Ejercicio N 2

Problema N 1:

Dada la regin plana R limitada por el grafico de la funcin : y = x2/3-x , el eje x y las rectas x =-1 ( x =-3 . Hallar:a) El rea de la regin R.

b) El volumen del slido de revolucin, generado cuando la regin R gira alrededor de la recta x = 3 . Dibuje el slido.

c) El volumen del slido de revolucin, generado cuando la regin R gira alrededor de la recta x = -2 . Dibuje el slido.

d) El volumen del slido de revolucin, generado cuando la regin R gira alrededor de la recta y = -1 . Dibuje el slido.

Solucina. Clculo del rea:R = R1 + R2 + R3

A(R ) = A(R1 ) + A(R2 ) + A(R3 )

d.A(R1 ) = y.dx

d.A(R2 ) = y.dx

d.A(R3 ) = y.dx

A(R1 ) =

A(R1 ) =

A(R1 ) =

A(R2 ) =

A(R2 ) =

A(R3 ) =

A(R3) =

A(R ) =

b. Clculo del volumen slido: X = 3 dv1 =

EMBED Equation.3 v1 =

v1 =

v1 =

v1 =

v1

v1 = unid3dv2 =

v2 =

v2 =

v2 =

v2 = unid3dv3 =

EMBED Equation.3 v3 =

v3 =

v3 =

v3 =

v3 =

v3 = VT = V1 + V2+ V3 = 29.961236

c. Clculo del volumen cuando: X = -2dv1 =

v1 =

v1 =

v1 =

v1 =

v1 =-2.0944-2.3562+6.2832+7.53984

v1 =9.37544 unid3dv2 =

v2 =

v2 =

v2= 1.51844 unid3dv3 =

v3 =

v3 =

v3=54.4544-41.7536+50.2656-39.51065

v3=23.45575 unid3 VT = V1 + V2 + V3

VT=16.03 unid3d. Clculo del volumen X = -1D. CLCULO DEL VOLUMEN: x=-1

dv1=

donde:

v1 =

v1 =

v1 =

v1 =

v1 =

v1=11.6612 unid3 v2 =

v2=

v2=

v2=

v2=

v2 = 0.6651 unid3v3 =

v3=-

v3 = -

v3 =

v3 = 3.7737 unid3VT = 11.6612 + 0.6651 + 3.7737

VT = 16.1000 unid3Problema N 2: En el punto (3,3) de la curva se han trazado las rectas tangente y normal. Hallar el volumen del slido generado por la rotacin d e la regin limitada por la tangente, la normal y el eje y alrededor de la recta y = -3. Dibuje el slido.Solucin

Derivando implcitamente:

Encontrando la ecuacin de la recta tangente:

Como; (pendiente)

Para el punto (3,3)

Encontrando la ecuacin:

(*)

Reemplazando en (*):

Entonces :

:

Encontrando la ecuacin para la recta normal:Por propiedad de recta tangente y recta normal:

Encontrando la ecuacin :

:

(**)

Reemplazando en (**)

Entonces:

:

Graficando: : , :

Encontrando el volumen:

Entonces:

Entonces:

Dibujando el slido.

Problema N 3:

La regin comprendida entre el grfico de la funcin (x ( ( y su asntota gira alrededor de dicha asntota. Calcular, si existe, el volumen del slido de revolucin generado. Dibuje el slido.

Solucin

1). Hallando y = f(x):

2) Calculo de asntotas.

-vertical: no tiene (no se presentan puntos de discontinuidad)

-Oblicuas: sea Y = mx + b la asntota oblicua

Luego: y = -1 es la asntota horizontal buscada.

Entonces es una funcin simtrica con respecto al eje x, ya que f(-x)=f(x).

Despus de analizar puntos mximos y mnimos ( 1 Derivada)

3)Graficando la funcin: ,y la recta y=-1

4) Calculo del volumen del slido de revolucin:

Sea V= volumen de la regin R=2A

V=2V1

Donde:

5) Integrando y reemplazando.

6) Finalmente el volumen total ser:

7) Grficamente se tiene:(en 3D con ayuda del autocad)

Problema N 4:

El toro es la superficie generada al girar una circunferencia, alrededor de una recta que est en el mismo plano y que no la corta. Utilice las coordenadas polares para calcular el rea de la superficie del toro generado al girar la circunferencia , alrededor de la recta x = 16. Dibuje el toro en Auto CAD 3D.

Solucin

1) Sean las funciones:

2) Grfica de las funciones:

3) rea de la superficie : S

A(s) = 2A(s1) + 2A(s2)

Luego, el diferencial de arco est dado por la siguiente expresin:

(1)

Por enunciado del problema, se debe expresar la funcin en coordenadas polares. As:

Luego:

Reemplazando dx y dy en (1):

i. Para A(s1) :

, y como el ds est expresado en coordenadas polares, se debe hallar los nuevos lmites de integracin. As:

Para y=0

EMBED Equation.3 Para y=2

EMBED Equation.3

Luego:

u3ii. Para A(s2) :

, y como el ds est expresado en coordenadas polares, se debe hallar los nuevos lmites de integracin. As:

Luego:

u3

A(s) = 2A(s1) + 2A(s2) = 2(290.69) + 2(340.96) = 1263.31u3

Problema N 5:Un cono circular recto de radio R =2 m y altura H = 4m, est cortado en dos partes, por un plano que pasa por el centro de su base, paralelamente a la generatriz. Hallar los volmenes de las dos partes del cono. (Las secciones del cono, por los planos paralelos a la generatriz, son segmentos parablicos).

