derivadas sucesiva-jesus cabanilla

8/17/2019 Derivadas Sucesiva-jesus Cabanilla

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DERIVADAS SUCESIVAS

Las derivadas sucesivas o de orden superior las podemos definir de la

siguiente manera:

Si derivamos la derivada de una función, derivada primera, obtenemos unanueva función que se llama derivada segunda, f ' ' (x).

Si volvemos a derivar obtenemos la derivada tercera, f ' ' ' (x).

Si derivamos otra vez obtenemos la cuarta derivada f ' v y as sucesivamente!

Ejemplo:

"alcula las derivadas #$, %$, &$ y $ de:

DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLÍCITAS

s posible derivar una función dada implcitamente sin necesidad de expresarlo

explcitamente! l mtodo consiste en derivar los dos miembros de la relación!

l procedimiento se conoce como derivación implcita!

*efinición: se denomina función implcita cuando se da una relación

entre x y y por medio de una ecuación no resuelta para y, entonces y se llama

función implcita de x!

Por ejemplo:

*efine a y como una función implcita de x! s claro que por medio de esta

ecuación x se define igualmente como función implcita de y!


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+no de los procedimientos para calcular la derivada implcita es derivar la

ecuación trmino a trmino, considerando y como función de x, y de la

ecuación resultante despear, o lo que es lo mismo despear y'!


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MÁXIMO SEGUNDOCRITERIO

-dem.s de

proporcionar

información sobre la

concavidad de la

gr.fica de una función, la segunda derivada permite establecer si un punto

crtico es un valor m.ximo o un valor mnimo!

l siguiente teorema se refiere a este segundo aspecto!

/eorema!


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Sea f una función con dominio *!

Si est. definida para donde y si con

entonces:

a!

es un valor m.ximo relativo de f si se cumple que

b! es un valor mnimo relativo de f si se cumple que

+tilizando el teorema anterior vamos a determinar los valores m.ximos y los

valores mnimos de las funciones cuyas ecuaciones son:

emplo:

,

0ote que la función f no est. definida en

La derivada de f est. dada por ,

Los valores crticos de f se obtienen cuando ! n este caso, si y

solo si , ó !

-1ora, la segunda derivada de f es

2amos a evaluar en y en

a!3 "omo entonces es un valor mnimo relativo de f.

b!

3 como entonces es un valor m.ximo relativo de f !


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4r.ficamente se tiene en el intervalo

SENTIDO DE CONCAVIDAD DE UNA CURVA

*efinición: Sea y 5 f (x) una curva plana, representada por la función f(x),derivable!

6 Se dice que f es "óncava 1acia arriba en el intervalo 7a, b8, si todos los puntos

de la gr.fica quedan por encima de la tangente a la curva en un punto

cualquiera en ese intervalo!

6 Se dice que f es "óncava 1acia abao en el intervalo 7a, b8, si todos los puntos

de la gr.fica quedan por debao de la tangente a la curva en un punto

cualquiera de ese intervalo!

9ara 1allarlos intervalos abiertos en los que la gr.fica de una función f es

cóncava 1acia arriba o cóncava 1acia abao, es necesario conocer los

intervalos donde f es creciente o decreciente!

Ejemplo:

0ote que es la función derivada f la que debe ser creciente o decreciente en

el intervalo -!

n la siguiente representación gr.fica, una función f es cóncava 1acia arriba en

el intervalo 7a, b8 y cóncava 1acia abao en el intervalo 7b, c8!


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PUNTOS DE INFLEXIÓN.

l punto que, en una función continua, separa la parte convexa de la cóncava,

se llama punto de inflexión de la función! n ellos la función no es cóncava ni

convexa sino que 1ay cambio de concavidad a convexidad o al revs!

Teorem

Sea la ecuación de una función!

Si no existe, y la derivada cambia de signo al pasar

por el valor de x5a, entonces, el punto de la función de abscisa x5a es un punto

de inflexión!

Cl!"#"$$"%& 'e lo! p(&)o! 'e "le*"%&


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Ejemplo:

l punto es un punto de inflexión de la curva con ecuación ,

pues es positiva si , y negativa si , de donde f es cóncava

1acia arriba para , y cóncava 1acia abao para !

4r.ficamente se tiene:

*eterminemos los puntos de inflexión de la función f con ecuación

Se tiene que por lo que

;esolvamos las desigualdades

"omo si entonces la gr.fica de f es cóncava 1acia

arriba en esos intervalos!

La gr.fica de f es cóncava 1acia abao en el intervalo pues en l

!

Luego los puntos y son puntos en los que cambia la concavidad


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y por tanto son puntos de inflexión!

La gr.fica de la función f es la siguiente:

9uede decirse que un punto de inflexión

separa una parte de la curva que es cóncava 1acia arriba de otra sección de la

misma que es cóncava 1acia abao!

n un punto de inflexión, la tangente a la curva recibe el nombre de tangente

de inflexión! 4r.ficamente:

Observe que una parte de la curva queda sobre la tangente

de infexión, y otra parte bajo ella.ECUACIONES DIFERENCIALES

+na ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas de

una variable, como en la ecuación!

