decodificador binario a hexadecimal con display 7 segmentos y compuertas lógicas

Introduccin a los Circuitos Lgicos Decodificador de Binario a Hexadecimal

2014

Universidad Autnoma de San Luis Potos

Facultad de Ingeniera

rea de Computacin e Informtica

Tarea: Reporte de Proyecto Final Fecha de Entrega: 01/12/2014

Profesor: Dr. Francisco Edgar Castillo Grupo: 296405

Alumno: Erick Garrigos Carrera: Ingeniera en Computacin

Semestre: 2014-2015/I

Introduccin a los Circuitos Lgicos 2014

1 Universidad Autnoma de San Luis Potos

ndice

Apndice67

Bibliografa68

Parte Terica

Introduccin3

Objetivos..4

Conversin de Sistemas Numricos4

Los Circuitos Lgicos..9

El lgebra de Boole11

Teoremas del lgebra de Boole....13

Leyes de De Morgan.....15

Funciones Booleanas16

La Tabla de Verdad19

Mapas de Van Karnaugh20

Compuertas Lgicas.23

Compuerta AND..24

Compuerta NAND26

Compuerta OR..28

Compuerta NOR..29

Compuerta NOT..30

Compuerta XOR..31

Equivalencia de Compuerta NOR32

Equivalencia de Compuerta NAND34

El Display de 7 Segmentos.35



La Protoboard37

Resistencias39

Fuente de Poder..41

Parte Prctica

Introduccin42

Realizando la tabla de verdad.42

Utilizando los mapas de Van Karnaugh

para Simplificar44

Obteniendo las Funciones Booleanas47

Reduciendo las funciones por medio del

lgebra49

Instalando el material para comenzar..52

Realizando el cableo de funciones55

Comprobando el funcionamiento..63



-Parte Terica-

Introduccin En sta prctica se llevar a cabo un decodificador electrnico que

muestre en un display de 7 segmentos los nmeros hexadecimales a

partir de nmeros binarios. Para ello se utilizarn los principios del

lgebra de Boole, el uso de compuertas lgicas y el uso prctico de los

circuitos lgicos electrnicos.

Un circuito Lgico es cualquier circuito que se comporta de acuerdo

con un conjunto de reglas lgicas. Maneja la informacin en forma de

"1" y "0", dos niveles lgicos de voltaje fijos. "1" nivel alto o "high" y "0"

nivel bajo o "low". Los circuitos lgicos estn compuestos por elementos

digitales como las compuertas lgicas, que son una serie de condiciones

que ayudan a manejar el flujo de la informacin. Ms adelante se

detallarn.

El lgebra de Boole (tambin llamada lgebra booleana) en

informtica y matemticas, es una estructura algebraica que

esquematiza las operaciones lgicas Y, O, NO y SI (AND, OR, NOT, IF),

as como el conjunto de operaciones unin, interseccin y complemento.

Ms adelante se detallarn stos conceptos.

Los nmeros hexadecimales se componen de 16 caracteres que

representan cada uno un nmero del 0 al 15, por ello su nombre (hexa:

seis, deci: diez, diez ms seis es igual a diez y seis), estos utilizan los

nmeros del sistema decimal del 0 al 9, pero debido a que el nmero 10

ya cuenta como la unin de dos caracteres diferentes, se toman en

cuenta letras a partir de la A a la F, cada una representar un nmero.

Mientras tanto, los nmeros binarios se componen nicamente de dos

caracteres, que son el 0 y el 1, los cuales, como en el sistema numrico

decimal y hexadecimal, es posicional y cada posicin representa una

potencia, en el caso del binario se potencia a base 2.



Objetivos Comprender la representacin binaria y hexadecimal, realizar las

operaciones bsicas y conversiones de nmeros entre stas bases.

Identificar los principales elementos de conmutacin, y la lgica de

operacin, Conocer los elementos bsicos de circuitos lgicos

integrados

Aplicar la lgica binaria, el lgebra Booleana y los mapas de Van

Karnaugh, para la simplificacin de funciones booleanas.

Desarrollar una aplicacin prctica.

Conversin de Sistemas Numricos

Un sistema numrico son un conjunto de smbolos y reglas que se

utilizan para representar datos numricos o cantidades. Se caracterizan

por su base que indican el nmero de smbolos distinto que utiliza y

adems es el coeficiente que determina cual es el valor de cada smbolo

dependiendo de la posicin que ocupe. Estas cantidades se caracterizan

por tener dgitos enteros y fraccionarios.

El sistema decimal es el sistema que manejamos cotidianamente, est

formado por diez smbolos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} por lo tanto la

base del sistema es diez (10).

El sistema binario es el sistema que utiliza internamente el hardware

de las computadoras actuales, se basa en la representacin de

cantidades utilizando los dgitos 1 y 0. Por tanto su base es 2 (nmero

de dgitos del sistema). Cada dgito de un nmero en este sistema se

denomina bit (contraccin de binary digit). Se puede utilizar con nombre

propio determinados conjuntos de dgitos en binario. Cuatro bits se

denominan cuaterno (ejemplo: 1001), ocho bits octeto o byte (ejemplo:

10010110), al conjunto de 1024 bytes se le llama Kilobyte o

simplemente K, 1024 Kilobytes forman un megabyte y 1024 megabytes

se denominan Gigabytes. Tambin es utilizado en la electrnica de

circuitos lgicos.



El sistema numrico hexadecimal utiliza diecisis dgitos y letras

para representar cantidades y cifras numricas. Los smbolos son: {0, 1,

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}; la base del sistema es diecisis

(16). Tambin se puede convertir directamente en binario como se ver

ms adelante.

Conversin De Un Numero Decimal A Binario

Para esta transformacin es necesario tener en cuenta los pasos que

mostraremos en el siguiente ejemplo: Transformemos el numero 42 a

numero binario.

1. Dividimos el nmero 42 entre 2

2. Dividimos el cociente obtenido por 2 y repetimos el mismo

procedimiento hasta que el cociente sea 1.

3. El numero binario lo formamos tomando el primer dgito el ultimo

cociente, seguidos por los residuos obtenidos en cada divisin,

seleccionndolos de derecha a izquierda, como se muestra en el

siguiente esquema.

Conversin De Un Numero Decimal Fraccionario A Un Numero

Binario

Para transformar un nmero decimal fraccionario a un nmero binario

debemos seguir los pasos que mostramos en el siguiente ejemplo:

transformemos el nmero 42,375.

1. la parte entera se transforma de igual forma que el ejemplo anterior.

2. La parte fraccionaria de la siguiente manera:



Multiplicamos por el numero 2 y tomamos la parte entera del producto

que ir formando el numero binario correspondiente

Tomamos nuevamente la parte entera del producto, y la parte

fraccionaria la multiplicamos sucesivamente por 2 hasta llegar a 0

Tomamos nuevamente la parte entera, y como la parte fraccionaria es

0, indica que se ha terminado el proceso. El numero binario

correspondiente a la parte decimal ser la unin de todas las partes

enteras, tomadas de las multiplicaciones sucesivas realizadas durante el

transcurso del proceso , en donde el primer dgito binario corresponde a

la primera parte entera , el segundo dgito a la segunda parte entera , y

as sucesivamente hasta llegar al ltimo .Luego tomamos el numero

binario , correspondiente a la parte entera , y el numero binario ,

correspondiente a la parte fraccionaria y lo unimos en un solo nmero

binario correspondiente a el numero decimal.

Conversin De Un Nmero Binario A Un Numero Decimal

Para convertir un nmero binario a decimal, realizamos los siguientes

pasos:

1. Tomamos los valores de posicin correspondiente a las columnas

donde aparezcan nicamente unos

2. Sumamos los valores de posicin para identificar el numero decimal

equivalente



Conversin De Un Numero Decimal A Octal

Para convertir un nmero en el sistema decimal al sistema de

numeracin Octal, debemos seguir los pasos que mostraremos en el

siguiente ejemplo: convertir el nmero decimal 323.625 al sistema de

numeracin Octal.

