1

2019 2020

DEITURA

Izena

Klasea

2

AURKIBIDEA

GEOMETRIA 3

Tranzformazioak.3

Angeluak 6

Hirukiak 7

Pitagoras 8

Antzeko hirukiak 9

Thales 10

handiagotze txikiagotze 11

Trigonometria 12

LAUKIAK 13

Kokapena 14

MAGNITUDEAK 16

ZENBAKIZKO KALKULUAK 19

Lehentasunak 19

Zenbaki erlatiboak 20

Biderkaduraren zeinua 20

Zatikiak 21

Berredurak 22

Errokarratuak 23

Bi zenbaki konparatu. 23

LETRAZKO KALKULUAK 24

Idazkera 24

Garatu 24

Faktorizatu 25

Berdintza egiaztatu 25

Ekuazioa ebatzi 26

DATU ANTOLAKETA 27

Proportzionltasuna 27

Funtzioak 29

Funtzio bereziak30

Estatistikak 32

Probabilitateak 33

ZENBAKI ARRUNTAK 34

ALGORITMOA ETA PROGRAMAZIOA 35

BREBETAKO BURUKETAK 36

4.

3

ARDATZ SIMETRIA (RS) zuzena [AA’] zuzenkiaren erdibitzailea (mediatrizea) baldin bada orduan A eta A’ puntuak (RS) ardatzarekiko simetrikoak dira.

SIMETRIA ZENTRALA P puntua [𝑁𝑁′] zuzenkiaren erdigunea baldin bada orduan N eta N’ P puntuarekiko siletrikoak dira.

ERROTAZIOA. O zentrodun eta montra baten orratzen zentzuan 60°-ko errotazioaren bidez ABC hirukiaren irudia A’B’C’ baldin bada orduan

∎ OA=OA’, OB=OB’, OC=OC’ eta

∎ 𝐴𝑂𝐴′̂=𝐵𝑂𝐵′̂ =𝐶𝑂�̂�′=60°

TRANSLAZIOA A puntua A’ bilakatzen duen translazioaren bidez ABC hirukiaren irudia A’B’C’ baldin bada orduan :

∎(AA’), (BB’) eta (CC’) paraleloak dira

∎A-tik A’-rat, B-tik B’-rat, C-tik C’-rat zentzu berdina da.

∎AA’=BB’=CC’

∎AA’C’C eta AA’B’B paralelogramoak dira

1.PRO Simetriek, errotazioek eta translazioek distantziak, angeluak eta paralelismoa

atxikitzen dute

B

A

C

B’

A’

C’

5..

4..

3..

P

L

M N L’

N’ M’

B

A

C

B’

A’ C’

R

S

B

A

C

O

A’ B’

C’

60

°

4

HOMOTEZIA O zentrodun eta k arrazoia ( koefizientea) duen homoteziaren bidez ABC hirukiaren irudia A’B’C’ baldin bada orduan:

k>0 baldin bada

∎O,A,A’ puntuak ordenu horretan lerrokatuak dira baita ere O,B,B’ eta O,C,C’.

∎OA’=k×OA ; OB’=k×OB ; OC’=k×OC

k<0 baldinbada

∎A,O,A’ puntuak ordenu horretan lerrokatuak dira baita ere B,O,B’ eta C,O,C’.

∎OA’=-k×OA ; OB’=-k×OB ; OC’=-k×OC

2.PRO Homotezi batek aldeen proporzioa eta angeluak atxikitzen ditu

B

A

C

O

C’ B’

A’

k=2

B

A

C

O

k=-2

A’

B’ C’

3.

5

1. ariketa Azpiko lauzadura ( 1. itxura) errepikatutako marrazki (beltza den poligonoa)

batez osatua da.

Marrazki hau lauzadura zuzen batean adieraz daiteke ( 2. itxura)

1. Fig 1-ean zoin transformazio erabili behar da marrazkitik marrazkirat

pasatazeko.

2. Galdera honetan AB=1cm (fig 2) Marrazkiaren azalera kalkulatu.

Aterabidea 1.

marrazkitik marrazkirat pasatzeko translazio bat L puntua O puntua

transformatzen duen translazioa erabiltzen da.

2.

EKJIHGF poligonoa DLMNABC « ziloan » ezarriz

marrazkiarenazalera , DLKE erronboaren azalera bilakatzen da.

Orduan

𝑀𝑎𝑟𝑟𝑎𝑧𝑘𝑖𝑎𝑟𝑒𝑛 𝑎𝑧𝑎𝑙𝑒𝑟𝑎 = 𝑎𝑧𝑎𝑙𝑒𝑟𝑎(𝐷𝐿𝐾𝐸) = 𝐿𝐸 × 𝐾𝐷

2

=4𝑐𝑚 × 4𝑐𝑚

2

𝑀𝑎𝑟𝑟𝑎𝑧𝑘𝑖𝑎𝑟𝑒𝑛 𝑎𝑧𝑎𝑙𝑒𝑟𝑎 = 8 𝑐𝑚2

O

L

1. itxura 2. itxura

1 2

1 2

6

[AB) eta [AC) jatorri-puntu bereko bi zuzenerdiek 𝑩𝑨�̂� angelua definitzen dute. -A puntua angeluaren erpina da, -[AB) eta [AC) angeluaren aldeak dira.

3.PRO Erpinez aurkako angeluek

neurri bera dute : 𝑇𝐶�̂� 𝑒𝑡𝑎 𝐵𝐶�̂�

-Angelu betegarrien baturak 180° balioa du.

-Angelu osagarrien baturak 90° balioa du.

4.PRO Zuzen batek bi zuzen paraleloak ebakitzen baldin badituzte, orduan

-Txandakako barne angeluek neurri bera dute (𝑇𝐶�̂� 𝑒𝑡𝑎 𝐶𝐴�̂� ) (𝑆𝐶�̂� 𝑒𝑡𝑎 𝑅𝐴�̂� )

-Txandakako kanpo angeluek neurri bera dute (𝐵𝐶�̂� 𝑒𝑡𝑎 𝑅𝐴�̂� ) (𝑇𝐶�̂� 𝑒𝑡𝑎 𝐷𝐴�̂� )

-Aldebereko angeluek neurri bera dute (𝐵𝐶�̂� 𝑒𝑡𝑎 𝐶𝐴�̂� ) (𝑇𝐶�̂� 𝑒𝑡𝑎 𝑅𝐴�̂� ) (𝑇𝐶�̂� 𝑒𝑡𝑎 𝑅𝐴�̂� ) (𝑆𝐶�̂� 𝑒𝑡𝑎 𝐷𝐴�̂� )

2. ariketa (CA) zuzenak (TS) eta (RA) zuzen paraleloak

ebakitzen ditu. 𝐷𝐴�̂� kalkulatu.

(CA) zuzenak (TS) eta (RA) zuzen paraleloak ebakitzen

ditu beraz 𝑇𝐶�̂� eta 𝐶𝐴�̂�

txandakako barne angeluek neurri bera dute, orduan

𝐶𝐴�̂� = 𝑇𝐶�̂� = 40°.

𝐷𝐴�̂� eta 𝐶𝐴�̂� angelu betegarriak dira beraz

𝐷𝐴�̂� = 180° − 𝐶𝐴�̂� = 180° − 40° = 140° 𝐷𝐴�̂� = 140°

5.PRO Zuzen batek bi zuzen ebakitzen dituelarik txandakako barne angeluek , txandakako

kanpo angeluek edo aldebereko angeluek neurri bera baldin badute orduan bi zuzen

horiek paraleloak dira

3. ariketa (CA) zuzenak (TS) eta (RA) zuzenak ebakitzen

ditu. (RU) eta (TS) paraleloak direnez erran.

𝑅𝐴�̂� eta 𝐶𝐴�̂� angeluak betegarriak dira beraz

𝐶𝐴�̂� = 180° − 𝑅𝐴�̂� = 180° − 135° = 45°. (CA) zuzenak (TS) eta (RA) zuzenak ebakitzen ditu :

𝑇𝐶�̂� eta 𝐶𝐴�̂� txandakako barne angeluek ez dute neurri bera beraz (RU) eta (TS) ez dira paraleloak

C A

T S

B

5.

B A

C Angelu

kamutxa 90° < 𝐵𝐴�̂� < 180°

5.

5.

C A

B

𝐵𝐴�̂� = 0°

Angelu

C

A B

Angelu

zuzena 𝐵𝐴�̂� = 90°

C

A

Angelu

zorrotza 0° < 𝐵𝐴�̂� < 90°

B

A

C

D

R

T

S

U

B 35°

135°

C T

R

S

B 40°

A D U

C A B

𝐵𝐴�̂� = 180°

Angelu

laua

7

6.PRO Edozein ABC hirukian AB≤AC+CB : Bi

puntuen arteko bide laburrena lerro zuzena da

7.PRO Hiruki baten mediatrizeak zirkulu

zirkunskribatuaren zentroan ebakitzen dira.

8.PRO Hiruki baten angeluen baturak 180° balio du.

Hiruki batek ber neurriko bi alde baldin baditu orduan isoszeloa da.

9.PRO Hiruki isoszelo batek ber neurriko bi alde

ditu

Hiruki batek ber neurriko hiru alde baldin baditu orduan aldekidea (ekilateroa) da.

10.PRO Hiruki aldekidearen angeluek

neurri bera dute :60°

Hiruki batek angelu zuzen bat baldin badauka orduan zuzena dela erraten zaio,

bere alde luzeena hipotenusa deitzen da.

Hemen : A puntuan zuzena den ABC hiruki zuzena.

4. ariketa R erpin nagusia duen RST hiruki isoszelean 𝑅𝑆�̂� = 45°. RST hirukia zuzena dela

frogatu.

Aterabidea:

RST hirukian badugu : 𝑅𝑆�̂� + 𝑅𝑇�̂� + 𝑆𝑅�̂� = 180° edo 45° + 45° + 𝑆𝑅�̂� = 180° beraz

𝑆𝑅�̂� = 180° − 45° − 45° = 90° Orduan RST hirukia zuzena da R puntuan.

5.

5.

5.

A

B

C

Erpin nagusia

5.

A B

C

O

zirkulu

zirkunskribatu

a

Hipotenusa

A

C

B

A

B

C

60°

60°

60°

8

11.PRO PITAGORASEN PROPIETATEA

Hiruki zuzen batean hipotenusaren karratuak beste bi aldeen karratuen

batura balio du. Hemen ABC hirukia B puntuan zuzena da beraz :

𝑨𝑪𝟐 = 𝑨𝑩𝟐 + 𝑩𝑪𝟐 Pitagorasen berdintza deitzen da

5. ariketa RST hirukia zuzena da S puntuan. RT=10cm eta RS=6cm .

