determinantes de orden 2 - yoquieroaprobar.es · 3 dados los determinantes a = 5 8 3 4 1 6 9 9 9 b...

1

Unidad 2. Determinantes BACHILLERATOMatemáticas II

Resuelve

Página 63

Determinantes de orden 2

■ Resuelve los siguientes sistemas y calcula el determinante de cada matriz de coeficientes:

a) x yx y

2 3 293 5–

+ ==

* b) x yx y

5 3 810 6 16

–– –

=+ =

* c) x yx y

4 175 2 19

+ =+ =

*

d) x yx y

9 6 76 4 11

––

=+ =

* e) x yx y

18 24 615 20 5

+ =+ =

* f ) x yx y

3 11 1288 7 46–

+ ==

*

a) x yx y

2 3 293 5–

+ ==4 2

331– = –11 ≠ 0 Solución: x = 4, y = 7

b) x yx y

5 3 810 6 16

–– –

=+ =

4 510

36––

= 0 Solución: x = 58

53+ λ, y = λ

c) x yx y

4 175 2 19

+ =+ =

4 45

12 = 3 ≠ 0 Solución: x = 5, y = –3

d) x yx y

9 6 76 4 11

––

=+ =

4 96

64–

– = 0 Sistema incompatible

e) x yx y

18 24 615 20 5

+ =+ =

4 1815

2420 = 0 Solución: x =

31

34– λ, y = λ

f ) x yx y

3 11 1288 7 46–

+ ==

4 38

117– = –109 ≠ 0 Solución: x =

1091 402 , y =

109886

BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes

2

Matemáticas II

1 Determinantes de orden dos

Página 64

1 Siendo A una matriz 2 × 2, justifica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

a) Para que | A | = 0 es necesario que sus cuatro elementos sean 0.

b) Si los dos elementos de la segunda columna de A son 0, entonces | A | = 0.

c) Si las dos filas de A coinciden, entonces | A | = 0.

d) Si ac

bd = –15, entonces

ca

db = 15.

e) Si mn

37 = 43, entonces

mn

3070 = 430.

a) Falso, 11

00 = 0

b) Verdadero, porque en los dos sumandos del determinante aparece algún elemento de la segunda fila.

c) Verdadero, A = aa

aa

11

11

12

12f p → | A | = a11a12 – a11a12 = 0

d) Verdadero, ( ) ( )ca

db cb ad ad cb

ac

bd 15 15– – – – – –= = = = =

e) Verdadero, ( ) ·mn m n m n

mn

3070 70 30 10 7 3 10

37 10 43 430– –= = = = =

2 Calcula el valor de los siguientes determinantes y di por qué son cero algunos de ellos:

a) 134

62 b)

134

62– c)

111

00

d) 77

22

–– e)

321

1177 f )

14060

73

––

a) 134

62 = 2

b) 134

62– = –50

c) 111

00 = 0, porque tiene una columna de ceros.

d) 77

22

–– = 0, porque tiene sus dos filas iguales.

e) 321

1177 = 0, porque sus filas son proporcionales: (1.ª) · 7 = (2.ª)

f ) 14060

73

–– = 0, porque sus dos columnas son proporcionales: (2.ª) · (–20) = (1.ª)


3

Matemáticas II

3 Sean A = ln

mp

f p y | A | = –13. Calcula:

a) nl

pm b)

ln

mp7 7 c) |3A | d)

nl

pm

33

55

a) n

l

p

mln

mp–= = –(–13) = 13

b) ·ln

mp

ln

mp7 7 7= = 7 · (–13) = –91

c) | 3A | = · ·ln

mp

ln

mp

33

33 3 3= = 9 · (–13) = –117

d) · · ( ) · ·n

l

p

m

n

l

p

mln

mp

33

55

3 5 1 15–= = = (–15) · (–13) = 195


4

Matemáticas II

2 Determinantes de orden tres

Página 65

1 Calcula los siguientes determinantes:

a) 509

136

468

b) 91

0

012

301

–

a) 509

136

468

114–= b) 910

012

301

3– =

2 Halla el valor de estos determinantes:

a) 013

420

111

– b)

1000

47100

599110

a) 013

420

111

14–

= b) 1000

47100

599110

1000=

Página 67

3 Dados los determinantes

A = 583

416

999

B = 583

416

173–

C = 583

416

208

18

justifica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

a) A = 0 porque su tercera columna es suma de las dos primeras.

b) B = 0 porque su tercera columna es diferencia de las dos primeras.

c) C = 0 porque su tercera columna es producto de las dos primeras.

a) Verdadero por la propiedad 9 de los determinantes. Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de las demás paralelas, entonces su determinante es cero.

b) Verdadero por la propiedad 9 de los determinantes. Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de las demás paralelas, entonces su determinante es cero.

c) Falso, porque el producto de dos líneas no es una combinación lineal de ellas.

4 Justifica, sin desarrollar, estas igualdades:

a) 301

10

11

704

0–

= b) 428

192

7114

0– – –

= c) 72

27

49

94

17

710=

a) Tiene una fila de ceros (propiedad 2).

b) La 3.ª fila es proporcional a la 1.ª:

(3.ª) = (–2) · (1.ª) (propiedad 6)

c) La 3.ª fila es combinación lineal de las dos primeras:

(3.ª) = (1.ª) + 10 · (2.ª) (propiedad 9)


5

Matemáticas II

5 Sabiendo que x y z51

01

31

1= , calcula sin desarrollar los siguientes determinantes:

a) x y z3

51

301

331

b) /x y z5

11

501

53 51

c) x

xx

yy

y

zzz

2 51

21

2 31

++ +

++

a) x y z x y z3

51

301

331

3 51

01

31

= = 3 · 1 = 3

b) /x y z5

11

501

53 51

= 5 · 51

x y z

51

01

31

= 1 · 1 = 1

c) x

xx

yy

y

zzz

2 51

21

2 31

++ +

++

= x y z

51

01

31

= 1


6

Matemáticas II

3 Determinantes de orden cualquiera

Página 69

1 ¿Verdadero o falso?

En una matriz A, 4 × 4, sus 16 elementos son números positivos. Entonces:

a) En el desarrollo de | A | hay 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 sumandos, todos positivos.

b) En el desarrollo de | A | hay 12 sumandos positivos y 12 negativos.

c) | A | es, con seguridad, un número positivo.

d) | –A | = | A |.

a) Falso, hay sumandos que corresponden a permutaciones impares, por lo tanto son negativos.b) Verdadero, porque podemos conseguir todas las permutaciones cambiando una vez por cada su-

mando dos elementos entre sí, es decir, pasando de permutación par a impar. Luego la mitad de las permutaciones son pares y la mitad impares, por tanto, hay 12 sumandos positivos y 12 negativos.

c) Falso, los sumandos con signo menos pueden sumar un número mayor que los sumandos con signo negativo.

d) Verdadero, porque usando la propiedad 5: “Si multiplicamos por el mismo número todos los elemen-tos de una línea (fila o columna) de una matriz cuadrada, su determinante queda multiplicado por ese número”.

| –A | = (–1)4 | A | = | A |

2 a) ¿Cuántos sumandos tiene el desarrollo del determinante | aij | de orden 5?

b) Comprueba que el producto a41 · a32 · a55 · a24 · a13 es uno de ellos. ¿Qué signo le corresponde?

a) Tiene 5! = 120 sumandosb) Es uno de los sumandos, porque en él aparece un elemento de cada fila y uno de cada columna. Para ver el signo que le corresponde, ordenamos los cinco factores por los índices de sus filas: a13 · a24 · a32 · a41 · a55

Los índices de las columnas son (3, 4, 2, 1, 5), que es una permutación de (1, 2, 3, 4, 5). Contamos sus inversiones: 3 está en inversión con 2 y 1 4 está en inversión con 2 y 1 2 está en inversión con 1 En total hay 5 inversiones, impar. Le corresponde el signo –.

3 Calcula el valor de los siguientes determinantes:

a)

4120

3146

141

2

279

3654

– b)

12

6126

04

7047

10

4104

03

1031

c)

4000

0003

0800

0010–

d)

1473

011

1

0014

0001

–– e)

6003

0800

0040

0500

a)

4120

3146

1412

2793654

– = 0, porque la última columna es nueve veces la segunda.

b)

12

6126

04

7047

10

4104

03

1031

= 0, porque la tercera fila es F3 = 100F4 + 10F1 + F2.


7

Matemáticas II

c)

4000

0003

0800

0010–

En cada fila y en cada columna solo hay un elemento distinto de cero. Por tanto, de los 4! = 24 su-mandos solo uno de ellos es distinto de cero (pues en los restantes hay algún factor 0):

4 · (–3) · 8 · 1 = –96

Vemos qué signo le corresponde. Se trata del producto a11 · a24 · a32 · a43.

Los índices de las columnas son (1, 4, 2, 3), que es una permutación de (1, 2, 3, 4). Al contar sus inversiones, vemos que 4 está en inversión con 2 y 3.

En total hay 2 inversiones, par. Le corresponde signo +, es decir, mantiene el mismo valor.

4000

0003

0800

0010–

= –96

d)

1473

0111

0014

0001

––

El único sumando que no tiene ningún cero es: a11 · a22 · a33 · a44 = –1

Los índices de las columnas son (1, 2, 3, 4), que tiene 0 inversiones, luego:

1473

0111

0014

0001

–– = –1

e)

6003

0800

0040

0500

= 0, porque la primera fila es el doble de la cuarta.

4 Justifica que la regla de Sarrus para el cálculo de determinantes de orden 3 se ajusta a la definición general de determinante.

Sí, porque:

— En cada producto hay un factor de cada fila y uno de cada columna.

— Están todos los posibles productos con un factor de cada fila y uno de cada columna.

— La mitad de los sumandos tienen signo +, y la otra mitad signo –.

Comprobamos que los signos corresponden a la paridad de la permutación:

a11 · a22 · a33 par: signo +

a12 · a23 · a31 par: signo +

a13 · a21 · a32 par: signo +

a13 · a22 · a31 impar: signo –




8

Matemáticas II

4 Menor complementario y adjunto

Página 70

1 Halla dos menores de orden dos y otros dos menores de orden tres de la matriz M.

M =

24540

361

10

12213

57654

–

–

f pMenores de orden dos; por ejemplo:

M =

24540

36110

12213

57654

–

–

f p ,24

36 0

21

65 4= =

Menores de orden tres; por ejemplo:

M =

24540

36110

12213

57654

–

–

f p ,245

361

122

68110

213

654

21–

– –= =

2 Halla el menor complementario y el adjunto de los elementos a12, a33 y a43.

A =

0214

21

16

4325

6537

–f p

α12 = 214

325

537

= –2; A12 = (–1)(1 + 2) · α12 = –1 · (–2) = 2

α33 = 024

216

657

– = 108; A33 = (–1)(3 + 3) · α33 = 1 · 108 = 108

α43 = 021

211

653

– = 16; A43 = (–1)(4 + 3) · α43 = –1 · 16 = –16


9

Matemáticas II

5 Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea

Página 72

1 Calcula el siguiente determinante aplicando la regla de Sarrus y desarrollándolo por cada una de sus filas y cada una de sus columnas:

35

9

728

164

––

Comprueba que se obtiene el mismo resultado en los siete casos.

