derivadas integrales

Capıtulo 4

Derivadas e Integrales

4.1. Introduccion a la derivacion

En este capıtulo presentaremos los conceptos mas basicos del calculo diferencial eintegral. Este capıtulo se divide en dos grandes partes. La primera parte que trata conel concepto de la derivada, y la segunda parte que introduce el concepto de la integral.Ademas, se vera el nexo que existe entre ambos conceptos a traves de un muy importanteteorema.

4.1.1. Derivada de una funcion

Si tuviesemos que definir a la derivada de una funcion en pocas palabras, dirıamosque representa su tasa de crecimiento. Es decir, la derivada de una funcion nos dice, dealguna manera, cuanto cambia la funcion(variable dependiente) a medida que cambia lavariable independiente. La derivada de una funcion nos dira si una funcion crece o decrecerapidamente o lentamente. Para introducir el concepto de derivada de una funcion, mejorcomenzaremos describiendo el significado geometrico que tiene, para luego definirla mascorrectamente.

Significado geometrico de la derivada

Consideremos una funcion lineal como f(x) = mx+n. Sabemos que la pendiente de larecta descrita por esta funcion es constante e igual a m. Es decir, la tasa de crecimiento deesta funcion es constante y vale m. Decimos que la derivada de esta funcion es constantepara todo x y vale m.Consideremos ahora, a modo de ejemplo, la funcion cuadratica f(x) = x2. Cual es latasa de crecimiento de esta funcion. Al graficar esta funcion(una parabola) nos damoscuenta que su tasa o ritmo de crecimiento no es constante. A medida que nos alejamos delorigen a lo largo del eje x hacia la derecha, esta funcion crece y crece cada vez mas rapido.¿Como poder medir mas cuantitativamente esta tasa de crecimiento? Consideremos lossiguientes dos puntos de la parabola:

P1(1, f(1)) = P1(1, 1)

112 Derivadas e Integrales

P2(2, f(2)) = P2(2, 4)

Una buena manera de medir cuanto cambia la funcion f(x) al ir de x = 1 a x = 2 escalcular la pendiente de la recta que une los puntos (1, 1) y (2, 4). Dicha pendiente vale:

m =4− 12− 1

= 3

Esta pendiente representa la tasa de crecimiento ”promedio”de la funcion al ir de x = 1a x = 2 ya que la funcion crecera mas lentamente cerca de x = 1 y mas rapidamentecerca de x = 2. ¿Como poder saber, de mejor manera cuanto crece f(x) cerca de x = 1.Facil. Consideremos un punto mas cercano que P2 al punto P1. A decir, consideremos elpunto

P3(1,5, f(1,5)) = P3(1,5, 2,25)

Repitiendo el calculo para la pendiente promedio entre los puntos P1 y P3, encontramosque:

m =2,25− 11,5− 1

=1,250,5

= 2,5

Notemos que al ir considerando un punto, llamado Pk, cada vez mas cercano a P1, larecta que une P1 con Pk se asemeja cada vez mas con la recta tangente a P1. Decimosque en el lımite, la recta que une los puntos P1 y Pk es la recta tangente a la curva en P1.

-2 -1 1 2

1

2

3

4

recta tangente a y=x2 en P1

P1

Definicion 1 (geometrica de derivada) La derivada de una funcion f(x) en x◦ sedefine como la pendiente de la recta tangente al grafico de f(x) en el punto (x◦, f(x◦)).