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/de.html#dehhttp://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/de.html#dehhttp://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/deriv.html#c1http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/deriv.html#c1http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/de.html#deh


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EJEMPLOTEOREMA

-qu x es la variable y las derivadas son con

respecto a una segunda variable t! Las letras

a, b, c y d se toman aqu como constantes!

sta ecuación podra describirse como una

ecuación diferencial lineal, de segundo orden,

con coeficientes constantes! s de segundo

orden debido al orden m.s alto de derivadas

presentes, lineal porque ninguna de lasderivadas est.n elevadas a ninguna potencia

y los factores multiplicando las derivadas son

constantes! Si fuera x la posición de un obeto

y t el tiempo, entonces la primera derivada es

la velocidad, la segunda la aceleración, y esta

podra ser una ecuación describiendo el

movimiento de un obeto! "omo se muestra,

tambin se dice que esta es una ecuación no

1omognea, y al resolver problemas fsicos,

uno debe considerar tambin la ecuación1omognea!

DIFERENCIAL EN COORDENADAS CARTESIANAS RECTANGULARES

TEOREMA GRAFICA

*ado un vector r del espacio tridimensional y tres

planos que se cortan en el punto origen de r, se

definen las coordenadas cartesianas como las tres

proyecciones ortogonales del vector sobre las tres

aristas de intersección de los planos perpendiculares!

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/diff.html#c6http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/diff.html#c6http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/deriv.html#c3http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/deriv.html#c3http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/deriv.html#c3http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/diff.html#c6http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/diff.html#c6http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/diff.html#c6http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/diff.html#c6http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/diff.html#c6http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/deriv.html#c3http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/deriv.html#c3http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/diff.html#c6http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/diff.html#c6http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/diff.html#c6


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Llamaremos a las tres proyecciones x#, x%, x&, y losplanos correspondientes los identificaremos por yz, zx,

xy!

s inmediato que si se mantiene fia una de las tres

coordenadas cartesianas, las otras dos definen un

plano, que ser. paralelo a uno de los planos de

referencia del triedro sobre el cual se proyecta el vector!

l valor de la coordenada que se fia es la distancia

entre ambos planos!

< 2ectores unitarios o versores:

9uesto que las proyecciones son perpendiculares, cada

uno de los tres vectores unitarios se puede definir a lo

largo del ee de variación de cada una de las

coordenadas con dos de las componentes nulas:

vector a lo largo del ee de variación de la

coordenada x!

vector a lo largo del ee de variación de lacoordenada y!

vector a lo largo del ee de variación de la

coordenada z!

DIFERENCIAL EN COORDENADAS POLARES

TEOREMA GRAFICA

Las coordenadas polares o sistemas polares son

un sistema de coordenadas bidimensional en el cual

cada punto del plano se determina por una distancia y

un .ngulo, ampliamente utilizados

en fsica y trigonometra!

https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttps://es.wikipedia.org/wiki/Bidimensionalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Distanciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Distanciahttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulohttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulohttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttps://es.wikipedia.org/wiki/Bidimensionalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Distanciahttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulohttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa


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*e manera m.s precisa, se toman: un punto = del

plano, al que se le llama origen o polo, y una recta

dirigida (o rayo, o segmento =L) que pasa por =,

llamada ee polar (equivalente al ee x del sistema

cartesiano), como sistema de referencia! "on este

sistema de referencia y una unidad de medida mtrica

(para poder asignar distancias entre cada par de puntos

del plano), todo punto 9 del plano corresponde a un par

ordenado (r, >) donde r es la distancia de 9 al origen y >

es el .ngulo formado entre el ee polar y la recta dirigida

=9 que va de = a 9! l valor > crece en sentido anti

1orario y decrece en sentido 1orario! La

distancia r (r ? @) se conoce como la AcoordenadaradialB o Aradio vectorB, mientras que el .ngulo es la

Acoordenada angularB o A.ngulo polarB!

n el caso del origen, =, el valor de r es cero, pero el

valor de > es indefinido! n ocasiones se adopta la

convención de representar el origen por (@,@C)!

LA VELOCIDAD COMO RAPIDE+ DE VARIACIÓN DE LA LONGITUD DE UN ARCOCON RESPECTO AL TIEMPO

GRAFICA

n cinem.tica, el movimiento circular (tambin llamado movimiento circunferencial) es

el que se basa en un ee de giro y radio constante, por lo cual la trayectoria es

una circunferencia! Si adem.s, la velocidad de giro es constante (giro ondulatorio), se

produce el movimiento circular uniforme, que es un caso particular de movimiento

circular, con radio y centro fios y velocidad angular constante!