Aplicando la regla de Sarrus:

359

728

164

––

= 3 · 2 · 4 + (–5) · 8 · (–1) + 7 · 6 · 9 – (–1) · 2 · 9 – 6 · 8 · 3 – 7 · (–5) · 4 = 456

Desarrollando por la 1.ª fila:

359

728

164

––

= 3 28

64 7

59

64 1

59

28–

––

– = 3 · (– 40) – 7 · (–74) – 1 · (–58) = –120 + 518 + 58 = 456


359

728

164

––

= 5 78

14 2

39

14 6

39

78

– ––+ = 5 · 36 + 2 · 21 – 6 · (–39) = 180 + 42 + 234 = 456


359

728

164

––

= 9 72

16 8

35

16 4

35

72

–– –

––+ = 9 · 44 – 8 · 13 + 4 · 41 = 396 – 104 + 164 = 456

Desarrollando por la 1.ª columna:

359

728

164

––

= 3 28

64 5

78

14 9

72

16

– –+ + = 3 · (– 40) + 5 · 36 + 9 · 44 = –120 + 180 + 396 = 456


359

728

164

––

= –7 59

64 2

39

14 8

35

16

– –– –

–+ = –7 · (–74) + 2 · 21 – 8 · 13 = 518 + 42 – 104 = 456


359

728

164

––

= –1 59

28 6

39

78 4

35

72

–– –+ = –1 · (–58) – 6 · (–39) + 4 · 41 = 58 + 234 + 164 = 456


10

Matemáticas II

2 Dada esta matriz:

35

9

728

164

––

f pa) Halla la suma de los productos de cada elemento de la 1.ª fila por el correspondiente adjunto de

la 3.ª fila.

b) Halla la suma de los productos de cada elemento de la 3.ª columna por el adjunto de los corres-pondientes elementos de la 2.ª columna.

c) Justifica por qué los dos resultados anteriores son cero.

a) a11 · A31 + a12 · A32 + a13 · A33 = 3 · 72

16–

+ 7 · (–1) · 35

16––

– 1 · 35

72– =

= 3 · 44 – 7 · 13 – 1 · 41 = 132 – 91 – 41 = 0

b) a13 · A12 + a23 · A22 + a33 · A32 = –1 · (–1) · 59

64

– + 6 ·

39

14–

+ 4 · (–1) · 35

16––

=

= 1 · (–74) + 6 · 21 – 4 · 13 = –74 + 126 – 52 = 0

c) Por la propiedad 12.


a)

7431

0070

3461

4799

–

b)

3102

1430

11

20

3452

––

c)

0120

0102

3130

4051

d)

3508

1616

4237

0001

–

a)

7431

0070

3461

4799

–

=(1) –7 741

341

479

– = –7 · 290 = –2 030

(1) Desarrollando por la 2.a columna.

b)

3102

1430

1120

3452

––

=(1) –2 143

112

345

2310

143

112

––

––+ = –2 · 28 + 2 · 28 = 0

(1) Desarrollando por la 4.a fila. También podríamos haber observado que la 4.a columna es igual a la suma de las otras tres; y, por

tanto, el determinante vale cero.

c)

0120

0102

3130

4051

=(1) 120

102

051

4120

102

130

– = 3 · (–12) – 4 · (–2) = –36 + 8 = –28

(1) Desarrollando por la 1.a fila.

d)

3508

1616

4237

0001

–

=(1) 350

161

423

– = 83

(1) Desarrollando por la 4.a columna.


11

Matemáticas II

6 Método para calcular determinantes de orden cualquiera

Página 73


a)

4226

25

02

7348

163

0

–– b)

3415

5751

2830

227126

–

c)

10132

20013

011

01

31

200

43112– –

–

–

– d)

032

0

0014

1102

2031

––

a)

4226

2502

7348

1630

–– =

columnas(1.ª) – 3 · (2.ª)

(2.ª)

(3.ª) – 4 · (2.ª)

(4.ª)

21720

2502

12340

1630

––

–

– =(1) 2 · 2

172

1234

163

– –

– = 2 · 145 = 290

(1) Desarrollando por la 4.ª fila.

b)

3415

5751

2830

227126

–

=

columnas(1.ª) – 5 · (2.ª)

(2.ª)

(3.ª)

(4.ª) – 6 · (2.ª)

2831240

5751

2830

3215180

––

––– =(1)

283124

283

321518

––

––

= 0

(1) Desarrollando por la 4.ª fila.

c)

10132

20013

01101

31200

43112– –

–

–

– =

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) + (2.ª)

(4.ª)

(5.ª) + (2.ª)

filas

10132

20013

01000

31101

43415– –

–

–

= –

1132

2013

3101

4415– – –

=

=

filas(1.ª) – 3 · (2.ª)

(2.ª)

(3.ª)

(4.ª) + (2.ª)

–

2131

2013

0100

8419

–

– –

–

= 231

213

819

–

– –

– = –16

d)

0320

0014

1102

2031

––

=

filas(1.ª)

(2.ª)

(3.ª)

4 · (3.ª) + (4.ª)

0328

0010

1102

20313

038

112

2013

––

––

= =

= (1.ª)

(2.ª)

(–2) · (2.ª) + (3.ª)

columnas

– 038

112

029

38

29

–– –

–= = 27 – 16 = 11


12

Matemáticas II

7 El rango de una matriz a partir de sus menores

Página 75

1 Calcula el rango de las siguientes matrices:

A =

1347

21

10

3033

0112

1101

4268

––

f p B =

426

12

235

10

1236

56

1223

358

16

f p C =

1101

01

01

0200

1100

1010

––

f p D =

2571

1120

033

2

178

2

––

–––f p

A =

1347

2110

3033

0112

1101

4268

––

f pTomamos el menor de orden 2:

13

21– = –7 ≠ 0. Las dos primeras filas son linealmente independientes.

La 3.ª fila es la suma de las dos primeras, y la 4.ª fila es la suma de la 2.ª y la 3.ª → ran (A ) = 2.

B =

42612

23510

1236

561223

35816


42

23 = 8 ≠ 0. Las dos primeras filas son linealmente independientes.

Tomamos menores de orden 3: 426

235

5612

= 8 ≠ 0 → Las 3 primeras filas son linealmente indepen-dientes.

Tomamos menores de orden 4:

42612

235

10

1236

561223

= 0 y

42612

23510

561223

35816

= 0 → ran (B ) = 3.

C =

1101

0101

0200

1100

1010

––


11

10–

= 1 ≠ 0. Las dos primeras filas son linealmente independientes.

Como 020

110

101

02

11

–= = –2 ≠ 0, y

0101

0200

1100

1010

020

110

101

––

––

= , entonces ran (C ) = 4.

D =

2571

1120

0332

178

2

––

–––f p

Tomamos el menor de orden 2: 25

11 = –3 ≠ 0. Las dos primeras filas son linealmente independientes.

Como 251

110

032– = –9 ≠ 0 y la 3.ª fila es la suma de las dos primeras, entonces ran (D ) = 3.


13

Matemáticas II

8 Otro método para conseguir la inversa de una matriz

Página 78

1 Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices:

A = 112

105

133

––

– –

–f p B =

21

12

––

e o

Calculamos la inversa de la matriz A: | A | = –1 ≠ 0 → existe A –1

αij ⎯⎯→ Adj (A ) ⎯⎯→ (Adj (A ))t ⎯⎯→ A –1 = | |A1 (Adj (A ))t

8 8 8 A1583

952

531

1583

952

531

1595

853

321

1595

853

321

–

––

–

–

–––

–––

–––

–––

–––

–––

1–=f f f fp p p p

Calculamos la inversa de la matriz B: | B | = –3 ≠ 0 → existe B –1

αij ⎯⎯→ Adj (B ) ⎯⎯→ (Adj (B ))t ⎯⎯→ B –1 = | |B1 (Adj (B ))t

8 8 8 B21

12

21

12

21

12 3

1 21

12

––

– – ––

– ––

1–=e e e eo o o o

2 Calcula la inversa de estas matrices:

A =

1003

2122

3230

1011

–

–

– –

f p B =

1000

1100

0110

0011

f pCalculamos la inversa de la matriz A: | A | = –5 ≠ 0 →existe A –1


8 8 8 A

5050

6382

3441

3611

5050

638

2

34

41

3611

56

33

034

6

58

41

0211

51

56

33

034

6

58

41

0211

–

–

–

–

–

–

–

––

–––

––

–

––

–––

–

––

–

––

–––

1–=f f f fp p p pCalculamos la inversa de la matriz B: | B | = 1 ≠ 0 → existe B –1

αij ⎯⎯→ Adj (B ) ⎯⎯→ (Adj (B ))t ⎯⎯→ B –1 = | |B1 (Adj (B ))t

8 8 8 B

1111

0111

0011

0001

1111

0111

0011

0001

1000

1100

1110

1111

1000

1100

1110

1111

–

––

–

––

–

–

––

–

–1–=f f f fp p p p


14

Matemáticas II

Ejercicios y problemas resueltos

Página 79

1. Cálculo de un determinante de orden 4

Hazlo tú. Calcula el valor de este determinante en función del parámetro a:a

aaa

aa

aa

aaa

a

aaaa

22

22

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

a

22

22

2111

1211

1121

1112

4=

Sumamos las filas 2.ª, 3.ª y 4.ª a la 1.ª:

a a

5111

5211

5121

5112

5

1111

1211

1121

1112

4 4=

(1.ª)

(2.ª) – (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

(4.ª) – (1.ª)

= a a5

1000

1100

1010

1001

54 4=

El valor del último determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal principal, por corres-ponder a una matriz triangular.

2. Propiedades de los determinantes

Hazlo tú. Si apx

bqy

crz

= 7, calcula el valor de estos determinantes sin desarrollarlos:

a) a x

px p

b yq

y q

c zr

z r

2

2

2

2

2

2

+

+

+

+

+

+ b)

bqy

c br qz y

apx

555

–––

+++

a) a x

p

x p

b y

q

y q

c z

r

z r

2

2

2

2

2

2

+

+

+

+

+

+

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (2.ª)

= a x

p

x

b y

q

y

c z

r

z

2

2

2

2

2

2

+ + + =

= 2 a x

p

x

b y

q

y

c z

r

z

2 2 2+ + +

(1.ª) – 2 · (3.ª)

(2.ª)

(3.ª)

= 2 ap

x

bq

y

cr

z

= 14

b) bq

y

c br q

z y

ap

x

555

–––

+++

= 5 bq

y

c br q

z y

ap

x

bq

y

c br q

z y

ap

x

5–––

–+++

=+++

=(*) –5 bq

y

cr

z

ap

x

=(**) –5 ap

x

bq

y

cr

z

= –35

(*) 2.ª columna – 1.ª.

(**) Permutamos la 3.ª columna por la 2.ª y luego, la 2.ª columna por la 1.ª.


15

Matemáticas II

3. Resolver una ecuación

Hazlo tú. Comprueba, sin calcular el valor del determinante, que la siguiente ecuación tiene tres soluciones:

xxx

1 1248

13

927

14

1664

0–

2

3

=

Esta ecuación es de grado 3, tiene como máximo 3 soluciones y tiene un número impar de soluciones reales.

x

x

x

1 1248

13927

141664

–2

3

columnas(1.ª)

(2.ª) – (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

(4.ª) – (1.ª)

= x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

1 0248

03

927

04

1664

–––

– –––

–––

2

3

2

3

2

3

2

3

=

= (2 – x)(4 – x) x

x

x

x

x x

x

x

x

x

x x

1 01

22 4

03

927

01

44 16

– –––

2

3 2

2

3 2+

+ ++

+ +

columnas(1.ª)

(2.ª)

(3.ª)

(4.ª) – (2.ª)

=

= (2 – x)(4 – x) x

x

x

x

x x

x

x

x x

1 01

22 4

03

927

002

2 12

0– –

––

2

3 2

2

3+

+ + +

=

Esta ecuación tiene al menos dos soluciones, por tanto tiene tres soluciones.

