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FACULTAD DE CIENCIAS DE GRANADA

DEPARTAMENTO DE FISICA TEORICA Y DEL COSMOS

DIAGRAMAS DE PENROSE DE LAS

SOLUCIONES DE SCHWARZSCHILD (ANTI)-

DE SITTER

Trabajo de fin de master para la obtencion del master en Fısica yMatematicas (FisyMat).

Autor:

Jose Marıa Perez Poyatos

Tutor:

Bert Janssen

2

3

Muchas gracias a mis padres, por estar siempre ahı y soportar mis enfadoscuando no me salıan las cuentas. Gracias a ellos soy lo que soy a dıa de hoy, ya

que me han inculcado el trabajo y la constancia en todo lo que hago.

Muchas gracias a mi amigo Antonio Luis por la portada y por nuestroreencuentro en una misma clase despues de 4 anos de carrera. Juntos hemos

vuelto a revivir los momentos de 1o y 2o de bachillerato en los que nosdedicabamos a dibujar agujeros negros y hacer matematicas en las mesas durante

las clases de frances. Junto a el lo he pasado de una forma que de otra manerahubiese sido impensable.

“Ahora seremos felices los 4: tu, tu TFM, yo y el mio” (con mi amigo Sergiodurante la noche tras acabar los ejercicios de Joaquın.)

A Sergio, Patri y Juanfran, por haberme practicamente adoptado en su pisodurante los dos ultimos meses del master.

A mis companeros de piso y al resto de mis amigos de toda la vida, con los quetantas correrıas de adolescente he vivido, pero sobre todo a Nono, por

redescubrirme mi pasion por la fısica alla por 3o de la ESO.

Finalmente, gracias a mis profesores, sin los cuales jamas habrıa llegado tanlejos.

DECLARACIÓN

En cumplimiento de la normativa aprobada en Consejo de Gobierno de 4 de marzo de 2013, sobre Directrices de la Universidad de Granada para el desarrollo de la asignatura "Trabajo Fin de Máster" de sus títulos de máster (Art 8,4)

D.Dª .........................................................................................

Asume la originalidad del trabajo fin de máster, entendida en el sentido de que no ha utilizado fuentes sin citarlas debidamente.

Granada, a …… de ……………... de 201…

Fdo.:

Jose María Pérez Poyatos

30 Junio 7

Indice general

1. Preliminares 91.1. Convenios y definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. Relatividad General y ecuacion de campo de Einstein . . . . . . . . 141.3. Contenido de la ecuacion de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Transformaciones conformes y diagramas de Penrose 172.1. Transformaciones de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2. Construccion de las coordenadas de Kruskal . . . . . . . . . . . . . 202.3. Compactificacion conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4. Diagrama de Penrose del espacio de Minkowski . . . . . . . . . . . 28

3. Diagramas de Penrose de soluciones clasicas 313.1. El agujero negro de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2. El espacio de De Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3. El espacio de anti-De Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4. Diagramas de Penrose de las soluciones de Schwarzschild (anti)-De Sitter 474.1. La solucion de Schwarzschild De Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.1.1. Caso subextremal, R0 > 3√

3M . . . . . . . . . . . . . . . . 484.1.2. Caso sobreextremal R0 < 3

√3M . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.1.3. Caso extremal R0 = 3√

3M . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2. La solucion de Schwarzschild anti-De Sitter . . . . . . . . . . . . . . 60

A. Calculo del invariante de Kretschmann para una metrica esferi-camente simetrica y estatica 69

B. Calculo de la conexion de Levi-Civita para una metrica conforme 73

C. Breves comentarios acerca del universo estatico de Einstein 75

Bibliografıa 77

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6 INDICE GENERAL

Resumen

En este trabajo de fin de master nos proponemos estudiar mas en detalle la es-tructura causal de diferentes soluciones de la ecuacion de Einstein. El ano anterior,en el trabajo fin de grado para la obtencion del tıtulo de graduado en Fısica, es-tudiamos las soluciones clasicas de la ecuacion de Einstein, a saber: el espacio deMinkowski, el agujero negro de Schwarzschild y Reissner- Nordstrom, los espaciosde (anti)- De Sitter, y, una vez comprendidas estas en detalle, nos aventuramos aexplorar las soluciones de Schwarzschild De Sitter y Schwarzschild- anti- De Sittery estudiamos sus propiedades usando las coordenadas de Eddington-Finkelsteinavanzadas y retardadas. En este proyecto vamos a estudiar los diagramas de Pen-rose de estas soluciones, lo cual nos permitira estudiar sus propiedades asintoticasen el infinito.

La estructura del proyecto va a ser la siguiente: comenzaremos con una pequenaintroduccion donde fijaremos la notacion y algunos conceptos basicos sobre geo-metrıa diferencial para despues ir a la parte donde hablamos de las herramientasmatematicas en las que vamos a apoyarnos para dibujar nuestros diagramas dePenrose; tras ello, construiremos un metodo que no proviene de ninguna fuentebibliografica sino del trabajo propio para dar unas coordenadas globales en nues-tra variedad y, finalmente, dibujaremos las soluciones mas emblematicas de lasecuaciones de Einstein para culminar con los cuatro diagramas que dan nombre aeste proyecto.

Hay que destacar que, al ser un proyecto que se apoya en el del curso anterior, ha-remos muchas referencias a [1] y [2] para ver con mas cuidado tanto algunos de loscalculos que aquı se mencionan en grandes lıneas, debido a que tenemos un espa-cio acotado para escribir nuestro proyecto, como todas las figuras que presentamosacerca de las coordenadas de Eddington-FinkelsteinAun ası, se ha intentado queeste proyecto sea lo mas autocontenido posible intentando que el lector no tengaque consultar ninguna de esas dos principales fuentes bibliograficas en las que nosapoyamos a no ser que tenga curiosidad por ver de forma explıcita algunas de lasexpresiones que mencionamos.

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8 INDICE GENERAL

Por ultimo, mencionar que las figuras de las que no mencionamos su procedencia,han sido realizadas por el autor de este proyecto.

Capıtulo 1

Preliminares

1.1. Convenios y definiciones

En esta seccion vamos a introducir la notacion que vamos a utilizar a lo largo detodo este proyecto y a continuacion definiremos los conceptos basicos que vamosa utilizar en las siguientes secciones.

Convenio 1. En este proyecto usaremos el sistema de unidades naturales, en elcual, las constantes fundamentales de la naturaleza las tomamos igual a uno, estoes: c = ~ = G = 1. Para nosotros, las principales consecuencias derivadas de estaeleccion de unidades es que tiempo y espacio tienen las mismas dimensiones, aligual que masa y espacio.

Convenio 2. En lo subsiguiente, se utilizaran ındices latinos en las definicionesmatematicas siempre y cuando en estas no aparezca ninguna magnitud fısica, mien-tras que si interviene una magnitud fısica se usaran los ındices griegos.

Convenio 3. Como en la mayorıa de la literatura sobre Relatividad General,asumiremos el convenio de ındices repetidos o convenio de sumacion de Einstein,esto es, si hay un ındice arriba y otro abajo iguales, esto indica suma sobre todoslos valores posibles del ındice. Por ejemplo, los elementos de matriz del productode dos matrices se escribirıan en este convenio:

Cij =

∑k

AikBkj.= AikB

kj

Definicion 1. Principio de Covariancia Generalizado. Las leyes de la Fısica debentener la misma forma en todos los sistemas de referencia.

Esto es necesario, puesto que la fısica no debe depender del observador. Estadefinicion, nos obliga a trabajar en variedades y con objetos definidos sobre ellas,dado que estos transforman de forma adecuada ante cambios de coordenadas.

9

10 CAPITULO 1. PRELIMINARES

Definicion 2. Un espacio-tiempo es una terna (M, g, T ) donde M es una variedaddiferenciable, g es una metrica de Lorentz que tiene la propiedad de ser orientabletemporalmente y T es dicha orientacion temporal, generalmente tomada hacia elfuturo.

Los objetos que se pueden construir sobre una variedad que van a interesarnos,debido a que transforman bien ante cambios generales de coordenadas, son lostensores. De hecho ya en la definicion anterior nos ha aparecido uno, que es eltensor metrico.

Definicion 3. Un tensor r-contravariante y s-covariante sobre una variedad M esuna aplicacion multilineal T : TpM

r × TpM s → R, que ante cambios generales decoordenadas, esto es, un difeomorfismo yµ = yµ(xν) donde xν son las coordenadasantiguas e yµ son las nuevas, transforma como sigue

T i1i2...irj1j2...js(y) =∂yi1

∂xk1∂yi2

∂xk2...∂yir

∂xkr∂xl1

∂yj1∂xl2

∂yj2...∂xls

∂yjsT k1k2...krl1l2...ls(x). (1.1)

En este proyecto estamos interesados en un tipo concreto de tensor metrico, yaque trabajaremos con metricas esfericamente simetricas y estaticas.

Definicion 4. Una metrica se dice que es esfericamente simetrica si es invarianteante la accion del grupo SO(3) de rotaciones del espacio y estatica si verifica que∂tgij = 0, donde t es la coordenada temporal, y ademas posee la simetrıa t↔ −t.Si verifica esto, podremos escribirla de la forma

ds2 = A(r)dt2 − A−1(r)dr2 − r2dΩ22, (1.2)

lo cual se denomina Ansatz esfericamente simetrico y estatico. Aquı, el rango denuestras coordenadas es t ∈ (−∞,+∞), r ∈ (0,+∞), ϕ ∈ [0, 2π) y θ ∈ [0, π).

En nuestra variedad, necesitaremos derivar, dado que la velocidad y la aceleracionson magnitudes fısicas que se calculan como las derivadas de la posicion respectodel tiempo

Definicion 5. La conexion de Levi-Civita es una derivacion que actua sobre lostensores de la siguiente forma:

∇kTi1...ir

j1...js= ∂kT

i1...irj1...js

+ Γi1klTl...ir

j1...js+ ...+ ΓirklT

i1...lj1...js

− Γlkj1Ti1...ir

l...js− ...− ΓlkjsT

i1...irj1...l

,(1.3)

donde Γijk son los sımbolos de Christoffel que se definen a partir de la metrica

Γkij =1

2gkl(∂iglj + ∂jgil − ∂kgij). (1.4)

De esta expresion, se pueden deducir dos propiedades de la conexion de Levi-Civita,que la determinan de forma unica:

1.1. CONVENIOS Y DEFINICIONES 11

1. La conexion de Levi-Civita es simetrica, esto es

Γkij = Γkji. (1.5)

2. Paraleliza a la metrica:∇kgij = 0. (1.6)

Definicion 6. El operador derivada covariante, Ddτ

, de una magnitud a lo largo deuna curva xµ(τ) parametrizada por el arco por la variable τ , viene dada a travesde la expresion

D

dτ= uµ∇µ , (1.7)

donde ∇µ asumiremos que es la conexion de Levi-Civita y uµ = xµ es el vectortangente a la curva, que para nosotros sera la cuadrivelocidad, de ahı que hayamosusado ındices griegos en la definicion.

Como es conocido, la Relatividad General nos habla sobre la curvatura del espacio-tiempo, por lo tanto necesitaremos operadores que nos la describan.

Definicion 7. El tensor de Riemann, aparece de calcular la expresion

[∇i,∇j]Vk = −R k

ijl Vl. (1.8)

Esto nos dice, que al contrario de lo que sucedıa con las derivadas parciales or-dinarias, las derivadas covariantes no conmutan. Las coordenadas del tensor deRiemann se pueden calcular a traves de los sımbolos de Christoffel

R lijk = ∂iΓ

ljk − ∂jΓlik + ΓlisΓ

sjk − ΓljsΓ

sik. (1.9)

Este tensor contiene la informacion acerca de la curvatura encerrada en el cua-drilatero formado por las direcciones i y j.

Definicion 8. El tensor de Ricci es el tensor 2-covariante formado al contraer elsegundo ındice del tensor de Riemann con el cuarto:

Rij = R kikj . (1.10)

En funcion de los sımbolos de Christoffel, este tensor se puede expresar de la forma

Rij = ∂iΓkkj − ∂kΓkij + ΓkisΓ

skj − ΓkksΓ

sij, (1.11)

Definicion 9. Llamaremos escalar de Ricci a la traza del tensor de Ricci, esto es:

R = gijRij (1.12)


Definicion 10. Diremos que un espacio con una metrica lorentziana tiene cur-vatura constante, si el tensor de Riemann 4-covariante Rijkl se puede escribir enterminos de la metrica de la forma

Rijkl = C (gikgjl − gilgjk) = −R12

(gikgjl − gilgjk) (1.13)

Debemos tener cuidado con esta definicion, pues solo es valida para dimensioncuatro que son los espacios en los que estamos interesados. En general, la constantemultiplicativa es la siguiente:

C = − R

n (n− 1).

Donde n es el numero de dimensiones del espacio considerado. Ademas, C > 0 siel espacio tiene curvatura negativa y C < 0 para espacios con curvatura positiva.

Sobre una variedad podemos definir curvas.

Definicion 11. En geometrıa semi-riemanniana existen varios tipos de curvas, asaber:

1. Temporales, si verifican gµν xµxν = +1. Son las trayectorias de partıculas

masivas libres en el espacio-tiempo. Tambien se conocen como observadores.

2. Nulas, si verifican gµν xµxν = 0, ademas, estas curvas son las que siguen los

rayos luminosos o fotones.

3. Espaciales, si verifican gµν xµxν = −1. En este proyecto no trabajaremos con

ellas.

Definicion 12. Diremos que una curva xµ(τ) es una geodesica en una variedad siesta curva verifica la ecuacion

Dxµ

dτ= uν∇νu

µ = xµ + Γµνρxν xρ = 0, (1.14)

es decir, minimiza la distancia entre los puntos. Ademas, debemos indicar si lacurva es temporal, espacial o nula haciendo uso de la Definicion 11.

Para estudiar la estructura causal de nuestras soluciones, las representaremospictoricamente en lo que se conoce como diagrama de conos de luz.

Definicion 13. Un diagrama de conos de luz es un diagrama en el cual dibujamoslas geodesicas radiales nulas entrantes y salientes y, donde intersecten, dibujamoslas rectas tangentes nulas orientadas hacia el futuro, recordando que el cono es la

1.1. CONVENIOS Y DEFINICIONES 13

region comprendida entre lınea tangente nula a la geodesica nula entrante que debequedar a la izquierda de la lınea tangente nula a la geodesica nula saliente. Estediagrama nos servira para interpretar la estructura causal de nuestras soluciones,dado que un observador esta obligado a moverse dentro de su cono de luz indepen-dientemente de la trayectoria que siga por el espacio-tiempo. Esto es debido a laexistencia de una velocidad lımite, que es la de la luz, que es una de las principalesconsecuencias de la Relatividad Especial.

Como ejemplo para clarificar la definicion usaremos el diagrama de conos de luz dela solucion de Schwarschild. Como vemos en la Figura 1.1, el cono de luz siemprees la region delimitada por la recta tangente a la curva entrante y la saliente yorientado hacia el futuro Los conos de luz se van cerrando conforme nos acercamosa la region r = 2M , hasta estar completamente degenerados en ella. En seccionessiguientes explicaremos lo que sucede en la region r 6 2M1.

Figura 1.1: Diagrama de conos de luz del agujero negro de Schwarzschild. En rojodibujamos la forma de las geodesicas radiales nulas entrantes y en azul las salientes.Imagen tomada de [2] por cortesıa de Bert Janssen.

En el caso anterior, vemos que las geodesicas radiales nulas degeneran en un lugardel espacio, esto es, geodesicas nulas entrantes y salientes pierden su independencialineal. Esto ocurre cuando hay una singularidad de coordenadas. Esto nos lleva ala definicion de singularidad.