4.1.2. Nocion de lımite

Entender el concepto de lımite es fundamental en cualquier curso serio de calculo.Sin ir mas alla, la derivada es un lımite. Pero, ¿ que es un lımite ? Al estudiar seriesya introducimos, sin darnos cuenta, la nocion de lımite. Por ejemplo, consideremos lasiguiente suma :

Sn =12

+14

+18

+ · · ·+ 12n

¿Que pasaba si n crecıa al infinito? Esta suma se transformaba en una serie geometricacuyo valor sabemos que es 1. Matematicamente, esto se expresa como:

lımn→∞Sn = 1

4.1 Introduccion a la derivacion 113

x f(x)± 1 0.8415± 0.5 0.9589± 0.1 0.9983± 0.05 0.9996± 0.01 0.9999

Este es un caso particular de lımite.De modo mas general, decimos que el lımite de una funcion f(x) cuando x tiende a a esL, si al acercarnos a x=a podemos hacer que f(x) se acerque a L tanto como queramos.Esto se anota matematicamente ası:

lımx→a

f(x) = L

Nota: No es necesario que f(a) exista o este definido para que lımx→a f(x) exista.

Ejemplo 4.1.1 Sea c una constante cualquiera, entonces

lımx→a

c = c

lımx→a

c · x = c · a

Ejemplo 4.1.2

lımx→∞

1x

= 0

Si bien es cierto el valor de 1/x para cualquier x real es distinto de 0, podemos hacerque 1/x se acerque a cero tanto como queramos tomando valores de x lo suficientementegrandes.

Ejemplo 4.1.3

lımx→0

sin(x)x

= 1

En el ejemplo anterior, justificamos el valor del lımite pero no dimos una demostracionrigurosa de su valor porque en parte no contamos con la teorıa completa. Justificaremosel valor del ultimo lımite con ayuda de una calculadora aunque debemos decir que estono constituye una demostracion en sı.

A partir de esta tabla observamos claramente que existe una tendencia por parte def(x) = sin(x)

x a acercarse a 1 a medida que x se acerca a 0.

Propiedades de linealidad del lımite :

lımx→a

cf(x) = c lımx→a

f(x)

lımx→a

[f(x) + g(x)] = lımx→a

f(x) + lımx→a

g(x)


Ejemplo 4.1.4 Sea :

f(x) =x2 − 1x− 1

Calcular el valor de:lımx→1

f(x)

Solucion : El valor de f(1) no esta definido ya que tras una simple evaluacion obten-emos:

f(1) =00

Pero notemos que :

f(x) =(x + 1)(x− 1)

x− 1= x + 1 , x 6= 1

Entonces:lımx→1

f(x) = lımx→1

x + 1 = 2

Definicion 2 (formal de derivada) La derivada de una funcion f(x) evaluada enun punto x◦ se define como:

lımh→0

f(x◦ + h)− f(x◦)h

Otra definicion equivalente de la misma derivada es la siguiente :

lımx→x◦

f(x)− f(x◦)x− x◦

Notacion :La derivada de y = f(x) en x◦ se denota por:

dy

dx

∣∣∣∣x◦

= f ′(x◦)

Ejemplo 4.1.5 Calculemos la derivada de f(x) = x2 evaluada en x = x◦

ddx

(x2)∣∣∣∣x◦

= lımh→0

(x◦ + h)2 − x2◦h

= lımh→0

x2◦ + 2x◦h + h2 − x2◦h

= lımh→0

(2x◦h + h2)h

= lımh→0

(2x◦ + h)

= 2x◦

4.1 Introduccion a la derivacion 115

Hemos definido la derivada de una funcion en un punto cualquiera x◦. Entonces,ahora es natural querer considerar o construir la siguiente funcion:

Definicion 3 (de la funcion derivada) La funcion derivada (de otra funcion) sedefine punto a punto como sigue:

f ′(x) = lımh→0

f(x + h)− f(x)h

Hagamos notar que no hemos dicho nada acerca de si h puede tomar solo valores positivoso no al irse acercandose a cero en el lımite. Esto nos lleva a definir dos clases distintas dederivadas (y de lımites). Si h en 3 tiende a cero tomando solo valores positivos, entoncesla derivada se denomina derivada por la derecha. A su vez, si h tiende a cero tomandosolo valores negativos, entonces la derivada se denomina derivada por la izquierda. Paraque una funcion se diga derivable en un punto, debe estar definida su derivada por laizquierda y su derivada por la derecha en ese punto y ambas deben ser iguales. Para queuna funcion se diga derivable, debe ser derivable en todo punto. No todas las funcionesson derivables.

