas con un grado de libertad en los captulos siguientes.

1.1 E S T R U C T U R A S S IM P L E S

El estudio de la dinm ica estructural se inicia con estructuras simples, com o la prgola que se muestra en la figura 1.1.1 y el tanque de agua elevado de la figura 1.1.2. Se tiene inters en com prender la vibracin de estas estructuras cuando se les aplica una ftierza lateral (u horizontal) en la parte superior o un movimiento horizontal del terreno debido a un sismo.

Estas estructuras se llaman simples porque pueden idealizarse como una m asa m concentrada o agrupada soportada por una estructura sin masa con rigidez k en la direccin lateral. Dicha idealizacin es apropiada para esta prgola con un techo de concreto pesado sostenido por colum nas ligeras de tubo de acero, que pueden suponerse carentes de masa. FJ techo de concreto es muy rgido y la flexibilidad de la estructura en la direccin lateral (u horizontal) la proporcionan en su totalidad las colum nas. El sistema idealizado se muestra

3

Ecuaciones d e movimiento, planteam iento del problem a y m todos d e solucin Captu lo 1

Figura 1.1.1 Esta prgola en el Hotel Macuto Shcraton. cerca de Caracas, Venezuela, se da por el sismo del 29 de julio de 1967. El evento con magnitud 6.5. que se ubic a unas 15 millas del hotel, deform en exceso las columnas de tubo de acero, produciendo un desplazamiento permanente del techo de 9 pulgadas. (Tomada de la coleccin Stcinbruggc, Servicio de Informacin Nacional de Ingeniera Ssmica en la Universidad de California, Bcrkclcy).

en la figura 1.1 3 a con un par de colum nas que soportan la longitud tributaria del techo de concreto. Este sistem a tiene una masa concentrada m igual a la masa del techo mostrado, y su rigidez lateral k es igual a la suma de las rigideces de las colum nas tubulares individuales. En la figura 1.13b se muestra una idealizacin similar, la cual es apropiada para el tanque cuando se encuentra lleno de agua. Como el chapoteo del agua no es posible en un tanque lleno, se trata de una masa concentrada m sostenida por una torre relativamente ligera que puede considerarse como carente de masa. La torre en voladizo que soporta el depsito de agua proporciona la rigidez lateral k a la estructura. Por el momento, se asum ir que el movimiento lateral de estas estructuras es pequeo suponiendo que las estructuras de soporte se deforman dentro de su lmite elstico lineal.

Ms adelante en este captulo se ver que la ecuacin diferencial que controla el desplazamiento lateral u(t) de estas estructuras idealizadas sin ninguna excitacin externa fuerza aplicada o movimiento del terreno es

m + ku=*Q (1.1.1)

donde los puntos sobre las variables indican diferenciacin con respecto al tiempo, por lo que il representa la velocidad de la m asa y ii su aceleracin. La solucin de esta ecuacin, presentada en el captulo 2, mostrar que si a la masa de los sistem as idealizados de la figura 1.1.3 se le impone un desplazam iento inicial (0), despus se libera y se permite que vibre libremente, la estructura oscilar o vibrar hacia adelante y hacia atrs alrededor de

Seccin 1.1 Estructuras simples 5

i

Figura 1.1.2 Este tanque de concreto reforzado sobre una sola columna de concreto de 40 pies de altura, que se encuentra cerca del aeropuerto de Valdivia, no sufri daos por los sismos chilenos de mayo de 1960. Cuando el tanque est lleno de agua, la estructura puede analizarse como un sistema de un grado de libertad. (Tomada de la coleccin Stcinbru- ggc. Servicio de Informacin Nacional de Ingeniera Ssmica. Universidad de California. Berkeley).

su posicin de equilibrio inicial. Com o se muestra en la figura 1.1.3c, se presenta el mismo desplazamiento mximo oscilacin tras oscilacin; estas oscilaciones continan de manera indefinida y los sistemas idealizados nunca llegaran al reposo. Por supuesto, lo anterior no es una situacin realista. La intuicin sugiere que si el techo de la prgola o la parte superior del tanque de agua fueran desplazados lateralmente mediante una cuerda y la cuerda se cortara de repente, la estructura oscilara cada vez con m enor amplitud y con el tiempo

m

Torre sin m asa

7777/

(b)

a

Figura 1.1 J (a) Prgola idealizada, (b) tanque de agua idealizado, (c) vibracin Ubre debida a un desplazamiento inicial.