Definicion 14. Una singularidad es un punto del espacio tiempo en el que la

1Hacemos referencia a este diagrama para que visualmente se aprecie la distinta casuısticaque se puede presentar.


metrica se hace degenerada, esto es, una o varias de sus componentes se anulan y|g| = 0. Segun su tipo, tenemos dos tipos de singularidades:

1. Singularidades de coordenadas: son aquellas que desaparecen o se trasladan aotro punto del espacio-tiempo, que previamente era regular, al hacer un cam-bio de coordenadas. El ejemplo mas mundano de este caso es la singularidaden r = 0 en coordenadas polares en R2, cuando sabemos que en ese puntono hay nada diferente al resto. Un simple cambio a coordenadas cartesianasnos revela que ese punto es perfectamente regular.

2. Singularidades fısicas: son aquellas que no desaparecen con un cambio decoordenadas y existe algun invariante de curvatura (escalar formado porcontraccion de los tensores de curvatura), que diverge en ese punto.

Definicion 15. En nuestro proyecto, debido al tipo de Ansatz que tenemos paranuestras metricas, tendremos una singularidad de coordenadas en la hipersuper-ficie r = r0 cuando A(r0) = 0. Para remover dicha singularidad, empleamos lascoordenadas de Eddington-Finkelstein avanzadas y retardadas que se construyende la siguiente forma

t′ = t+

ˆA−1(r)dr − r (1.15)

para las avanzadas, dejando nuestra metrica del estilo

ds2 = A(r)dt′2 − [2− A(r)] dr2 + 2 [A(r)− 1] dt′dr − r2dΩ22 (1.16)

y

t = t−ˆA−1(r)dr + r (1.17)

para las retardadas, que nos dejan la metrica

ds2 = A(r)dt2 − [2− A(r)] dr2 − 2 [A(r)− 1] dtdr − r2dΩ22. (1.18)

1.2. Relatividad General y ecuacion de campo

de Einstein

La Relatividad General surgio como un intento de unificacion de la RelatividadEspecial con la teorıa de la Gravitacion Universal de Newton. La Relatividad Es-pecial nos ensenaba que materia y energıa eran intercambiables y que existıa unavelocidad lımite en la naturaleza: la velocidad de la luz. Ademas, nos decıa que lasleyes de la fısica eran invariantes ante cambios de coordenadas, en este caso, entre

1.3. CONTENIDO DE LA ECUACION DE EINSTEIN 15

sistemas de referencia inerciales. En cambio, la ley de la Gravitacion Universalpredecıa la existencia de una accion a distancia cuya velocidad de propagacionera infinita. Esto quiere decir, por ejemplo, que si el Sol en este mismo instantedesapareciese, la Tierra y el resto de planetas del Sistema Solar, dejarıan de se-guir una orbita elıptica de forma inmediata saliendose, por tanto, en la direcciontangente a su trayectoria en ese instante para seguir una lınea recta para siemprepues, recordemos que segun la primera ley de Newton, ”todo cuerpo permaneceraen su estado de reposo o movimiento rectilıneo uniforme si no actua ninguna fuer-za externa sobre el”. Ambas teorıas estan, por tanto, en clara contradiccion. Parasolucionar este problema y aplicar el Principio de Covariancia Generalizado 1, queextiende al principio de Relatividad Especial, Einstein estuvo trabajando 10 anoshasta obtener la solucion correcta de este problema, que pasaba por identificar a lagravedad con la curvatura del espacio-tiempo. Esto queda reflejado en su famosaecuacion de campo

Rµν −1

2Rgµν + Λgµν = −κTµν , (1.19)

ecuacion que pasamos a describir en la siguiente seccion.

1.3. Contenido de la ecuacion de Einstein

En esta seccion, vamos a describir el contenido y significado de la ecuacion de Eins-tein. La ecuacion 1.19, es una ecuacion tensorial en forma matricial, esto es, hemoselegido una carta en la variedad y hemos evaluado sobre campos basicos (es decir,hemos expresado en coordenadas) la expresion que los matematicos escribirıan deforma global de la forma:

Ric− 1

2Rg + Λg = −κT.

Dado que los tensores transforman bien ante cambios de coordenadas generales es-ta ley de la fısica se expresa de la misma forma en todos los sistemas de referenciade acuerdo al Principio de Covariancia Generalizado 1., algo que deseabamos, yaque la fısica no depende del observador.

A continuacion, vamos a describir los principales operadores que intervienen endicha ecuacion:

1. Rµν es el tensor de Ricci y mide la curvatura del espacio-tiempo.

2. gµν es la metrica, mide distancias en el espacio-tiempo.


3. R o S (atendiendo a la literatura fısica se simboliza con R y atendiendo a laliteratura matematica es S), es el escalar de Ricci, esto es, la contraccion dela metrica con el tensor de Ricci, R = gµνRµν

4. Tµν es el tensor de energıa-impulso y mide el contenido de materia y energıaen el espacio tiempo. De acuerdo con la ley de la Gravitacion Universal,aquı se tiene en cuenta la distribucion de materia en nuestra variedad pero,ademas, como energıa y materia son dos caras de la misma moneda, deacuerdo a la Relatividad Especial, tambien tenemos en cuenta la distribucionde energıa, ya que ahora ambas son fuente de campo gravitatorio.

5. Λ es la constante cosmologica y fısicamente se interpreta como una densidadde energıa del vacıo.

En esta ecuacion, Tµν es conocido mientras que gµν es la incognita que hay queencontrar.

La ecuacion de Einstein es en realidad un sistema de ecuaciones no lineales acopla-das en derivadas parciales de segundo orden para las componentes de la metrica,lo cual hace que sea imposible obtener una solucion general. Desde el punto devista fısico, el hecho de que las ecuaciones que aparecen sean de segundo orden enla metrica es lo que deseamos, para poder imponer dos condiciones de contorno.Ademas, queremos recuperar la ecuacion de Poisson

∇2φ = 4πρ (1.20)

para el potencial gravitatorio, pudiendo calcular la constante κ que aparecen en laecuacion de Einstein, obteniendo κ = 8π en unidades naturales.

Queda claro pues, que la ecuacion de Einstein relaciona la curvatura del espacio-tiempo con el contenido de materia y energıa del mismo, lo cual justifica la frase ”lamateria le dice al espacio como curvarse y el espacio a la materia como moverse”.

Capıtulo 2

Transformaciones conformes ydiagramas de Penrose

Comenzamos este capıtulo definiendo lo que es un diagrama de Penrose.

Definicion 16. Sea una solucion de las ecuaciones de Einstein y sea un conjunto decoordenadas que nos cubra la variedad (atlas). Entonces, su diagrama de Penrosees la representacion pictorica de dicha solucion en una region finita del plano. Paraello es necesario que la solucion estudiada sea esfericamente simetrica para poderomitir las coordenadas angulares o bien representar en el una zona de coordenadasangulares concretas.

Sabemos que el rango de nuestras coordenadas temporal y espacial de partida noesta acotado, es por lo tanto necesario hacer lo que se conoce como transforma-cion conforme o transformacion de Weyl. De esta forma podremos compactificarnuestras coordenadas y que se muevan en un rango finito. Estas transformacionesnos van a dejar invariante la metrica modulo un factor de escala que luego elimi-naremos trabajando pues, con la metrica conforme. A continuacion veremos quepropiedades tienen las metricas relacionadas de esta forma.

Otro de los objetivos que perseguimos en este capıtulo, es que dicho cambio decoordenadas haga que los conos de de luz de nuestras soluciones sean como en elespacio de Minkowski y formen 45 grados con los ejes coordenados en todo puntodel espacio. Ademas, queremos que el caracter de nuestras coordenadas no cambieen toda la variedad y permanezcan siendo temporales o espaciales en todo punto.

La estructura de este capıtulo sera, por tanto, ver primero que propiedades tie-nen las metricas relacionadas a traves de una transformacion conforme o de Weyl,para pasar a construir unas coordenadas globales que nos remuevan las singulari-dades de coordenadas que presentan nuestras soluciones y, tras ello, compactificar

17

18 CAPITULO 2. TRANSFORMACIONES CONFORMES Y DIAGRAMAS

nuestras coordenadas realizando la transformacion de Weyl que nos llevara nues-tras coordenadas a un intervalo finito. Finalmente, como ejemplo, construiremosel diagrama de Penrose del espacio de Minkowski en el cual definiremos los con-ceptos necesarios para la elaboracion del resto de los diagramas que realizaremosa lo largo de los siguientes capıtulos de este proyecto.

2.1. Transformaciones de Weyl

Comenzaremos esta seccion del proyecto definiendo las herramientas matematicasque necesitaremos estudiar para poder entender los resultados obtenidos este anoacerca de las soluciones de Schwarzschild De Sitter y Schwarzschild anti-De Sitter.

Definicion 17. Dada una metrica N -dimensional arbitraria gij (x), se dice que esconforme a otra metrica gij (x), si y solamente si, existe una funcion escalar de lascoordenadas xµ, Ω (x) ∈ C∞ (M) verificandose

gij (x) = e2Ω(x)gij (x) . (2.1)

Las metricas relacionadas mediante una transformacion conforme son fısicamentediferentes, puesto que una transformacion de este tipo cambia la norma de losvectores definidos sobre TpM (aunque los angulos se preservan, hecho clave paranosotros), suponiendo que el vector mismo no cambie con dicha transformacion,de la forma

||V ||2 = gijViV j = e2ΩgijV

iV j = e2Ω||V ||2. (2.2)

Aunque hay que apreciar un factor importante, y es el hecho de que el factor deescala es positivo y por ende se preserva el caracter causal de los vectores 11.

A continuacion demostremos que las geodesicas nulas se preservan bajo una trans-formacion de Weyl:

Demostracion. Por un lado, sabemos de la Definicion 12, que una geodesica parala metrica gµν = verificara

d2xµ

dσ2+ Γµνρ

dxν

dσ

dxρ

dσ= 0, 1 (2.3)

junto con la condicion de que sea nula

gµνdxµ

dσ

dxν

dσ= 0. (2.4)

1La curva esta parametrizada respecto de σ debido al hecho de que no es una curva temporaly no tiene sentido hablar de tiempo propio τ .

2.1. TRANSFORMACIONES DE WEYL 19

Haciendo uso del Apendice B, y sustituyendo en 2.3, se llega facilmente a

d2xµ

dσ2+ Γµνρ

dxν

dσ

dxρ

dσ+ 2

dΩ

dσ

dxµ

dσ− e−2Ω∂µΩgνρ

dxν

dσ

dxρ

dσ= 0. (2.5)

El ultimo sumando es nulo por la Ecuacion 2.4, por lo que tenemos

d2xµ

dσ2+ Γµνρ

dxν

dσ

dxρ

dσ+ 2

dΩ

dσ

dxµ

dσ= 0. (2.6)

A continuacion, reparametrizamos la curva respecto de un nuevo parametro σ (σ)y aplicamos la regla de la cadena para obtener

d2xµ

dσ2

(dσ

dσ

)2

+dxµ

dσ

d2σ

dσ2+ Γµνρ

dxν

dσ

dxρ

dσ

(dσ

dσ

)2

+ 2dΩ

dσ

dxµ

dσ

(dσ

dσ

)2

= 0 (2.7)

Si queremos que las geodesicas nulas de la metrica gµν sean geodesicas nulas tam-bien para la metrica gµν , debe verificarse

d2σ

dσ2+ 2

dΩ

dσ

(dσ

dσ

)2

=d2σ

dσ2+ 2

dΩ

dσ

dσ

dσ= 0 (2.8)

donde en el ultimo paso hemos usado la regla de la cadena. Esta ecuacion admiteun factor integrante del tipo e2Ω(σ) que nos permite escribirla

d

dσ

(e2Ω(σ)dσ

dσ

)= 0, (2.9)

que integrando y tomando la constante de integracion igual a uno, nos dice que larelacion entre σ y σ es

σ =

ˆe−2Ω(σ)dσ. (2.10)

Eligiendo σ de esa forma, tendremos que las geodesicas nulas de una metrica sonlas mismas que las de su metrica conforme puesto que sabemos que se verifica laEcuacion 2.2.

Entonces, podemos estudiar la estructura causal inducida por la metrica conformeen lugar de la inducida por la metrica original, ya que sabemos que para estudiaruna estructura causal solo necesitamos su diagrama de conos de luz. Pero hayque tener en cuenta un hecho: debemos tener en cuenta el rango de validez de lascoordenadas nuevas, que es lo que va a distinguir la estructura causal de una y deotra. Dicho en otras palabras, ademas de tener una ecuacion tipo la que apareceen la Definicion 17 que relacione ambas metricas, tendremos a su vez restriccionessobre las coordenadas, lo que nos distingue la estructura causal de una metrica


y la de su metrica conforme. Como ejemplo, podemos destacar que el espacio deMinkowski sera conforme al universo estatico de Einstein (ver Apendice C) comoveremos mas hacia delante, pero las coordenadas a las que llegaremos cumplen lascondiciones

−π < t− r < π, −π < t+ r < π, r > 0.

Ademas, el hecho de que sean fısicamente diferentes tambien influira en que lasgeodesicas que no sean nulas no se preservaran, como hemos dicho anteriormente,dado que es un hecho clave de la demostracion que se verifique gµν x

µxν = 0.

Como aclaracion, nosotros no estaremos interesados en estudiar el rango de validezde las coordenadas que distinguira a una metrica de su metrica conforme, sinosolamente ver a que metrica (en caso de que podamos calcularla) es conforme lametrica que estemos estudiando.

2.2. Construccion de las coordenadas de Kruskal

Un diagrama de Penrose no es mas que la representacion en un espacio finito detoda la solucion de las ecuaciones de Einstein considerada. Es por lo tanto clave, laobtencion de unas coordenadas que cubran la variedad completa, ya que sabemosque nuestras metricas degeneran en varios puntos y mas alla de esos lugares lascoordenadas empleadas no son fiables. Por lo tanto, en esta seccion construiremosunas coordenadas que haran que la metrica sea regular en todos los puntos, care-ciendo por ende de singularidades de coordenadas, para ello tendremos que ver elcomportamiento de la metrica en un entorno de las singularidades y absorberlasdentro de las coordenadas2.

Sea la metrica esfericamente simetrica y estatica siguiente

ds2 = A (r) dt2 − A−1 (r) dr2 − r2dΩ22, (2.11)

donde la funcion A (r) posee una raız simple en r = r0, pudiendose escribir de laforma

A (r) =

(1− r

r0

)F (r) , (2.12)

con F (r) una funcion perfectamente regular en r = r0. Consideremos ahora elcambio de coordenadas al que le vamos a exigir que nos lleve la metrica a una formaen la que solo haya terminos cruzados, haciendo que al final tengamos una misma

2Recordemos que el cambio de unas coordenadas que no son regulares en un punto de lavariedad a otras que sı lo son, diverge en algun punto.

2.2. CONSTRUCCION DE LAS COORDENADAS DE KRUSKAL 21

funcion multiplicativa para las partes temporal y radial en las nuevas coordenadasy que los conos de luz formen en todo punto 45o con los ejes

t = t(u, v)

r = r(u, v), (2.13)

donde u y v son nuestras coordenadas. Este cambio de coordenadas supondremosque es, al menos, C2. En todo lo que resta, aprovechando la simetrıa esferica quetenemos en nuestro Ansatz, omitiremos las componentes angulares de la metricaya que nos bastara mirar el plano t − r para conocer la estructura causal de lasolucion. Teniendo esto en cuenta, la metrica nos queda de la forma

ds2 = 4A (r)∂t

∂u

∂t

∂vdudv, (2.14)

junto con las condiciones ∂r

∂u= −A (r)

∂t

∂u

∂r

∂v= A (r)

∂t

∂v

, (2.15)

que nos dan las relaciones para que la metrica quede de la forma 2.14. Este cambiode coordenadas no serıa tal, sino se satisface la regla de Schwarz3 para las derivadascruzadas

∂2r

∂u∂v=

∂2r

∂v∂u

que insertando 2.15 y suponiendo que se verifica la regla de Schwarz para t noslleva a la conclusion de que t debe de verificar ademas

∂2t

∂u∂v= 0,

y que por tanto, la dependencia de t en u y v desacopla en sumandos

t = f(u) + g(v). (2.16)

De la Ecuacion 2.15, podemos a su vez despejar y escribir r en terminos de u y vˆA−1(r)dr = g(v)− f(u). (2.17)

3Una funcion f : R2 → R verifica la regla de Schwarz para las derivadas parciales cruzadas sies, al menos, C2. Como queremos que nuestro cambio de coordenadas sea, al menos, C2, debemosimponer que se cumpla, aunque esto en principio no nos asegure que lo sea. Recordemos que estacondicion es necesaria pero no suficiente.