Ejemplo 4.1.6 Consideremos la funcion f(x) = |x|. Esta funcion no es derivable porquepara x = 0 su derivada por la izquierda es distinta a su derivada por la derecha. Dehecho, en x = 0 la derivadas por la izquierda y por la derecha de f(x) valen −1 y 1respectivamente.

Ejemplo 4.1.7 La funcion derivada de la funcion f(x) = x2 es:

f ′(x) = 2x

Demostracion: Directa a partir de la definicion de funcion derivada y del ejemplo 4.1.5.

Notacion : La derivada de la derivada de una funcion, o simplemente la segundaderivada de una funcion, se anota como sigue:

ddx

(ddx

f(x))

=d2

dx2f(x) = f ′′(x)

De igual modo, podemos hablar de la derivada n-esima de una funcion f(x). Esta debeentenderse como una funcion proveniente de f(x) despues de haberla derivado n vecesseguidas.


4.2. Reglas importantes para derivar

Como el lector ya deberıa poseer una comprension basica del significado de la funcionderivada, a continuacion enunciaremos una serie de reglas practicas para derivar lasfunciones mas importantes. No abordaremos las demostraciones teoricas de estas reglasno porque sea difıciles sino simplemente porque no deseamos extendernos demasiado.

4.2.1. Derivadas de funciones basicas

y(x) = k ⇒ y′(x) = 0y(x) = mx ⇒ y′(x) = m

y(x) = xn ⇒ y′(x) = nxn−1

y(x) = ex ⇒ y′(x) = ex

y(x) = ax ⇒ y′(x) = ax ln a

y(x) = lnx ⇒ y′(x) = 1/x

y(x) = sinx ⇒ y′(x) = cosx

y(x) = cosx ⇒ y′(x) = − sinx

4.2.2. Propiedades de linealidad de la derivada

Sea c una constante cualquiera, entonces:

y(x) = cf(x) ⇒ y′(x) = cf ′(x)

y(x) = f(x)± g(x) ⇒ y′(x) = f ′(x)± g′(x)

Derivada de un producto de funciones

La derivada de una producto de funciones es como sigue:

ddx

[f(x) · g(x)] =[

ddx

f(x)]· g(x) + f(x) ·

[ddx

g(x)]

Ejemplo 4.2.1 Calcular la derivada de f(x) = x sin(x).

ddx

[x · sin(x)] =[

ddx

x

]· sin(x) + x ·

[ddx

sin(x)]

= sin(x) + x cos(x)

Derivada de un cuociente de funciones

ddx

[f(x)g(x)

]=

[ddx

f(x)]· g(x)− f(x)

[ddx

g(x)]

[g(x)]2

4.2 Reglas importantes para derivar 117

Ejemplo 4.2.2 Calcular la derivada de f(x) = tan(x)

ddx

tan(x) =ddx

[sin(x)cos(x)

]=

[ddx

sin(x)]· cos(x)− sin(x)

[ddx

cos(x)]

[cos(x)]2=

cos(x) · cos(x)− sin(x) [− sin(x)][cos(x)]2

=cos2(x) + sin2(x)

cos2(x)=

1cos2(x)

= sec2(x)

Derivada de una composicion de funciones. Regla de la cadena

ddx

g(f(x)) =ddx

g(x)∣∣∣∣f(x)

· ddx

f(x)

Ejemplo 4.2.3 Calcular la derivada de sin(x2)

ddx

sin(x2) =ddx

sin(x)∣∣∣∣x2· ddx

x2 = cos(x2) · 2x

Ejercicio 4.2.1 Verificar que las funciones y(x) = sin(wx) e y(x) = cos(wx) satisfacenla ecuacion diferencial:

y(x)′′ + w2y(x) = 0 (4.1)

Concluir que la funcion :y(x) = A sinwx + B coswx

donde A y B son constantes arbitrarias, tambien satisface la ecuacion 4.1. Se dice quela funcion y(x) es la solucion general de la ecuacion 4.1Nota: La ecuacion diferencial 4.1 es muy importante. en general, este tipo de ecuacionesllevan el nombre de ecuaciones diferenciales. Una ecuacion diferencial es una ecuacionen donde figura una funcion f(x) junto con algunas de sus derivadas. En este tipo deecuaciones, la solucion no es un valor real como en una ecuacion algebraica, sino que lasolucion de la ecuacion es una funcion !.