Página 80

4. Demostrar una igualdad

Hazlo tú. Demuestra que existe una matriz cuadrada A, de orden 2, simétrica y con | A | = –7 que verifica:

A 21

63

41

123– –

– –=e eo o

A = ab

bc

e o

ab

bc

21

63

41

123– –

– –=e e eo o o

a bb c

a bb c

22

6 36 3

41

123

––

––

– –=f ep o

, ,8 l l la bb c a b c

2 42 1 4

72

1– ––

–== = = + =3

| A | = l l l 8 l 8 A4

72

1 7 312

23

– – ––2+ = = =c em o


16

Matemáticas II

5. Estudio del rango de una matriz que depende de un parámetro

Hazlo tú. Estudia el rango de las siguientes matrices según los valores del parámetro k :

a) M = k

k13 6

4

39

6

264

––

––

–

–f p b) N =

k

k

1012

1100

0123

5

3

–

––

f pa) El menor formado por las tres primeras columnas es:

k

k13 6

4

396

––

–– = 9k 2 – 36k + 36

9k 2 – 36k + 36 = 0 → k = 2 •Sik ≠ 2 → ran (M ) = 3 •Sik = 2 → ran (M ) < 3, porque la 3.ª y la 4.ª columnas son proporcionales.

Para k = 2: M = 132

264

396

264

––

––

–

–f p

Todas las columnas son porporcionales, luego ran (M ) = 1

b) 101

110

012

–

– = –3 ≠ 0 → ran (M ) ≥ 3

k

k

1012

1100

0123

5

3

–

––

= 20 – 2k

20 – 2k = 0 → k = 10 •Sik ≠ 10 → ran (M ) = 4 •Sik = 10 → ran (M ) = 3

Página 81

6. Propiedades de los determinantes y rango de una matriz

Hazlo tú. Si A y B son dos matrices cuadradas de orden 2, tales que ran (A) = 2 y ran (B ) = 1, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?:

a) ran (A + B ) = 3

b) ran (A + B ) ≤ 2

c) ran (A + B ) > 1

a) Falsa, porque A + B tiene dimensión 2 × 2, no tiene 3 filas ni 3 columnas.b) Verdadera, porque A + B tiene dimensión 2 × 2.c) Falsa:

A = 10

11–e o → ran (A ) = 2 B =

10

10

–e o → ran (B ) = 1

A + B = 10

11

10

10

00

01

– –+ =e e eo o o → ran (A + B ) = 1


17

Matemáticas II

7. Cálculo de la matriz inversa

Hazlo tú. Dada esta matriz:

A = aa

104

0

1

13

–

–f p

a) Halla los valores de a para los cuales A es regular.

b) Para a = 2, halla la matriz inversa de A.

a) | A | = aa

104

0

1

13–

– = –a 2 + 4a – 3

–a 2 + 4a – 3 = 0 → a = 3, a = 1

A es regular para a ≠ 3 y a ≠ 1.

b) a = 2:

| A | = 1

A = 8 8 8 A104

021

131

712

1223

812

712

1223

812

712

8

121

232

–

–

– – – ––

–

––

–

–

–

–– 1–=f f f fp p p p


18

Matemáticas II

Ejercicios y problemas guiados

Página 82

1. Propiedades de los determinantesSi c1, c2 y c3 son las columnas 1.ª, 2.ª y 3.ª de una matriz cuadrada de orden 3 tal que |c1 c2 c3 | = 7, calcular:

a) |c3 c1 c2 | b) | 3c1 c2 + c1 – c3 | c) |c1 + 2c3 c2 2c3 – c1 |

a) | c3 c1 c2 | = (–1)2 | c1 c2 c3 | = 7

b) | 3c1 c2 + c1 –c3 | = 3(–1) | c1 c2 + c1 c3 | = –3 | c1 c2 c3 | = –21

c) | c1 + 2c3 c2 2c3 – c1 | = | c1 c2 + c1 4c3 | = 4 | c1 c2 + c1 c3 | = 28

2. Resolver una ecuación con un determinanteEstudiar, según los valores de a, el número de soluciones reales que tiene la siguiente ecuación:

xaaa

axaa

aaxa

aaax

2

2

2

2

= 0

x a

x a

x a

x a

a

x

a

a

a

a

x

a

a

a

a

x

3333

0

2

2

2

2

2

2

2

++++

= → (x 2 + 3a)

axaa

aaxa

aaax

1111

02

2

2

= → (x 2 + 3a)

ax a

a

x a

a

x a

1000

00

0

0

00

––

–

2

2

2

= 0

(x 2 + 3a)(x 2 – a)3 = 0• Sia = 0 → x 8 = 0 → x = 0• Sia > 0 → (x 2 + 3a) = 0, no tiene solución → (x 2 – a)3 = 0 → x = – a , x = a• Sia < 0 → (x 2 – a)3 = 0, no tiene solución → (x 2 + 3a) = 0 → x = – a3– , x = a3–

3. Determinar los elementos de una matrizDadas las siguientes matrices:

A = 20

11

e o B = ba

c2

23–

+e o

determinar los valores de a, b y c de modo que | B | = 8 y AB = BA.

| B | = ba

c2

23–

+ = 3b – 2a + 2c – ab + 6 = 8

ba

c ba

c20

11

22

3 22

3 20

11

– –+ = +

e e e eo o o o

bb

a cc b

ab c

62

2 6 42 4

12

– –++

+= + + +

e eo o

8ba c a

c b cb

6 42 6 1

22– – –

+ =+ =

= + +=4

, ,8 8 8ba c ab a c ab

ba c

a c a

ba cc

a b c2

2 6 13 2 2 6 8

25

6 2 2 2 6 8

25

2 81 2 4

–– –

– –

–

– –

––

=+ =

+ + =

=+ =

+ + + =

=+ ==

= = =4 4 4


19

Matemáticas II

4. Rango de una matriz que depende de dos parámetros

Estudiar el rango de esta matriz:

B = fa

b11

1

11

102

22

–– –

–p

ran (B ) ≤ 3

a

111

11

102

–– –

= a + 1

Si a ≠ –1 → ran (B ) = 3

b1

11

102

22

––

– = –2b – 4

Si b ≠ –2 → ran (B ) = 3

Si a = –1 y b = 3 → ran (B ) = 2

5. Resolver una ecuación matricial

Dada la matriz A = fm

m2

01

01

0

0

–

–p:

a) Calcular los valores de m para los que A tiene inversa.

b) Para m = 1, calcular la matriz X que verifica XA + X – 2A = 0.

a) m

m201

01

0

0

–

– = m 2 – 2m

m 2 – 2m = 0 → m = 0, m = 2

Si m ≠ 0 y m ≠ 2 → A tiene inversa.

b) XA + X – 2A = 0 → X (A + I ) = 2A → X = 2A (A + I )–1

Para comprobar que este paso es válido, veamos si (A + I )–1 existe.

A + I = 201

101

010

100

010

001

101

111

011

–

–

–

–+ =f f fp p p

| A + I | = –1, luego tiene inversa.

(A + I )–1 = 211

110

111

––

––f p

X = 22

01

101

010

211

110

111

622

200

220

–

–

––

––

–

–=f f fp p p


20

Matemáticas II

Ejercicios y problemas propuestos

Página 83

Para practicar

Determinantes. Propiedades

1 Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) a

311

411

51–

–

– = 0 b)

a

aa

10

1

16

2

130

–

–

–+ = 0 c)

a

202

123

122

= 0 d) a

aa

111

12

1

2

+ = 0

a) a

311

411

51–

–

– = 7 – 7a = 0 → a = 1

b) a

aa

10

1

16

2

130

–

–

–+ = a 2 + 2a – 3 = 0 → a = 1, a = –3

c) a

202

123

122

= 4a 2 – 12 = 0 → a = 3 , a = – 3

d) a

aa

111

12

1

2

+ = –a 3 – a 2 + 6a = 0 → a = –3, a = 0, a = 2

2 Halla el valor de los siguientes determinantes de orden 4:

a)

1040

0306

2000

0051

b)

2345

1102

3132

1011

–

–

a)

1040

0306

2000

0051

=(1) 2 040

306

051

= 2 · (–12) = –24

(1) Desarrollamos por la 3.ª columna.

b)

2345

1102

3132

10

11

–

–

=

filas(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (1.ª)

(4.ª) – (1.ª)

2323

1111

3161

1000

–

–

=(1) 0

(1) El determinante se anula, puesto que tiene dos filas iguales.


21

Matemáticas II

3 Calcula el valor de los siguientes determinantes:

a)

1223

0341

1225

22

13

––

–

b)

1232

1111

2347

0130

–

c)

1213

2124

3241

4152

d)

1207

3258

21

109

1342

––––

–

–

a)

1223

0341

1225

2213

––

–

= –72 b)

1232

1111

2347

0130

–

= –18

c)

1213

2124

3241

4152

= 0 d)

1207

3258

21109

1342

––––

–

–

= 938

4 Si mp

nq = –5, ¿cuál es el valor de cada uno de los siguientes determinantes? Justifica las respues-

tas:

a) m n

np q

q3 3+ +

b) pq

mn c)

nq

mp

33

––

d) pq

mn

22 e)

/mp

n mmq

1 f )

mp

mp

55

a) m n

n

p q

q

3 3+ +

( )1=

m

n

p

q

( )2=

mp

nq = –5

b) p

q

m

n

p

m

q

nmp

nq–

( ) ( )2 3= = = –(–5) = 5

c) nq

mp

nq

mp

mp

nq

33 3 3

–– –

( ) ( )4 3= = = 3 · (–5) = –15

d) p

q

m

n

p

q

m

n

p

m

q

nmp

nq

22

2 2 2–( ) ( ) ( )4 2 3= = = = –2 · (–5) = 10

e) /

mpn mmq m

mmp

nq

mp

nq

1 1 ·( )4= = = –5

f ) mp

mp

55 = 0, pues las dos columnas son proporcionales.

(1) Si a una fila le sumamos otra multiplicada por un número, el determinante no varía.

(2) El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta.

(3) Si cambiamos de orden dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo.

(4) Si multiplicamos una fila o una columna por un número, el determinante queda multiplicado por ese número.


22

Matemáticas II

5 Sustituye los puntos suspensivos por los números adecuados para que se verifiquen las siguientes igualdades:

a) 35

73

23

73

73– –

…… –= + b)

42

30

62

10 2 0

– – … …= +

a) 35

73

23

73

73

12– – –= + b)

42

30

62

10 2 0

10 4– – –= +

6 Sabiendo que ax

by

cz

1 1 1 = 5, calcula el valor de los siguientes determinantes:

a) / / /

ax

by

cz

17

2

17

2

17

2+ + + b) c a

z xb cy z

cz

0 0 1––

––

c) x

a xx

yb y

y

zc z

z

12

2

12

2

12

2

– – –+ + +

a) / / / / / / / / /

ax

by

cz

ax

by

cz x y z

ax

by

cz

17

2

17

2

17

2

1

2

1

2

1

2

172

172

172

21

1 1 10

21 5

25·

( ) ( )1 2+ + + = + = + = =

(1) Descomponemos el determinante en suma de dos.

