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7/22/2019 DERIV.PARC.DIFER.PROBLEMAS.pdf

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1

PROBLEMAS DE: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES, LMITES, CONTINUIDAD,DERIVADAS PARCIALES Y DIFERENCIALES

1. Sean la funciones f(x)=arcsen(x) y g(x,y)=2216 yx .Hallar el dominio de fog y la

respectiva regla de correspondencia. Esbozar la superficie de nivel cero (k=0),para la funcin

h(x,y,z)=f(g2(x,y))-z.

2. Sea f(x,y)=ln 3 x y ;graficar las curvas de nivel de f , graficar f, analice la continuidadde f en su dominio.3. Si V(x,y) es el potencial elctrico en el punto (x,y) del plano XY, entonces las curvas de nivel de

V se llaman curvas equipotenciales por que en todos los puntos de dicha curva el potencial elctrico

es igual. Trace algunas curvas equipotenciales si V(x,y) =2 2

50

49 x y

4. Evaluar los siguientes lmites, si existen:

3 3

( , ) (2,1)

2 8lim

2x y

xy x y

xy

3 2 2 3

2 2( , ) (0,0)lim

x y

x x y xy y

x y

5. Usando dos curvas que pasan por el punto (1, -2) determine si existeyx

yx

yx

2)2,1(),( 2

2lim .

6. Calcule22

2

)0,0(),(

)(lim

yx

yxtg

yx , si existe.

7. Analizar la continuidad de la funcin

2 2

2 2 2

5 5 ( )2 ,( , ) (0,0)

( , ) ( )

5, ( , ) (0,0)

8

x ysenx y

g x y x y

x y

8. Hallar A tal que f sea continua en (0,0)

2 2

( ) cos( (2 )),( , ) (0,0)

( , )

, ( , ) (0,0)

cos xy sen xyx y

x yf x y

A x y

9. Calcular el valor de A tal que:

Sea continua en (0,0).

10. Calcular el valor de A tal que:


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2

Sea continua en (0,0).

11. Determinar la ecuacin de los planos que pasando por la recta L= 11

20 1 1 0, , ( , , );

t t

, son tangentes a la superficie 2x+4y-z=012. Trazar un plano tangente a la superficie x-y=3z de tal modo que pase por el punto A(0,0,-1) y

que sea paralelo a la rectax z

y2 2

13. Trazar el plano tangente al elipsoide x+2y+z=1, de tal modo que sea paralelo al planox-y+2z=0.

14. Sea )32(),( yxsenyx

eyxfxy

, hallar:

)1,2(),1,0(,,

y

f

x

f

y

f

x

f

15. Hallar la ecuacin del plano tangente y la recta normal a la superficie definida por la ecuacin

2 3

2

46 2 2 15z x y

xy en el punto (2,-1,1).

16. Sea

;2

;21

),(2

2

2

)( 22

yxsiy

yxsiy

yx

e

yxf

yx

,y

f

x

fhallar

en los puntos que exista.

17. Sea f(x,y)=

0)(;0

0)(;

2

3

yxsi

yxsiyx

yx

si

)1,1(,

)1,1(

y

f

x

fhallar

18. Sea f(x,y)=

)0,0(),.........(;0

)0,0(),(;22

yxsi

yxsiyx

xy

Es f continua en (0,0)? )0,0(, eny

f

x

f

? Es f diferenciable en (0,0)?


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3

19. Sea f(x,y)=

xy

x ysi x y

si x y

2 20 0

0 0 0

; ( , ) ( , )

; .........( , ) ( , )

Es f continua en (0,0)? )0,0(, en

y

f

x

f

? Es f diferenciable en (0,0)?

20. Sea f(x,y)=xy

xy

x ysi x y

si x y

3

2

2 2 0 0

0 0 0

; ( , ) ( , )

; ...................( , ) ( , )

Es f continua en los puntos (0,0),(0,1) y (1,1)? ,y

f

x

f

en los puntos (0,0),(0,1) y (1,1)? Es f

diferenciable en los puntos (0,0),(0,1) y (1,1)?

21. Sea f(x,y)=

)0,0(),.........(;0

)0,0(),();1

()(22

22

yxsi

yxsiyx

senyx

Es f continua en (0,0)? (0,0)encontinuasson,);0,0(,y

f

x

fen

y

f

x

f

? Es f diferenciable en

(0,0)?

22. Sea f(x,y)=

0)(;

0)(;2

2

yxsixy

yxsiyx

xyxy


f

x

fen

y

f

x

f


(0,0)?

23. Sea f(x,y)=

0)(;0

0)(;)1(

yxsi

yxsiyx

xy

Es f continua en (1,-1)? (1,-1)encontinuasson,);1,1(,y

f

x

fen

y

f

x

f

? Es f diferenciable

en (1,-1)?