TS kalkulatu

Aterabidea : RST hirukia zuzena da S puntuan beraz Pitagorasen propietatearen arabera : RT²=RS²+ST² 10²=6²+ST² 100= 36 + ST² 100-36 = 36-36 + ST² ST²=100-36

ST²=64 𝑆𝑇 = √64 𝑆𝑇 = 8 𝑐𝑚

12.PRO PITAGORASEN TEOREMAREN ALDERANTZIZKOA

Hiruki batean alde luzeenaren karratuak beste bi aldeen karratuen batura balio baldin

badu orduan hiruki hau zuzena da

6. ariketa

PRS hirukian badugu PR=5cm RS=4cm SP= 3cm, PRS hirukia zuzena dela frogatu Aterabidea : PRS hirukian alde luzeena [PR] da eta ba ditugu : Alde batetik : PR²=5²=25

Bestaldetik RS²+SP²=4²+3²=16+9=2

Beraz PR²=RS²+SP² orduan Pitagorasen propietatearen arabera PRS hirukia zuzena da S puntuan 7. ariketa

ABC hirukian badugu AB=7cm BC=9cm CA= 6cm, ABC hirua zuzena den erran. Aterabidea : ABC hirukian alde luzeena [BC] da eta ba ditugu : Alde batetik : BC²=9²=81

Bestaldetik AB²+CA²=7²+6²=49+36=85

Beraz BC²≠AB²+CA² orduan Pitagorasen propietatearen arabera ABC hirukia ez da zuzena

4.

4.

R

T

S

A

C B

AC²

AB²

AC²

9

ANTZEKO HIRUKIAK

Binaka, neurri bereko angeluak dituzten bi hiruki,

antzeko hirukiak dira

13.PRO Bi hirukien angeluak, binaka, neurri berekoak baldin badira orduan antzeko

hirukiak direla erraten da

14.PRO Bi hiruki antzekoak baldin badira orduan beraien aldeak binaka proportzionalak

dira

15.PRO Bi hirukien aldeak binaka proportzionalak baldin badira orduan antzeko hirukiak

direla erraten da

16.PRO Bi hiruki antzekoak baldin badira orduan beraien angeluak, binaka, neurri

berekoak dira

8. ariketa CBD eta BFE antzeko hirukiak direla frogatu

Aterabidea : 𝐶𝐷

𝐵𝐸=

8,5

6,8= 1,25

𝐵𝐶

𝐵𝐹=

7,5

6= 1,25

𝐵𝐷

𝐹𝐸=

4

3,2= 1,25

𝐵𝑒𝑟𝑎𝑧 𝐵𝐶

𝐵𝐹=

𝐶𝐷

𝐵𝐸=

𝐵𝐷

𝐹𝐸 𝑜𝑟𝑑𝑢𝑎𝑛 𝐵𝐶𝐷 𝑒𝑡𝑎 𝐵𝐸𝐹 𝑎𝑛𝑡𝑧𝑒𝑘𝑜 ℎ𝑖𝑟𝑢𝑘𝑖𝑎𝑘 𝑑𝑖𝑟𝑎.

9. ariketa : ABCD lauki zuzena da. ABE eta BCE hirukia zuzenak dira E puntuan.

ABE, BCE eta ACD hirukiak antzekoak direla frogatu. 𝐷𝐴�̂� = 60° Aterabidea :

𝐷𝐶�̂� = 180° − 90° − 60° = 30°

𝐵𝐶�̂� = 90° − 30° = 60°

𝐸𝐵�̂� = 180° − 90° − 60° = 30°

𝐸𝐴�̂� = 90° − 60° = 30°

𝐴𝐵�̂� = 90° − 30° = 60°

𝐵𝑒𝑟𝑎𝑧 𝐵𝐶�̂� = 𝐷𝐴�̂� = 𝐴𝐵�̂� = 60° 𝑒𝑡𝑎 𝐴𝐷�̂� = 𝐵𝐸�̂� = 𝐴𝐸�̂� = 90°

𝑂𝑟𝑑𝑢𝑎𝑛 𝐴𝐵𝐸, 𝐵𝐶𝐸 𝑒𝑡𝑎 𝐴𝐶𝐷 ℎ𝑖𝑟𝑢𝑘𝑖𝑎𝑘 𝑏𝑒𝑟 𝑛𝑒𝑢𝑟𝑟𝑖𝑘𝑜 𝑏𝑖 𝑎𝑛𝑔𝑒𝑙𝑢 𝑑𝑖𝑡𝑢𝑧𝑡𝑒𝑛𝑒𝑧 𝑎𝑛𝑡𝑧𝑒𝑘𝑜𝑎𝑘 𝑑𝑖𝑟𝑎.

4.

A B

C D E

A B

C D E

C B

D

F

E

10

17.PRO (Talesen “teorema”) :

(BC) eta (DE) zuzenak A puntuan ebakitzen dira,

(BD) eta (CE) zuzenak paraleloak baldin badira orduan : 𝑨𝐵

𝑨𝐶=

𝑨𝐷

𝑨𝐸=

𝐵𝐷

𝐶𝐸

18.PRO (Talesen teoremaren alderantzizkoa)

(BC) eta (DE) zuzenak A puntuan ebakitzen dira

𝐴, 𝐵, 𝐶 𝑒𝑡𝑎 𝐴, 𝐷, 𝐸 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑢 𝑏𝑒𝑟𝑒𝑎𝑛 𝑘𝑜𝑘𝑎𝑡𝑢𝑎 𝑖𝑧𝑎𝑛𝑘𝑖 𝐴𝐵

𝐴𝐶=

𝐴𝐷

𝐴𝐸 𝑏𝑎𝑙𝑑𝑖𝑛 𝑏𝑎𝑑𝑎, 𝑜𝑟𝑑𝑢𝑎𝑛

𝑜𝑟𝑑𝑢𝑎𝑛 (𝐵𝐷)𝑒𝑡𝑎 (𝐶𝐸) 𝑧𝑢𝑧𝑒𝑛𝑎𝑘 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑎𝑘 𝑑𝑖𝑟𝑎

10. ariketa Ondoko irudian E,A,D eta B,A,C puntuak lerrokatuak dira, (EC) eta (BD)

paraleloak dira . AE=8cm CA=7 cm EC= 8,5 cm eta BA=5cm BD kalkulatu

Soluzioa : (BC) eta (ED) A puntuan ebakitzen dira, (EC) eta (BC) paraleloak dira beraz Thales-en propietateraen arabera 𝐴𝐸

𝐴𝐷=

𝐴𝐶

𝐴𝐵=

𝐸𝐶

𝐵𝐷𝑜𝑟𝑑𝑒𝑧𝑘𝑎𝑡𝑢𝑧 𝑙𝑜𝑟𝑡𝑧𝑒𝑛 𝑑𝑢𝑔𝑢

8𝑐𝑚

𝐴𝐷=

7𝑐𝑚

5𝑐𝑚

=8,5𝑐𝑚

𝐵𝐷

7𝑐𝑚

5𝑐𝑚=

8,5𝑐𝑚

𝐵𝐷 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑧 𝐵𝐷 =

5𝑐𝑚 × 8,5𝑐𝑚

7𝑐𝑚

beraz BD≃ 6𝑐𝑚 11. ariketa Ondoko irudian R,S ,T eta U,S,O puntuak ordenu berean lerrokatuak dira .

RS=8cm RT=12 cm US= 13 cm eta SO=6,5cm

(OT) eta (RU) paraleloak direnez erran

Soluzioa : (RT) eta (OU) zuzenak S puntuan ebakitzen dira R,S ,T eta U,S,O puntuak ordenu berean lerrokatuak 𝑆𝑅

𝑆𝑇=

8

12 − 8= 2 𝑒𝑡𝑎

𝑆𝑈

𝑆𝑂=

13

6,5= 2 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑧

𝑆𝑅

𝑆𝑇=

𝑆𝑈

𝑆𝑂

𝑜𝑟𝑑𝑢𝑎𝑛 𝑇ℎ𝑎𝑙𝑒𝑠 − 𝑒𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑡𝑎𝑡𝑒𝑎𝑟𝑒𝑛 arabera (RU) eta (OT) paraleloak dira.

4.

B E

A C D

E

D

A

B

C

B E

A C D

O R

S

U T

11

Itxura baten luzera guziak k-ren bidez biderkatzen bada orduan k handiagotze (edo ttipiagotze) koefizientea da.. (k > 0)

19.PRO Handiagotze eta txikiagotze kasuetan

- luzerak k-ren bidez biderkatuak dira.

- azalerak k²-ren bidez biderkatuak dira.

- bolumenak 𝑘3-ren bidez biderkatuak dira.

1. Kasua : handiagotzea 𝑘 > 1

2. Kasua txikiagotzea 0 < 𝑘 < 1

12. ariketa Ondoko itxuran, 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 piramidearen oinarria

karratua da eta altuera [𝑆𝐴] da:

𝐴𝐵 = 9 𝑐𝑚 eta 𝑆𝐴 = 12 𝑐𝑚 izanki.

𝑆𝐴𝐵 hirukia zuzena da 𝐴 puntuan.

1. 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 piramidearen bolumena 𝐵1 kalkulatu

2. Oinarriarekin pareleloa den eta 𝐸 pundutik pasatzen den plano

batez piramidea ebakitzen da, 𝑆𝐸 = 4 𝑐𝑚 izanez..

𝑆𝐸𝐻𝐺𝐹 piramidea 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 piramidearen txikiagotze bat da.

a) Zer da txikiagotze koefizientea ?

b) Hortik atera 𝑆𝐸𝐹𝐺𝐻 piramidearen bolumena 𝐵2

Aterabidea :

1. 𝐵1 =𝑜𝑖𝑛𝑎𝑟𝑟𝑖𝑎𝑟𝑒𝑛 𝑎𝑧𝑎𝑙𝑒𝑟𝑎 × 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑒𝑟𝑎

3=

9 𝑐𝑚 × 9 𝑐𝑚 × 12 𝑐𝑚

3= 𝐵1 = 324 𝑐𝑚3

2. 𝑎. 𝑡𝑥𝑖𝑘𝑖𝑎𝑔𝑜𝑡𝑧𝑒 𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑧𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑎 𝑘 =𝑆𝐸

𝑆𝐴=

4 𝑐𝑚

12 𝑐𝑚=

1

3 𝒌 =

𝟏

𝟑

2. 𝑏. 𝑆𝐸𝐹𝐺𝐻 𝑝𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒𝑎 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑝𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒𝑎𝑟𝑒𝑛 𝑡𝑥𝑖𝑘𝑖𝑎𝑔𝑜𝑡𝑧𝑒𝑎 𝑑𝑎. 𝐵2 = 𝑘3 × 𝐵1

𝐵2 = (1

3)

3

× 324 𝑐𝑚3

𝐵2 = 12 𝑐𝑚3

1 𝑐𝑚

3 𝑐𝑚

𝐴

𝐷

𝐵

𝐶

𝐴′

𝐷′

𝐵′

𝐶′

𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′𝑏𝑖𝑙𝑎𝑘𝑎𝑡𝑧𝑒𝑛 𝑑𝑎. 𝒌 =𝐴′𝐵′

𝐴𝐵=

3 𝑐𝑚

1 𝑐𝑚= 𝟑

𝑎𝑧𝑎𝑙𝑒𝑟𝑎(𝐴𝐵𝐶𝐷) = 1 𝑐𝑚 × 1 𝑐𝑚 = 1 𝑐𝑚²

𝑎𝑧𝑎𝑙𝑒𝑟𝑎(𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′) = 𝒌𝟐 × 𝑎𝑧𝑎𝑙𝑒𝑟𝑎(𝐴𝐵𝐶𝐷) = 32 × 1𝑐𝑚²

