Objetivo:

Estas notas presentan el material introductorio básico encaminado a soportar un cursode Procesamiento Digital de Señales. Dicho curso está dirigido a quienes ya han cursadomaterias básicas en el area de circuitos eléctricos y electrónica además de los cursos básicosde cálculo diferencial e integral, números complejos y ecuaciones diferenciales.

Contenido:

1.- ¿Qué es el Procesamiento Digital de Señales?

2.- Conceptos básicos (Señales y sistemas)

2.1.- Señales continuas y discretas.

2.2.- Sistemas

2.3.- Discretización de señales continuas

3.- Herramientas matemáticas básicas del Procesamiento de señales

3.1.- Series y Transformada de Fourier (Caso Continuo)

3.2.- Series y Transformada de Fourier (Caso Disreto)

3.3.- La Transformada Z

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Introducción al

Procesamiento Digital de Señales

1. ¿Qué es el Procesamiento Digital de Señales?

El campo del procesamiento digital de señales ha conllevado tremendoscambios desde su aparición en la década de los setentas tanto de caracter teóricocomo tecnológico. Conviene aquí mencionar algunas de las preocupacionesprincipales del área a lo largo de su evolución:

En los primeros años el principal interés en este campo era el desarrollo dealgoritmos para la Transformada Rápida de Fourier y el diseño de filtros digitales.Actualmente un profesional de vanguardia en el área debe poseer un buenbackground en diversas áreas, tales como: Teoría de las aproximaciones, procesosestocásticos, teoría de matrices y sistemas dinámicos por mencionar sólo algunas.Aunque a primera vista estos tópicos parecieran ser cosa de investigadoresacadémicos, es una realidad el hecho de que un ingeniero actual en el áreacontinuamente tiene que diseñar sistemas para filtraje óptimo, filtraje adaptivo yestimación espectral. De manera que los tópicos mencionados se han colado en laformación básica en el area.

Actualmente, se considera que un curso introductorio en procesamiento digitalde señales debe cubrir por lo menos los siguientes tópicos: transformada Z, respuestaal impulso, convolución, respuesta a la frecuencia, el teorema del muestreo,transformada discreta de Fourier, algoritmos de transformada rápida de Fourier, diseñode filtros de respuesta finita al impulso (FIR) y diseño de filtros de respuesta infinita alimpulso (IIR). Es importante mencionar que dado que estos temas son bien conocidos,existe ya un buen número de paquetes de software que manejan este materialestándar (por ejemplo, MATLAB) y que pueden servir como un soporte paralelo a estasnotas, sobre todo en cuanto a ejercicios de tipo numérico y gráfico.

Quizás una mejor manera de ubicar el área para alguien ajeno a ella es la demencionar las aplicaciones y los frutos que ha logrado esta disciplina en diferentescampos. Como resultaría muy extenso dar una lista exhaustiva de dichas aplicaciones,mencionaremos aquí más bien cinco contextos en los cuales se pueden encontraréstas:

Un primer conjunto de aplicaciones lo presenta el problema de diseñar unsistema para procesar señales y predecir su comportamiento futuro. El pronósticoeconómico presenta un ejemplo común de esta situación, por ejemplo, muchosprogramas de computadora han sido realizados para realizar análisis detallados de lospromedios del índice bursátil (y de otras señales económicas) y realizar predicciones

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en base a la historia de estas señales. Si bien, la mayor parte de estas señales no sontotalmente predecibles, es un hecho importante el que su comportamiento futuro sípuede ser predicho, al menos aproximadamente y dependiendo de la técnica deanálisis utilizada en la predicción.

Un segundo conjunto de aplicaciones es la restauración de señales que hansido degradadas de alguna manera. Por ejemplo, la restauración de grabaciones deaudio antiguas. Otro ejemplo de este tipo de procesamiento se tiene cuando se quieredepurar una señal de audio que se recibe con ruido de fondo, por ejemplo, en latransmisión de un pilñoto a la torre de control de tráfico aéreo, la voz del piloto estarácontaminada con el ruido de fondo de la cabina del avión, en este caso se debediseñar un sistema para eliminar el ruido de fondo y resaltar la voz del piloto.

