derivadasii

8/7/2019 DerivadasII

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CEMATH DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

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DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Cuestin 1

Demuestra que si una funcin ( )f x es derivable en x a= entonces es continua en x a=

Solucin

( )f x es continua en x a= si ( ) ( )limx a

f x f a

=

Si ( )f x es derivable en( ) ( )

( )lim x a

f x f a x a f a

x a

= =

( ) ( )( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )lim lim lim lim 0 0 x a x a x a x a f x f a f x f a

f x f a x a x a f a x a x a

= = = =

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )Si lim 0 lim lim 0 lim x a x a x a x a

f x f a f x f a f x f a

= = =

Luego la funcin es continua en x a=

Ejercicio 1Derivar las siguientes funciones:

3 2 23 1 ln cos ( 3)

3

x y x x y y x

x= + = =

+

Solucin

( ) ( )( )

2

2

23 2

3 6 3 3 3; = ; 2 sin 3

332 3 1

dy x x dy x x x dyx x

dx dx x x x dxxx x

+ + = = =

++ +

Ejercicio 2

Obtener la funcin derivada mediante lmites, de la funcin2

( ) 5( 7) f x x=

Solucin

( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2

0 0 0

5 7 5 7 5 2 7 5 7( ) ( ) ( )lim lim limh h h

x h x x h hx xdf x f x h f x

dx h h h

+ + + + = = = =

( )2 2 2 2

0 0 0

5 5 10 35 5 35 5 10lim lim lim 5 10 10h h h

x h hx x h hxh x x

h h

+ + + += = + =

Ejercicio 3

Deriva y simplifica la funcin1 sin

ln1 sin

xy

x

+=


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Solucin

Aplicamos propiedades de los logaritmos:

( ) ( )( )1 sin 1

ln ln 1 sin ln 1 sin1 sin 2

x

y x xx

+

= = +

( ) ( )( ) 21 1 cos cos 1 cos cos sin cos cos sin 1

ln 1 sin ln 1 sin sec2 2 1 sin 1 sin 2 cos cos

d x x x x x x x x x x x

dx x x x x

+ + + = = = =

+

Cuestin 2

Demuestra que ( )1 1

1 1

x si xf x

x si x

+ =

>no es derivable en 1x =

Solucin

Calculamos sus derivadas laterales:

( )( ) ( ) ( )'

1 1 1

1 11 01 lim lim lim 1

1 1 1 x x x

f x f xxf

x x x

+ = = = =

( )( ) ( )'

1 1 1

1 1 0 11 lim lim lim 1

1 1 1 x x x

f x f x xf

x x x+ + ++

= = = =

Por tanto, como sus derivadas laterales son distintas, la funcin no es derivable.

Ejercicio 4

Halla la derivada de la funcin21

ln 22

y x x x = + + + +

Solucin

( )2

2 22 2

1 1 1 2 2 1 21 1 2

1 12 2 2 22 22 2

dy x x xx

dx x x x x x x x x x x

+ + + += + + = =

+ + + + + + + + + + + +

2

2 2 2

2 2 2 1 2 1

1 2 2 2 2 2 1 2

x x x

x x x x x x x

+ + + + =

+ + + + + + + +

Ejercicio 5

Hallar la deriva de ( )2 2 2

2 2( ) ln

2 2

x x a ag x x a x

+= + + +

Solucin

2 2

22 2

2 2 2 2

2

( ) 1 221

2 2 2

x x a x

d g x a xx a

d x x a x x a

+ + +

= + + = + + +

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2

22 2 2x a x a x a x x a a x a x a

x a x a x x a x a x a x a+ + + + + ++ = + = = +

+ + + + + + +


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Ejercicio 6

Hallar la derivada en 0x = de ( ) ln tan2 4

xf x

= +

Solucin

2

2

1 tan1 1 24( ) 1 tan (0) 1

2 4 2 22tantan

42 4

x f x f

x

+

= + + = = = +

Ejercicio 7

Calcular21(1) siendo ( ) arctan ln(1 )