4.2.3. Aplicaciones de la derivada

En esta seccion abordaremos algunas aplicaciones basicas de la derivada en algunosproblemas de matematicas y fısica.

Ejemplo 4.2.4 Calcular la ecuacion de la recta tangente a la curva descrita por lafuncion f(x) = x3 + 3x2 − 5 en el punto de abcisa x = 1.Solucion : Sabemos que la pendiente de dicha recta es igual a:

m =ddx

(x3 + 3x2 − 5)∣∣∣∣x=1

= 3x2 + 6x∣∣∣x=1

= 3 + 6= 9

Ahora conocemos la pendiente de la recta. Solo basta conocer un punto de la recta parapoder determinar la ecuacion punto-pendiente de la recta. Sabemos que un punto de larecta corresponde a (1, f(1)).

f(1) = 1 + 3− 5 = −1

Entonces, la ecuacion de la recta buscada es :

y + 1 = 9(x− 1)

4.2.4. Cinematica en una dimension

La cinematica se encarga de describir, con el uso de las matematicas, el movimientode los cuerpos. Para tal efecto, las medidas de distancia y de tiempo son esenciales.Consideraremos un mundo de una dimension(espacial),en donde se necesita una solacoordenada para describir la posicion de un cuerpo en el espacio. Si queremos saberen donde se encuentra un cuerpo, debemos medir su distancia con respecto a algunorigen arbitrario que supondremos inmovil. Pero si el cuerpo se halla en movimiento, ladistancia entre este cuerpo y el origen varıa con respecto al tiempo.

Definicion 4 La velocidad es la tasa de cambio de la posicion de un movil con respectoal tiempo. Mas precisamente, supongamos que contamos con una funcion x(t) que nosentrega la posicion de un movil con respecto a un punto fijo O en funcion del tiempo.Entonces, llamamos velocidad instantanea del movil (con respecto a O) a:

v(t) =ddt

x(t)

Definicion 5 La aceleracion es la tasa de cambio de la velocidad de un movil conrespecto al tiempo. Mas precisamente, supongamos que contamos con una funcion v(t)

4.2 Reglas importantes para derivar 119

que nos entrega la velocidad de un movil en funcion del tiempo. Entonces, llamamosaceleracion instantanea del movil a:

a(t) =ddt

v(t) =d2

dt2x(t)

Ejemplo 4.2.5 Calcula la velocidad y aceleracion de un movil cuya posicion esta de-scrita por :

x(t) = 5t2 + 12t + 3

Solucion :

v(t) = x′(t) = (5t2 + 12t + 3)′ = (5t2)′ + (12t)′ + (3)′ = 10t + 12

a(t) = v′(t) = (10t + 12)′ = (10t)′ + (12)′ = 10

4.2.5. Optimizacion en una variable

Una de las aplicaciones del calculo diferencial o de derivadas es encontrar los puntosen donde una funcion alcanza valores maximos o mınimos. Geometricamente, es facil verque la pendiente de la recta tangente a esos puntos es cero. Por lo tanto, si una funcionalcanza un valor maximo o mınimo en un punto, entonces la derivada de la funcion enese punto debera ser nula.

Ejemplo 4.2.6 Calcular el valor mınimo de f(x) = x2 + 8x− 1.Solucion: Calculemos la derivada de f(x):

f ′(x) = 2x + 8

Ahora impongamos que f ′(x) = 0:

f ‘(x) = 2x + 8 = 0 ⇒ x = 4

f(4) = 42 + 8 · 4− 1 = 47

El valor mınimo de f(x) es 47.