𝑎𝑧𝑎𝑙𝑒𝑟𝑎(𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′) = 9 × 1 𝑐𝑚2 = 9 𝑐𝑚²

12

20.PRO Hiruki zuzen batean

𝐴𝑛𝑔𝑒𝑙𝑢 𝑧𝑜𝑟𝑟𝑜𝑡𝑧𝑎 𝑏𝑎𝑡𝑒𝑛 𝒌𝒐𝒔𝒊𝒏𝒖𝒂 =𝑎𝑙𝑑𝑒 𝑎𝑢𝑧𝑜𝑘𝑖𝑑𝑒𝑎

𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝐴𝑛𝑔𝑒𝑙𝑢 𝑧𝑜𝑟𝑟𝑜𝑡𝑧𝑎 𝑏𝑎𝑡𝑒𝑛 𝒔𝒊𝒏𝒖𝒂 =𝑎𝑢𝑟𝑘𝑎𝑘𝑜 𝑎𝑙𝑑𝑒𝑎

𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝐴𝑛𝑔𝑒𝑙𝑢 𝑧𝑜𝑟𝑟𝑜𝑡𝑧𝑎 𝑏𝑎𝑡𝑒𝑛 𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆𝒂 =𝑎𝑢𝑟𝑘𝑎𝑘𝑜 𝑎𝑙𝑑𝑒𝑎

𝑎𝑙𝑑𝑒 𝑎𝑢𝑧𝑜𝑘𝑖𝑑𝑒𝑎

Hemen ABC hirukia B puntuan zuzena da beraz :

cos(𝐴𝐶�̂�)=𝐵𝐶

𝐴𝐶 ;sin(𝐴𝐶�̂�)=

𝐴𝐵

𝐴𝐶 ; tan(𝐴𝐶�̂�)=

𝐴𝐵

𝐵𝐶

cos(𝐵𝐴�̂�)=𝐴𝐵

𝐴𝐶 ;sin(𝐵𝐴�̂�)=

𝐵𝐶

𝐴𝐶 ; tan(𝐵𝐴�̂�)=

𝐵𝐶

𝐴𝐵

13. ariketa RST hirukia zuzena da S puntuan. RS=8cm

𝑅𝑇�̂� = 60°. RT kalkulatu.

RST hirukia zuzena da S puntuan beraz :

sin(𝑅𝑇�̂�)=𝑎𝑢𝑟𝑘𝑎𝑘𝑜 𝑎𝑙𝑑𝑒𝑎

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎=

𝑅𝑆

𝑅𝑇 edo sin(60°)=

8𝑐𝑚

𝑅𝑇

RT =8𝑐𝑚

𝑠𝑖𝑛 (60°) RT≃ 9,24 𝑐𝑚

14. ariketa MNL hirukia zuzena da L puntuan. MN=10cm NL=7cm.𝑀𝑁�̂� angelua kalkulatu.

Soluzioa : MNL hirukia zuzena da L puntuan beraz :

𝑐𝑜𝑠(𝑀𝑁�̂�) =𝑎𝑙𝑑𝑒 𝑎𝑢𝑧𝑜𝑘𝑖𝑑𝑒𝑎

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎=

𝑁𝐿

𝑀𝑁

edo

𝑐𝑜𝑠(𝑀𝑁�̂�) =7𝑐𝑚

10𝑐𝑚

𝑀𝑁�̂� = 𝑐𝑜𝑠−1 (7

10)

𝑀𝑁�̂� ≃ 47,57°

3.

A

C B

A C

B

R

T

S

M

13

Paralelogramoak

Aurkako aldeak paraleloak dituen lauki bat paralelogramoa da

21.PRO Lauki bat paralelogramoa baldin bada orduan

− diagonalak erdigunetik ebakitzen dira

− aurkako aldeak neurri berekoak dira.

− diagonalen ebaki puntuan simetri zentroa da.

(paralelogramoa dela frogatzeko)

22.PRO Lauki baten diagonalak

erdigunetik ebakitzen baldin badira orduan

paralelogramoa da.

23.PRO Lauki baten aurkako aldeak neurri

berekoak baldin badira orduan

paralelogramoa da.

Laukizuzena

Lau angelu zuzen dituen lauki bat laukizuzena da

24.PRO Lauki bat laukizuzena baldin bada orduan

− paralelogramoa da.

− diagonalak neurri berekoak dira.

(lauki zuzena dela frogatzeko)

25.PRO Lauki batek hiru

angelu zuzen baldin baditu

orduan lauki zuzena da.

26.PRO Paralelogramo

batek neurri bereko

diagonalak baldin baditu

ordua laukizuzena da

27.PRO Paralelogramo

batek angelu zuzen bat

baldin badu orduan

laukizuzena da.

Erronboa

Neurri bereko lau aldeak dituen lauki bat erronboa da da

28.PRO Lauki bat erronboa baldin bada orduan

− paralelogramoa da.

− diagonalak perpendikularrak dira.

(erronboa dela frogatzeko)29.PRO Lauki batek neurri

bereko lau alde baldin

baditu ordua erronboa da.

30.PRO Paralelogramo

batek neurri bereko ondoz

ondoko bi alde baldin

baditu orduan erronboa da.

31.PRO Paralelogramo

batek diagonalak

perpendikularrak baldin

baditu orduan erronboa da.

Karratua

Erronboa eta laukizuzena den lauki karratua da

32.PRO Lauki bat karratua baldin bada orduan lauku zuzena eta erronboaren

propietateak ditu

5.

//

//

14

5.

M

A O

B

Abzisa ardatza

Ordenatu ardatza

Jatorrizko puntua

OA= M puntuaren abzisa

OB= M puntuaren ordenatua

M (5 ;3)

N (-3 ;1)

N M – ren koordenatuak dira

3.

M(4 ; 2; -3 )

N(-3 ; 3 ; 5)

3.

E

M

I

Ekuatorea

Greenwitch meridianoa

Ipar poloa

Hego poloa

O 𝐿𝑎𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒𝑎 = 𝐸𝑂�̂�

𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒𝑎 = 𝐼𝑂�̂�

Lurraren zentroa

15

15. ariketa Lurrean bi herri antipodetan daude diametroki aurkakoak direlarik

Horran hiri handi batzuen koorddenatuk.

Hiriak latitudea °-tan longitu

( )

dea °-tan

Seoul I 37° E 127°

Shangai I 31° E 121°

Montevideo H 37° M 53°

Buenos Aires H 31° M 59°

. Hiri antipodalak bikodeak zehaztu.

Hiri baten koordenatuak I ° - E ° baldin badira.

Zer

a

b

x y

.

Seoul antipodaren latidutea = H 37°

Seoul antipodaren longitudea

= M (180°-127°)

=M 53°

Beraz Seoul eta Montevideo antipodetan daude.

eta Shan

dira antipodoan dagoen puntu baten koordenatuak.

a

Aterabidea

( )

( )( )

gaien antipoda Buenos Aires da.

.

Hiri baten koordenatuak I ° - E °

baldin badira.

Antipoden koordenatuak izango dira:

H ° - M 180°- °

b

x y

x y

16

Zera baten magnitudea neurgarria den ezaugarri bat da.

Magnitude bati unitate bat dagokio.

Adibidez :

Zera Magnitudea Unitatea

Zuzenki bat Luzera 𝑚

Lauki zuzen bat Azalera 𝑚² Bola bat Bolumena 𝑚3

Txirrindulari bat Masa Kg

Txirrindulari bat Pisua N (newton)

Txirrindulari bat mendate bat igotzean Energia J(joule)

Txirrindulari bat mendate bat igotzean Potentzia W(watt)

Txirrindulari bat mendate bat igotzean Abiadura 𝑚. 𝑠−1

Igotzea Denbora 𝑠 (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑢)

Uhin baten maiztasuna Maiztasuna Hertz = 𝑠−1

Eta abar …..

Unitateen aurrezki : emaitzak emaiteko zenbakiak esannahi bat izateko azpiunitate edo

goiunitate erabiltzen dira :

Aurrezkia Sinboloa Eragina adibidea

Peta P × 1015

Tera T × 1012

Giga G × 109 12 𝐺𝑜 = 12 × 109𝑜

Mega M × 106

Kilo k × 103 3,2 𝑘𝑚 = 3200 𝑚

Hecto h × 102

Deca da × 101

Deci d × 10−1 35 𝑑𝑚 = 0,35𝑚

Centi c × 10−2

Mili m × 10−3

Micro 𝜇 × 10−6 42 𝜇𝑚 = 0,000 042 𝑚

Nano n × 10−9 385 𝑛𝑔 = 385 × 10−9𝑔

Pico p × 10−12

3. 4.

17

33.PRO

16. ariketa Azpiko eremua hiruki batez eta disko erdi batez . Eremu horren azaleraren

balio zehatza kalkulatu eta gero balio borrobildua mm²-tan. AC=7cm BC=5cm BH=4cm

Aterabidea: Azalera= hirukiaren azalera+disko erdiaren azalera

Azalera=𝐴𝐶×𝐵𝐻

2+

𝜋×(𝐵𝐶

2)

2

2=

7𝑐𝑚×4𝑐𝑚

2+

𝜋×(5𝑐𝑚

2)

2

2

Balio zehatza Azalera=(14 + 3,125𝜋)𝑐𝑚² Azalera ≃ 23,82 𝑐𝑚²

34.PRO

Karratua

𝑎𝑙𝑑𝑒𝑎2

Lauki zuzena

luzera×zabalera

Hirukia

𝑎𝑙𝑑𝑒𝑎 × 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑒𝑟𝑎

2

Trapezioa

(𝐴𝐵 + 𝐶𝐷) × ℎ

2

A B

D C

h

Paralelogramoa

𝑎𝑙𝑑𝑒𝑎 × 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑒𝑟𝑎

Diskoa

𝜋 × 𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑎²

Bola

𝑎3

luzera×zabalera×altuera

oinarriaren azalera × altuera

4

3× 𝜋 × 𝒓3

Konoa edo Piramidea

𝑜𝑖𝑛𝑎𝑟𝑟𝑖𝑎𝑟𝑒𝑛 𝑎𝑧𝑎𝑙𝑒𝑟𝑎 × 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑒𝑟𝑎

3

Kuboa

Paralelepipedo zuzena

4.

4.

4.

4.

3.

h h

r

a

atuera=h

Prisma zuzena edo zilindroa

A

B

C H A

B

C H

4.

18

17. ariketa Yourta bat zilindro bat eta kono batez. Yourtaren bolumena kalkulatu.