(2) Sacamos 21 factor común de la 3.ª fila. El 2.° determinante es 0, pues las dos primeras filas son

proporcionales.

b) c az x

b cy z

cz

0 0 1––

––

= (1.ª) – (3.ª)

(2.ª) + (3.ª)

(3.ª)

columnas

ax

by

cz

ax

by

cz

1 1 1 1 1 15

–––

– –( )1= =

(1) Sacamos –1 factor común de la 1.ª columna.

c) x

a x

x

y

b y

y

z

c z

z

12

2

12

2

12

2

– – –+ + + =

(1.ª)

(2.ª) – (3.ª)

(3.ª)

filas

x

ax

y

by

z

cz

x

ax

y

by

z

cz

1

2

1

2

1

22

1 1 1– – – – – –( )1= =

= (1.ª) + (3.ª)

(2.ª)

(3.ª)

filas

ax

by

cz

21 1 1

= 2 · 5 = 10

(1) Sacamos factor común el 2 de la 3.ª fila.

7 Sabiendo que a b c

16

20

33 = 3 y utilizando las propiedades de los determinantes, calcula:

a) El determinante de la matriz fa b c

26

40

63p

4

. b) a b c

102

3

200

3

3013

c) a

aa

bb

b

cc

c

3 22

6

3 42

3 62

3

+

+

+ +

+

a) a b c a b c

26

40

63 2

16

20

33 6= =

a b c

26

40

63 6

4

4=

La solución es 64 = 1 296


23

Matemáticas II

b) a b c a b c a b c a b c

1023

2003

3013

10123

203

31 10

31

163

203

333

1031 3

16

20

33 60

3· · ·= = = =

c) a

aa

bbb

cc

c

aa

a

bbb

cc

ca

abb

cc

3 22

6

3 42

3 62

32

3 2

6

3 4 3 6

32

2

6

4 6

3

+

+

+ +

+=

+

+

+ +

+=

+ +=

= · · · · ( )aa

bb

cc

a b ca b c

1

6

2 3

32 2 2 2

1

6

2

0

3

32 2 1

16

20

33 12– –

+ += = =

8 a) Resuelve la ecuación | A | = 0 siendo A = fa

aa

a

a0

01

0

20

––

–p.

b) Para a = 3, obtén el determinante de la matriz 2A.

a) a

aa

a

a0

01

0

20

––

–

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) + (1.ª)

= a

aa

a00

01

0

20– = a 2(a – 1) = 0 → a = 0, a = 1

b) a = 3

303

020

603– –

| 2A | = 23 | A | = 8 · 9 · 2 = 144

Rango de una matriz

9 Halla el rango de estas matrices:

a) A = f

3614

51005

12

10

–p b) B = f

141

250

360

123

114

–p c) C = f

2002

1020

0211

01

00

–

––

–p d) D = f

102

217

013

32

0––

– p

a) A =

3614

51005

1210

–f p Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero:

05

10 = –5 ≠ 0 → ran (A ) ≥ 2

Las dos últimas filas son linealmente independientes.

Veamos si la 2.a fila depende linealmente de las dos últimas:

614

1005

210

– = 0 → La 2.a fila depende linealmente de las dos últimas.


24

Matemáticas II

Veamos si la 1.a fila depende de las dos últimas:

314

505

110

= 10 ≠ 0. Por tanto, ran (A) = 3.

b) B = 141

250

360

123

114

–f p

Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero: 41

50 = –5 ≠ 0

Las dos primeras columnas son linealmente independientes. Luego, ran (B ) ≥ 2.

Veamos si la 3.a columna depende linealmente de las dos primeras:

141

250

360

25

36= = –3 ≠ 0. Por tanto, ran (B ) = 3.

c) C =

2002

1020

0211

0100

–

––

–f p Calculamos | C |:

| C | =

2002

1020

0211

0100

–

––

– =

filas(1.ª)

(2.ª)

(3.ª)

(4.ª) – (1.ª)

2000

1021

0211

0100

2021

211

100

–

––

–––

–( )1= =

= 2(2 – 1) = 2 ≠ 0 → ran (C ) = 4

(1) Desarrollamos por la 1.a columna.

d) D = 102

17

013

320

2––

–f p

Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero: 10

21 ≠ 0

Las dos primeras filas son linealmente independientes.

Veamos si la 3.a fila depende linealmente de las dos primeras:

102

217

013

––

= –3 – 4 + 7 = 0

102

217

32

0– = – 8 – 6 + 14 = 0

La 3.ª fila depende linealmente de las otras dos.

Por tanto, ran (D ) = 2


25

Matemáticas II

10 Estudia el rango de las siguientes matrices según el valor del parámetro que aparece en ellas:

a) A = fa

213

111

02– p b) B = f

aa1

1

12

1

02

2–

–– p c) C = fa

a2

3

131

42

–

–p d) D = f a

a

111

1

1

11– p

a) | A | = a

213

111

02– = 2a – 6 + 4 – a = a – 2 = 0 → a = 2

•Sia = 2 → Como | A | = 0 y 111

2 = 1 ≠ 0 → ran (A ) = 2

•Sia ≠ 2 → | A | ≠ 0 → ran (A ) = 3

b) | B | = a

a11

121

022

––

– = 4a 2 – 2 – 2a + 2 = 4a 2 – 2a = 0 → 2a(2a – 1) = 0 a

a

0

21

=

=

Observamos que 11

02– = 2 ≠ 0 → ran (B ) ≥ 2

•Sia = 0 → | B | = 0 → ran (B ) = 2

•Sia = 21 → | B | = 0 → ran (B ) = 2

•Sia ≠ 0 y a ≠ 21 → | B | ≠ 0 → ran (B ) = 3

c) | C | = aa2

3

131

42

–

– = 12 – a 2 – 12 – 9a + 8 + 2a = –a 2 – 7a + 8 = 0 →

→ a = ±2

7 49 322

7 812

7 9– –

±–±+ = =

aa

81–=

=

Observamos que 31

42– = 10 ≠ 0 → ran (C ) ≥ 2

Por tanto:

•Sia = 1 → | C | = 0 → ran (C ) = 2

•Sia = – 8 → | C | = 0 → ran (C ) = 2

•Sia ≠ 1 y a ≠ – 8 → | C | ≠ 0 → ran (C ) = 3

d) | D | = aa

111

1

1

11– = –a 2 + 1 + 1 + a – 1 – a = –a 2 + 1 = 0

aa

11–

==

•Sia = 1 → D = 8111

111

111

11

11– –f p ≠ 0 → ran (D ) = 2

•Sia = –1 → D = 8111

111

111

11

11

––f p ≠ 0 → ran (D ) = 2

•Sia ≠ 1 y a ≠ –1 → | D | ≠ 0 → ran (D ) = 3


26

Matemáticas II

Página 84

11 Halla los valores del parámetro m para los que el rango de A = fmm

mm

mm

1 1 12 2

2p es menor que 3.

( )mm

mm

mm

mm

m m m mm m

m m mm

m m1 1 1 1 0

0

0 1 0

0

011

– ––

– –2 2

2

2 2

2

2 2= = =

= ( ) ( ) ( )mm

m m m m mm

m m1 0

10

011

1 010

001

– – –2 2 2 2 2 2= =

(m 2 – m)2 = 0 → m = 1, m = 0Si m = 0 o m = 1, entonces ran (A ) < 3

12 Estudia el rango de estas matrices según el valor del parámetro a :

a) A = fa

11

1

1211

131

1

2812

––

––

–

p b) B = fa1

23

246

369

812

p c) C = a

a a11 1

2 1–– –

e o d) D = a

aa

a a2 1 2 1

2– – –e o

a) Si | A | = 0 → a = 2• Sia = 2 → ran (A ) = 3• Sia ≠ 2 → ran (A ) = 4

b) B = a1

23

246

369

812

f p• Sia = 4 → las cuatro filas son proporcionales → ran (B ) = 1

• Sia ≠ 4 → a3

6 8 ≠ 0 → ran (B ) = 2

c) C = 8a

a aa

a11 1

2 1 11–

– –––

e o = –a 2 + 1 = 0 aa

11–

==

• Sia = 1, queda:

C = 11

11

11

––

e o → ran (C ) = 1

• Sia = –1, queda:

C = 811

11

13

11

13

– ––

––

e o = 2 ≠ 0 → ran (C ) = 2

• Sia ≠ 1 y a ≠ –1 → ran (C ) = 2

d) D = 8a

aa

a aa

aa

a2 1 2 1

22 1 2– – – – –e o = a 2 – 2a – a + 2a 2 = 3a 2 – 3a = 0

aa

10

==

• Sia = 0 → D = 20

10

10

– –e o → ran (D ) = 1

• Sia = 1 → D = 11

11

12

– – –e o → Las dos filas no son proporcionales → ran (D ) = 2

• Sia ≠ 0 → ran (D ) = 2


27

Matemáticas II

13 Estudia el rango de la matriz M según los valores de t.

a) M = f tt

111

2

8 3

333

122– –p b) M = f t

t

101

0

3

44

202– –p c) M = f t

t

t1

0

10

102

120

+p

a) M = f tt

111

2

8 3

333

122– –p

111

333

122

0–

=

( )tt

tt

tt

tt

111

2

8 3

122

100

22

6 3

113

23 6

13

23 2

13 0

– ––– –

––– –

––= = = = → ran (M ) < 3

Tomamos un menor de orden 2: 33

12 = 3 ≠ 0 → ran (M ) = 2, para cualquier t.

b) M = f tt

101

0

3

44

202– –p

t

101

44

202

0– –

=

t101

0

3

202

0– –

=

tt

t t0

3

44

202

2 8 24–

–2= +

2t 2 + 8t – 24 = 0 → t = 2, t = – 6 Si t ≠ 2 y t ≠ – 6 → ran (M ) = 3


20 = – 8

Si t = 2 → ran (M ) = 2 Si t = – 6 → ran (M ) = 2

c) M = f tt

t1

0

10

102

120

+p

t

tt t

10

102

120

2 2 4–2+

= +

2t 2 + 2t – 4 = 0 → t = 1, t = –2

tt

t1

0

102

120

2 4–+

=

2t – 4 = 0 → t = 2 Como se anulan en puntos distintos, tenemos que ran (M ) = 3, para cualquier t.