ARCO DESCRITO ODESPLA+AMIENTO

https://es.wikipedia.org/wiki/Sentido_antihorariohttps://es.wikipedia.org/wiki/Sentido_antihorariohttps://es.wikipedia.org/wiki/Origen_de_coordenadashttps://es.wikipedia.org/wiki/Origen_de_coordenadashttps://es.wikipedia.org/wiki/Origen_de_coordenadashttps://es.wikipedia.org/wiki/Cinem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Trayectoriahttps://es.wikipedia.org/wiki/Circunferenciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_circular_uniformehttps://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_circular_uniformehttps://es.wikipedia.org/wiki/Sentido_antihorariohttps://es.wikipedia.org/wiki/Sentido_antihorariohttps://es.wikipedia.org/wiki/Origen_de_coordenadashttps://es.wikipedia.org/wiki/Cinem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Trayectoriahttps://es.wikipedia.org/wiki/Circunferenciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_circular_uniforme


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-rco angular o desplazamiento angular es el arco de

la circunferencia recorrido por la masa puntual en su

trayectoria circular, medido en radianes y representado

con la letras griegas (p1i) o (t1eta)! ste arco esel desplazamiento efectuado en el movimiento circular y

se obtiene mediante la posición angular ( ó ) en la

que se encuentra en un momento determinado el móvil

y al que se le asocia un .ngulo determinado en

radianes! -s el arco angular o desplazamiento

angular se determinar. por la variación de la posición

angular entre dos momentos final e inicial concretos

(dos posiciones distintas):

Siendo ó el arco angular o desplazamiento

angular dado en radianes!

Si se le llama al espacio recorrido a lo largo de la

trayectoria curvilnea de la circunferencia de radio

se tiene que es el producto del radio de la trayectoria

circular por la variación de la posición angular

(desplazamiento angular):

n ocasiones se denomina al espacio recorrido (del

ingls DspaceD)! 0ótese que al multiplicar el radio por

el .ngulo en radianes, al ser estos Eltimos

adimensionales (arco entre radio), el resultado es el

espacio recorrido en unidades de longitud elegidas para

expresar el radio!

Velo$"'' &,(lr - elo$"''

2elocidad angular es la variación del arco

angular o posición angular respecto al tiempo! s

representada con la letra (omega minEscula) y

viene definida como:

Siendo la segunda ecuación la de la velocidad

angular instant.nea (derivada de la posición

angular con respecto del tiempo)!

https://es.wikipedia.org/wiki/Arco_(geometr%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Circunferenciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_angularhttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttps://es.wikipedia.org/wiki/Arco_(geometr%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Circunferenciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_angularhttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivada


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TEOREMAEJEMPLO

Sea f una función con dominio *!

Si est. definida para

donde y si con

entonces:

a!

es un valor m.ximo relativo

de f si se cumple que

b

!

es un valor mnimo relativo

de f si se cumple que

,

0ote que la función f no est. definida en

La derivada de f est. dada por

,

Los valores crticos de f se obtienen cuando

! n este caso, si y solo si ,

ó !

-1ora, la segunda derivada

de f es

2amos a evaluar en y en

a!3 "omo entonces es un valor

mnimo relativo de f.

b!

3 como entonces esun valor m.ximo relativo de f !

4r.ficamente se tiene en el intervalo

-dem.s de proporcionar información sobre la

concavidad de la gr.fica de una función, la segunda

derivada permite establecer si un punto crtico es un

valor m.ximo o un valor mnimo!

GRAFIA


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DIFERENCIAL EN COORDENADAS POLARES

GRAFICA

0ote que es la función derivada f la

que debe ser creciente o decreciente

en el intervalo -!

n la siguiente representación gr.fica,

una función f es cóncava 1acia arriba

en el intervalo 7a, b8 y cóncava 1acia

abao en el intervalo 7b, c8!

6 Se dice que f es "óncava 1acia

arriba en el intervalo 7a, b8, si todos los

puntos de la gr.fica quedan por

encima de la tangente a la curva en

un punto cualquiera en ese intervalo!

6 Se dice que f es "óncava 1acia

abao en el intervalo 7a, b8, si todos los

puntos de la gr.fica quedan por

debao de la tangente a la curva en un

punto cualquiera de ese intervalo!

9ara 1allarlos intervalos abiertos en

los que la gr.fica de una función f es

cóncava 1acia arriba o cóncava 1acia

abao, es necesario conocer los

intervalos donde f es creciente o

decreciente!

Las coordenadas polares o sistemas polares son un sistema de

coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por una distancia un .n ulo am liamente utilizados en fsica tri onometra!

EJEMPLOPUNTO A

CONSIDERAR

PUNTOS DE INFLEXIÓN

https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttps://es.wikipedia.org/wiki/Bidimensionalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttps://es.wikipedia.org/wiki/Bidimensionalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Distanciahttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulohttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa


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GRAFICACLASIFICACION

TEOREMA EJEMPLO

l punto que, en una función continua, separa la parte

convexa de la cóncava, se llama punto de inflexión de la

función! n ellos la función no es cóncava ni convexa sino que

1ay cambio de concavidad a convexidad o al revs!

l punto es un punto de inflexión de la

curva con ecuación ,

pues es positiva si , y negativa

si , de donde f es cóncava 1acia arriba

para , y cóncava 1acia abao para !

Sea la ecuación

de una función!

Si no

existe, y la derivada

cambia de signo al pasar

por el valor de x5a,

entonces, el punto de la

función de abscisa x5a es

un punto de inflexión!

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