Ecuaciones de movimiento, planteam iento del problem a y m todos d e solucin Captu lo 1

se detendra. Experim entos de este tipo se realizaron en modelos de laboratorio de marcos de un solo nivel, y los registros medidos de su respuesta a la vibracin libre se presentan en la figura 1.1.4. Com o era de esperarse, el movimiento de los modelos estructurales decay con el tiempo, siendo el decaim iento del modelo de plexigls ms rpido que el del marco de aluminio.

(a)Figura 1.1.4 (a) Modelos de marco de aluminio y plexigls montados sobre una pequea mesa vibradora que se usa para una demostracin en clase de la Universidad de California en Bericclcy (cortesa de T. Mcrport). (b) registro de la vibracin libre del modelo de aluminio, (c) registro de la vibracin libre del modelo de plexigls.

1.0 0.8 0.6

0.4 | 0.2 g 0.0 1 -0 .2< - 0 .4

- 0.6- 0.8- 1.0

i

1.00.8 0.6

> 0.4

| -2 g 0.0H - 0.2< - 0 .4

- 0.6 - 0.8 - 1.0

(b)

(c)

T iem po, s

Seccin 1.2 Sistemas de un grado de libertad 7

El proceso m ediante el cual la amplitud de la vibracin dism inuye de m anera constante se denom ina amortiguamiento. La energa cintica y la energa de deformacin del sistema vibratorio se disipan mediante diversos mecanismos de am ortiguam iento que se mencionarn ms adelante. Por el momento, simplemente se reconoce que es necesario incluir un mecanismo de disipacin de energa en la idealizacin estructural con el fin de caracterizar el decaim iento del movimiento observado durante los ensayos de vibracin Ubre de una estructura. El elemento de am ortiguam iento que se utiliza com nm ente es el amortiguador viscoso, en parte porque su manejo matemtico es ms sencillo. En los captulos 2 y 3 se presentan otros mecanismos de disipacin de la energa.

1.2 S IS T E M A S D E UN G R A D O D E L IB E R T A D

El sistema considerado se muestra esquem ticam ente en la figura 1.2.1. Se com pone de una masa m concentrada en el nivel del techo, un marco sin m asa que proporciona rigidez al sistema, y un am ortiguador viscoso que disipa la energa de vibracin del sistema. Se supone que la viga y las colum nas son axialm ente indeformables.

Este sistema puede considerarse com o una idealizacin de una estructura de un nivel. Cada elemento estructural (viga, colum na, muro, etctera) de la estructura real contribuye a las propiedades inerciales (masa), elsticas (rigidez o flexibilidad) y de disipacin de la energa (am ortiguam iento) de la estructura. Sin embargo, en el sistema idealizado, cada una de estas propiedades se concentra en tres com ponentes puros distintos: el componente de masa, el componente de rigidez y el componente de amortiguamiento.

El nmero de desplazam ientos independientes requerido para definir las posiciones desplazadas de todas las masas en relacin con su posicin original se denomina el nmero de grados de libertad (GDL) para el anlisis dinmico. De manera tpica, se requieren ms GDL para definir las propiedades de rigidez de una estructura que los GD L necesarios para representar las propiedades inerciales. Considere el marco de un nivel de la figura 1.2.1, restringido a moverse slo en la direccin de la excitacin. El problema de anlisis esttico debe formularse con tres GD L (el desplazam iento lateral y la rotacin de los dos nudos) para determ inar la rigidez lateral del marco (vea la seccin 1.3). En contraste, la estructura tiene un solo GDL (el desplazam iento lateral) para el anlisis dinmico si se idealiza con la masa concentrada en una ubicacin, por lo regular al nivel del techo. Por lo tanto, se le llama sistema de un grado de libertad (1 GDL).

(a)

8 Ecuaciones de movimiento, planteam iento del problem a y m todos d e solucin Captu lo 1

Se considerarn dos tipos de excitacin dinm ica: (1) la fuerza externa p{t) en la d ireccin lateral (figura 1.2.1a), y (2) el movimiento del terreno us(t) inducido por un sismo (figura 1.2.1b). En ambos casos u indica el desplazam iento relativo entre la masa y la base de la estructura.