28

Matemáticas II

14 Estudia el rango de las siguientes matrices según los valores del parámetro a :

a) A = fa

aa a

12

1

2

325

01p b) B = fa

aa

1

1

11

1

220

21

1++ p

c) C = faa

a a a

11

0

101

12

1

12

2– – –

– –

–

–2

+

+p d) D = f

a

aa

a

aa

a a a

11 2

24

2 2 4

13

2 2

––

– –2 2 +p

a) A = a

aa a

12

1

2

325

01f p


01 = 3 ≠ 0, luego ran (A ) ≥ 2.

aa a

1

2

325

01 = –3a 2 + 8a – 5 = 0 → a =

35 , a = 1

a

a12

325

01 = 2a 2 – 8a + 6 = 0 → a = 3, a = 1

Solo se anulan los dos menores de orden 3 si a = 1. •Sia ≠ 1 → ran (A ) = 3 •Sia = 1 → ran (A ) = 2

b) B = aa

a1

1

11

1

220

21

1++f p


20 = –2 ≠ 0, luego ran (B ) ≥ 2.

aa

1

1

11

1

220+

= 2a 2 – 2 = 0 → a = –1, a = 1

a a1

1

220

21

1+ = 0

•Sia ≠ 1 y a ≠ –1 → ran (B ) = 3 •Sia = 1 → ran (B ) = 2 •Sia = –1 → ran (B ) = 2

c) C = aa

a a a

11

0

101

12

1

12

2– – –

– –

–

–2

+

+f p


12– = –2 ≠ 0, luego ran (C ) ≥ 2.

aa

a a

11

0

101

12

1– – –

– –2

+ = a 3 – a = 0 → a = 1, a = 0, a = –1

a a a

101

12

1

12

2–– –

–

–2 + = –2a 2 + 4a – 2 = 0 → a = 1

•Sia ≠ 1 → ran (C ) = 3 •Sia = 1 → ran (C ) = 2


29

Matemáticas II

d) D = a

aa

a

aa

a a a

11 2

24

2 2 4

13

2 2

––

– –2 2 +f p


13 = 2 ≠ 0, luego ran (D ) ≥ 2.

a

aa

a a

11 2

12

2 22 + = a 2 + 2a = 0 → a = –2, a = 0

a

aa

a a a

11

24

2 2 4

13

2 2

––

– –2 + = –2a 2 – 2a + 4 = 0 → a = 1, a = –2

•Sia ≠ –2 → ran (D ) = 3

•Sia = 1 → ran (D ) = 2

Matriz inversa

15 Halla la matriz inversa de las siguientes matrices:

a) M = 25

24

––

e o

b) N = 35

02–

e o

a) | M | = 2 ≠ 0 → la matriz M tiene inversa. La calculamos:

αij ⎯⎯→ Adj (M ) ⎯⎯→ (Adj (M ))t ⎯⎯→ M –1 = | |M1 (Adj (M ))t

42

52

––e o ⎯→

42

52

– –e o ⎯→ 45

22

––e o ⎯→

21 4

522

––e o = M –1

M –1 = /2

5 211

––e o es la matriz inversa.

b) | N | = 6 ≠ 0 → la matriz N tiene inversa. La calculamos:

αij ⎯⎯→ Adj (N ) ⎯⎯→ (Adj (N ))t ⎯⎯→ N –1 = | |N1 (Adj (N ))t

20

53–e o ⎯→

20

53

e o ⎯→ 25

03

e o ⎯→ 1562 0

3e o = N –1

N –1 = / //

5 60

1 21 3e o es la matriz inversa.


30

Matemáticas II

16 a) Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices:

A =f 102

210

103p B = f

202

111

031p

b) Resuelve las ecuaciones AX = B y XB = A siendo A y B las matrices del apartado anterior.

a) | A | = 102

210

103

= 1 ≠ 0 → Existe A –1

αij ⎯⎯→ Adj (A ) ⎯⎯→ (Adj (A ))t ⎯⎯→ | |

AA11– = (Adj (A ))t

361

010

24

1–

––f p ⎯→

361

010

241

––

–f p ⎯→

302

614

101–

– –f p ⎯→

302

614

101–

– –f p = A –1

| B | = 202

111

031

= 2 ≠ 0 → Existe B –1

αij ⎯⎯→ Adj (B ) ⎯⎯→ (Adj (B ))t ⎯⎯→ | |

BB11– = (Adj (B ))t

213

626

202

– – –f p ⎯→

213

626

202

––

–

–f p ⎯→

262

120

36

2

–

–

––f p ⎯→

/ /131

1 210

3 23

1

–

–

––f p = B –1

b) AX = B → A –1 AX = A –1B → X = A –1B

X = A –1B = 302

614

101

202

111

031

402

413

19313–

– –

–

– –=f f fp p p

XB = A → XBB –1 = AB –1 → X = AB –1

X = AB –1 = / / / /1

02

210

103

131

1 210

3 23

1

435

3 211

7 23

6

–

–

––

– –

––=f f fp p p

17 Calcula la inversa de esta matriz:

A = f111

210

011– –p

111

210

011– –

= –1

8 8 8 8 A111

210

011

122

011

121

122

011

121

101

212

211

101

212

211– –

–– –

–

–––

––

–––

–– –

– –1– =f f f ff p p p pp


31

Matemáticas II

18 Dada la matriz A = f xx

104

0

1

13

–

–p, halla:

a) Los valores de x para los que la matriz A posee inversa.

b) La inversa de A para x = 2.

c) El valor de b ∈ Á para que la matriz bA tenga determinante 1.

a) xx

104

0

1

13–

– = –x 2 + 4x – 3 = 0 → x = 3, x = 1

A posee inversa si x ≠ 3 y x ≠ 1.

b) 104

021

132

–

– = 1

8 8 8 8 A104

021

132

712

1223

812

712

1223

812

712

8

121

232

712

8

121

232

–

–

– – – ––

–

––

–

–

–

––

–

–

–

––1– =f f f f fp p p p p

c) Suponemos x ≠ 3 y x ≠ 1:

| bA | = b 3 | A | = 1 → b 3 = | |A1

b = | |A x x1

4 31

– –3

23=

+

19 Dada la matriz A = f223

133

122– – –p:

a) Calcula A (2I – A ).

b) Justifica si existen las matrices inversas de A y 2I – A.

c) ¿Para qué valor de k se verifica A –1 = kI – A ?

a) A (2I – A ) = 223

133

122

2100

010

001

223

133

122

223

133

122

023

113

124

100

010

001– – –

–– – – – – –

–––

––= =f f f f f f fp p pp p p p

b) A (2I – A ) = I → A y 2I – A tienen inversa y cada una es la inversa de la otra. A –1 = 2I – A (2I – A )–1 = Ac) k = 2

20 Halla los valores del parámetro t para los cuales las matrices A y B no son regulares y calcula:

a) A –1 si t = 1. b) B –1 si t = 2.

A = f tt

101

0

3

44

–p B = f

t

t11

010

01p

a) | A | = t 2 + 4t – 12 = 0 → t = ± ± ±2

4 16 482

4 642

4 8– – –+ = = tt

26–

==

A no es invertible para t = 2 ni para t = – 6.


32

Matemáticas II

Calculamos A –1 para t = 1:

A = 101

013

441–

f p → | A | = –7

αij ⎯⎯→ Adj (A ) ⎯⎯→ (Adj (A ))t ⎯⎯→ | |

AA11– = (Adj (A ))t

8 8 8 A11124

454

131

1112

4

454

131

114

1

1253

44

171

114

1

1253

44

1

–––

–

–

–

––

––

–

–– –

––

–

–– 1–=f f f fp p p p

b) | B | = 1 – t 2 = 0 tt

11–=

=

B no es invertible para t = 1 ni para t = –1. Calculamos B –1 para t = 2:

B = 112

010

201

f p → | B | = –3

αij ⎯⎯→ Adj (B ) ⎯⎯→ (Adj (B ))t ⎯⎯→ | |

BB11– = (Adj (B ))t

8 8 8 B102

132

201

102

132

201

112

030

221

31

112

030

221–

––

–

–

––

–––

–– –

––

1–=f f f fp p p p

Ecuaciones matriciales

21 Dada A = 21

32

e o, halla X tal que AXA = 12

13

e o.

AXA = 8 X A A12

13

12

13

1 1– –=e eo o

Calculamos A –1:

21

32 1=

8 8 821

32

23

12

23

12

21

32–

––

–e e e eo o o o = A –1

X = 21

32

12

13

21

32

11

21–

––

– – –=e e e eo o o o

22 Dadas las matrices A = 11

12–

–e o y B = 21

10

e o, encuentra la matriz X tal que AXB = 10

31–

e o.

AXB = 10

31–

e o → X = A –1 10

31–

e oB –1

Calculamos A –1:

11

12 1––

=

8 8 8 A11

12

21

11

21

11

21

11–

––

– 1–=e e e eo o o o


33

Matemáticas II

Calculamos B –1:

21

10 1–=

8 8 8 8 B21

10

01

12

01

12

01

12

01

12–

––

––

1–=e e e e eo o o o o

X = 21

11

10

31

01

12

52

83– –

––=e e e eo o o o

23 Resuelve la ecuación AXB = C siendo:

A = 34

23

e o B = 21

32

e o C = 11

11

e o

AXB = C → A –1 · A · X · B · B –1 = A –1 · C · B –1 → X = A –1 · C · B –1

Calculamos A –1 y B –1 (| A | = 1 y | B | = 1 → existen A –1 y B –1):

αij ⎯⎯→ Adj (A ) ⎯⎯→ (Adj (A ))t ⎯⎯→ | |

AA11– = (Adj (A ))t

8 8 8 A32

43

32

43

34

23

34

23–

––

––

– 1–=f f e ep p o o

αij ⎯⎯→ Adj (B ) ⎯⎯→ (Adj (B ))t ⎯⎯→ | |

BB11– = (Adj (B ))t

8 8 8 B23

12

23

12

21

32

21

32–

––

––

– 1–=e e e eo o o o

Por tanto:

X = A –1 · C · B –1 = 34

23

11

11

21

32

11

11

21

32

11

11–

–· · – – – · –

––

––= =e e e e e eo o o o o o

24 Dadas las matrices:

A = 2

101

15

––

e o B = 31

01

10

–e o C = 13

21–

e o D = 82

––f p

halla la matriz X que verifica (AB t + C )X = D.

(AB t + C )X = D → (AB t + C )–1 (AB t + C )X = (AB t + C )–1D → X = (AB t + C )–1D

• SeaE = AB t + C = 21

01

15

301

110

13

21

72

20

13

21

61

01

––

––

––

––

––+ = + =e f e e e eo p o o o o

•Calculamos E –1 (| E | = 6 ≠ 0 → existe E –1):

αij ⎯⎯→ Adj (E ) ⎯⎯→ (Adj (E ))t ⎯⎯→ E –1 = | |E1 (Adj (E ))t

8 8 8 E10

16

10

16

11

06 6

1 11

06

––

– ––

–– –

–– –

1–=e e e eo o o o

• Portanto:

X = (AB t + C )–1D = E –1D = //6

1 11

06

4 310 3

82 6

1 820

–– –

–– = =e e e fo o o p


34

Matemáticas II

25 Halla X tal que 3AX = B, siendo:

A = f101

010

211p B = f

111

001

211p

3AX = B → X = 31 A –1 · B

Calculamos A –1 (| A | = –1 ≠ 0 → existe A –1):


8 8 8 A102

111

101

102

111

101

111

010

211

111

010

211–

––

–

–––

–

––

––

––

–

1–=f f f fp p p p

Por tanto:

X = ·//

/// /

31

111

010

211

111

001

211

31

110

211

001

1 31 30

2 31 31 3

00

1 3

––

– – –= =f f f fp p p p

Página 85

26 Dadas las siguientes matrices:

A = m00

420

441

f p B = 11

10

21

–e o C = 01

12

11–

e o

a) ¿Para qué valores de m existe A –1?

b) Para m = 1, halla la matriz X tal que XA + B = C.

a) | A | = mm00

2421

441

=

Existe A –1 si m ≠ 0.

b) XA + B = C → XA = C – B → X = (C – B )A –1

/100 1

100 1

420

44

21 20

42

––

1–

=f fp p

C – B = 01

12

11

11

10

21

10

22

12–

––

– ––=e e eo o o

X = (C – B )A –1 = /100

21 20

421

36

10

22

12

10 1

9–– –

– ––

– –=e f eo p o


35

Matemáticas II

27 Sean las matrices A = k1

0 121–

e o y B = fk0

13

12p.

a) Determina para qué valores de k la matriz AB tiene inversa.

b) Resuelve la ecuación ABX = 3I para k = 0, donde I es la matriz unidad de orden 2.

a) AB = k k k k1

0211

013

12

62

2 41– =

+ +e f eo p o

8k k

k k6

22 4

1 3 2 032– – –

+ += = =

Existe (AB )–1 si k ≠ – 32

b) ABX = 3I → X = 3(AB )–1

k = 0

AB = 62

41

e o

62

41

1–

=e o /1 2

123

––

e o

X = / /

31 21

23

3 23

69

––

––= ee oo

Para resolver

28 Resuelve las ecuaciones siguientes:

a)

xx

xx

001

1

00

01

0

001 = 0 b)

aaa

bxb

ccx

= 0 c)

xx

xx

101

1

10

01

1

101

––

––

= 0 d)

xx x

xx

11

1

11

11

0

011

––

––

––

= 0

a) · 8

xx

xx

xx

xx

xx

x x x001

1

00

01

0

001 0

0

1

0

01

1

0

01

001

1 1 0– – –( ) ( )1 2 3 4= = = = x = ± 14

xx

11–

==

(1) Desarrollamos por la 1.ª columna.