2 f f x x x x= +

Solucin

2 2

1 1 2( ) arctan arctan (1) arctan1

1 2 1 4

x f x x x x f

x x

= + = = =

+ +

Ejercicio 8

Hallar la derivada detan 1

( ) lntan 1

xf x

x

+=

Solucin

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2

2

1 tan tan 1 1 tan tan 1( ) 1 1

tan 1 tan 1 tan 12

tan 1 tan 1

x x x xd f x

dx x x x

x x

+ + += =

+ +

( )

( )( )( )

23 2 3 2 2

2 2 22

2 1 tantan 1 tan tan tan 1 tan tan 1 tan 1 1

tan 1 2 tan 1 tan 1 1 tan cos sin cos22 tan 1

tan 1

x x x x x x x x

x x x x x x xx

x

+ + += = = =

+ +

Ejercicio 9

Calcular la derivada dex

y x=

Solucin

( ) 1

ln ln ln ln ln 1 ln x x xy

y x y x y x x x x y x xy x

= = = = + = +

Ejercicio 10

Hallar

2 1 2 1

( ) siendo ( ) ln 1 arctan3 3

x

f x f x x x

+

= + +


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Solucin

( )2 2 22 21 2 1 1 1 2 2 1 2

( )2 1 3 4 1 43 32 11 2 1

313

3

x xf x

x x x xx x x x x

+ + = = =

+ + + + + ++ + + + +

( ) ( ) ( ) 22 2 2 22 1 2 2 1 2

12 1 3 4 1 4 2 1 4 13

3

x x x

x x x x x x x x x x

+ + = =

+ + + + + + + + + + +

Ejercicio 11

Hallar la derivada de1 sin 1 cos

( ) arccos arcsin2 2

x xg x

+ +=

Solucin

2 2

1 1 c os 1 1 sin( )

2 21 sin 1 cos1 sin 1 cos2 2

1 12 22 2

x xg x

x xx x

= =

+ + + +

2 2

cos 1 sin 1 cos sin 1 sin cos

2 sin cos1 sin 1 sin 1 cos 1 cos 1 sin 1 cos4 4 4 4

2 2 2 2 4 4

x x x x x x

x x x x x x x x

+ = + = + +

Ejercicio 12

Hallar la derivada de2

1( ) ln cos arctan

1f x

x

=

Solucin

( )3

2 222

2 2

1 1 1 1( ) sin arc tan 1 2

21 1 1c os a rctan 11 1

f x x xx

x x

= =

+

( ) ( )3 12 22 2

2 22 2

2

1 11 1ta n a r c t a n ta n a r c t a n

1 11 1

1

x x x x

x xx x

x

= =

+

( )

( )

1

2 2

22 2 2

11 1 1 1tan arctan

11 1 1

x

x x x x x x x

= =

Ejercicio 13

Hallar la derivada de

1 sin

( ) arctan 1 sin

x

f x x

= +


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Solucin

( ) ( )

( )2 2

c o s 1 s i n c o s 1 s in1 1( )

1 s i n 1 s in1 s i n 211 s i n

1 s i n

x x x xf x

x xxx

x

+ = =

+ + +

+

( ) ( )2

2

2cos 1 cos cos cos

1 sin 1 sin 2 cos1 sin 1 sin 2 1 sin2 1 sin 2 1 sin

1 sin 1 sin 1 sin

x x x x

x x xx x xx x

x x x

= = =

+ + + +

+ + +

Ejercicio 14

Hallar la tercera derivada de1 sin

( ) ln1 sin

xf x

x

+=

Solucin

( ) ( ) ( )

( ) ( )2

2

cos 1 sin cos 1 sin1 1 2 cos( )

1 sin1 sin 1 sin 1 sin2 1 sin2

1 sin1 sin 1 sin

x x x x xf x

xx x xx

xx x

+= = =

++ +

( )( )( )

