INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO

MATEMÁTICA IV

Transformada de Laplace

Hendrick Paradela ci. 23.748.380

INTRODUCCIÓN:

con estas operaciones logramos transformar una función en otra. Por ejemplo, la función f(x) = x2 se transforma, a su vez, en una función lineal y una familia de funciones polinómicas cúbicas mediante las operaciones de diferenciación e

integración siguientes:

∫ +== ,31

2 322 cxdxxyxxdxd

Además, estas dos transformadas poseen lapropiedad de linealidad de que la transformada de una combinación lineal de

funciones es una combinación lineal de las transformadas. Para . constantes.

βα y

[ ]

[ ] ∫ ∫∫ +=+

′+′=+

dxxgdxxfdxxgxf

xgxfxgxfdxd

)()()()(

)()()()(

βαβα

βαβα

Definición de transformada de Laplace

Siempre que exista una derivada e integral. En este unidad se examinará un tipo especial de transformada integral llamada transformada de Laplace. Además de poseer la propiedad de linealidad, la transformada de Laplace tiene muchas otras

propiedades interesantes que la hacen muy útil para resolver problemas de valores iniciales lineales.

TRANSFORMADA INTEGRAL: Si es una función de dos variables, entonces una integral definida de f con respecto a una de las variables lleva a una función de la otra variable. Por ejemplo, si se mantiene y constante, se ve que

. De manera similar una integral definida como

transforma una función f de variable t en una función F de la variable s. Se tiene interés particular en una transformada integral, donde el intervalo de integración es el intervalo no acotado . Si f(t) se define para entonces la integral impropia se define como un límite:

∫ =2

1

22 32 ydxxy ∫b

adttftsK )(),(

),( yxf

[ )∞,0 0≥t

∫∫∞

∞→=

b

adttftsKlímdttftsK

00)(),()(),(

∫∞

0)(),( dttftsK

Si existe el límite en (1) , entonces se dice que la integral existe o es convergente; si no existe el límite, la integral no existe y es divergente. En general, el límite en (1) existirá sólo para ciertos valores de la variable s.

(1)

),( tsKstetsK −=),(

La función en (1) se llama núcleo de la transformada. La elección de como el núcleo proporciona una transformada integral

especialmente importante llamada transformada de Laplace

DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

0≥tSea f una función definida para . Entonces se dice que la integral

Es la transformada de Laplace de f, siempre que converja la integral

{ } ∫∞ −=0

)()( dttfetf£ st

(2)

Cuando la integral definitoria (2) converge, el resultado es una función de s. En la descripción general emplearemos letras minúsculas para representar la

función que se va a transformar y la mayúscula correspondiente para denotar su transformada de Laplace; por ejemplo,

Propiedades de la transformada de LaplacePropiedades de la transformada de Laplace

LinealidadLinealidadSean las funciones en el dominio del tiempo x1(t) y x2(t) y sus respectivas Sean las funciones en el dominio del tiempo x1(t) y x2(t) y sus respectivas

transformadas de Laplace entoncestransformadas de Laplace entoncesα1x1(t) + α2x2(t) ◦−→• α1X1(s) + α2X2(s), ROC: R1 ∩ R2α1x1(t) + α2x2(t) ◦−→• α1X1(s) + α2X2(s), ROC: R1 ∩ R2

donde la ROC indicada representa la menor región de convergencia posible, puesto donde la ROC indicada representa la menor región de convergencia posible, puesto que,que,

como el problema 4.7 lo muestra, la ROC de la combinación lineal puede ser mayor quecomo el problema 4.7 lo muestra, la ROC de la combinación lineal puede ser mayor quela de los términos por separado, puesto que algunos polos pueden desaparecer.la de los términos por separado, puesto que algunos polos pueden desaparecer.

Esta propiedad puede demostrarse fácilmente utilizando la propiedad de linealidad de laEsta propiedad puede demostrarse fácilmente utilizando la propiedad de linealidad de laintegral, junto con la observación de que la transformada total converge solo en aquellaintegral, junto con la observación de que la transformada total converge solo en aquella

región com´un a todos los términos, es decir, a su intersección.región com´un a todos los términos, es decir, a su intersección.Nótese que es posible, si no hay puntos comunes en las regiones de convergencia, que Nótese que es posible, si no hay puntos comunes en las regiones de convergencia, que

no exista la transformada de Laplace de una combinación lineal.no exista la transformada de Laplace de una combinación lineal.

Desplazamiento en el tiempo y en el dominio sDesplazamiento en el tiempo y en el dominio s

Con un análisis análogo al caso de la transformada de Fourier se puede Con un análisis análogo al caso de la transformada de Fourier se puede demostrar que sidemostrar que si

x(t) ◦−→• X(s) con ROC R entoncesx(t) ◦−→• X(s) con ROC R entoncesx(t − t0) ◦−→• ex(t − t0) ◦−→• e−−st0X(s), ROC: Rst0X(s), ROC: Ryys0tx(t) ◦−→• X(s − s0), ROC: {s | s = r + s0, r ∈ R}s0tx(t) ◦−→• X(s − s0), ROC: {s | s = r + s0, r ∈ R}Es decir, la región de convergencia no es alterada cuando se desplaza la señal Es decir, la región de convergencia no es alterada cuando se desplaza la señal

en elen eltiempo. Sin embargo, si de desplaza la señal en el dominio s entonces también tiempo. Sin embargo, si de desplaza la señal en el dominio s entonces también

lo hacelo hacesu región de convergencia. Esto puede comprenderse considerando que en su región de convergencia. Esto puede comprenderse considerando que en

X(s − s0) losX(s − s0) lospolos y ceros están desplazados en s0 con respecto a los de X(s), y por tanto polos y ceros están desplazados en s0 con respecto a los de X(s), y por tanto

también setambién sedesplaza su región de convergencia. Puesto que las ROC son bandas de desplaza su región de convergencia. Puesto que las ROC son bandas de

longitud verticallongitud verticalinfinita, este desplazamiento puede interpretarse como un corrimiento infinita, este desplazamiento puede interpretarse como un corrimiento

horizontal de lahorizontal de laROC determinada por Re{s0}.ROC determinada por Re{s0}.