(2) Son determinantes de matrices triangulares.

b) aaa

bxb

ccx

= (1.ª)

(2.ª) – (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

filas

a b

x bc

x c00 0

0––

= a(x – b )(x – c ) = 0 x cx b

==

(Suponemos que a ≠0).


36

Matemáticas II

c) ( )

xx

xx

xxxx

xx

x

xx

xx

101

1

10

01

1

101

2222

1

10

01

1

101 2

1111

1

10

01

1

101

––

––

––––

––

–

––

––

( ) ( )1 2= = =

=

filas(1.ª)

(2.ª) – (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

(4.ª) – (1.ª)

x

xx

xx

xx

xx

1000

11

01

01

1

110

1

101

1

1

10

1

11

11

– –

––

–

– –

– –

––

–

– ––

– ––

–– –

( ) ( )3 4= = =

= –x 2(x + 2) = 0 xx

02–

==

(1) Sumamos a la 1.ª columna las demás. (2) Sacamos (2 – x) factor común de la 1.ª columna. (3) Desarrollamos por la 1.ª columna. (4) Desarrollamos por la 2.ª fila.

d) ( )

xx x

xx

xx

xx

xx

xx

11

1

11

11

0

011

1000

1

11

11

0

011 1 1

1

1

0

11

––

––

––

– –

––

––

– ––

–( ) ( )1 2= = =

= (x – 1)(x 3 + 1 + x – x) = (x – 1)(x 3 + 1) = 0 8

xx x

11 0 1–3

=+ = =

(1) Sumamos a la 1.ª columna la 2.ª. (2) Desarrollamos por la 1.ª columna.

29 Estudia el rango de las siguientes matrices según los valores del parámetro que contienen:

a) A = f

k kk

k351 0

1002

2001

––

p b) B = f k k1

1

3

3

333

11

0–– p

c) C = fk

kk

11

11

1

2

1

01– –

–p d) D = f a

a

aa

a a

111

033

42

10

2

––

–

2++ + +

p

a) | A | =

k kkk

351 0

1002

2001

–– –

=

filas(1.ª) – 2 · (4.ª)

(2.ª)

(3.ª)

(4.ª)

k kkk

k kkk

2351 0

5002

0001

235

500

––

––

––

( ) ( )1 2= =

= kk5

35–

– = – 40k = 0 → k = 0

(1) Desarrollamos por la 4.ª columna. (2) Desarrollamos por la 3.ª columna.

•Sik = 0 → A = ≠8

0351

0000

1002

2001

051

102

201

0

––f p → ran (A ) = 3

•Sik ≠ 0 → | A | ≠ 0 → ran (A ) = 4


37

Matemáticas II

b) k k1

1

3

3

333

110––f p → Hacemos k k

1

1

3

3

333–

= 0 → 6k – 18 = 0 → k = 3

•Sik = 3 → B = 8131

333

333

110

131

333

110–

––

–f p ≠ 0 → ran (B ) = 3

•Sik ≠ 3 → ran (B ) = 3

Por tanto, ran (B ) = 3 para cualquier valor de k.

c) 8k

kk

11

111

2

1

01– –

–f p Hacemos

kk1

1

111

2

1– –

– = 0 → –k 2 + 1 = 0

kk

11–

==

•Sik = 1 → C = 8111

111

211

011

11

1

211

011

– ––

––

f p ≠ 0 → ran (C ) = 3

•Sik = –1 → C = 8111

111

211

011

111

111

011

– –––

–– –

–f p = 0 y

21

01

–– ≠ 0 → ran (C ) = 2

•Sik ≠ –1 → ran (C ) = 3

d) D = 8a

a

aa

a a

a

a

aa

a

111

0

34

2

10

2

111

033

42

3––

– ––

( )

2 2

1++ + +

++ +

=f p

( )aaa

a3

111

011

42

––

2= +

+ = (a + 3)(a 2 + a – 2) = 0 a

a

a23

1––

==

=

(1) Sacamos (a + 3) factor común de la 2.ª columna.

•Sia = 1 → D = 8111

044

133

103

044

133

103

– – – –f p ≠ 0 → ran (D ) = 3

•Sia = –2 → D = 8111

011

266

100

111

011

100

– –f p = 0 y

11

01 ≠ 0 → ran (D ) = 2

•Sia = –3 → D = 8111

000

3711

101

111

3711

101

–

–

–

–f p ≠ 0 → ran (D ) = 3

•Sia ≠ –2 → ran (D ) = 3


38

Matemáticas II

30 Calcula el rango de estas matrices en función del parámetro t :

a) A = ft

t t22

1

1

1

1

212

2 p b) B = ft

t

tt t

t2

2 11

0

013

–– –+

+ p c) C = f

t

t

t

tt

32

12

3030

21

2

–– –

++ p

a) A = 8t

t tt

t t22

1

1

1

1

212

22

1

1

1

1

2 2f p = –t 3 + 3t 2 – 2t = 0 tt

t12

0==

=

•Sit = 0 → A = 8022

101

101

212

022

101

212

f p ≠ 0 → ran (A ) = 3

•Sit = 1 → A = 8122

111

111

212

122

111

212

f p ≠ 0 → ran (A ) = 3

•Sit = 2 → A = 8222

12

141

212

222

121

2121

f p = 0 y 22

12 ≠ 0 → ran (A ) = 2

•Sit ≠ 2 → ran (A ) = 3

b) B = | |8t

t

tt t

tB

t

t

tt t

t2

2 11

0

013

22 1

10

013

–– –

–– –+

+ =+

+f p = t (t 2 – 3t + 2) = 0 tt

t12

0==

=

•Sit = 0 → B = 8021

010

013

21

10–

–f p ≠ 0 → ran (B ) = 2

•Sit = 1 → B = 8123

120

004

23

20

–f p ≠ 0 → ran (B ) = 2

•Sit = 2 → B = 8225

230

015

22

23

–f p ≠ 0 → ran (B ) = 2

•Sit ≠ 0, t ≠ 1 y t ≠ 2 → ran (B ) = 3

c) C = 8

t

t

t

tt

t t

t

321

2

3030

21

2

321

303

21

2

–– –

–– –

++

+f p = –3(3t – 6) = 0 → t = 2

•Sit = 2 → C = 8

1214

3030

4142

124

300

412

– –– –f p = 0 y

12

30– ≠ 0 → ran (C ) = 2

•Sit ≠ 2 → ran (C ) = 3


39

Matemáticas II

31 Comprueba aplicando las propiedades de los determinantes.

a) aa

aba b

bb2

1 121

2 2

+ = (a – b )3

b) aa

aaa

111

12 2

02 1

–– –

2

2

2 = (a 2 – 1)2

a) ( )aa

aba b

bb

a ab ba a b b

aba b

bb

a ab b aba b

bb2

1 121

22 2 2

1 2 1 121

200 1

21

––

–

–2 2 2 2 2 2 2 2

+ =+

+ ++

+ =+

+ =

( )( )a ab b ab

a bb abb a b

a b ab ba b b

bb

200 1

21 1

00

21 1

21

– ––

–

– ––

–

2 2 2 2 2 2

=+

+ + = + =

( )a b ab b

a bbb0

0 021

– ––

2 2 2

= = (a – b )2(a – b ) = (a – b )3

b) ( ) ( )aa

aaa

aa

aa

aa

aa

111

12 2

02 1 1

111

120

2 1 1101

110

1–– – – – – –

2

2

2

2

2

2

2= = =

( ) ( ) ( )aaaa

a aa

1101

110

111

1 1101

110

11

1–

–––

– –2

2

2= =+

=

( ) ( ) ( ) ( )a aa

a aa

1 1101

010

01

11 1

101

010

00

1– – – –2 2=

+=

+ =

= (a 2 – 1)(a – 1)(a + 1) = (a 2 – 1)2

32 Dada la matriz A = fx

xx

11

1

1

11

––

–p:

a) Resuelve la ecuación | A | = 0.

b) Calcula el rango de la matriz A según los valores de x.

a) x

xx

11

1

1

11

––

– = –x 3 + 3x + 2 = 0 → x = –1, x = 2

b) Si x = –1 → ran (A ) = 1

Si x = 2 → ran (A ) = 2

Si x ≠ –1 y x ≠ 2 → ran (A ) = 3


40

Matemáticas II

33 Dada esta matriz de orden n :

An = f

111

1

191

1

119

1

111

1

111

9

––…–

–…–

…–

……………

…–

…p

calcula el determinante de A2, A3 y A5.

| A2 | = 11

19

10

110– = = 10

| A3 | = 111

191

119

100

1100

1210

–– –

= = 102 = 100

| A5 | = 104 = 10 000

34 a) Estudia para qué valores de a tiene inversa esta matriz:

A = fa

a

100

11

10p

b) Halla la inversa de A siempre que sea posible.

a) a

a

100

11

10 = a → Existe A –1 si a ≠ 0.

b) a ≠ 0

( ) ( ) /

/

/

/

a

aa

a aa

a a

a

a

a

100

11

10 1 0

0

1

1

101

100

111

10

1

– –

–

– – –

–

–1 2 2–

= =f f fp p p

35 Dada la matriz A = f110

010

001p:

a) Encuentra la expresión general de A n donde n es un número natural cualquiera.

b) Razona que A n tiene inversa para cualquier n ≥ 1 y calcula dicha matriz inversa.

a) A 2 = ·110

010

001

110

010

001

110

010

001

120

010

001

2

= =f f f fp p p p

A 3 = A 2 · A = ·120

010

001

110

010

001

130

010

001

=f f fp p p

A n = n1

0

010

001

f p

b) n1

0

010

001

= 1 ≠ 0 → A n tiene inversa.

n n1

0

010

001

1

0

010

001

–

1–

=f fp p


41

Matemáticas II

36 Halla, en función de a, el valor de estos determinantes:

A1 =

aaaa

aa

aa

aa

aa

aaa

a

11

11

++

++

A2 =

a aa

aaa

aaaa

234

23 2

A1 =

aaaa

aa

aa

aa

aa

aaa

a

aaaa

aa

aa

aa

aa

aaa

a

11

11

4 14 14 14 1

11

1

( ) ( )1 2

++

++

=

++++

++

+

=

( )a

aa

aa

aa

aa

aaa

a

4 1

1111

11

1

= ++

++

=

filas(1.ª)

(2.ª) – (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

(4.ª) – (1.ª)

( )a

a a a

4 1

1000

100

010

001

( )3+ =

( )a4 1100

010

001

= + = (4a + 1) · 1 = 4a + 1

(1) Sumamos a la 1.ª columna las demás.(2) Sacamos (4a + 1) factor común, de la 1.ª columna.(3) Desarrollamos por la 1.ª columna.

A2 =

a aa

aaa

aaaa

234

23 2

=

filas(1.ª)

(2.ª) – (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

(4.ª) – (1.ª)

aaaa

a

aa

a a234

023

00

2 0

000

–

––– –

–( )1=

= aaaa

aa a

234

023

00

2–

–––

–– –

( )2= –a(2 – a)3 = a(a – 2)3

(1) Desarrollamos por la 4.ª columna(2) Es el determinante de una matriz triangular.