Lo que hacemos ahora es despejar f(u) y g(v) en terminos de las coordenadasiniciales t y r

g(v) =1

2

(t+Á−1(r)dr

)f(u) =

1

2

(t−Á−1(r)dr

) , (2.18)

Para encontrar la forma explıcita de las funciones incognita de 2.18, vamos a verlo que ocurre en el lımite r → r0 teniendo en cuenta la Ecuacion 2.12

g(v) =1

2t+

1

2

´ (1− r

r0

)−1

F−1(r0)dr ≈ 1

2t− 1

2r0F

−1(r0) log

∣∣∣∣1− r

r0

∣∣∣∣f(u) =

1

2t− 1

2

´ (1− r

r0

)−1

F−1(r0)dr ≈ 1

2t+

1

2r0F

−1(r0) log

∣∣∣∣1− r

r0

∣∣∣∣,

(2.19)

donde podemos despejar el termino

∣∣∣∣1− r

r0

∣∣∣∣ en terminos de u y v de una forma

en que factorice la dependencia en ambas variables∣∣∣∣1− r

r0

∣∣∣∣ = eF (r0)r0

(f(u)−g(v)). (2.20)

Todo lo que hagamos a continuacion dependera de la zona de la variedad en la quenos situemos.

Zona r < r0

En esta zona en lımite en el que r → r0, y sustituyendo en la metrica 2.14 tenemos

ds2 ≈ 4eF (r0)r0

(f(u)−g(v))F (r0)f ′(u)g′(v)dudv. (2.21)

Para eliminar la singularidad, debemos hacer que se verifiquen las ecuacionesg′(v) = e

F (r0)r0

g(v) → g(v) = −r0F−1(r0) log

(−vr0

F (r0)

)

f ′(u) = e−F (r0)

r0f(u) → f(u) = r0F

−1(r0) log

(u

r0

F (r0)

) . (2.22)

Con lo cual, nuestras variables u y v en funcion de las iniciales t y r sonv = −r0F

−1(r0)e−F (r0)

2r0(t+Á−1(r)dr)

u = r0F−1(r0)e

F (r0)2r0

(t−Á−1(r)dr)

. (2.23)


Con esta eleccion para las funciones u y v nos queda

4A(r)f ′(u)g′(v) = −4A(r)r2

0

F 2(r0)uv= 4A(r)e

F (r0)r0

Á−1(r)dr

, (2.24)

haciendo que este termino tenga el mismo signo de A(r). Teniendo en cuenta quequeremos que nuestra metrica sea diagonal y que el caracter de nuestras nuevasvariables sea el mismo en toda la variedad, definimos unas nuevas variables T yR, de forma que T sea temporal y R espacial. Esto se hace de la forma

T = 12(u+ v) = r0F

−1(r0)e−F (r0)

2r0

Á−1(r)dr

sinh(F (r0)2r0

)R = ±1

2(v − u) = ±r0F

−1(r0)e−F (r0)

2r0

Á−1(r)dr

cosh(F (r0)2r0

) , (2.25)

verificandose

T 2 −R2 = −r20F−2(r0)e

−F (r0)r0

Á−1(r)dr

, (2.26)

si A(r) es positiva en esta zona oT = ±1

2(v − u) = ±r0F

−1(r0)e−F (r0)

2r0

Á−1(r)dr

cosh(F (r0)2r0

)R = 1

2(v + u) = r0F

−1(r0)e−F (r0)

2r0

Á−1(r)dr

sinh(F (r0)2r0

) , (2.27)

verificandose

T 2 −R2 = r20F−2(r0)e

−F (r0)r0

Á−1(r)dr

, (2.28)

en el caso en que A(r) sea negativa. Operando, obtenemos que la forma de lametrica en ambos casos es la misma

ds2 =4A(r)r2

0F−2(r0)

R2 − T 2(dT 2 − dR2). (2.29)

Como vemos, hemos podido introducir un signo ”±”debido a la simetrıa que pre-senta la forma de la metrica con estas coordenadas. Lo que hacemos con ello, esdescubrir una nueva region de la variedad que no podıamos ver con las coordenadasde Eddington-Finkelstein, empleadas el curso anterior en [1].

Zona r > r0

En esta zona en lımite en el que r → r0, y sustituyendo en la metrica 2.14 tenemos

ds2 ≈ −4eF (r0)r0

(f(u)−g(v))F (r0)f ′(u)g′(v)dudv. (2.30)


Para eliminar la singularidad, debemos hacer que se verifiquen, en este caso, lasecuaciones

g′(v) = −eF (r0)r0

g(v) → g(v) = −r0F−1(r0) log

(v

r0

F (r0)

)

f ′(u) = e−F (r0)

r0f(u) → f(u) = r0F

−1(r0) log

(u

r0

F (r0)

) . (2.31)

Con lo cual, nuestras variables u y v en funcion de las iniciales t y r sonv = r0F

−1(r0)e−F (r0)

2r0(t+Á−1(r)dr)

u = r0F−1(r0)e

F (r0)2r0

(t−Á−1(r)dr)

. (2.32)

Con esta eleccion para las funciones u y v nos queda

4A(r)f ′(u)g′(v) = −4A(r)r2

0

F 2(r0)uv= −4A(r)e

F (r0)r0

Á−1(r)dr

, (2.33)

haciendo que este termino tenga el signo contrario de A(r). Por los mismos mo-tivos que antes, y teniendo en cuenta el signo negativo que aparece en este casomultiplicando a la metrica, tenemos que construir las coordenadas T y R de laforma

T = ±12(v + u) = ±r0F

−1(r0)e−F (r0)

2r0

Á−1(r)dr

cosh(F (r0)2r0

)R = 1

2(u− v) = r0F

−1(r0)e−F (r0)

2r0

Á−1(r)dr

sinh(F (r0)2r0

) , (2.34)

verificandose

T 2 −R2 = r20F−2(r0)e

−F (r0)r0

Á−1(r)dr

, (2.35)

en el caso en que A(r) sea negativa en esta zona oT = 1

2(u− v) = r0F

−1(r0)e−F (r0)

2r0

Á−1(r)dr

sinh(F (r0)2r0

)R = ±1

2(v + u) = ±r0F

−1(r0)e−F (r0)

2r0

Á−1(r)dr

cosh(F (r0)2r0

) , (2.36)

verificandose

T 2 −R2 = −r20F−2(r0)e

−F (r0)r0

Á−1(r)dr

, (2.37)


en el caso en que A(r) sea positiva en esta zona. Operando de nuevo, la forma dela metrica en ambos casos es

ds2 =4A(r)r2

0F−2(r0)

R2 − T 2(dT 2 − dR2). (2.38)

Cambio de coordenadas que, al igual que antes, nos descubre una nueva region dela variedad, debido a la simetrıa que presenta la metrica en estas coordenadas, yaque nos permite anadir un signo ± en el cambio de coordenadas.

Si nos fijamos, el cambio de coordenadas solo depende del signo que adopte lafuncion A(r) en cada una de las zonas, a pesar de que en el analisis hemos tenido

que tener en cuenta el signo de∣∣∣1− r

r0

∣∣∣, por lo tanto, el resultado al que hemos

llegado es

Zona A(r) > 0

T = r0F

−1(r0)e−F (r0)

2r0

Á−1(r)dr

sinh(F (r0)2r0

)R = ±r0F

−1(r0)e−F (r0)

2r0

Á−1(r)dr

cosh(F (r0)2r0

)

Zona A(r) < 0

T = ±r0F

−1(r0)e−F (r0)

2r0

Á−1(r)dr

cosh(F (r0)2r0

)R = r0F

−1(r0)e−F (r0)

2r0

Á−1(r)dr

sinh(F (r0)2r0

). (2.39)

Como vemos la forma de la metrica en 2.29 y 2.38 es la misma y eso es justolo que deseamos. Ademas, la coordenada T es temporal en toda la variedad y lacoordenada R es espacial. Otra cualidad que presentan estas coordenadas, es quelos conos de luz van a formar 45o con los ejes independientemente del punto de lavariedad considerado, debido a que la funcion multiplicativa a la parte temporaly radial es ahora la misma. Ademas, queda patente una nueva simetrıa que noposeıamos al principio: sabıamos que por ser la metrica estatica, debıa tener lasimetrıa t↔ −t, pero ahora vemos que, ademas de presentar la simetrıa T ↔ −T ,tenemos una nueva simetrıa R ↔ −R que no tenıamos al principio. Con estascoordenadas tendremos una facil interpretacion de la estructura causal de nuestroespacio-tiempo.

Con este metodo construiremos la mayor parte de los diagrama de Penrose quepresentamos en este proyecto, para el caso en que A(r) sea de la forma 2.12, esdecir, el caso en que el cero de la funcion A(r) sea de orden uno. Podemos extender


facilmente este procedimiento en el caso en que la metrica tenga mas singularidadesde este tipo, para ello aplicamos estos pasos en cada una de las regiones teniendoen cuenta que singularidad queremos eliminar y el signo de A(r) en esa zona yaque, como vemos, con un cambio de coordenadas de este tipo solo cubrimos ununico horizonte de todos lo que pueda presentar nuestra solucion.

2.3. Compactificacion conforme

Hagamos un resumen de lo que hemos conseguido hasta ahora: hemos encontradoun metodo general para construir unas coordenadas globales que nos cubren lavariedad completa, tienen el mismo caracter en todo punto de la variedad y quenos remueven la singularidad de coordenadas en r = r0, por lo que nuestra metricaya no es degenerada en ningun punto, ademas, los conos de luz en estas coordena-das forman un angulo de 45o con los ejes coordenados. Lo que ahora deseamos esconstruir unas nuevas coordenadas que cumplan estos mismos requisitos pero quese muevan en un rango finito para poder dibujar nuestro diagrama de Penrose,esto es lo que denominamos compactificacion conforme. El procedimiento es, portanto, usar una funcion cuyo dominio sea R, su imagen sea un conjunto acotadoy que sea biyectiva. Una funcion que verifique estos requisitos es, por ejemplo, lafuncion arcotangente, que sera la que usaremos de aquı en adelante.

Al igual que antes, el cambio de coordenadas que debemos realizar, dependerade en que zona de la variedad nos encontremos, por lo que volvemos a dividir elcambio de coordenadas en dos zonas.

Zona en la que A(r) > 0

Es facil comprobar, que el cambio adecuado en esta zona viene dado port = arctan

(T+R

r0F−1(r0)

)+ arctan

(T−R

r0F−1(r0)

)r = arctan

(T+R

r0F−1(r0)

)− arctan

(T−R

r0F−1(r0)

) , (2.40)

que en funcion de las antiguas variables t y r queda comot = arctan

(±e

1r0F−1(r0)

(±t+Á−1(r)dr)

)+ arctan

(∓e

1r0F−1(r0)

(∓t+Á−1(r)dr)

)r = arctan

(±e

1r0F−1(r0)

(±t+Á−1(r)dr)

)− arctan

(∓e

1r0F−1(r0)

(∓t+Á−1(r)dr)

) ,

(2.41)

2.3. COMPACTIFICACION CONFORME 27

dejando la metrica de la forma

ds2 = 4A(r)r2

0F−2(r0)

sin2(r)− sin2(t)(dt2 − dr2) (2.42)

Zona en la que A(r) < 0

En esta zona, el cambio de coordenadas est = arctan

(T+R

r0F−1(r0)

)+ arctan

(T−R

r0F−1(r0)

)r = arctan

(T+R

r0F−1(r0)

)− arctan

(T−R

r0F−1(r0)

) , (2.43)

que en funcion de las antiguas variables t y r queda comot = arctan

(±e

1r0F−1(r0)

(±t+Á−1(r)dr)

)+ arctan

(±e

1r0F−1(r0)

(∓t+Á−1(r)dr)

)r = arctan

(±e

1r0F−1(r0)

(±t+Á−1(r)dr)

)− arctan

(±e

1r0F−1(r0)

(∓t+Á−1(r)dr)

) ,

(2.44)dejando la metrica de la forma

ds2 = 4A(r)r2

0F−2(r0)

sin2(r)− sin2(t)(dt2 − dr2), (2.45)

al igual que en el caso anterior.

Como vemos, preservamos las principales propiedades que deseamos: una metricadiagonal, que mantiene el caracter temporal y espacial de las variables t y r, lassimetrıas t ↔ −t y r ↔ −r y, ademas, sus conos de luz van a formar 45o conlos ejes coordenados debido al hecho de que las componentes temporal y espacialde dicha metrica son las mismas. Ademas, con esta compactificacion que hemosrealizado, tenemos el rango de nuestras coordenadas en un intervalo finito, por loque podemos dibujar nuestra solucion en un diagrama compacto, que sera nuestrodiagrama de Penrose.

Finalmente mencionar, que en la mayorıa de los casos, la coordenada inicial rvendra definida implıcitamente en funcion de t y r y por ende no podremos des-pejarla. Es por ello que omitimos la dependencia angular de la metrica ademas depor la simetrıa esferica que posee.


2.4. Diagrama de Penrose del espacio de Min-

kowski

El espacio de Minkowski es el mas sencillo que se puede estudiar, ya que modelaun espacio plano, homogeneo e isotropo. Esto nos dice que todos los observado-res inerciales seran equivalentes puesto que no hay ningun punto privilegiado ennuestra variedad. Para comenzar, presentamos la metrica de este espacio. Dichametrica se obtiene de las ecuaciones de Einstein en el vacıo con una constantecosmologica nula, y tiene el siguiente aspecto en el Ansatz esfericamente simetricoy estatico

ds2 = dt2 − dr2 − r2dΩ22. (2.46)

Para comprobar que este espacio es efectivamente plano, calculamos el tensor deRiemann previo calculo de los sımbolos de Cristoffel y vemos que podemos expre-sarlo de la forma 10

Rµνρλ = 0,

donde, obviamente, la constante C es nula.

Dado que esta solucion es la mas sencilla que podemos encontrarnos, vamos aaprovecharlo para definir sobre ella los conceptos que necesitaremos a la hora dedibujar nuestro diagrama de Penrose, previa definicion de las coordenadas quevamos a emplear, ya que no usaremos nuestro metodo para dibujar el diagrama dePenrose. Esto es debido a que nuestras coordenadas iniciales t y r sı nos cubrenpor completo la variedad ya que, como vemos en 2.46, el espacio de Minkowski nopresenta ninguna singularidad en la metrica (salvo la de coordenadas en r = 0,que no representa nada fısico, de hecho, un cambio a coordenadas cartesianas laelimina). En este caso, el cambio de coordenadas, atendiendo a 2.40, viene dadopor

t = arctan(t+rr0

)+ arctan

(t−rr0

)r = arctan

(t+rr0

)− arctan

(t−rr0

) . (2.47)

donde r0 es una distancia de referencia para hacernos los argumentos de las fun-ciones adimensionales Este cambio de coordenadas, nos lleva la metrica 2.46 a laforma

ds2 =r2

0

4 cos2(t+r

2

)cos2

(t+r

2

)(dt2 − dr2 − sin2 r dΩ22)

2.4. DIAGRAMA DE PENROSE DEL ESPACIO DE MINKOWSKI 29

que es conforme al universo estatico de Einstein (ver [2] y Apendice C).