Un tercer conjunto de aplicaciones muy similar al anterior, es el de procesarseñales de manera de "mejorar" o resaltar alguna característica de ellas. Elprocesamiento de imagenes provenientes de satélite es un caso típico. Así, además dela restauración que necesariamente se practicará sobre la imagen para compensarerrores debido a limitaciones del equipo, efectos atmosférico y hasta errores en latransmisión, es posible procesar al señal de manera que se realcen característicasdeseadas de la imagen, tales como: cauces de ríos, o lagos, regiones cultivadas,isotermas, etc. o bien, se puede realizar la amplificación de una porción deseada de laimagen, o la "traslación" de la imagen infrarroja a luz visible (para visión nocturna), etc.

Un conjunto de aplicaciones que ha tenido un gran desarrollo en los últimosaños ha sido el reconocimiento de patrones. Éste se refiere al procesamiento de unconjunto de señales de la misma naturaleza con el fin de clasificarlas o de "identificar"cada una de ellas dentro de una categorización dada. Así, se puede mencionar en estecampo, el reconocimiento de voz, la clasificación de piezas mecánicas en una línea deproducción por un brazo mecánico, el reconocimiento óptico de caracteres (OCR), elreconocimiento de huellas digitales, de firmas, de rostros o de manos, etc.

Otra clase importante de aplicaciones es cuando se desea modificar lascaracterísticas de comportamiento de un sistema dado, normalmente a través de lamanipulación de señales de entrada específicas, o combinando el sistema dado conotros sistemas. Este es el campo denominado control automático. Por ejemplo, un áreareferida normalmente como control de procesos, la cual se refiere al control de plantasquímicas. En esta clase de aplicaciones, un conjunto de sensores miden las señalesfísicas como temperatura, humedad, concentraciones químicas, etc. dichas señalesson procesadas por un sistema encargado de manipular las señales de control (talescomo flujo de combustible o agua de enfriamiento, dosificación de sustancias, etc.)para regular el proceso químico en marcha.

Ciertamente, la lista no es exhaustiva y no es fácil clasificar toda la gama deaplicaciones que tiene este campo, es importante sin embargo mencionar otrasaplicaciones que han recibido gran impulso por el desarrollo del procesamiento digital

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de señales, tal es el campo de las comunicaciones electrónicas modulación deseñales, transmisión y recepción en AM y FM, microondas, comunicación por fibraóptica, etc. O el campo de la síntesis de señales como: sintetizadores musicales,síntesis de voz, etc.

2.- Señales y Sistemas.

Los conceptos de señales y sistemas aparecen en una amplia variedad decampos, de manera que las ideas y técnicas asociadas con estos conceptos jueganun papel importante en áreas tan diversas como: comunicaciones, aeronáutica yastronáutica, diseño de circuitos, acústica, óptica, sismología, ingeniería biomédica,sistemas de generación y distribución de energía, control de procesos, reconocimientode patrones, etc. Si bien, la naturaleza física de las señales y sistemas que aparecenen estas áreas pueden ser diametralmente diferentes, todas ellas tienen en común doscaracterísticas básicas: Las señales y los sistema

Mientras que las señales son funciones de una o más variablesindependientes y contienen información acerca de la naturaleza o comportamiento dealgún fenómeno, los sistemas reciben señales como entrada y responden a ellasproduciendo otras señales a la salida. Esta relación entre señales y sistemas puedeser representada de manera general en un bloque como en la figura 2.1

SEÑALES

DE ENTRADASEÑALES DE SALIDA

SISTEMA

Figura 2.1 Diagrama de bloques de un sistema en general

Los voltajes y corrientes como funciones del tiempo aplicados a un circuito sonejemplos de señales y el circuito en sí es ejemplo de un sistema, el cual responderá asu vez con voltajes y corrientes dependiendo de los que le son aplicados. Cuando elconductor de un automóvil presiona el acelerador, el automóvil respondeincrementando su velocidad, en este caso, el automóvil es el sistema, la presión sobreel acelerador es una señal de entrada y la velocidad del automóvil es una señal desalida. Un programa de computadora para el diagnóstico de electrocardiogramaspuede ser considerado como un sistema que recibe como entrada la señal digitalizadade un electrocardiograma y produce como salida estimaciones sobre parámetros talescomo ritmo cardiaco, etc.