1 3 R E L A C I N F U E R Z A -D E S P L A Z A M IE N T O

Considere el sistema mostrado en la figura 1.3.1a sin excitacin dinm ica, sometido a una fuerza externa e s t t ic a a p l ic a d a en la direccin del G D L u tal como se muestra. I-a fuerza interna que se opone al desplazamiento u es igual y opuesta a la fuerza extem a f s (figura13.1 b). Se desea determinar la relacin entre la fuerza f s y el desplazamiento relativo u asociado con las deformaciones en la estructura durante el movimiento oscilatorio. Esta relacin de fuerza-desplazamiento sera lineal para pequeas deformaciones, pero volvera no lineal en el caso de grandes deformaciones (figura 1.3.1c); se consideran tanto las relaciones lineales como las no lineales (figura 13.1c y d).

La determinacin de la relacin entre f s y u es un problema estndar en el anlisis estructural esttico, y se supone que el lector est familiarizado con este tipo de anlisis. Por lo tanto, la presentacin en esta seccin es breve y se limita a los aspectos esenciales.

Fuerza externaf s | T ~ ^

fs* ---------------------------Fuerza restauradora

(b)

(c) (d)

F ig u r a 1 3 .1

U

H H

(a)

Seccin 1.3 Relacin fuerza-desplazam iento 9

1.3.1 Sistemas elstico lineales

Rira un sistema lineal la relacin entre la fuerza lateral f s y la deform acin resultante u es lineal, es decir,

fs = ku (1-3.1)

donde /tes la rigidez lateral del sistema; sus unidades son fuerza/longitud. En la ecuacin(1.3.1) est implcito el supuesto de que la relacin lineal fs-u determ inada para pequeas deformaciones de la estructura tambin es vlida para el caso de grandes deformaciones. Esta relacin lineal implica q u e /s es una funcin de u con un solo valor (es decir, las curvas de carga y descarga son idnticas). Se dice que tal sistema es elstico, por lo que se utiliza el trmino sistema elstico lineal para enfatizar ambas propiedades.

Considere el marco de la figura 1.3.2a con una cruja de tam ao altura /, m dulo de elasticidad y segundo momento de rea de la seccin transversal (o m omento de inercia)+ alrededor del eje de flexin = Ib e Ic para la viga y las colum nas, respectivamente; las colum nas estn sujetas (o em potradas) en la base. La rigidez lateral del marco puede determinarse fcilmente para dos casos extrem os: si la viga es infinitamente rgida (es decir, la rigidez a la flexin Elb = oo, figura 1.3.2b),

1 ^ = 2 4 * ' 'h 3 /i3

(1.3.2)columnas

ft)r otra parte, para una viga sin rigidez (es decir, E lb = 0, figura 13 .2 c ),

, _ ^ 3 / c _ E /c ^ A3 A3

colum nas

(1.3.3)

Observe que para los dos valores extremos de la rigidez de la viga, la rigidez lateral de la estructura es independiente de L, la longitud de la viga o el tamao de la cruja.

La rigidez lateral del marco con un valor intermedio de la rigidez de la viga ms rea lista, puede calcularse mediante los procedim ientos estndar del anlisis estructural esttico. La matriz de rigidez del marco se formula con respecto a tres GDL; el desplazam iento lateral u y las rotaciones de los dos nudos viga-colum na (figura 1.3.2a). La relacin fuerza

U U u

A

(b)

F igura 1 J .2

(C)

T.n este libro el trmino preferido para / es segundo momento de rea en vez del que se usa comnmente, momento de inercia: este ltimo se reservar para definir los efectos de la inercia asociada con el movimiento rotacional de los cuerpos rgidos.

Ecuaciones de movimiento, planteam iento del problem a y m todos d e solucin Captu lo 1

lateral-desplazamiento de la ecuacin (1.3.1) se determina por condensacin esttica o por eliminacin de los GDL de rotacin. Al aplicar este procedim iento a un marco con L = 2h y Elb = Elc,se obtiene su rigidez lateral (vea el ejemplo 1.1):

96 E lc 7 /i3

(1.3.4)

La rigidez lateral del marco puede calcularse de manera similar para cualquier valor de Ib, a L y h utilizando los coeficientes de rigidez de un elemento uniforme a flexin que se presentan en el apndice 1. Si se desprecian las deformaciones por cortante en los elementos, el resultado puede escribirse en la forma

24 E IC 12 p + 1k = (1.3.5)

h3 12p + 4

donde p = (E IJL ) -r ( lE IJ h ) es la relacin de rigidez de la viga con a columna (que se describe en la seccin 18.1.1). Para p = 0, oo y J, la ecuacin (1.3.5) se reduce a los resultados de las ecuaciones (1.3.3), (1.3.2) y (1.3.4), respectivamente. La rigidez lateral se representa de manera grfica com o una funcin de p e n la figura 1.3.3; se incrementa por un fector de 4 cuando p erece desde cero hasta infinito.

s

Figura 1 J J Variacin de la rigidez lateral, k, con la relacin de rigidez de la viga con la columna, p.