Una vez definidas las coordenadas, pasamos a definir los siguientes conceptos:

1. Origen de coordenadas, r = 0.

2. Infinito temporal futuro, i+, es la proyeccion de todos los puntos a una dis-tancia finita del origen en el lımite t→ +∞.

3. Infinito temporal pasado, i−, es la proyeccion de todos los puntos a unadistancia finita del origen en el lımite t→ −∞.

4. Infinito espacial, i0, es la proyeccion de todos los puntos a una distanciatemporal finita en el lımite r →∞.

5. Infinito nulo futuro, J +, es el conjunto de puntos en el lımite t → +∞ yr →∞.

5. Infinito nulo futuro, J −, es el conjunto de puntos en el lımite t → −∞ yr →∞.

Figura 2.1: Diagrama de Penrose del espacio de Minkowski. Todos los puntos deldiagrama representan 2-esferas salvo la singularidad de coordenadas r = 0. Lasgeodesicas no mueren en r = 0, sino que rebotan, debido al hecho de que la coor-denada radial se mueve en el intervalo r ∈ (0,+∞).y r = 0 no representa nada fısico.

Calculando las ecuaciones parametricas de estos elementos a partir de 2.47, lle-gamos al diagrama de Penrose del espacio de Minkowski 2.1. Con este diagrama,


podemos interpretar facilmente la estructura causal de nuestra solucion. En estediagrama las geodesicas radiales nulas son rectas que forman un angulo de 45o conlos ejes coordenados (de hecho uno de los propositos todo el trabajo que hemoshecho hasta ahora es que esto se verifique) y van desde infinito nulo pasado J −al infinito nulo futuro J + previo rebote en r = 0. Esto se debe al hecho de quela coordenada radial r solo toma valores positivos y hemos suprimido las coor-denadas angulares para poder dibujar el diagrama. De hecho, todos los puntosde este diagrama son esferas excepto r = 0. El hecho de que i± sean puntualesy bordeados a ambos lados por J ±, nos dice que las influencias causales puedenviajar una distancia tan arbitrariamente grande como se desee e influir a cualquierobservador inercial despues de un tiempo suficientemente grande. Es por lo tantoclave la forma que tengan i± e i0, pues esto determina las propiedades que vaa tener nuestra solucion. Veremos en secciones siguientes que estos elementos enotras soluciones no tienen esta estructura y, por ende dichas soluciones tensranuna estructura causal totalmente diferente y desde luego bastante mas compleja.

Esta estructura que vemos en 2.1 es caracterıstica de un espacio plano o asintoti-camente plano, es decir, su curvatura tiende a cero en el infinito, por lo que vi-sualmente podremos reconocer facilmente que espacios son asintoticamente planosy cuales no, ya que para serlo, la estructura de su diagrama de Penrose en infinitodebe ser exactamente esta que presentamos.

Capıtulo 3

Diagramas de Penrose desoluciones clasicas

En este capıtulo presentamos los diagramas de Penrose de las soluciones mas fa-mosas de las ecuaciones de Einstein, como lo son el espacio de De Sitter, el espaciode anti-De Sitter y el agujero negro de Schwarzschild. El procedimiento que se-guiremos sera el siguiente: comenzaremos comentando los principales resultadosobtenidos el curso anterior en [1] utilizando las figuras que construimos a partir dela utilizacion de las coordenadas de Eddington-Finkelstein a continuacion escri-biremos la funcion A(r) de metrica en cuestion de la forma 2.12 y seguiremos lospasos descritos en el capıtulo anterior para remover sus respectivas singularidades,dando una forma para su metrica totalmente regular y unas coordenadas globa-les que cubren toda la variedad. Tras ello, construiremos el diagrama de Penrosede la solucion considerada y estableceremos la relacion con las coordenadas deEddington-Finkelstein.

3.1. El agujero negro de Schwarzschild

Dado que esta fue la primera solucion exacta extraıda de las ecuaciones de Einstein,comenzaremos con ella. Se trata de la solucion mas general que se puede obtenerde las ecuaciones de Einstein en el vacıo y que ademas sea esfericamente simetricay estatica. Su diagrama de Penrose es archiconocido y es vasta la literatura quehay sobre esta solucion de las ecuaciones de Einstein.

Para comenzar, la forma de extraer la metrica a partir de la ecuacion de Einsteines imponiendo que el tensor de energıa-impuso sea nulo y permitiendo la existenciade lo que en fısica newtoniana serıa una masa puntual que nos rompa la simetrıa

31

32 CAPITULO 3. DIAGRAMAS DE PENROSE

del espacio al existir un punto privilegiado. Resolviendo

Rµν = 0,

con el Ansatz 1.2 obtenemos la metrica

ds2 =

(1− 2M

r

)dt2 −

(1− 2M

r

)−1

dr2 − r2dΩ22, (3.1)

donde M proviene de una constante de integracion y resulta ser un parametro queda cuenta de la curvatura de nuestro espacio-tiempo como veremos mas adelante.Por supuesto esta tambien relacionado con lo que en fısica newtoniana era unamasa puntual situada en el origen de coordenadas. Ademas, la funcion A(r) en laque vamos a estar interesados es

A(r) = 1− 2M

r. (3.2)

Con la metrica, podemos calcular las geodesicas radiales nulas con 11 y dibujar eldiagrama de conos de luz que no es mas que la Figura 1.1 de nuevo.

Figura 3.1: Diagrama conos de luz de la solucion de Schwarzschild en coordenadasestaticas.

Comenzamos nuestro analisis de la solucion en la zona derecha del diagrama,zonaen la que se puede permanecer en reposo. Cuanto mas lejos estemos de la zonacon r = 2M , los conos de luz mas se asemejan a los del espacio del espacio deMinkowski que formaban 45o con los ejes coordenados. Conforme nos acercamos

3.1. EL AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD 33

a la zona r = 2M . los conos de luz se van estrechando cada vez mas hasta estartotalmente degenerados en r = 2M , por lo cual parece que los rayos luminososno son capaces de ir mas hacia alla. En la metrica, lo que esta ocurriendo es quela funcion A(r) se ha anulado, por lo que que este efecto que comentamos puedeser un artificio de las coordenadas empleadas. Para salir de dudas, construimoslas coordenadas de Eddington-Finkelstein avanzadas segun lo expuesto en 1.15obteniendo el diagrama de conos de luz de la figura 3.2

Figura 3.2: Diagrama conos de luz de la solucion de Schwarzschild en coordenadasde Eddington-Finkelstein avanzadas.

En este diagrama, la zona derecha es identica a la de la Figura 3.1, por lo queestas nuevas coordenadas nos cubren la zona de la variedad con r > 2M , peroen r = 2M se comportan de forma muy diferente, ya que ahora las geodesicasluminosas si pueden traspasar dicha zona, diciendonos lo que ya sabıamos, que elhecho de que en 3.1 los conos de luz degenerasen en r = 2M era una artefactode las coordenadas empleadas inicialmente. Si calculasemos la forma de la metricaen estas coordenadas segun 1.15, verıamos que es completamente regular en elhorizonte y su determinante |g| 6= 0. Pero en este diagrama podemos ver ademasotro hecho clave, y es que las geodesicas luminosas pueden entrar a traves der = 2M a la zona izquierda del diagrama, pero una vez allı no pueden volver ala zona derecha, debido a que los conos de luz se inclinan hacia r = 0, muriendoahı y haciendo que todo observador en esa zona acabe sin remedio por darse debruces contra r = 0. Por lo tanto r = 2M es una superficie de no retorno paracualquier observador situado en la zona I que se atreva a cruzarlo, es un horizontede sucesos. En r = 0, se nos anula otra componente de la metrica, en este caso


la funcion A−1(r). Vamos a ver que se trata de una singularidad fısica y para ellocalculamos el invariante de Kretschmann (consultar Apendice A), obteniendo

K =48M2

r6, (3.3)

que obviamente diverge en r = 0 haciendo que dicho punto sea una singularidady de tipo espacial, puesto que se encuentra en el futuro de todo observador queeste en esa zona, ya que los conos de luz se inclinan ahı. Otro hecho importantey que decıamos antes, es que el parametro M es una medida de la curvatura delespacio-tiempo. Por lo tanto, la masa curva el espacio.

Tambien podrıamos usar las coordenadas de Eddington-Finkelstein retardadas, enlas cuales los conos de luz tomarıan la forma de la Figura 3.3. Podemos ver queen la zona derecha, r > 2M , los conos de luz se comportan igual que en los ca-sos anteriores por lo que describen la misma zona de la variedad r > 2M , peroconforme nos acercamos al horizonte el comportamiento vuelve a cambiar radical-mente. Ahora r = 2M es una superficie que permite salir las influencias causalesprocedentes de la singularidad y de la zona r < 2M , pero no permite pasar lasinfluencias causales procedentes de la zona r > 2M . Esto nos dice, por tanto, queestamos ante una nueva zona de la variedad que no veıamos anteriormente.

Las zonas r < 2M que vemos en las coordenadas avanzadas y retardadas, sondiferentes pero conectadas entre sı a traves de la misma region r > 2M . Para veresto mas claramente, construimos unas coordenadas globales siguiendo los pasosque hemos ido desarrollando en el capıtulo anterior y construir el diagrama dePenrose de la solucion de Schwarzschild.

Lo primero que debemos hacer para dibujar nuestro diagrama de Penrose, segunlo expuesto en las secciones 2.2 y 2.3, es descomponer la funcion 3.2, de la forma2.12

A(r) = 1− 2M

r=−2M

r

(1− r

2M

),

para calcular la funcion F (r) y evaluarla en r0, que en nuestro caso es r0 = 2M .Tambien debemos calcular

ˆA−1(r)dr =

ˆ (1− 2M

r

)−1

= r + 2M log∣∣∣1− r

2M

∣∣∣,y con esto, ya tenemos lo necesario para sustituir en las coordenadas 2.40 y 2.43y obtener para la zona r > 2M

3.1. EL AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD 35

Figura 3.3: Diagrama conos de luz de la solucion de Schwarzschild en coordenadasde Eddington-Finkelstein retardadas.

t = arctan

(±√ r

2M− 1e

r±t4M

)+ arctan

(∓√ r

2M− 1e

r∓t4M

)r = arctan

(±√ r

2M− 1e

r±t4M

)− arctan

(∓√ r

2M− 1e

r∓t4M

) ,

mientras que en la zona r < 2Mt = arctan

(±√ r

2M− 1e

r±t4M

)+ arctan

(±√ r

2M− 1e

r∓t4M

)r = arctan

(±√ r

2M− 1e

r±t4M

)− arctan

(±√ r

2M− 1e

r∓t4M

) .

Tenemos una diferencia respecto del caso anterior, en Minkowski, debido a la pre-sencia del horizonte de sucesos del agujero negro, que es una nueva region a laque hemos de calcular sus ecuaciones parametricas. La presencia de este horizontehace que nuestro diagrama tenga la forma 3.4.

En esta solucion tenemos varias regiones debido a las simetrıas t↔ −t y r ↔ −r:dos regiones asintoticamente planas , I y I’ y dos regiones con una singularidaden el futuro y en el pasado II y II’, respectivamente. Las regiones I y I’, tienenla misma estructura que la Figura 2.1 en el infinito, es por esa razon por la que


II’

II

II’

i+

i−

i0

J + r=2M

r=2MJ−

i+

i−

i0

r=2M

J +

J−r=2M

r = 0

r = 0

Figura 3.4: Diagrama de Penrose del agujero negro de Schwarzschild. Como vemos,tenemos una singularidad espacial en el pasado y otra en el futuro y las geodesicasluminosas pueden nacer en la del pasado o morir en la del futuro.

decimos que son asintoticamente planas. En estas zonas podemos estar en reposoeternamente, pero si decidimos cruzar la region r = 2M para entrar en II, la histo-ria cambia drasticamente. Debido al hecho de que los conos de luz forman 45o conlos ejes, las geodesicas radiales luminosas no pueden salir de esta region y estancondenadas a acabar en la singularidad r = 0, que es una singularidad espacial ypor tanto situada en el futuro de todo observador que se adentre en esa region, yaque dibujando los conos de luz verıamos que las geodesicas luminosas mueren enr = 0. En cambio, la zona II’ es la imagen especular de la zona II: por formar losconos de luz 45o con los ejes, todas las influencias causales generadas en esa zonapueden llegar a las zonas I o I’, pero nada puede entrar procedente de esas regio-nes hacia la singularidad. Es por tanto, que la zona II es conocida como agujeronegro propiamente dicho y la zona II’ se conoce como agujero blanco. El horizonter = 2M , es una superficie luminosa, como vemos en la Figura 3.4 y de corrimientoinfinito hacia el rojo ya que cualquier senal emitida ahı llegara en tiempo infinitoa la zona I, puesto que el horizonte esta conectado con i+.

Respecto de las coordenadas de Eddington-Finkelstein empleadas en [1] y comen-tadas arriba, cabe destacar que, visto el diagrama de Penrose, las avanzadas noscubren la zona I y II de la variedad, mientras que las retardadas nos cubren laparte I y II’, dado que con las primeras tenıamos la singularidad en el futuro y,con las segundas, la singularidad en el pasado. Vemos pues, que II y II’ estanconectadas por la misma zona I, algo que ya avanzabamos con las coordenadas

3.2. EL ESPACIO DE DE SITTER 37

de Eddington-Finkelstein mientras que la zona espejo I’ solo la podemos ver conestas nuevas coordenadas globales y su existencia es debida a las simetrıas t↔ −ty r ↔ −r que tenemos. Las zonas I y I’ estan conectadas unicamente en t = r = 0.Un observador en I y otro en I’, solo podran saber de la existencia de la otra regionsi ambos se aventuran a traves del horizonte de sucesos y, una vez allı, no podranmandar informacion a sus respectivas zonas para a dar a conocer la region espe-jo. El punto donde se conectan ambas regiones es un agujero de gusano conocidotambien como puente de Einstein-Rosen.

Finalmente, la forma de la metrica en estas coordenadas viene dada por

ds2 =

(1− 2M

r

)16M2

sin2(r)− sin2(t)(dt2 − dr2).

3.2. El espacio de De Sitter

El espacio de De Sitter es la solucion de las ecuaciones de Einstein en el vacıocon constante cosmologica Λ > 0. Imponiendo estas condiciones y sustituyendo elAnsatz esfericamente simetrico y estatico en la ecuacion de Einstein, uno llega ala metrica

ds2 =

(1− r2

R20

)dt2 −

(1− r2

R20

)−1

dr2 − r2dΩ22, (3.4)

donde hemos definido el parametro R0 a partir de las constante cosmologica de la

forma√

3κΛ

Este espacio tiene curvatura constante positiva, puesto que a partir de 3.4 podemoscalcular el tensor de Riemann y expresarlo como sigue

Rµνρλ = −R−20 (gµρgνλ − gµλgνρ) , (3.5)

donde no podemos olvidarnos del criterio de signos que discutıamos en la Defini-cion 10.