1

22

2cos cos cos 1cos

1 sin 1 sin cos cos1 sin2 1 sin

1 sin

x x xx

x x x xxx

x

= = = =

+ +

( )2 22

sin ( ) cos sin sin cos

cos

x f x x x x x

x

= = =

( )2 3 2 2 2 2

4 4 3 3

cos cos 2cos sin sin cos 2sin cos cos 2sin 1 sin ( )

cos cos cos cos

x x x x x x x x x x xf x

x x x x

+ + += = = =

Ejercicio 15

Hallar la derivada n-sima de la funcin ( ) x f x e=

Solucin

( ) ( ) ( ) ............ ( ) x x x n xf x e f x e f x e f x e= = = =

Ejercicio 16

Hallar la derivada detan xy x=

Solucin

( )21 1tan tan tan

2

1tan 1 tan ln

ln ln ln ln

tan tan

x x x

x x xx y x y x x y x yx y x

+ +

= = = = = Por tanto:

( ) ( )2

21 11

tan tan

2 2

1tan 1 tan ln tan 1 tan ln

tan tanx x

x x x x x x xx

y x xx x

+ + + +

= =


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Ejercicio 17

Hallar los valores que anulen la primera derivada de

2

( )1

xf x

x=

+

Solucin

( )

( ) ( ) ( )( )

2 2 2

12

2 2 2

2

02 1 2 2( ) 0 2 0 2 0

21 1 1

x x x x x x x x f x x x x x

x x x x

=+ + += = = + = + =

= + + +

Problema 1

Hallar la ecuacin de la recta tangente a la funcin3( ) 2 3 f x x x= + en x = 1

SolucinLa recta tangente a una curva viene dada por la ecuacin ( )( ) ( )o o oy f x f x x x =

La pendiente de la recta es la derivada en la abscisa del punto ( )o

f x

Por tanto,2( ) 3 2 (1) 3 2 1 y (1) 1 2 3 2 2 1 1 0 f x x f f y x x y= = = = + = = + =

Problema 2

Calcular un punto de la curva3 2 1 y x x= + cuya tangente sea paralela a la recta 1y x=

Solucin

La pendiente de la recta que nos dan, es 1 . Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.

Como la derivada es la pendiente de la recta tangente, tenemos que ( ) 1y x =

12 2 2 2

2

1( ) 3 2 3 2 1 3 3 1

1

x y x x x x x

x

== = = =

=

Obtenemos dos puntos de la curva ( ) ( )1, 2 y 1, 0P Q

Ejercicio 18

Se considera la funcin1

( )2

f x x x= . Calcular la derivada en x = 0 y hallar su funcin derivada.

Solucin

2

2

1si 0

1 2( )

12si 0

2

x x

f x x x

x x

= = >

Como es una funcin a trozos y el cero es el valor donde cambia los trozos, hallamos la derivada mediante lmites.


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2

0 0 0

10

( ) (0) 12 (0) lim lim lim 00 2 x x x

x f x f

f xx x

= = = =

2

0 0 0

10

( ) (0) 12 (0) lim lim lim 00 2 x x x

x f x f

f xx x

+ + ++

= = = =

Por ser las derivadas laterales iguales, la funcin es derivable en 0x = y su valor es (0) 0f =

La funcin derivada vendra dada por:

si 0( )

si 0

x xf x

x x

=

>

Ejercicio 19

Sea :f la funcin definida por2

0 0( )

0

si xf x

x si x

=

>Estudiar su continuidad, estudiar su

derivabilidad, calcular su funcin derivada y representarla.

Solucin

2

0 0( )

0

si xf x

x si x

=

>

Estudiamos la continuidad en 0x = (0) 0f =

0 0

2 0

0 0

lim ( ) lim 0 0lim ( ) 0

lim ( ) lim 0

x x

x

x x

f xf x

f x x

+ +

= = =

= =

La funcin es continua en 0x =

Estudiamos la derivabilidad en 0x =

0 0 0

2

0 0 0

( ) (0) 0 0 (0) lim lim lim 0 0

0(0) 0

( ) (0) 0 (0) lim lim lim 0

0

x x x

x x x

f x f f

x xf

f x f xf x

x x

+ + +

+

= = = =

= = = = =

La funcin es derivable en 0x =

La funcin derivada sera:

0 0( )