Para desarrollar las técnicas de análisis de señales y sistemas es necesarioestablecer un marco de referencia analítico que capture las ideas intuitivas útiles en

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los diversos campos en que aparece este par de conceptos. A continuación seintroduce una descripción y representación matemática de señales y sistemas que nospermitirá involucrar los conceptos intuitivos básicos y fomalizarlos para posteriormenteobtener herramientas de análisis y diseño suficientemente poderosas que no esténdespegadas de las aplicaciones.

2.1. Señales

Aunque las señales se pueden representar de muchas maneras, en todos loscasos la información contenida en una señal se refiere a un conjunto de variaciones dealgún tipo. Por ejemplo, en la figura 2.2 se muestra la evolución de la respiración en unindividuo con insomnio prolongado tratado con electrosueño (sueño inducidoeléctricamente). A este tipo de diagrama se le llama pneumograma y representa lasvariaciones en el caudal del aire respirado por el paciente al transcurrir el tiempo. Otroejemplo es la figura 2.3 en la cual se muestra un imagen fotográfica, la cual no es másque una representación de variaciones de color (longitud de onda) respecto a laposición horizontal y vertical (este es un ejemplo de señal que depende de dosvariables independientes).

Figura 2.2 Pneumograma de un paciente de insomnio tratado con electrosueño. a) Principio de laaplicación de los estímulos( a los 20 segundos de de aplicar la corriente aparece un ritmo periódico derespiración). b) El paciente enmpieza a dormirse. c) el paciente está dormido (la respiración se hace

regular). (Adaptado de Electrosueño. V. A. Guiliarovski, et al, Moscú, 1961)

Aunque las señales se pueden representar matemáticamente como funcionesde una o más variables independientes, aquí se tratará exclusivamente el caso defunciones de una variable independiente y esta variable normalmente será el tiempo,aunque en algunas aplicaciones como en la geofísica interesa el comportamiento de ladensidad, porosidad, resistividad eléctrica (por ejemplo) con respecto a la profundidad,

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o en la meteorología, interesa la variación de la presión, velocidad del viento,humedad (por ejemplo) respecto a la altitud.

Figura 2.3 Una imagen fotográfica

2.1.1 Señales continuas y señales discretas

Existen dos tipos básicos de señales: Señales de tiempo continuo y señales detiempo discreto.En una señal continua o señal de tiempo continuo x(t), la variableindependiente (tiempo) es una variable continua y por ello estas señales estándefinidas para cualquier par de instantes de tiempo y para cualquier instantecomprendido entre este par. Para este tipo de señales usaremos t para denotar a lavariable independiente de tiempo continuo. La figura 2.2 es un ejemplo de señales detiempo continuo.

0 5 10 15 20 25 30 35

Número de individuos por especie

Especies

0

20

40

60

80

Figura 2.4 Señal que representa la relación especie-abundancia de una comunidadecológica (Adaptada de E.C. Pielou, An introduction to Mathematical Ecology, N. Y. 1969)

Por otro lado, una señal discreta o señal de tiempo discreto x(k) solamenteestá definida en ciertos instantes discretos de tiempo, de manera que entre cada

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instante y el siguiente no está definida dicha señal. Una señal de tiempo discretotambién se puede por lo tanto representar como una lista o secuencia de valores{x(1), x(2), x(3),...}. En este tipo de señales usaremos k para denotar la variableindependiente. Son ejemplos típicos de una señal de tiempo discreto: el índiceDow-Jones semanal del mercado de valores, el censo de población anual, el índice dedesempleo, o bien (ver figura 2.4), la relación especie-abundancia de una comunidadecológica.

2.2 Sistemas.

Un sistema se puede ver como cualquier proceso que produce unatransformación de señales. Todo sistema debe tener al menos una entrada x y unasalida y, la señal de salida está relacionada con la entrada mediante una relación detransformación y = f(x). De manera similar a como lo hicimos con las señales, lossistemas pueden ser sistemas de tiempo continuo si transforman señales deentrada de tiempo continuo, en señales de salida de tiempo continuo y serán llamadossistemas de tiempo discreto si transforman señales de entrada de tiempo discreto enseñales de salida de tiempo discreto.