Calculando ahora las geodesicas radiales nulas y dibujando el diagrama de conosde luz obtenemos la Figura 3.5. Como vemos, tenemos dos zonas separadas porr = R0. En la zona izquierda los conos de luz se comportan como en el espacio deMinkowski, es decir, forman 45o con los ejes coordenados y es por tanto una zonaen la que un observador puede permanecer en reposo. Conforme nos acercamosa r = R0, la situacion cambia y los conos de luz comienzan a estrecharse hastaestar completamente degenerados en r = R0, lo que parece indicarnos que ahı


Figura 3.5: Diagrama de conos de luz del espacio de De Sitter en coordenadasestaticas.

fallan nuestras coordenadas, ya que la Figura nos esta diciendo que las geodesicasradiales luminosas no pueden salir mas alla hacia la zona r > R0. Lo que estasucediendo en r = R0 es que la funcion A(r), que representa a la componentetemporal de nuestra metrica, se ha anulado por lo que sospechamos que todo estovuelve a ser un artefacto de las coordenadas. Para comprobarlo volvemos a usarlas coordenadas de Eddington-Finkelstein avanzadas para ver si podemos eliminaresta singularidad.En la Figura 3.6, podemos ver que la zona r < R0 se mantiene practicamente in-tacta pues los conos de luz no han cambiado respecto de la Figura 3.5, por lo queestas coordenadas nos cubren la misma zona r < R0 que las coordenadas estaticas.Pero conforme nos acercamos a r = R0, los conos de luz difieren de lo que hemoscomentado antes, ya que ahora las geodesicas radiales nulas pueden acceder desdela zona r > R0 a la zona r < R0. Ahora tenemos, por tanto, acceso a la parte dere-cha de nuestro diagrama de conos de luz. En ella, los conos de luz estan inclinadoshacia r = r0, por lo que es esta es una zona en la que no podemos permaneceren reposo e inevitablemente seremos arrastrados hacia la zona izquierda del dia-grama. Esta zona se interpreta como un universo en contraccion: dos observadoresque estuviesen en un principio en esa zona y desconectados causalmente, acabaranen la zona r < R0 y podrıan volver a estar en contacto causal de nuevo.Pero podrıamos haber elegido tambien las coordenadas de Eddington-Finkelsteinretardadas que harıa que nuestro diagrama de conos de luz fuese el de la Figura3.7. No hay nada nuevo en la zona r < R0, por lo que estas coordenadas nos cu-bren de nuevo esa zona, pero si nos acercamos a r = R0, vemos que las geodesicasradiales nulas pueden salir hacia la zona r > R0. Una vez ahı, los conos de luzse inclinan hacia el infinito y dos observadores que en un principio estuviesen encontacto causal, acabaran desconectados causalmente por este hecho.

Entonces, las dos zonas r > R0 que vemos con cada una de las coordenadas de


Figura 3.6: Diagrama de conos de luz del espacio de De Sitter en coordenadas deEddington-Finkelstein avanzadas.

Figura 3.7: Diagrama de conos de luz del espacio de De Sitter en coordenadas deEddington-Finkelstein retardadas.

Eddington-Finkelstein son diferentes pero estan conectadas entre sı a traves de lamisma region r < R0, como quedara claro tras la construccion del diagrama dePenrose.

Por todo lo referido hasta ahora, el horizonte situado en r = R0 es un horizon-te cosmologico, esto es, al ser la variedad homogenea e isotropa todo observadortendra el suyo propio y ademas es una zona de corrimiento infinito hacia el rojo,ya que viendo el diagrama de la Figura 3.7, una senal emitida en r = R0 hacia lazona interior, tardara un tiempo infinito en llegar y las emitidas un poco mas lejosnunca llegaran. La diferencia respecto del horizonte que presentaba la solucion deSchwarzschild es que el de De Sitter depende del observador, no es algo absolutoen lo que todos los observadores puedan llegar a ponerse de acuerdo.

En este espacio no tenemos motivos para sospechar que tengamos una singularidadfısica, pero vamos a calcular el invariante de Kretschmann dado que nos sera util


mas adelante

K =24

R40

. (3.6)

Ahora que tenemos una buena intuicion acerca de lo que ocurre en este espacio,vamos a proceder a dibujar su diagrama de Penrose. Para ello escribimos la com-ponente temporal de la metrica 3.4 en la forma 2.12, obteniedo de ello la funcionF (r)

A(r) = 1− r2

R20

=

(1− r

r0

)(1 +

r

R0

),

y la evaluamos en r = r0 que en nuestro caso es r0 = R0. Calculamos a su vez laintegral que necesitamos

ˆA−1(r)dr =

ˆ (1− r2

R20

)−1

= R0 log

√∣∣∣∣r +R0

r −R0

∣∣∣∣.El cambio de coordenadas que presentamos en la parte de la variedad donde r < R0

es t = arctan

(±√

R0−rR0+r

e±tR0

)+ arctan

(∓√

R0−rR0+r

e∓tR0

)r = arctan

(±√

R0−rR0+r

e±tR0

)− arctan

(∓√

R0−rR0+r

e∓tR0

) ,

mientras que en la zona donde r > R0t = arctan

(±√

r−R0

R0+re±tR0

)+ arctan

(±√

r−R0

R0+re∓tR0

)r = arctan

(±√

r−R0

R0+re±tR0

)− arctan

(±√

r−R0

R0+re∓tR0

) .

Con este cambio de coordenadas ya tenemos todo lo necesario para poder dibujarel diagrama de Penrose del espacio de De Sitter que toma la forma 3.8.

Este diagrama de Penrose difiere respecto a los que hemos estudiado hasta aho-ra. Al no tener una zona con una estructura parecida al diagrama de Penrose deMinkowski 2.1 en el infinito, podemos saber que este espacio no es asintoticamenteplano, hecho que ya sabıamos debido a que, como hemos calculado anteriormente,tiene curvatura constante positiva (ver ecuacion 3.5), por lo tanto es logico que suestructura causal en el infinito sea completamente diferente. Tenemos una zona Icomprendida entre el horizonte cosmologico y el borde derecho del cuadrado, que


Figura 3.8: Diagrama de Penrose del espacio de De Sitter. Dado que i± son su-perficies espaciales, eso nos indica la existencia de horizontes cosmologicos y dezonas que no pueden ser accesibles para todos los observadores.

es una zona en la que podemos estar en reposo si lo deseamos, pero tambien po-demos aventurarnos y cruzar el horizonte r = R0 para ir a parar a la zona II, zonaen la que ya no podemos estar en reposo. Esto es debido a la peculiar forma quetiene el infinito temporal futuro i+, ya que no es un punto sino una lınea, lo quehace que, dado un observador en esa zona II, existan zonas que le seran comple-tamente inaccesibles debido a que las geodesicas radiales nulas moriran allı antesde poder influenciar causalmente dichas zonas. Ademas, dados dos observadoresen esa region, estos acabaran por perder el contacto para siempre al no poder lasgeodesicas radiales llegar de uno al otro, algo que no ocurre en la zona I. Las zonasI’ y II’ no son mas que las regiones especulares de estas que estamos describiendo,por las simetrıas t ↔ −t y r ↔ −r, salvo que en II’ ocurre lo contrario que enII: dado un punto en esa zona, las influencias causales provenientes del pasado nopueden llegar de puntos tan arbitrariamente lejos como se desee, ya que, dibujandoel cono de luz pasado de cualquier evento en II’, verıamos que intersecta con i−

y por ende las influencias causales del pasado no pueden llegarle desde cualquierlugar, sino de una region finita del espacio, dado que no han tenido tiempo paraello.

La zona mitad inferior del diagrama, es interpretada como un universo en contrac-cion dado que, un observador en esta zona, atravesara el horizonte r = R0 aunqueeste en reposo (es decir, se mueva en lınea recta dentro de su cono de luz futuro)


ya que el universo se esta contrayendo. Contrariamente, la zona mitad superior seinterpreta como un universo en expansion, dado que todo observador de la zona Ique este en reposo, acabara cruzando el horizonte r = R0 y acabara causalmentedesconectado de todos los demas. Dada la simetrıa que presenta la solucion, todoobservador se creera a sı mismo en reposo y que todos los demas son los que sealejan de el, debido a que no hay ningun punto especial sobre la variedad. De hechoeste diagrama, esta realizado desde el punto de vista de un observador concretosituado en su r = 0, ya que como dijimos r = R0 depende del propio observador.

Comentamos ahora la relacion con las coordenadas de Eddington-Finkelstein des-critas al principio y usadas en [1]. Con las coordenadas de Eddington-Finkelsteinavanzadas eramos capaces de ver las zonas correspondientes al universo en contrac-cion, esto es, las regiones II’ y I, mientras que con las coordenadas de Eddington-Finkelstein retardadas veıamos la zona correspondiente al universo en expansion,es decir, las regiones I y II. Queda claro que ambas coordenadas describen la mis-ma zona I y que dicha zona es la que conecta las dos regiones II y II’. La zona I’solo es visible en estas nuevas coordenadas que hemos construido por las simetrıast↔ −t y r ↔ −r que presenta nuestra solucion en ellas.

Finalmente, desplazando la coordenada radial r = r′ + π2

y operando, la metricaen estas coordenadas viene dada por la siguiente expresion:

ds2 = R20 cos−2 t

(dt2 − dr′2 − sin2 r′dΩ2

2

),

que como vemos, vuelve a ser conforme al universo estatico de Einstein (verApendice C).

3.3. El espacio de anti-De Sitter

Este espacio es la solucion a las ecuaciones de Einstein en el vacıo con constantecosmologica Λ < 0. Sustituyendo en la ecuacion de Einstein el Ansatz esfericamentesimetrico y estatico, uno llega a la metrica

ds2 =

(1 +

r2

R20

)dt2 −

(1 +

r2

R20

)−1

dr2 − r2dΩ22, (3.7)

donde hemos definido el parametro R0 =√−3κΛ

y la funcion A(r) en la que estare-

mos interesados es

A(r) =

(1 +

r2

R20

),

3.3. EL ESPACIO DE ANTI-DE SITTER 43

Figura 3.9: Diagrama de conos de luz del espacio de anti-De Sitter en coordenadasestaticas.

que, como se puede apreciar, no tiene ningun cero real.

Podemos comprobar, que esta solucion tiene curvatura constante negativa ya quepodemos expresar el tensor de Riemann de la forma

Rµνρλ = R−20 (gµρgνλ − gµλgνρ) ,

teniendo en cuenta el criterio que definıamos en 10. Caculando las geodesicas ra-diales nulas, uno puede llegar facilmente a la construccion del diagrama de conosde luz que es el que se presenta en la Figura 3.9. Vemos que no presenta ningunpunto en el que los conos de luz degeneren, por lo que sospechamos que no existenhorizontes de ningun tipo. No tenemos motivos para construir las coordenadas deEddington-Finkelstein pero si lo hiciesemos, como en [1], no descubrirıamos ningu-na zona nueva de la variedad, ya que estas coordenadas, al no degenerar en ningunpunto, cubren todo el espacio sin que haya nuevas regiones por descubrir. Si mi-ramos la estructura causal para valores grandes de la coordenada radial, vemoscomo los conos de luz se abren cada vez mas, haciendo que podamos influenciarcausalmente zonas cada vez mas alejadas e incluso, que podamos enviar y recibirinfluencias causales del infinito.

No hay motivos para sospechar que exista ninguna singularidad fısica, pero vamosa calcular el invariante de Kretschmann ya que nos sera util mas tarde

K =24

R40

. (3.8)

A continuacion presentamos el cambio de coordenadas que vamos a usar paradibujar el diagrama de Penrose del espacio de anti-De Sitter


t = arctan

(t+Á−1(r)dr

R0

)+ arctan

(t−Á−1(r)dr

R0

)r = arctan

(t+Á−1(r)dr

R0

)− arctan

(t−Á−1(r)dr

R0

)donde

Â−1(r)dr =

ˆ1

1 + r2

R20

dr = R0 arctan

(r

R0

).

Con todo esto ya podemos dibujar el diagrama de Penrose de anti-De Sitter, quequeda recogido en la Figura 3.11. Este diagrama de Penrose es bastante curioso,debido a la forma que presenta el infinito espacial i0. No se parece en nada aMinkowski, ya que en este caso, estamos ante un espacio de curvatura constantenegativa, pero es paradigmatico que tengamos un infinito espacial que no solo nosea un punto sino que sea una lınea curva. Por ello, lo primero que vamos a haceres calcular la ecuacion de dicha curva y despues calcular su pendiente. Para ello,en el cambio de coordenadas hacemos r =∞ y obtenemos

i0 =

t = arctan

(tR0

+ π2

)+ arctan

(tR0− π

2

)r = arctan

(tR0

+ π2

)− arctan

(tR0− π

2

) .

Para calcular la derivada, aplicamos la regla de la cadena aprovechando que lo quetenemos es un difeomorfismo

dt

dr=dt

dt

(dr

dt

)−1

= −1 + t2

R20

+ π2

4

π tR0

.

Como podemos observar de la Figura 3.10, su pendiente se mueve en el conjunto

dtdr∈(−∞,− 2

π

√1 + π2

4

)∪(

2π

√1 + π2

4,+∞

)con 2

π

√1 + π2

4≈ 1,185. Esto nos

indica un hecho importante, y es que la curva i0 es una curva temporal para todovalor de la coordenada temporal inicial t, lo cual permite a las geodesicas radialesluminosas llegar a infinito en tiempo finito (ya que su pendiente es mayor que lade i0, de hecho es 1) y rebotar infinitas veces antes de llegar a i+, ya que r = 0 noes mas que a singularidad de coordenadas esfericas. Esto es por lo que llamamosa i0 una frontera temporal y es una peculiaridad del espacio de anti-De Sitter.

Con relacion al analisis que hemos realizado al inicio de la seccion y que hicimos elano anterior en [1], el hecho de que esta frontera sea temporal esta relacionado con

3.3. EL ESPACIO DE ANTI-DE SITTER 45

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10t

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4f(t)

Figura 3.10: Grafica de la pendiente de la curva i0 en funcion de t ∈ (−∞,+∞).

Figura 3.11: Diagrama de Penrose del espacio de anti-De Sitter. i0 resulta ser unafrontera temporal en la cual las geodesicas luminosas pueden rebotar infinitas vecesantes de llegar a i+.

que los conos de luz de anti-De Sitter se vayan abriendo cada vez mas conformenos movemos hacia valores mas grandes de la coordenada radial r. Decıamos queesto permitıa que las influencias causales llegaran a todo punto de la variedad enun tiempo finito (de hecho llegan a infinito en tiempo finito) y por ende tuviesemosun problema con la causalidad de esta solucion de las ecuaciones de Einstein. Estose produce porque el espacio de anti-De Sitter no es globalmente hiperbolico y porlo tanto no posee una superficie de Cauchy global1 Ya avanzabamos al comienzode la seccion que no existıan mas zonas que descubrir de la variedad, lo cual quedapatente definitivamente al construir la Figura 3.11.

1Para ver mas detalles sobre este tema se recomienda consultar [3].


Finalmente, presentamos la forma de la metrica en estas coordenadas

ds2 =R2

0

4 cos2[

12

(tan(t+r

2

)− tan

(t−r

2

))] [cos2

(t+r

2

)cos2

(t+r

2

)](dt2 − dr2).

Como nota final, cabe destacar que si en lugar de hacer el cambio de coordenadaspropuesto, realizamos el siguiente

t = tR0

r = arctan(

rR0

) ,

la metrica adopta la forma

ds2 = R20 cos−2 (r) (dt2 − dr2 − sin2 r dΩ2

2),

por lo que el espacio de anti-De Sitter es conforme al universo estatico de Einstein(ver [2] y Apendice C), al igual que lo eran el espacio de Minkowski y el espaciode De Sitter.

Con estos emblematicos diagramas de Penrose ya estamos preparados para cons-truir los diagramas de las soluciones de Schwarzschild De Sitter y Schwarzschildanti-De Sitter.

Capıtulo 4

Diagramas de Penrose de lassoluciones de Schwarzschild(anti)- De Sitter

En este capıtulo ya estamos en plenas condiciones para poder construir los dia-gramas de Penrose de las soluciones que dan tıtulo a este proyecto. Con nuestrometodo, construido en capıtulos anteriores, y el cambio de coordenadas que hemosdado para el espacio de Minkowski y para el espacio de anti-De Sitter veremos quesomos capaces de construir los diagramas de Penrose de Schwarzschild De Sittery Schwarzschild anti-De Sitter.