Ejemplo 1.1Calcule la rigidez lateral para el marco mostrado en la figura E l.la , suponiendo que los ele irentos son infinitamente rgidos en la direccin axial.

*>2 - 4 E/c ( h + 4 EIb I Lkr> - 2EL / L

(a) (b) (c)

F igura E l . l

Seccin 1.3 Relacin fuerza-desplazam iento 11

Solucin Esta estructura puede analizarse mediante cualquiera de los mtodos estndar, incluyendo la distribucin de momentos. Aqu se utiliza la definicin de coeficientes de influencia de la rigidez para resolver el problema.

H sistema tiene los tres GDL. mostrados en la figura E l. I a. Para obtener la primera columna de la matriz de rigidez de 3 X 3, se impone un desplazamiento unitario en el GDI. ut, con u2 = 3 = 0. Las fuerzas k,i necesarias para mantener esta configuracin deformada se muestran en la figura E 1.1 b. stas se determinan usando los coeficientes de rigidez para un elemento uniforme a la flexin que se presenta en el apndice 1. Los elementos *l2en la segunda columna de la matriz de rigidez se determinan imponiendo u2 = 1 con u, - u3 0; vea la figura E l.le . De manera similar, los elementos ko en la tercera columna de la matriz de rigidez pueden determinarse al imponer los desplazamientos u3 1 con u, = = 0. As, se conoce la matriz de rigidez de3 X 3 de la estructura y es posible escribir las ecuaciones de equilibrio, fra un marco con lb = lc sometido a la fuerza lateral/$, se tiene

EICh3

24 6/i 6h6 h 6 h2 h-6h h2 6h2

M 1 1f s

U2 | = 0U 3 1 0

(a)

A partir de la segunda y tercera ecuaciones, las rotaciones de los nudos pueden expresarse en trminos del desplazamiento lateral de la siguiente manera:

Al sustituir la ecuacin (b) en la primera de las tres ecuaciones de la ecuacin (a) se obtiene/ 24El,

f sV h3

As, la rigidez lateral del marco es

* EI< 6 /a. A i - x P n 96 ElLiJb " T * r " (C). 96 Elek = T J (d)

Este procedimiento para eliminar rotaciones de los nudos, conocido como el mtodo de condensacin esttica, se presenta en libros de texto sobre el anlisis esttico de las estructuras. Este tema se retomar en el captulo 9.

1.3.2 Sistemas inelsticos

En la figura I3 .4 se muestra la relacin experim ental fuerza-deformacin de un elemento estructural de acero sometido a niveles de deform acin cclicos esperados durante un sismo. La curva de carga inicial es no lineal a los niveles ms grandes de deformacin y las curvas de descarga y recarga difieren de la curva de carga inicial; se dice que un sistema as es inelstico. Esto implica que la relacin fuerza-deformacin depende de la direccin, es decir, depende de si la deformacin est aumentando o dism inuyendo. De este modo, la fuerza restauradora es una funcin implcita de la deformacin;

fs= fs (u ) (1.3.6)

La relacin fuerza-deform acin para el marco idealizado de un nivel (figura 1.3.1a) que se deforma en el rango nelstico puede determ inarse de dos formas. Un enfoque consiste en utilizar mtodos de anlisis estructural esttico no lineal. Por ejemplo, en el anlisis de una estructura de acero con un modelo constitutivo esfuerzo-deform acin supuesta, el anlisis

12 Ecuaciones de movimiento, planteam iento del problem a y m todos d e solucin Captu lo 1

Figura 1.3.4 Relacin fuerza-deformacin para un elemento estructural de acero. (Tomada de H. Krawinklcr, V. V. Bcrtcro y F P. Popov, comportamiento inclstico de subcnsamblcs de acero viga-columna". Informe A'o. 71-7 CEIE, Universidad de California. Berkeley. 1971).

mantiene un registro del inicio y la propagacin de la fluencia en ubicaciones crticas y la formacin de articulaciones plsticas para obtener la curva de carga inicial (o-a) que se muestra en la figura 1.3. le . Las curvas de descarga (a-c) y recarga (c-a) pueden calcularse de m anera sim ilar o es posible definirlas a partir de la curva de carga inicial con las hiptesis existentes. Otro enfoque es definir la relacin inelstica de fuerza-deformacin com o una versin idealizada de los datos experimentales, com o en la figura 1.3.4.

