EnsenanzaDerivadas en varios puntos: Un

paso importante entre la ensenanzade los conceptos de derivada en un

punto y de funcion derivada

Alfinio Flores Penafiel,Jungeun Park

University of Delawarey

Milan ShermanDrake Universityalfinio@math.udel.edu

recibido: 22 de noviembre de 2013aceptado: 25 de abril de 2014

resumen

Presentamos actividades con un programa de computo interactivo

que sirven de puente entre dos conceptos relacionados pero diferen-

tes, derivada en un punto y funcion derivada, que ayudan a los es-

tudiantes a entender mejor las relaciones entre los dos. Primero, los

estudiantes trabajan con lıneas tangentes a la grafica de la funcion

seno en varios puntos y luego tabulan y grafican los valores de las

pendientes de estas lıneas para los valores correspondientes de x.

Luego los estudiantes extienden la funcion a un intervalo trazando

los valores de las pendientes mientras recorren los valores de x. Fi-

nalmente, los estudiantes grafican simultaneamente los valores de

cocientes de incrementos para varios valores de x para hacer mas

explıcita la relacion entre las definiciones formales de derivada en

un punto y funcion derivada. Alumnos de dos universidades en los

Estados Unidos de America participaron en estas actividades.40

Contenido

DERIVADAS. CONCEPTOS DE DERIVADA EN UN PUNTO Y DE FUNCION DERIVADA

Introduccion

Para que los estudiantes desarrollen una comprension solida del calculonecesitan entender dos conceptos distintos pero relacionados, la derivadaen un punto y la funcion derivada. Estos son dos tipos muy distintos deobjetos matematicos; la derivada en un punto es un numero real mientrasque la funcion derivada es una funcion. Sin embargo, como la mayorıa de loslibros de texto definen los dos conceptos con la misma notacion, exceptopor una pequena diferencia en el uso de sımbolos literales (por ejemplo,usar x en vez de x0), los estudiantes muchas veces no se dan cuenta deque el pequeno cambio en la notacion implica un cambio significativo enlas matematicas subyacentes (Park, 2011). Los conceptos derivada en unpunto y funcion derivada corresponden a diferentes niveles en el desarrollode una solida comprension de los conceptos del calculo. Zandieh (2000)describe tres niveles para desarrollar la comprension de la derivada, queson cociente, lımite, y funcion. Zandieh sugiere que los estudiantes debenaprender estos tres niveles, uno a la vez, para desarrollar una comprensionavanzada. La derivada en un punto corresponde al segundo nivel, lımite,y la funcion derivada corresponde al tercer nivel, funcion. En el nivel delımite los alumnos deben entender que la derivada en un punto x0 se refiereal lımite cuando h tiende a cero de las pendientes de las rectas secantesentre los puntos y, deben estar familiarizados con la notacion, y debenpoder calcular la derivada en un punto arbitrario pero fijo x0. La metafinal para el nivel de funcion es combinar la derivada en un punto paratodos los puntos en un intervalo en una sola funcion. Ası en el nivel funcionlos estudiantes examinan la pendiente de la tangente en cada punto, y usanx como una variable (en vez de un valor arbitrario pero fijo) en la expresion.Las actividades interactivas que presentamos tienen como fin facilitar la

transicion entre estos dos niveles. Para una discusion mas detallada de losvarios niveles en el desarrollo conceptual relacionado con las derivadas ver,por ejemplo, Sealey y Flores Penafiel (2005).Desde el punto de vista del desarrollo de la comprension de las funciones,

hay tambien una clara distincion entre funcion en un punto y funcion enun intervalo (Breidenbach, Dubinsky, Hawks y Nichols, 1992). La primeraetapa para entender funcion es ser capaz de generar un resultado cuando seda un valor de entrada. Una persona en esta etapa pensarıa en funcion enterminos de un resultado para cada valor de entrada, uno a la vez. Dubinskyy McDonald (2002) se refieren a esta vision de funcion como Accion. Enla siguiente etapa se ve una funcion de manera dinamica al ser capaz elalumno de imaginar o anticipar mentalmente la accion de una funcion sinnecesidad de pasar por los calculos. Dubinsky y McDonald (2002) llamanProceso a esta etapa. Breidenbach, Dubinsky et al. (1992) encontraron que