1. Se toma el numero entero y se divide entre 8 repetidamente hasta

que el dividendo sea menor que el divisor, para colocar entonces el

nmero 0 y pasar el dividendo a formar el primer dgito del nmero

equivalente en decimal

2. Se toma la parte fraccionaria del nmero decimal y la multiplicamos

por 8 sucesivamente hasta que el producto no tenga nmeros

fraccionarios

3. Pasamos la parte entera del producto a formar el dgito

correspondiente

4. Al igual que los dems sistemas, el nmero equivalente en el sistema

decimal, est formado por la unin del numero entero equivalente y el

numero fraccionario equivalente.



Conversin De Un Numero Octal A Binario

La ventaja principal del sistema de numeracin Octal es la facilidad con

que pueden realizarse la conversin entre un numero binario y octal. A

continuacin mostraremos un ejercicio que ilustrar la teora. Por medio

de este tipo de conversiones, cualquier numero Octal se convierte a

binario de manera individual. En este ejemplo, mostramos claramente el

equivalente 100 111 010 en binario de cada nmero octal de forma

individual.

Conversin De Un Numero Decimal A Un Numero Hexadecimal

Convertir el nmero 250.25 a Hexadecimal

1. Se toma la parte entera y se divide sucesivamente por el numero

decimal 16 (base) hasta que el cociente sea 0

2. Los nmeros enteros resultantes de los cocientes, pasarn a

conformar el nmero hexadecimal correspondiente, teniendo en cuenta

que el sistema de numeracin hexadecimal posee solo 16 smbolos,

donde los nmeros del 10 hasta el 15 tienen smbolos alfabticos que ya

hemos explicado

3. La parte fraccionaria del nmero a convertir se multiplica por 16

(Base) sucesivamente hasta que el producto resultante no tenga parte

fraccionaria

4. Al igual que en los sistemas anteriores, el nmero equivalente se

forma, de la unin de los dos nmeros equivalentes, tanto entero como

fraccionario, separados por un punto que establece la diferencia entre

ellos.



Conversin De Un Numero Hexadecimal A Un Numero Decimal

Como en los ejemplos anteriores este tambin nos ayudar a entender

mejor este procedimiento: Convertir el numero hexadecimal 2B6 a su

equivalente decimal.

1. Multiplicamos el valor de posicin de cada columna por el dgito

hexadecimal correspondiente.

2. El resultado del nmero decimal equivalente se obtiene, sumando

todos los productos obtenidos en el paso anterior.

Los Circuitos Lgicos

Los circuitos lgicos estn compuestos por elementos digitales como

la compuerta AND (Y), compuerta OR (O), compuerta NOT (NO) y

combinaciones poco o muy complejas de los circuitos antes

mencionados.

Estas combinaciones dan lugar a otros tipos de elementos digitales

como los compuertas, entre otros.

- compuerta nand (No Y)

- compuerta nor (No O)

- compuerta or exclusiva (O exclusiva)

- mutiplexores o multiplexadores

- demultiplexores o demultiplexadores



- decodificadores

- codificadores

- memorias

- flip-flops

- microprocesadores

- microcontroladores

- etc.

La electrnica moderna usa electrnica digital para realizar muchas

funciones.

Aunque los circuitos electrnicos podran parecer muy complejos, en

realidad se construyen de un nmero muy grande de circuitos muy

simples.

En un circuito lgico digital se transmite informacin binaria (ceros y

unos) entre estos circuitos y se consigue un circuito complejo con la

combinacin de bloques de circuitos simples.

La informacin binaria se representa en la forma de: (ver grficos)

- "0" "1",

- "abierto" "cerrado" (interruptor),

- "On" y "Off",

- "falso" o "verdadero", etc.

Los circuitos lgicos se pueden representar de muchas maneras. En

los circuitos de los grficos anteriores la lmpara puede estar encendida

o apagada ("on" o "off"), dependiendo de la posicin del interruptor.

(Apagado o encendido). Los posibles estados del interruptor o

interruptores que afectan un circuito se pueden representar en una tabla

de verdad.



El lgebra de Boole Se denomina as en honor a George Boole (2 de noviembre de 1815 a 8

de diciembre de 1864), matemtico ingls autodidacta, que fue el

primero en definirla como parte de un sistema lgico, inicialmente en un

pequeo folleto: The Mathematical Analysis of Logic publicado en 1847,

en respuesta a una controversia en curso entre Augustus De

Morgan y sir William Rowan Hamilton. El lgebra de Boole fue un intento

de utilizar las tcnicas algebraicas para tratar expresiones de la lgica

proposicional. Ms tarde fue extendido como un libro ms

importante: An Investigation of the Laws of Thought on Which are

Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities (tambin

conocido como An Investigation of the Laws of Thought2 o

simplemente The Laws of Thought3 ), publicado en 1854.

En la actualidad, el lgebra de Boole se aplica de forma generalizada en

el mbito del diseo electrnico. Claude Shannon fue el primero en

aplicarla en el diseo de circuitos de conmutacin elctrica biestables,

en1948. Esta lgica se puede aplicar a dos campos:

Al anlisis, porque es una forma concreta de describir cmo

funcionan los circuitos.

Al diseo, ya que teniendo una funcin aplicamos dicha lgebra, para

poder desarrollar una implementacin de la funcin.

El Algebra de Boole es toda clase o conjunto de elementos que pueden

tomar dos valores perfectamente diferenciados, que designaremos por 0

y 1 y que estn relaciondos por dos operaciones binarias denominadas

suma (+) y producto (.) ( la operacin producto se indica generalmente

mediante la ausencia de smbolo entre dos variables lgicos.)

Cumplen las siguientes Propiedades:

a) Ambas operaciones son conmutativas, es decir si a y b son elemen

tos del lgebra, se verifica:

a+b=b+a a.b=b.a



b) Dentro del lgebra existen dos elementos neutros, el 0 y el 1, que

cumplen la propiedad de identidad con respecto a cada una de dichas

operaciones:

0+a=a 1.a=a

c) Cada operacin es distributiva con respecto a la otra:

a . ( b + c) = a . b + a . c

a + ( b . c ) = ( a + b ) . ( a + c )

d) Para cada elemento a del lgebra existe un elemento denominado a ,

tal que:

_ _

a+a=1 a.a=0

Este postulado define realmente una nueva operacin fundamental que

es la inversin o complementacin de una variable. La variable a se

encuentra siempre en un estado binario contrario al de a. La tabla de

verdad de la inversin o complemento, es:

_

a a

0 1

1 0

Fsicamente son varios los conjuntos que poseen dos operaciones

binarias que cumplen los postulados desarrollados. Ejemplo de estos

conjuntos son el lgebra de las proposiciones o juicios formales y el

lgebra de la conmutacin formada tambin por elementos que pueden

tomar dos estados perfectamente diferenciados. Los primeros circuitos

de conmutacin o lgicos utilizados, han sido los contactos que pueden

ser empleados para memorizar ms fcilmente las leyes del lgebra de

Boole antes expresadas y los teoremas. La operacin suma se asimila a

la conexin en paralelo de contactos y la operacin producto a la

conexin en serie. El inverso de un contacto es otro cuyo estado es

siempre el opuesto del primero, es decir est cerrado cuando aqul est

abierto y viceversa. El elemento 0 es un contacto que est siempre

abierto y el elemento 1 un contacto que est siempre cerrado. Adems

se considera una funcin de transmisin entre los dos terminales de un



circuito de contactos, que toma el valor 1, cuando existe un camino para

la circulacin de corriente entre ellos (corto circuito) y el valor 0 si no

existe dicho camino (circuito abierto).

Teoremas del lgebra de Boole

Teorema 1:

Cada identidad deducida de los anteriores postulados del lgebra de

Boole permanece vlida si la operacin + y . y los elementos 0 y 1 se

intercambian entre s. Este principio, llamado de dualidad, se deduce

inmediatamente de la simetra de los cuatros postulados con respecto a

ambas operaciones y ambos elementos neutros.

Teorema 2:

Para cada elemento a del lgebra de Boole se verifica:

a+1=1 y a.0=0

Teorema 3:

Para cada elemento a del lgebra de Boole se verifica:

a+a=a y a.a=a



Teorema 4:

Para cada par de elementos del lgebra de Boole a y b se verifica:

a + ab = a y a ( a + b) = a

Teorema 5:

En un lgebra de Boole, las operaciones suma y producto son

asociativas.

a+(b+c)=(a+b)+c=a+b+c

a ( b c) = ( a b ) c = a b c

Teorema 6:

Para todo elemento a del lgebra de Boole se verifica:

a=a



Teorema 7:

En toda lgebra de Boole se verifica:

1) a + b + c + d + = abcd

____

2) abcd = a + b + c + d

Estas igualdades son denominadas Leyes de De Morgan.