2 0

si xf x

x si x

=

>


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Ejercicio 20

Estudiar la continuidad y derivabilidad de2

( ) 1 4 f x x x= +

Solucin2

2 2

2 2

2 2

2

4 si 24 si 4 0

4 4 si 2 24 si 4 0

4 si 2

x xx x

x x xx x

x x

+ +

= <

Por tanto la funcin quedara

2

2 2

2

5 si 2

( ) 1 4 3 si 2 2

5 si 2

x x x

f x x x x x x

x x x

+

= + = + + <


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Solucin3 2 2( ) 2 3 5 ( ) 6 6 1 ( ) 12 6f x x x x f x x x f x x= + = =

Hacemos cero la segunda derivada y obtenemos:

6 1 ( ) 0 12 6 0

12 2 f x x x= = = =

Problema 3

Dada la funcin3 2( ) calcular , , f x ax bx cx d a b c y d = + + + , sabiendo que tiene un mximo en el punto

( )1,1A y un mnimo en el punto ( )2, 2B

Solucin

( )El punto 1,1 pertenece a la curva ( 1) 1 1 A f a b c d = + + = ( )El punto 2, 2 pertenece a la curva (2) 2 8 4 2 2 B f a b c d = + + + =

( )Como tiene un maximo en 1,1 ( 1) 0 3 2 0 A f a b c = + =

( )Como tiene un minimo en 2, 2 (2) 0 12 4 0 B f a b c = + + =

Resolviendo el sistema, obtenemos los valores buscados:

1

8 4 2 22 1

2 3 12 8 2

3 2 0 2 3 8 4 4 6 23

9 6 012 4 2 3 0 212 4 0

a b c d

a b c d a b d

a b b a d a b d

a b c c b a a b b a d

a b b aa b b aa b c

+ + = + + + = + = + + + =

+ + = + = = + + + =

+ = = + + =

+ + =

37 2 22 1 6 2

7 20 4 2 27 6210 2 10 2 27 9

2 12 2

a da a da a a a

a d d aa a d

+ =+ + =

+ = = = = + = = + =

Si2 3 1 20 2 2 2 4

10 2 2 2 39 9 3 9 9 3 3 3

a b d a c b a= = = = = = = = =

Ejercicio 22

Hallar los mximos y mnimos de24( ) xf x x e=

Solucin

Hallamos los valores que anulan la primera derivada:

( ) ( )2 2 2 2 2 2 24 3 5 3 5 3 5 3 2( ) ( ) 4 2 4 2 4 2 2 2 x x x x x x xf x x e f x x e x e x e x e e x x x e x

= = = = =

( ) ( )2

1

3 2 3 2

2

3

0 solucion triple

2 2 0 2 2 0 2

2

x

x

x e x x x x

x

=

= = =

=

Vemos el comportamiento de ( )f x alrededor de dichos valores:


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( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

2

2

2

3 2

3 2

3 2

Sea , 2 ( ) 2 2 0 es creciente

Sea 2,0 ( ) 2 2 0 es decreciente

Sea 0, 2 ( ) 2 2 0 es creciente

Sea 2,

x

x

x

x f x x e x f

x f x x e x f

x f x x e x f

x f

= >

= <

= >

+ ( )23 2

( ) 2 2 0 es decrecientex x x e x f

= <

Luego:

En2

2

42 hay un maximo relativo y su valor es ( 2) 4 x f e

e

= = =

En 0 hay un minimo relativo y su valor es (0) 0x f= =

En2

2

42 hay un maximo relativo y su valor es ( 2) 4 x f e

e

= = =

Ejercicio 23Hallar a y b para que la funcin

2( ) 2 f x x ax b= + + tenga un mnimo en el punto ( )1,2A

Solucin

La funcin es derivable en siendo ( ) 2 2 f x x a= +

Si f tiene un mnimo en ( )1,2A , obtenemos dos condiciones:

