DERIVADA

INTERPRETACIÓN GEOMETRICA DE LA DERIVADAConsideremos una curva C: y = f(x) y un punto fijo P0 (x0 , y0 ) de dicha curva, sea LS la recta secante que pasa por P0 (x0 , y0 ) y por el punto M(x, y) ∈ C. La pendiente de la recta secante que pasa por los puntos P0 y M es:

Si el punto M(x, y) se aproxima al punto P0 (x0, y0) resulta que la variable x se aproxima a x0 de tal manera que ∆x = x – x0 se aproxima a cero, con lo cual se está haciendo uso del concepto de límite.

Por lo tanto, cuando el punto M(x, y) se aproxima al punto P 0 (x0, y0) la recta secante Ls se ha transformado en la recta tangente Lt , lo cual indica que el ángulo tiende a coincidir con el ángulo y

tiende a convertirse en:

Luego la derivada de la función f en él P0(x0 , y0) es f '(x0) y representa la pendiente de la recta tangente en el punto P0(x0 , y0).

NOTACIÓNSi f es una función que depende de los valores de la variable independiente x entonces a la derivada de f denotaremos por:

DEFINICIÓNConsideremos la función real de variable real y = f(x), si x ∈ Df entonces la derivada de la función f con respecto a x se define por la expresión:

Siempre que dicho límite exista. El proceso de encontrar la derivada se llama diferenciación.

m Ls=tg∝=y− y0

x−x0

=f ( x )−f ( x0 )

x−x0

, x≠ x0

tg α=f ( x0+ Δ x )−f (x0)

Δ xtgθ=lim ¿∆ x →0

f ( x0+ Δ x )−f (x0)Δ x

= f I (x0)¿

f I ( x0 )=lim ¿Δ x →0

f ( x0+Δ x )−f (x0)Δ x

¿

f ( x )= y⇒ yI=f I ( x )=dfdx

=dydx

=Dx f

f I ( x )=lim ¿Δ x→ 0

f (x+ Δ x )−f (x)Δ x

¿

La función real de variable real y = f (x) es diferenciable en un punto x = x0 si existe su derivada en el punto x = x0 , es decir si f '(x0) existe. Diremos que la función f es diferenciable en un intervalo [a, b] si la función f es diferenciable en cada uno de los puntos del intervalo [a, b]

Para la Derivada también se suele representar ∆x = h , quedando la fórmula de la siguiente forma:

Ejemplos: Halle las derivadas por definición f I(x) de las siguientes funciones:

a) f ( x )=√x en x = 4 b) f ( x )= 1

√ x

b) f ( x )=x2 c) f ( x )=8−2 x3 en x = -1

DERIVADAS LATERALESConsideremos una función real de variable real, y = f(x), entonces:

a) La derivada de la función f en el punto x = x0 , por la derecha representaremos por f '(x0+) y está definido

por:

si el límite existe.

b) La derivada de la función f en el punto x = x0 , por la izquierda representaremos por f '(x0-) y está

definido por:

si el límite existe.

f I ( x )=lim ¿h →0

f ( x+h )−f (x )h

,donde x+h∈D f ¿

f I¿

f I¿

La derivada de la función f(x) existe en el punto x = x0 , si sus derivadas laterales existen y son iguales.

Ejemplo.- Determine si existe la derivada de f (x){2 x2−3 , si x≤ 28 x−11 , si x>2

REGLAS DE DERIVACIONSean f(x) y g(x) dos funciones derivables en x y sea c una constante

FUNCIÓN FUNCIÓN DERIVADAPotencia y = x n yI = n x n-1

Constante y = c yI = 0

Identidad y = x yI = 1

Producto por un Número

y = k f (x) yI = k f I(x)

Suma o Resta y = f (x) ± g (x) yI = f I(x) ± gI (x)

Producto y = f (x) . g (x) yI = f I(x) . g (x) + f (x) . gI (x)

División y=f(x)g(x)

yI =fI (x ) g ( x )- f ( x ) g I ( x )

[ g(x) ]2

Ejemplos.-a) Si f (x) = 5x5 + x4 – 3x3 +1. Calcular f '(1) b) Si f (x) = (x2 + x +1) x3 . Calcular f '(x)

b) Dada f ( x )= x+32−x

, x ≠ 2. Calcular f '(x)

DERIVADA DE UNA FUNCION COMPUESTA (Regla de la cadena)

