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ITUCIÓN EDUCATIVAA

C

b d1 2

a 4c

3BD

INSTITUCIÓN EDUCATIVA SAN LUIS GONZAGA

NIT 809007307-2

DANE 173001002467

APROBADA POR RESOLUCIÓN NÚMERO 002566 DEL 27 DE SEPTIEMBRE 2017

POR MEDIO DEL CUAL SE RECONOCEN LOS ESTUDIOS EN LOS NIVELES DE PREESCOLAR,

BASICA PRIMARIA Y SECUNDARIA, EDUCACIÓN MEDIA Y EDUCACIÓN DE ADULTOS POR CICLOS

DESCRIPCION DE ACTIVIDADES PARA RAZONAMIENTO CUANTITATIVO

OBJETIVOS

IDENTIFICAR SITUACIONES PROBLEMÁTICAS ASOCIADAS A SUS NECESIDADES DE CONTEXTO APLICANDO ROCEDIMIENTOS MATEMÁTICOS

PLANTEAR PROBLEMAS ARITMÉTICOS, GEOMÉTRICOS Y MÉTRICOS DE ACUERDO CON LOS CONTEXTOS PRODUCTIVO Y SOCIAL

SOLUCIONAR PROBLEMAS DEL ENTORNO PRODUCTIVO Y SOCIAL APLICANDO PRINCIPIOS MATEMÁTICOS

VERIFICAR LOS RESULTADOS DE LOS PROCEDIMIENTOS MATEMÁTICOS CONFORME CON LOS REQUERIMIENTOS DE LOS DIFERENTES CONTEXTOS

ACTIVIDAD GRUPAL: Consultar los conceptos relacionados con las competencias y participe de plenaria en clase

para resolver las inquietudes planteadas.

NÚMEROS RACIONALES.

Los números racionales son todos los números que pueden representarse como el cociente de dos números enteros o,

más exactamente, un entero y un natural positivo; es decir, una fracción común con numerador y denominador distinto

de cero. El término «racional» alude a una fracción o parte de un todo. Tiene la forma 𝑎

𝑏 en donde y son números

enteros.

Ejemplos: 3

4 ,

5

3,

7

12, −

3

2,

11

13, etc.

Todo número entero es racional, esto ya que si es entero, entonces podemos expresarlo como 𝑎 =𝑎

1, por

ejemplo, 7 es racional porque se puede expresarse 7

1

REPRESENTACION DE NUMEROS RACIONALES

Como los números racionales sirven para representar fracciones de unidad, su ubicación en la recta numérica estará entre las marcas de los enteros, que representan precisamente unidades enteras.

Para aprender a representar fraccionarios necesitamos saber interpretar las expresiones del tipo 𝑎

𝑏

Recuerda que llamamos numerador a la parte de arriba y denominador a la parte de abajo. En este caso el numerador es 𝑎 y el denominador es 𝑏. La denominadora índica que debemos dividir cada unidad en ese número de partes, mientras que el numerador nos dice cuántas de esas pequeñas partes debemos tomar a partir del origen o cero.

Por ejemplo, analicemos las expresiones 3

2 : el número dos está en el denominador muestra

que debemos dividir las unidades en dos partes iguales, mientras el tres en el numerador señala que debemos tomar tres de esas divisiones a partir del origen. Veamos:

Cuando ubiques algún número negativo en la recta numérica, la única diferencia es que contamos las unidades hacia la izquierda y no hacia la derecha.

Como ejemplo representemos el −5

4: Primero dividimos las unidades en cuatro partes iguales, como señala el

denominador, después contamos cinco unidades a partir del origen. Como se trata de un número negativo, contamos las partes hacia la izquierda:

ORDEN EN LA RECTA NUMERICA La recta numérica es una herramienta muy útil para comparar números, aprende como usarla. Recordarás el concepto de orden y el símbolo que usamos para representarlo. Cuando ubicamos correctamente los números en la recta, quedan organizados de izquierda a derecha, estando los menores a la izquierda y los mayores a la derecha. Vemos por ejemplo como menos uno está a la derecha de menos tres, representando gráficamente que −3 < −1; el cero está a la derecha del menos uno, representando que 0 > −1 ; o uno sobre dos está a la

derecha del cero, ya que 0 <1

2 :

POR EJEMPLO: Comprobar que 4

7>

5

9

En color rojo se muestran las divisiones necesarias para representar

4

7, es decir, se dividió la unidad en siete

partes iguales y se tomaron cuatro. En color azul se dividió la unidad en nueve partes iguales, de las cuales se

tomaron cinco. Si observas con atención notarás que4

7 está un poco más a la derecha que

5

9.

Los números negativos son todos aquellos números que se expresan con el signo menos (-) a la izquierda y su valor es menor que cero (0). Estos nos sirven para representar las temperaturas, los pisos inferiores de los edificios y las diferentes profundidades del nivel del mar. Existen momentos en nuestro diario vivir en que usamos números menores que cero. Por ejemplo, ¿sabías que las temperaturas promedio en el Cerro Aconcagua en Argentina varían de -20℃ a -30℃ ¡Eso es muy frío! También aparecen en las finanzas para mostrar las deudas. Supongamos que tienes $50 pesos en tu cuenta bancaria y accidentalmente gastas $60 pesos, el balance de tu cuenta actual es de -$10 pesos. Esto significa que le debes al banco $10 pesos. PROPIEDADES EN LOS NUMEROS RACIONALES

OPERACIONES ARITMÉTICAS CON NUMEROS RACIONALES

1.- SUMA Y RESTA DE NÚMEROS RACIONALES

Para sumar o restar dos o más fracciones es condición necesaria que tengan el mismo denominador. Si tuvieran distintos denominadores lo primero que hay que hacer es obtener fracciones equivalentes con igual denominador. Para sumar o restar fracciones con igual denominador se suman o restan los numeradores y se mantiene el mismo denominador: 2

3+

5

3+

7

3=

2+5+7

3=

14

3

9

2−

3

2−

4

2=

9−3−4

2 =

2

2= 1

Veamos ahora un ejemplo con fracciones con distintos denominadores: Para hacer suma de fracciones con distinto denominador, lo primero que hay que hacer es poner un denominador común: esto es el mínimo común múltiplo entre los denominadores que haya. Después multiplicamos cada numerador por el número que hayamos multiplicado al denominador

4

5+

2

3=

(4 × 3) + (2 × 5)

5 × 3=

12 + 10

15=

22

15

2.- MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES Se multiplican sus numeradores y sus denominadores y su producto se simplifica si sus factores son divisibles

4

5×

7

3=

4 × 7

5 × 3=

28

15

3.- DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES:

Se multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda.