Solucin

EMBED Equation.3 Luego x

EMBED Equation.3

Hallemos los elementos de rea (parbolas planas)

Luego el volumen V1 es

Hagamos:

Problema N 6: La base de un slido de la regin limitada por la hiprbola y a la recta x = 4. Calcule el volumen del slido si todas las secciones planas, perpendiculares al eje x, son cuadrados. Dibuje el slido.Solucin1) Grficas:

2) Volumen: V

(1)

Donde:

, tomados de la ecuacin de la hiprbola y del grfico:

Reemplazando A(x) en (1):

Problema N 7: Hallar el volumen del slido limitado por la interseccin de las superficies y .Solucin1) Grfica de las funcionesa) Trazas de la superficie:

(Grafica de un elipsoide) Si x = 0

(Elipse en el plano YZ) Si y = 0

(Elipse en el plano XZ) Si z = 0

(Elipse en el plano XY)b) Trazas de la superficie:

(Grfica de un paraboloide elptico) Si x = 0 (Parbola en el plano YZ) Si y = 0

Si z = 0

(Parbola en el plano XY)

Donde I es el punto de interseccin de una de las elipses con una de las parbolas, en el plano YZ, que tiene como ordenada al punto .2) Volumen: VV = V1 + V2

(1)

De la siguiente figura se tiene:

(2)

Donde: , tomados de la ecuacin del paraboloide elptico y , por representar el rea de una elipse de radios x e y.

Reemplazando A(y) en (2):

(3)

Donde:

tomados de la ecuacin de la elipsoide y , por representar el rea de una elipse de radios x e y.

Reemplazando A(y) en (3):

Luego:

V = V1 + V2 = 14.399 +9.599 = 23.998 u3.

Problema N 8: Calcular los volmenes de los slidos engendrados al cortarse el hiperboloide de dos hojas y el elipsoide

Solucin3) Grfica de las funciones:

a) Trazas de la superficie:

(Grafica de un hiperboloide) Si x = 0

no existe traza en el plano YZ Si y = 0

(Hiprbola en el plano XZ) Si z = 0

(Hiprbola en el plano XY)b) Trazas de la superficie:

(Grfica de un elipsoide) Si x = 0 (Elipse en el plano YZ) Si y = 0

(Elipse en el plano XZ) Si z = 0

(Elipse en el plano XY)Donde : I es el punto de interseccin de una de las elipses con la hiprbola, ubicada del plano XZ, que tiene como abscisa al punto (2,0,0).4) Volumen: VV = 2V1 + 2V2

(1)

(2)

Donde: , tomados de la ecuacin del hiperboloide y , por representar el rea de una elipse de radios x e y.

Reemplazando A(y) en (2):

(3)

Donde: , tomados de la ecuacin de la elipsoide y , por representar el rea de una elipse de radios x e y.

Reemplazando A(y) en (3):

Luego:

V = 2V1 + 2V2 = 2(0.821) +2(1.4591) = 3.684 u3.Problema N 9: El centro de un cuadrado de dimensiones variables se desplaza a lo largo del dimetro de un crculo de radio a. Al mismo tiempo el plano en que se halla el cuadrado sigue siendo perpendicular al del crculo y dos vrtices opuestos del cuadrado se desplazan sobre la circunferencia. Hallar el volumen del cuerpo engendrado por este cuadrado, que se halla en movimiento.Solucin1) Sea la circunferencia

2) Grfica:

3) Volumen: V

(1)

Donde:

tomados de la ecuacin de la circunferencia de radio , y adems .

Reemplazando A(y) en (1):

u3 Problema N 10: Un crculo de radio variable se desplaza de tal modo que uno de los puntos de su circunferencia sigue en el eje de abscisas; mientras que su centro avanza sobre la circunferencia , y el plano del mismo es perpendicular al eje de las abscisas. Hallar el volumen del cuerpo engendrado.Solucin1) Sea la funcin: C:

2) Grfica:

3) Volumen: V

(1)

Donde:

, tomados de la ecuacin de la circunferencia de radio , y adems .

Reemplazando A(y) en (1):

u3 Problema 11.Hallar el rea de la regin limitada por la curva dada en forma paramtrica

X = 3/2 (cos t)(cos t +1) , y = 2 sen 2t. Luego determinar el rea de la superficie de revolucin generada, cuando gira alrededor del eje x la regin limitada por la curva y el eje x en el primer cuadrante.

luego

=

y(t)x(t) = =

para el punto (0,0) t= ?

X=0 0=

T=

luego para el punto (0,0)

b) gira alrededor de X

Problema 12.

Un tanque cisterna se obtiene por rotacin, alrededor del eje y, de la figura que s muestra a continuacin. Si el tanque se llena de agua en todo su volumen, determinar:

a) El volumen de agua contenida en la cisterna.

b) El trabajo para bombear toda el agua hasta un tanque elevado ubicado a 12m sobre su superficie libre.

c) El tiempo real de descarga de de su volumen , a travs de un orificio de fondo de 4 pulgadas de dimetro , ubicado en la parte mas baja de la cisterna. Considerar como coeficiente de descarga Cd =0.80.

c)

y

y=12

y= 18

EMBED Equation.3 EMBED AutoCAD.Drawing.15

EMBED AutoCAD.Drawing.15

EMBED Equation.3

EMBED AutoCAD.Drawing.15

EMBED Equation.3

EMBED AutoCAD.Drawing.15

EMBED AutoCAD.Drawing.15

EMBED AutoCAD.Drawing.15

EMBED AutoCAD.Drawing.15

EMBED AutoCAD.Drawing.15

EMBED AutoCAD.Drawing.15

EMBED AutoCAD.Drawing.15

EMBED AutoCAD.Drawing.15

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