24 Sea f(x,y)=

)0,0(),(;2

)0,0(),(;22

yxsi

yxsiyx

xyee yx

Es f continua en (0,0)? (0,0)encontinuasson,);0,0(, y

f

x

f

eny

f

x

f


(0,0)?

25. Sea f(x,y)=

)0,0(),.........(;0

)0,0(),(;)(

22

22

yxsi

yxsiyx

yxxy


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4

Es f continua en (0,0)? )0,0(, eny

f

x

f

? Es f diferenciable en (0,0)? Hallar

2 2

(0,0) ; (0,0)f f

x y y x

26. Sea f(x,y)=

2 2

2 2

1( ) ( ); ( , ) (0,0)

0; .........( , ) (0,0)

x y sen si x yx y

si x y


f

x

fen

y

f

x

f


(0,0)?

27. Sea f(x,y)=

2 2( ) ( ); 0

0; ......... 0

y xx arctg y arctg si xy

x y

si xy

Demostrar que

2 2

(0,0) (0,0)f f

x y y x

16. Sea f(x,y)= 2 2

1( ) ( ); ( , ) (0,0)

0; .........( , ) (0,0)

x y sen si x yx y

si x y

Es f continua en (0,0)?

?R, 2eny

f

x

f

28.

0,0)(y)(x,si;A

0,0)(y)(x,si;y)y)sen(x(x

)2(44422e),(Sea 2/3

222y2x

yxyxyxyxf

Hallar A tal que f sea continua en (x,y) = (0,0)

2/5

2y2x2345

)0,0(y)(x,y)y)sen(x(x

1e)(2)(2)(3

4)(

3

2)(

lim

.29

yxyxyxyxyx

Calcular

20. Sea

0;1

0)(;)(),(

2

2

2

2

xysi

xysixy

xysenyxf

f es continua en R2?21. Una placa metlica delgada, ubicada en el plano XY, tiene Temperatura T(x,y) en el punto (x,y).Las curvas de nivel de T se denominan isotermas por que en todos los puntos de una isoterma la


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temperatura es la misma. Trace algunas isotermas si la funcin de temperatura est dada por: T(x,y)

=2 2

100

1 2x y

22. Si V(x,y) es el potencial elctrico en un punto (x,y) del plano XY, entonces las curvas de nivelde V se llaman curvas equipotenciales por que en todos los puntos de dicha curva el potencial

elctrico es igual. Trace algunas curvas equipotenciales si V(x,y) =2 2 2

cr x y

donde c es una

constante positiva.

23. Demuestre que la funcin de produccin de Cobb-Douglas: ( , )P L K bL K L: Cantidad

de trabajo o mano de obra; K: Inversin de capital Satisface la ecuacin:

( )P P

L K PL K

24.La resistencia total R producida por 3 conductores con resistencias R1,R2 y R3,conectados en un

circuito elctrico en paralelo est dada por la formula

1 2 3

1 1 1 1=

R R R R

.Encuentre1

R

R

25. Encuentre yz z

x y

si z est definida implcitamente como una funcin de x e y por la

ecuacin: x3 + y3 + z3 + 6xyz1= 0

26. La energa cintica de un cuerpo con masa m y velocidad v es21

2k mv Demuestre que

2

2

k kk

m v

27. Sea z = f(x,y) verifique que se cumple el Teorema de Clairaut:

2 2z z

x y y x

, si:

a) z = 3x5y45x3y2 + 4xyb) 2 2lnz x y

28. Verifique que la funcin

2 2

( , ) ( )a k tu t x e sen kx es una solucin de la ecuacin de

conduccin del calor:

22

2

u ua

t x

29. En un estudio de penetracin de hielo en el suelo se encontr que la temperatura T en el tiempot (medido en das) a una profundidad x (medida en pies) se modela con la funcin:

0 1( , ) ( )xT x t T T e sen t x Donde

2;

365

una constante positiva

a) Encuentre Tx

Cul es su significado fsico?

b) Encuentre Tt

Cul es su significado fsico?

c) Demuestre que T(x,t) satisface la ecuacin del calor 22

T Tk

t x

para cierta constante

k.


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6

30. Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales se usan para expresar leyes fsicas. Como

por ejemplo, la ecuacin diferencial parcial de la forma:

2 2

2 20

u u

x y

Se conoce como ecuacin de Laplace, en honor a Pierre Laplace (1749 - 1827). Las soluciones deesta ecuacin se llaman funciones armnicas y desempean un papel fundamental en las

aplicaciones relacionadas con conduccin de calor, flujo de fluidos y potencial elctrico.Compruebe que satisface la ecuacin de Laplace, la funcin:

a) )(),( xseneyxu y b)

( , ) cos( ) cos( )x yu x y e y e x c)

2 2( , ) lnu x y x y

31. La ecuacin de onda:

2 22

2 2

u ua

t x

Donde es una constante, describe el movimiento de

una onda, que puede ser una onda de sonido, una onda de luz o una onda que viaja a lo largo de una

cuerda vibrante. Si f y g son funciones de una sola variable dos veces derivables, compruebe que

