determinación del tiempo de garantía vía utilidad máxima

Determinación del Tiempo de Garantía Vía Utilidad Máxima.

Seminario Aleatorio, Departamento de Estadística, ITAM.

21 de Abril de 2006.

Dr. Víctor Aguirre TorresDepartamento de Estadística, ITAM.

Trabajo conjunto con Dr. Humberto Gutiérrez (Universidad de Guadalajara) y Dr. Andrés Christen (CIMAT)

Tiempo de Garantía, V. Aguirre, ITAM

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Bosquejo

Introducción.Función de Utilidad.Densidad Predictiva a Posteriori.Aplicación.Conclusiones.Bibliografí[email protected] http://cursos.itam.mx/vaguirre/Presentaciones


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Introducción

Uno de los objetivos básicos de muchos de los estudios de confiabilidad es fijar el período de la garantía para un productoPráctica común sólo recomendar el uso de cuantiles pequeños de la distribución del tiempo de fallaLibros sobre confiabilidad: Lawless (1982), Nelson (1982), Ansell y Phillips (1994), Meeker y Escobar (1998).


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IntroducciónGarantía: una decisión importante

La garantía habla de la calidad y confiabilidad del productoSi no está respaldada por datos:– Consumidores insatisfechos– Gastos adicionales para cumplirLa garantía tiene varias implicaciones: legales, costos, mercadotecnia, sociales, administración, y de diseño e ingeniería.


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Introducción

Literatura especializada: “Product WarrantyHandbook” Eds. Blischke y Murthy (1996): perspectivas legal, social, de mercado, ingeniería y administración.– Algunos modelos matemáticos para los aspectos

de garantía, como costos y modelos de falla.La aproximación estadística a la decisión deltiempo de garantía prácticamente no se aborda


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Introducción

Menezes y Currim (1992): Determinar período de garantía usando una función de demanda loglineal que depende de: precio, tiempo de garantía, publicidad, puntos de venta, confiabilidad del producto, y características distintivas del productoRequiere del conocimiento de los mismos aspectos de productos competidores.Necesita tanta información previa que resulta difícil de aplicar.


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IntroducciónSingpurwalla y Wilson (1993): exponen una visión global del problema de garantía tomando en cuenta en particular la maximización de una función de utilidad esperada pero no llegan a una solución específica, aparte el modelo de falla está indexado por dos escalas (uso y tiempo).Singpurwalla y Wilson (1998): modelo de falla indexado por dos escalas (uso y tiempo). Cálculo de reservas monetarias.


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Introducción

Objetivo: selección del tiempo de garantía vía maximización de la utilidad del productor tomando en cuenta– beneficio económico– costo de garantía– costo de imagen– calidad del producto


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Función de Utilidad

L= Manufacturas vendidasti = tiempo de falla del i-ésimo producto.tw= tiempo de garantía.u(t, tw) = utilidad monetaria cuando el producto falla al tiempo t y se ofreció un tiempo de garantía tw .


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Función de Utilidad

btw: beneficio económico para tiempo de garantía tw .rt, tw: costo de cumplir con garantía. It, tw: costo de insatisfacción del cliente.ut, tw btw rt, tw It, twEn necesario determinar estas funciones.


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Utilidad Esperada

Utilidad total

Utilidad esperada:

utw i1

Lut i, tw

Eutw ELbtw E i1

Lrt i, tw E

i1

LIt i, tw


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Función de UtilidadInformación sobre el producto

ps = precio de ventac = costo de producciónv = ps - c = ganancia bruta del productorte = garantía estándarM = tamaño del mercado para productocr = costo de reparar o reponer producto


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Función Beneficio Económico.

Debería tener ganancias decrecientes a medida que tw tiende a infinito.