Se tiene inters en el estudio de la respuesta dinm ica de los sistemas nelsticos porque muchas estructuras estn diseadas bajo el supuesto de que estarn sometidas a grietas, fluencia y daos durante algn movimiento intenso del terreno causado por los sismos.

1.4 FUERZA DE AMORTIGUAMIENTO

Como se mencion con anterioridad, el proceso mediante el cual la amplitud de la vibracin libre disminuye de m anera constante se denom ina amortiguamiento. En el am ortiguam iento, la energa del sistem a en vibracin se disipa por diversos mecanismos y, con frecuencia, ms de un mecanismo puede estar presente al mismo tiempo. En los sistem as limpios sencillos como los modelos de laboratorio de la figura 1.1.4, la mayor parte de la disipacin de energa puede ser asociada al efecto trmico del esfuerzo elstico repetido del material y de la friccin interna que se produce en un slido cuando se deform a. Sin embargo, en las estructuras reales existen muchos otros mecanismos que tambin contribuyen a la disipacin de la energa. En un edificio en vibracin stos incluyen la friccin en las conexiones de acero,

Seccin 1.4 Fuerza d e am ortiguam iento 13

la apertura y cierre de microfisuras en el concreto y la friccin entre la propia estructura y los elementos no estructurales, tales como muros div isorios. Parece imposible identificar o describir matemticamente cada uno de estos mecanismos de disipacin de energa en un edificio real.

Como resultado, el amortiguamiento de las estructuras reales se representa por lo general en una forma muy idealizada. Para muchos fines, el amortiguamiento real en una estructura de IGDL puede idealizarse de manera satisfactoria por medio de un amortiguador viscoso lineal. El coeficiente de amortiguamiento se selecciona de modo que la energa disipada sea equivalente a la energa disipada en todos los mecanismos de amortiguamiento, combinados, presentes en la estructura real. Por lo anterior, esta idealizacin se denomina amortiguamiento viscoso equivalente, un concepto que se desarrolla con mayor detalle en el captulo 3.

En la figura 1.4.la se muestra un am ortiguador viscoso lineal sometido a una fuerza f D en la direccin del GDL u. La fuerza interna en el am ortiguadores igual y opuesta a la fuerza externa f D (figura 1.4.1 b). Com o se muestra en la figura 1.4.1 c, la fuerza de amortiguamiento de fn se relaciona con la velocidad a travs del am ortiguador viscoso lineal por

f o = c (1.4.1)

donde la constante c es el coeficiente de amortiguamiento viscoso; tiene unidades de fuerza X tiem po/longitud.

A diferencia de la rigidez de una estructura, el coeficiente de amortiguamiento no puede calcularse a partir de las dimensiones de la estructura y los tamaos de los elementos estructurales. Esto no debera ser sorprendente puesto que, como se ha sealado antes, no es posible identificar todos los mecanismos que disipan la energa de vibracin en las estructuras reales. As, los experimentos de vibracin en estructuras reales proporcionan datos para evaluar el coeficiente de amortiguamiento. stos pueden ser experimentos de vibracin libre que conducen a datos como los que se muestran en la figura 1.1.4; la razn de decaimiento del movimiento en la vibracin libre proveer una base para evaluar el coeficiente de amortiguamiento, como se ver en el captulo 2. La propiedad de amortiguamiento tambin puede determinarse a partir de experimentos de vibracin forzada, un tema que se estudia en el captulo 3.

El amortiguador viscoso equivalente tiene la intencin de modelar la disipacin de energa para amplitudes de deformacin dentro del lmite elstico lineal de toda la estructura. Dentro de este intervalo de deformaciones, el coeficiente de amortiguamiento c determinado a partir de pruebas experimentales puede variar con la amplitud de la deformacin. Esta no linea- lidad del amortiguamiento en general no se considera explcitamente en los anlisis dinmicos. Esto puede tratarse de manera indirecta mediante la seleccin de un valor para el coeficiente de

Figura 1.4.1

14 Ecuaciones de movimiento, planteam iento del problem a y m todos d e solucin Captu lo 1

amortiguamiento conistente con la amplitud de deformacin esperada, y que por lo regular se toma como la deformacin asociada con el lmite elstico lineal de la estructura.