Aterabidea : Yourtaren bolumena B deituz. B=zilindroaren bolumena +konoaren bolumena

B= 𝜋 × 𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑎2 × 𝑧𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜𝑎𝑟𝑒𝑛 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑒𝑟𝑎 +1

3× 𝜋 × 𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑎2 × 𝑘𝑜𝑛𝑜𝑎𝑟𝑒𝑛 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑒𝑟𝑎

B= 𝜋 × (7

2𝑚)

2× 2,5𝑚 +

1

3× 𝜋 × (

7

2𝑚)

2× (4,5 − 2,5)𝑚

B= 𝜋 × (7

2𝑚)

2[2,5𝑚 +

1

3(4,5 − 2,5)𝑚] B≃ 122 𝑚3

18. ariketa Batazbeste AHT-ren abiadura 300 𝑘𝑚. ℎ−1da.

a. Zenbat kilometro zeharkatzen ditu AHT-t 10min-z

b. AHT-ren batazbesteko abiadura kalkulatu 𝑘𝑚. 𝑚𝑖𝑛−1-tan

c. Abiadura 𝑚. 𝑠−1-tan kalkulatu, emaitza unitatean borrobilduz

Aterabidea :

a. Oren batez edo 60 minutuz AHT-k 300 km zeharkatzen ditu

𝐵𝑒𝑟𝑎𝑧 10 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑢𝑧 6 𝑎𝑙𝑑𝑖𝑧 𝑔𝑢𝑡𝑥𝑖𝑎𝑔𝑜 :300 𝑘𝑚

6= 50 𝑘𝑚

𝑏. 10 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑢𝑧 𝐴𝐻 − 𝑘 50𝑘𝑚 𝑒𝑔𝑖𝑡𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑡𝑢 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑧 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑢 𝑏𝑎𝑡𝑒𝑧 ℎ𝑎𝑚𝑎𝑟 𝑎𝑙𝑑𝑖𝑧

𝑔𝑢𝑡𝑥𝑖𝑎𝑔𝑜 50 𝑘𝑚

6= 5 𝑘𝑚. 𝐴𝐻𝑇 − 𝑟𝑒𝑛 𝑎𝑏𝑖𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 5 𝑘𝑚. 𝑚𝑖𝑛−1 𝑑𝑎

𝑐. 𝑀𝑖𝑛𝑢𝑡𝑢 𝑏𝑎𝑡𝑒𝑧 𝑒𝑑𝑜 60 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑢𝑧 𝐴𝐻𝑇 − 𝑘 5 𝑘𝑚 𝑒𝑑𝑜 5000 𝑚 𝑧𝑒ℎ𝑎𝑟𝑘𝑎𝑡𝑧𝑒𝑛

𝑑𝑖𝑡𝑢 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑧 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑢 𝑏𝑎𝑡𝑒𝑧 60𝑎𝑙𝑑𝑖𝑧 𝑔𝑢𝑥𝑖𝑎𝑔𝑜: 5000 𝑚

60⋍ 83𝑚 .

𝐺𝑢𝑡𝑥𝑖 𝑔𝑜𝑟𝑎𝑏𝑒ℎ𝑒𝑟𝑎 𝐴𝐻𝑇 − 𝑟𝑒𝑛 𝑎𝑏𝑖𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 83 𝑚. 𝑠−1

19. ariketa

Plaka elekriko baten ahalmena P, 4 800 W da.

𝟏. 𝐸 = 𝑃 × 𝑡 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑒𝑟𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧, 𝑡 𝑑𝑒𝑛𝑏𝑜𝑟𝑎 𝑜𝑟𝑒𝑛𝑒𝑡𝑎𝑛 𝑖𝑧𝑎𝑛𝑘𝑖,

10 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑢𝑧 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑠𝑢𝑚𝑖𝑡𝑧𝑒𝑛 𝑑𝑢𝑒𝑛 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝐸 𝑘𝑎𝑙𝑘𝑢𝑙𝑎𝑡𝑢 𝑘𝑊ℎ − 𝑒𝑡𝑎𝑛

𝟐. 𝐽𝑎𝑘𝑖𝑛𝑒𝑧 𝑘𝑊𝐻 𝑏𝑎𝑡𝑒𝑘 0,1452 € 𝑏𝑎𝑙𝑖𝑜 𝑑𝑢𝑒𝑙𝑎 𝑧𝑒𝑛𝑏𝑎𝑡 𝑘𝑜𝑠𝑡𝑎𝑡𝑢𝑘𝑜 𝑑𝑢𝑡𝑒 10 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑢 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑒𝑘 ?

Aterabidea :

𝟏. 4800 𝑊 = 4,8 𝑘𝑊

10 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑢 =60 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑢

6=

𝑜𝑟𝑒𝑛 𝑏𝑎𝑡

6=

1

6𝑜𝑟𝑒𝑛

10 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑢𝑧 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑠𝑢𝑚𝑖𝑡𝑢𝑎 𝑖𝑧𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑎: 𝐸 = 𝑃 × 𝑡

𝐸 = 4,8 𝑘𝑊 × 1

6ℎ 𝐸 = 0,8 𝑘𝑊

𝟐. 𝑃𝑎𝑔𝑎𝑡𝑢𝑘𝑜 𝑑𝑢𝑒𝑛𝑎 𝑓 =0,8 kW× 0,1452 €

𝑓 = 0,116 €

4,5m

2,5m

7m

19

35.PRO Horra kalkulu batean errespetatu behar den ordenua :

1. Parentesiak

2. Berreketa-Errokarratuak

3. Biderketa-Zatiketa

4. Gehiketa-Kenketa

Lehentasuna berdina delarik kalkulua ezkerretik eskuinerat egiten dira

20. ariketa

Azpiko zenkakiak kalkulatu

𝐴 = 8 + 2 × 5 − 15 ÷ 3 𝐵 = 2 + 3[8 − (2,5 − 10)]

Aterabidea𝐴 = 8 + 2 × 5 − 15 ÷ 3 𝐴 = 8 + 10 − 5

𝐴 = 18 − 5

𝐴 = 13

𝐵 = 2 + 3[8 − (2,5 − 10)]

𝐵 = 2 + 3[8 − (−7,5)]

𝐵 = 2 + 3[8 + 7,5]

𝐵 = 2 + 3 × 15,5

𝐵 = 2 + 46,5

𝐵 = 48,5

21. ariketa . Azpiko zenbakiak kalulatu :

𝐴 = 3(8 − 3)2 𝐵 = (5 − 3)(2+1)3

9

aterabidea :

𝐴 = 3(8 − 3)2

𝐴 = 3 × 52

𝐴 = 3 × 25

𝐴 = 75

𝐵 = (5 − 3)(2 + 1)3

9

𝐵 = 2 ×33

9

𝐵 = 2 ×27

9

𝐵 = 2 × 3

𝐵 = 6

4.

20

Batura : a eta b zenbaki erlatiboen batura 𝒂 + 𝒃 zenbakia notatua da.

a eta b zeinu berdina baldin badute, orduan 𝒂 + 𝒃 zenbakiaren zeinua a eta b-rena da. 𝒂 + 𝒃 zenbakiaren zerotik distantzia a eta b-ren arteko zerotik distantzien batura da.

(+𝟓) + (+𝟖) = + (𝟓 + 𝟖) = +𝟏𝟑 (−𝟓) + (−𝟖) = − (𝟓 + 𝟖) = −𝟏𝟑

a eta b ez baldin badute zeinu berdina, orduan 𝒂 + 𝒃 zenbakiaren ikurra, zerotik distantzia handiena duen zenbakiaren ikurra da 𝒂 + 𝒃 zenbakiaren zerotik distantzia a eta b-ren arteko zerotik distantzien kendura da

(+𝟓) + ( −𝟖 ) = − (𝟖 − 𝟓) = − 𝟑 ( −𝟏𝟐 ) + (+𝟏𝟓) = +(𝟏𝟓 − 𝟏𝟐) = + 𝟑

Batuketaren propietateak Batuketa trukakorra da. 𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂 4 + (−5 ) = − 5 + 4 Batuketa elkarkorra da. (𝒂 + 𝒃) + 𝒄 = 𝒂 + (𝒃 + 𝒄) −8 + [(−5 ) + 7] = [ −8 + (−5 ) ] + 7 𝒃 𝒛𝒆𝒏𝒃𝒂𝒌𝒊𝒂𝒓𝒆𝒏 𝒂𝒖𝒓𝒌𝒂𝒌𝒐𝒂 (−𝒃)𝒅𝒂 Bi zenbaki aurkakoen batura nulua da. 𝒃 + (−𝒃) = (−𝒃) + 𝒃 = 𝟎 8 + (− 8) = − 8 + 8 = 0

36.PRO A zenbakiari b zenbakia kentzeko, a zenbakiari b zenbakiaren aurkakoa gehitu

behar da 𝒂 − 𝒃 = 𝒂 + (−𝒃)

22. ariketa Ondoko zenbakiak kalkulatu :

𝐴 = 5 − (−4) 𝐵 = −10 − 5 𝐶 = 15 − 20

Aterabidea

𝐴 = 5 − (−4)

𝐴 = 5 + 4

𝐴 = 9

𝐵 = −10 − 5

𝐵 = −10 + (−5)

𝐵 = −15

𝐶 = 15 − 20

𝐶 = 15 + (−20)

𝐶 = −5

37.PRO Zeinu berdineko bi zenbakien biderkadura positiboa da.

Zeinu ezberdineko bi zenbakien biderkadura negatiboa da.

23. ariketa Ondoko zenbakiak kalkulatu :

𝐴 = 5 × (−4) 𝐵 = −2,5 × (−5) 𝐶 = −5 × (−3) × (−2)

Aterabidea :

𝐴 = 5 × (−4)

𝐴 = −20

𝐵 = −2,5 × (−5)

𝐵 = 12,5

𝐶 = −5 × (−3) × (−2)

𝐶 = 15 × (−2)

𝐶 = −30

4.

21

38.PRO Bi zatiki gehitzeko izendatzaile berdinean ezartzen dira :

24. ariketa . Ondoko zenbakiak kalkulatu :

𝐴 = 2 −5

2−

13

4 𝐵 =

5

6+

7

4

Aterabidea :

𝐴 = 2 −5

2−

13

4

𝐴 =8

4−

10

4−

13

4

𝐴 =8 − 10 − 13

4

𝐴 =−15

4

𝐵 =5

6+

7

4

𝐵 =5 × 2

6 × 2+

7 × 3

4 × 3

𝐵 =10

12+

21

12

𝐵 =31

12

39.PRO Bi zatiki biderkatzeko zenbakitzaileak biderkatzen dira zatitzaileak ere.

25. ariketa . Ondoko zenbakiak kalkulatu : 𝐴 =5

3×

2

7 𝐵 = 3 ×

6

5 𝐶 =

30

18×

20

25

Aterabidea

𝐴 =5

3×

2

7

𝐴 =5 × 2

3 × 7

𝐴 =10

21

𝐵 = 3 ×6

5

𝐵 =3 × 6

5

𝐵 =18

5

𝐶 =30

18×

20

25

𝐶 =6 × 5

6 × 3×

5 × 4

5 × 5

𝐶 =4

3

40.PRO Zatiki batez zatitzeko alderantzizkoaz biderkatu behar da.

26. ariketa . Ondoko zenbakiak kalkulatu : 𝐴 =5

3÷

2

7 𝐵 =

5 2

3

𝐶 =13

5÷ 4

Aterabidea

𝐴 =5

3÷

2

7

𝐴 =5

3×

7

2

𝐴 =35

6

𝐵 = 5

23

𝐵 = 5 ×3

2

𝐵 =15

2

𝐶 =13

5÷ 4

𝐶 =13

5×

1

4

𝐶 =13

20

4.

4.