Ejemplos.- Hallar la Derivada f '(x) de las siguientes Funciones Compuestas:

a) f(x)= (x4 + 1)3 b) f(x)= (x3 + 12x - 4)200

c ¿ f ( x )=[ x+32−x

]16

d) f ( x )= 5√(5 x2−3 x+2)3

Ejemplo. Sí y = x4 – x2 + x ᴧ x = (t2 + 1)4 . Hallar dydt

{y = f ( u )u = g ( x )

⇒ {dydu

= f I (u )

dudx

= g I (x ) , entonces

dydx

= dydu

.dudx

= f I (u ) .g I (x ) = f I (g(x) ) . g I ( x )

Ejemplo. Hallar gI(4), si f (x+1) = 2x2 +8 y g (x+1) = f (x-2)

Ejemplo. Sí f I ( x )= xx−1

y=f ( x−1x+1 ) . Hallar

dydx

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIORSea y = f ( x ) una función derivable, la derivada de la función f '(x) se denomina segunda derivada de f , y es indicada con una de las notaciones:

f II (x ) ,Dx2 f (x ) ,d

2 f(x)d x2 , f̈ (x ) ,d

2 yd x2

De esta manera, derivando sucesivamente la función f (siempre que sea posible), se obtiene la n-ésima derivada o derivada de orden “n” de f y se indica con una de las notaciones:

f (n) ( x ) , Dxn f ( x ) , dn f(x)

d xn ,dn yd xn

Ejemplo: Si f ( x )=√x2+5 . Hallar f ''(x) Ejemplo: Si f ( x )= |x|1+x2 . Hallar f ''(x)

Ejemplo: Si f ( x )= x4+x3+4√2 x+9

. Hallar f '''(x) Ejemplo: Si f ( x )= 11+X

, x ≠−1 . Hallar f ''(x)

Ejemplo: Si f ( x )=√1+x . Hallar f '''(x) Ejemplo: Si f ( x )= x2 x+1

. Hallar f '''(x)

Ejemplo: Si f(x )= 6 x+5

x2+x−6 . Hallar f ''(x)

DERIVACION IMPLICITA

Sea E (x, y ) = 0 una ecuación de variables x e y . Si al reemplazar y por f(x), la ecuación se transforma en una identidad, entonces la función definida por y= f(x) es llamada función implícita determinada por la ecuación E(x, y) = 0.

Por ejemplo, la ecuación y2 - x + 1 = 0 determina implícitamente a las funciones

y=f ( x )=√ x−1 ó g ( x )=−√ x−1Estas funciones (explícitas) se obtuvieron despejando y de la ecuación. Es fácil comprobar que estas expresiones satisfacen la ecuación y2 - x + 1 = 0.

Es necesario recalcar que no toda función dada implícitamente puede ser expresada en forma explícita. Por ejemplo, no es posible despejar y de la ecuación y7 +( cos y) - x2 + (sen x) + 4 = 0.

Finalmente, diremos que no toda ecuación define una función en forma implícita. Por ejemplo, la ecuación x2 + y2 + 4 = 0 no define ninguna función.

La obtención de la derivada de una función definida en forma implícita por una ecuación se denomina derivación implícita.

Ejemplo.- Las siguientes ecuaciones definen implícitamente una función y = f (x). Hallar y l = dydx

a) X2 + y2 = 25 b) 4x2 – 9y2 = 36

C) 6 x+8x2 y− y3+ y5

x2 =4

Ejemplo.- Hallar el área del triángulo que forman las rectas tangente y normal a la curva √ xy−2 x+3 y−6=0 en el punto (3, 3) y el eje y.

Ejemplo.- Hallar d2 yd x2 de cada una de las funciones dadas:

a) 2x2 -3y2 = 6 b) √ xy+√ y

x=4 , si x ≠ y

Ejemplo.- Hallar y l = dydx

. si x3 + ax2y + bxy2 + y2 = 0

DERIVADA DE LA FUNCION DE LA FORMA y=( f ( x ))g (x)

Para calcular la derivada de la función y=( f ( x ))g (x) , primero se toma logaritmo en mabos miembros, es decir:

lny=ln (f ( x ))g( x)=g ( x ) ln (f ( x )) . ahora derivamos implícitamente:

y l

y=g l ( x ) ln ( f ( x ) )+g ( x ) . f l(x )

f (x) , despejando y l

y l= y [gl ( x ) . ln ( f ( x ) )+g ( x ) . f l ( x )f ( x )

]

y l=( f ( x ))g (x)¿

dydx

=¿

Ejemplo.- Hallar dydx

si y=xsen x