Se disipa energa adicional debido al comportamiento inelstico de la estructura a grandes deformaciones. Ante la accin de fuerzas o deformaciones cclicas, este comportamiento implica la formacin de un ciclo de histresis fuerza-deformacin (figura 1.3.1c). La energa de amortiguamiento disipada durante un ciclo de deformacin entre los lmites de deformacin u0 est dada por el rea dentro del ciclo de histresis abeda (figura 1.3.1c). Esta disipacin de energa no suele modelarse mediante un amortiguador viscoso, en especial si la excitacin es un movimiento ssmico, por razones que se describen en el captulo 7. En cambio, el enfoque ms comn, directo y preciso para explicar la disipacin de energa debida al comportamiento inelstico es determinar la relacin inelstica entre la fuerza restauradora y la deformacin, como se muestra en las figuras 1.3. le y 1.3.4, al resolver la ecuacin de movimiento (captulo 5). Tales relaciones de fuerza-deformacin se obtienen a partir de pruebas experimentales en las estructuras o componentes estructurales a bajas velocidades de deformacin, lo que excluye cualquier disipacin de energa derivada de los efectos dependientes de la velocidad de deformacin. El enfoque habitual es modelar este amortiguamiento en el intervalo de deformaciones inelsticas mediante el mismo amortiguador viscoso que se defini anteriormente para pequeas deformaciones en el intervalo elstico lineal.

1.5 ECUACIN DE MOVIMIENTO: FUERZA EXTERNA

En la figura 1.5.1a se muestra el marco idealizado de un nivel que se present con anterioridad, sometido a una fuerza dinmica /?(/) aplicada de manera externa en la direccin del GOLu. Esta notacin indica que la fuerza p vara con el tiempo /. El desplazamiento resultante de la masa tambin vara con el tiempo y se indica mediante u(t). En las secciones 1.5.1 y 1.5.2 se obtiene la ecuacin diferencial que controla el desplazamiento u(t) mediante dos mtodos que utilizan (1) la Segunda ley del movimiento de Newton y (2) el equilibrio dinmico. En la seccin 1.5.3 se presenta una manera alternativa para obtener dicha ecuacin.

1.5.1 Uso de la Segunda ley del movimiento de Newton

En la figura 1.5. Ib se muestran las fuerzas que actan sobre la masa en un cierto instante de tiempo. stas incluyen la fuerza externa p(t), la fuerza restauradora elstica (o inelstica) f s (figura 1.3.1) y la fuerza de am ortiguam iento f D (figura 1.4.1). Se considera que la fuerza externa es positiva en la direccin del eje x , y que el desplazam iento (/), la velocidad (f) y la aceleracin ii(t) tam bin son positivas en la direccin del eje x. Las fuerzas elsticas y

fs

mO

pU)

f l ) yZ fs

f - o

p{)

f yZ

(a) (b)

Figura 1 .5.1

(C)

Seccin 1.5 Ecuacin d e movimiento: fuerza externa 15

de am ortiguam iento se muestran actuando en la direccin opuesta, dado que son las fuerzas internas que se oponen a la deformacin y a la velocidad respectivamente.

La fuerza resultante a lo largo del eje x es p - f s - fn , y a partir de la Segunda ley del movimiento de Newton se tiene

P ~ f s ~ fi> = mil o m + f D + f s = p(t) (1.5.1)I>spus de sustituir las ecuaciones (1.3.1) y (1.4.1), esta ecuacin se convierte en

m +c + ku = p(t) (1.5.2)

sta es la ecuacin de movimiento que controla la deformacin o el desplazam iento u(t) de la estructura idealizada en la figura 1.5.1a, que se supone elstica lineal, som etida a una fuerza externa dinm ica p(t). Las unidades de masa son fuerza/aceleracin.

Esta deduccin puede extenderse con facilidad a sistemas inelsticos. La ecuacin(1.5.1) todava es vlida y todo lo que debe hacerse es sustituir la ecuacin (1.3.1), restringida a los sistem as lineales, por la ecuacin (1.3.6), vlida para los sistem as inelsticos. Por lo tanto, para tales sistemas, la ecuacin de movimiento es

m + c + fs (u ) = p(t) (1.5.3)

1.5.2 Equilibrio dinmico

PXspus de haber sido entrenados para pensar en trminos del equilibrio de fuer/as, los ingenieros estructurales pueden encontrar el principio de equilibrio dinmico de D* Alembert muy atractivo. Este principio se basa en la nocin de una fuerza inercial ficticia, una fuerza que es igual al producto de la masa por su aceleracin y que acta en direccin opuesta a la aceleracin. Lo anterior establece que, con las fuerzas de inercia incluidas, un sistema est en equilibrio en cada instante de tiempo. As, es posible dibujar un diagrama de cuerpo libre de una masa en movimiento y pueden usarse los principios de la esttica para desarrollar la ecuacin de movimiento.