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la transicion de la primera a la segunda etapa no es natural, y que comoalgunos estudiantes de calculo estan en la primera etapa, por eso tienenproblemas para ver los conceptos de calculo dinamicamente. Al aprenderfunciones tambien es importante poder moverse con flexibilidad entre re-presentaciones de funciones tabulares, graficas y algebraicas (Moschkovich,Schoenfeld y Arcavi, 1993).En este artıculo proponemos que los estudiantes trabajen con derivadas

en varios puntos como un paso intermedio para ayudarlos en esta tran-sicion. Al tratar con derivadas en varios puntos los estudiantes tienen laoportunidad de trabajar con la funcion derivada en forma tabular, graficay simbolica. Este paso intermedio refuerza el concepto de funcion al recor-dar a los alumnos como construyeron una funcion en cursos anteriores dematematicas con base en los valores de la funcion en varios puntos.Los estudiantes necesitan tambien ver claramente la compleja relacion

entre los conceptos de derivada en un punto y la funcion derivada. Los librosde calculo mas usados en Estados Unidos (Stewart, 2010; Hughes-Hallett etal., 2010) introducen primero la derivada en un punto y luego en una secciondiferente la funcion derivada. Sin embargo, en contraste con el cuidadoso ydetallado desarrollo del concepto de derivada en un punto, estos libros hacenla transicion a la funcion derivada en menos de una pagina. Es mas, en unanalisis detallado y cuidadoso del libro de calculo mas usado, encontramosque el autor usa la notacion y la terminologıa de manera inconsistente,y que en la seccion sobre funcion derivada se refiere frecuentemente a losdos conceptos, derivada en un punto y funcion derivada, usando una solapalabra, derivada (Park y Flores, 2012).Estudios recientes muestran que los alumnos de calculo tienen muchas

concepciones erroneas acerca de los dos conceptos (Park, 2011 y 2013).Grabaciones de video muestran que los instructores no distinguen cuida-dosamente a cual de los dos conceptos se refieren cuando usan la palabraderivada sin calificativos, por lo que los alumnos no siempre son capaces deinterpretar a cual se refieren (Park, 2011 y 2013).Antes de que participaran en las actividades descritas en este artıculo

les hicimos a los alumnos la siguiente pregunta: ¿Como se relacionan laderivada en un punto y la funcion derivada? Sus respuestas mostraronvarias concepciones erroneas y conceptos no completamente formados, talescomo los siguientes:

—La derivada en un punto es simplemente la pendiente de la lınea tangenteen el punto. La funcion derivada es toda la funcion de la lınea tangente.

—La funcion derivada es una lınea recta y la derivada se toma en un puntode esta lınea.

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DERIVADAS. CONCEPTOS DE DERIVADA EN UN PUNTO Y DE FUNCION DERIVADA

En el primer caso, el estudiante relaciona correctamente la derivada en unpunto con la pendiente de la tangente a la grafica en ese punto. Sin embargo,el alumno piensa que la funcion derivada es la funcion representada por lalınea tangente a la curva. En el segundo caso el alumno piensa que la funcionderivada es siempre una lınea recta (lo cual es cierto para la derivada deuna funcion cuadratica, pero no en general). Park (2011 y 2013) documentoconcepciones erroneas semejantes.La mayorıa de las respuestas tambien mostraron que los estudiantes pien-

san que la derivada en un punto es solo un caso particular de la funcionderivada, esto es, los estudiantes piensan que primero obtenemos la funcionderivada y luego la derivada en un punto. Muy pocas de las respuestas re-velaron que los estudiantes entienden que el concepto de funcion derivadase genera del concepto de derivada en un punto. Estos son unos ejemplos:

—Necesitas la funcion derivada para encontrar la derivada en un punto.—La derivada en un punto usa la derivada de una funcion para resolverel punto. Necesitas conocer la funcion derivada para poder encontrar laderivada en un punto especıfico.

—La derivada en un punto es solo un punto de la funcion derivada.—La derivada en un punto es la solucion de la funcion derivada.