( 1) 2 1 2 2 2 13

( 1) 0 2 2 0 1

f a b a bb

f a a

= + = + = =

= + = =

Problema 4

Hallar k para que la funcin 2( )k

f x xx

= + posea un mnimo local en 2x =

Solucin

Si en 2 hay un minimo, tenemos (2) 0x f= = . Por tanto

2

2( ) ( ) 2 (2) 4 4 0 16

4 4

k k k k f x x f x x f k

x x= + = = = =

Ejercicio 24

Derivar (1 )arctan 5 y x x x= + +

Solucin

( )2

1 1 1 1 1 arctan (1 ) arctan arctan

2 2 2 21 y x x x x

x x x xx

= + + = + =

+

Ejercicio 25

Derivar

2

2

1arccos

1

xy

x

=

+


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Solucin

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

2 2 3 3

22 2 222 2 22

2

2 22

2 1 2 11 2 2 2 2

11 1 11

11 1

x x x xd y x x x x

d x x x x x

xx x

+ += = =

+ +

+

+ +

( ) ( ) ( )22 4 2 4 2 2 2

4 4 2

11 1 2 1 2 1 4

x x x

x x x x x x x x x= =

++ + + + +

Ejercicio 26

Halla la derivada de3

( ) arctan1 3

xf x

x

+=

Solucin

( )( )

( ) ( ) ( )

( )( )

2 2 2 22 2

2

2

1 3 3 31 1 3 3 9 10( )

1 9 6 9 61 33 1 3 31 1 3

1 3 1 3

x x x xf x

x x x xxx x xx

x x

+ + += = = =

+ + + + + + ++

2 2

10 1

10 10 1x x=

+ +

Ejercicio 27Derivar sin

xy x=

Solucin

Funcin exponencial potencial.

Tomamos logaritmos:

( ) ( ) ( ) ( ) cos

sin ln ln sin ln ln sin ln sin sin ln sin cotsin

x x x y x xy x y x y x x x y x x x xy x

= = = = + = +

Ejercicio 28

Calcula la derivada desin x

y x=

Solucin

Tomamos logaritmos

( )sin sin sin sin sin

ln ln ln sin ln cos ln cos ln x x x y x x

y x y x y x x x x y x x x y x x

= = = = + = +

Ejercicio 29

Hallar la funcin derivada de ( )2

2 sin

) ( ) ln 1 ) ( ) 3x x

a f x x x b g x+

= + + =


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Solucin

a)

2

2 2 2 2 2

1 2 1 1 1( ) 1

1 2 1 1 1 1

x x xf x

x x x x x x x

+ += + = =

+ + + + + + +

b) ( )2 sin( ) 3 2 cos ln 3x xg x x x+= +

Ejercicio 30

Calcula la derivada de2 2 3( ) sin ( 1)g x x= +

Solucin2

2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2( ) sin ( 1) sin( 1) ( ) 2 sin( 1) cos( 1) 3( 1) 2g x x x g x x x x x = + = + = + + +

2 2 2 3 2 3 2 2 2 3( ) 12 ( 1) sin( 1) cos( 1) 6 ( 1) sin 2( 1)g x x x x x x x x = + + + = + +

Problema 5

Calcular ya b para que la funcin

2

2

3 2( )

4 2

ax x si xf x

x bx si x

+ =

>sea derivable en

Solucin

2

2

3 2( )

4 2

ax x si xf x

x bx si x

+ =

>

El nico punto conflictivo es 2x = , donde la funcin cambia de trozo.

Si f es derivable en 2x = es continua en 2x =

Estudiamos la continuidad en 2x =

(2) 4 6f a= +

( )

( )

2

2 2

2

2 2

lim ( ) lim 3 4 64 6 2 2 3

lim ( ) lim 4 2

x x

x x

f x ax x aa b a b

f x x bx b

+ +

= + = + + = + =

= =


( )( )

( )( )

2

2 2 2

2

2 2 2

2 3 2( ) (2) 3 4 6 0 (2) lim lim lim 4 3

2 2 0 24 3 4

2 2( ) (2) 4 4 6 0 (2) lim lim lim 4

2 2 0 2

x x x

x x x

x ax a f x f ax x af a

x x xa b

x x b f x f x bx af b

x x x

+ + +

+

+ + + = = = = = +

+ =

+ = = = = =

Por tanto f tiene que cumplir:2 3

2 4 2 1 8 74 1

a ba a b

a b

+ = = = = =

+ =

Problema 6

Determinar en qu punto de la grfica de la funcin ( ) 3 6 f x x= la recta tangente forma un ngulo de 45 con el

eje de abscisa.


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Solucin

La pendiente de la recta tangente a una curva es el valor de la derivada en el punto.