Satisface la ecuacin de onda, la funcin:a) ( , ) ( ) ( )u x t f x at g x at b)

( , ) ( ) ln( )u x t sen x at x at c)

( , ) ( ) ( )u x t sen kx sen akt

32. Si f y g son funciones doblemente derivables de una sola variable, compruebe que la funcin:

( , ) ( ) ( )u x y xf x y yg x y Satisface la ecuacin diferencial en derivadas parciales:2 2 2

2 22 0

u u u

y xx y

33. Una barra de metal de un metro de largo se calienta de manera irregular y de forma tal que a xmetros de su extremo izquierdo y en el instante minutos, su temperatura en grados centgrados

est dada por:0.1

( , ) 100 ( ) ;0 1t

H x t e sen x x

a) Trace la grfica de H(x,t) para t = 0 y t = 10.b) Calcule ),2.0( t

x

H

y ),8.0( t

x

H

Cul es la interpretacin prctica (en trminos de

temperatura) de estas derivadas parciales?. Explique por qu cada una tiene el signo que

tiene.

c) Calcule ),( txt

H

Cul es su signo? Cul es su interpretacin en trminos de

temperatura?

34. Las ecuaciones:ln( )

ln( )

x v u

y u v

Definen a u y v como funciones de las variables independiente x e y. Exprese las derivadas

parciales yxyx vvuu ,,, en trminos de u y v.


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35. Compruebe que la funcin:2 2 2

1( , , )u x y z

x y z

Satisface la ecuacin diferencial de Laplace en derivadas parciales:

2 2 2

2 2 20

u u u

x y z

36. La ecuacin xlnz + y2z z

2 8 = 0, define implcitamente una funcin real de dos

variables z=f(x,y). Se pide:

a) Calcular el valor de Px

z2

2

b) Calcular el valor de 2

2

zP

y

c) Calcular el valor de 2z

Px y

d) Calcular el valor de 2z

Py x

37. La ecuacin xlnz + y2z z23 = 0, define implcitamente una funcin real de dos variables z =

f(x,y). Se pide:

a) Hallar la curva de nivel correspondiente a z = e , Graficarla.b) Hallar el vector gradiente de la funcin z = f(x,y) en el punto P(3,2,1).c) Hallar las ecuaciones del plano tangente y la recta normal a la superficie z=f(x,y) en el

punto P.

d) Calcular el valor de Px

z2

2

e) Calcular el valor de Pyx

z

2

f) Estimar, mediante la diferencial, el incremento de la funcin, al pasar del punto (3,2) de

su dominio, al punto (3.01, 1.99).

38. Supongamos que z = f (x,y) satisface la ecuacin de La place. Probar que

z = f (x-2y, 2x+y) tambin la satisface.

39. Dada la funcin f (x,y) = xy + yx ; se pide:

a) calcular 3 4(1,1) ; siendo u ,5 5u

D f

.

b) En qu direccin es mxima la derivada direccional de f en el punto (1,1)? Cunto vale?c) Si dx = dy = 0.1; hallar: (1,1)f y df (1,1).

40. El potencial electrosttico en un punto P (x,y) del plano debido a una carga puntual unitaria en

el origen est dado por f (x,y) =2 2x y ; se pide:

a)1 3

(3, 4) ; siendo u ,2 2u

D f

.


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8

b) En qu direccin es mnima la derivada direccional de f en el punto (3,4)? Cunto vale?41. Dada la funcin z = f (x,y) definida implcitamente por xy+y+xy+x+z-5= 0 , hallar elgradiente de la funcin z = f (x,y) en el punto (1,1) y la ecuacin del plano tangente a la grfica de

la funcin z = f (x,y) en el punto (1,1).

40. Calcule la derivada direccional de f(x,y) = 4-x-y en el punto P = (1,1) en la direccin del

vector unitario

2

1,

2

1u

42. Calcule la derivada direccional )2,1(fDu si: f(x,y) = x3 -3xy + 4y2 y es el vector unitario

dado por6

;),(cos

senu

.

43. Calcule la derivada direccional )0,3,1(fDu en la direccin del vector )1,2,1( c

, si f(x,y,z)

= xsen(yz)

44. Suponga que la temperatura en un punto (x,y,z) en el espacio est dada por:

2 2 2

80( , , )

1 2 3T x y z

x y z

Donde est medida en grados centgrados y x,y,z estn en metros. En qu direccin aumentams rpido la temperatura respecto al punto (1, 1, -2)? Cul es la mxima razn del incremento?

45. Considere una placa rectangular. La temperatura en un punto (x,y) de la placa est dada por:T(x,y) = 5 + 2x2 + y2 Determine la direccin en la que se debe mover un insecto que est en el

punto (4,2), para que se enfre lo ms rpido posible.


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