ConjugaciónConjugación

Para x(t) ◦−→• X(s) con ROC R se cumplePara x(t) ◦−→• X(s) con ROC R se cumple

x∗(t) ◦−→• X∗(s∗), ROC: R x∗(t) ◦−→• X∗(s∗), ROC: R

y por lo tanto X(s) = X∗ (s∗) si x(t) es real. y por lo tanto X(s) = X∗ (s∗) si x(t) es real.

Consecuencia directa de este hecho es que si p es un polo complejo con parte Consecuencia directa de este hecho es que si p es un polo complejo con parte imaginaria diferente de cero, entonces p∗ también lo esimaginaria diferente de cero, entonces p∗ también lo es

Escalamiento en el tiempoEscalamiento en el tiempo

Si L {x(t)} = X(s) con ROC R entonces para a ∈ IRSi L {x(t)} = X(s) con ROC R entonces para a ∈ IRes decir, al igual que con la serie de Fourier, una compresión en el es decir, al igual que con la serie de Fourier, una compresión en el

tiempo equivale atiempo equivale auna dilatación en el dominio s, donde sin embargo ahora la dilatación una dilatación en el dominio s, donde sin embargo ahora la dilatación

ocurre en el planoocurre en el planocomplejo. Nótese que los limites de la ROC cambian. Si para x(t) estos complejo. Nótese que los limites de la ROC cambian. Si para x(t) estos

limites eran r1 ylimites eran r1 yr2, entonces para x(at) estos serian r1/a y r2/a.r2, entonces para x(at) estos serian r1/a y r2/a.Para el caso en particular a = −1 se tiene Para el caso en particular a = −1 se tiene entonces entonces x(−t) ◦−→• X (−s), ROC: {s | s = −r, r ∈ R}x(−t) ◦−→• X (−s), ROC: {s | s = −r, r ∈ R}

que equivale a una rotación de 180◦ del plano s como dominio de definición de que equivale a una rotación de 180◦ del plano s como dominio de definición de

X(s),modificándose la posición de los polos y por tanto también la ROC.X(s),modificándose la posición de los polos y por tanto también la ROC.

ConvoluciónConvolución

Si x1(t) ◦−→• X1(s), ROC: R1 x2(t) ◦−→• X2(s), ROC: R2

Entonces: x1(t) ∗ x2(t) ◦−→• X1(s)X2(s), ROC: R1 ∩ R2

donde la región de convergencia puede ser mayor a la indicada si en el producto los polos

que determinan los limites de las ROC individuales se cancelan

Diferenciación en el tiempo y en el dominio s

Si x(t) ◦−→• X(s) con ROC R entonces

d/dtx(t) ◦−→• sX(s), ROC: R

Donde si X(s) tiene un polo de primer orden en s = 0 entonces la ROC puede ser mayor.

Esta propiedad se puede aplicar recursivamente para llegar a

dn/dtnx(t) ◦−→• snX(s), ROC: R

A demas−tx(t) ◦−→•d/dsX(s), ROC: R.

Importancia y aplicación de la transformada de la place en la ingeniería

la transformada de Laplace se aplica en la ingeniería de diferentes formas entre

entre las cuales podemos mencionar varias de ellas tales como: El control de procesos que lo

podemos aplicar por ejemplo en: El ámbito domestico (para controlar temperaturas, humedad, en edificios),

en la transportación ( para controlar que autos o aviones se muevan de un lugar a otro de forma

segura y exacta), en la industria (para controlar un sin numero de variables en los procesos

En el caso de la ingeniería químicaEn el caso de la ingeniería química

En ingeniería química tienen especial importancia en el control de procesos. En control de procesos es necesario obtener las funciones de transferencia de los distintos elementos de un lazo de control, estas funciones de transferencia se expresan en el dominio de Laplace porque es mucho más fácil operar en este dominio y predecir cómo se va a comportar el elemento en cuestión.

Otra aplicación podría darse en el estudio de la cinética de reacciones complejas, donde pueden existir sistemas de ecuaciones diferenciales fácilmente resolubles por Laplace.

EN EL CASO DE LA INGENIERA ELECTRONICA

Una transformada de Laplace te sirve para resolver fácilmente un aecuacion diferencial. Resolver ecuaciones diferenciales, en electrónica es fundamental ya que todos los elementos que se utilizan en electricidad, responden conforme este tipo de ecuaciones, fíjate que para resolver cualquier tipo de circuito eléctrico en CA tienes que plantear ecuaciones diferenciales y luego resolverlas.

Así mismo en el estudio de transitorios es fundamental, ya que tienes que estudiar en este caso cual es la respuesta a un escalón de tensión, en un circuito dado, en general toda la física se puede explicar en términos de

ecuaciones diferenciales.  

conclusión

En conclusión esta presentación tiene el fin de dar a entender un poco En conclusión esta presentación tiene el fin de dar a entender un poco el uso y la realización de la transformada de Laplace así como el uso y la realización de la transformada de Laplace así como también su importancia y aplicación tanto en la ingeniería como en también su importancia y aplicación tanto en la ingeniería como en la vida cotidiana.la vida cotidiana.