Leyes de De Morgan Este teorema define realmente dos nuevas funciones lgicas de gran

importancia que sern utilizadas como elementos bsicos para la

realizacin de los sistemas digitales. Estas dos funciones que realizan las

expresiones (1) y (2), se denominan respectivamente NOR y NAND. Las

tres funciones elementales: suma, producto e inversin lgica pueden

ser realizadas mediante las funciones NOR y NAND.

Aplicando el teorema de De Morgan tenemos:

___ _____ _____ ____

___ _ _ ____ _ _

ab = a b = a + b a+b= a+b = a b

La inversin se representa en general mediante un crculo; por lo tanto,

los smbolos de la funcin NOR y NAND se deducen respectivamente de

las funciones OR y AND aadindoles un circulo:



Las funciones NOR y NAND de una sola variable constituyen la funcin

de inversin. La realizacin de las funciones suma, producto e inversin

con las funciones NOR y NAND se representan, mediante los smbolos

estudiados.

Funciones Booleanas Una funcin de lgebra de Boole es una variable binaria cuyo valor es

igual al de una expresin algebraica en la que se relacionan entre s las

variables binarias por medio de las operaciones bsicas. Producto lgico,

Suma lgica e Inversin. Se representa una funcin lgica por la

expresin F = f (a,b,c,.); El valor lgico de f, depende de las variables

a,b,c,. Se llama trmino cannico de una funcin lgica a todo

producto o suma en la cual aparecen todas las variables en su forma

directa o inversa. Al primero de ellos se le llama producto cannico

(minterminos) y al segundo suma cannica (maxterminos).

Por ejemplo: sea una funcin de tres variables f(a,b,c); el trmino abc

es un producto cannico y el trmino a+b+c es una suma cannica. El

nmero mximo de productos cannicos o sumas cannicas viene dado

por las variaciones con repeticin de dos elementos tomados de n en n.

El nmero de productos o sumas cannicas de n variables es por lo

tanto 2n. Para mayor facilidad de representacin, cada trmino

cannico, se expresa mediante un nmero decimal equivalente al binario

obtenido al sustituir las variables ordenadas con un criterio determinado

por un 1 o un 0 segn aparezcan en su suma directa o complementaria

respectivamente. Por ejemplo, los trminos cannicos siguientes

representarn:

_ _

d c b a = 01102 = 610

_ _

d+c+b+a = 10102 = 1010

* La funcin lgica f(a,b,c) = a b c + a b c + a b c se podr representa

r por la expresin:

f(a,b,c) = (2,3,5)



En la cual el smbolo representa la suma lgica.

_ _ _ _

* La funcin f(a,b,c) = (a+b+c) (a+b+c) (a+b+c) se puede representa

r por:

f(a,b,c) = (1,2,7)

En la que indica el producto lgico.

Cuando una funcin que se expresa como una suma de productos

cannicos o un producto de sumas cannicas, se dice que se encuentra

en forma cannica. Si se tiene la expresin cannica en forma de suma

de productos, la expresin cannica de producto de sumas se obtiene

mediante el complemento a 2n 1 de los productos cannicos que no

forman parte de la funcin. Por ejemplo, si:

f = 3 (0,2,5)

Para obtener la expresin como producto; se representa como f = 3

(0,1,3,4,6)

Cuando una funcin lgica se presenta de una forma no cannica, su

transformacin en cannica resulta muy sencilla por procedimientos

algebraicos. Si se desea obtener la expresin cannica en forma de

suma de productos cannicos, se operar algebraicamente aplicando las

propiedades distributivas del producto con respecto a la suma, hasta

obtener una expresin de suma de productos no cannicos. Para

convertir cada uno de estos productos en cannicos, se le multiplica por

la suma de las variables que faltan en l y sus inversas. Ejemplo:

_ _

Sea la funcin: f = a(b+c) + c

Aplicando la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma,

resulta:

_ _

f = ab + ac + c



De acuerdo con lo explicado anteriormente:

_ _ _ _ _

f = ab(c + c) + ac(b + b) + c(a + a) (b + b)

Y aplicando la propiedad distributiva del producto con respecto a la

suma, resulta:

_ _ _ _ _ _

f = abc + abc + abc + abc + cab + (ca+ca)(b+b)

Suprimiendo los trminos repetidos, resulta:

_ __ _ _ __

f = abc + abc + abc + abc + abc + a b c

La funcin se puede expresar como: f = 3 (1,3,4,5,6,7)

De igual forma, si se desea obtener la expresin cannica en forma de

producto de sumas cannicas, se operar algebraicamente aplicando la

propiedad distributiva de la suma con respecto al producto hasta

obtener una expresin de producto de sumas no cannicas. Para

convertir cada una de estas sumas en cannicas, se le suma el producto

de cada variable que falta en ella por su inversa.

Ejemplo:

_ _

f = a(b + c) + c

Aplicando la propiedad distributiva de la suma con respecto al producto:

_ _

f = (a + c) (b + c + c) = a + c

_

f = a + c + bb

Y aplicando nuevamente la propiedad distributiva de la suma con

respecto al producto, tenemos:



_

f = (a + b + c) (a + b + c)

f = P3 (5,7)

La tabla de verdad

La tabla de verdad es un instrumento utilizado para la simplificacin

de circuitos digitales a travs de su ecuacin booleana.

Todas las tablas de verdad funcionan de la misma manera sin importar

la cantidad de columnas que tenga y todas tienen siempre una columna de salida (la ltima columna a la derecha) que representa el resultado

de todas las posibles combinaciones de las entradas.

El nmero total de columnas en una tabla de verdad es la suma de las

entradas que hay + 1 (la columna de la salida).

El nmero de filas de la tabla de verdad es la cantidad de combinaciones que se pueden lograr con las entradas y es igual a 2n, donde n es el

nmero de columnas de la tabla de verdad (sin tomar en cuenta la columna de salida)

Ejemplo: en la siguiente tabla de verdad hay 3 columnas de entrada, entonces habrn: 23 = 8 combinaciones (8 filas)



Un circuito con 3 interruptores de entrada (con estados binarios "0" o "1"), tendr 8 posibles combinaciones. Siendo el resultado (la columna

salida) determinado por el estado de los interruptores de entrada.

Los circuitos lgicos son bsicamente un arreglo de interruptores, conocidos como "compuertas lgicas" (compuertas AND,

NAND, OR, NOR, NOT, etc.). Cada compuerta lgica tiene su tabla de verdad.

Si pudiramos ver con ms detalle la construccin de las "compuertas lgicas", veramos que son circuitos constituidos por

transistores, resistencias, diodos, etc., conectados de manera que se obtienen salidas especficas para entradas especficas

La utilizacin extendida de las compuertas lgicas, simplifica el diseo

y anlisis de circuitos complejos. La tecnologa moderna actual permite la construccin de circuitos integrados (ICs) que se componen de

miles (o millones) de compuertas lgicas

Mapas de Van Karnaugh

Los Mapas de Karnaugh son una herramienta muy utilizada para la

simplificacin de circuitos lgicos. Cuando se tiene una funcin lgica con su tabla de verdad y se desea implementar esa funcin de la

manera ms econmica posible se utiliza este mtodo.

Ejemplo: Se tiene la siguiente tabla de verdad para tres variables.



Se desarrolla la funcin lgica basada en ella. (Primera forma cannica). Ver que en la frmula se incluyen solamente las variables (A, B, C)

cuando F cuando es igual a "1".

Si A en la tabla de verdad es "0" se pone A, si B = "1" se pone B, Si C = "0" se pone C, etc.

F = A B C + A B C + A BC + A B C + A B C + A B C

Una vez obtenida la funcin lgica, se implementa el mapa de

Karnaugh.

Este mapa tiene 8 casillas que corresponden a 2n, donde n = 3 (nmero

de variables (A, B, C)). Ver el diagrama arriba a la derecha.