Observaciones:Que una funcion tenga un punto extremo (un maximo o un mınimo) en un punto implicaque la derivada de la funcion en ese punto es cero, pero la afirmacion recıproca no escierta: que la derivada de una funcion se anule en un punto no implica que la funciontenga un punto extremo en ese punto.

Ejemplo 4.2.7 Consideremos la funcion f(x) = x3:

⇒ f ′(x) = 3x2 = 0 ⇒ x = 0

La derivada de f(x) = x3 en x = 0 vale cero, pero la funcion NO tiene un valor extremoen ese punto.


-10 -5 5 10

-20

-10

10

20

Para saber mejor que sucede con una funcion f(x) en un punto x = a donde su derivadase anula (f(a) = 0), calculamos la segunda derivada de la funcion y la evaluamos en esepunto.

1. Si f ′′(a) > 0 entonces f(x) alcanza un valor mınimo ”local”en torno a x = a

2. Si f ′′(a) < 0 entonces f(x) alcanza un valor maximo ”local”en torno a x = a

3. Si f ′′(a) = 0 entonces no podemos decir nada acerca del comportamiento de f(x)en torno a x = a

4.3 Introduccion a la integracion 121

4.3. Introduccion a la integracion

Esta seccion tratara de los aspectos basicos del calculo integral. Pero nuevamente,tal como hicimos con la seccion de calculo diferencial, abordaremos el tema de un mo-do practico y no teorico. Comenzaremos definiendo el concepto de la integral (o inte-gral definida) y luego introduciremos el concepto de la primitiva (o anti-derivada). Ladefinicion de integral definida que presentaremos (tambien conocida como integral deRiemman) no tiene relacion alguna con lo que hemos visto de calculo diferencial. Lasprimitivas, en cambio, tiene directa relacion con lo que es el calculo diferencial o dederivadas. Ademas, veremos que existe un teorema, el Teorema Fundamental del Calcu-lo (TFC), que relaciona el concepto de integral con el de primitiva, por lo cual tambiense le otorga a esta ultima el nombre de integral indefinida. Calcular una integral puederesultar sumamente difıcil, pero si la relacionamos con una primitiva a traves del TFC,el calculo puede ser directo.

4.3.1. La integral definida

Consideremos una funcion f(x). Solo a modo de ilustracion, consideraremos que lafuncion f(x) es creciente. Queremos encontrar una manera de calcular el area encerradaentre la funcion f(x), el eje x y las rectas x = a y x = b. Para tal efecto hagamos losiguiente:

Consideremos el intervalo [a, b] de las abscisas. Dividamos el intervalo para [a, b]en n sub-intervalos mas pequenos y de igual tamano h = (b − a)/n. El intervaloi-esimo resulta ser:[a + h(i− 1), a + hi] donde i ∈ {1, 2, . . . , n}

Dividamos nuestra area en pequenos rectangulitos de base h y altura f(a + h(i−1)), i ∈ {1, 2, . . . , n} de tal manera que la suma de las areas de estos rectangulitossea un poco inferior al area real buscada. Llamemos a esta suma de rectangulitosI−(x).

y area achurrada

f(a) = I-

a h x

Dividamos nuestra area en pequenos rectangulitos de base h y altura f(a+hi), i ∈{1, 2, . . . , n}de tal modo que la suma de las areas de estos rectangulitos sea un pocosuperior a la area real buscada. Llamemos a esta suma de rectangulitos I+(x).


y area achurrada

f(a) = I+

a h x

Si resulta quelımh→0

I− = lımh→0

I+ = I 6= ∞

entonces se denomina a este lımite ”la integral de f(x) a dx entre x=a y x=b 2sedenota:

I =∫ b

af(x)dx

Ejemplo 4.3.1 Calcular la integral de f(x) = x entre x = 0 y x = b.Solucion: Dividamos el intervalo [0,b] en n partes iguales de longitud h = b/n mediantelos puntos {0, h, 2h, . . . , b}. Entonces, la integral definida entre x = 0 y x = b es:

∫ b

0xdx = lım

h→0

n−1∑

i=0

h · ih = lımh→0

n∑

i=1

h · ih

Notese que hemos expresado la integral como

lımh→0

I−(x) y ademas como lımh→0

I+(x)

Calculemos primero el primer lımite:

lımh→0

I−(x) = lımh→0

n−1∑

i=0

h · ih = lımh→0

h2n−1∑

i=0

·i = lımh→0

h2 (n− 1)n2

= lımh→0

[(hn)2

2− hn · h

2

]

pero como hn = b entonces

lımh→0

I−(x) = lımh→0

[b2

2− bh

2

]

=b2

2

Queda propuesto al lector verificar que tambien se tiene que:

lımh→0

I+(x) =b2

2

4.3 Introduccion a la integracion 123

4.3.2. La integral indefinida o primitiva

La derivacion puede ser vista como un operador que toma una funcion f(x) y retornasu funcion derivada f ′(x). ¿Existira el proceso inverso? Es decir, ¿existira algun operadorque tome la funcion f ′(x) y retorne f(x) ? Este proceso inverso existe y se denominaintegracion indefinida,calculo de primitivas o de anti-derivadas.

Definicion 6 Sea F (x) una funcion diferenciable con derivada f(x). Sea, ademas, Cuna constante real cualquiera. Entonces se denomina primitiva o integral indefinida def(x) a la funcion F (x) + C. La primitiva de f(x) se anota:

∫f(x)dx = F (x) + C = funcion que al derivarla entrega f(x)

Observacion: Notese que al pedir la primitiva de f(x) se busca una funcion tal queal derivarla entregue f(x). Sabemos, por el enunciado, que la funcion F (x) cumple contal condicion. Pero F (x) no es la unica funcion que cumple con la condicion. A decirverdad, la funcion F (x) + C, donde C una constante cualquiera, tambien cumple con lacondicion (ya que la derivada de una constante es cero).

4.3.3. Primitivas importantes

∫kdx = kx + C

∫xndx =

xn+1

n + 1+ C

∫exdx = ex + C

∫axdx =

ax

ln a+ C

∫ 1x

dx = lnx + C∫

sinxdx = − cosx + C∫

cosxdx = sinx + C

4.3.4. Propiedades de las primitivas

∫cf(x)dx = c

∫f(x)dx

∫[f(x)± g(x)]dx =

∫f(x)dx±

∫g(x)dx


Ejemplo 4.3.2

∫[x2 − 7x5 + 2 sinx]dx =

∫x2dx− 7

∫x5dx + 2

∫sinxdx =

x3

3+

7x6

6− 2 cos x + C

4.3.5. El Teorema Fundamental del Calculo (TFC)

Si bien las integrales(definidas) y las primitivas se definieron de manera completa-mente distinta, existe un poderoso teorema que relaciona ambos conceptos. Este teoremanos permite calcular integrales difıciles calculando muy facilmente una primitiva.

Teorema 4.3.1 (Fundamental del Calculo) Sea F (x) una funcion diferenciablecon derivada f(x). Es decir, F (x) es una primitiva de f(x). Entonces,

∫ b

af(x)dx = F (b)− F (a)

Notacion : Sea F(x) una funcion. Entonces se utiliza mucho la siguiente notacion:

F (x)|ba ≡ F (b)− F (a)

Corolario (de la notacion)

∫ b

af(x)dx = F (x)|ba

Ejemplo 4.3.3 Calcular la integral∫ 5

1x2dx

Solucion: Si bien esta integral se puede calcular usando sumatorias y tomando el lımite(hacerlo como ejercicio), una manera mucho mas facil es hacerlo empleando el TFC.Sabemos que una primitiva de f(x) = x2 es F (x) = x3/3 + C. Entonces, segun el TFC,