37 Prueba, sin desarrollarlos, que el valor de los siguientes determinantes es 0:

a) xxx

xxx

xxx

135

246

+++

+++

b) / / /

yz

x

xz

y

xy

z1

11

11

1

a) xxx

xxx

xxx

135

246

+++

+++

= (1.ª)

(2.ª) – (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

filas

x x x00

124

224

+ + = 0,

pues las dos últimas filas son proporcionales.

b) / / /

yz

x

xz

y

xy

zx y z

xyz

x

xyz

y

xyz

z11

11

11

1 1 1

1 1 10

( ) ( )1 2= =

(1) Sacamos factor común ,x y z1 1 1y en la 1.ª, 2.ª y 3.ª columnas.

(2) La 1.ª y 3.ª filas son proporcinales (xyz · 1.ª = 3.ª).


42

Matemáticas II

Página 86

38 Considera la matriz A = faaa

bb

ccc

23 0

34

– p, donde a, b y c son no nulos.

a) Determina el número de columnas de A que son linealmente independientes.

b) Calcula el rango de A.

| A | = aaa

bb

ccc

abc23 0

34

123

110

134

– –= = abc · 0 = 0

Pero abb

a2 – = –ab + 2ab = ab ≠ 0, pues a y b son no nulos.

Por tanto:a) Hay dos columnas en la matriz A que son linealmente independientes.b) ran (A ) = 2.

39 Estudia el rango de la siguiente matriz para los distintos valores de a, b y c:

M = f ab c

ba c

ca b

5 5 5

+ + +p

| M | = ( )ab c

ba c

ca b

a b cb c

a b ca c

a b ca b

a b cb c a c a b

5 5 5 5 5 5 51

51

51 0

( ) ( ) ( )1 2 3

+ + += + +

++ +

++ +

+= + +

+ + +=

(1) Sumamos a la 2.ª fila la 3.ª(2) Sacamos (a + b + c ) factor común de la 2.ª fila.(3) Las dos primeras filas son proporcionales.Luego, ran (M ) ≤ 2. Tenemos que:

a b5 5

= 5b – 5a = 0 → b = a

b c5 5

= 5c – 5b = 0 → c = b

a c5 5

= 5c – 5a → a = c

Por tanto:•Sia = b = c → ran (M ) = 1•Enotrocaso→ ran (M ) = 2

40 Estudia el rango de esta matriz:

A = faa

aa

coscossensen

0 0

001

–p

| A | = aa

aa

aa

aa a a

coscos

coscos cossen

sen

sensen

sen0 0

001

1– –( )1 2 2= = + =

(1) Desarrollamos el determinante por la 3.ª fila o por la 3.ª columna.Por tanto, como | A | ≠ 0, tenemos que ran (A ) = 3.


43

Matemáticas II

Cuestiones teóricas

41 ¿Verdadero o falso? Justifica las respuestas y pon ejemplos.

a) Si c1, c2 y c3 son las columnas 1.ª, 2.ª y 3.ª de una matriz cuadrada de orden 3 tal que |c1 c2 c3| = 5, en-tonces:

i) |c2 2c3 c1| = 10

ii) |c1 + c2 c2 – c1 c3| = 0

iii) |c1 + c3 c2 c3 + c1| = 5

iv) |–c2 2c1 – c3 c3 + c2| = 10

b) Si B es una matriz cuadrada de orden 3 cuyo determinante vale 4, entonces:

i) |5B | = 20 ii) | B 2| = 16 iii) | B –1| = 1/4

c) La única solución de x

xx

11

1

1

11

––

– = 0 es x = –1.

d) La matriz inversa de la matriz A = fa

a

100

11

10p es:

A –1 =

f

a

a aa0

0

1

1

101

–

–

–2 +p

, a ≠ 0

e) Si A es una matriz cuadrada tal que A 2 = 2A – I, entonces A es invertible y A –1 = 2I – A.

f ) Si A y B son dos matrices regulares que verifican que AXB = A + B, entonces X = A –1 + B –1.

a) i) Verdadero: ( )c c c c c c c c c2 2 1 2 10–2 3 1 2 3 1

21 2 3= = =

ii) Falso: c c c c c c c c c c c c c c c c2 2 2 10–1 2 2 1 3 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 3+ = + = + = = iii) Falso: c c c c c c c c 0 01 3 2 3 1 1 3 2+ + = + = iv) Verdadero: c c c c c c c c c c c c c c c2 2 2 2– – – – – –2 1 3 3 2 2 1 3 3 2 1 3 2 1 3+ = = = = ( ) ( )c c c c c c2 1 2 10– – –2 1 3 1 2 3= = =b) i) Falso: | 5B | = 53 | B | = 53 · 4 = 500 ii) Verdadero: | B 2 | = | B · B | = | B | | B | = 16 iii) Verdadero:

| B · B –1 | = | B | | B –1 | = 1 → | B –1 | = | |B1

41=

c) Falso:

x

xx

11

1

1

11 0

––

–=

–x 3 + 3x + 2 = 0 Las soluciones son: x = –1, x = 2


44

Matemáticas II

d) Verdadero:

A –1 = / ( )

/

/

/

a a

a

a

aa

a aa

100

1 111

10

1

1 00

1

1

101

–

–

– –

–

–2 2+=f fp p

e) Verdadero: A 2 = 2A – I → A 2 – 2A = –I → A(A – 2I) = –I → A(2I – A ) = I Luego A es invertible con A –1 = 2I – A.f ) Verdadero: AXB = A + B → X = A –1(A + B )B –1 = (I + A –1B )B –1 = B –1 + A –1

42 Prueba que el determinante de una matriz cualquiera de orden 3 es igual que el de su traspuesta.

Si A =

a

a

a

a

a

a

a

a

a

11

21

31

12

22

32

13

23

33

f p , entonces A t =

a

a

a

a

a

a

a

a

a

11

12

13

21

22

23

31

32

33

f p .Aplicando la definición de determinante, obtenemos que | A t | = | A |. Lo vemos:| A | = a a a a a a a a a a a a a a a a a a– – –11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33+ +| A t | = a a a a a a a a a a a a a a a a a a– – –11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33+ +

Luego | A | = | A t |.

43 ¿Sabrías decir cuál de estos dos productos puede formar parte del desarrollo de un determinante de orden 4?:

a) a12 · a23 · a31 · a42 b) a14 · a41 · a23 · a32

Solo podría ser b), puesto que en cada producto ha de aparecer un factor de cada fila y uno de cada columna.

44 Si A es una matriz cuadrada de orden 4, ¿puedes saber el valor de a21 A11 + a22 A12 + a23 A13 + + a24 A14 sin conocer los elementos de la matriz?

El resultado es 0, pues tenemos un producto de los elementos de una fila (la 2.ª) por los adjuntos de otra (la 1.ª).

45 Si la matriz A = am

bn

cp

f p tiene rango 2, ¿qué rango tendrá la matriz B = fam

m a

bn

n b

cp

p c– – –p?

Observamos que la 3.ª fila de B (la que hemos añadido respecto a A ), es combinación lineal de las dos primeras (se obtiene restando la 2.ª menos la 1.ª). Por tanto, B tendrá el mismo rango que A, es decir, ran (B ) = 2.

46 Dadas las matrices A y B de orden 4 con | A | = 3 y | B | = 2, calcula |A –1|, | B t A | y |(AB –1) t |.

| A –1 | = | |A1

31= (1)

| B t · A | | | | | | | | |B A B A 2 3 6· · ·( ) ( )t2 3= = = =

|( ) | | | | | | | | || | | |

| |AB AB A B AB B

A123· ·

( ) ( )t1 1 13 2– – –= = = = =

(1) El determinante de la inversa de una matriz es el inverso del determinante de la matriz.(2) Tenemos en cuenta que | A · B | = | A | · | B |.(3) El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta.


45

Matemáticas II

47 a) Define a qué se llama rango de una matriz.

b) Indica, razonando la respuesta, cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas:

i) ran (A) = ran (–A) (–A es la matriz opuesta de A).

ii) ran (A) = ran (At ) (At es la matriz traspuesta de A).

iii) ran (A + B ) = ran (A) + ran (B )

iv) ran (A 2) = [ran (A)]2

v) ran (A) = ran (A –1) si A tiene inversa (A –1 es la matriz inversa de A).

a) El rango de una matriz es el número de filas (o de columnas) linealmente independientes. También podemos definirlo como el máximo orden de sus menores no nulos.

b) i) Verdadera. El hecho de cambiar de signo los elementos de A, solo afectará al signo de los me-nores; pero el máximo orden de los menores no nulos (el rango) no se ve influido.

ii) Verdadera. El número de filas y el número de columnas linealmente independientes es el mis-mo. En A t solo hemos cambiado filas por columnas.

iii) Falsa. Por ejemplo:

A = 12

23

e o B = 12

23– –

e o → A + B = 20

40

e o

ran (A ) = ran (B ) = 2 (pues | A | ≠ 0 y | B | ≠ 0) y ran (A + B ) = 1.

iv) Falsa. Por ejemplo, si A es una matriz de orden 2 y con ran (A ) = 2, A 2 también será de orden 2; luego ran (A 2) ≤ 2, y [ran (A )]2 = 22 = 4 (si A 2 es de orden 2 no puede tener rango 4).

v) Si A es una matriz cuadrada de orden n, y existe su inversa, entonces | A | ≠ 0 (y | A –1 | ≠ 0). Luego ran (A ) = ran (A –1 ) = n. Por tanto, la igualdad es verdadera.

48 Sea A una matriz cuadrada tal que A 2 = A. Demuestra que det (A) = 0 o det (A) = 1.

| A 2 | = | A · A | = | A | · | A | = | A |2 = | A | → | A |2 – | A | = 0 → | A | (| A | – 1) = 0 | || |AA

01

==

(Hemos tenido en cuenta que | A · B | = | A | · | B |).

49 Escribe dos matrices A y B de orden 2 tales que:

a) det (A + B ) ≠ det (A) + det (B )

b) det (A + B) = det (A) + det (B )

a) Por ejemplo:

A = ; ;B A B21

21

31

52

50

80– –= + =e e eo o o

| A | = 7; | B | = –11; | A + B | = 0 ≠ | A | + | B | = – 4

b) Por ejemplo:

; ;A B A B24

36

12

12

36

48= = + =e e eo o o

| A | = 0; | B | = 0; | A + B | = 0 = | A | + | B |


46

Matemáticas II

Para profundizar

50 Demuestra, sin desarrollar el determinante, que:

aa

aba b

bb2

1 121

2 2

+ = (a – b )3

aa

aba b

bb2

1 121

2 2

+ =(1.ª) – (3.ª)

(2.ª) – (3.ª)

(3.ª)

columnas

a ba b

ab ba b

bb2 2

0 021

––

––

2 2 2 2

= ( ) ( )

( )( )

( )a b a b

a bb a b

a bbb2

0210

––

––

( )2

1+

=

( ) ( )a ba b b b

b a ba b b

20

10

21

2 1– –( )2

22 2=

+=

+= (a – b )2 (a + b – 2b ) = (a – b )2 (a – b ) = (a – b )3

(1) Sacamos (a – b ) factor común de la 1.ª y de la 2.ª columna.(2) Desarrollamos por la 3.ª fila.

51 Demuestra, sin desarrollar, que abc

abc

bcacab

abc

abc

111

2

2

2

3

3

3

2

2

2= .