4.

a c a c

b d b d

=

a k a

kb b

=

22

5 × 5 × 5 × 5 = 54 bost ber lau irakurtzen da.

𝑎 𝑒𝑑𝑜𝑧𝑒𝑖𝑛 𝑧𝑒𝑛𝑏𝑎𝑘𝑖 𝑖𝑧𝑎𝑛𝑒𝑧 (𝑧𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑧𝑖𝑘) 𝑎5 = 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × 𝑎1

7×7×7×7×7= 7−5 ;

𝑎−4 =1

𝑎×𝑎×𝑎×𝑎 80 = 1 𝑎0 = 1 51 = 5 𝑎0 = 1

41.PRO 𝑎𝑚 × 𝑎𝑝 = 𝑎𝑚+𝑝

53 × 54 = 53+4 = 57

42.PRO 𝑎𝑚

𝑎𝑝= 𝑎𝑚−𝑝

64

67= 64−7 = 6−3

43.PRO (𝑎𝑚)𝑝 = 𝑎𝑚×𝑝

(34)2 = 34×2 = 38

27. ariketa Ondoko zenbakien kalkulatu :𝐴 = 75 × 7−3 𝐵 =9−4

93 𝐶 =

(52)−3

5−2

Aterabidea :

𝐴 = 75 × 7−3

𝐴 = 75−3

𝐴 = 72

𝐵 =9−4

93

𝐵 = 9−4−3

𝐵 = 9−7

𝐶 =(52)

−3

5−2

𝐶 =5−6

5−2

𝐶 = 5−6−(−2)

𝐶 = 5−4

Zenbaki baten idazkera zientifikoa hala da : 𝑎 × 10𝑛, 1 ≤ 𝑎 < 10

Adibidez : 25400 = 2,54 × 104 0,082 = 8,2 × 10−2

28. ariketa Ondoko zenbakien idazkera zientifikoa eman :

𝐴 = 3,2 × 103 × 4 × 10−5 𝐵 =5×10−2×4×103

8×10−5

Aterabidea

𝐴 = 3,2 × 103 × 4 × 10−5

𝐴 = 3,2 × 4 × 103 × 10−5

𝐴 = 12,8 × 103−5

𝐴 = 1,28 × 10 × 10−2

𝐴 = 1,28 × 101 × 10−2

𝐴 = 1,28 × 101−2

𝐴 = 1,28 × 10−1

𝐵 =5 × 10−2 × 4 × 103

8 × 10−5

𝐵 =5 × 4

8× 10−2+3−5

𝐵 = 2,5 × 10−4

29. ariketa Eguzkitik hurbilena den izarra Centauri 𝛼 da, 4 argi urtetarat dago.

Jakinez argiaren abiadura 300 000 𝑘𝑚. 𝑠−1 da.

Eguzkia eta Centauri 𝛼-ren arteko distanziaren idazkera zientifikoa km-tan ean

Aterabidea

Bi izarren arteko distantzia d dei dezagun.

𝑑 = 𝑎𝑏𝑖𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 × 𝑑𝑒𝑛𝑏𝑜𝑟𝑎

𝑑 ≃ 300 000 𝑘𝑚 × 𝑠−1 × 4 × 365 × 24× 3600 𝑠

𝑑 ≃ 3,8 × 1013

4.

4.

23

𝑎 zenbaki positiboa izanez 𝑏 = √𝑎 zenbakia (a-ren errokarratua irakurtzen da) zenbaki positiboa da nun 𝑏2 = 𝑎.

Badugu (√𝑎)2

= 𝑎

Adibidez 42 = 16 orduan 4 = ඥ16 eta badugu (ඥ16)2

= 16

Gogoz ezagutu behar dena

ඥ0 = 0 ඥ1 = 1 ඥ4 = 2 ඥ9 = 3 ඥ16 = 4 ඥ25 = 5 ඥ36 = 6 ඥ49 = 7

ඥ64 = 8 ඥ81 = 9 ඥ100 = 10 ඥ121 = 11 ඥ144 = 12 ඥ169 = 13 ඥ196 = 14 ඥ225 = 15

44.PRO Kasu

Erroaren azpian dagoen zenbakia positiboa izan behar da.

Zenbaki baten errokarratua beti positiboa da.

30. ariketa

2

2

2 5 0 ekuazioa idatz daiteke

5

Bi soluzio ditu: - 5 eta 5

5 0 ekuazioa ebatzi.x Aterabi

x

x

dea

=

=

−

−

=

31. ariketa :

𝑂𝑛𝑑𝑜𝑘𝑜 𝑏𝑖 𝑧𝑒𝑛𝑏𝑎𝑘𝑖 𝑘𝑜𝑛𝑝𝑎𝑟𝑎𝑡𝑢 𝐴 = 3 +7

3 𝑒𝑡𝑎 𝐵 =

33

6

Aterabidea

𝐴 = 3 +7

3=

9

3+

7

3=

16

3=

32

16 𝐵 =

33

16 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑧 𝐵 > 𝐴

32. ariketa

𝑂𝑛𝑑𝑜𝑘𝑜 𝑏𝑖 𝑧𝑒𝑛𝑏𝑎𝑘𝑖𝑎𝑘 𝑘𝑜𝑛𝑝𝑎𝑟𝑎𝑡𝑢: 𝐶 = 2 310 𝐷 = 2,31 × 104

Aterabidea

𝐶 = 2,31 × 1000 = 2,31 × 103 𝐷 = 2,31 × 104 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑧 𝐷 > 𝐶

4.

24

k×a=ka k÷a = 𝑘

𝑎 k× (𝑎 + 𝑏)=k(𝑎 + 𝑏) 3×a=3a bainan a×3≠ 𝑎3

5a(2a+(-3))=5a(2a-3)

Garatu=Biderkadura batura bilakatu

45.PRO 𝐁𝐚𝐧𝐚𝐤𝐨𝐫𝐭𝐚𝐬𝐮𝐧𝐚 : Biderketa banakortasuna dira gehiketa eta kenketarekiko

𝑘(𝑎 + 𝑏) = 𝑘𝑎 + 𝑘𝑏 𝑘(𝑎 − 𝑏) = 𝑘𝑎 − 𝑘𝑏

34. ariketa Azpiko esprezioak garatu eta laburtu

𝐴 = 3(2𝑥 + 3) 𝐵 = 4𝑥(−3𝑥 + 5) 𝐶 = −2𝑥(𝑥 − 4)

Aterabidea

𝐴 = 3(2𝑥 + 3) 𝐴 = 3 × 2𝑥 + 3 × 3 𝐴 = 6𝑥 + 9

𝐵 = 4𝑥(−3𝑥 + 5) 𝐵 = 4𝑥 × (−3𝑥) + 4𝑥 × 5 𝐵 = −12𝑥2 + 20𝑥

𝐶 = −2𝑥(𝑥 − 4)

𝐶 = −2𝑥(𝑥 + (−4))

𝐶 = −2𝑥 × 𝑥 + (−2𝑥) × (−4) 𝐶 = −2𝑥2 + 8𝑥

46.PRO (𝑎 + 𝑏)(𝑐 + 𝑑) = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑑

35. ariketa Azpiko esprezioak garatu eta laburtu

𝐷 = (3𝑥 + 5)(2𝑥 + 3) 𝐸 = (−4𝑥 + 2)(−3𝑥 + 5) 𝐹 = (𝑥 − 2𝑥)(−7𝑥 − 4)

Aterabidea𝐷 = (3𝑥 + 5)(2𝑥 + 3)

𝐷 = 3𝑥 × 2𝑥 + 3𝑥 × 3 + 5 × 2𝑥 + 5 × 3 𝐷 = 6𝑥2 + 9𝑥 + 10𝑥 + 15 𝐷 = 6𝑥2 + 19𝑥 + 15

𝐸 = (−4𝑥 + 2)(−3𝑥 + 5) 𝐸 = −4𝑥 × (−3𝑥) + (−4𝑥) × 5 + 2 × (−3𝑥) + 2 × 5 𝐸 = 12𝑥2 − 20𝑥 − 6𝑥 + 10 𝐸 = 12𝑥2 − 26𝑥 + 10

𝐹 = (𝑥 − 2)(−7𝑥 − 4) 𝐹 = (𝑥 + (−2))(−7𝑥 + (−4)) 𝐹 = 𝑥 × (−7𝑥) + 𝑥 × (−4) + (−2) × (−7𝑥) + (−2) × (−4) 𝐹 = −7𝑥2 − 4𝑥 + 14𝑥 + 8 𝐹 = −7𝑥2 + 10𝑥 + 8

47.PRO (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2

36. ariketa I eta J garatu. K kalkulatu.

𝐼 = (4𝑥 − 1)(4𝑥 + 1) 𝐽 = (−5𝑥 + √6)2

𝐾 = (√5 − 3)(√5 + 3)- Aterabidea 𝐼 = (4𝑥 − 1)(4𝑥 + 1) 𝐼 = (4𝑥)2 − (1)2 𝐼 = 16𝑥2 − 1

𝐽 = (−5𝑥 + √6)2

𝐽 = (−5𝑥)2 + 2 × (−5𝑥) × √6 + √62

𝐽 = 25𝑥2 − 10𝑥√6 + 6

𝐾 = (√5 − 3)(√5 + 3)

𝐾 = (√5)2

− (3)2 𝐾 = 5 − 9 𝐾 = −4

4.

4.

4.

3.

25

Faktorizatu=Batura biderkadura bilakatu

48.PRO 𝑘𝑎 + 𝑘𝑏 = 𝑘(𝑎 + 𝑏) 𝑘𝑎 − 𝑘𝑏 = 𝑘(𝑎 − 𝑏)

37. ariketa Azpiko esprezioak faktorizatu

𝐴 = 5𝑥2 + 3𝑥 𝐵 = 3𝑎2 − 2𝑎 𝐶 = 2(𝑥 − 4) − (𝑥 − 4)2 Aterabidea:𝐴 = 5𝑥2 + 3𝑥 𝐴 = 5𝑥 × 𝑥 + 3 × 𝑥 𝐴 = 𝑥 × (5𝑥 + 3) 𝐴 = 𝑥(5𝑥 + 3)

𝐵 = 3𝑎2 − 2𝑎 𝐵 = 3𝑎 × 𝑎 − 2 × 𝑎 𝐵 = 𝑎 × (3𝑎 − 2) 𝐵 = 𝑎(3𝑎 − 2)

𝐶 = 2(𝑥 − 4) − (𝑥 − 4)2 𝐶 = 2(𝑥 − 4) − (𝑥 − 4)(𝑥 − 4) 𝐶 = (𝑥 − 4)(2 − (𝑥 − 4)) 𝐶 = (𝑥 − 4)(2 − 𝑥 + 4) 𝐶 = (𝑥 − 4)(−𝑥 + 6)

49.PRO 𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)

38. ariketa Azpiko esprezioak faktorizatu

𝐷 = 9𝑥2 − 16 𝐸 = (𝑥 + 1)2 − 9 𝐹 = 49𝑥2 − 5 Aterabidea:𝐷 = 9𝑥2 − 16 𝐷 = (3𝑥)2 − 42 𝐷 = (3𝑥 + 4)(3𝑥 − 4)

𝐸 = (𝑥 + 1)2 − 9 𝐸 = (𝑥 + 1)2 − 32 𝐸 = (𝑥 + 1 − 3)(𝑥 + 1 + 3) 𝐸 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 4)

𝐷 = 49𝑥2 − 5

𝐷 = (7𝑥)2 − √52

𝐷 = (7𝑥 + √5)(7𝑥 − √5)

39. ariketa

Horra berdintza bat 5𝑥 + 3 = 2𝑥 − 4, 𝑥 aldagaia izanez (𝑥-ren balioa ez da finkatua)

Erran berdintza hau egia den 𝑥 = 2 delarik, 𝑥 =−7

3

Aterabidea

𝑥 = 2 𝑑𝑒𝑙𝑎𝑟𝑖𝑘

5𝑥 + 3 = 5 × 2 + 3 = 10+3=13

2𝑥 − 4 = 2 × 2 − 4 = 4 − 4 = 0

Beraz 𝑥 = 2 delarik 5𝑥 + 3 = 2𝑥 − 4 berdintza ez da egia

𝑥 =−7

3 𝑑𝑒𝑙𝑎𝑟𝑖𝑘

5𝑥 + 3 = 5 ×−7

3+ 3 =

−35

3+ 3 =

−35

3+

9

3=

−26

3

2𝑥 − 4 = 2 ×−7

3− 4 =

−14

3−

12

3=

−26

3

Beraz 𝑥 =−7

3 delarik 5𝑥 + 3 = 2𝑥 − 4 berdintza egia da.