En la figura 1.5.1c se presenta el diagram a de cuerpo libre en el m omento t, donde la masa se ha reemplazado por su fuerza de inercia, representada mediante una lnea discontinua para distinguir esta fuerza ficticia de las fuerzas reales. Al igualar a cero la sumatoria de todas las fuerzas, se obtiene la ecuacin (1.5.1 b),f que se obtuvo con anterioridad utilizando la Segunda ley del movimiento de Newton.

1.5.3 Componentes de rigidez, amortiguamiento y masa

En esta seccin la ecuacin que descibe el desplazam iento para el marco idealizado de un solo nivel se formula con un punto de vista alternativo. Bajo la accin de la fuerza externa />(/), las condiciones del sistem a se describen mediante el desplazam iento m(/), la velocidad (t), y la aceleracin (t), vea la figura 1.5.2a. Ahora visualice el sistema com o la combinacin de tres componentes puros: (1) el componente de rigidez: el marco sin am ortiguam iento o masa (figura 1.5.2b); (2) el componente de amortiguamiento: el marco con su propiedad de amortiguamiento, pero sin rigidez o masa (figura 1.5.2c) y (3) el com ponente de masa: la masa del techo sin la rigidez o el am ortiguam iento del marco (figura 1.5.2d).

rDos o ms ecuaciones en la misma linca con el mismo nmero de ecuacin se referirn como ecuaciones a. b, c , etctera, de izquierda a derecha.

Ecuaciones de movimiento, planteam iento del problem a y m todos d e solucin Captu lo 1

fi, o ------------------

i ii i> i

7^7/ 7 77/

Desplazamiento u Desplazamiento u Velocidad Aceleracin Velocidad Aceleracin

(a) (b) (c) (d)

Figura 1.52 (a) Sistema; (b) componente de rigidez; (c) componente de amortiguamiento; (d) componente de masa.

1.a fuer/a externa f s sobre el com ponente de rigidez se relaciona con el desplazam iento u por medio de la ecuacin (1.3.1) si el sistema es elstico lineal, la fuerza extema f D sobre el componente de amortiguamiento se relaciona con la velocidad it mediante la ecuacin(1.4.1), y la fuerza externa f , sobre el componente de masa se relaciona con la aceleracin por medio de f = m. Por lo tanto, la fuerza externa p(t) aplicada al sistema com pleto puede visualizarse com o distribuida entre los tres componentes de la estructura, y f s + fn + / /d e b e ser igual a la fuerza aplicada p{t) que conduce a la ecuacin (1.5. Ib). Aunque este punto de vista alternativo puede parecer innecesario para el sistema sencillo de la figura 1.5.2a, resulta til para los sistem as com plejos (captulo 9).

Ejemplo 1.2Un edificio industrial pequeo de un solo nivel, de 20 por 30 pies en planta, se muestra en la figura E 1.2 con marcos a momento en la direccin norte-sur y marcos contraventeados en la direccin este-oeste. El peso de la estructura puede idealizarse como 30 lb/pic2 concentradas en el nivel del techo. Los contravientos horizontales estn en la cuerda inferior de las armaduras del techo. Todas las columnas tienen seccin de W8 X 24, los segundos momentos de rea de la seccin transversal respecto a los ejes x y y son lx = 82.8 pulg4 e Iy = 18.3 pulg4, respectivamente; para d acero, F. = 29.000 ksi. Los contravientos verticales estn hechos con varillas de 1 pulgadas de dimetro. Formule la ecuacin que controla la vibracin libre en (a) la direccin norte-sur y(b) la direccin este-oeste.

Contravientos horizontales

I - 1

2sj

30'

Contravientos

(b) (c)Figura E12 (a) Planta; (b) elevaciones este y oeste; (c) elevaciones norte y sur, (d) contraviento.

Seccin 1.5 Ecuacin d e movimiento: fuerza externa 17

Solucin 1.a masa concentrada en el techo esw 30 X 30 X 20

m g 386

= 46.63 lb-s2/pulg = 0.04663 kip-s: /pulg

Debido a los contravicntos horizontales, el techo puede tratarse como un diafragma infinitamente rgido.