En el segundo miembro, multiplica y divide la 1.ª fila por a ; la 2.ª, por b, y la 3.ª, por c.

bcacab

abc

abc

abc

bcaacbabc

abc

abc

abcabc

abc

abc

abc

abc

1111

111

2

2

2

2

2

2

3

3

3

2

2

2

3

3

3

2

2

2

3

3

3= = =

52 Prueba que aa

bb

cc

1 1 1

2 2 2 = (b – a)(c – a)(c – b ).

Este determinante se llama de Vandermonde.

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

aa

bb

cc

aa

b ab a

c ac a

a

a

b a

b a b a

c a

c a c a

1 1 1 1 0 0 1 0 0––

––

–

–

–

–2 2 2 2 2 2 2 2 2

= =

+ +

=

= (b – a)(c – a) a b a c a

11

01

01

2 + + = (b – a)(c – a)(c + a – b – a) = (b – a)(c – a)(c – b)

Página 87

53 Determina las matrices cuadradas de orden 2 cuyos elementos sean números enteros, con deter-minante igual a –1, y tales que su inversa coincida con su traspuesta.

Haz A · A t = I y |A | = –1. Hay 4 soluciones.

Si A = ac

bd

e o , entonces A t = ab

cd

c m . Si A t = A –1, ha de ser:

A · A t = I → 8ac

bd

ab

cd

a bac bd

ac bdc d

a bac bdac bdc d

110

01

001

2 2

2 2

2 2

2 2

=

=++

++

=

++ =+ =+ =

e c f eo m p o *Como a, b, c y d son enteros, tenemos solo cuatro soluciones: ; ; ;

01

10

0 10

10

01

10

011–

––

–e e e eo o o o


47

Matemáticas II

54 Escribe una matriz con 3 filas y 3 columnas, que tenga 3 elementos nulos y tal que ninguno de sus menores de orden 2 sea nulo.

Por ejemplo: 011

101

110

f p

Ya que: ≠ , ≠ , ≠ ≠ .01

10 0

01

11 0

10

11 0

11

10 0y

55 Demostración de que |A · B | = |A | · |B | para determinantes de orden 2:

|AB | = aa

aa

bb

bb·11

21

12

22

11

21

12

22=e fo p

a b a ba b a b

a b a ba b a b

11 11 12 21

21 11 22 21

11 12 12 22

21 12 22 22

++

++ =

= a ba b

a ba b

a ba b

a ba b

11 11

21 11

11 12

21 12

11 11

21 11

12 22

22 22+ +

a ba b

a ba b

a ba b

a ba b

12 21

22 21

11 12

21 12

12 21

22 21

12 22

22 22+

(1) (2) (3) (4)

a) Comprueba que los determinantes (1) y (4) son ambos cero.

b) En (2) y en (3) saca factor común los elementos bij. Llegarás a |A | · |B |, como se quería demostrar.

a) (1) a ba b

a ba b a b a b a b a b a a b b a a b b 0– –

11 11

21 11

11 12

21 1211 11 21 12 11 12 21 11 11 21 11 12 11 21 11 12= = =

(4) a ba b

a ba b a b a b a b a b a a b b a a b b 0– –

12 21

22 21

12 22

22 2212 21 22 22 12 22 22 21 12 22 21 22 12 22 21 22= = =

b) (2) | |a ba b

a ba b b b

aa

aa b b A

11 11

21 11

12 22

22 2211 22

11

21

12

2211 22= =

(3) | |a ba b

a ba b b b

aa

aa b b

aa

aa b b A– –

12 21

22 21

11 12

21 1221 12

12

22

11

2121 12

11

21

12

2221 12= = =

Por tanto, queda:

| | | | | | | | ( ) | | | | · | |AB b b A b b A A b b b b Abb

bb A B0 0– –11 22 21 12 11 22 21 12

11

21

12

22= + + = = =

56 Considera la matriz A = f232

101

041

–p.

a) Halla la matriz (Aij ). b) Prueba que A · (Aij )t = f| |

| || |

AA

A00

0

0

00 p.

c) ¿Qué relación hay entre |A | y |(Aij )|?

a) A = 232

101

041

–f p → A

01

41 4–11 = = A

32

41 5–12 = = A

32

01 313 = =

A11

01 1–

–21 = = A

22

01 222 = = A

22

11 4––

–23 = =

A10

04 4

––31 = = A

23

04 8– –32 = = A

23

10 3–

33 = =

(Aij ) = 4

14

528

34

3

–

– ––f p


48

Matemáticas II

b) | A | = – 8 – 8 + 3 = –13

A · (Aij )t = · ·232

101

041

414

528

34

3

232

101

041

453

124

48

3

– –

– ––

– –

–

––

t

= =f f f fp p p p

= | |

| || |

AA

A

1300

0130

0013

00

0

0

00

––

–=f fp p

c) | (Aij ) | = 169 = (–13)2 = | A |2

57 Sea A una matriz cuadrada de orden 3 con |A | ≠ 0. Busca la relación que existe entre |A | y |(Aij )|. Para ello, ten en cuenta el apartado b) del problema anterior y que |A · B | = |A | · |B |.

• Sabemosqueeldeterminantedeunamatrizcoincideconeldesutraspuesta:

| Aij | = | Aji |

• Porotraparte,tenemosque(suponemosqueexisteA –1):

| |

( ) | || | | |

· | | | |· | |8AA

A AA A

A AA1 1 1ji jiji

1 13

13

– – –= = ==e o

•Tambiénsabemosque:

· | | · | | | | | || |

8 8A A I A A I AA

1 11 1 1– – –= = = =

•Uniendolasdosigualdadesobtenidas,tenemosque:

| | | |

· | | | | | |8A A

A A A1 1ij ij3

2= = (A de orden 3 × 3)

58 Si A es una matriz cuadrada de orden n, da el valor de |(Aij )| en función de |A |.

Con el mismo razonamiento que hemos seguido en el ejercicio anterior, llegamos a que si A es n × n:

| || |

| |

| || |

| | | |8A

AA

AA

A A

1

1

n ij

ijn

1

1

1

–

–

–=

==4


49

Matemáticas II

Autoevaluación

Página 87

1 Halla el valor de a que hace que la matriz A no sea regular.

A = fa

1101

1012

01

11

222

–

––

–

p

8

a

a a

1101

1012

0111

222 2 4 0 2

–

––

–

–= = =+

A no es regular para a = –2.

2 Calcula el valor de este determinante, dando el resultado factorizado:

A =

aa

aa

101

1

10

01

1

101

( ) ( )

aa

aa

a aa

a

a

a

a

aa

aa

aa

aa

101

1

10

01

1

101

2101

2

10

21

1

201 2

1101

1

10

11

1

101 2

1101

01

11

00

0

011

1

–

–

–

–

=

+ + + +

= + = + =

= ( ) ( ) ( ) ( )a aa

a a aa a

a a a a a21

111 2

21

21 2 2

11

11

––

––

––

–– – – –+ = + = + =

= ( ) ( ) ( ) ( )a a a a a a a2 210

12 2– –2+ = +

3 Dadas las siguientes matrices:

A (x) = fxxx

22 34 4

432

666

+++

p B (y) = fyyy

3 52 33 4

732

1266

+++

p

a) Calcula el determinante de la matriz 3A (x) y obtén el valor de x para que ese determinante valga 162.

b) Demuestra que la matriz B (y) no tiene inversa para ningún valor de y.

a) | A (x)| = xxx

xxx

xxx

x x2

2 34 4

432

666

24

432

666

234

432

666

24

432

666

124

432

666

6+++

= + = = =

| 3A (x) | = 33 | A (x) | = 33 · 6x = 162x

| 3A (x) | = 162 → x = 1

b) | B | = · ,y

y

y

y

y

y

y

y

y

y y

3 52 33 4

732

1266

323

732

1266

534

732

1266

323

732

1266

323

732

1266

0 0+++

= + = = = =

luego B no tiene inversa.


50

Matemáticas II

4 a) Estudia el rango de M según los valores de a y b.

M = fa baa

b ab a

2 0

0

00––

+p

b) Halla M –1 en el caso a = 1, b = –1.

a) Veamos para qué valores de a y b el determinante de M se hace cero:

| M | = (2a + b)(b – a)2 = 0 → 8a b b a

b a2 0 2–+ = =

=*

•Sib = a, M = aaa

3 000

000

f p

•Sib = –2a, M = aa

aa

0 030

003

––

f p y a

a30

03

–– = 9a 2

Por lo tanto:

•Sia = b = 0, ran (M ) = 0

•Sia = b ≠ 0, ran (M ) = 1

•Sib = –2a ≠ 0, ran (M ) = 2

•Sia ≠ b y b ≠ –2a, ran (M ) = 3

b) Para a = 1 y b = –1, M = 111

020

002

––

f p

M t = 100

12

0

102

––

f p Adj (M t ) = 422

02

0

002

––

f p | M | = 4

Así, M –1 = //

//

1 01 20

001 2

1 21 2

––

f p

5 Si c1, c2, c3 son los vectores columna de una matriz tal que |c1 c2 c3| = 5, calcula:

a) |c1 – 3c2 c2 c3|

b) |c1 c2 2c3|

c) |c1 c1 – c2 c3|

a) c c c c c c c3 5–1 2 2 3 1 2 3= =

b) c c c c c c2 2 101 2 3 1 2 3= =

c) c c c c 5– –1 1 2 3 =


51

Matemáticas II

6 Estudia el rango de N según los valores del parámetro a:

N = fa

aa

aaa

111

11

1

11

1

++

+p

Buscamos los valores que anulen el determinante formado por las tres primeras filas y las tres primeras columnas:

aa

a

111

11

1

11

1

++

+ = (a + 1)3 + 1 + 1 – (a + 1) – (a + 1) – (a + 1) =

= (a + 1)3 – 3(a + 1) + 2 = a 3 + 3a 2 + 3a + 1 – 3a – 3 + 2 = a 3 + 3a 2 = 0 aa

03–

==

• Sia = 0 → N = 111

111

111

000

f p Las tres primeras filas son iguales y la 4.ª son ceros → ran (N ) = 1

• Sia = –3 → N = 211

121

112

333

––

–

–––

f p Buscamos algún menor de orden 3 distinto de cero:

211

12

1

333

32

11

121

111

––

–––

––

–( )1= = –3 · 9 = –27 ≠ 0 → ran (N ) = 3

(1) Sacamos –3 como factor común de la 3.ª columna.• Sia ≠ 0 → ran (N ) = 3

7 Considera la matriz A = ft

t31

1

0

401–

–p.

a) Determina para qué valores de t la matriz A es regular.

b) Para t = 1, halla la matriz X que verifica AXA –1 = B siendo B = f110

010

001p.

a) t

tt

tt

tt

31

1

0

401

31

1

0

430

1 43

–

–

–

––

–=

+=

+ = –(–3 – 4t – t 2) = t 2 + 4t + 3 = 0 → t = –1, t = –3

A tiene inversa si t ≠ –1 y t ≠ –3.

b) AXA –1 = B → X = A –1BA

A –1 = 81

131

151

4124

––

f p

X = ///

///

///

81

131

151

4124

110

010

001

131

110

401

81

951

131

42012

9 85 81 8

1 83 81 8

1 25 23 2

––

–

– –

–

–

–= =f f f f fp p p p p

X = ///

///

///

9 85 81 8

1 83 81 8

1 25 23 2

–

–f p

determinantes de orden 2 - yoquieroaprobar.es · 3 dados los determinantes a = 5 8 3 4 1 6 9 9 9 b...

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