En matematicas es importante distinguir si hablamos de un numero ode una funcion, especialmente cuando desarrollamos el concepto de funcionbasado en sus valores en varios puntos (Monk, 1994). Monk enfatizo laimportancia de la comprension de una funcion punto por punto en un con-texto discreto (por ejemplo la notacion tabular de una funcion), ası comola comprension a traves del tiempo de una funcion en un contexto continuo(por ejemplo como una lınea o curva en el plano x-y), y argumento que laprimera es condicion para la segunda. Los estudiantes tambien necesitandesarrollar la comprension punto por punto de una funcion en un contextodiscreto en el marco de las derivadas. Necesitamos ayudar a los alumnos ahacer una transicion explıcita de derivada como un concepto especıfico aun punto, a la funcion derivada definida en un intervalo.El enfoque de este artıculo difiere significativamente en tres maneras de

otros enfoques que conectan la derivada en un punto con la funcion derivadaen libros de texto o en internet. Primero, muchas paginas interactivas sebrincan el paso de considerar la funcion en varios puntos y hacen la conexioncon la funcion en un intervalo directamente (ver, por ejemplo, Renault,2012). Segundo, tambien es comun que la nueva funcion sea trazada enel mismo plano coordenado que la funcion original; esto puede crear con-fusion cuando las coordenadas de la funcion y de la nueva funcion derivada

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representan diferentes conceptos, tales como distancia y velocidad. Ter-cero, ofrecemos una oportunidad adicional para que los alumnos conectenlas definiciones formales de derivada en un punto y funcion derivada algraficar simultaneamente los valores de los cocientes de incrementos paravarios valores de x, cuando h tiende a cero. De este modo los alumnos hacenprimero una extension de la derivada en un punto a las derivadas en variospuntos, y luego una extension de las derivadas en varios puntos a la funcionderivada en un intervalo. La definicion de la funcion derivada viene a serası la derivada en todos los puntos.

Encontrando las derivadas en varios puntos

Las actividades sobre derivadas en varios puntos descritas abajo fueronconducidas en Delaware, ya sea como una presentacion en dos secciones deCalculo 1, o en un curso sobre aprender matematicas con tecnologıa dirigidaa futuros maestros de nivel medio superior, donde los alumnos trabajaronen equipos. La mayorıa de las actividades fueron conducidas tambien enPortland, en un laboratorio donde los alumnos trabajaron por pares.Dada la importancia de la transicion entre derivada en un punto y funcion

derivada, es recomendable repetir el proceso con mas de una funcion a finde proporcionar una base mas firme para generalizar el concepto. En esteartıculo usamos una funcion con la que los alumnos estan familiarizados,y = sen(x). Los alumnos encuentran lıneas tangentes a la grafica usandosegmentos rectos que forman angulos con el eje x, que son faciles de recono-cer y visualizar, tales como 0, π/6, π/4, −π/6 y −π/4, para los cuales losalumnos pueden usar su conocimiento de trigonometrıa para calcular laspendientes correspondientes 0, , 1, y 1.

¿Cuando usar estas actividades?

Estas actividades se pueden usar despues de que se ha presentado la de-finicion de derivada en un punto desde multiples perspectivas, tales comola razon de cambio instantaneo, la pendiente de la lınea tangente a unafuncion en un punto a, y como . Los alumnos necesitan entender que lapendiente de la lınea tangente se obtiene como el lımite de las pendientes delas lıneas secantes, esto es, la razon de cambio instantanea se obtiene comoel lımite de las razones promedio de cambio. Tambien necesitan entender laderivada en un punto como una cantidad, que a su vez indica como varıala funcion cerca del punto. Igualmente necesitan estar familiarizados con lagrafica de y = sen(x) y, por ultimo, necesitan usar su conocimiento previode funciones trigonometricas para calcular las pendientes de los angulosdados.

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DERIVADAS. CONCEPTOS DE DERIVADA EN UN PUNTO Y DE FUNCION DERIVADA

En la primera actividad interpretamos la derivada en un punto comola pendiente de la recta tangente a la grafica de una funcion en un puntodado. Es por tanto importante que los estudiantes entiendan lo que significagraficamente una tangente y que sean capaces de identificar el punto detangencia con precision.

¿Como conducir las actividades?

