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Vectores tridimensionales

Angulos entre vectores en R3 y producto vectorial

Duwamg Alexis Prada Marın

Universidad Pontificia Bolivariana

Clase de Geometrıa analıtica

11 Feb 2014

Duwamg Prada Angulos entre vectores en R3 y producto vectorial

Vectores tridimensionalesAngulos directoresProducto vectorial o producto cruzAplicaciones

Comentario

Los angulos directores que forma un vector −→a no nulo, son los angulos α,

β y γ en el intervalo [0, π] que forma el vector −→a con cada uno de los

ejes positivos x, y y z. Los cosenos de estos angulos se llaman los

cosenos directores de un vector −→a .



Comentario

Los cosenos directores de un vector −→a = 〈a1, a2, a3〉 se calculan respecto

a cada componente como:



Comentario



1 cos(α) = a1

|−→a |,



Comentario



1 cos(α) = a1

|−→a |,

2 cos(β) = a2

|−→a |,



Comentario



1 cos(α) = a1

|−→a |,

2 cos(β) = a2

|−→a |,

3 cos(γ) = a3

|−→a |.

Si elevamos al cuadrado cada uno de estos cosenos y ademas sumamos,

tenemos que

cos2(α) + cos2(β) + cos2(γ) = 1



Ejemplo



Ejemplo

1 Encuentre los angulos de direccion del vector −→a = 〈1, 2, 3〉.



Ejemplo


2 Use vectores para probar que el triangulo de vertices P(1,−3,−2),Q(2, 0,−4) y R(6,−2− 5) es rectangulo.



Ejemplo


2 Use vectores para probar que el triangulo de vertices P(1,−3,−2),Q(2, 0,−4) y R(6,−2− 5) es rectangulo.

3 Si un vector tiene angulos directores α = π

4y β = π

3, halle el tercer

angulo director γ.



El producto cruz −→a ×−→b de dos vectores −→a y

−→b es nuevamente un

vector, por tal razon se define como producto vectorial. Note ademas queeste producto solo existe entre vectores tridimensionales.



Definicion

Si −→a = 〈a1, a2, a3〉 y−→b = 〈b1, b2, b3〉, entonces el producto cruz de −→a y

−→b es el vector −→a ×

−→b = 〈a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1〉



Comentario

Con frecuencia se escribe al producto cruz en su forma matricial

i j k

a1 a2 a3b1 b2 b3



Ejemplo

1 Si −→a = 〈1, 3, 4〉 y−→b = 〈2, 7,−5〉, halle −→a ×

−→b



Ejemplo

1 Si −→a = 〈1, 3, 4〉 y−→b = 〈2, 7,−5〉, halle −→a ×

−→b

2 Demuestre que −→a ×−→a = 0 para cualquier vector −→a en R3.



Teorema

El vector −→a ×−→b es ortogonal a −→a y a

−→b .



Teorema


−→b .

Teorema

Si θ es el angulo entre −→a y−→b con 0 ≤ θ ≤ π, entonces

| −→a ×−→b |=| −→a ||

−→b | sen(θ)



Teorema


−→b .

Teorema

Si θ es el angulo entre −→a y−→b con 0 ≤ θ ≤ π, entonces

| −→a ×−→b |=| −→a ||

−→b | sen(θ)

Corolario

Dos vectores no nulos −→a y−→b son paralelos si y solo si −→a ×

−→b = 0



Comentario

La interpretacion geometrica del teorema anterior muestra que si −→a y−→b

se representan mediante segmentos de recta dirigidos con el mismo punto

inicial, entonces determinan un paralelogramo con base −→a y altura

|−→b | sen(θ), ası el area del paralelogramo esta dada por

A =| −→a | (|−→b | sen(θ))



Ejemplo

Encuentre un vector perpendicular al plano que pasa por los puntos

P(1, 4, 6), Q(−2, 5,−1) y R(1,−1, 1).



Ejemplo

Encuentre un vector perpendicular al plano que pasa por los puntos

P(1, 4, 6), Q(−2, 5,−1) y R(1,−1, 1).Encuentre el area del triangulo con vertices P(1, 4, 6), Q(−2, 5,−1) yR(1,−1, 1).



Teorema

Sean −→a ,−→b y −→c , ademas c un escalar, entonces:



Teorema


1−→a ×

−→b = −

−→b ×−→a ,



Teorema


1−→a ×

−→b = −

−→b ×−→a ,

2 (c .−→a )×−→b = c .(−→a ×

−→b ) = −→a × (c .

−→b )



Teorema


1−→a ×

−→b = −

−→b ×−→a ,

2 (c .−→a )×−→b = c .(−→a ×

−→b ) = −→a × (c .

−→b )

3−→a × (

−→b +−→c ) = (−→a ×

−→b ) + (−→a ×

−→b )



Teorema


1−→a ×

−→b = −

−→b ×−→a ,

2 (c .−→a )×−→b = c .(−→a ×

−→b ) = −→a × (c .

−→b )

3−→a × (

−→b +−→c ) = (−→a ×

−→b ) + (−→a ×

−→b )

4 (−→a +−→b ))×−→c = (−→a ×−→c ) + (

−→b ×−→c ))



Teorema


1−→a ×

−→b = −

−→b ×−→a ,

2 (c .−→a )×−→b = c .(−→a ×

−→b ) = −→a × (c .