La primera fila corresponde a A = 0 La segunda fila corresponde a A = 1

La primera columna corresponde a BC = 00 (B=0 y C=0) La segunda columna corresponde a BC = 01 (B=0 y C=1)

La tercera columna corresponde a BC = 11 (B=1 y C=1)

La cuarta columna corresponde a BC = 10 (B=1 y C=0)

En el mapa de Karnaugh se han puesto "1" en las casillas que corresponden a los valores de F = "1" en la tabla de verdad. Tomar en

cuenta la numeracin de las filas de la tabla de verdad y la numeracin de las casillas en el mapa de Karnaugh.

Para proceder con la simplificacin, se crean grupos de "1"s que tengan 1, 2, 4,

8, 16, etc. (slo potencias de 2). Los "1"s deben estar adyacentes (no en diagonal) y

mientras ms "1"s tenga el grupo, mejor.



La funcin mejor simplificada es aquella que tiene el menor nmero de grupos con el mayor nmero de "1"s en cada grupo

Se ve del grfico que hay dos grupos cada uno de cuatro "1"s, (se

permite compartir casillas entre los grupos).

La nueva expresin de la funcin booleana simplificada se deduce

del mapa de Karnaugh.

- Para el primer grupo (rojo): la simplificacin da B (los "1"s de la tercera y cuarta columna) corresponden a B sin negar)

- Para el segundo grupo (azul): la simplificacin da A (los "1"s estn en la fila inferior que corresponde a A sin negar)

Entonces el resultado es F = B + A F = A + B

Ejemplo:

Una tabla de verdad como la de la derecha da la siguiente funcin booleana:

Se ve claramente que la funcin es un reflejo del contenido de la tabla

de verdad cuando F = "1"

Con esta ecuacin se crea el mapa de Karnaugh y se escogen los grupos. Se lograron hacer 3 grupos de dos "1"s cada uno.

Se puede ver que no es posible hacer grupos de 3, porque 3 no es

potencia de 2. Se observa que hay una casilla que es compartida por los

tres grupos.



Compuertas Lgicas

Las compuertas lgicas son bloques de construccin bsica de los

sistemas digitales; operan con nmeros binarios, por lo que se les

denomina puertas lgicas binarias.

En los circuitos digitales todos los voltajes, a excepcin de las fuentes de alimentacin, se agrupan en dos posibles categoras: voltajes altos y

voltajes bajos.

Todos los sistemas digitales se construyen utilizando bsicamente tres

compuertas lgicas bsicas, estas son las AND, OR y NOT; o la combinacin de estas.

Qu es TTL?

Acrnimo ingls de Transistor-Transistor Logic o Lgica Transistor a Transistor". Tecnologa de construccin de circuitos electrnicos

digitales, en los que los elementos de entrada de la red lgica son transistores, as como los elementos de salida del dispositivo.

Caractersticas de los TTL

La familia de circuitos integrados TTL tienen las siguientes

caractersticas:

- La tensin o voltaje de alimentacin es de + 5 Voltios, con Vmin = 4.75 Voltios y Vmax = 5.25 Voltios.

- Su fabricacin es con transistores bipolares multiemisores. - La velocidad de transmisin entre los estados lgicos es su mejor

ventaja, ciertamente esta caracterstica le hacer aumentar su consumo.



- Su compuerta bsica es la NAND

Familia de los Circuitos Lgicos Integrados

Compuerta AND

La compuerta AND o Y lgica es una de las compuertas ms simples dentro de la Electrnica Digital. Su representacin es la que se muestra en las siguientes figuras.

La primera es la representacin de una compuerta AND de 2 entradas

y la segunda de una compuerta AND de 3 entradas. La compuerta Y lgica ms conocida tiene dos entradas A y B, aunque puede tener

muchas ms (A,B,C, etc.) y slo tiene una salida X.

La compuerta AND de 2 entradas tiene la

siguiente tabla de verdad.



Se puede ver claramente que la salida X solamente es "1" (1 lgico, nivel alto) cuando la entrada A como la entrada B estn en "1".

En otras palabras...

La salida X es igual a 1 cuando la entrada A y la entrada B son 1

Esta situacin se representa en lgebra booleana como: X = A*B X = AB.

Una compuerta AND de 3 entradas se puede implementar con interruptores, como se muestra en el siguiente diagrama.

En la tabla de verdad que se muestra en el diagrama de arriba: A =

Abierto y C = Cerrado.

Una compuerta AND puede tener muchas entradas. La compuerta AND de mltiples entradas puede ser creada conectando compuertas

simples en serie.

El problema de poner compuertas en cascada, es que el tiempo de

propagacin de la seal desde la entrada hasta la salida, aumenta. Si se necesita una compuerta AND de 3 entradas y no una hay disponible,

es fcil crearla con dos compuertas AND de 2 entradas en serie o cascada como se muestra en el siguiente diagrama.



Se observa que la tabla de verdad correspondiente es similar a la

mostrada anteriormente, donde se utilizan interruptores. Se puede deducir que el tiempo de propagacin de la seal de la entrada C es

menor que los de las entradas A y B (Estas ltimas deben propagarse

por dos compuertas mientras que la entrada C se propaga slo por una compuerta)

De igual manera, se puede implementar compuertas AND de 4 o ms

entradas

Compuerta NAND

Una compuerta NAND (NO Y) de dos entradas, se puede implementar con la concatenacin de una compuerta AND o "Y" de dos entradas y

una compuerta NOT o "No" o inversora.

Ver la siguiente figura.

Al igual que en el caso de la compuerta AND, sta se puede encontrar

en versiones de 2, 3 o ms entradas.



Tablas de verdad de la compuerta NAND

Como se puede ver la salida X slo ser "0" cuando todas las entradas

sean "1".

Nota: Un caso interesante de este tipo de compuerta, al igual que

la compuerta NOR o "NO O", es que en la primera y ltima lnea de la tabla de verdad, la salida X es tiene un valor opuesto al valor de las

entradas.

En otras palabras: Con una compuerta NAND se puede obtener el comportamiento de una compuerta NOT o "NO".

Aunque la compuerta NAND parece ser la combinacin de 2 compuertas (1 AND y 1 NOT), sta es ms comn que la compuerta

AND a la hora de hacer diseos.

En la realidad este tipo de compuertas no se construyen como si combinramos los dos tipos de compuertas antes mencionadas, si no

que tienen un diseo independiente.

En el diagrama se muestra la implementacin de una compuerta

NOT con una compuerta NAND. En la tabla de verdad se ve que slo se dan dos casos a la entrada: cuando I = A = B = 0 cuando I = A =

B = 1



Compuerta OR

La compuerta O lgica o compuerta OR es una de las compuertas

ms simples dentro de la Electrnica Digital. La salida X de la compuerta OR ser "1" cuando la entrada "A" o la entrada "B" estn en "1".

Expresndolo en otras palabras:

En una compuerta OR, la salida ser "1", cuando en cualquiera de sus entradas haya un "1".

La compuerta OR se representa con la siguiente funcin booleana:

X = A+B X = B+A

Compuerta OR de dos entradas.

La representacin de la compuerta "OR" de 2 entradas y su tabla de verdad se muestran a continuacin.

La compuerta OR tambin se puede implementar con interruptores

como se muestra en la figura de arriba a la derecha, en donde se puede ver que: cerrando el interruptor A "O" cerrando el interruptor B se

encender la luz

"1" = cerrado, "0" = abierto, "1" = luz encendida

Compuerta OR de tres entradas

En las siguientes figuras se muestran:

- La representacin de la compuerta "OR" de tres entradas (primer

diagrama). - La tabla de verdad (segundo diagrama) y...

- La implementacin con interruptores (tercer diagrama)



La lmpara incandescente se iluminar cuando cualquiera de los interruptores (A o B o C) se cierre. Se puede ver que cuando cualquiera

de ellos est cerrado la lampara estar alimentada y se encender. La funcin booleana es X = A + B + C

Compuerta NOR

Una compuerta lgica NOR (No O) se puede implementar con la

concatenacin de una compuerta OR con unacompuerta NOT, como se muestra en la siguiente figura.

Al igual que en el caso de la compuerta lgica OR, sta se puede

encontrar en versiones de 2, 3 o ms entradas.

Las tablas de verdad de estos tipos de compuertas son las siguientes:

Como se puede ver la salida X slo es "1", cuando todas las entradas son "0".