ELbtw A2 1 eA1tw


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Función de UtilidadInformación prospectiva del productor

π(te , ps ) = porción actual del mercado (%)ta = tiempo de garantía atractivo al clienteIa = incremento en porción del mercado con taπ(ta , ps ) = π(te , ps ) (1+ Ia)L~ binomial M,t e,ps o t e,ps1 Ia


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Función Beneficio

E(Lb( te))= M π(te , ps ) vE(Lb( ta))= M π(te , ps ) (1+ Ia) vSistema de ecuaciones no lineales. Respecto a A1

Existe solución única para si

btebta

1eA1te

1eA1ta 11Ia

teta

11Ia

ELbtw A2 1 eA1tw

gx 1 exte/1 exta

gA1 11I a


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Función Beneficio

Respecto a A2

A2 bta

A2 Mvt e,ps1 Ia

Ca Mt e,ps1 Ia A2 v

btw A2Ca1 eA1 tw

ELbtw A2 1 eA1tw


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Costo Esperado de Garantía.

Tipos de garantía: reemplazo, reparación, prorrateo.En prorrateo A3 es la proporción del precio de venta que recibe el cliente.En reemplazo y reparación A3=0 .

rt, tw cr10,twt1 A 3 ttw

E i1

Lrt i, tw ELErt, tw Ca o

tw cr1 A 3 ttwft|Xdt


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Costo Esperado de Insatisfacción.

Refleja la insatisfacción del cliente por falla dentro de garantía.qps= Costo del máximo nivel deinsatisfacción cuando el producto falla dentro de la garantía (0<q).

It, tw qps10,twt1 ttw

E i1

LIt i, tw ELEIt, tw Ca o

tw qps1 ttwft|Xdt


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Selección del Tiempo de Garantía.

Por lo tanto, si Entonces

Implementación numérica

tw

tw

arg max utw

utw Eutw

utw 1N k1

N ut k, tw

)X|t(ft )k( ≈


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Densidad Predictiva a Posteriori.

ft|XRepresenta la calidad del producto. La obtuvimosconsiderando:– información a priori sobre t, – los modelos usuales en confiabilidad – los datos de experimentos en confiabilidad (usualmente

pocos y de naturaleza censurada).

ft|X ft|θπθ|Xdθ

Teorema de Bayes|X LX|

LX|d


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Densidades a priori.

Normal-gama

Uniforme

Para especificar π(θ) se procedió de acuerdo al método de Gutiérrez, Aguirre y Christen (2005).Requiere del usuario intervalos iniciales de la media y desviación estándar para el tiempo de vida.

1,2|,,m,k

k

21/22

1/2 exp k22 1 m2 2

1 ,2 a1 ,b1 ,d1 ,e1 1b1a 1e1d1


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Densidad Predictiva a Posteriori.

Tiene forma analítica para los casos sencillos, pero no para las situaciones usuales en confiabilidad: muestras censuradas y modelos paramétricos complejos.Obtención numérica de por Sampling-Importance-Resampling (SIR).

)X|t(ft )k( ≈


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Aplicación: Juego de Balatas Automotrices. Parámetros Iniciales.

ps = precio de venta = 900 pesosc = costo de producción = 700 pesosv = ps - c = ganancia del productor = 200 pesoste = garantía estándar = 10 ( x 1000 Kms.)ta = tiempo de garantía aún atractivo al cliente = 15 (x1000 Kms.)Ia = incremento en penetración de mercado con ta = 10% .Garantía de reemplazo, A3=0 .cr = costo de reparar o reponer producto = 700 pesosq = costo de imagen = 5%


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El Experimento.

Se instalan 40 juegos de balatas en 40 automóviles. Las unidades entran al experimento en diferentes instantes en el tiempo.Se obtiene un dato cuando ocurre la falla en alguna unidad. Se registran los kms de uso.Se observaron r=17 fallas. El resto corresponde a observaciones censuradas aleatoriamente por la derecha.


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Distribución a Priori.

El usuario indicó que con base en su experiencia en el producto la vida media estaba en el intervalo [18,24] y desviación estándar en [2.5,6.5].Se calculan los valores de los hiperparámetros de los modelos que se consideren como candidatos (4 o 5).


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Contraste de los Modelos.