4.

3.

26

7𝑥 + 3 = 2𝑥 − 4 berdintza kontsideratzen badugu

Berdintza egiaztatzen duen 𝑥-ren balioa 75𝑥 + 3 = 2𝑥 − 4 ekuazio ebaztea da.

40. ariketa 7𝑥 + 3 = 2𝑥 − 4 ekuazioa ebatzi.

Metodoa :

1. Ezezaguna atal bakar batean agerrarazi :5𝑥 + 3 = −4

2. Programa idatzi (edo buruan argitu)

3. Alderantzizko programa idatzi (edo buruan pentsatu)

Aterabidea:

7𝑥 + 3 = 2𝑥 − 4

7𝑥 − 2𝑥 + 3 = 2𝑥 − 2𝑥 − 4

5𝑥 + 3 = −4

5𝑥 + 3 − 3 = −4 − 3

5𝑥 = −7

5𝑥

5=

−7

5

𝑥 =−7

5

41. ariketa Ondoko irudian M, [BC]-ren puntua da.

ABM eta MCD hirukiak B eta C puntuetan zuzenak dira. Nun kokatu M, A-tik eta D-tik distantzia kidea izan dadin. Aterabidea : 𝑀 − 𝑟𝑒𝑛 𝑘𝑜𝑘𝑎𝑝𝑒𝑛𝑎 𝐵𝑀 = 𝑥 − 𝑟𝑒𝑛 𝑏𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑧𝑒ℎ𝑎𝑧𝑡𝑢𝑘𝑜 𝑑𝑢𝑔𝑢.

𝐴𝐵𝑀 ℎ𝑖𝑟𝑢𝑘𝑖𝑎 𝑧𝑢𝑧𝑒𝑛𝑎 𝑑𝑎 𝐵 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑢𝑎𝑛 𝐵𝑒𝑟𝑎𝑧 𝑃𝑖𝑡𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎𝑟𝑒𝑛 𝑎𝑟𝑎𝑏𝑒𝑟𝑎:

𝐴𝑀2 = 𝐵𝑀2 + 𝐴𝐵2 𝐴𝑀2 = 𝑥2 + 32

𝐷𝑀𝐶 ℎ𝑖𝑟𝑢𝑘𝑖𝑎 𝑧𝑢𝑧𝑒𝑛𝑎 𝑑𝑎 𝐶 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑢𝑎𝑛 𝐵𝑒𝑟𝑎𝑧 𝑃𝑖𝑡𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎𝑟𝑒𝑛 𝑎𝑟𝑎𝑏𝑒𝑟𝑎:

𝐷𝑀2 = 𝐶𝑀2 + 𝐷𝐶2 𝐷𝑀2 = (5 − 𝑥)2 + 42

𝐷𝑢𝑔𝑢𝑛 ℎ𝑒𝑙𝑏𝑢𝑟𝑢𝑎 𝑑𝑎: 𝐴𝑀 = 𝐷𝑀 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑧 𝐴𝑀2 = 𝐷𝑀2 𝑥2 + 32 = (5 − 𝑥)2 + 42 𝑥2 + 9 = (5 − 𝑥)(5 − 𝑥) + 16 𝑥2 + 9 = 25 − 5𝑥 − 5𝑥 + 𝑥2 + 16 9 = 25 − 10𝑥 + 16 9 − 9 + 10𝑥 = −9 + 25 − 10𝑥 + 10𝑥 + 16 10𝑥 = −9 + 25 + 16 10𝑥 = 32 𝑥 = 3,2

50.PRO Biderkadura bat nuloa da biderkagai bat nuloa delarik

42. ariketa (2𝑥 + 6)(5𝑥 − 25) = 0 ekuazioa ebatzi

Aterabidea Biderkadura bat nuloa da biderkagai bat nuloa delarik. (2𝑥 + 6)(5𝑥 − 25) = 0 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑧 (2𝑥 + 6) = 0 𝑒𝑑𝑜(5𝑥 − 25) = 0

𝑥 = −3 𝑒𝑑𝑜 𝑥 = 5

𝐸𝑘𝑢𝑎𝑧𝑖𝑜𝑎𝑟𝑒𝑛 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑧𝑖𝑜𝑎𝑘 𝑑𝑖𝑟𝑎 − 3 𝑒𝑡𝑎 5

𝑥

−4

× 5

+3 −𝟑

÷ 𝟓

4.

C M

D

A

B

4

3

x 5

27

Demagun A eta B bi magnitudeak lotuak direnak .

A magnitudearen balioak zenbaki batez biderkatuz B magnitudearen dakokien balioak

lortzen bada orduan proportzionaltasun lotura dago bi magnitudeen artean :

Biderkatzailea proportzionaltasunezko koefizientea deitzen da.

Adibidez : Puntu batetik trein bat 120 km/h abiaduraz ibiltzen da.

Puntu hortatik pasatuz gero, denbora eta distantzia magnitudeak azter dezagun.

Denbora(orenentan) 0,5 1 1,5 2 2,25

Distantzia (km-tan) 60 120 180 240 𝑥

𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑡𝑧𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑡𝑎𝑠𝑢𝑛 𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑧𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑎 𝑘 =𝑎𝑧𝑝𝑖𝑘𝑜𝑎

𝑔𝑎𝑖𝑛𝑒𝑘𝑜𝑎=

60

0,5=

120

1=

180

1,5=

240

2=

𝑥

2,25

Ezagutzen ez den balioa kalkulatzeko azpiko teknka erabil daiteke.

Adibidez 60

0,5=

𝑥

2,25 berdintzatik lortzen dugu 𝑥 =

60×2,25

0,5= 270

Proportzionaltasunezko egoera bat grafikoki irudikatzen delarik puntuak lerrokatuak dira

jatorrizko puntuarekin.

d distantzia t denboraren arabera aldatzen da, 𝑑(𝑡) = 𝑘 × 𝑡 𝑑 funtzioa lineala da

× 2

× 2

× 3

× 3

× 𝑘

𝑎 =𝑐 × 𝑏

𝑑

𝑐 =𝑎 × 𝑑

𝑏

𝑏 =𝑎 × 𝑑

𝑐

𝑑 =𝑏 × 𝑐

𝑎

𝑑(𝑘𝑚)

𝑡(ℎ) 𝑂

100

200

1 2 3

a c

b d

Jatorrizko

puntua

3.

4.

28

43. ariketa

𝑬𝒉𝒖𝒏𝒆𝒌𝒐𝒂 𝒃𝒊𝒍𝒂𝒕𝒖

𝐼𝑘𝑎𝑠𝑡𝑒𝑔𝑖 𝑏𝑎𝑡𝑒𝑎𝑛 500 𝑖𝑘𝑎𝑠𝑙𝑒 𝑑𝑎𝑢𝑑𝑒.

300 𝑚𝑢𝑡𝑡𝑖𝑘𝑜 𝑑𝑎𝑢𝑑𝑒.

𝑍𝑒𝑟 𝑑𝑎 𝑚𝑢𝑡𝑡𝑖𝑘𝑜𝑒𝑛 𝑒ℎ𝑢𝑛𝑒𝑘𝑜𝑎 ?

Aterabidea % Ikasle kopurua 500 100 Muttikoen kopurua

300 𝑥

𝑥 =300 × 100

500=

300

5= 60

𝐼𝑘𝑎𝑠𝑡𝑒𝑔𝑖 ℎ𝑜𝑛𝑒𝑡𝑎𝑛 %60− 𝑎𝑘

𝑚𝑢𝑡𝑡𝑖𝑘𝑜𝑎𝑘 𝑑𝑖𝑟𝑎

44. ariketa

𝑷𝒓𝒆𝒛𝒊𝒐 𝒃𝒆𝒓𝒓𝒊𝒂 𝒃𝒊𝒍𝒂𝒕𝒖

𝐷𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑡𝑒𝑎𝑛 𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑏𝑎𝑡𝑒𝑛 𝑝𝑟𝑒𝑧𝑖𝑜𝑎 60€ 𝑑𝑎.

𝑆𝑎𝑙𝑡𝑧𝑎𝑖𝑙𝑒𝑎𝑘 𝑝𝑟𝑒𝑧𝑖𝑜𝑎 𝑡𝑥𝑖𝑘𝑖𝑡𝑧𝑒𝑛 𝑑𝑢 %20 − 𝑒𝑧.

𝑍𝑒𝑟 𝑑𝑎 𝑎𝑡𝑜𝑟𝑟𝑎𝑟𝑒𝑛 𝑝𝑟𝑒𝑧𝑖𝑜 𝑏𝑒𝑟𝑟𝑖𝑎 ?

𝐴𝑡𝑒𝑟𝑎𝑏𝑖𝑑𝑒𝑎

% Lehengo prezioa (€)

100 60

Prezio berria (€)

100-20=80

𝐵

𝐵 =80 × 60

100= 8 × 6 = 48

𝐴𝑡𝑜𝑟𝑟𝑎𝑟𝑒𝑛 𝑝𝑟𝑒𝑧𝑖𝑜 𝑏𝑒𝑟𝑟𝑖𝑎 48€ 𝑑𝑎

45. ariketa

𝑰𝒔𝒖𝒓𝒕𝒛𝒆𝒂

𝑋𝑖𝑚𝑢𝑛𝑒𝑛 𝑘𝑜𝑚𝑢𝑛𝑒𝑡𝑎𝑛 𝑢𝑟𝑎 𝑔𝑎𝑙𝑡𝑧𝑒𝑛 𝑑𝑎: 15 𝑑𝐿, 3 𝑜𝑟𝑒𝑛𝑒𝑧.

1°) 𝑍𝑒𝑛𝑏𝑎𝑡 𝑢𝑟 𝑔𝑎𝑙𝑡𝑧𝑒𝑛 𝑑𝑎 𝑎𝑠𝑡𝑒 𝑏𝑎𝑡𝑒𝑧?