(a) Direccin norte-sur. Debido a la armadura de techo, cada columna se comporta como una columna empotrada en sus dos extremos y la rigidez lateral de los dos marcos a momento (figura E 1.2b) es

J \ 2 E I X \ 12(29 X 103)(82.8) , ,= 4 (- 3- J = 4 T 123T I2) - = 38 58 kips/p,gy la ecuacin del movimiento es

mii +(kn-s)u = 0 (a)(b) Direccin este-oeste. Los marcos contraventcados, como los que se muestran en la fi

gura El .2c, suelen disearse como dos sistemas superpuestos: un marco rgido comn que soporta las cargas verticales (muertas y vivas), adems de un sistema de contravientos verticales, quese considera en general como una armadura conectada mediante pasadores que resiste las fuerzaslaterales. As, la rigidez, lateral de un marco contraventeado puede estimarse como la suma de las rigideces laterales de los contravientos individuales. l a rigidez, de un contraviento (figura El .2d) es eootravicnto = ( / ) cos20. Esto puede deducirse de la manera siguiente.

Se inicia con la relacin fuerza-deformacin axial para un contraviento:

P = (b)

Bor csttica/s = pcosG, y por cinemtica u = /cosfl.Al sustituir/? = / s/cos0y 8 = ucosOcn la ecuacin (b) se obtiene

AE 2fs ~ ^contravicntoW oontraviento ~~j~ ^OS G (c)

Rtra el contravicnto de la figura E1.2c, eos 0 = 20/ v 122 + 2 0 2 = 0.8575, A = 0.785 pulg2. L - 23.3 pies y

0 785(29 X 103)^contravicnto = ^ 3 x 12 (0.8575)2 = 59.8 kips/pulg

Aunque cada marco tiene dos contravientos, slo el que est en tensin proporciona resistencia lateral; el que est en compresin se pandear ante una fuerza axial pequea y contribuir poco a la rigidez, lateral. Teniendo en cuenta los dos marcos,

*E_W = 2 X 59.8 = 119.6 kips/pulg (d)

y la ecuacin del movimiento es

mii + (Ae-w) m = 0Observe que el error al despreciar la rigidez.de las columnas es pequeo: k&\ = 2 x 12/,.//i3 = 4.26 kips/pulg contra o = 59.8 kips/pulg.

Ejemplo 13En la figura El .3 se muestra una trabe cajn de un puente, hecha de concreto, con 375 pies de largo sobre cuatro soportes (dos estribos y dos ejes intermedios ubicados simtricamente). El

Tablero

Ecuaciones de movimiento, planteam iento del problem a y m todos d e solucin Captu lo 1

(a)

Estribo 2

(b)25'

7 ,Y/.(C)

Tablero del puente

Zapatas

7777/ 7777?.

F ig u ra E l J

Seccin 1.6 Sistema masa-resorte-amortiguador 19

rea de la seccin transversal del tablero del puente es de 123 pies2. El peso del puente se idealiza como concentrado en el nivel de la cubierta, el peso volumtrico del concreto es de 150 Ib/pie3. R peso de las columnas en los ejes puede despreciarse. Cada eje consiste en tres columnas de 25 pies de altura con seccin transversal circular, donde /< /;*= 13 pies4 (figura El.3b). Formule la ecuacin de movimiento que controla la vibracin libre en la direccin longitudinal. H mdulo de elasticidad del concreto es E = 3000 ksi.

Solucin R peso por unidad de longitud concentrado en el nivel de la cubierta es (123 X 1) 150 = 18.45 kips/pic. El peso total concentrado en el nivel de la cubierta es

w = 18.45 X 375 = 6919 kips

y la masa correspondiente es

w 6919m = =

g 32.2= 214.9 kip-s2/pic

La rigidez longitudinal del puente se calcula suponiendo que la cubierta del puente se desplazar como cuerpo rgido como se muestra en la figura E 1.3c. Cada columna de un acodamicnto se comporta como una columna empotrada en sus dos extremos. La rigidez longitudinal proporcionada por cada acodamicnto es

/ ! 2 / . \ f 12(3000 X 144)131* * " 3 ( P ) = 3 [ w J = 12-940

Dos ejes proporcionan una rigidez total de

k = 2 X = 2 X 12.940 = 25,880 kips/pic

La ecuacin que controla el desplazamiento longitudinal u es

mii + ku = 0

1.6 SISTEMA MASA-RESORTE-AMORTIGUADOR

Se ha presentado el sistema G D L idealizando una estructura de un nivel (figura 1.5.la), un enfoque que debera ser atractivo para los estudiantes de ingeniera estructural. Sin em bargo, el sistema 1 GDL clsico es el sistema m asa-resorte-am ortiguador de la figura 1.6.1