desarrollo estadisticas inferencial

7/23/2019 Desarrollo estadisticas inferencial

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TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

CONSTRUCCIÓN DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS:

Sean las siguientes cifras, los calificativos en un curso de matemáticas en el que se han

evaluado a n = 56 personas, siendo la escala de evaluación de 0 a 100.

Se pide construir una tabla de distribución de frecuencias.

!"#$% &' 1

() *1 ++ 6 )0 )*(5 66 (6 *+ (- *-

5* * () 5 *( 6)

+) 5 6+ (+ 6) 6)+* 5- (( 6* +( 5)

6) (- 5- 55 (5 +)

6( 61 *( ) 6-

(5 6 5) ( 550 )* (0 *+ *-

5 5 (5 )6 65

l siguiente paso es ordenarlos sea en sentido creciente o en sentido decreciente. n el

presente libro ordenaremos en sentido creciente es decir del menor dato al ma/or dato.

!"#$% &' -

)0 50 61 6* (5 *+

)6 5- 6- 6 (5 *()* 5- 6) 6 (5 *(

)* 5) 6) (0 (6 *) 5) 6) (- (( 5

+) 55 6) (- ( 5+) 5* 6+ () *1

++ 5 65 () *-

+( 5 66 (+ *-+* 5 6( (5 *+

n el cuadro &' - u2 relaciones podemos distinguir entre los n3meros4 emos que

ha/ un valor menor o valor mnimo min = )0

emos que ha/ un valor ma/or o valor má7imo má7 = 5emos que ha/ datos que se repiten.

u2 más podemos notar4 &ada más.

8ero e7isten relaciones que no se perciben, / para poder percibirlas se clasificarán los 56

datos en grupo o con9untos, que en lengua9e estadstico se llaman intervalos o clases,

seg3n los siguientes pasos:



1. uántas clases o intervalos necesitaremos4 8ara saber esto se utili;a la fórmula de

Sturges.

n la que:

< = n3mero de intervalos o clases.n = n3mero de datos tama>o de muestra?

@a fórmula de Sturges es de mucha utilidad porque orienta al principiante. &os da

una idea de cuántos intervalos usar, pero es una fórmula un poco conservadora / nos

da un intervalos un poco del que se utili;a en la práctica.

n nuestro e9emplo:

< = 4n = 56

en la fórmula tenemos:<= 1 A ).) log 56 log 56 = 1.(+* = 1 A ).) 1.(+*?

= 1 A 5.*

< = 6.*

8ero se ha dicho que la fórmula es conservadora, entonces para obtener el n3mero

que realmente es necesario, redondeamos al siguiente entero ma/or:

Nota: n la práctica el n3mero de intervalos debe tomarse alrededor de 10, cuando

el n3mero de datos con el que se traba9a, es más o menos o alrededor de 100.

uando el n3mero de datos es menor que 100, el tomarse alrededor de intervalos se

debe tomar menor que 10. 8ara un n3mero de datos bastante grande, el n3mero de

intervalos es ma/or que 10, la práctica aconse9a los siguientes lmites.

5 B < B 15

@o que quiere decir que se recomienda que el n3mero de clases, no debe ser menor

de 5 ni ma/or que 15.

-. "hora calcularemos el recorrido o e7tensión de los datos que se denota con la letra l,

su fórmula es:

Se debe sumar el n3mero 1 cuando los datos se e7presan en n3mero enteros.

K= 1 + 3.3 lo n

l = Valor máximo – V mínimo + 1



Si los datos son decimales no se suma 1.

ntonces má7 = 5 min = )0

l = 5 C )0 A 1

l = 66

ntonces la e7tensión o recorrido es 66.

). @ a idea es resumir los valores para percibir algunas caractersticas o propiedades de

los datos, que no se notan a simple vista. omo tenemos por la fórmula de Sturges (

intervalos vamos a clasificar las 56 notas en ( grupos.

l recorrido se dividirá en ( partes iguales o intervalos.

$epresentemos el ancho o amplitud de cada intervalo con la letra c, este ancho de

intervalo se obtiene mediante la fórmula:

¿

l

k en donde l = c.D

@os valores l / D son conocidosE l = 66 / D = (

"plicando los datos en la fórmula anterior tenemos:

c=66

7=9.43

$edondearemos a 10.

l entero inmediato inferior , no es conveniente porque el nuevo recorrido que

llamaremos recorrido de traba9o será:

l = c 7 < = 7 ( = 6) esto dara lugar a que el dato 5 se encuentre fuera de este

recorrido.@uego c = 10 / por lo tanto el nuevo recorrido o recorrido de traba9o, obtenido como

consecuencia de redondear .+) a 10 será:

l1 = c 7 D = 10 7 ( = (0

+. Feniendo en cuenta que este recorrido es ma/or que el recorrido original, buscaremos el e7ceso: 7ceso = (0 C 66

7ceso = +

l e7ceso proveniente de haber aumentado la amplitud de cada intervalo de .+) a

10.