5

3÷

7

4=

5 × 4

3 × 7=

20

21

ORDEN DE LAS OPERACIONES

Los pasos en el orden de operaciones son:

1. Se resuelven primero los problemas matemáticos que estén enmarcados dentro de los siguientes símbolos ( ) [ ] { }, o dentro de algún otro símbolo.

2. Luego se resuelven los problemas como Raíces cuadradas o Potencias (también se les llama Índices o Exponentes).

3. El siguiente paso es resolver los problemas de Multiplicación o División que se presenten en la ecuación. (Esto se hace de izquierda a derecha)

4. Por último, se resuelven las Sumas y Restas que aparezcan en la ecuación, (esto se hace de izquierda a derecha).

EJEMPLO DE ORDEN DE OPERACIONES:

El orden de operaciones se puede observar en la siguiente ecuación: 2 – 3 + 4 x 6 / 2 =? La prioridad de las operaciones es en primer lugar los signos de agrupación paréntesis ( ), corchetes [], llaves {}, y barra superior. El segundo lugar en prioridad son las potencias y raíces. El siguiente nivel multiplicación y división. Finalmente suma y resta. Los diferentes términos de la ecuación se resuelven de izquierda a derecha.

En este ejemplo 2 – 3 + 4 x 6 / 2 =?

Paso 1 Como tenemos suma, resta, multiplicación y división, efectuaremos primero la multiplicación y la división, realizándolas de derecha a izquierda: A. La primera operación de izquierda a derecha es la multiplicación 4x6, que indicaremos entre paréntesis y la resolveremos: 2 -3 + (4 x6) /2 = 2 – 3 + 24 /2. B. La siguiente operación es la división entre 2 del resultado de la multiplicación anterior, o sea, 24 que será la siguiente operación que realizaremos: 2 -3 + (24 /2) = 2-3 +12.

Paso 2 Ahora realizaremos las sumas y las restas de igual orden de derecha a izquierda: A. La primera operación es la resta de2-3 que pondremos entre paréntesis y resolveremos: (2-3)+ 12 = -1 +12. B. Para terminar haremos la operación final: -1 +12 =11. El resultado de: 2 – 3 + 4 x 6 / 2 =11

EJERCICIOS

1. 2 × 4 - 6 + 8 ÷ 2

2. 2 + 4 × 53

3. 32 - (5 - 68 + 15) - 3 × (5 - 12 + 40 ÷ 8 )2

4. 12 - 4 × ( 5 - ( 11 - 6 × 2 )5 - ( - 7 ) )

5. - 14 - ( 5 × ( 7 - 6 ÷ 3 + ( - 6 - 5 + 3 ) ) - 3 × ( 5 - ( 11 × 2 - 17 ) - ( 15 - 7 ) ) )

PRPORCIONALINAD DIRECTA REGLA DE TRES SIMPLE Y DIRECTA Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida por ese mismo número. Al dividir cualquier valor de la segunda magnitud por su correspondiente valor de la primera magnitud, se obtiene siempre el mismo valor (constante). Para resolver un ejercicio de proporcionalidad directa se puede utilizar:

Una regla de tres.

La regla de tres simple y directa consiste en una relación de cantidades con proporcionalidad directa, que se da cuando dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes directamente proporcionales, se debe calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.

EJEMPLO DE REGLA DE TRES SIMPLE Y DIRECTA

Para resolver problemas de regla de tres, tenemos que trabajar siempre con las mismas unidades entre las dos magnitudes. Una de las dificultades que puede haber es pasar todo a la misma unidad

Si 3 kilos de naranjas cuestan $ 4000, ¿cuántos kilos de naranjas se pueden comprar con $32000?

3 Kilos_______________$ 4000

X ________________$ 32000

Entonces 𝑥 =3 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑠 ×$32000

$4000=

96000

4000= 24 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑠

Respuesta Puede comprar 24 kilos

Ejemplo 2 Una moto recorre 30 km en un 15 minuto, ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 2 horas? A más tiempo más distancia, luego hay que usar una regla de tres directa Aquí hay que pasar todo el tiempo a minutos. Para pasar las horas a minutos podemos utilizar otra regla de tres directa:

𝑋 =2ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 × 60𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

1 ℎ𝑜𝑟𝑎=

120𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

1= 120𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

Ahora vamos con el problema:

𝑋 =30𝐾𝑚 × 120𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

15𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠= 240 𝐾𝑚

Respuesta recorre 240 Km

Si el 50% de una cantidad es 60, ¿Cuánto es el 25% de esa misma cantidad? ¿Cuál es la cantidad? A menos porcentaje menos cantidad, luego hay que usar una regla de tres directa

Vamos a calcular el 25%:

𝑋 =25%×60

50%= 30

Para calcular la cantidad, debemos calcular el 100%:

𝑋 =100%×60

50= 120

Un trabajador gana en 1 día $60000, ¿Cuánto ganará en un mes?

A más días más dinero, luego hay que usar una regla de tres directa Consideramos que un mes tiene 30 días.

1 día____________$60000 𝑋 =30 𝑑𝑖𝑎𝑠×$60000

1𝑑𝑖𝑎= $1800000

30dias___________X

Respuesta el trabajador gana en un mes $1,800,000

Seguimos ahora con la regla de tres inversas ¿Cómo se realiza?

Dos valores son inversamente proporcionales cuando: Al aumentar un valor, el otro disminuye en la misma proporción Al disminuir un valor, el otro aumenta en la misma proporción

Siempre que ocurra esto, hablamos de proporcionalidad inversa.