2.2.1. Interconexión de sistemas.

Los diagramas de bloques (ver figura 2.1) nos permiten representar lasoperaciones básicas entre sistemas, esto es, su interconexión, la cual puede ser detres tipos: interconexión en serie o cascada, en paralelo y de retroalimentación, estostipos de interconexión son mostrados en la figura 2.5

x y1 y2 = f2(y1)f1(x) f2(y1)A)

xf1(x)

f2(x)

+

+

y1

y2y1+y2

x +

-

f1(z)

f2(y)

yz

B)

C) y=f1(z)

Figura 2.5 Interconexión de sistemas. A) Cascada. B) paralelo. C) Retroalimentación

2.2.2 Propiedades de los sistemas.

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A continuación se describen algunas de las propiedades más importantes de lossistemas. Estas propiedades tienen interpretaciones tanto físicas como matemáticas yson propiedades muy generales, es decir no atienden a la naturaleza física del sistemaen sí, el cual puede ser eléctrico, químico, mecánico, etc. sino más bien al tipo detransformación que realiza el sistema sobre las señales de entrada:

2.2.3 Sistemas con y sin memoria

Us sistema se dice sin memoria si su salida en un instante dado depende de suentrada solamente en ese instante, (un sistema de este tipo en ocasiones es llamadosistema estático). Por ejemplo, un circuito que contiene una resistencia R alimentadacon una fuente de voltaje x(t) responderá con una corriente y(t) de acuerdo a la ley deOhm, y(t) = x(t) / R.

Un sistema cuya salida puede depender de entradas en instantes anteriores alactual se denomina sistema con memoria. Este tipo de sistemas también suelellamarse sistema dinámico. El ejemplo más sencillo de un sistema con memoria es elsistema retardo unitario que produce la salida y(k) como una copia de la entrada x(k)en el instante anterior al actual, es decir y(k) = x(k-1), este sistema suele representarsepor el operador retardo q-1 de la siguiente manera

y(k) = q-1 x(k) = x(k-1)

Un segundo ejemplo es el algoritmo computacional que se encarga de acumular enuna sumatoria todos los valores de la entrada x(k) desde que empezó a contar eltiempo hasta el instante actual

y(k) = Sj=0

kx(k − j)

Es fácil ver que este algoritmo puede ser visto como la implementación de la ecuaciónde diferencias y(k) = y(k) +y(k-1), con la condición inicial y(0) = 0.

Un ejemplo de un sistema analógico con memoria es un simple capacitor Calimentado por una fuente de corriente x(t), el cual producirá un voltaje en susterminales y(t) dado por

y(t) = 1C ¶

0

t

x(t)dt

el cual nuevamente puede verse como la implementación de la ecuación diferencialdy(t) /dt = x(t) /C con la condición inicial y(0) =0.

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2.2.4 Causalidad.

Un sistema es causal si su salida en cualquier instante depende sólo de losvalores de la entrada en el instante actual o en instantes anteriores. A este tipo desistemas también se le llama no anticipativo, ya que la salida del sistema no anticipavalores futuros de la entrada. Una consecuencia fundamental de que un sistema seacausal es el hecho de que si dos entradas a un sistema causal son idénticas desde lascondiciones iniciales hasta un instante to las salidas correspondientes también serániguales hasta ese mismo instante.

Un automóvil es un sistema causal, ya que no puede anticipar acciones futurasdel conductor, de hecho todos los sistemas físicos que evolucionan con el tiempo soncausales, ya que no pueden anticipar acciones de la entrada antes de que esta ocurra.Sin embargo, cuando los valores de la evolución de un sistema se tienenalmacenados, como suele ocurrir en señales de voz, señales meteorológicas,indicadores económicos, etc. de ninguna manera se está obligado a procesar estosdatos en forma causal (es decir, en el orden estricto en que fueron ocurriendo) ya quese tiene la información de todos los instantes de interés en un intervalo dado.

Otro tipo de sistemas que normalmente no son causales son los sistemas enque la variable independiente no es el tiempo, tales como las imágenes, así, elprocesamiento de ellas no tiene porque ser causal.