La estructura de este capıtulo sera por tanto, identica a la del capıtulo anterior:en cada solucion primeramente haremos mencion a los principales resultados queobtuvimos en [1] para despues proponer un cambio de coordenadas que nos cubranla variedad completa y poder dibujar los diagramas de Penrose, en los que podre-mos estudiar la solucion de forma global. Tras ello comentaremos la relacion entrelo que obtuvimos en [1] y lo que hemos obtenido este curso y daremos la forma dela parte temporal y espacial de la metrica en cuestion en las nuevas coordenadas.

4.1. La solucion de Schwarzschild De Sitter

Esta solucion se obtiene de las ecuaciones de Einstein imponiendo simetrıa esfericay estaticidad en presencia de una constante cosmologica, Λ > 0 y la presencia deuna masa central M 6= 0, que nos va a romper parte de la simetrıa al distinguirun punto de la variedad sobre los demas, haciendo que todos los observadores yano tengan el derecho de considerarse a sı mismos en reposo como ocurrıa en DeSitter. Sustituyendo en la ecuacion de Einstein el Ansatz esfericamente simetrico

47

48 CAPITULO 4. SCHWARZSCHILD (ANTI)- DE SITTER

y estatico, llegamos a la metrica

ds2 =

(1− 2M

r− r2

R20

)dt2 −

(1− 2M

r− r2

R20

)−1

dr2 − r2dΩ22 (4.1)

Esta solucion se trata en realidad de tres casos diferenciados, a saber, subextremal,extremal y sobreextremal, donde la condicion de extremalidad viene dada porR0 = 3

√3M , con R0 el radio de De Sitter definido en la Seccion 3.2 y M la masa

del agujero negro central. Pero los tres casos tienen algo en comun y es la presenciade una singularidad fısica situada en r = 0. Para verlo, calculamos el invariantede Kretschmann segun el Apendice A obteniendo el resultado que presentamos

K =48M2

r6+

24

R40

, (4.2)

que diverge en r = 0. Este resultado no deberıa resultarnos del todo desconocido,ya que se trata de la suma del invariante calculado para el espacio de Schwarzschilden 3.3 y el calculado en 3.6. Es curioso el hecho de que aunque las ecuaciones nosean lineales, al final el invariante de Kretschmann de esta solucion haya resultadoser la suma de los invariantes de las dos soluciones de las que esta compuesta.

Pero ahı acaban las semejanzas. A continuacion describiremos cada uno de losdiferentes casos por separado.

4.1.1. Caso subextremal, R0 > 3√

3M

Esta solucion de la ecuacion de Einstein tiene la metrica 4.1 con la condicionR0 > 3

√3M lo que hace que vaya a presentar dos horizontes, uno que llamaremos

r+ y r−. Como siempre, previo calculo de las geodesicas radiales nulas, vamos adibujar el diagrama de conos de luz que queda reflejado en la Figura 4.1. Vemosque efectivamente tenemos dos horizontes fruto de la condicion que hemos im-puesto sobre la masa y el radio de De Sitter. La estructura causal de esta solucionparece un tanto extrana, ya que tenemos una zona central en la que se puedepermanecer en reposo y los conos de luz no pueden escapar de ella en ninguna delas dos direcciones. Pero por la experiencia que tenemos ya con las soluciones deSchwarzschild y de De Sitter nos dice que esto posiblemente sea un artilugio delas coordenadas empleadas. Por ello vamos a construir de nuevo las coordenadasde Eddington-Finkelstein avanzadas.

En la Figura 4.2, vemos que los conos de luz en la zona central se mantienen igualque en la figura 4.1, pero ahora la influencias causales pueden cruzar el horizonteinterior r = r−. Vemos que este horizonte vuelve a ser una superficie de corri-miento infinito hacia el rojo, puesto que una senal emitida justo ahı hacia la zona

4.1. LA SOLUCION DE SCHWARZSCHILD DE SITTER 49

Figura 4.1: Diagrama de conos de luz de la solucion de Schwarzschild De Sittersobreextremal en coordenadas estaticas.

intermedia llegara en tiempo infinito y las emitidas mas hacia dentro moriran enla singularidad, que vuelve a ser por tanto, espacial y situada en el futuro de todoobservador que desee adentrarse en esa zona, al igual que los era en Schwarzschild.La superficie r = r− es por tanto el horizonte de sucesos de nuestra solucion, pueses el que alberga tras de sı a la singularidad. Comparando las regiones r > r+ delas figuras 4.1 y 4.2, vemos que la zona r > r+ es totalmente diferente, por lo queestas coordenadas no nos cubren esa region de la variedad. Veamos en cambio loque sucede con las coordenadas de Eddington-Finkelstein retardadas.

En la Figura 4.3 tenemos el diagrama de conos de luz en las coordenadas retarda-das. Los conos de luz en la zona central vuelven a ser los mismos que antes, peroahora podemos acceder a la zona derecha del diagrama a traves de r = r+ ya quelos conos de luz ası lo permiten. Se puede apreciar que r = r+ es otra zona decorrimiento infinito hacia el rojo, ya que una senal emitida justo ahı hacia la zonaintermedia llegara en un intervalo de tiempo infinito mientras que las emitidas masalla jamas llegaran. Una vez en esa zona, nos espera un universo en expansion detipo De Sitter en el que todos los observadores acabaran desconectados causalmen-te unos de otros debido a que los conos de luz se inclinan hacia infinito. Pero ahoratenemos una diferencia respecto a De Sitter, y es que ahora el horizonte exterior nodepende del observador ya que la masa central nos rompe la simetrıa del espaciohaciendo que no sea homogeneo e isotropo. Finalmente, mirando la zona izquierdade la Figura 4.3, vemos que los conos de luz se comportan de forma diferente alos de la Figura 4.1, por lo tanto estas coordenadas no nos cubren esa zona de lavariedad.

Ahora que hemos hecho un resumen acerca de la estructura causal de esta solucion,podemos construir su diagrama de Penrose. Para ello escribimos la funcion A(r)


Figura 4.2: Diagrama de conos de luz de la solucion de Schwarzschild De Sittersobreextremal en coordenadas de Eddington-Finkelstein avanzadas.

Figura 4.3: Diagrama de conos de luz de la solucion de Schwarzschild De Sittersobreextremal en coordenadas de Eddington-Finkelstein retardadas.


de la ecuacion 4.1 en la forma 2.12 de forma que aparezcan explıcitamente los doshorizontes, r+ y r−

A(r) =−r0r+r−R2

0r

(1 +

r

r0

)(1− r

r+

)(1− r

r−

)expresion en la que los parametros que aparecen verifican las condiciones quededujimos en [1]. Como vemos, la presencia de los dos horizontes hara que nuestrafuncion F (r) sea diferente dependiendo de la zona de la variedad en la que nosencontremos. A continuacion, por futura conveniencia, definiremos las siguientesconstantes

A =

R20

r20(1 + r+

r0

)(1 + r−

r0

) ; B =

R20

r2+(1 + r0

r+

)(1− r−

r+

) ; C =

R20

r2−(1 + r0

r−

)(1− r+

r−

)Comenzamos ahora a dar los cambios de coordenadas. Para la zona en la quer > r+,

F (r) =−r0r+r−R2

0r

(1 +

r

r0

)(1− r

r−

),

y A(r) < 0, por lo que el cambio de coordenadas propuesto es

t = arctan

(±√(

1 + rr0

)− Ar0Br+

∣∣∣1− rr+

∣∣∣∣∣∣1− rr−

∣∣∣Cr−Br+ e±t

2Br+

)

+ arctan

(±√(

1 + rr0

)− Ar0Br+

∣∣∣1− rr+

∣∣∣∣∣∣1− rr−

∣∣∣Cr−Br+ e∓t

2Br+

)

r = arctan

(±√(

1 + rr0

)− Ar0Br+

∣∣∣1− rr+

∣∣∣∣∣∣1− rr−


2Br+

)

− arctan

(±√(

1 + rr0

)− Ar0Br+

∣∣∣1− rr+

∣∣∣∣∣∣1− rr−


2Br+

).

La siguiente zona, en la que r− < r < r+, es la que sirve de nexo de union entre lasdos zonas en las que A(r) < 0 y podrıamos hacer dos cambios de coordenadas quenos cubrirıan esta zona, cada uno capaz de remover una de las dos singularidadesque tenemos en los horizontes. Teniendo esto en cuenta, vamos a usar la siguientecarta sobre esta zona, sabiendo que la otra nos la cubrirıa de igual forma y nos


darıa la misma estructura causal1. Como A(r) > 0 en esta zona, el cambio decoordenadas es

t = arctan

(±√(

1 + rr0

)− Ar0Br+

∣∣∣1− rr+

∣∣∣∣∣∣1− rr−


2Br+

)

+ arctan

(∓√(

1 + rr0

)− Ar0Br+

∣∣∣1− rr+

∣∣∣∣∣∣1− rr−


2Br+

)

r = arctan

(±√(

1 + rr0

)− Ar0Br+

∣∣∣1− rr+

∣∣∣∣∣∣1− rr−


2Br+

)

− arctan

(∓√(

1 + rr0

)− Ar0Br+

∣∣∣1− rr+

∣∣∣∣∣∣1− rr−


2Br+

).

Y, finalmente, en la zona en la que 0 < r < r−, la funcion A(r) es negativa denuevo con la diferencia de que ahora la funcion F (r) varıa, dado que queremosquitarnos la singularidad en r = r−

F (r) =−r0r+r−R2

0r

(1 +

r

r0

)(1− r

r+

),

y el cambio de coordenadas propuesto tiene el siguiente aspecto2

t = arctan

(±√(

1 + rr0

)− Ar0|C|r−

∣∣∣1− rr−

∣∣∣∣∣∣1− rr−

∣∣∣−Br+|C|r− e±t

2|C|r−

)

+ arctan

(±√(

1 + rr0

)− Ar0|C|r−

∣∣∣1− rr−

∣∣∣∣∣∣1− rr−

∣∣∣−Br+|C|r− e∓t

2|C|r−

)

r = arctan

(±√(

1 + rr0

)− Ar0|C|r−

∣∣∣1− rr−

∣∣∣∣∣∣1− rr−

∣∣∣−Br+|C|r− e±t

2|C|r−

)

− arctan

(±√(

1 + rr0

)− Ar0|C|r−

∣∣∣1− rr−

∣∣∣∣∣∣1− rr−

∣∣∣−Br+|C|r− e∓t

2|C|r−

)− π

.

Con estos cambios de coordenadas, podemos ya dibujar nuestro diagrama de Pen-rose de la solucion de Schwarzschild De Sitter subextremal, que tiene la forma

1Mal irıamos si un cambio de coordenadas nos cambiara la estructura causal de la zona de lavariedad estudiada.

2Restamos π en la definicion de la coordenada r en esta zona para que no se solapen lasdistintas partes del diagrama, ya que nuestra funcion arcotangente tiene su imagen en (−π

2 ,π2 ).


Figura 4.4: Diagrama de Penrose de Schwarzschild De Sitter subextremal. La zonaI es la unica en la que se puede permanecer en reposo ya que en II vamos haciala singularidad mientras que en III estamos en un universo que se expande y enIII’ que se contrae. Las zonas I’ de la izquierda y de la derecha encajan entre sı ytenemos una sucesion infinita de diagramas de este tipo a izquierda y derecha.

recogida en la Figura 4.4. Este diagrama de Penrose es bastante asombroso, porun lado tenemos una zona I en la que se puede permanecer en reposo, dado que laenergıa procedente de la constante cosmologica que tiende a expandir y contraerel universo, como vimos en la Seccion 3.2, es compensada con la atraccion gravi-tatoria procedente del agujero negro. Si nos adentraramos desde la zona I a travesdel horizonte interior r− hacia la zona II, tendrıamos el mismo destino que en elagujero negro de Schwarzschild nos esperarıa una singularidad situada en nuestrofuturo y, por ende, totalmente inevitable, ası que nuestra vida tendrıa los minutoscontados. Si por el contrario decidiesemos aventurarnos a traves del horizonte ex-terior r = r+ hacia la zona III, tendrıamos un destino igual al que tenıamos en elespacio de De Sitter: acabarıamos en una region en expansion que harıa que, dosobservadores que fuesen juntos en un inicio, acabasen desconectados causalmenteel uno del otro, ya que el infinito temporal futuro i+ es una superficie espacial ypor ende las geodesicas nulas radiales, de uno y otro observador, llegarıan a esazona antes de intersectar.

Si ahora nos situasemos en la zona II’, estarıamos en la zona de agujero blancoy, por ende, saldrıamos despedidos hasta atravesar el horizonte interior r = r− yllegar a la zona I en la que podrıamos permanecer en reposo. Analogamente, sinos situasemos en la zona III’, estarıamos en la zona de universo en contracciony acabarıamos cruzando, inevitablemente, el horizonte exterior r = r+ para llegar


a la zona I o I’. Si se nos permite una opinion personal, de encontrarnos en esteespacio, preferiblemente nos situarıamos en la mitad inferior, que nos darıa pasoa la zona I o I’ donde podrıamos vivir felices protegidos por dos horizontes de dosregiones del universo practicamente mortıferas. Evidentemente, las caracterısticasde esta solucion dependen totalmente de la simetrıa t ↔ −t y r ↔ −r que tene-mos. Un hecho mas acerca de estas zonas I y I’, es que ambas estan conectadasen t = r = 0 y, a no ser que un observador de cada una de las zonas cruce elhorizonte de sucesos y hablen entre ellos, nadie sabra de la existencia de su zonaespejo. De todas formas, una vez dentro del horizonte, no podran comunicarse consus respectivas zonas para informar de este hecho.

En relacion a las coordenadas de Eddington-Finkelstein que empleamos al cursoanterior en [1] y hemos estudiado tambien mas arriba, cabe mencionar que lasavanzadas nos cubren las zonas I y III’, mientras que las retardadas nos cubren laszonas I y II. La zona espejo I’, no es cubierta por ninguna de ellas. Ni las avanzadasni las retardadas eran capaces de cubrir los dos horizontes simultaneamente, y eslogico, si tenemos en cuenta que en este proyecto hemos necesitado el uso de trescartas para cubrir la variedad completa.

Finalmente, presentamos la forma de la metrica en estas coordenadas. La metricaen las zonas r− < r < r+ y r > r+ toma la forma siguiente

ds2 =1

r

(1 +

r

r0

)(1− r

r+

)(1− r

r−

) R20r0r

3+r−

(r0+r+)2(r+−r−)2

sin2(t)− sin2(r)(dt2 − dr2),

que es regular en el horizonte externo r+, mientras que en las zonas 0 < r < r− yr− < r < r+

ds2 =1

r

(1 +

r

r0

)(1− r

r+

)(1− r

r−

) R20r0r+r

3−

(r0+r−)2(r+−r−)2

sin2(t)− sin2(r)(dt2 − dr2),

que es regular en el horizonte interno r−. La zona r− < r < r+ hace de puenteentre las dos formas de la metrica dado que en ella podemos elegir cualquiera delas dos ya que ahı son equivalentes, luego la metrica es diferenciable en todo punto.