∫ 5

1x2dx = F (5)− F (1) = (53/3 + C)− (13/3 + C) = 125/3− 1/3 = 124/3

4.4 Aplicaciones de la integral 125

4.4. Aplicaciones de la integral

4.4.1. Calculo de areas

Ejemplo 4.4.1 Hallar el area entre las curvas y = x2 + 1 e y = 9− x2

Solucion : Grafiquemos ambas funciones:

y y=x2+1 y=9-x2 x

-2 -1 1 2

2

4

6

8

Encontremos los puntos de interseccion de ambos graficos:y = x2 + 1y = 9− x2

Resolviendo este sistema, encontramos que:

x2 + 1 = 9− x2 ⇒ 2x2 = 8 ⇒ x = ±2

Luego, el area entre ambos graficos corresponde a:∫ 2

−2[(9− x2)− (x2 + 1)]dx =

∫ 2

−2[8− 2x2]dx =

∫ 2

−28dx− 2

∫

−22x2dx

= 8 · (2− (−2))− 2x3

3

∣∣∣∣∣2

−2

= 32− 2 · [8/3− (−8/3)] = 32− 32/3 = 64/3

4.4.2. Cinematica en una dimension

En la seccion de derivacion ya vimos que la derivada con respecto al tiempo de laposicion de un movil es su velocidad y que la derivada con respecto al tiempo de lavelocidad de un movil es su aceleracion. Ahora que conocemos la integrar podemos decirque:

v(t) =∫

a(t)dt + C1

x(t) =∫

v(t)dt + C2

Las constantes de integracion C1 y C2 pueden determinarse conociendo la velocidad yposicion del movil en un instante dado.

Ejemplo 4.4.2 Calcular la posicion y velocidad de un movil sabiendo que a(t) = 2t+1,v(0) = 0, x(0) = 3.Solucion : Sabemos que:

v(t) =∫

a(t)dt + C1 =∫

[2t + 1]dt + C1 = t2 + t + C1


Evaluando la condicion v(0)=0 obtenemos:

v(0) = C1 = 0

Por tanto, la velocidad del movil es:

v(t) = t2 + t

Calculemos ahora su posicion :

x(t) =∫

v(t)dt + C2 =∫

[t2 + t]dt + C2 = t3/3 + t2/2 + C2

Evaluando la condicion x(0) = 3 obtenemos :

x(0) = C2 = 3

Por lo tanto, la posicion del movil es:

x(t) = t3/3 + t2/2 + 3

4.5 Problemas propuestos 127

4.5. Problemas propuestos

4.5.1. Derivadas y sus aplicaciones

1. Derivar:

a) y = 14x4 − 2x2

b) y = (x2 − 1)(x3 − 5x2 − 7)

c) y = 2 sinx + 3 cosx

d) y = (x− 1)(x− 3)(x− 5)

e) y = (2x− 1)3

2. Para la siguiente funcion, analizar crecimiento, maximos y mınimos.

y = x3 − 9x2 + 20x− 8

Ademas, determinar todos los puntos de la curva representada por la funcion an-terior donde la normal es perpendicular a la recta de ecuacion 4x + y = 3.

3. Hallar todos los puntos para los cuales la tangente a la curva descrita por lasiguiente funcion es paralela al eje x :

y = x4 − 2x3 + 1

4. Probar que la ecuacion de la recta normal a la curva

y = 3− x2

en el punto de abscisa x = a es:

x− 2ay + a(5− 2a2) = 0

y hallar los puntos de la parabola cuyas normales pasan por el punto (0,2).

5. Un automovil recorre un camino rectilıneo, partiendo del reposo en un punto O alas 9◦◦ hrs, pasa por otro punto A despues de una hora y se detiene en un tercerpunto B. La distancia s en kilometros al punto de partida despues de t horas decamino esta dada por

s = 60t2 − 10t3

Hallar :

a) La hora de llegada a B

b) La distancia entre A y B

c) La velocidad media entre A y B

d) La velocidad maxima y a que hora la alcanza.