2.2.5. Estabilidad.

Intuitivamente, un sistema estable es aquel en que entradas pequeñasproducen salidas que no divergen, es decir, salidas acotadas. Una de las mejoresmaneras de ilustrar la diferencia entre sistemas estables e inestables es considerandola figura 2.6. En dicha figura se muestra una pelota descansando sobre dos tiposdiferentes de terreno. Si se considera que la entrada es un pequeño empujón (fuerzaimpulsiva) horizontal y la salida es la posición vertical de la pelota se puede intuirfácilmente que la figura 2.6(a) es un sistema inestable, mientras que 2.6(b) es estable.

Impulso

Impulso

(a) (b)

Figura 2.6 a) Sistema inestable. b) sistema estable

Aunque el párrafo precedente presenta una idea intuitiva de la estabilidad, unaidea más formal de estabilidad es muy similar, de hecho una de las maneras formales

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de definir estabilidad, es la estabilidad entrada acotada - salida acotada oestabilidad en el sentido B.I.B.O. (Bounded Input - Bounded Output) que nos define unsistema estable como aquel sistema cuya salida esta acotada siempre y cuando suentrada esté acotada. La manera de definir el acotamiento de una señal depende deltipo de análisis que se quiera realizar, de esta manera, se puede usar el concepto denorma para introducir diferentes tipos de cotas. Algunos ejemplos de normas útilespara señales discretas, son las llamadas normas lp. Dada una señal discreta x(k), lanorma lp de x se denota llxllp y se define como

æx(k)æp = Sk=−∞

∞x(k) p

1/p

2.2.6. Invariancia en el tiempo.

Un sistema se dice invariante en el tiempo si un retardo en la señal de entradaproduce una señal de salida retardada en la misma cantidad de tiempo, es decir, siy(k) es la salida correspondiente a la entrada x(k) en un sistema invariante en eltiempo, la entrada x(k-ko) producirá la salida y(k-ko).

Así, por ejemplo, el sistema dado por la ecuación y(k) = sen[x(k)] es invarianteen el tiempo, mientras que el sistema y(k) = kx(k) es variante en el tiempo paraverificarlo calcule la salida para x1(k) = x(k-xo) y compare con y(k-ko).

Cuando un sistema invariante en el tiempo se describe por ecuacionesdiferenciales, o de diferencias, se obtienen coeficientes constantes, en dichoscoeficientes, normalmente aparecen los parámetros físicos del sistema, tales comoresistencias, capacitancias, masas, coeficientes caloríficos, etc.

2.2.7. Linealidad.

Un sistema lineal es aquel que posee la propiedad de superposición. Dichapropiedad se refiere a que si una entrada es la combinación lineal (suma ponderada)de varias señales, entonces la salida correspondiente es la combinación lineal de lassalidas correspondientes a cada una de dichas entradas. Es decir, si y1(k) es la salidade un sistema lineal cuando la entrada es x1(k) y y2(k) es la salida correspondiente ala entrada x2(k) entonces la salida correspondiente a la combinación linealax1(k)+bx2(k) será ay1(k)+by2(k), donde a, b son constantes complejas cualesquiera.

* Observación. El sistema definido como y(k) = ax(k) + b, donde a, b sonconstantes NO es un sistema lineal, sin embargo, se dice que es un sistemaincrementalmente lineal o afín, ya que los incrementos de la salida responden demanera lineal a incrementos de la entrada, en efecto, es fácil ver que si y1(k) = y(k)-y(ko) y x1(k) = x(k)- x(ko)y1(k) = ax1(k), el cual es un sistema lineal.

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El enfoque principal de este curso es sobre los sistemas discretos que poseen estasdos últimas propiedades, es decir, los sistemas discretos lineales e invariantes enel tiempo, o simplemente SLIT, por sus iniciales.

2.3. Discretización de señales continuas

Una señal de tiempo discreto x(k) puede representar un fenómeno para el cualla variable independiente es inherentemente discreta. Señales tales como lasrelaciones especie-abundancia, o los datos demográficos o indicadores económicos yamencionados son ejemplos típicos de estas señales. Por otro lado, una señal detiempo discreto puede representar muestras de un fenómeno para el cual la variableindependiente es en realidad continua.