4.1.2. Caso sobreextremal R0 < 3√

3M

Este caso de la solucion de Schwarzschild De Sitter es paradigmatico, ya que elhecho de imponer sobre la metrica 4.1 la condicion R0 < 3

√3M hace que presen-

te una singularidad desnuda. Dado que en [1] no estudiamos este caso aplicandoel Principio de censura cosmica de Penrose, que viene a decirnos que no existen


singularidades desnudas en la naturaleza, directamente le vamos a construir sudiagrama de Penrose. En este caso, no podemos aplicarle el metodo que hemosdesarrollado en capıtulos anteriores, debido a que no presenta horizontes. Ins-pirandonos en las coordenadas que construimos para el espacio de Minkowski y deanti-De Sitter y teniendo en cuenta que la funcion A(r) de la ecuacion 4.1 con lacondicion R0 < 3

√3M cumple A(r) < 0 ∀r ∈ (0,+∞), proponemos el siguiente

cambio de coordenadas3t = 1

2

(arctan

(t+Á−1(r)dr

rref

)− arctan

(t−Á−1(r)dr

rref

))+ π

2

r = 12

(arctan

(t+Á−1(r)dr

rref

)+ arctan

(t−Á−1(r)dr

rref

)) ,

donde rref es una distancia de referencia y

Â−1(r)dr = A

r0 log

1 + r

r0√∣∣∣∣1− r202MR2

0r + r0

2MR20r2∣∣∣∣

−

(1 +r30

4MR20

)√√√√√√2MR2

0r0

1− r308Mr30

arctan

√

r02MR2

0r − 1

2

√r30

2MR20√

1− r308MR2

0

+ arctan

12

√r30

2MR20√

1− r308MR2

0

donde los parametros que aparecen estan definidos comor0 es solucion de r3

0 −R20r0 − 2MR2

0 = 0

A =MR2

0

r30+MR02

.

Con estas coordenadas, el diagrama de Penrose de esta solucion nos queda comoen la figura 4.6. Este diagrama es diferente a todos los que hemos estudiado ahora,debido a la presencia de la singularidad desnuda Esta singularidad es espacial ypor ello se encuentra en el futuro de todo observador que se halle en dicha regionpor lo que todo observador tiene sus horas contadas. Nos queda ahora estudiar quetipo de superficie es el infinito temporal pasado. Para ello, calculamos su ecuacionteniendo en cuenta que en nuestra variedad la coordenada temporal es r:

i− =

t = 1

2

(arctan

(t+Crref

)− arctan

(t−Crref

))+ π

2

r = 12

(arctan

(t+Crref

)+ arctan

(t−Crref

)) ,

3De nuevo anadimos una constante para que la Figura 4.6 nos quede correctamente.


-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10t

-1.0

-0.5

0.5

1.0h(t)

Figura 4.5: Grafica de la pendiente de la curva infinito temporal pasado i− enfuncion de t ∈ (−∞,∞).

donde

C = lımr→∞

ˆA−1(r)dr < 0.

Volvemos a aplicar la regla de la cadena y que lo anterior es un difeomorfismo paracalcular la pendiente

dt

dr=dt

dt

(dr

dt

)−1

=−2C t

r2ref

1 + t2

r2ref+ 2C2

r2ref

.

Para ver claramente como se comporta esta funcion, la dibujamos en la figura 4.6.Como vemos en 4.6, la funcion no llega a tocar el 1 o el -1, de hecho, si calculamossus maximos y mınimos, nos daremos cuenta de que el imagen de dicha funcionesta en el intervalo

dt

dr∈

Crref√

1 + 2C2

r2ref

,

−Crref√

1 + 2C2

r2ref

,

donde ∣∣∣∣∣∣−Crref√

1 + 2C2

r2ref

∣∣∣∣∣∣ < 1.

La conclusion de este estudio es, por lo tanto, que el infinito temporal pasado esuna superficie espacial, como ya lo eran en el caso subextremal y en De SitterEstoes logico ya que en el infinito ambos espacios tienden a De SitterLos observadoresacabaran en la singularidad antes de que todas las influencias causales procedentes


Figura 4.6: Diagrama de Penrose de Schwarzschild De Sitter sobreeextremal. Estediagrama presenta una unica zona con una singularidad espacial en el futuro detodo observador. Aquı el infinito temporal pasado, i−, es una superficie espacial.

del pasado sean capaces de llegarle, dado que su cono de luz pasado solo intersectauna zona finita de i−.

Dado que el curso anterior no estudiamos este caso por no tratarse de una presun-ta realidad fısica, alegando al Principio de Censura Cosmica de Roger Penrose,no podemos establecer una conexion entre el estudio de este diagrama con lascoordenadas de Eddington-Finkelstein.Finalmente, la forma de la metrica con estas coordenadas viene dada por siguienteexpresion

ds2 = −(

1− 2M

r− r2

R20

)r2ref

sin2(t+ r) sin2(t− r)(dt2 − dr2),

cuyo signo negativo que la precede hace que la funcion multiplicativa para lascoordenadas temporal y radial sea positiva.

4.1.3. Caso extremal R0 = 3√

3M

El caso extremal de la solucion de Schwarzschild De Sitter es un caso particular delcaso subextremal en el que se satura la condicion de extremalidad alcanzandosela igualdad haciendo que solo presente un horizonte, pero en este caso doble. Paraver su estructura causal, previo calculo de las geodesicas radiales nulas, dibujamossu diagrama de conos de luz. En la Figura 4.7 podemos ver que tenemos dos zonasdesconectadas causalmente separadas por un horizonte: a la derecha tenemos ununiverso en expansion como en De Sitter ya que los conos de luz estan inclinadoshacia el infinito y a la izquierda una singularidad espacial situada en el futuro detodo observador situado en dicha zona, ya que los conos de luz ahı estan inclinadoshacia la singularidad. Vemos pues, que es imposible estar en reposo en ninguna delas dos zonas. Veamos si el empleo de las coordenadas de Eddington-Finkelstein


Figura 4.7: Diagrama de conos de luz de Schwarzschild De Sitter extremal en coor-denadas estaticas.

es capaz de anadir algo mas.

En la figura 4.8, vemos que las coordenadas de Eddington-Finkelstein avanzadasnos cubren la parte de la variedad correspondiente a la izquierda del diagrama.El horizonte que tenemos vuelve a ser de sucesos y una superficie de corrimientoinfinito hacia el rojo, pero al cambiar la orientacion de los conos en la parte derecha,estas coordenadas no nos cubren dicha zona. Lo que sı sabemos es que nos cubren laparte izquierda donde volvemos a tener una singularidad de tipo espacial, debidoa la inclinacion que presentan ahı los conos de luz y tambien el horizonte desucesos. Para ver lo que ocurre en la zona derecha, construimos las coordenadasde Eddington-Finkelstein retardadas.

En la Figura 4.9, vemos que las coordenadas de Eddington-Finkelstein retardadasnos cubren la parte de la variedad correspondiente a la zona del horizonte y laderecha del diagrama ya que presentan la misma orientacion que en la Figura 4.7.Los conos de luz nos dicen que no se puede permanecer en reposo en dicha zonasino que nos vemos empujados hacia el infinito debido a la expansion del universoal igual que en el espacio de De Sitter. La diferencia vuelve a radicar en que estehorizonte es el mismo para todos los observadores debido a que la singularidad enr = 0 rompe la isotropıa del espacio.

Con estos primeros comentarios acerca de la estructura causal de esta solucion,podemos construir nuestro diagrama de Penrose. No podemos aplicarle nuestrometodo puesto que el horizonte que presenta es de orden 2, ya que el polinomioque se anula es cuadratico, pero podremos obtener su diagrama a partir de 4.4 y


Figura 4.8: Diagrama de conos de luz de Schwarzschild De Sitter extremal en coor-denadas de Eddington-Finkelstein avanzadas.

Figura 4.9: Diagrama de conos de luz de Schwarzschild De Sitter extremal en coor-denadas de Eddington-Finkelstein retardadas.


teniendo en cuenta lo que ocurre en el caso sobreextremal, estudiado en la seccionanterior.

Dado que la zona I de 4.4, tiene que desaparecer pero debemos conservar el ho-rizonte de sucesos, el diagrama de Penrose de este caso particular de la solucionde Schwarzschild De Sitter, es el que viene en la figura 4.10. Vemos que tenemosdos zonas desconectadas causalmente: una zona I que presenta una singularidadde tipo espacial en el futuro de todo observador situado en esta zona protegidadel resto de la variedad por un horizonte de sucesos que hace que las influenciascausales procedentes de esta zona queden confinadas en ella y mueran en la singu-laridad y, a parte, una zona II, aislada por el horizonte de sucesos de la anterior,que muestra un comportamiento igual que el espacio de De Sitter, es decir, todoobservador presenta un horizonte cosmologico y solo puede ver una zona del delfuturo de la variedad por el hecho de ser la superficie i+ de caracter espacial.

En relacion a las coordenadas de Eddington-Finkelstein empleadas en [1]y comen-tadas anteriormente, mencionamos que las avanzadas nos cubren la parte de lavariedad correspondiente a la zona I junto con el horizonte de 4.10, mientras quelas retardadas nos cubren el horizonte y ademas la zona II.

Figura 4.10: Diagrama de Penrose de Schwarzschild De Sitter extremal. Este dia-grama presenta dos zonas desconectadas: una zona I con una singularidad espacialprotegida por un horizonte de sucesos y una zona II en la cual todos los obser-vadores acabaran desconectados causalmente por ser i+ una superficie espacial. Aizquierda y derecha tenemos infinitas copias de este fragmento.

4.2. La solucion de Schwarzschild anti-De Sitter

La solucion de Schwarzschild anti-De Sitter es la solucion a las ecuaciones deEinstein con una constante cosmologica Λ < 0, imponiendo simetrıa esferica yestaticidad y la presencia de una masa central m 6= 0, que esperamos que nos

4.2. LA SOLUCION DE SCHWARZSCHILD ANTI-DE SITTER 61

rompa la simetrıa del espacio de anti-De Sitter y que todos los observadores ya nosean equivalentes al tener ahora la variedad un punto privilegiado, como ocurrıa enel caso de Schwarzschild De Sitter con respecto a De Sitter. Introduciendo nuestroAnsatz en las ecuaciones de Einstein, llegamos a la metrica

ds2 =

(1− 2M

r+r2

R20

)dt2 −

(1− 2M

r+r2

R20

)−1

dr2 − r2dΩ22 , (4.3)

donde la funcion A(r) en la que estamos interesados es

A(r) =

(1− 2M

r+r2

R20

). (4.4)

Para ver si r = 0 es una singularidad fısica, calculamos el invariante de Kretsch-mann obteniendo en este caso concreto

K =48M2

r6+

24

R40

, (4.5)

que vuelve a ser suma de los invariantes que calculamos en Schwarzschild y en DeSitter en las ecuaciones 3.3 y 3.8.

Si le calculamos a la metrica 4.3 las geodesicas radiales nulas y dibujamos sudiagrama de conos de luz, obtendremos algo parecido a la Figura 4.11

Figura 4.11: Diagrama de Penrose de Schwarzschild anti-De Sitter en coordenadasestaticas.

En este caso, tenemos un horizonte que nos divide el diagrama de la Figura 4.11 endos. A la derecha tenemos una zona que se parece bastante al espacio de anti-DeSitter pudiendo estar en reposo, donde los conos de luz se abren cada vez masconforme nos vamos alejando hacia infinito. Pero si nos acercamos a lo que hemos


denominado r = rH , entonces los conos de luz se van poco a poco cerrando, dandola impresion de que las geodesicas no pueden ir hacia r = 0. Pero vamos a verque un rapido cambio a coordenadas de Eddington-Finkelstein avanzadas nos vaa resolver el problema.

Figura 4.12: Diagrama de Penrose de Schwarzschild anti-De Sitter en coordenadasde Eddington-Finkelstein avanzadas.

Como vemos en la Figura 4.12, ahora las geodesicas nulas pueden cruzar hacia lazona r < rH , que vuelve a ser una zona de corrimiento infinito hacia el rojo, yaque una senal producida ahı tardara un intervalo de tiempo infinito en llegar a lazona r > rH . Conforme nos acercamos ahora hacia r = 0, los conos de luz se vaninclinando cada vez mas hacia la singularidad fısica situada ahı, lo cual no estadiciendo de nuevo que se trata de una singularidad espacial y por ello se encuentraen el futuro de cualquier observador situado en esa zona. La superficie r = rH esentonces una superficie de no retorno, un horizonte de sucesos, pues en su interioroculta una singularidad fısica y este no depende del observador. Respecto de lazona de la variedad que nos cubren, como los conos de luz no varıan respecto delos de la Figura 4.11 en la zona derecha, nos cubren esa zona y ademas la zonainterior r = rH , que no es mas que un agujero negro.

Podrıamos preguntarnos ahora que es lo que ocurre si empleamos las coordenadasde Eddington-Finkelstein retardadas y la respuesta a esa pregunta se encuentraen la Figura 4.13. En dicha figura, podemos ver como los conos de luz en la zo-na derecha son iguales que los de las figuras precedentes, pero ahora la superficier = rH es una membrana unidireccional que hace que todas las influencias causalesde la singularidad lleguen a la zona r > rH de nuestro diagrama. Esta parte de lavariedad es, por tanto, la zona de agujero blanco, ya que nada puede pasar haciadentro de r = rH .


Figura 4.13: Diagrama de Penrose de Schwarzschild anti-De Sitter en coordenadasde Eddington-Finkelstein retardadas.

Como veremos tras la construccion del diagrama de Penrose, ambas zonas r < rH ,estan conectadas a traves de la misma zona r = rH .

Tras estos comentarios acerca de lo que obtuvimos el curso anterior en [1], estamoslistos para construir nuestro diagrama. Como siempre, comenzamos escribiendo lafuncion A(r) de la metrica 4.3 en la forma 2.12

A(r) =

(1− r

rH

) −2M

r

(1 +

r2H

2MR20

r +rH

2MR20

r2

),

expresion en la que los parametros que aparecen estan relacionados como se puedever en [1]. Por futura conveniencia, definimos las siguientes constantes

A =r3H + 4MR2

0

2R0rH

√1 + 6M

rH

; B = R0

√1 +

6M

rH; C =

2(2MR20 − r3

H)

2r3H + 2MR2

0

> 0.

Con esto, ya podemos dar los cambios de coordenadas para cada una de las zonasque tenemos. Para la zona r > rH en la que la funcion A(r) > 0, el cambio decoordenadas propuesto es el siguiente4 pero, dicha constante, al proceder de unaintegracion, no representa nada fısico.

4Anadiremos una constante en el exponente de la exponencial para que la singularidad enr = 0 nos quede en el lugar en que aparece en la Figura 4.14


t = arctan

±√√√√ ∣∣∣1− rrH

∣∣∣√2MR2

0r3H

+ rrH

+(rrH

)2 eA[arctan( 2r+rHB )−arctan( rHB )]± t

CrH

+ arctan

∓√√√√ ∣∣∣1− rrH

∣∣∣√2MR2

0r3H

+ rrH

+(rrH

)2 eA[arctan( 2r+rHB )−arctan( rHB )]∓ t

CrH

r = arctan

±√√√√ ∣∣∣1− rrH

∣∣∣√2MR2

0r3H

+ rrH

+(rrH


CrH

− arctan

∓√√√√ ∣∣∣1− rrH

∣∣∣√2MR2

0r3H

+ rrH

+(rrH


CrH

, (4.6)

mientras que para la zona 0 < r < rH en la que la funcion A(r) < 0, el cambio decoordenadas viene dado por

t = arctan

±√√√√ ∣∣∣1− rrH

∣∣∣√2MR2

0r3H

+ rrH

+(rrH


CrH

+ arctan

±√√√√ ∣∣∣1− rrH

∣∣∣√2MR2

0r3H

+ rrH

+(rrH


CrH

r = arctan

±√√√√ ∣∣∣1− rrH

∣∣∣√2MR2

0r3H

+ rrH

+(rrH


CrH

− arctan

±√√√√ ∣∣∣1− rrH

∣∣∣√2MR2

0r3H

+ rrH

+(rrH


CrH

.