Como posibles modelos se consideraron: normal (M1), lognormal(M2), valor extremo(M3) y Weibull(M4) .Utilizando el método de Gutiérrez, Aguirre y Christen (2006) se obtuvo que Pr(M4|X)mayor a los otros casos.Modelo Weibull con parámetro θ = ( θ 1, θ 2)

π(θ|α,β,m,k) = Normal-gama (2.16,11.6; 2.8,0.195).

fx 1 ,2 21

x1

21 exp x1

2 con x 0, 1 0, 2 0


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Distribución Posterior Predictiva f(t|X)

t

f(t|X

)

10 20 30

0.0

0.02

0.04

0.06

t

f(t|X)


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Utilidad Esperada

tw

u*(tw

)

6 8 10 12 14 16 18

130

140

150

160

170

180

tw

u*(tw)

Óptimo=13.00462Pr(T<13.0|X)=0.085


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Maximización de la Utilidad Esperada.

El cálculo de

puede ser costoso para N grande. Se usó S-Plus para programar todo el proceso. Para la maximización se empleó la rutina interconstruida Optimize, lo que requería alrededor de 15 evaluaciones de la función.

utw 1N k1

N ut k, tw


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Análisis de Sensibildad

Se hizo un análisis de sensibilidad para evaluar los efectos de la especificación de la a priori: los intervalos para la media y para la desviación estándar, y del valor de IaSe utilizó un diseño 23 haciendo variaciones de ±10% en los tres factores. Los cambios en t* no resultaron significativos.SIR con 100,000 ensayos y efectividad de 25%.


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Decisión

La mejor decisión para el productor es t*=13,000 Km, tomando en cuenta la confiabilidad del producto, los costos, la satisfacción del cliente y apreciaciones sobre el mercado.La intención de subirlo hasta 15,000 no va en el interés del productor, ya que su utilidad decrece un 5% aprox.


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ConclusionesSe tiene un método para determinar el tiempo de garantía que incluye: confiabilidad del producto, competitividad de la garantía, costos de garantía y pérdida de imagen por fallas en la garantía.El enfoque se basa en la maximización de una función de utilidad esperada respecto a f(t|X), y no en algo como “un percentil bajo de la distribución del tiempo de falla”.Se mostró que el proceso produce resultados aceptables en un ejemplo de aplicación.


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Desarrollos Posteriores.

Inclusión de competidores.Generalizar a garantías con dos escalas (tiempo, uso)[email protected] http://cursos.itam.mx/vaguirre/Presentaciones


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Referencias.Selección de hiperparámetros para modelos de confiabilidad:Gutiérrez-Pulido, H., Aguirre-Torres, V. and Christen, J.A.(2005) "A Practical Method for Obtaining Prior Distributions in Reliability". IEEE Transactions on Reliability, 54(2), 262- 269

Contrastación de modelos de confiabilidad:Gutiérrez-Pulido, H., Aguirre-Torres, V. and Christen, J.A.(2006) “Contrasting Reliability Models Using Prior Information". Reporte técnico DE-C06.1, Departamento de Estadística, ITAM, México.

Selección de tiempo de garantía:Gutiérrez-Pulido, H., Aguirre-Torres, V. and Christen, J.A.(2006) "A Bayesian Approach for the Determination of Warranty Length". Journal of Quality Technology, 38(2), 180-189.


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Referencias. Libros de Confiabilidad.

Ansell, J.I., and Phillips M.J.(1994). Practical Methods for Reliability Data Analysis. Clarendon Press, Oxford.Lawless, J.F. (1982). Statistical Models and Methods for Lifetime Data. John Wiley, New York. Meeker, W.Q. and E. Escobar (1998). Statistical Methods for Reliability Data. John Wiley, New York. Nelson, W. (1982). Applied Life Data Analysis. John Wiley, New York.


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Referencias. Artículos sobre Tiempo de Garantía.

Blischke, W.R. and Murthy, D.N. P. (Eds.) (1996). Product Warranty Handbook. Marcel Dekker: New York. Menezes, M.A.J. and Currim, I.S. (1992). "An Approach for Determination of Warranty Length". International Journal of Research in Marketing, 9, 177-195. Singpurwalla; N.D. and S.P. Wilson (1993). "The Warranty Problem: its Statistical and Game Theoretic Aspects." SIAM Review, 35(1), 17-42.Singpurwalla; N.D. and S.P. Wilson (1998). "Failure Models Indexed by Two Scales." Advances in Applied Probability, 30, 1058-1072.

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