Por ejemplo, el procesamiento de voz por computadora digital requiererepresentar la señal continua de voz por una secuencia discreta de valores que puedaser procesado por un algoritmo de computadora, tal es el caso también de todas lasaplicaciones de control de procesos continuos mediante computadora digital.

2.3.1 El proceso de muestreo.

El proceso a través del cual una señal continua x(t) es transformada en unaseñal discreta "equivalente" x(k) consiste simplemente en la toma de muestras de laseñal continua en instantes discretos de tiempo k denominados instantes demuestreo k = {...,-1,0,1,2,3,...}.

El proceso de muestreo se muestra en la figura 2.7. Para realizar dicho procesoes necesaria una señal adicional que marque el ritmo de la toma de muestras,idealmente dicha señal p(t) es un tren de impulsos con una frecuencia fs= 1/Tsdenominada frecuencia de muestreo (en hertz). También es usual considerar dichafrecuencia en radianes/seg . El muestreo puede ser uniforme (Ts constante)ps = 2o/Ts

o no uniforme (Ts variable). a Ts se le llama también el periodo de muestreo.

Un sistema muestreador consiste simplemente en un switch que se cierra en elmomento marcado por el tren de impulsos y en todos los demás instantes permaneceabierto. En una computadora digital este proceso tiene lugar en un módulo deadquisición de datos, o convertidor analógico-digital dado que este proceso deconversión consume un tiempo significativo, cada muestra de la señal continua deberáser "congelada" mientras dura su conversión, este congelamiento se denominaretención. En la figura 2.8 se muestra un sistema típico muestreador/retenedor.

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t

k

k

t

x(t)

p(t)

x(k)

x'(t)

Señal analógica

impulsos de muestreo

señal discretizada

señal reconstruida

a)

b)

c)

d)

Ts

Figura 2.7 El proceso de muestreo

2.3.2 Modelado del proceso de muestreo.

No entraremos en detalle sobre el modelado matemático del proceso demuestreo y sus consecuencias, sin embargo, de la figura 2.6 puede verse que la señalcontinua x(t) actúa como un modulador de amplitud del tren de pulsos p(k), de maneraque la señal muestreada x(k) (figura 2.6(c))es un tren de pulsos de amplitud variable"controlada" por la amplitud de la señal continua x(t) en los instantes de muestreot=kTs. Así, un muestreador puede modelarse simplemente como un modulador deamplitud de pulso (PAM), o bien, x(k) = p(k) x(t), donde

p(k) = Sj=−∞

∞d(k − j)

y donde es el impulso unitario discreto.d(k) =

1 para k = 00 para k ! 0

Partiendo de este modelo y considerando el contenido de "información"presente en la señal continua original x(t), así como en su versión discretizada x(k)Claude Shannon obtuvo el siguiente resultado fundamental de la teoría del muestreoconocido como en Teorema fundamental del muestreo.

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x(t)

p(t)

-+

x(k) x'(k)

Muestreador Retenedor

Figura 2.8 Un muestreador/retenedor típico

2.3.3 El teorema fundamental del muestreo

No es difícil intuir al observar el proceso de muestreo que al discretizar unaseñal de tiempo continuo se pierde algo de información en el proceso, es decir la"información" contenida en x(k) no es la misma que la de la señal original x(t), sinembargo, también es fácil intuir que x(k) aún contiene algo de la información de x(t).De aquí surge en forma natural la pregunta ¿Es posible recuperar toda la informaciónde la señal original x(t) apartir de su versión discretizada x(k)?. El Teorema delmuestreo de Shannon da una respuesta a una pregunta aún más específica: ¿Cuándoy cómo es posible recuperar dicha información y cuándo no lo es?.

La idea intuitiva subyascente en el teorema de Shannon es que entre masrápido se realice el muestreo (mayor número de muestras tomadas) mejor representaráx(k) a la señal original x(t), de manera que la condición para poder recuperar lainformación original deberá depender de la frecuencia de muestreo. Para ilustrar esto,obsérvese la figura 2.9, en la cual se está muestreando una onda senoidal a razón dedos muestras por periodo, es decir, al doble de la frecuencia de la señal original

x(t) = sen(2 pi t)

t

t

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4

Figura 2.9 Senoidal continua muestreada al doble de su frecuencia

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