Dado el cambio de coordenadas, podemos dibujar ya nuestro diagrama de Penroseque toma la forma recogida en la Figura 4.14.Como vemos, este diagrama de Penrose es una mezcla del que obtuvimos parael agujero negro de Schwarzschild en la Figura 3.4y del que obtuvimos para el


Figura 4.14: Diagrama de Penrose de Schwarzschild anti-De SitterLas zonas I y I ′

que son el reflejo el una de la otra, son regiones en las que se puede permanecer enreposo ya que en II vamos hacia la singularidad, por ser esta espacial y encontrarseen el futuro de todo observador situado en esa zona.

espacio de anti-De Sitter en la Figura 3.11. Para comentar la estructura causal deesta solucion, al igual que hicimos con el diagrama de Penrose del espacio de anti-De Sitter debemos calcular la pendiente de la curva infinito espacial, i0, en funcionde la coordenada temporal inicial, t. Para ello, calculamos primero a partir de 4.6,la ecuacion de dicha curva en la zona A(r) > 0, y una vez hecho esto, calcularemos

la pendiente a traves de la derivada dtdr

, usando la regla de la cadena y sabiendoque dicho cambio de coordenadas es un difeomorfismo. La ecuacion para i0, dondepor comodidad tomamos el primer signo cada vez que haya un signo “±” es

i0 =

t = arctan

(eA[π2−arctan( rHB )]+ t

CrH

)− arctan

(eA[π2−arctan( rHB )]− t

CrH

)r = arctan

(eA[π2−arctan( rHB )]+ t

CrH

)+ arctan

(eA[π2−arctan( rHB )]− t

CrH

) ,lo cual vamos a derivar para calcular su pendiente en cada punto

dt

dr=dt

dt

(dr

dt

)−1

= − coth

(t

rHC

)coth

[A(π

2− arctan

(rHB

))]Para ver la forma que tiene esto, la representamos en la Figura 4.15 donde pode-


-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10t

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4g(t)

Figura 4.15: Grafico de la pendiente de la curva i0 en funcion de t ∈ (−∞,+∞)

mos ver que la pendiente jamas estara en el intervalo (−1, 1), lo cual nos sugiere,como en el caso de anti-De Sitter que esa curva va a ser temporal en todo punto.

Sabiendo esto, ya tenemos todos los ingredientes necesarios para poder comentarla estructura causal de esta solucion. Por un lado, tenemos una zona II, oculta trasun horizonte de sucesos que alberga una singularidad espacial en su interior, enla cual acabaran todos aquellos observadores que se aventuren a cruzar el mencio-nado horizonte. Pero la zona verdaderamente interesante es la zona I, zona dondese puede permanecer en reposo, ya que en ella las geodesicas radiales luminosas,emitidas por cualquier observador, llegan al infinito en tiempo finito, por ser i0

una superficie temporal. Una vez allı, estas pueden rebotar, por lo que las influen-cias causales procedentes del infinito podran afectar a cualquier zona de nuestravariedad, y cruzar el horizonte r = rH para acabar, inevitablemente en la singula-ridad fısica que tenemos en r = 0. El hecho de que las influencias causales lleguendesde el infinito a cualquier zona de la variedad no debe parecernos algo nuevo,ya que era lo que ocurrıa en anti-De Sitter con la diferencia de que en este casoacabaran en la singularidad fısica. Finalmente la zona II’ vuelve a ser una zonacon un agujero blanco, de la cual las influencias causales podran salir atravesandoel horizonte r = rH para llegar a las zonas I y I’, zona esta ultima que es la imagenespecular de la zona I. Ambas zonas estan conectadas unicamente en t = r = 0 enlo que se conoce como puente de Einstein-Rosen, y una no sabra de la existenciade la otra a no ser que un observador procedente de cada una de ellas se aventurea cruzar el horizonte r = rH y se comuniquen entre ellos. Pero una vez ahı no hayretorno a las zonas de origen, ası que ambos observadores se llevaran el secreto dela existencia de la otra zona a la tumba, hecho ademas que es literal, puesto queen su futuro les espera la singularidad y, por ende, un punto de curvatura infinita.


La existencia de estas dos zonas es, como siempre, causa de las simetrıas t↔ −t yr ↔ −r que presenta nuestra solucion una vez que la extendemos completamentecon las coordenadas de Kruskal. Como ultimo comentario acerca del diagrama dePenrose, vemos que se parece mucho a la de Schwarzschild salvo por el hecho deque a derecha e izquierda tenemos un espacio de anti-De Sitter en lugar de unazona asintoticamente plana.

En relacion con las coordenadas de Eddington-Finkelstein empleadas el curso an-terior en [1] y comentadas anteriormente, mencionamos que las avanzadas erancapaces de cubrirnos las zonas I y II, que representan la zona de agujero negro denuestro diagrama de Penrose 4.14, mientras que por el contrario, las retardadasnos cubrıan la zona de agujero blanco, I y II’, del diagrama. La zona I’, imagenespecular de la zona I, la hemos descubierto por el empleo de las coordenadasglobales que hemos construido en este proyecto.

Para terminar, la metrica en estas coordenadas para nuestra solucion viene dadapor

ds2 =

(1− r

rH

)2M

r

(1 +

r2H

2MR20

r +rH

2MR20

r2

) r2H4

sin2(t)− sin2(r)(dt2 − dr2).

Apendice A

Calculo del invariante deKretschmann para una metricaesfericamente simetrica y estatica

Antes de ponernos a calcular, comenzaremos con la definicion del invariante deKretschmann.

Definicion 18. El invariante de Kretschmann que denotaremos como K, es uninvariante de curvatura resultante de la contraccion del tensor de Riemann consigomismo

K = RijklRijkl. (A.1)

Su utilidad a lo largo de este proyecto sera la de poder discernir si algunas sin-gularidades que aparecen en las metricas que estudiamos son fısicas, dado que siK diverge en el punto de la singularidad, tenemos asegurado que se trata de unasingularidad fısica y por ende un punto de curvatura infinita.

Comenzamos el calculo del invariante de Kretschmann en nuestro caso1 conside-rando la expresion mas general para una metrica esfericamente simetrica y estatica

ds2 = gijdxidxj = A (r) dt2 − A−1 (r) dr2 − r2dΩ2

2, (A.2)

expresion en la que se aprecia que ninguna de las componentes depende del tiempo,lo cual asegura que nuestra metrica va a ser estatica y, ademas no existen terminoscruzados que contengan al tiempo, lo cual hace que la simetrıa t↔ −t se preserve,

1En este proyecto nos centraremos en su calculo para metricas esfericamente simetricas yestaticas, que son las que vamos a estudiar. Dejamos para el lector interesado su calculo parauna metrica arbitraria.

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70 APENDICE A. INVARIANTE DE KRETSCHMANN

asegurando la estaticidad deseada. Ademas, las componentes solo dependen de ladistancia radial r. Esto junto con la presencia del termino dΩ2

2 = dθ2 + sin2 θdϕ2,que no es mas que el elemento de lınea de la 2-esfera, aseguran que la metrica seaesfericamente simetrica.

De ahora en adelante omitiremos la dependencia en r de las funciones que nosaparecen para aligerar la notacion.

Con la metrica, debemos calcular los sımbolos de Christoffel con la expresion

Γki =1

2gkl (∂iglj + ∂jgil − ∂lgij) . (A.3)

A continuacion, escribimos los sımbolos de Christoffel no nulos:

Γttr =1

2A−1A′ Γrtt =

1

2AA′ Γrrr = −1

2A−1A′

Γrθθ = −rA Γrϕϕ = −rA sin2 θ Γθrθ =1

r

Γθϕϕ = − sin θ cos θ Γϕrϕ =1

rΓϕθϕ = cot θ

(A.4)

Una vez obtenidos los sımbolos de Christoffel, debemos calcular el tensor de Rie-mann, haciendo uso de la expresion

R lijk = ∂iΓ

ljk − ∂jΓlik + ΓkisΓ

sjk − ΓljsΓ

sik (A.5)

Tras eso, debemos bajarle el cuarto ındice al tensor de Riemann haciendo uso dela metrica

Rijkl = glsRs

ijk (A.6)

Haciendo uso de A.5, calculamos las componentes no nulas, que resultan ser lasiguientes

R rtrt = −1

2AA′′ R θ

tθt = 12rAA′

R ϕtϕt = 1

2rAA′ R θ

rθr = 12rA′

A

R ϕrϕr = 1

2rA′

AR ϕθϕθ = A− 1

(A.7)

Haciendo uso ahora de A.6, las componentes de tensor de Riemann 4-covarianteson:

Rtrtr = 12A′′ Rtθtθ = −1

2rAA′

Rtϕtϕ = −12AA′r sin2 θ Rrθrθ = −1

2rA′

A

Rrϕrϕ = −12r sin2 θA

′

ARθϕθϕ = (1− A) r2 sin2 θ

(A.8)

71

Ahora necesitamos el tensor de Riemann 4-contravariante, que lo obtenemos deA.6 usando la metrica para subirle los cuatro ındices

Rijkl = gimgjngkuglvRmnuv. (A.9)

Por lo tanto, usando la expresion A.9 y las componentes calculadas en A.8, lascomponentes no nulas que obtenemos para el tensor de Riemann 4-contravarianteson

Rtrtr = 12A′′ Rtθtθ = − 1

2r3A′

A

Rtϕtϕ = − 12r3 sin2 θ

A′

ARrθrθ = − 1

2r3A′A

Rrϕrϕ = − 12r3 sin2 θ

A′A Rθϕθϕ = 1−Ar6 sin2 θ

(A.10)

Finalmente, haciendo uso de la Definicion A.1 y las componentes de las ecuacionesA.8 y A.10, obtenemos el resultado que buscabamos

K = (A′′)2 +4 (A′)2

r2+

4 (A− 1)

r4, (A.11)

ecuacion que usaremos a lo largo de todo el proyecto. Este invariante de curvaturano posee una dependencia en las coordenadas angulares θ y ϕ ni de las coordenadatemporal t, como esperarıamos de una metrica esfericamente simetrica y estatica.

72 APENDICE A. INVARIANTE DE KRETSCHMANN

Apendice B

Calculo de la conexion deLevi-Civita para una metricaconforme

En este apendice mostraremos la forma explıcita de los sımbolos de Christoffelde una metrica N -dim en funcion de los sımbolos de Christoffel de su metricaconforme, para ello, sabemos que una metrica es conforme a una dada si se verifica

gij = e2Ωgij. (B.1)

Por lo tanto, es logico plantearse que relacion existe entre los sımbolos de Christoffelde una y de la otra. De la Definicion 1.4, los sımbolos de Christoffel se calculan apartir de la metrica con la expresion

Γkij =1

2gkl(∂iglj + ∂j gil − ∂lgij). (B.2)

Si sustituimos B.1 en B.2 y hacemos las derivadas pertinentes y simplificamos,llegaremos a la expresion

Γkij = ∂iΩδkj +

1

2gkl∂iglj + ∂jΩδ

ki +

1

2gkl∂jgik − ∂kΩgij −

1

2∂lgij. (B.3)

Si nos damos cuenta, los sumandos pares forman los sımbolos de Christoffel de lametrica gij, por lo que la expresion nos queda definitivamente:

Γkij = Γkij + ∂iΩδkj + ∂jΩδ

ki − ∂kΩgij. (B.4)

Con la relacion obtenida para los sımbolos de Christoffel, se puede encontrar larelacion entre el resto de tensores de curvatura. Dejamos para el lector interesadoque compruebe los siguientes resultados para algunos de los tensores de curvatura:

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74 APENDICE B. CONEXION DE LEVI-CIVITA CONFORME

R lijk = R l

ijk −∇i∂lΩgjk +∇j∂

lΩgik +∇i∂kΩδlj −∇j∂kΩδ

li +

+ ∂iΩ∂lΩgjk − ∂jΩ∂lΩgik − ∂iΩ∂kΩδlj + ∂jΩ∂kΩδ

lj −

− (∂Ω)2(δligjk − δljgik), (B.5)

Rij = Rij + (N − 2)∇i∂jΩ +∇2Ωgij − (N − 2)∂iΩ∂jΩ +

+ (N − 2)(∂Ω)2gij, (B.6)

R = e−2Ω[R + 2(N − 1)∇2Ω + (N − 1)(N − 2)(∂Ω)2]. (B.7)

Donde N es el numero de dimensiones de la variedad considerada, (∂Ω)2 = ∂iΩ∂iΩ

y ∇2Ω = ∇i∂iΩ.

Apendice C

Breves comentarios acerca deluniverso estatico de Einstein

Figura C.1: Universo estatico de Einstein representado como cilindro. Imagen to-mada de [2].

El universo estatico de Einstein fue la primera solucion cosmologica que se obtuvode las ecuaciones de Einstein, de hecho, fue el mismo quien lo obtuvo. Por losprejuicios que habıa en su epoca, y obligado por las ecuaciones de Friedmann queno permitıan un universo estatico con sus propias ecuaciones, Einstein incluyo eltermino de la constante cosmologica en sus ecuaciones de campo. Gracias a ellopudo obtener una solucion de universo que ni se expandıa ni se contraıa ya que laatraccion gravitatoria era compensada con la la presion que ejercıa la constantecosmologica, que debıa de ser positiva para causar este efecto. La metrica de esteespacio es

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76 APENDICE C. UNIVERSO ESTATICO DE EINSTEIN

ds2 = dt2 − 2

κρM

(dχ2 + sin2 χdΩ2

2

),

donde ρM es la densidad de materia del universo, κ es la constante que apare-ce en la ecuacion de Einstein multiplicando al tensor de energıa-impulso, Tµν yχ ∈ [0,+∞).

En nuestro proyecto, cuando digamos que un espacio es conforme al universo estati-co de Einstein, nos referimos a que lo es con una densidad de masa particular, esdecir ρM = 2

κ, tomando la metrica la forma

ds2 = dt2 − dχ2 − sin2 χdΩ22,

que nos da a entender que tiene topologıa R×S3. Por lo tanto, podemos represen-tarlo como un cilindro donde el eje vertical es el tiempo y las secciones ortogonalesal eje representan las secciones espaciales S3, como queda reflejado en la FiguraC.1. Aquı las geodesicas luminosas pueden volver al punto de inicio en un tiempofinito tras dar la vuelta a todo el universo, dado que este es estatico y no varıade tamano. Este hecho hace tambien que puntos situados en las antıpodas de esteuniverso parezca que estan muy cerca ya que los conos de luz se van abriendoconforme vamos yendo hacia r del orden del tamano de las secciones espaciales.

Bibliografıa

[1] J.M. Perez Poyatos, Estudio comparativo de diferentes tipos de agujerosnegros. Universidad de Granada, Trabajo Fin de Grado en Fısica, Julio de2016.

[2] B. Janssen Teorıa de la Relatividad General, Apuntes de clase de la asig-natura de Relatividad General de 4o curso, Grado en Fısica, Universidad deGranada.

[3] S. Hawking y R. Penrose The nature of space and time, Princeton Uni-versity Press, 1996.

[4] J. Podolsky, The Structure of the Extreme Schwarzschild–de Sitter Space-time. Department of Theoretical Physics, Charles University, Faculty of Mat-hematics and Physics, Prague, Czech Republic.

[5] Lukasz Fidkowski, Veronika Hubeny, Matthew Kleban, andStephen Shenker, The Black Hole Singularity in AdS/CFT. Departmentof Physics, Stanford University, Stanford, CA, 94305, USA.

[6] Brett McInnes, De Sitter and Schwarzschild De Sitter according to Sch-warzschild and De Sitter. Department of Mathematics, National University ofSingapore, 10 Kent Ridge Crescent, Singapore 119260, Republic of Singapore.

[7] Thomas Klosch and Thomas Strobl, Classical and Quantum Gravityin 1+1 Dimensions. Institut fur Theoretische Physik Technische UniversitatWien Wiedner Hauptstr. 8-10, A-1040 Vienna Austria and Institut fur Theo-retische Physik RWTH-Aachen Sommerfeldstr. 26-28, D52056 Aachen Ger-many.

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diagramas de penrose de las soluciones de …bjanssen/text/tfm-perezpoyatos.pdf · \ahora seremos...

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