La proporción con la que aumenta o disminuye el valor es constante. A esta constante se le llama razón de proporcionalidad inversa Veamos algunos ejemplos de proporcionalidad inversa:

3 obreros tardan 4 horas para abrir una zanja. Si quieren abrirla en menos tiempo, se necesitarán más obreros

La cantidad de obreros y el tiempo de abrir la zanja son dos magnitudes inversamente proporcionales, porque si aumenta el número de obreros disminuye el tiempo y si disminuye el número de obreros, aumenta el tiempo

Un autobús tarda 1 hora en acabar su trayecto a una velocidad de 80 km/h. Si aumenta la velocidad a 100 km/h, tardará menos tiempo tardado

El tiempo que tarda el autobús y la velocidad son dos magnitudes inversamente proporcionales, porque si aumenta la velocidad disminuye el tiempo tardado y si disminuye la velocidad, aumenta el tiempo que tarda.

https://ekuatio.com/apuntes-de-matematicas/numeros-aritmetica/proporcionalidad/regla-de-tres-directa/

Qué es y cuándo se utiliza la regla de tres inversos La regla de tres inversas es un método para calcular un valor desconocido que es inversamente

proporcional a otro valor que conocemos. Se utiliza cuando las magnitudes que estamos tratando son inversamente proporcionales, es decir, que guardan la siguiente relación:

Si una magnitud aumenta, la otra disminuye en la misma proporción Si una magnitud disminuye, la otra aumenta en la misma proporción

Cómo hacer una regla de tres inversas paso a paso Si para un valor A de una magnitud, tenemos un valor B de la otra magnitud, para un valor de C de la primera magnitud, a la segunda magnitud le corresponderá un valor de X:

¿Cuánto vale esa X? En una regla de tres inversas, la X se calcula multiplicando los dos valores que están en la línea donde no está la X, divididos entre el valor que se encuentre en la misma línea que la X. Para acordarnos, se dice que la X se resuelve en línea (a diferencia de la regla tres directa que es en cruz):

La fórmula sería:

EJERCICIOS RESUELTOS DE REGLA DE TRES INVERSA Para resolver problemas de regla de tres, tenemos que trabajar siempre con las mismas unidades entre las dos magnitudes. Una de las dificultades que puede haber es pasar todo a la misma unidad 10 obreros tardan 2 meses en construir una casa. ¿Cuántos días tardarían 15 obreros?

A más obreros menos tiempo tardarán, luego hay que usar una regla de tres inversa En primer lugar, hay que pasar los meses a días, mediante una regla de tres directa:

𝑋 =2𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠×30𝑑𝑖𝑎𝑠

1 𝑚𝑒𝑠= 60 𝑑𝑖𝑎𝑠

Y ahora trabajamos con los datos del problema en días, que es en lo que nos piden:

𝑋 =10 𝑜𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠×60𝑑𝑖𝑎𝑠

15 𝑜𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠= 40𝑑𝑖𝑎𝑠

Respuesta: los 15 obreros tardan 40 dias

1 grifo con un determinado caudal tarda 30 minutos en llenar un depósito. ¿Cuántos minutos tardaría en llenarse el depósito con 3 grifos con el mismo caudal? A más grifos (o más caudal) menos tiempo, luego hay que usar una regla de tres inversa:

𝑋 =1𝑔𝑟𝑖𝑓𝑜×30𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑎

3𝑔𝑟𝑖𝑓𝑜𝑠= 10𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

Respuesta: los tres grifos llenan el deposito en 10 minutos

Un autobús tarda 1 hora en acabar su trayecto a una velocidad de 80 km/h. Si aumenta la velocidad a 100 km/h, ¿cuánto tardará en terminar su trayecto? A más velocidad menos tiempo tardado, luego hay que usar una regla de tres inversas:

𝑋 =80𝑘𝑚/ℎ×1ℎ

100𝑘𝑚/ℎ= 0.8ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

Si queremos saber el tiempo en minutos, utilizamos una regla de tres directa:

𝑋 =0.8ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠×60𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

1 ℎ𝑜𝑟𝑎= 48 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA

1) Hemos comprado 3 kg de manzanas y nos han cobrado 3,45 €. ¿Cuánto nos

cobrarían por 1, 2, 5 y 10 kg?

2) Marta ha cobrado por repartir propaganda durante cinco días 126 €. ¿Cuántos días

deberá trabajar para cobrar 340,2 €?

3) En un plano de una ciudad, una calle de 350 metros de longitud mide 2,8 cm.

¿Cuánto medirá sobre ese mismo plano otra calle de 200 metros?

4) En una panadería, con 80 kilos de harina hacen 120 kilos de pan. ¿Cuántos kilos de

harina serían necesarios para hacer 99 kilos de pan?

6) En el equipo de fútbol del barrio han jugado como porteros Ángel y Diego. A Ángel

le han marcado 13 goles en 10 partidos jugados. Diego jugó 15 partidos y le

marcaron 18 goles. ¿Cuál de los dos ha tenido mejores actuaciones?

7) Una piscina portátil ha tardado en llenarse seis horas utilizando cuatro grifos

iguales. ¿Cuántos grifos, iguales a los anteriores, serían necesarios para llenarla en 3

horas?

8) Para construir una casa en ocho meses han sido necesarios seis albañiles. ¿Cuántos

habrían sido necesarios para construir la casa en tan sólo tres meses?

9) En una fábrica automovilística, una máquina pone, en total, 15.000 tornillos en las 8

horas de jornada laboral, funcionando de forma ininterrumpida. ¿Cuántos tornillos

pondrá en 3 horas?

10) Después de una fuerte tormenta, dos autobombas han tardado 6 horas en desaguar

un garaje que se había anegado. ¿Cuántas horas se hubiera tardado utilizando sólo 3

autobombas?

11) Un coche ha tardado 42 minutos en recorrer 70 km. Suponiendo que va a la misma

velocidad, contesta a las siguientes cuestiones:

a) ¿Cuánto tardará en recorrer 150 km?

b) ¿Cuántos kilómetros recorrerá en dos horas y tres minutos?

12) Un automóvil ha tardado en hacer el recorrido Madrid-Zaragoza tres horas y cuarto

a una media de 100 km/h. ¿Cuánto tardará un autobús a una media de 90 km/h?

13) En un partido de baloncesto un jugador A ha conseguido 12 canastas de 20 intentos,

otro, B, 6 de 16 y un tercero, C, 15 de 25. ¿Qué porcentaje de acierto ha tenido cada

uno de ellos?

