REGLAS DE INFERENCIA

ACTIVIDAD ACADEMICA: PENSAMIENTO LOGICO

DOCENTE: LIC- ING: ROSMIRO FUENTES ROCHAUNIDAD N4: DEDUCCION PROPOSICIONAL

RESUMEN DE LAS REGLAS DE INFERENCIA

1. Modus Ponendo Ponens (PP)

2. Modus tollendo tollens (TT)

3. Silogismo hipottico (SH)

4. Tollendo ponens (TP)

o

5. Doble negacin (DN)

6. Adjuncin y simplificacin Adjuncin (A)

Simplificacin (S)

7. ley de la adicin (LA)

8. Silogismo disyuntivo (DS)

9. Simplificacin disyuntiva (SD)

10. Ley de absorcin (abs.)

11. Leyes de Morgan (DM)

12. Leyes conmutativas (LC)

13. Leyes asociativas (LA)

14. Leyes distributivas (LD)

15. Ley de exportacin (LE)

16. Ley de contraposicin (contr)

DEDUCCIN PROPOSICIONALCon el manejo de unas pocas reglas empezamos a aprender el mtodo de las deducciones formales. Es decir se ha aprendido el camino preciso de demostrar que los razonamientos son vlidos. Un razonamiento es simplemente un conjunto de proposiciones dadas como premisas y una conclusin deducida de estas premisas.Cuando se habla de vlido se entiende que la conclusin es consecuencia lgica de las premisas. Una deduccin formal es una serie de proposiciones o pasos en la cual cada paso es una premisa o est deducida directamente de los pasos que la preceden por medio de una determinada regla.La deduccin puede hacerse teniendo un argumento en forma simblica o en forma oracional. Veamos los siguientes ejemplos:Ejemplo 1: Dado el siguiente argumento simblico deducir

Demostracin

Ejemplo 2: Deducir t

Ejemplo 3:Si la ballena es un mamfero, entonces toma oxigeno del aire. Si toma su oxigeno del aire, entonces no necesita branquias. La ballena es un mamfero y vive en el ocano. Por lo tanto no necesita branquias. Lo primero que hay que hacer es identificar cada una de las proposiciones simplesp: La ballena es un mamfero

q: La ballena toma su oxigeno del aire

r: La ballena necesita branquiass: La ballena habita en el ocano

Se simboliza ahora el argumento

(Primera premisa)

(Segunda premisa)

(Tercera premisa)

------------

(Conclusin)Pero veamos el procedimiento lgico para llegar a esta conclusin, es decir, la deduccin proposicional1)

2)

3)

_______4) P

3.S5) q

1,4 PP6)

2,5 PPEjemplo 3:Si sigue lloviendo, entonces el ro crecer. Si sigue lloviendo. Si sigue lloviendo y el ro crece, entonces el puente ser arrastrado por las aguas. Si la continuacin de la lluvia hace que el puente sea arrastrado por las aguas, entonces no ser suficiente un solo camino para toda la ciudad. O bien un solo camino es suficiente para toda la ciudad o bien los ingenieros han cometido un error. Por tanto, los ingenieros han cometido un error.

Simbolizando las proposicionesc: contina lloviendo

r: el ro crece

p: el puente es arrastrado por las aguas

s: un solo camino es suficiente para toda la ciudad

e: los ingenieros han cometido un error La prueba formal de validez es:

(Primera premisa)2) (segunda premisa) 3) (Tercera premisa) 4)

(cuarta premisa)_________________

e

(conclusin)Veamos como se llega a la conclusin1)

2)

3) 4)

_____________5) c (c r)

1, Abs.

6) c p

5,2, S.H.

7) s

3,6, P P.

8) e

4,7, TP.PRUEBA DE INVALIDEZ

Es obvio que, para un argumento invlido no existe una prueba formal de validez. Pero, si no se puede hallar una prueba de validez para un argumento, eso no quiere decir que sea invlido y que no se pueda construir dicha prueba.

A continuacin se describe un mtodo que est muy relacionado con el de las tablas de verdad, pero que es mucho ms breve, en el cual se prueba la invalidez de un argumento hallando un nico caso en el que se asignan valores de verdad a las variables del enunciado de tal forma que las premisas sean verdaderas y la conclusin falsa, lo que lleva a concluir que la forma argumental es invlida. Un argumento se prueba invlido mostrando que por lo menos en un rengln de su tabla de verdad todas las premisas son verdaderas pero su conclusin es falsaEjemplo 1: Probar la invalidez del siguiente argumento por el mtodo de asignar valores de verdad.