Una manera de conducir las actividades es como una presentacion a todo elgrupo. Se proyectan las figuras interactivas en una pantalla y el instructorlas manipula. Los estudiantes participan activamente estimando los valoresde x, e ingresando los valores en una tabla. Otra forma de conducir lasactividades es que, en pares o en pequenos grupos, los alumnos manipulenlas figuras interactivas en sus propias computadoras. Esto se recomiendaespecialmente si los alumnos tienen acceso durante la clase a las paginasinteractivas desarrolladas con GeoGebra (2012), y estan acostumbrados aaprender matematicas en grupos. En este caso es especialmente importanteque los estudiantes sean capaces de usar los segmentos movibles para en-contrar con precision los puntos de tangencia para los segmentos con dife-rentes angulos. Usualmente los alumnos no tienen problema para encontrarlos puntos de tangencia usando el segmento horizontal, o los segmentos conpendiente 1 o −1. Es conveniente que el instructor muestre a todo el grupocomo identificar los valores de x para el segmento con pendiente igual a0.577 . . ., ya que estos son un poco mas difıciles para los alumnos. Desde elpunto de vista practico se recomienda que no todos los alumnos traten deinteractuar con la misma pagina de internet al mismo tiempo.

De la derivada en un punto a las derivadas en varios puntos

En esta actividad los estudiantes encuentran lıneas tangentes a la graficausando segmentos con pendientes distintas, y encuentran los valores co-rrespondientes de x. La primera pagina interactiva que usan es Lıneastangentes a la funcion seno, la cual tiene la grafica de seno sobre undominio que contiene el intervalo de π a 2π, y segmentos movibles que for-man angulos de 0, π/6, π/4, y π/6 con la direccion positiva del eje x,cuyas pendientes son respectivamente 0, , 1, 1 y (figura 1). Los es-tudiantes no necesitan conocer GeoGebra para usar la pagina interactiva.Pueden arrastrar los segmentos con el cursor.

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FIGURA 1. Segmentos movibles con pendientes iguales a 1, − , 0, y 1.

Encontrando los valores de x donde la tangente tiene una pendiente

El maestro puede demostrar como colocar el segmento con pendiente paraencontrar los puntos donde la tangente tiene una pendiente igual a yestimar los valores correspondientes en el eje x. La figura 2 muestra elsegmento en posicion tangente a la grafica. El valor estimado para x es 0.95.Los puntos en el dominio donde la recta tangente tiene una pendiente de0.577 . . . son x = 0.95, x = 0.95 y x = 5.3 (valores decimales aproximados).

FIGURA 2. Recta tangente con una pendiente de .

Encontrando los otros valores de x donde la recta tangente tiene pendienteconocida

Despues los alumnos pueden usar el segmento con pendiente igual a paraencontrar los valores donde la tangente tiene pendiente de −0.577 . . . eidentificar los valores correspondientes de x, que son x = −2.2, 2.2, 4.1(valores decimales aproximados).

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DERIVADAS. CONCEPTOS DE DERIVADA EN UN PUNTO Y DE FUNCION DERIVADA

FIGURA 3. Recta tangente con pendiente −0.577 . . ..

De manera semejante los estudiantes arrastran los otros segmentos, loscolocan tangentes a la grafica y encuentran el valor correspondiente de x pa-ra cada punto donde la pendiente de la tangente es conocida (figuras 4 y 5).

FIGURA 4. Tangente horizontal en x = π/2. FIGURA 5. Pendiente = 1 en x = 0.

Desplegando los puntos donde la pendiente de las tangente es conocida

Los estudiantes ahora tienen varios puntos en la grafica donde las pendientesde las rectas tangentes son conocidas y tienen los valores correspondientesen el eje x (figura 6). Es importante que los alumnos se den cuenta de queconocen no solo las coordenadas x y y, sino tambien la pendiente de latangente en cada uno de esos puntos, esto es, que conocen el valor de laderivada para cada uno de esos valores de x.

FIGURA 6. Valores de x donde la pendiente de la rectas tangentes a y = sen(x) es conocida.

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De las derivadas en varios puntos a la funcion derivada

Haciendo una tabla de pendientes conocidas

Los alumnos pueden resumir en la tabla 1 la informacion obtenida. Los es-tudiantes ingresan los valores de x que encontraron en la primera actividaden orden creciente de magnitudes de x en la primera columna y los valoresde las pendientes de las rectas tangentes correspondientes en la segundacolumna. Esto es, los alumnos construyen una tabla con valores de x juntocon el valor s de la derivada en ese punto.