14) Diego tenía que resolver 20 problemas de matemáticas.

a) Si resolvió bien el 30% de los problemas, ¿cuántos hizo correctamente?

b) ¿Cuántos tendría que haber resuelto correctamente para que el porcentaje de

problemas bien hechos hubiera sido del 85%?

15) Si en cierta tienda tenían rebajas del 20% y me rebajaron un abrigo 150 €, ¿qué

precio tenía el abrigo? ¿Cuánto me cobraron?

16) Con las últimas lluvias el agua embalsada de un pantano ha aumentado el 27%. Si el

agua embalsada es de 431,8 hl, ¿cuánta agua tenía antes de las lluvias?

17) He conseguido que me rebajaran la nevera un 18%, con lo que me ha costado 574 €.

¿Cuánto valía antes de la rebaja?

18) Los padres de Marina y Pablo han repartido entre ellos 30 € en dos partes

directamente proporcionales a sus años. Si Marina tiene 14 años y Pablo 6, ¿cuánto

le ha correspondido a cada uno de ellos?

19) Se ha encargado a un orfebre el diseño y la fabricación de un trofeo que ha de pesar 5 kg y ha de estar fabricado con una aleación que contenga tres partes de oro, tres de plata y dos de cobre. ¿Qué cantidad se necesita de cada metal?

20) Luis, Juan y Sandra han repartido 6.000 octavillas de publicidad en los buzones de su barrio y, por ellos, han cobrado 165 €. Si Luis ha repartido 1.500, Sandra 2.500 y Juan 2.000, ¿qué cantidad de lo cobrado le corresponde a cada uno?

COMO SACAR EL PORCENTAJE

Para determinar el porcentaje de un número hay que seguir los siguientes pasos básicos:

1- Multiplicar el número por el porcentaje. Por ejemplo, si quiero saber el 32 % de 517, debo multiplicar ambas cifras (Ej: 32 x 517 = 16544). 2- Luego hay que dividir el resultado por 100.

Problema 2

En el colegio A, les gusta el rock a 12 de sus 60 alumnos. En el colegio B, les gusta el rock a 18 de sus 120 alumnos. ¿A qué porcentaje de alumnos les gusta el rock en cada colegio? ¿En qué colegio gusta más el rock?

Solución.

Calculamos el porcentaje de alumnos a los que les gusta el rock en cada colegio para poder comparar la proporción.

Colegio A:

Aplicamos una regla de tres:

Colegio B:

Aplicamos una regla de tres:

Tenemos

En el colegio A, el rock gusta al 20% de los alumnos. En el colegio B, el rock gusta al 15% de los alumnos.

Por tanto, el rock gusta más en el colegio A.

Observad que la proporción es mayor en colegio A que en el colegio B, aunque el número de alumnos a los que les gusta el rock es mayor en el colegio B.

Resolver los problemas

1. De los 684 lanzamientos que realizó Alberto, falló 513. ¿Qué porcentaje de lanzamientos fallidos tiene Alberto?

2. Lara acertó el 85% de las preguntas del test de inglés. Si el test tenía un total de 160 preguntas, ¿en cuántas preguntas no acertó

3. El 18% de los árboles del jardín de la plaza mayor son almendros y el resto son naranjos. Si en la plaza 45 almendros, ¿cuántos árboles hay en total en la plaza

4. El sueldo mensual de Jonatán es de 1000€ y si le ascienden al rango máximo de la empresa, su sueldo aumentaría un 35%. ¿Cuál sería el sueldo mensual de Jonatán si es ascendido?

5. Calcular los siguientes porcentajes:

a. El 25% de 136. b. El 0.5% de 6800. c. El 50% 340.

GEOMETRIA CONCEPTOS BASICOS

OBJETIVOS

Entender los conceptos básicos de la geometría plana.

Introducir los elementos básicos de la geometría.

Reconocer figuras geométricas planas.

INTRODUCCION

El estudio de la geometría debe incluir experiencias y actividades que les permita a los

estudiantes entender el significado de la geometría en sus vidas del diario vivir. Es importante

que los estudiantes desarrollen habilidades inductivas usando manipulativos o programado

de computadoras. Además es importante el aprendizaje en grupo que les permita discutir la

solución de los problemas y las conexiones de la geometría con las otras disciplinas como

álgebra y cálculo.

La geometría es muy importante debido a que permite enseñar y aprender el arte de razonar,

porque es abstracta, pero fácil de visualizar y tiene muchas aplicaciones concretas como, por

ejemplo, calcular el área de un lote a ser cercado, determinar el volumen de una lata que

contiene refresco, construir puentes bien estructurados, estaciones experimentales en el

espacio, grandes coliseos deportivos, etc. A continuación, se muestra la iglesia de Santa Sofía

construida en los años 300, pertenece a la arquitectura Bizantina y fue diseñada usando

figuras geométricas, como semiesferas, rectángulos.

La geometría elemental se divide en dos partes, geometría plana (estudia la figura plana, que tienen únicamente dos dimensiones: largo y ancho) y geometría del espacio (estudia las propiedades de los cuerpos geométricos provistos de largo, ancho y altura o profundidad)}

GEOMETRIA PLANA

La geometría plana estudia las figuras planas, que tienen únicamente dos dimensiones: largo

y ancho.

Para comprender la geometría plana de manera mas clara, es indispensable, comenzar por la

definición de conceptos elementales hasta llegar a nociones más complejas.

CONCEPTOS BASICOS

Para el estudio de la geometría, es indispensable conocer el concepto intuitivo de punto, recta

y plano. Estos son términos no definidos que proveen el inicio de la geometría.

Punto es el objeto fundamental en geometría, el punto representa

solo posición y no tiene dimensión, es decir, largo cero, ancho cero

y altura cero. Se representan por letras mayúsculas.

Ejemplo Tres puntos

Recta tiene solo longitud, no tiene ancho ni altura ni grosor. Es un conjunto infinito de

puntos que se extienden en una dimensión en ambas direcciones. Una recta se puede

representar por:

Semirrecta la definimos como la porción de una recta que tiene principio pero no tiene fin.

segmento de recta es una porción de la recta con principio y con fin, es decir sabemos

dónde empieza y donde termina por ende lo podemos medir.