−→b )

3−→a × (

−→b +−→c ) = (−→a ×

−→b ) + (−→a ×

−→b )

4 (−→a +−→b ))×−→c = (−→a ×−→c ) + (

−→b ×−→c ))

5−→a .(

−→b ×−→c ) = (−→a ×

−→b ).−→c



Teorema


1−→a ×

−→b = −

−→b ×−→a ,

2 (c .−→a )×−→b = c .(−→a ×

−→b ) = −→a × (c .

−→b )

3−→a × (

−→b +−→c ) = (−→a ×

−→b ) + (−→a ×

−→b )

4 (−→a +−→b ))×−→c = (−→a ×−→c ) + (

−→b ×−→c ))

5−→a .(

−→b ×−→c ) = (−→a ×

−→b ).−→c

6−→a × (

−→b ×−→c ) = (−→a .−→c )

−→b − (−→a .

−→b )−→c .



Comentario

El producto de −→a .(−→b ×−→c ) se denomina el triple producto escalar de los

vectores −→a ,−→b y −→c . Este triple producto se puede calcular como el

determinante



Comentario

El producto de −→a .(−→b ×−→c ) se denomina el triple producto escalar de los

vectores −→a ,−→b y −→c . Este triple producto se puede calcular como el

determinante

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3



Volumen del paralelepıpedo

La importancia geometrica del triple producto escalar se puede observaren un paralelepıpedo cuyos lados estan determinados por los vectores −→a ,−→b y −→c . De la figura note que la base del paralelepıpedo es

A =|−→b ×−→c |. Si θ es el angulo entre −→a y

−→b ×−→c , entonces la altura

del paralelepıpedo es h =| −→a || cos(θ) |.



Por lo tanto el volumen del paralelepıpedo es

V = Ah =|−→b ×−→c || −→a || cos(θ) |= −→a .(

−→b ×−→c )



Ejemplo

Muestre que los vectores −→a = 〈1, 4,−7〉,−→b = 〈2,−1, 4〉 y

−→c = 〈0,−9, 18〉 son coplanares.



Ejemplo

Halle el volumen de la piramide OPQR determinado por los vectores−→u =

−→OP = (3, 2,−1), −→v =

−→OQ = (−2, 5, 1) y −→w =

−→OR = (2, 1, 5)

Recuerde que

V =1

3Ah

, donde A es el area de la base y h la altura.



Par de Torsion

El producto −→a ×−→b ×−→c se denomina triple producto vectorial de −→a ,

−→b

y −→c . Esta propiedad es de gran utilidad pues de ella se deriva la primeraley de movimiento de Kepler de movimiento planetario.



Definicion

Sea−→F una fuerza que actua sobre un cuerpo rıgido en un punto dado

por un vector posicion −→r .El par de torsion τ , relativo al origen, se define como el producto cruz de

los vectores fuerza y posicion como:

τ =−→F ×−→r

y mide la tendencia de un cuerpo al girar respecto al origen.



La direccion del par de torsion indica el eje de rotacion. Luego lamagnitud del vector par lineal de torsion es

| −→τ |=|−→F ×−→r |=| −→r ||

−→f | sen(θ)

donde θ es el angulo entre dichos vectores.



Ejemplo

Se aprieta un perno aplicando una fuerza de 40N a una llave de 0, 25mEncuentre la magnitud del par de torsion respecto al centro del perno si

el angulo formado por el vector fuerza y por el vector posicion es de 75◦.



Suplemento de ejercicios

Problema

1 ¿Para que valores de b son ortogonales los vectores 〈−6, b, 2〉 y〈b, b2, b〉.

2 Si −→r = 〈x , y , z〉, −→a = 〈a1, a2, a3〉 y−→b = 〈b1, b2, b3〉, demuestre que

la ecuacion vectorial

(−→r −−→a )(−→r −−→b ) = 0

representa una esfera, ademas determine su centro y su radio.

3 Suponga que los lados de un cuadrilatero son de igual longitud y los

lados opuestos paralelos entre ellos. Use metodos vectoriales para

demostrar que las diagonales son perpendiculares.



Suplemento de ejercicios II

Problema

1 Demuestre que si −→u +−→v y −→u −−→v son ortogonales, entonces los

vectores −→u y −→v deben tener la misma longitud.

2 Utilice el producto escalar triple para determinar si los puntos

3 Suponga que los lados de un cuadrilatero son de igual longitud y los

lados opuestos paralelos entre ellos. Use metodos vectoriales para

demostrar que las diagonales son perpendiculares.



Problema

1 Demostrar la desigualdad de Cauchy − Schwars:

| −→a .−→b |≤| −→a ||

−→b |.

Sugerencia utilice el teorema del angulo entre dos vectores.

2 Demuestre la desigualdad del triangulo | −→a +−→b |≤| −→a | + |

−→b |

3 Demuestre que

‖−→u +−→v ‖ = ‖−→u ‖+−→v ‖

si y solo si −→u = α−→v donde α > 0.



Problema

Un pedal de bicicleta es empujado por un pie con una fuerza de 60N. El

eje del pedal es de 18cm de largo. Encuentre la magnitud del par de

torsion respecto a P.


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