2°) 𝑈𝑟 1𝑚3 − 𝑒𝑘 5,20 € 𝑏𝑎𝑙𝑖𝑜 𝑑𝑢 𝐼𝑠𝑢𝑟𝑡𝑧𝑒 ℎ𝑎𝑢 𝑒𝑧 𝑏𝑎𝑑𝑎 𝑘𝑜𝑛𝑝𝑜𝑡𝑧𝑒𝑛 ,

𝑢𝑟𝑡𝑒 𝑏𝑎𝑡𝑒𝑧 𝑧𝑒𝑛𝑏𝑎𝑡 𝑘𝑜𝑠𝑡𝑎𝑡𝑢𝑘𝑜 𝑧𝑎𝑖𝑜𝑎 𝑋𝑖𝑚𝑢𝑛𝑖?

Aterabidea

1°)

15dL = 15 × 0,1 × 1 d𝐿 = 1,5 𝐿

% Denbora (orenez) 3 7 × 24 Galdutako bolumena (L)

1,5 𝐴

𝐴 =7 × 24 × 1,5

3= 84

𝐴𝑠𝑡𝑒 𝑏𝑎𝑡𝑒𝑧 84 𝐿 𝑔𝑎𝑙𝑡𝑧𝑒𝑛 𝑑𝑎 2°)

84𝐿 = 0,084 𝑚3

Urte batez Ximuni kostatuko zaiona : K

𝐾 = 0,084 𝑚3 × 52 × 5,20€

𝑚3= 22,714 €

𝑈𝑟𝑡𝑒 𝑏𝑎𝑡𝑒𝑧 22,714 € 𝑘𝑜𝑠𝑡𝑎𝑡𝑢𝑘𝑜 𝑧𝑎𝑖𝑜

29

Demagun ABCD lauki zuzena. AB= 3cm bainan BC-ren balioa ez da finkatua BC=𝑥.

Kontsideratzen dugu lauki zuzenaren azalera :

𝑎𝑧𝑎𝑙𝑒𝑟𝑎(𝐴𝐵𝐶𝐷) = 𝐴𝐵 × 𝐵𝐶

𝑎𝑧𝑎𝑙𝑒𝑟𝑎(𝐴𝐵𝐶𝐷) = 3𝑥

𝑎𝑧𝑎𝑙𝑒𝑟𝑎(𝐴𝐵𝐶𝐷), 𝑥-ren arabera aldatzen da.

𝑎𝑖𝑟𝑒(𝐴𝐵𝐶𝐷) varie en fonction de 𝑥

Idatziko dugu 𝑎𝑧𝑎𝑙𝑒𝑟𝑎(𝐴𝐵𝐶𝐷) = 𝒇(𝑥) = 3𝑥

Idatziko dugu 𝑎𝑧𝑎𝑙𝑒𝑟𝑎(𝐴𝐵𝐶𝐷) = 𝒇(𝑥) = 3𝑥. ∎ ,f izena duen funtzio bat definitu dugu. Funtzio honek 𝑥 eta 𝑎𝑧𝑎𝑙𝑒𝑟𝑎(𝐴𝐵𝐶𝐷)-ren arteko lotura adierazten du.

𝑥 = 2 𝑑𝑒𝑙𝑎𝑟𝑖𝑘 𝑎𝑧𝑎𝑙𝑒𝑟𝑎(𝐴𝐵𝐶𝐷) = 3 × 2 = 6

idazten da 𝑓(2) = 6

ber gisan badugu ere :

𝑓(0) = 2 × 0 = 0 ; 𝑓(3) = 3 × 3 = 9 ; 𝑓(1) = 3 × 1 = 3 ; 𝑓(5) = 3 × 5 = 15

Erran dezakegu : ∎ 2 𝑓-ren bidezko 6-ren aurrekaria da. (2 est l’antécédent de 6 par 𝑓)

Orokorki : 𝑥, 𝑓(𝑥)-ren aurrekari bat da. ∎ 6 𝑓-ren bidezko 2-ren irudia da. (6 est l’image de 2 par f) Orokorki : 𝑓(𝑥), 𝑓-ren bidezko 𝑥-ren irudia da.

Informazio horiek balio taula batez aurkez daiteke :

𝑥 (aurrekaria) 0 1 2 3 5

𝑓(𝑥) (irudia) 0 3 6 9 15

:

𝑓-ren bidez :1 zenbakiaren irudia 5 zenbakia da, 3 zenbakia 15 zenbakiaren aurrekaria da.

Informazio horrek grafiko batez irudika daiteke ; irudikapen grafikoa

3.

A B

C D

A B

C D

𝑥 1 2 3 4 5

𝑓(𝑥)

5

10

15

O

30

Funtzio batek egoera proportzionala deskribatzen duelarik lineala dela erraten zaio.

51.PRO Funtzio lineala baten esprezio algebrikoa halakoa da :

𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 ( 𝑎 proportzionaltasun koefizientea izanez)

Aintzineko orrialdean aztertua den funtzioa linela da : 𝑓(𝑥) = 3𝑥 proportzionaltasun

koefizientea 3 da.

52.PRO Funtzio lineala baten irudikapen grafikoa jatorrizko puntutik pasatzen den

zuzen bat da.

53.PRO Funtzi afina baten esprezio algebrikoa halakoa da :

𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃 𝑎 𝑒𝑡𝑎 𝑏 𝑏𝑖 𝑧𝑒𝑛𝑏𝑎𝑘𝑖 𝑒𝑟𝑟𝑒𝑎𝑙𝑎𝑘 𝑖𝑧𝑎𝑛𝑒𝑧.

Bere irudikapen grafikoa zuzen bat da. Adibidez : azter dezagun ondoko laukizuzenaren azalera 𝐴(𝑥) (m²-tan): 𝐴(𝑥) = 4(𝑥 + 5) 𝐴(𝑥) = 4𝑥 + 20 𝑎𝑥 + 𝑏 modukoa da beraz A funtzioa afina da : 𝑎 = 4 eta 𝑏 = 20

𝑥 0 1 2 4 5

𝐴(𝑥) 20 24 28 36 40

x 4 5

4 𝑚

5 𝑚 𝑥 𝑚

A(x)

20

+8

+2

x-ren koefizientea

zuzenaren maldari lotua da: Hemen a=4 positiboa da. Zuzena gora doa

𝑎 =+8

+2= 4

2 3 0 1 x 4 5

40

31

46. ariketa

Kutxa paralelepipedikoa eraikitzeko badugu 40cm aldedun metalezko karratu bat .

Hortarako lau erpin bakoitzean 𝑥 aldedun karratu bat kentzen da 1. 𝑍𝑒𝑟 𝑏𝑎𝑙𝑖𝑜 ℎ𝑎𝑟 𝑑𝑖𝑡𝑧𝑎𝑧𝑘𝑒 𝑥 − 𝑘 2. 𝑍𝑒𝑟 𝑑𝑎 𝑘𝑢𝑡𝑥𝑎𝑟𝑒𝑛 𝑏𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝑎 𝑥 = 5𝑐𝑚 𝑑𝑒𝑙𝑎𝑟𝑖𝑘.

3. 𝐴𝑧𝑝𝑖𝑘𝑜 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑘𝑜𝑎𝑘 𝑥 − 𝑟𝑒𝑛 𝑎𝑟𝑎𝑏𝑒𝑟𝑎 𝑘𝑢𝑡𝑥𝑎𝑟𝑒𝑛 𝑏𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝑎 𝑒𝑚𝑎𝑡𝑒𝑛 𝑑𝑢. 𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑘𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑟𝑖 𝑒𝑠𝑘𝑒𝑟 𝑎𝑧𝑝𝑖𝑘𝑜 𝑔𝑎𝑙𝑑𝑒𝑟𝑒𝑖 𝑒𝑟𝑎𝑛𝑡𝑧𝑢𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑎. 𝑎. 𝑥 − 𝑟𝑒𝑛 𝑧𝑒𝑟 𝑏𝑎𝑙𝑖𝑜𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑧𝑎𝑡 𝑏𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝑎 ℎ𝑎𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑎𝑖𝑧𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑎? 𝑏. 2000 𝑐𝑚3 − 𝑘𝑜 𝑘𝑢𝑡𝑥𝑎 𝑏𝑎𝑡 𝑛𝑎ℎ𝑖 𝑑𝑢𝑔𝑢. 𝑍𝑒𝑟 𝑑𝑖𝑟𝑎 𝑖𝑧𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑖𝑡𝑒𝑧𝑘𝑒𝑛 𝑥 − 𝑟𝑒𝑛 𝑏𝑎𝑙𝑖𝑜𝑎𝑘 ?

4. 𝐷𝑒𝑚𝑎𝑔𝑢𝑛 𝑓 𝑓𝑢𝑛𝑧𝑖𝑜𝑎 𝑘𝑢𝑡𝑎𝑥𝑎𝑟𝑒𝑛 𝑏𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝑎 𝑒𝑚𝑎𝑡𝑒𝑛 𝑑𝑢𝑒𝑛𝑎 𝑥 − 𝑟𝑒𝑛 𝑎𝑟𝑎𝑏𝑒𝑟𝑎. 𝑓 𝑓𝑢𝑛𝑡𝑧𝑖𝑜𝑎𝑟𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑝𝑟𝑒𝑧𝑖𝑜 𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎𝑖𝑘𝑜𝑎 𝑒𝑚𝑎𝑛

Aterabidea:

1. 𝐺𝑢𝑡𝑥𝑖𝑒𝑛𝑖𝑘 𝑥 𝑧𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑧𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑖𝑡𝑒𝑘𝑒, 𝑔𝑒ℎ𝑖𝑒𝑛𝑖𝑘 40

2= 20 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑧 0 ≤ 𝑥 ≤ 20

2. 𝐵𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝑎 = 𝑜𝑖𝑛𝑎𝑟𝑟𝑖𝑎𝑟𝑒𝑛 𝑎𝑧𝑎𝑙𝑒𝑟𝑎 × 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑒𝑟𝑎 𝑥=5 delarik Bolumena=(40𝑐𝑚 − 2 × 5𝑐𝑚)2 × 5𝑐𝑚 = (30𝑐𝑚)2 × 5𝑐𝑚

𝐵𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝑎 = 4750 𝑐𝑚3 3.

𝑎. 𝐾𝑢𝑡𝑥𝑎𝑟𝑒𝑛 𝑏𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝑎 ℎ𝑎𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑎 𝑑𝑎 𝑥 = 6,5 𝑑𝑒𝑙𝑎𝑟𝑖𝑘.

𝑏. 𝐾𝑢𝑡𝑥𝑎𝑟𝑒𝑛 𝑏𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝑎 2000 𝑐𝑚3 𝑖𝑧𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑑𝑖𝑛

𝑥 = 1,5𝑐𝑚 𝑒𝑑𝑜 = 14𝑐𝑚 𝑖𝑧𝑎𝑛 𝑏𝑒ℎ𝑎𝑟 𝑑𝑎 4. 𝑓(𝑥) = oinarriaren azalera×altuera

𝑓(𝑥) = (40 − 2𝑥)2 × 𝑥

𝑓(𝑥) = [402 − 2 × 40 × 2𝑥 + (2𝑥)2] × 𝑥

𝑓(𝑥) = (1600 − 160𝑥 + 4𝑥2) × 𝑥

𝑓(𝑥) = 1600𝑥 − 160𝑥2 + 4𝑥3

𝑓(𝑥) = 4𝑥3 − 160𝑥2 + 1600𝑥

4750𝑐𝑚3

1,5𝑐𝑚 14𝑐𝑚

32

Ondoko taulak ipar euskal herriko 19 kolegioen ikasle kopurua ematen du.