18 9

( ) 3 6 ( ) 2 6 6 f x x f x x x=

= =

9 81 27tan 45 1 1 6 9 6 81

6 26 x x x

x= = = = = =

El punto ser27 27 27

,3 6 , 272 2 2

P P

Ejercicio 31

Estudiar si la funcin ( )1

xf x

x=

+posee derivada en 0x =

Solucin

si 01

( )1

si 01

xx

x xf x

xxx

x

= = + >

+

Hallamos las derivadas laterales:

0 0 0

0 0 0

0( ) (0) 0 11 (0) lim lim lim 1

0 0 1

0( ) (0) 0 11

(0) lim lim lim 10 0 1

x x x

x x x

x

f x f xf x x x

x

f x f xf x x x

+ + +

+

= = = = =

+= = = = = +

Luego f es derivable en 0x = y (0) 1f =

Ejercicio 32

Estudiar la derivabilidad de1

tan

tansi 0

( ) 1

0 si 0

x

xx

f x e

x

= +

=

en 0x =

Solucin

Hallamos las derivadas laterales, porque en 0x = la tan x se anula y aparece en un denominador.

1

tan

10 0 0tan

1

tan

10 0 0tan

tantan0

( ) (0) 1 11 (0) lim lim lim 10 1 1 0

1

tantan0

( ) (0) 1 11 (0) lim lim lim 00 1 1

1

x

x x xx

x

x x xx

xx

f x f e xf x x e

e

xx

f x f e xf x x e

e

+ +

+ +

+ = = = = = = + + + + = = = = = =

+ + +

Luego f no es derivable en 0x =


14/18


Pgina 14

Ejercicio 33

Calcular

2

31

2 1limx

x x

x x

+

Solucin2

31

2 1 0lim aplicamos LHopital

0x

x x

x x

+=

2

3 21 1

2 1 2 2 0lim lim = =0

3 1 2x x

x x x

x x x

+ =

Ejercicio 34

Calcular 0lim lnx x x+

Solucin

( )0 0

lnlim ln 0 lim aplicamos LHopital

1x xx

x x

x

+ +

= = =

+

( )2

0 0 0 0

2

1

lnlim ln lim lim lim lim =0

1 1 x o x x x xx xx x x x

x

x x

+ + + + +

= = = =

Ejercicio 35

Calcularln

0lim

xx

xe

+ 0lim xx

x+

Solucinln

0

lim0 ln ln 0

0 0 0

lim 0 lim lim 1

x xx

x

e x x x x

x x x

x e e e e+

+ + +

= = = = = =

Ejercicio 36

Calcular0

lncos3lim

lncos5x

x

x

Solucin

0

ln cos3 ln1 0lim aplicamos LHopital

ln cos5 ln1 0xx

x= =

0 0

3sin3

ln cos3 3 sin 3 cos5 0cos3lim lim Aplicamos de nuevo LHopital5sin5ln cos5 5 sin 5 cos3 0

cos5

x x

x

x x xxx x x x

x

= = =

0 0 0 0

ln cos3 3 sin 3 cos5 3 sin 3 cos5 3 3cos3 cos5 5sin 5 sin 3 3lim lim lim limln cos5 5 sin 5 cos3 5 sin 5 cos3 5 5cos5 cos3 3sin 5 sin 3 5 x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x = = = =


15/18


Pgina 15

Ejercicio 37

Calcular

1

sin

0lim tan

4

x

xx

+

Solucin1

sin

0lim tan 1

4

x

xx

+ =

1 ln tan141sin 0lim ln tan lim ln tan limsin

4 sin 4 sin0 0 0 0

0lim tan

4

xxx xx

x xx x x

x x e e e e

+

+ +

+ = = = =

2

0 0

11 tan

41 ln tan tan

4 4sin lim lim

2sin cos

0

lim tan4

x x

x

x x

xx x

x

x e e e

+ + + +

+ = = =

Ejercicio 38

Calcular ( )sin

0lim cot

x

xx

Solucin

( )sin 0

0lim cot

x

xx

=

( )( ) ( )

( )