Plano tiene ancho y largo, sin altura ni grosor. Un plano es

una superficie en dos dimensiones, se puede pensar

como un conjunto de puntos infinitos en dos

dimensiones.

POLÍGONOS

Un polígono es una figura plana cerrada que está formada por tres o más segmentos de recta

que se unen en sus puntos extremos. Los segmentos de recta que forman un polígono solo

se intersectan en sus puntos extremos. Los polígonos se nombran de acuerdo al número de

lados que están formados.

Triángulo: polígono de 3 lados

Cuadrilátero: polígono de 4 lados

Pentágono: polígono de 5 lados

Hexágono: polígono de 6 lados

Heptágono: polígono de 7 lados

Octágono: polígono de 8 lados

Nonágono: polígono de 9 lados

Decágono: polígono de 10 lados

Dodecágono: polígono de 12 lados

n - ágono: polígono de n lados

Ejemplos de polígonos:

Las partes de un polígono son:

Vértices: puntos finales de los segmentos que forma el polígono, en la figura: A, B, C, D, E. Lados: segmentos de recta que unen dos vértices consecutivos del polígono, en la figura los lados son: AB, Lados consecutivos: cualquier par de lados que comparten un vértice, en la figura: AB y BC, BC y CD, Diagonal: un segmento de recta que une dos vértices no consecutivos, en la figura: AC. Apotema: de un polígono regular es la menor distancia entre el centro y cualquiera de sus lados. Es un segmento cuyos extremos son el centro de un polígono regular y el punto medio de uno cualquiera de sus lados, y es siempre perpendicular a dicho lado.

CÍRCULOS

El círculo es una figura plana que consiste de todos los

puntos que están sobre una curva cerrada y de los puntos

interiores de ella, en la cual cada punto sobre la curva tiene

la misma distancia al centro del círculo.

El radio de un círculo es la distancia entre el centro y

cualquier punto de la curva y tiene longitud r.

El diámetro de un círculo es la distancia entre dos puntos

cualesquiera de la curva cerrada y que pasa por el centro

y tiene longitud d = 2r y divide a un círculo en dos partes iguales.

La Circunferencia es la línea curva cerrada y plana cuyos puntos están a la misma

distancia (radio) de un punto (centro). El centro no es parte de la circunferencia.

El área de un círculo, es la medida de la superficie limitada por la circunferencia del

círculo dado.

UNIDADES DE MEDIDA

Una unidad de medida es una cantidad estandarizada de una determinada magnitud física, definida y adoptada por convención o por ley. Cualquier valor de una cantidad física puede expresarse como un múltiplo de la unidad de medida. Existen varias medidas de longitud, como, por ejemplo, la yarda, la pulgada y el pie. En el SI, la unidad de referencia de la longitud es el metro (m). ... Los múltiplos del metro son el kilómetro (km), el hectómetro (hm) y el decámetro (dam). Los submúltiplos son el decímetro (dm), el centímetro (cm) y el milímetro (mm).

Medir es comparar una magnitud con otra que llamamos unidad. La medida es el número de veces que la magnitud contiene a la unidad El Sistema Métrico Decimal es un sistema de unidades en el cual los múltiplos y submúltiplos de una unidad de medida están relacionadas entre sí por múltiplos o submúltiplos de 10. El Sistema Métrico Decimal lo utilizamos en la medida de las siguientes magnitudes: - Longitud - Masa - Capacidad - Superficie - Volumen Las unidades de tiempo no son del Sistema Métrico Decimal, ya que están relacionadas entre sí por múltiplos o submúltiplos de 60. El tiempo es una magnitud del Sistema Sexagesimal. Unidades de medida de longitud La unidad principal para medir longitudes es el metro Está dividido en decímetros (dm), centímetros ( cm), milímetros (mm). Son sus submúltiplos El kilómetro (km), hectómetro (hm) y el decámetro (dam), son unidades más grandes por lo tanto son sus múltiplos

kilómetro km 1000 m

hectómetro hm 100 m

decámetro dam 10 m

metro m 1 m

decímetro dm 0.1 m

centímetro cm 0.01 m

milímetro mm 0.001 m

Datos:

1m = 1000 mm 1km = 1000 m

¿Para qué utilizamos el metro? El metro es empleado para medir el largo, ancho, y la altura de las cosas, es decir el metro se utiliza para conocer longitudes.

¿Cómo convertir las unidades de longitud en una más grande o más pequeña? Cada unidad de longitud es igual a 10 unidades de orden inmediato inferior, o también cada unidad de un orden es 10 veces menor que la del orden inmediato superior. Para pasar de una unidad a otra podemos seguir este esquema:

ECUACIONES DE PRIMER GRADO: CONCEPTOS Y MÉTODO DE SOLUCIÓN

Definición y resolución de ecuaciones de primer grado. es una ecuación, es decir, una igualdad que se cumple para un valor de . El lado izquierdo de la igualdad se denomina primer miembro de la ecuación y el derecho, segundo miembro. En la igualdad hay números conocidos (y) y otros que no lo son ( ). Antes de empezar con la resolución de ecuaciones de primer grado propiamente dicha, vamos a ver un poco qué es una ecuación. Una ecuación es una igualdad algebraica que se cumple solamente para determinados valores de las variables o incógnitas (las letras). Por ejemplo, la siguiente igualdad algebraica es una ecuación: 7x – 3 = 3x + 9 Los valores de las variables o incógnitas (letras) que hacen que se verifique la igualdad son lo que denominamos soluciones de la ecuación. Así, en el ejemplo anterior, x=3 sería una solución, ya que hace que se verifique la igualdad al sustituir x por 3: 7·3 – 3 = 3·3 + 9 21 – 3 = 9 + 9 18 = 18 Por lo tanto, resolver una ecuación no es otra cosa que encontrar el valor o los valores que ha de tomar la variable o incógnita para que se cumpla la igualdad. Por otra parte, el grado de una ecuación es el mayor grado de los monomios que contiene. El grado de un monomio viene dado por la suma de los exponentes que tienen las variables (letras) en dicho monomio En nuestro ejemplo la ecuación es de primer grado, ya que el mayor grado de los monomios que contiene la ecuación es 1 (es el mayor exponente que tiene la x en nuestra ecuación ejemplo). Este tipo de ecuaciones, las de primer grado, son precisamente las que vamos a trabajar en esta entrada. He comenzado diciendo que una ecuación es una igualdad algebraica, eso quiere decir que tiene un signo «=», y una expresión a cada lado del mismo. A las expresiones que quedan a cada lado del signo «=» se las denomina miembros de la ecuación. Para distinguirlos, se suele llamar primer miembro al que está a la izquierda del «=», y segundo miembro al que está a la derecha (también se les puede llamar perfectamente «miembro de la izquierda» y «miembro de la derecha», que al fin y al cabo es lo que son). A cada uno de los monomios que forman parte de la ecuación se les denomina términos. En nuestro ejemplo:

RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES

4 – 6x = 3x – 5

7x – 5 = x + 4 + 6x

2(-3x + 3) – 3(x + 5) = x + 11

-(-2x – 1) – (x + 3) = x + 16

VARIABLES ESTADÍSTICAS La Estadística es la ciencia que proporciona técnicas y procedimientos que permiten observar y medir cierta característica de la población. Las características que estudia la estadística de la población vienen a ser conceptos como pueden ser ventas, estatura, peso, consumo, etc. Tales conceptos, cuando son investigados, en estadística reciben el nombre de variables. Vienen a ser llamados variables estadísticas, puesto que originan una serie de datos que tienden a fluctuar al realizar su medición. Vamos a definir variable de la forma siguiente: Variables estadísticas. Una variable estadística es el conjunto de valores que puede tomar cierta característica de la población sobre la que se realiza el estudio estadístico y sobre la que es posible su medición. ... Cualitativa (o categórica): son las variables que pueden tomar como valores cualidades o categorías.

Una variable estadística es cada una de las características o cualidades que poseen individuos de

una población. ... Ejemplos de variables estadísticas: Color de las bebidas gaseosas: rojo, amarillo,

negro, naranja. Contenido de las bebidas gaseosas: 0.5 litros, 1 litro, 1.5 litros, 2.5 litros.

VARIABLES Y SU CLASIFICACIÓN

Una variable es una propiedad característica de la población en estudio, susceptible de tomar diferentes valores, los cuales se pueden observar y medir. Las variables pueden ser de dos tipos: cualitativas y cuantitativas. Las variables cualitativas se clasifican a su vez en nominales y ordinales, en tanto que las variables cuantitativas se clasifican a su vez en discretas y continuas. Variables cualitativas: son aquellas que no se pueden medir numéricamente ejemplo: nacionalidad, color de la piel, sexo, etc. A su vez, las variables cualitativas pueden ser: Nominales: son datos que corresponden a categorías que por su naturaleza no admiten un orden. Por ejemplo: sexo (masculino y femenino); carrera de estudio: economía, contabilidad, administración, etc. Ordinales: son aquellos que corresponden a evaluaciones subjetivas que se pueden ordenar o jerarquizar. Por ejemplo: en una competencia artística las posiciones de los ganadores se ordenan o jerarquizan en primer lugar, segundo lugar, tercer lugar, cuarto lugar, etc. Variables cuantitativas: son aquellas que tienen valor numérico como la edad, el precio de un producto, ingresos anuales de un consumidor, etc. A su vez, las variables cuantitativas pueden ser: Discretas: estas son aquellas que sólo pueden tomar valores enteros como 1, 2, 8, -4, etc. En este sentido, los hermano en una familia podrán ser: 1, 2, 3..., etc. Sin embargo, nunca podrán ser 1.5 o 2.3. Continuas: son aquellas que pueden tomar cualquier valor real dentro de un intervalo o rango. Por ejemplo, los litros de leche ordeñados podrán se 1.5 o 10.3 etc.

GRAFICOS ESTADISTICOS

Las gráficas sirven para organizar datos estadísticos. Estas representaciones recogen información sobre la frecuencia con la que se presenta una variable dentro de una muestra estudiada. Por ejemplo, una gráfica puede ilustrar cuántas personas con cabello negro, marrón y amarillo hay en la muestra ejemplo: gráficos de barras, gráficos circulares, gráficos de dispersión conceptuales o numéricos y muestran la relación que estos datos poseen entre sí. Existen múltiples tipos de gráficos según el tipo de información que se quiera volcar, por Un gráfico es una representación visual figurativa que describe conceptos y relaciones. Los gráficos estadísticos plasman datos EJEMPLO: Se le pregunto a 40 personas cuál era su color favorito y

respondieron como muestra la tabla

COMO HACER UNA GRAFICA CIRCULAR

Es la representación de una serie de cantidades y consiste en un círculo dividido en varios sectores cuyo

tamaño corresponde a las proporciones de las cantidades los datos de esta grafica generalmente se anotan en

porcentaje para poder hacer nuestra grafica circular lo primero que necesitamos son los datos los cuales vamos

a tener en cuente el ejercicio anterior,

¿Cómo se obtienen los valores de las columnas grados y porcentaje?

Dividir el circulo en grados, como sabemos tiene 360° el cual dividimos entre 40 el número de personas de la

encuesta y nos da como resultados 9° lo que quiere decir que por cada respuesta son 9 grados o por cada persona

que contesto son 9 grados en el caso:

Color rosa son: 7 personas por 9° = 63°

Color amarillo son: 11 personas por 9° = 99°

Color azul son: 5 personas por 9° = 45°

Color verde son: 15 personas por 9° = 135°

Color rojo son: 2 personas por 9° = 18°

Si sumamos los grados nos da 360° que son los grados de un circulo.