8ara buscar la simetra de la distribución de los datos, debemos repartir este e7ceso a

los dos e7tremos del recorrido original, mitad para cada lado, + A - = -

$estamos C - al valor mnimo / sumamos A - al valor má7imo

5 A - = (

)0 C - = -*" partir del valor obtenido -* agregamos sucesivamente la amplitud 10 / as

obtenemos los puntos de división que determinan los ( intervalos.

8ero se presentan una dificultad cuando algunos de los datos coinciden con

cualquiera de los puntos de división, como son:)*, +*, 5* / 6*.

Supongamos que un dato es )* dónde lo colocamos4 en el primer intervalo cu/os

e7tremos son -* / )*4 en el segundo que tiene los e7tremos )* / +*4

8ara despe9ar esta duda adoptaremos por acuerdo, el intervalo cerrado por la

i;quierda que inclu/e el n3mero -* e7tremo inferior del intervalo? / abierto por la

derecha que no inclu/e al n3mero )* e7tremo superior del intervalo?. n el lengua9e

matemático un intervalo de este tipo se presenta por el smbolo G-*, )* H l n3mero

)* sólo sirve de frontera superior para indicar que el intervalo puede contener

n3mero anteriores a )*, pero no al )*. 8or e9emplo podrá contener el n3mero )(. /

el n3mero )(.* o tambi2n )(., pero nunca llegará a incluir al n3mero )*.

l siguiente intervalo G)*, +* H contiene al n3mero )* pero no al +*.n la práctica los intervalos deben colocarse uno deba9o de otro, formando una

columna base o columna matri;, que dará origen a la distribución de frecuencias que

vamos a formar.

Intervalos o clases

G-* I )*JG)* I +*J

G+* I 5*J

G5* I 6*J

G6* I (*J

G(* I **J

G** I *J



8ara hacer más sencilla la representación de los intervalos en la columna matri;,

reducimos al tama>o del corchete KGK / par2ntesis angular KHL / lo colocamos entre

los dos n3meros, as escribimos -* M )* en ve; de G -* I )*J

Intervalos o clases-*M )*)* M +*

+* M5*

5* M 6*

6* M(*

(* M **

** M*

8rocedimiento en forma similar para los otros intervalos, se obtiene la columna

matri; que se presenta en el uadro &' +.

sta es la que vamos a utili;ar en este te7to.

5' el siguiente paso, de este proceso de resumen, es ponemos de acuerdo que todos /

cada uno de los estados que se hallen dentro de un mismo intervalo, est2n marca de

clase, se obtiene promediando los e7tremos de cada intervalo.

@as marcas de clase de los ( intervalos son:

28+38

2=33

48+58

2=53

68+78

2=73

88+982

=93

38+48

2=43

58+68

2=63

78+88

2=83

%tra manera de obtener las marcas de clase es promediar los e7tremos del primer

intervalo -* A )*? : - = )) / a continuación sumar la amplitud 10, para de esta manera

obtener la marca de clase del segundo intervalo que es )) A 10 = +)E para el tercer

intervalo sumar la marca de clase de intervalo anterior que es +) más la amplitud 10

obteniendo 5- que es la marca de clase del tercer intervalo / as podemos continuar

hasta acabar en con el s2ptimo intervalo.

6' "hora llevaremos a cabo la clasificación / el conteo de los datos, es decir, colocar

cada uno de los datos en el intervalo que le corresponde. " medida que asignemos un



dato a un intervalo lo representaremos en la columna de conteo del cuadro &' 5 por

medio de una tar9a

CUADRO N° 5

Intervalos oclases

Marca declase !"

Conteo Frec#enc$a%"

-*M )* && '

)* M +*(& )

+* M5*5& )

5* M 6**& +(

6* M(* )& +5

(* M **,& ,

** M*-& &

n . 5*

CUADRO N° *

Intervalos o clases /$ % $-*M )* && '



)* M +* (& )+* M5* 5& )5* M 6* *& +(6* M(* )& +5(* M ** ,& ,

** M* -& &n . 5*

l subndice i es una variable entera que ndica un intervalo determinado / por lo tanto, en

este caso, debe variar desde 1 hasta ( i = 1, -, ),N, (?