Tabla 1. Pendiente de la lınea tangente para varios valores de x.

valor de x s = pendiente de

la recta tangente

−π = −3.14 −1

−2.2 −0.577

−π/2 = −1.57 0

−0.95 0.577

0 1

0.95 0.577

π/2 = 1.57 0

2.2 −0.577

π = −3.14 −1

4.1 −0.577

3π/2 = 4.7 0

5.3 0.577

2π = 6.28 1

Graficando x vs. pendiente

En esta actividad los alumnos grafican los valores de x y las pendientes s delas tangentes correspondientes. Los estudiantes pueden graficar los puntos(x, s), en papel cuadriculado (figura 7) o en una pagina interactiva generadacon GeoGebra. Es importante que los estudiantes expresen que cada unode los valores de la coordenada vertical representa la pendiente de la rectatangente a la funcion original en ese valor de x, para cada punto en la nuevagrafica. Esto es, la coordenada vertical de cada punto representa la derivadaen el valor correspondiente de x para la funcion original seno.

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DERIVADAS. CONCEPTOS DE DERIVADA EN UN PUNTO Y DE FUNCION DERIVADA

FIGURA 7. x vs. pendiente de la recta tangente en varios puntos de la funcion seno.

De la funcion discreta a la funcion en un intervalo

En esta actividad, los estudiantes pasan de una funcion definida en unconjunto discreto de puntos a una funcion definida en un intervalo. Algunosalumnos unen los puntos en la grafica anterior con un trazo continuo porsı mismos. El instructor debe alentar a los estudiantes a explicar por queesto tiene sentido. Otros alumnos necesitan una indicacion del instructorpara completar la grafica. El maestro debe ayudar a los estudiantes a darsecuenta de por que una curva suave es una forma razonable de unir lospuntos, en vez de utilizar trazos rectos por pedazos, senalando que en lagrafica original las pendiente de las tangentes varıan de manera gradual yno abruptamente. Los alumnos pueden discutir que es lo que representanlos nuevos puntos intermedios en la grafica continua, y explicar por que laderivada esta definida en cada punto.Los estudiantes pueden tambien trazar los valores de las pendientes de las

rectas tangentes a sen(x) para diferentes valores de x usando la pagina in-teractiva Pendientes lıneas tangentes funcion seno. En esta pagina,en la grafica de abajo se registran como coordenada vertical los valores delas pendientes de las tangentes de la grafica de arriba para el mismo valorde x (figura 8). Es importante que los alumnos se den cuenta de que estanueva funcion definida en todo el intervalo es la derivada en cada punto enel intervalo.Despues de que los alumnos trazan una curva suave uniendo los pun-

tos o la trazan usando la pagina interactiva, pueden adivinar cual funcionrepresenta la nueva grafica usando su conocimiento previo de las funcionestrigonometricas. Los estudiantes pueden adivinar que la funcion coseno esun candidato que se ajusta a todos los puntos de la grafica en la figura 7,o ser trazada en la figura 8.

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FIGURA 8. Trazando los valores de las pendientes.

Verificacion

Los estudiantes que adivinaron que los puntos parecen corresponder a lafuncion coseno pueden verificar su conjetura usando sus propios valores en lapagina interactiva Valores pendientes lıneas tangentes funcion se-no y luego, ingresando la funcion cos(x) en el cuadro de ‘Entrada (Input)’,graficar la funcion y ver que de hecho coseno pasa por los puntos exceptopor discrepancias menores debidas a errores de estimacion o imprecisionesal graficar (figura 9). De nuevo, es importante para los alumnos expresarque la coordenada y en esta grafica representa la derivada en cada puntopara los valores de x correspondientes para la funcion original seno. Esto escierto para cada uno de los puntos originales, ya que ası fue como los valoresfueron tabulados y graficados, pero los estudiantes necesitan darse cuentade que tambien es cierto para los puntos intermedios. La nueva grafica re-presenta ası una funcion que da el valor de la derivada en cada valor dex para la funcion original sen(x) para todo el intervalo. Algunos alumnos,cuando ven la grafica, piensan que esta relacionada con seno como unatraslacion horizontal de π/2 de la grafica de seno. Aunque esto es cierto, noes la conexion que los estudiantes necesitan ver en la presente actividad. El

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DERIVADAS. CONCEPTOS DE DERIVADA EN UN PUNTO Y DE FUNCION DERIVADA

instructor puede redirigir su atencion a la derivada preguntando como lospuntos y la curva estan relacionados con la derivada de la funcion seno.

FIGURA 9. La funcion derivada de seno.