Para poder representar los resultados tenemos que sacar el porcentaje de cada respuesta como todos sabemos el

total es el 100% y lo dividimos entre 40 y da como resultado a 2.5 esto quiere decir que a cada

respuesta le corresponden 2.5 puntos porcentuales, así:

7 x 2.5 =17.5%

11 x 2.5 = 27.5%

5 x 2.5 = 12.5%

15 x 2.5 = 37.5%

2 x 2.5 = 5%

Sumando los datos de la columna nos da el 100%

Una vez que se tiene la tabla vamos a trazar la gráfica circular:

1. Dibujar un circulo 2. Con el transportados medir cada uno de los ángulos. 3. Se empieza con el color rosa y se grafica un ángulo de 63° 4. Ahora el color amarillo se hace se grafica 99° a continuación del anterior. 5. Así sucesivamente con los otros colores. 6. Colocar los porcentajes en cada sección del círculo. Ver figura Lo importante de realizar una gráfica es que se puede apreciar de mejor manera los resultados de una tabla

además de ser un excelente instrumento para el resumen de datos y la toma de decisiones

EJERCICIOS

1. Se le pidió a un grupo de personas que marque la imagen de su bebida preferida en una tabla de frecuencia. Con la tabla de frecuencias obtenida, elaborar un diagrama de barras y otro circular de la información obtenida.

Bebida preferida Frecuencia absoluta

Jugo Hit 8

Sprite 7

Pepsi 10

Coca cola 5

Elabore los gráficos de barras y circular.

1. El gráfico muestra la distribución de los gastos de un hogar.

1. ¿Cuántos grados corresponderán al sector alimentación?

A) 135° B) 120° C) 144° D) 90°

2. Si la familia realizó un gasto de $ 840 en alimentación, ¿cuál fue el gasto en luz?

A) $ 210 B) $ 420 C) $ 350 D) $ 120

La afluencia de turistas en tres zonas A, B y C de caño cristal en el 2018 fue de 50,000 personas y en el 2019

aumentó en 20% como se muestra en los diagramas:

¿En cuánto varía la afluencia de turistas en la zona B?

A) Aumenta en 4,000

B) Aumenta en 3,000

C) Disminuye en 4,000

D) Aumenta en 1,000

E) Disminuye en 1,000

PERÍMETROS: CONCEPTOS Y CÁLCULOS

El perímetro es uno de los conceptos bases de la geometría, cuando nos referimos a figuras planas. Calcular el perímetro de cualquier forma geométrica plana es bastante sencillo, si conoces la fórmula. A continuación, te vamos a explicar cómo se calcula, con la fórmula paso a paso de todas las formas geométricas. El perímetro y el área son dos elementos fundamentales en matemáticas. Para ayudarte a cuantificar

el espacio físico y también para proveer las bases de matemáticas más avanzadas como en el

álgebra, trigonometría, y cálculo. El perímetro es una medida de la distancia alrededor de una figura y

el área nos da una idea de qué tanta superficie cubre dicha figura.

El conocimiento del área y el perímetro lo aplican muchas personas día con día, como los

arquitectos, ingenieros, y diseñadores gráficos, y es muy útil también para la gente en general.

Entender cuánto espacio tienes y aprender cómo conjuntar figuras te ayudará cuando pintas tu

cuarto, compras una casa, remodelas la cocina, o construyes un escritorio.

PERIMETRO

El perímetro de una figura de dos dimensiones es la distancia alrededor de la figura. Puedes imaginar

una cuerda siguiendo los lados de la figura. La longitud de la cuerda será el perímetro. O caminar

alrededor de un parque, caminas la distancia del perímetro del parque. Algunas personas encuentran

útil pensar “peri-metro” donde peri es “periferia” y metro es “medida”.

Si la figura es un polígono, entonces puedes sumar todas las longitudes de sus lados para encontrar

el perímetro. Ten cuidado de asegurarte que todas las longitudes están medidas en las mismas

unidades. Medimos el perímetro en unidades lineales, que representan una sola dimensión. Ejemplos

de unidades de medida de longitud son pulgadas, centímetros, o pies.

Esto significa que una cuerda envuelta alrededor del polígono y que recorre toda la distancia, medirá

22 pulgadas de largo.

Algunas veces, necesitas usar lo que conoces sobre los polígonos para poder encontrar el perímetro.

Veamos el rectángulo del siguiente ejemplo.

Observa que el perímetro de un rectángulo siempre tiene dos pares de longitudes iguales. En el ejemplo

anterior pudiste escribir también P = 2(3) + 2(8) = 6 + 16 = 22 cm. La fórmula para el perímetro de un

rectángulo normalmente se escribe como P = 2l + 2w, donde l es el largo del rectángulo y w es el ancho

del rectángulo

El área de paralelogramos

El área de una figura de dos dimensiones describe la cantidad de superficie que cubre la figura. Medimos el área en unidades cuadradas de un tamaño fijo. Ejemplos de unidades cuadradas son pulgadas cuadradas, centímetros cuadrados, o millas cuadradas. Cuando encontramos el área de un polígono, contamos cuántos cuadrados de cierto tamaño cubrirán la región dentro del polígono. Veamos un cuadrado de 4 x 4.

Puedes contar y obtener 16 cuadrados, entonces el área es de 16 unidades cuadradas. Contar 16 cuadrados no toma mucho tiempo, pero ¿qué pasa si queremos encontrar el área es un cuadrado más grande o las unidades más pequeñas? Podría tomar mucho tiempo contar todos los cuadrados.

Afortunadamente, puedes usar la multiplicación. Como hay 4 filas de 4 cuadrados, puedes multiplicar 4 • 4 para obtener 16 cuadrados Y esto puede generalizarse a una fórmula para encontrar el área de un cuadrado de cualquier longitud, s: Área = s • s = s2.

La fórmula para el área de un paralelogramo (recuerda, un rectángulo es un tipo de paralelogramo) es la misma que la del rectángulo: Área = l • w. Observa que en un rectángulo, el largo y el ancho son perpendiculares. Esto debe ser válido también para todos los paralelogramos. Normalmente se usa la Base (b) por la Altura (h) que es la línea perpendicular a la base. Entonces la fórmula para un paralelogramo se escribe, A = b • h.

Encuentra el área de un paralelogramo con altura de 12 pies y base de 9 pies. A) 21 ft2 B) 54 ft2 C) 42 ft D) 108 ft2 El área de triángulos y trapezoides

La fórmula para encontrar el área del triángulo puede explicarse con un triángulo rectángulo. Observa la imagen siguiente — un rectángulo con la misma altura y base del triángulo original. ¡El área del triángulo es la mitad del área del rectángulo Como el área de los dos triángulos congruentes es la misma que el área

del rectángulo, puedes crear la fórmula: Área = para encontrar el área de un triángulo. Cuando usas la fórmula para el triángulo para encontrar su área, es importante identificar la base y la altura, que es perpendicular a la base.