0sin

0 0

ln cotlim

1lim sin ln cotlimln cotsin

sin

0lim cot Aplicamos LHopital

xx

x x

x

x xxxx

x x e e e e

= = = =

( )

( )

1 1

2cot sinlimcos00 2sin

0

ln cotlim

tan1limsin 0cossin

0lim cot 1

x xxxxx

x

x

xx xx

x x e e e e

= = = = =

Ejercicio 39

Calcular ( )2

lim sec tanx

x x

Solucin

( )2 2 2 2

1 sin 1 sin 0 cos 0lim sec tan lim lim lim 0

cos cos cos 0 sin 1 x x x x

x x xx x

x x x x

= = = = = = =

Ejercicio 40

Dada la funcin ( )2

4 si 2

si 2

x xf x

x ax x


16/18


Pgina 16

El nico punto conflictivo es 2x = , donde la funcin cambia de trozo.

Para que f sea derivable en 2x = tiene que ser continua en 2x =


(2) 4 2f a= +

( )

( )2 2

2

2 2

lim ( ) lim 4 24 2 2 3

lim ( ) lim 4 2

x x

x x

f x xa a

f x x ax a

+ +

= = + = =

= + = +


( )

( ) ( )( )

2 2 2

2

2 2 2

4 4 2( ) (2) 0 2

(2) lim lim lim 12 2 0 2

4 2 2 1( ) (2) 0 (2) lim lim lim 1

2 2 0 2

x x x

x x x

x a f x f x

f x x x

x ax a x x f x f f

x x x

+ + +

+

+ +

= = = = = + + +

= = = = =

Por tanto si 3a = f es derivable y por consiguiente continua en 2x =

Ejercicio 41

Dada la funcin ( )

2 1si2

1si

2

ax x x

f xa

xx

+


17/18


Pgina 17

2

1 1 1

2 2 2

21 1 1

2 2

1 2 4 1 2 8( )

1 0 72 9 9 2 9 9 lim lim lim

1 1 12 0 9

2 2 21 2 4 2 4( )

1 02 9 9 9 lim lim lim lim1 1 12 0

2 2 2

x x x

x x x x

f x f x x x x

f

x x x

x f x f

x xf

x x x

+ + +

+

+ +

= = = = =

= = = = =

( )

2

2 1 2

4 892 1 9 9

2 2

x

xx+

= =

Luego a donde f sea continua y derivable en1

2x =

Ejercicio 60Hallar los puntos de la grfica

3 2( ) 6 15 f x x x x= donde la tangente es perpendicular a la recta de ecuacin

15 3 0x y + =

Solucin

La recta 15 3 0x y + = tiene de pendiente1

15m = Las rectas perpendiculares tienen de pendiente 15m =

Las tangentes a la grfica3 2( ) 6 15 f x x x x= tienen de pendiente

2( ) 3 12 15 f x x x= Por tanto

( )12

2

0( ) 15 3 12 15 15 3 4 0

4

x f x x x x x

x

== = =

=

Los puntos que verifican el enunciado son ( ) ( )0, 0 y 4, 92P Q

Ejercicio 61

Dada la funcin ( )2

3

si 1

1 si 1

x ax b xf x

ax x

+ =

+ >calcular el valor de los parmetros ya b para que sea

derivable en 1x =

SolucinEl nico punto conflictivo es 1x = , donde la funcin cambia de trozo.

Para que f sea derivable en 1x = tiene que ser continua en 1x =


(1) 1 f a b= +

( )

( )

2

1 1

1 1

lim ( ) lim 11 1 2 0

lim ( ) lim 1 1

x x

x x

f x x ax b a ba b a a b

f x ax a

+ +

= + = + + = + =

= + = +



18/18


( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

2

1 1 1

23

1 1 1

1 1 1( ) (1) 0 (1) lim lim lim 2

1 1 0 1

11 1( ) (1) 0

(1) lim lim lim 31 1 0 1

x x x

x x x

x ax b a b x x a f x f f a

x x x

x ax ax aax a b f x f

f a x x x

+ + +

+

+ + + = = = = =

+ ++ += = = = =

12 3 1

2a a a b = = =

Para esos valores f es derivable y por consiguiente continua en 2x =

derivadasii

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