Compuerta NOT creada con una compuerta NOR

Un caso interesante de la compuerta NOR, al igual que la compuerta

lgica NAND, es:

Cuando las entradas A y B A, B y C (en el caso de una compuerta NOR de 3 entradas) se unen, para formar una sola entrada. En este caso la

salida (X) tiene exactamente el valor opuesto a la entrada.

Ver la primera y la ltima filas de la tabla de verdad.

En otras palabras: Con una compuerta lgica NOR se puede lograr el comportamiento de una compuerta lgica NOT.

Compuerta NOT

En la electrnica digital, no se podran lograr muchas cosas si no

existiera la compuerta NOT, tambin llamada compuerta inversora. El smbolo y la tabla de verdad son los siguientes:

La compuerta NOT como la compuerta AND y la compuerta OR es muy importante. Esta compuerta entrega en su salida el inverso (opuesto) de

la entrada.

La salida de una compuerta NOT tiene el valor inverso al de su

entrada. En el caso del grfico anterior la salida X = A

Esto significa que:

- Si a la entrada tenemos un "1" lgico

a la salida har un "0" lgico y ...

- Si a la entrada tenemos un "0" lgico a la salida habr un "1" lgico.



Nota: El apstrofe en la siguiente expresin significa "negado". Entonces: X = A es lo mismo que X = A

Las compuertas NOT se pueden conectar en cascada, logrando

despus de dos compuertas, la entrada original. Ver el siguiente grfico y la tabla de verdad

Un motivo para implementar un circuito que tenga en su salida, lo

mismo que tiene en su entrada, es conseguir un retraso de la seal original con un propsito especial.

Compuerta XOR Qu es una compuerta O exclusiva (XOR)?

En la electrnica digital hay unas compuertas que no son comunes. Una de ellas es la compuerta XOR compuerta O exclusiva compuerta O excluyente.

El diagrama anterior muestra el smbolo de una compuerta XOR (O

exclusiva) de 2 entradas:

Comprender el funcionamiento de esta compuerta digital es muy importante para despus poder

implementar lo que se llama un comparador digital. La figura de la derecha muestra la tabla

de verdad de una compuerta XOR de 2 entradas.

Y se representa con la siguiente funcin booleana

X = A.B + A.B

A diferencia de la compuerta OR, la compuerta XOR tiene una salida

igual a "0" cuando sus entradas son iguales a 1.



Si se comparan las tablas de verdad de la compuerta OR y la compuerta XOR se observa que la compuerta XOR tendr un uno

("1") en su salida cuando la suma de los unos "1" en las entradas sea igual a un nmero impar.

La ecuacin se puede escribir de dos maneras: X = A.B + A.B

La siguiente figura muestra la tabla de verdad de una compuerta XOR de 3 entradas

De la misma manera que el caso anterior se puede ver que se cumple que X = 1 slo cuando la suma de las

entradas en "1" sea impar

Circuito XOR equivalente

Tambin se puede implementar la compuerta XOR con una combinacin

de otras compuertas ms comunes.

En el siguiente diagrama se muestra una compuerta XOR de dos entradas implementada con compuertas

bsicas: la compuerta AND, la compuerta OR y la compuerta NOT.

Comparar el diagrama con la frmula anterior: X = A.B + A.B

Equivalencia de Compuerta NOR

La compuerta NOR equivalente es una forma alternativa para lograr

el mismo resultado que se obtiene con una compuerta NOR (No "O")

como la que ya se conoce.

En la siguiente grfico se muestra la compuerta NOR que ya se conoce y su circuito equivalente.



La compuerta NOR equivalente se ha implementado con una compuerta AND y se han conectado dos compuertas NOT, una a cada una de sus

entradas, como se muestra en la segunda figura.

Comparando las tablas de verdad que se presentan ms abajo, se puede ver que el valor de las salidas (F) son iguales.

Se puede ver tambin que la frmula booleana utilizada para el circuito equivalente da un resultado (F) igual al resultado de la frmula booleana

de la compuerta NOR (F). F = A + B

Teorema de Morgan

Comparando los diagramas superiores (la compuerta NOR y su circuito equivalente) se obtiene la siguiente igualdad:

Esta ltima igualdad es llamada "El teorema de Morgan".

Este teorema es muy til para simplificar circuitos

combinacionales booleanos, especialmente cuando existen expresiones grandes y complejas que estn negadas (que tienen una lnea horizontal

en la parte superior) una o ms veces.

El circuito NOR equivalente se representa tambin como muestra el grfico de la derecha:

Los pequeos crculos que estn a la entrada de la compuerta NAND reemplazan a las compuertas

NOT o compuertas inversoras (el circulo pequeo es un inversor)



Equivalencia de Compuerta NAND

El circuito NAND equivalente es una forma alternativa de lograr el

mismo resultado de una compuerta NAND como la que ya se conoce.

Comparando las tablas de verdad que se presentan a continuacin, se

puede ver que el valor de las salidas (F) es igual.

La primera tabla es la tabla de verdad de un circuito NAND

equivalente y la segunda es la tabla de verdad de la compuerta NAND

Se puede ver tambin que la frmula booleana utilizada para el circuito

equivalente da un resultado (F) igual al resultado de la frmula booleana de la compuerta NAND (F).

F = A + B

F = A . B

Teorema de Morgan

Entonces (observando las 2 tablas de verdad anteriores): A . B = A + B

Esta ltima igualdad "A . B = A + B" es llamada "El teorema de Morgan".



Este teorema es muy til para simplificar circuitos combinacionales booleanos.

Es especialmente til cuando hay que simplificar expresiones booleanas

grandes y complejas que estn negadas (que tienen una lnea horizontal en la parte superior) una o ms veces.

El circuito NAND equivalente se representa tambin como se muestra en el grfico anterior.

Los pequeos crculos que estn a la entrada de la compuerta

OR reemplazan a las compuertas inversoras que se muestran en el primer grfico de este artculo. (el circulo pequeo es un inversor).

El Display de 7 Segmentos Qu es un display de 7 segmentos?

El displays de 7 segmentos, es un componente 1ue se utiliza para la representacin de nmeros en muchos dispositivos electrnicos.

Cada vez es ms frecuente encontrar LCDs en estos equipos (debido a su bajsima demanda de energa), todava hay muchos que utilizan

el display de 7 segmentos por su simplicidad.

Este elemento se ensambla o arma de manera que se pueda activar cada segmento (diodo LED) por separado logrando de esta manera

combinar los elementos y representar todos los nmeros en el display (del 0 al 9).

El display de 7 segmentos ms comn es el de color rojo, por su facilidad de visualizacin.



Cada elemento del display tiene asignado una letra que identifica su posicin en el arreglo del display. Ver el grfico arriba

-Si se activan todos los segmentos se forma el nmero "8"

-Si se activan solo los segmentos: "a,b,c,d,f," se forma el nmero "0" -Si se activan solo los segmentos: "a,b,g,e,d," se forma el nmero "2"

-Si se activan solo los segmentos: "b,c,f,g," se forma el nmero "4"

p.d. representa el punto decimal

El display nodo comn

En el display nodo comn, todos los nodos de los diodos LED unidos y conectados a la fuente de alimentacin.

En este caso para activar cualquier elemento hay que poner el ctodo del elemento a tierra a travs de una resistencia para limitar

la corriente que pasa por el elemento

El display ctodo comn

El display ctodo comn tiene todos los nodos de los diodos

LED unidos y conectados a tierra. Para activar un segmento de estos hay que poner el nodo del segmento a encender a Vcc (tensin de la

fuente) a travs de una resistencia para limitar el paso de la corriente

Tambin hay display alfanumricos que permiten representar tanto

letras como nmeros



La Protoboard

La protoboard es un dispositivo muy utilizado para probar circuitos

electrnicos. Tiene la ventaja de que permite armar con facilidad un circuito, sin la necesidad de realizar soldaduras.

Si el circuito bajo prueba no funciona de manera satisfactoria, se puede modificar sin afectar los elementos que lo conforman. La protoboard

tiene una gran cantidad de orificios en donde se pueden insertar con facilidad los terminales de los elementos que conforman el circuito.