Ahora veamos un trapezoide. Para encontrar el área de un trapezoide, tomamos la longitud promedio

de las dos bases paralelas y multiplicamos por la longitud de la altura: Un ejemplo se muestra a continuación. Observa que la altura del trapezoide siempre será perpendicular a las bases (de la misma forma cuando encontramos la altura de un paralelogramo).

Ejemplo

Problema Encontrar el área del trapezoide.

Empieza con la fórmula para el área de un trapezoide.

Sustituye 4 y 7 por las bases y 2 por la altura para encontrar A.

Respuesta El área del trapezoide es 11 cm2.

Trabajando con perímetros y áreas Muchas veces necesitas encontrar el área o el perímetro de una figura que no es un polígono estándar. Los artistas y arquitectos, por ejemplo, normalmente tratan con formas complejas. Sin embargo, incluso las formas complejas pueden verse como una composición de formas más pequeñas y menos complicadas, como rectángulos, trapezoides, y triángulos. Para encontrar el perímetro de una figura no estándar, también necesitas encontrar la distancia alrededor de la figura sumando las longitudes de cada lado.

Encontrar el área de una figura no estándar es un poco diferente. Necesitas crear regiones dentro de la figura de las cuales puedas encontrar el área, y luego sumar todas las áreas. Observa como se hace..

EJERCICIOS Rosie está plantando en un jardín con las dimensiones mostradas abajo. Quiere poner

una capa delgada de aserrín en toda la superficie del jardín. El aserrín cuesta $3 por pie

cuadrado. ¿Cuánto dinero necesita para comprarlo?

Encuentra el área de la figura siguiente

SOLUCION

A) 11 ft2 B) 18 ft2 C) 20.3 ft D) 262.8 ft2

VOLUMEN

CONCEPTOS Y CÁLCULOS

El volumen es una magnitud métrica de tipo escalar definida como la extensión en tres

dimensiones de una región del espacio. ... La unidad de medida de volumen en el Sistema

Internacional de Unidades es el metro cúbico.

EJEMPLOS

EJERCICIOS Y PROBLEMAS SOBRE VOLUMEN

1) Calcula el volumen de un cubo de arista 2 m.

2) Calcula el volumen de un ortoedro cuyas aristas miden 10 cm, 7cm y 4 cm.

3) Calcula el volumen de un prisma recto de altura 3 m y que tiene por base un

triángulo equilátero de 2 m de arista.

4) Calcula el volumen de un prisma cuadrangular el el que su la arista de la base

mide 4 dm y su altura es de 11 dm.

5) Calcula el volumen de un prisma hexagonal en el que la arista de la base mide

14 m y su altura es de 27 m.

6) Calcula el volumen de un cilindro recto cuya base mide 5.3 cm de radio y su

altura es el triple del radio de la base.

7) Calcula el volumen de un cilindro hueco sabiendo que R = 15cm, r = 11 cm y h

= 20 cm.

8) Calcula la diagonal del ortoedro cuyas aristas miden 9 cm, 6 cm y 5 cm.

9) Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular cuya base tiene 4 cm de arista

y una altura de 6 cm.

10) Hallar el volumen de una pirámide hexagonal en la que la arista de la base mide

3 cm y la arista lateral 5 cm.

11) De un cono se conoce el radio de la base que mide 6 cm y la generatriz mide

10 cm. Calcula el área y el volumen de dicho cono.

12) Haz el dibujo y halla el volumen de un tronco de pirámide cuadrada en el que la

arista de la base mayor mide 28 cm, la arista de la base menor 8 cm y la altura 24

cm.

13) Calcula el volumen de un tronco de cono sabiendo que el radio de la base

mayor mide 6 cm, el de la base menor 3 cm y la altura 10 cm.

14) Calcula el volumen de un tronco de cono sabiendo que el radio de la base

mayor mide 6 cm, el de la base menor 3 cm y la altura 10 cm.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE AREAS Y VOLUMENES DE CUERPOS

1. En un helado con forma de cono 1/3 del contenido sobresale del cucurucho. Si el

radio de la base es 3 cm y y la altura es de 10 cm. ¿Cuántos helados se podrán hacer

con 20 L de leche?.

2) Una piscina tiene forma de prisma hexagonal. El lado de su base mide 15 m y la

altura 3,5 m. ¿ Cuanto costará llenarla si el litro de agua está a 0.02 €

3) Una lata de refresco, con forma de cilindro, contien 33 cl. Calcular el radio de la

lata sabiendo que su altura es de 15 cm

4) Queremos hacer un tetra brik de base cuadrada de 8 cm de lado y con

capacidad de 2 L. ¿Cuánto cartón necesitaremos?

5) Las dimensiones de un depósito de agua son 10 m x 7 m x 5 m. Dibuja y calcula

cuantos litros de agua contendrá el deposito cuando esté completamente lleno.

6) Calcula el radio de una esfera de volumen 2 litros.

7) Calcular el peso de una esfera maciza sabiendo que la densidad es de 8 kg/cm3 y

cuyo radio mide 4 cm.

8) Introducimos una bola de plomo de 0,5 m de radio en un depósito cilíndrico de 4

m de altura y 2 m de radio. Calcular el volumen de liquido necesario para llenar el

recipiente.

9) Echamos 10 cm3 de agua en un recipiente cilíndrico de 2 cm de radio. ¿Qué

altura alcanzará el agua?.

10 ) Calcula el volumen de un tronco de cono de 10 cm de altura, conociendo que

los radios de las bases miden 3 y 8 cm.

11) Tenemos un recipiente en forma de tronco de cono que tiene 4 cm de altura y

los radios de sus bases son 3 y 7 cm ¿Tiene mas de 1 litro de capacidad?

12) Tenemos un recipiente en forma de tronco de pirámide hexagonal que tiene 24

cm de altura y sus bases exagonales regulares de lado 6 y 12 cm y apotemas 5,2 y

10,4 cm ¿Tiene mas de 1 litro de capacidad?

Calcular el volumen de la siguiente figura.

Volumen: conceptos y cálculos

Calculadora: concepto, componentes y funciones reales