Funcion derivada en un intervalo

En este paso los estudiantes pueden reforzar la conexion entre la tangenteen un punto movible y la funcion derivada de y = sen(x) usando la paginainteractiva Pendiente lınea tangente como coordenada y. La figura 10representa una imagen de esta pagina, que muestra la grafica de la funcion

FIGURA 10. La grafica de y = sen(x) junto con su funcion derivada.

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derivada de y = sen(x) basada en la pendiente de la recta tangente a lagrafica de y = sen(x) en cada punto de su dominio. Mientras el alumnomueve el punto x en el dominio de y = sen(x) en el plano coordenadade arriba, en el plano coordenado de abajo se muestra el valor y corres-pondiente a la pendiente de la tangente para el mismo valor de x en lagrafica de la funcion derivada. El maestro puede enfatizar que los valoresde las variables independientes de y = sen(x) y de su funcion derivada sonlos mismos, mencionando la correspondencia entre los valores de x que elalumno manipula en la grafica de y = f(x) (figura 10) y los valores de x delpunto que se mueve simultaneamente en y = f(x) en la grafica de abajo.

Graficacion simultanea de los cocientes de incrementos

El proposito de esta actividad es ayudar a los alumnos a hacer explıcita laconexion entre las definiciones formales de derivada en un punto y funcionderivada. Servira para que el alumno compare la defincion formal de deriva-da de seno en un punto a, con la definicion formal de la funcion derivada deseno, sen′(x) = y vea que el papel que representa la letra a es diferente delpapel que representa la letra x, y que tambien vea que es lo que x representaen la funcion sen′(x), definida en el intervalo. Para esto, los alumnos con-sideran los cocientes de incrementos para la funcion seno simultaneamentepara varios valores de x, para un valor dado de h, . Los estudiantespueden usar la pagina interactiva Cocientes de incrementos funcionseno para varios valores para observar como cambian los valores delos cocientes de incrementos conforme h se acerca a cero. Las ordenadas delos puntos en la figura 11 representan los valores de los cocientes de incre-mentos para dos valores de h. La curva continua es la grafica de la funcioncos(x). Conforme los estudiantes cambian el valor de h en el deslizador,pueden observar que cuando h se acerca a cero el cociente de incrementos

FIGURA 11. a). Valores para los cocientes de incrementos .52

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DERIVADAS. CONCEPTOS DE DERIVADA EN UN PUNTO Y DE FUNCION DERIVADA

FIGURA 11. b). Valores para los cocientes de incrementos .

se acerca a cos(x) para cada uno de los valores x escogidos. La expectativaes que despues de que los alumnos consideren simultaneamente los lımitespara varios valores de x, ellos esten mejor preparados para entender que eslo que queremos decir con “para todos los valores x en un intervalo”.

Conclusion

Como mencionamos antes, los estudiantes deben trabajar la transicion entrederivada en un punto y funcion derivada con mas ejemplos y no solo conla funcion seno. Sin embargo, despues de haber trabajado con las derivadasen varios puntos con una sola funcion, algunos de los alumnos empezarona notar y hacer explıcita una serie mas rica de conexiones entre los dosconceptos.

Comentarios de los alumnos

Los alumnos participaron activamente aunque a veces no les fue facil expre-sar verbalmente las relaciones ilustradas. Al final de la presentacion en clasey de la sesion de laboratorio les pedimos a los estudintes que escribieransobre lo que habıan aprendido. Los alumnos escribieron respuestas breves ydiferentes alumnos se refirieron a distintos aspectos de la clase. Clasificamossus respuestas en seis categorıas. Incluimos algunos en la tabla 2.Tambien les preguntamos a los alumnos como la clase habıa sido diferente

de sus experiencias anteriores con la derivada. La mayorıa de los estudiantessenalo el aspecto visual e interactivo en general. Un alumno declaro: “Elaspecto visual difiere de mi experiencia anterior. Me ayuda a imaginar lasituacion y llegar a entender lo que realmente esta pasando”. Otro alumnodijo: “Fue mucho mas interesante y puso los conceptos en perspectiva. Tratode que los alumnos vieran las correspondencias y las relaciones por sı mis-

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Tabla 2. Lo que los alumnos aprendieron de las actividades.

Categorıa de la reaccion del alumno Ejemplos

Pendiente de una funcion o pen-diente de la recta tangente sinmencionar la derivada.