Se puede conectar casi cualquier tipo de componente electrnico,

incluyendo diferentes tamaos de circuitos integrados. Los nicos

elementos que no se pueden conectar a la protoboard son elementos que tienen terminales muy gruesos. Estos elementos se conectan

normalmente sin problemas en forma externa con ayuda de cables o "lagartos".

El primer diagrama muestra una protoboard tpica. Algunos de estos

orificios estn unidos de manera estandarizada que permiten una fcil conexin de los elementos del circuito que se desea armar.

En el segundo diagrama se pueden ver que hay unas "pistas" conectoras (Las "pistas" estn ubicadas debajo de la placa blanca). Estas "pistas"

son horizontales en la parte superior e inferior de la protoboard y son verticales en la parte central de la misma.

Nota: Las "pistas" mencionadas en el tutorial son unas tiras metlicas

flexibles fabricadas de berilio-cobre



Las "pistas" horizontales superior e inferior normalmente se utilizan para

conectar la fuente de alimentacin y tierra, y son llamados "Buses"

Los circuitos integrados se colocan en la parte central de la protoboard

con una hilera de patas en la parte superior del canal central y la otra hilera en la parte inferior del mismo. Puede observarse sin problema que

las patitas del circuito integrado se conectan a una pista vertical diferente.

Para realizar conexiones, entre las patitas de los componentes, se

utilizan pequeos cables conectores de diferentes colores.

Si se observa la protoboard con detenimiento se puede ver que los

orificios estn etiquetados con nmeros en forma horizontal (1,2,3,...) y con letras (A,B,C,D...,J) en forma vertical. Esto es as para evitar errores

en la interconexin de los diferentes elementos del circuito.

Para un uso eficiente de esta herramienta, se recomienda: - Trabajar en orden.

- Utilizar las "pistas" horizontales superiores e inferiores para conectar la

fuente de poder para el circuito en prueba. - Usar cable rojo para el positivo de la fuente y el negro para el negativo

de la misma. - La alimentacin del circuito se hace desde las pistas horizontales, no

directamente desde la fuente. - Ordenar los elementos del circuito de manera que su revisin posterior

por el diseador u otra persona sea lo ms fcil posible. - Es recomendable evitar, en lo posible, que los cables de conexin que

se utilicen entre dos partes del circuito sea muy larga y sobresalga del mismo.

En el siguiente diagrama se muestra un circuito armado sobre una protoboard.



Resistencias

El smbolo de la resistencia es:

Una resistencia tambin llamado resistor es un elemento que causa oposicin al paso de la corriente, causando que en sus terminales

aparezca una diferencia de tensin (un voltaje).

En el grfico ms abajo tenemos un bombillo / foco en el paso de la corriente que sale del

terminal positivo de la batera y regresa al terminal negativo.

La mxima cantidad de corriente que puede

pasar por una resistencia, depende del tamao de su cuerpo. Los valores de potencia comunes de las resistencias son: 1/4, 1/2, 1 watt,

aunque hay de valores mayores.

Este bombillo / foco que todos tenemos en nuestros hogares se

comporta como una resistencia, pues limita el paso de la corriente, disipa calor, pero a diferencia del foco o bombillo, la resistencia no emite

luz.

Las resistencias se representan con la letra R y el valor de stas se mide

en Ohmios ().



Las resistencias o resistores son fabricadas principalmente de carbn

y se presentan en una amplia variedad de valores. Hay resistencias con valores de Ohmios (), Kilohmios (K), Megaohmios (M).

Estas dos ltimas unidades se utilizan para representar resistencias muy grandes. A continuacin se puede ver

algunas equivalencias entre ellas:

1 Kilohmio (K) = 1,000 Ohmios () 1 Megaohmio (M) = 1,000,000 Ohmios ()

1 Megaohmio (M) = 1,000 Kilohmios (K)

Para poder saber el valor de las resistencias sin tener que medirlas,

existe un cdigo de colores de las resistencias que nos ayuda a obtener con facilidad este valor con slo verlas.

Para obtener la resistencia de cualquier elemento de un material

especfico, es necesario conocer algunos datos propios de ste, como

son: su longitud, rea transversal, resistencia especfica o resistividad del material con que est fabricada.

Conductancia (inverso de la resistencia)

La recproca (inverso) de la resistencia es la conductancia. Se representa generalmente por la letra G. Un circuito con

elevadaconductancia tiene baja resistencia, y viceversa.

- Una resistencia / resistor de 1 Ohmio (ohm) posee una conductancia de 1 mho.

- Una resistencia / resistor de 1000 Ohmios (ohms) posee una conductancia de 0.001 mho.



Fuente de poder

Muchos circuitos necesitan para su funcionamiento, una fuente de

poder o fuente de alimentacin.

Esta fuente de poder entrega normalmente un voltaje en corriente

continua (C.C.), pero lo que normalmente se encuentra en los tomacorrientes, de nuestras casas, es corriente alterna (C.A.).

Para lograr obtener corriente continua, la entrada de corriente alterna

debe seguir un proceso de conversin como el que se muestra en el diagrama. En el grfico siguiente se ve el funcionamiento de una fuente

de poder, con ayuda de un diagrama de bloques. Tambin se muestran

las formas de onda esperadas al inicio (Entrada en A.C.), al final (Salida en C.C.) y entre cada uno de ellos.

- La seal de entrada, que va al primario del transformador, es una onda senoidal cuya amplitud depender del lugar en donde vivimos (110

/ 220VAC. u otro). Ver unidades de medida bsica en electrnica.

Nota: A la fuente de poder tambin se acostumbra llamar fuente de

alimentacin y fuente de voltaje o tensin



-Parte Prctica-

Introduccin Con todo lo estudiado, vamos a realizar el trabajo necesario para poder

construir nuestro decodificador de binario a hexadecimal.

Comenzaremos definiendo cmo es que queremos que se muestren

nuestros nmeros en el display de 7 segmentos para poder construir la

tabla de verdad.

Realizando la tabla de verdad

Como ya estudiamos en la parte terica, la tabla de verdad es un modo

de verificar y obtener las funciones booleanas, en ste caso la

utilizaremos para realizar nuestro circuito decodificador.

Comenzaremos planteando la tabla, sabiendo que para poder convertir

todos los nmeros de binario a hexadecimal se utilizan slo 4 bits,

quiere decir que utilizaremos 4 variables de entrada en nuestra tabla de

verdad.

Vamos a estudiar un poco un display de 7 segmentos, en ste caso de

ctodo comn.



Podemos observar que ste tiene en realidad 10 pines de conexin, 2 de

los cuales son los ctodos, uno el punto decimal que en ste caso no lo

utilizaremos y los 7 sobrantes los nodos de los leds que mostrarn los

nmeros al encender en orden lgico.

Esto quiere decir que debemos crear una funcin para cada segmento,

es decir, 7 funciones, significa que nuestra tabla de verdad tendr 7

columnas adicionales a las de las 4 variables.

Ahora determinaremos el nmero de renglones, si sabemos que la tabla

de verdad tendr 2n columnas, donde n es el nmero de variables, es

decir 4, entonces utilizaremos 16 renglones (24 = 16)

Finalmente llenaremos cada una de las filas de las funciones de manera

vertical, utilizando ceros y unos, donde cero significar apagado y uno

encendido.

Basndonos en las formas numricas que ya planteamos que mostrar

el display colocaremos los datos de 0 o 1, por ejemplo, para la funcin

nmero 1 que sera la del segmento a debemos plantear si deber

prender o no para mostrar un nmero determinado, como por ejemplo,

para mostrar el nmero cero s necesita prender, por lo que colocaremos

un 1 en el primer rengln de la fila de la funcin 1 o a. Para el caso en

que deseemos mostrar el nmero 1, el segmento a no debe encender,

por lo que en el rengln 2 colocaremos un cero.

Esto lo haremos con cada una de las funciones hasta que hayamos

finalizado. Es muy importante hacer con atencin y cuidado sta parte

ya que en caso de estar errnea saldr mal nuestra prctica.

Para resumir, el nmero de renglones (del 0 al 15 que son en total 16)

representar el valor de nuestros nmeros en hexadecimal, y el nmero



de las filas (7, porque son 7 segmentos) representa el nmero de

funciones booleanas que realizaremos.