@uego :

O1 = )) f 1 = -

O- = +) f - = (

O) = 5) f ) = (

O+ = 6) f + = 1+

NN NN

NN. NN

O( = ) f ( = )

INTER0RETACIÓN DE LA TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

@as frecuencias, van cambiando a partir del valor - en el primer intervalo o clase, hasta

alcan;ar los valores ma/ores: 1+ / 15 en los intervalos que están en la parte central de la

colu1na de frecuencias. "l continuar creciendo la variable 7, la frecuencia comien;a a

disminuir hasta llegar al valor ), en el e7tremo inferior. sto significa que ha/ pocos

alumnos que tienen calificativo menor / tambi2n que ha/ pocos alumnos que tienen un



calificativo ma/or, además que una parte grande del n3mero de alumnos calificativos

intermedios.

E2ERCICIO RESUELTO N° '

Sean los siguientes punta9es de los coeficientes de inteligencia de n = +0 estudiantes.

CUADRO N° )

) 10* 11- 0 10*

110 10- 1-+ 6

105 115 10* 10+ 10+

10) 1-0 110 10* 10(

10( ) 10 1-5 106110 1-+ 110 1)0 (

115 1)0 5 1)6 1--- 10- * 1+0 10)

CUADRO N° 1)

() 10- 0 ( * 106 10* ) *( **

100 *( 10+ *5 0 5 *0 * *- *10+ 11- 0 * 101 + 105 * ) *-

1 *+ ) ** ( 10) *+ 105 - 11+6 100 10+ 6 101 (5 ) *- 100 5

CONSTRUIR UNA TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS3

CUADRO N° +(

() *- *( 0 ) 6 * 100 10) 105

(5 *+ ** 1 ) 6 * 100 10+ 106

*0 *+ ** - + ( * 101 10+ 10**- *5 0 ) 5 ( * 101 10+ 11-

*- *( 0 ) 5 * 100 10- 105 11+ "@%$ P"OQP%: 11+

"@%$ PQ&QP%: ()

R%$P!@" # SF!$S

alculamos el n3mero de intervalos mediante la fórmula de Sturges

<=1A).) @og 50?



<= 1A ).) 1.6*?

<= 1A 5.6

<= 6.6

$edondeado: (

@ = 11+ C () A1?

@ = 11+ C (+

@ = +0

#F$PQ&"$ @" "P8@QF!# % "&T%

= +0 U ( Q = 6 V (

= 5.(1 = 6 Q = +-

W!S!P%S @ OS%:

+- C +0 = -

() C - = (1 "@%$ PQ&QP% I -?

11+ A - = 116 "@%$ P"OQP% A -?

(1 (( *) * 5 101 10( 11) 116

71 + 77 = 74 -

74 + 83 = 78.5 -

78.5 + 89 = 83.75 -

83.75 + 95 = 89.375 -



89.375 + 101 = 95.187 -

95.187 + 107 = 202.187 2

202.187 + 113 = 157.59 2

157.59 + 116 = 136.79 2

INT!V"#$%&"!'" ( '#"%

)x*on,-o

r-/-nia

71 77 74 ll 2

77 83 80 llll 4

83 89 86 Vll 789 95 92 10

95 101 98 lV 14

101 107 104 10

107 113 110 ll 2

113 116 114.5 l 1

n = 50

E4erc$c$o +3

Se pesaron 5) personas obteni2ndose los siguientes pasos en Dilogramos

CUADRO N° +-

+5 50 50 6- 60 5-*0 6) 65 6+ +( 6(

(- (0 () + 5+ 60

6+ 61 ( 5- 6-

+0 6+ 61 65 *16 60 60 (0 +)



*( +) 5 +6 5(

5+ (( 60 5) 6*5* *0 5+ 6+ 61

60 0 51 (5 5

9ercicios:

n el cuadro &' -0 se presentan las alturas en cm, de +0 alumnos de un colegio de

educación secundaria. onstruir una tabla de distribución de frecuencias.