6. Para la siguiente funcion, resuelva la ecuacion f ′(x) = 0 y halle el conjunto devalores para los cuales f ′(x) es menor o igual que cero.

f(x) = x3 − 2x2 − 4x + 7

7. Un invasor extraterrestre se acercaba al planeta Tierra de manera que su distanciaen kilometros desde la superficie de la Tierra en el momento t despues de serdescubierto era

s(t) = 50t3 − 300t2 + 4050

Afortunadamente, fue enviado de vuelta al espacio por fuerzas de antigravedad.

a) Halle la velocidad y aceleracion del invasor extraterrestre correspondiente altiempo t.

b) ¿Cuando era su velocidad cero?

c) ¿Cuando era su aceleracion cero?

d) ¿En que tiempo se acercaba a la Tierra?

e) ¿Cuando se acercaba a tierra con mayor velocidad y cual era esa velocidad?

f ) Calcule la menor distancia entre el invasor extraterrestre y la superficie de latierra.

g) Encuentre los intervalos de tiempo en los cuales la velocidad estaba aumen-tando, y en los cuales la velocidad estaba disminuyendo.

h) Usando lo anterior, grafique el movimiento, en el intervalo t[0, 5]

8. Considere a un atleta que quiere ir desde el punto A hasta el punto B atravesandolos medios I y II como se indican en la figura. En el medio I el atleta se desplazacon rapidez v1 y en el medio II se desplaza con velocidad v2. El atleta quiere llegardel punto A hasta el punto B en el tiempo mınimo. Demuestre que esto lo puedeconseguir siguiendo el camino que se indica en la figura, donde los angulos θ1 y θ2

obedecen la ley de Snell:sin θ1

sin θ2=

v1

v2

Nota: La luz, de acuerdo al Principio de Fermat de seguir el camino mas rapidoentre dos puntos, obedece la ley de Snell al refractarse.

A 2θ v2 v1 2θ B

4.5 Problemas propuestos 129

4.5.2. Integrales y sus aplicaciones

1. En cada uno de los casos siguientes hallar y = f(x) y verificar la respuesta porderivacion:

a) dydx = f ′(x) = 4x− 3 y f(0) = −9

b) dydx = f ′(x) = 12x2 − 24x + 1 y f(1) = −2

c) dydx = f ′(x) = 3 cosx + 5 sinx y f(0) = 4

d) dydx = f ′(x) = 3ex − 2

x y f(1) = 0

2. a) Una partıcula se mueve sobre una recta con velocidad v(t) = 3 − 2t enmetros/segundo. Hallar la funcion que determina su posicion s en terminosde t si para t = 0, s = 4m.

b) Una partıcula se esta moviendo sobre una recta con aceleracion dada pora(t) = t2−t en metros/segundo2. Hallar la funcion velocidad v(t) y la funcions(t) si s(0) = 0 y s(6) = 12.

3. Calcular:

a) ∫ 7

−2(6− 2x)dx

b) ∫ 1

0(x3 − 5x4)dx

c) ∫ π/2

0cos t + 2 sin t)dt

d) ∫ 4

1

3x

dx

e) ∫ 1

08etdt

4. Calcular el area limitada por:

a) La curva y = x2 − x y el eje x

b) Las curvas y = 4x2 e y = x2 + 3

c) La curva y = sin x y la recta y = x

d) La curva y = ex, el eje y y la recta y = 4


5. Una partıcula se mueve sobre una recta con velocidad v(t) = t2 − t en m/seg. De-terminar el desplazamiento durante los primeros 5 segundos. ¿Cual es la distanciarecorrida en ese intervalo de tiempo?

6. Determinar el area limitada por las curvas:

y = 2x2 e y = 12x2 − x

7. Un punto M se mueve sobre una recta con aceleracion a(t) = 2t−4. Cuando t = 0,M esta en el origen y su velocidad es de 3m/s. Calcular la velocidad de M en cadainstante t. Probar que cuando t = 1s el punto M comienza a devolverse al origeny calcular su distancia al origen en ese instante.

derivadas integrales

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