• Los diferentes valores de las pendientes paradiferentes puntos de la funcion sen(x).

Relacion y diferencias entre laderivada en un punto y la fun-cion derivada.

• Que la derivada de sen(x) = cos(x); quela derivada en un punto y la derivada deuna funcion son diferentes; y mas acercade lıneas tangentes.

Relacion entre una funcion y sufuncion derivada.

• Relacion entre derivadas en las graficas desen y cos (pendientes y valores y).

• Como sen y cos estan relacionadas en ter-minos de derivada (punto por punto).

Lo que la derivada en un puntorepresenta.

• Aprendı que la derivada en un punto esla pendiente de la lınea tangente a unacurva en un punto. Tambien aprendı quela derivada en un punto puede ser el valory de la derivada de la funcion.

Lo que la funcion derivada re-presenta.

• Aprendı que puedes encontrar la derivadade una funcion encontrando las pendientesde las rectas tangentes y graficandolas conlos mismos valores de x.

Significado de la derivada. • Aprendı mas acerca de lo que la derivadarealmente es y lo que las graficas especıficasrepresentan.

mos en vez de que les dijeran”. Otro alumno se refirio a las graficas delas funciones seno y coseno en particular: “Examinamos la conexion en-tre la curva y puntos de sen(x) y cos(x)”. Algunos alumnos declararonespecıficamente que las actividades les ayudaron a ver las conexiones orelaciones entre las dos graficas. Por ejemplo, uno dijo: “La version inter-activa de computadora fue nueva e interesante. Me gusto como puedes vercambios ocurriendo en las dos graficas al mismo tiempo”.Un momento de revelacion fue descrito por un alumno:

. . . estuvo suave que al principio del laboratorio no sabıamos por que estabamosgraficando esos puntos en particular, y conforme el laboratorio iba progresando,como que hizo clic —coseno es una representacion de f ′(x) = [sen′(x)], aquı escomo graficas la derivada, ası es como se ve, y aquı hay algunos modos de definirla.

Comentarios finales

En estas actividades los alumnos primero usaron un enfoque visual paraencontrar una correspondencia entre algunos valores x con las pendientes delas lıneas tangentes a la grafica en esos puntos y tener ası alguna evidencia

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DERIVADAS. CONCEPTOS DE DERIVADA EN UN PUNTO Y DE FUNCION DERIVADA

empırica de que la derivada de la funcion seno es coseno. A los alumnos lesgusto el enfoque mas visual y conceptual y el hecho de que la actividad fue“mucho mas interactiva y practica”.Estamos convencidos de que la eficacia del enfoque descrito en este ar-

tıculo trasciende su posible novedad. Al ir mas despacio y considerar lasderivadas en varios puntos como un paso intermedio entre la derivada en unpunto y la funcion derivada, en una forma similar a las actividades que losalumnos usaron en cursos anteriores para desarrollar el concepto de funcion,los estudiantes pueden desarrollar una mejor comprension de la relacionentre derivada en un punto y la funcion derivada como una funcion. Coneste paso intermedio los alumnos pueden tener la oportunidad de apreciar:a) como la funcion derivada se construye a partir de la derivada en variospuntos; b) por que un punto en la grafica de la derivada de una funcion esla derivada en un punto, y finalmente, c) por que las definiciones usando ellımite de cocientes de incrementos se ven parecidas excepto por “x0” y “x”.Estas actividades pueden ayudar a los alumnos a entender por que se usauna sola palabra, derivada, debido a que la derivada (funcion) se construyea partir de la derivada (en un punto). De esta manera los instructores ylos alumnos se pueden comunicar mejor acerca de la derivada con menosconfusion de lo que derivada quiere decir.

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abstract

We present activities with an interactive computer program thatserve as a bridge between two related but different concepts, thederivative at a point and the derivative function, which help stu-dents understand better the relationships between the two. First,students work with tangent lines to the graph of the sine functionat several points and then tabulate and graph the values of theslopes of these lines for the corresponding values of x. Then, stu-dents extend the function to an interval by tracing the values ofthe slopes as the values of x change. Finally, students graph simul-taneously the values of quotients of increments for several values ofx to make the relation between the formal definitions of derivativeat a point and derivative function more explicit. Students from twouniversities in the United States participated in these activities.

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