1. p q2. r q3. p rPruebaPara probar que este argumento es invlido sin tener que construir una tabla de

verdad completa, es necesario tener claro que un condicional es falso solamente si su antecedente es verdadero y su consecuente falso, utilizando este hecho se procede a asignar valores de verdad a las proposiciones de la conclusin, es decir, si F es verdadero y P es falso, entonces, la conclusin es falsa. Si a la proposicin R se le asigna el valor verdadero, ambas premisas se convierten en verdaderas, porque un condicional es verdadero siempre que su consecuente sea verdadero. Lo anterior permite afirmar que si a las proposiciones F y R se les asigna un valor verdadero y a la proposicin P un valor falso, entonces el argumento tendr premisas verdaderas y una conclusin falsa, con lo cual queda probado que el argumento es invlido.

Con este mtodo lo que realmente se hace es construir un rengln de la tabla de verdad del argumento indicado, la relacin se puede observar ms claramente cuando los valores de verdad se escriben horizontalmente, de la siguiente forma:

p q r p q r q

p r

v v f v

v

f

Ejemplo 2: Si Sandra es inteligente y estudia mucho, sacar buenas calificaciones y aprobar el curso. Si Sandra estudia mucho pero no es inteligente, sus esfuerzos sern apreciados y si sus esfuerzos son apreciados, aprobar el curso. Si Sandra es inteligente, entonces estudia mucho. Luego, Sandra aprobar el curso.

Prueba

Tomando el siguiente lenguaje simblico

i: Sandra es inteligentes: Sandra estudia muchog: Sandra sacar buenas calificacionesp: Sandra aprobar el cursoa: Los esfuerzos de Sandra sern apreciadosse pueden establecer las siguientes premisas:

1. (i s) (g p)2. [(s i) a ] [a p]3. i s4. pEste argumento es invlido porque con cualquiera de las siguientes asignaciones de valores de verdad la conclusin P es falsa.

i s g a p

i s g ap

vfvff

fffffEjemplo 3: Si la inflacin continua, entonces las tasas de inters permanecern altas. Si la inflacin contina, entonces si las tasas de inters permanecen altas, descender la actividad comercial. Si las tasas de inters permanecen altas, entonces si la actividad comercial decrece, el desempleo aumenta. As, si el desempleo aumenta, continuar la inflacin.Prueba

Tomando el siguiente lenguaje simblico:

p: la inflacin continaq: las tasas de inters permanecen altasr: descender la actividad comercials: el desempleo aumentaSe pueden establecer las siguientes premisas:

1) p q

2) p (q r)

3) q (r s) / s p

Este argumento es invlido porque la siguiente asignacin de valores de verdad hace las premisas verdaderas pero la conclusin falsa:

p q r s p q

p (q r)

q (r s)

s p

fffv v

v

v

fTALLER DE ESTUDIO INDEPENDIENTEI. Para cada uno de los siguientes argumentos enuncie la regla de inferencia mediante la cual se sigue la conclusin.

1. (P Q) R

(P Q) (P Q) R

2 1) (P Q) (P Q)

2) (Q P) (P Q)

(Q P) (P Q)

II. Cada una de las siguientes es una prueba formal de validez del argumento indicado. Enuncie la justificacin de cada rengln que no sea una premisa de la prueba.

1 1). A B

2) (A C) D

3) A

4) A C

5) D

________

A D21) Q R

2) S (T U)

3) S (Q T)

4) S5) T U

6) (Q R) (T U)

7) Q T

________

R U

III. Construir una prueba formal de la validez de cada uno de los siguientes argumentos:

1.1. (P R) P R

2. Q P

3. R S

4. (Q S) (T S)

________

S T

2 1. T S

2. Q T

3. Q R

4. R

_______

SIV. Probar la validez invalidez del siguiente argumento utilizando el mtodo de asignacin de valores de verdad.

1. 1). [(x y) z] a

2). [z a] [b c]

3). b

x c2. 1) a b

2) (c a) / c b3.1) s (t u)

2) v (w x)

3) t (v w)

4. (t x)

s uV. En cada uno de los siguientes argumentos, utilizar un lenguaje simblico y construir una prueba formal de validez o invalidez por el mtodo de asignar valores.

1. Si el papel tornasol se vuelve rojo, entonces la solucin es un xido. Luego, si el papel se vuelve rojo, entonces o la solucin es un xido o hay algo que anda mal.

2. O el ladrn entro por la puerta, o el robo fue cometido desde dentro y uno de los sirvientes debe estar involucrado en l. El ladrn slo pudo entrar por la puerta si el cerrojo fue levantado desde dentro; pero uno de los sirvientes seguramente se halla implicado en el robo, si el cerrojo fue levantado desde dentro. Por ende, uno de los sirvientes est involucrado en el robo.

3. Si la vctima tena dinero en sus bolsillos, entonces el robo no fue el motivo del crimen. Pero el motivo del crimen fue, o bien el robo, o bien la venganza. Luego, el motivo del crimen debe haber sido la venganza.

CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR CUN

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS: MATEMATICAS

PAGE Elabor: Rosmiro Fuentes Rocha, docente CUN, Licenciado en Matemticas y Fsica, Ingeniero de Alimentos

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