280 320 150 415 590 174 298 312 450 552

97 417 295 358 425 681 345 236 378

Serie estatistika bat da

Kolegioak seriearen populakuntza da. Kolegio bat kide bat da. Aztertzen den ezaugarria

elementu baten ikasle kopurua da.

Emaitzak sintetisatzeko datu hutsak klaseka aurkez daiteke : <100 100 ≤ 𝑥 < 200 200 ≤ 𝑥 < 300 300 ≤ 𝑥 < 400 400 ≤ 𝑥 < 500 500 ≤ 𝑥 < 600 600 ≤ 𝑥 < 700

Kopurua 1 2 4 5 4 2 1

Kopurua eman ordez maiztasuna eman daiteke

𝑀𝑎𝑖𝑧𝑡𝑎𝑠𝑢𝑛𝑎 =𝑘𝑜𝑝𝑢𝑟𝑢𝑎

𝑘𝑜𝑝𝑢𝑟𝑢 𝑜𝑠𝑜𝑎

Klaseak <100 100 ≤ 𝑥 < 200 200 ≤ 𝑥 < 300 300 ≤ 𝑥 < 400 400 ≤ 𝑥 < 500 500 ≤ 𝑥 < 600 600 ≤ 𝑥 < 700

Maiztasuna 1

19≃ 5,3%

2

19≃ 10,5%

4

19≃ 21,1%

5

19≃ 26,2%

4

19≃ 21,1%

2

19≃ 10,5%

1

19≃ 5,3%

Informazioak sinplifikateko kalkula daitezke :

𝐵𝑎𝑡𝑎𝑧𝑏𝑒𝑠𝑡𝑒𝑎𝑘𝑜𝑎 =𝑘𝑖𝑑𝑒 𝑔𝑢𝑧𝑖𝑒𝑛 𝑏𝑎𝑙𝑖𝑜𝑒𝑛 𝑏𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎

𝑘𝑖𝑑𝑒 𝑘𝑜𝑝𝑢𝑟𝑢𝑎

𝐵 =280 + 320 + 150 + 415 + 590 + 174 + 298 + 312 + 450 + 552 + 97 + 417 + 295 + 358 + 425 + 681 + 345 + 236 + 378

19

𝐵 = 356,47

𝐻𝑒𝑑𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 = 𝑏𝑎𝑙𝑖𝑜 ℎ𝑎𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑎 − 𝑏𝑎𝑙𝑖𝑜 𝑡𝑥𝑖𝑘𝑖𝑒𝑛𝑎

𝐻 = 681 − 97 𝐻 = 584

𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎: 𝑏𝑎𝑙𝑖𝑜𝑎𝑘 𝑡𝑥𝑖𝑘𝑖𝑒𝑛𝑒𝑡𝑖𝑘 ℎ𝑎𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑡 𝑠𝑎𝑖𝑙𝑘𝑎𝑡𝑢𝑧 𝑒𝑟𝑑𝑖𝑘𝑜 𝑏𝑎𝑙𝑖𝑜𝑎 ℎ𝑎𝑟𝑡𝑧𝑒𝑛 𝑑𝑎

97-150-174-236-280-295-298-312-320-345-358-378-415-417-425-450-552-590-681

𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 = 345 Esanahia : kolegio erdien kopurua 345 baino gutxiagoa da.

4.

4.

4.

3.

33

Zenbakituak diren sei aurpegi dituen dado bat botatzen da.

:Sei aterabide (issue) daude :1zenbakia lortzea, 2. Zenbakia lortzea...

Aintzinetik emaitza ezin da asmatu

Aterabide baten probabilitatea baizik kalkula daiteke

Dadoa orekatua baldin bada aterabide bakoitzak gertatzeko ber

xantza du. Ekiprobabilitate kasuan gaude

. 𝐸𝑘𝑖𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑎𝑡𝑒 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑎𝑛

𝐴𝑡𝑒𝑟𝑎𝑏𝑖𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑡𝑒𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑎𝑡𝑒𝑎 =1

𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑏𝑖𝑑𝑒 𝑘𝑜𝑝𝑢𝑟𝑢𝑎

5 lortzeko probabilitatea da : 𝑃(5) =1

6

Gertaera bat da aterabide batzuen multzoa.

𝐺𝑒𝑟𝑡𝑎𝑒𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑡𝑒𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑎𝑡𝑒𝑎 =𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑏𝑖𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑖𝑘𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛 𝑘𝑜𝑝𝑢𝑟𝑢𝑎

𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑏𝑖𝑑𝑒 𝑘𝑜𝑝𝑢𝑟𝑢𝑎

Adibidez kontsidera dezagun zenbaki bikoitia lortzeko probabilitatea. Badiru hiru aterabide

bikoitiak : 2-4-6 𝑃(𝑏𝑖𝑘𝑜𝑖𝑡𝑖𝑎) =3

6=

1

2

54.PRO Ezinezkoa den gertaera baten probabilitatea nuloa da.

𝐷𝑒𝑚𝑎𝑔𝑢𝑛 𝐴 𝑔𝑒𝑟𝑡𝑎𝑒𝑟𝑎: 10 𝑧𝑒𝑛𝑏𝑎𝑘𝑖𝑎 𝑙𝑜𝑟𝑡𝑧𝑒𝑎

𝑃(𝐴) = 0

55.PRO Segur den gertaera baten probabilitatea 1 da.

Demagun B gertaera : zero baino handiagoa den zenbaki bat lortzea

𝑃(𝐵) = 1

Demagun bi gertaerak : B eta C.

Aurkako gertaerak B gertaera gertatzen ez delarik C gertaera gertatzen bada oruan B eta C aurkako gertaerak dira 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) = 1

Adibidez : B gertaera 1 edo 2 lortzea. C gertaera 3 ;4 ;5 edo 6 lortzea.

B eta C aurkako gertaera dira 𝑃(𝐵) =2

6 eta 𝑃(𝐵) =

4

6 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) =

2

6+

4

6=

6

6= 1

3.

34

0-1-2-3-4-5-6….zenbakiak , zenbaki osoen multzoa osatzen dute.

345 gaiztanak 15 jenderen artean zati berdinez banatzen nahi ditugu.

Zatiketa euklidearra bat egiten da zatidura eta hondarra zenbaki arruntak dira.

Zatiketa euklidearra

Beraz bakoitzak 21 gaiztainak izango ditu eta 9 gaiztanak geldituko dira banatuak izan

gabe. Idatz daiteke ere : 345 = 16 × 21 + 9

𝑎 zenbakia, 𝑏 zenbakiaren bidez zatitzen delarik hondarra nulua baldin bada, orduan 𝑎 zenbakia, 𝑏 zenbakiaren bidez zatigarria da. 𝑏, 𝑎 zenbakiaren zatitzaile bat erraten da. a, b zenbakiaren anitzkoitza (multiploa) da.

Adibidez : 𝑎 = 27 𝑏 = 9 27 = 9 × 3 + 0 beraz 27 zenbakiaren zatiketa euklidearra 9-ren bidez hondarra nuloa da, beraz 27, 9-z zatigarria da. 9, 27 zenbakiaren zatitzailea da. 27 zenbakiaren zatitzaileak dira : 1-3-9-27

56.PRO Zatigarritasunezko irizpideak :

Zenbaki baten bateko zifra 0-2-4-6 edo8 baldin bada orduan zenbakia 2-z zatigarria da.

Zenbaki baten bateko zifra 0 edo 5 baldin bada orduan zenbakia 5-z zatigarria da.

Zenbaki baten zifren batura 3-z zatigarria baldin bada orduan zenbakia 3-z zatigarria da.

Zenbaki baten zifren batura 9-z zatigarria baldin bada orduan zenbakia 9-z zatigarria da.

ZENBAKI LEHENAK (Nombres Premiers)

Bi zatitzaile baizik dituen zenbakia LEHENA dela erraten zaio.

13 zenbakiaren zatitzaileak 1 eta 13 dira beraz 12 zenbakia lehena da. 9 zenbakiaren zatitzaileak 1 ;3 eta 9 dira beraz 9 zenbakia ez da lehena Lehen hamar zenbaki lehenak dira : 2-3-5-7-11-13-17-19-29-31… ..

47. ariketa :Azpiko zenbakiak faktore

lehen biderkaduraz

deskonposatu :24 ;56 ;300 Soluzioa 24 = 4 × 6 = 2 × 2 × 3 × 3 56 = 8 × 7 = 2 × 2 × 2 × 7

300 = 3 × 10 × 10 = 3 × 2 × 5 × 2 × 5:

48. ariketa Ondoko zatikia laburtezina

bilakatu280

448

Metodoa : faktore lehenen diderkaduraz deskonposatu 280

448=

7 × 2 × 2 × 5 × 2

2 × 2 × 2 × 2 × 7 × 2 × 2

280

448=

5

2 × 2 × 2

280

448=

5

8

5.

3.

5.

35

Gai hori lantzeko logiziela erabiliko dugu. Agindu zerrenda bat idatziko dugu

eta Sprite batek agindu horiek segituko ditu.

Spritek honek eremu batean ibiltzen da. Agindu motak :

eta abar…

eta abar….

eta abar……. eta abar…. eta abar…. eta abar….

eta abar …

O°

9O

° -

9O

° -

180

°

36

49. ariketa

Bobek bere sukaldearen lauzadura berriz egin behar du. Sukaldeak 4m×5m-ko laukizuzen

baten forma du. Laukiak dendea batean hautzen ditu. Saltzaileak erraten dio behar duen

azalera baina %5 gehiago hartu behar dituela, eakuntzak ekartzen dituen galtzeak

orekatzeko. Laukiak, 1,12 m²-ko paketez salduak dira. eta pakete bakoitzak 31 € balio du.

1. Bederen 21m² manatu behar duela froga ezazu. 2. Zenbat pakete erosi behar du. 3. Zenbat kostatuko zaizkio laukiak. 4. Ondotik beste denda batean lauzadura egiteko eskas zaion guzia erosten du.

Osatu faktura. Aterabidea

1. Sukaldearen azalera = 4m×5m=20m²

Bainan %5 gehiago hart behar da beraz behar da 20m²×1,05=21 m²

2. Erosi behar den paketea= 21 𝑚²

1,12 𝑚²= 18,75 hots 19 pakete beharko ditu

3. Laukien prezioa=19×31€=589€

Gaia Kopurua Baten prezioa (zergarik gabe)

Osoaren prezioa (zergarik gabe)

Kola potea 3 12€ 36

Gurutzekoak moltsa

1 7€ 7€

Junta egiteko sakua

2 22,5 € 45

Batura zergarik gabe 88€

Zerga (%20) 17,6 €

Batura zergekin 105,6 €