*Tema : DETERMINANTES

*HABILIDADES: 1.Describe el concepto de determinante a partir de su definicin.

2. Describe las propiedades ms importantes de la funcin determinante.

3. Explica la relacin entre el valor del determinan- te de una matriz cuadrada y su singularidad.

Hace aproximadamente 2000 aos que losmatemticos chinos conocian bien el concepto de determinante. Haban encontrado una relacinentre los coeficientes de sistemas de ecuacioneslineales y la solucin de dichos sistemas. En el mundo occidental, los determinantes fueronempleados primeramente por Gottfried Wilhen Leibniz en 1693.INTRODUCCIN:

*DETERMINANTE DE UNA MATRIZSea A una matriz de orden n , si n=1 se tiene: A=[a], det A= aDETERMINANTE DE LA MATRIZ DE 1x1DETERMINANTE DE LA MATRIZ DE 2X2Se llama determinante de la matriz A de orden 2 al nmero a11.a22-a12.a21 y escribimos:

Determinante de una matriz de orden 3En el caso de matrices cuadradas de orden 3, tambin podemos calcular el determinante de la siguiente manera:Copie la primera y segunda columna de la matriz a su derecha:

Ejercicios1. Evale el determinante de las siguientes matrices:2. Para que valor de a el determinante es cero:

*MENOR DE UNA MATRIZSi A es una matriz de orden nxn,se llama ij- simo menor de A a la matriz: Mij de orden (n-1)x(n-1) que se obtiene al eliminar la fila i y la columna j de A.

CofactorSea A una matriz de orden n>1. Se define el cofactor correspondiente al elemento ai,j , que se denota por Ai,j , como el nmero dado por:observemos que los menores Mi,json matrices de orden (n-1)

DeterminanteSea A=(aij ) una matriz de orden n>1. Se define el determinante de A , que se denota por det(A) |A|, como el nmero:que se denomina desarrollo por los cofactores de la primera fila.Recuerde que:Este desarrollo se puede aplicar a cualquier fila o columna de la matriz

Ejercicios Evale el determinante de las siguientes matrices:

*1. Determinante de la transpuesta Si A es cualquier matriz cuadrada, entonces: det(A)= det(A )tPROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES2. Si B se obtiene INTERCAMBIANDO dos filas de A, entonces el determinante cambia de signo: det B = - det A (OPERACIN ELEMENTAL 1)3. Si B se obtiene MULTIPLICANDO una fila de A por el escalar c, entonces el determinante queda multiplicado por c. det B = c (det A) (OPERACIN ELEMENTAL 2)

*4. Si B se obtiene sumando a una fila de A un mltiplo de otra fila de A, entonces el determinante no se altera det B = det A (OPERACIN ELEMENTAL 3) 5. Determinante de una matriz triangular El determinante de una matriz triangular est dado por el producto de los elementos de su diagonal.

6. Determinante de la inversa Si A es no singular, entonces det(A) 0, y :

= Es decir una matriz tiene inversa si su determinante es diferente de cero.Si el determinante de una matriz es cero , la matriz no tiene inversa.

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