CUADRO N° '

1)* 16+ 150 1)- 1++ 1-5 1+ 15(

1+6 15* 1+0 1+( 1)6 1+* 15- 1++

16* 1-6 1)* 1(6 16) 11 15+ 1651+6 1() 1+- 1+( 1)5 15) 1+0 1)5



161 1+5 1)5 1+- 150 156 1+5 1-*

%$#&"#%S

11 1)5 1)* 1++ 1+6 150 156 16+

1-5 1)5 1+0 1++ 1+( 150 15( 165

1-6 1)5 1+0 1+5 1+( 15- 15* 16*1-* 1)6 1+- 1+5 1+* 15) 161 1()

1)- 1)* 1+- 1+6 1+ 15+ 16) 1(6

"@%$ P"OQP%: 1(6

"@%$ PQ&QP%: 11

117 126 135 144 153 162 171 176

117 + 126 = 121.5 -

121.5 + 135 = 128.25 -

128.25 + 144 = 136.12 -

162.14 + 176 = 169.07 2

136.12 + 153 =144.56 2

144.56 + 162 =153.28 2

153.28 + 171 =162.14



n un colegio, 50 estudiantes han sido e7aminados por una prueba de lengua9e. @a escala es

de 0 a 100. @as calificaciones individuales se presentan en el cuadro &' -1

CUADRO N° '+

60 )) *5 5- 65 (( *+ 65 5( (+(1 *1 )5 50 )5 6+ (+ +( 6* 5+

*0 +1 61 1 55 () 5 5) +5 ((

+1 (* 55 +* 6 *5 6( ) (6 60+ 66 * 66 () +- 65 + * **



9ercicio +'

Se sometió a una prueba de aptitud a +- estudiantes universitarios, obteni2ndose los

punta9es que se e7hiben en el cuadro & ' --

!"#$% &' --

61 50 5* 6) 55 55 +(

5* +( +* +* 55 5* +5

+) 5- +6 5) +* ) 5)6) 5- )* 51 (- 6- )

+- +- + +6 51 6 )5

5+ 56 65 )+ 50 5 5-

onstruir la correspondiente distribución de frecuencias.

TABLA DE FRECUENCIAS RELATI6AS 7 0ORCENTUALES

CUADRO N° '-

Intervalos o

clases

% + %8n % +9

-*M )* - 0.0)5( ).5(

)* M +* ( 0.1-50 1-.50

+* M5* ( 0.1-50 1-.50

5* M 6* 1+ 0.-500 -5.00

6* M(* 15 0.-6(* -6.(*

(* M ** * 0.1+-* 1+.-*

** M* ) 0.05)6 5.)6

n=∑ f =56 ∑f

n=1 ∑ f 1=100

CUADRO N° &

Intervalos o clases % + %8n % +9



-*M )* - 0.0)5( ).5(

)* M +* ( 0.1-50 1-.50

+* M5* ( 0.1-50 1-.50

5* M 6* 1+ 0.-500 -5.00

6* M(* 15 0.-6(* -6.(*

(* M ** * 0.1+-* 1+.-*** M* ) 0.05)6 5.)6

n=∑ f = ∑f

n=1 ∑ f 1=100

CUADRO N &

Intervalos % + %8n % +9**M 6 5 0.1-5 1-.5

6 M 10+ * 0.-00 -0.0

10+ M11- 15 0.)(5 )(.5

11- M1-0 ) 0.0(5 (.5

1-0 M1-* 5 0.1-5 1-.5

1-* M1)6 - 0.050 5.0

1)6 M1++ - 0.050 5.0

n=∑ f =40 ∑ f n=1 ∑ f 1=100

CUADRO N° &+

Intervalos % + %8n % +9()M ( - 0.0+ +

( M *5 6 0.1- 1-

*5 M1 * 0.16 16

1 M( 11 0.-- --

( M 10) 1) 0.-6 -6

10) M 10 * 0.16 16

10 M115 - 0.0+ +



n=∑ f =50 ∑f

n=1 ∑ f 1=100

CUADRO N° &'

Intervalos o

clases

% + %8n % +9

)*M +6 + 0.0(5( (.5(

+6 M 5+ 0.16* 16.*

5+ M 6- 16 0.)01 )0.1

6- M (0 1- 0.--6+ --.6+

(0 M(* 6 0.11)- 11.)-

(* M *6 + 0.0(5( (.5(*6 M+ - 0.0)(( ).((

n=∑ f =53 ∑f

n=1 ∑ f 1=100

CUADRO N° &&

Intervalos o clases % + F$-*M )* - -

)* M +* (

+* M5* ( 16

5* M 6* 1+ )0

6* M(* 15 +5

(* M ** * 5)** M* ) 56

n = 56

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