Aplicando todo lo mencionado, nuestra tabla deber quedar de sta

manera:

# W X Y Z Fa Fb Fc Fd Fe Ff Fg

0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0

1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0

2 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1

3 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1

4 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1

5 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1

6 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1

7 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0

8 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1

9 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1

10 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

11 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1

12 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0

13 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1

14 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1

15 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1

A partir de la tabla de verdad podramos crear ya nuestras funciones

booleanas, sin embargo quedaran con mucha longitud, por lo cual

utilizaremos ahora los mapas de Van Karnaugh.

Utilizando los mapas de Van

Karnaugh para Simplificar

Como ya estudiamos, los mapas de Karnaugh son muy tiles para

reducir las funciones booleanas a partir de nuestra tabla de verdad, con

lo aprendido en el tema Mapas de Van Karnaugh de la parte terica.

Procederemos a construir nuestros mapas de verdad:



Ahora vamos a realizar el segundo paso que es crear las uniones de

grupos de unos nicamente en potencias de dos. Rercordemos que

entre ms grandes y menos sean las agrupaciones, obtendremos menos

trminos.

Debera quedarlos algo por el estilo:



Ahora a partir de los mapas de Karnaugh procederemos a realizar

nuestras funciones booleanas como ya lo hemos estudiado.

Obteniendo las Funciones Boleanas

Recordando lo estudiado en la parte terica obtendremos las funciones

Booleanas utilizando los mapas de Van Karnaugh realizados

anteriormente. Podemos obtener tanto los mintrminos como los

maxitrminos.



Mintrminos:

Fa (W, X, Y, Z)=

(~X*~Z)+(~W*Y)+(~W*X*Z)+(X*Y)+(W*~Z)+(W*~X*~Y)

Fb (W, X, Y, Z)=

(W*~Y*Z)+(~X*~Z)+(~W*~Y*~Z)+(~W*Y*Z)+(~W*~X)

Fc (W, X, Y, Z)= (~Y*Z)+(~W*X)+(W*~X)+(~W*~Y)+(~W*Z)

Fd (W, X, Y, Z)=

(X*~Y*Z)+(~X*Y*Z)+(X*Y*~Z)+(W*~Y*~Z)+(~W*~X*~Z)

Fe (W, X, Y, Z)= (~X*~Z)+(Y*~Z)+(W*Y)+(W*X)

Ff (W, X, Y, Z Z)= (~Y*~Z)+(X*~Z)+(~W*X*~Y)+(W*~X)+(W*Y)

Fg (W, X, Y, Z)= (~X*Y)+(W*~X)+(W*Z)+(Y*~Z)+(~W*X*~Y)

Maxitrminos:

Fa (W, X, Y, Z)=

(W+~X+Y+Z)*(W+X+Y+~Z)*(~W+~X+Y+~Z)*(~W+X+~Y+~Z)

Fb (W, X, Y, Z)=

(W+~X+Y+~Z)*(~X+~Y+Z)*(~W+~Y+~Z)*(~W+~X+Z)

Fc (W, X, Y, Z)= (W+X+~Y+Z)*(~W+~X+Z)*(~W+~X+~Y)



Fd (W, X, Y, Z)=

(X+Y+~Z)*(W+~X+Y+Z)*(~X+~Y+~Z)*(~W+X+~Y+Z)

Fe (W, X, Y, Z)= (X+Y+~Z)*(W+~Z)*(W+~X+Y)

Ff (W, X, Y, Z)=

(~W+~X+Y+~Z)*(W+X+~Z)*(W+X+~Y)*(W+~Y+~Z)

Fg (W, X, Y, Z)= (~W+~X+Y+Z)*(W+~X+~Y+~Z)*(W+X+Y)

Donde ~ es negacin (NOT), * una multiplicacin (AND), + una suma

(OR) y W, X, Y y Z nuestras 4 variables.

En este caso como nuestro display es de ctodo comn, utilizaremos los

mintrminos.

A partir de ahora podramos comenzar a cablear nuestro circuito en la

protoboard, sin embargo an podemos simplificar las funciones

utilizando el lgebra tradicional, los teoremas de Boole y las leyes de De

Morgan.

Reduciendo las funciones

por medio del lgebra Por medio de factorizacin, teoremas de Boole y leyes de De Morgan

podemos simplificar an ms nuestras funciones. En ste caso

utilizaremos la factorizacin y las equivalencias de compuertas con las

leyes de De Morgan.



Recordando que:

~X*~Y = X (NOR) Y

~X+~Y = X (NAND) Y

(~X*~Y)+(X*Y) = X (X-NOR) Y

(~X*Y)+(X*~Y) = X (X-OR) Y

Fa (W, X, Y, Z)=

(~X*~Z)+(~W*Y)+(~W*X*Z)+(X*Y)+(W*~Z)+(W*~X*~Y)

Factorizando:

Fa (W, X, Y, Z)= ~Z(~X+W)+~W(Y+XZ)+XY+W(W*~X*~Y)

Aplicando la Ley de Demorgan:

Fa (W, X, Y, Z)= ~Z(~X+W)+~W(Y+XZ)+XY+W(X-NOR-Y)

Fb (W, X, Y, Z)=

(W*~Y*Z)+(~X*~Z)+(~W*~Y*~Z)+(~W*Y*Z)+(~W*~X)

Factorizando:

Fb (W, X, Y, Z)= ~X*~Z+W~YZ+~W(~Y*~Z+Y*Z+~X)


Fb (W, X, Y, Z)= X-NOR-Z+W~YZ+~W(~(Y-XOR-Z)+~X)

Fc (W, X, Y, Z)= (~Y*Z)+(~W*X)+(W*~X)+(~W*~Y)+(~W*Z)

Factorizando:

Fc (W, X, Y, Z)= ~Y(~W+Z)+~W(X+Z)+W~X

Fd (W, X, Y, Z)=

(X*~Y*Z)+(~X*Y*Z)+(X*Y*~Z)+(W*~Y*~Z)+(~W*~X*~Z)

Factorizando:



Fd (W, X, Y, Z)= Z(~X*Y+X*~Y)+~Z(XY+W~Y+~W~X)


Fd (W, X, Y, Z)= Fd (W, X, Y, Z)= Z(X-XOR-Y)+~Z(XY+W~Y+~W~X)

Fe (W, X, Y, Z)= (~X*~Z)+(Y*~Z)+(W*Y)+(W*X)

Factorizando:

Fe (W, X, Y, Z)= W(X+Y)+~Z(Y+~X)

Ff (W, X, Y, Z Z)= (~Y*~Z)+(X*~Z)+(~W*X*~Y)+(W*~X)+(W*Y)

Factorizando:

Ff (W, X, Y, Z Z)= W(~X+Y)+(~WX~Y)+~Z(X+~Y)

Fg (W, X, Y, Z)= (~X*Y)+(W*~X)+(W*Z)+(Y*~Z)+(~W*X*~Y)

Factorizando:

Fg (W, X, Y, Z)= Y(~X+~Z) + W(~X+Z)+(~WX~Y)


Fg (W, X, Y, Z)= Y(X-NAND-Z) + W(~X+Z)+(~WX~Y)

Ahora que tenemos las funciones simplificadas, podemos comenzar a

cablearlas en nuestra protoboard, comencemos instalado el material.



Instalando el material para comenzar

Para esta prctica utilizaremos lo siguiente:

-3 Protoboards, las tres deben ser idnticas y tener uniones para

juntarlas

-1 Display ctodo comn de 7 segmentos

-8 Resistencias de watt a 470 o 520 ohm

-1 Dip Switch de 4 interuptores

-6 Circuitos Integrados AND 74LS08

-7 Circuitos Integrados OR 74LS32

-1 Circuito Integrado NAND 74LS00

-1 Circuito Integrado NOT 74LS04

-1 Circuito Integrado XOR 74LS86

-1 Circuito Integrado NOR 74LS02

-9 Metros de cable para protoboard, 9 colores diferentes 1m por cada

uno (2 para la corriente y 7 para las funciones). Nota: se recomienda

usar rojo para corriente positiva y negro para negativa.

-Etiquetas pequeas (opcional)

Comenzaremos uniendo nuestras tres protoboards con las uniones que

tienen en los costados, para que queden de sta manera:



Sabiendo el funcionamiento de la protoboard, procederemos a puentear

los canales de corriente:

No es necesario puentear de esta manera, slo es para darse una idea,

adems en algunas protoboards no es necesario puentear la parte

central.

Ahora procederemos a instalar nuestro dems material, no hay una

manera precisa o correcta de hacerlo, as que puede hacerse al gusto,

sin embargo es recomendable acomodar segn convenga ya que habr

que utilizar ms cables si se colocan las compuertas muy lejos.



Alguna sugerencia es que quede de sta manera:

Las compuertas fueron intercaladas entre AND y OR, la compuerta NOT

se coloc cerca del dip switch, y las dems se colocaron en el rea que

se crey que quedaran cableadas las funciones que las utilizan.

Ahora que hemos instalado nuestro material comenzaremos a cablear.



Realizando el cableo de funciones

Con todo lo estudiado en la parte terica y lo realizado hasta ahora en la

prctica, ya podemos comenzar a cablear nuestras funciones en la

protoboard. Para ello recordaremos cmo estn configuradas nuestras

compuertas utilizadas para ste proyecto:

Tambin recordaremos que para construir ciertas compuertas que no

tenemos, podemos combinar algunas para crear la equivalencia (esto se

explic en las leyes de De Morgan).



Y adems, como en ste caso estamos utilizando slo compuertas de

dos entradas en su mayora, podemos crear compuertas con entradas

adicionales combinando las salidas con nuevas compuertas. Ejemplo:

es igual que

Hay que recordar que para cablear ya debe estar toda la parte terica

realizada, desde la tabla de verdad hasta las funciones simplificadas, y

stas deben estar correctamente simplificadas, de lo contrario no

funcionarn. En este proyecto se utiliz software para comprobar las

funciones el cual est todo mencionado en el apndice.

Para crear las funciones, utilizaremos las variables que el dip switch

definir, ahora que ya conocemos el funcionamiento de la protoboard y

el dip switch (que es solamente un juego de interruptores) ya

deberamos darnos la nocin de que la parte de encima del dip switch

sern las funciones W, X, Y y Z acomodadas de izquierda a derecha

respectivamente.

Podemos darnos una idea de cmo cablear con los siguientes diagramas

lgicos que han sido simplificados son compuertas de hasta 5 entradas:



A continuacin unas fotografas del proceso de cableado fsicamente:



Comprobando el funcionamiento

Una vez terminado de cablear todas nuestras funciones en la

protoboard, pasaremos a comprobar que nuestro decodificador

realmente funciona, utilizando lo aprendido en el tema Conversin de

Sistemas Numricos de la parte terica podemos obtener las

equivalencias:

Nmero en Decimal En Binario (con 4 bits) En Hexadecimal

0 0000 0

1 0001 1

2 0010 2

3 0011 3

4 0100 4

5 0101 5

6 0110 6

7 0111 7

8 1000 8

9 1001 9

10 1010 A

11 1011 B

12 1100 C

13 1101 D

14 1110 E

15 1111 F

Podemos tomar al dip switch como los 4 bits, y pondremos las

posiciones de cada uno de ellos segn lo indique la equivalencia,

recordando que 0 es apagado (abajo) y 1 encendido (arriba).

A continuacin unas imgenes:



Apndice Para desarrollar sta prctica se utiliz software enfocado al lgebra de

Boole y a la simulacin de circuitos electrnicos.

Para comprobar si la tabla de verdad, los mapas de Karnaugh y las

funciones simplificadas por medio de los mismos mapas estaban

correctos, se utiliz el software Boole-Deusto, desarollado por Javier

Garca Zuba, Jess Sanz Martinez y Borja Sotomayor Basilio de la

Facultad de Ingeniera en Informtica de la Universidad de Deusto.

Adems tambin fue utilizado para mostrar grficamente algunas

imgenes en este reporte. Este software puede descargarse de manera

gratuita en la siguiente direccin:

http://paginaspersonales.deusto.es/zubia/

Para comprobar si las funciones eran correctas tras factorizarlas, aplicar

los teoremas de Boole y las leyes de De Morgan, se simularon las

funciones de los circuitos y al final se hizo una compilacin final con

ayuda del software NI Multisim, para ms informacin se puede visitar:

http://www.ni.com/multisim/esa/

Para mostrar algunas otras imgenes en ste reporte se utiliz adems

el software Virtual Breadboard o VBB, desarollado por James Caska,

Infology Pty Ltd, ms informacin en:

http://www.virtualbreadboard.com/

Adems tambin un agradecimiento especial a los que colaboraron con

el desarrollo de sta prctica; los estudiantes de la Facultad de

Ingeniera del rea de Computacin e Informtica de la Universidad

Autnoma de San Luis Potos: Ral Marvn Medina, Josu Torres

Prez y Lilia Castellanos.

http://paginaspersonales.deusto.es/zubia/http://www.ni.com/multisim/esa/http://www.virtualbreadboard.com/



Bibliografa 1. Monografas Introduccin al estudio de los circuitos lgicos y

sistemas numricos -

http://www.monografias.com/trabajos32/sistemas-

numericos/sistemas-numericos.shtml

2. Ladelec Conversiones de sistemas de numeracin -

http://www.ladelec.com/teoria/electronica-digital/148-conversiones-

de-sistemas-de-numeracion

3. Simbologa Electrnica. Smbolos de electrnica digital -

http://www.simbologia-electronica.com/simbolos-electricos-

electronicos/simbolos-electronica-digital.htm

4. Unicrom. Qu es un circuito lgico? -

http://www.unicrom.com/Tut_circuitoslogicos.asp

5. AYRES, Frank. Mc Graw-Hill. Serie Schaum, ed. lgebra

Moderna (1994 edicin)

6. Facultad de Ingeniera de la UASLP. Programa de la materia

Introduccin a los Circuitos Lgicos -

http://ingenieria.uaslp.mx/web2010/Oferta%20educativa//Programa

s/CeI/2964%20Introduccion%20a%20los%20Circuitos%20Logicos.p

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7. Boole, George; Requena Manzano, Esteban: tr. (1 de 1984). El

anlisis matemtico de la lgica (2 edicin). Ediciones Ctedra, S.A

8. Boole, George (2003) [1854]. An Investigation of the Laws of

Thought. Prometheus Books

9. Boole, George; Surez Hernndez, Jos Antonio: tr. (3 de 1982).

Investigacin sobre las leyes del pensamiento (1 edicin). Ediciones

Paraninfo. S.A

10. Bernardo Nez Montenegro, Facultad de Ciencias UASLP, EPIS-

UNPRG. Sistemas Dgitales, lgebra de Boole -

http://galia.fc.uaslp.mx/~uragani/algebra1/Textos/Algebra_Boole.pd

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11. Unicrom - http://www.unicrom.com/

http://www.monografias.com/trabajos32/sistemas-numericos/sistemas-numericos.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos32/sistemas-numericos/sistemas-numericos.shtmlhttp://www.ladelec.com/teoria/electronica-digital/148-conversiones-de-sistemas-de-numeracionhttp://www.ladelec.com/teoria/electronica-digital/148-conversiones-de-sistemas-de-numeracionhttp://www.simbologia-electronica.com/simbolos-electricos-electronicos/simbolos-electronica-digital.htmhttp://www.simbologia-electronica.com/simbolos-electricos-electronicos/simbolos-electronica-digital.htmhttp://www.unicrom.com/Tut_circuitoslogicos.asphttp://ingenieria.uaslp.mx/web2010/Oferta%20educativa/Programas/CeI/2964%20Introduccion%20a%20los%20Circuitos%20Logicos.pdfhttp://ingenieria.uaslp.mx/web2010/Oferta%20educativa/Programas/CeI/2964%20Introduccion%20a%20los%20Circuitos%20Logicos.pdfhttp://ingenieria.uaslp.mx/web2010/Oferta%20educativa/Programas/CeI/2964%20Introduccion%20a%20los%20Circuitos%20Logicos.pdfhttp://galia.fc.uaslp.mx/~uragani/algebra1/Textos/Algebra_Boole.pdfhttp://galia.fc.uaslp.mx/~uragani/algebra1/Textos/Algebra_Boole.pdfhttp://www.unicrom.com/

decodificador binario a hexadecimal con display 7 segmentos y compuertas lógicas

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